(SKKN 2022) hướng dẫn học sinh phát hiện đúng hướng giải bài tập hình học không gian bằng phương pháp vector

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT DTNT TỈNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÁT HIỆN ĐÚNG HƯỚNG
GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG
PHÁP VEC TƠ

Người thực hiện: Tạ Thị Thúy Chinh
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT DTNT TỈNH
SKKN thuộc lĩnh vực : Tốn Học

THANH HỐ NĂM 2022


MỤC LỤC
I. MỞ ĐẦU………………………………………………………………….1
1. Lý do chọn đề tài…………………………………………………………1
2. Mục đích nghiên cứu…………………………………………………….1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu……………………………………….2
4. Phương pháp nghiên cứu………………………………………………...2
5. Điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm…………………………………...3
II. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM…………………….3
1. Cơ sở lý luận……………………………………………………………..3
2.Thực trạng vấn đề…………………………………………………………3
3. Các biện pháp giải quyết vấn đề………………………………………….4
3.1. Cách định hướng tìm lời giải bài tốn trong quan hệ song song …….4
3.2. Các cách định hướng về lượng giải các dạng toán tiêu biểu về lượng,

quan hệ vng góc……………………………………………………………10
3.3. Bài tập áp dụng………………………………………………………..17
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường……………………………………………...17
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ…………………………………………..18
Phụ lục: Bài kiểm tra 45 phút ……………………………………………... 20
Tài liệu tham khảo………………………………………………................. 23


I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Từ thực tế giảng dạy
Mơn tốn trong trường THPT nói chung, mơn hình học khơng gian nói riêng
giữ vai trị hết sức quan trong không chỉ trong việc cung cấp kiến thức kỹ năng
giải tốn cho học sinh mà cịn rèn luyện đức tính, phẩm chất con người lao động
mới như: cẩn thận chính xác, có kỷ luật, có phê phán, có sáng tạo, bồi dưỡng óc
thẩm mỹ, tư duy sáng tạo cho học sinh.
Trong sách giáo khoa hình học 11 chương trình hiện nay, phần véc tơ trong
khơng gian của hình học khơng gian được trình bày chi tiết, cụ thể, khuyến
khích được học sinh sử dụng phương pháp véc tơ để giải các bài tập hình học.
Song ở sách giáo khoa, kể cả sách bài tập cũng chưa đưa ra phương pháp cụ thể
cho từng dạng bài tập vì vậy dẫn đến học sinh ít áp dụng phương pháp này vào
việc giải toán.
Chất lượng học sinh trường THPT DTNT Tỉnh Thanh Hóa thường hạn chế
về các mơn tự nhiên, đặc biệt là mơn Tốn so với các trường THPT ở miền
xi. Khi học hình học khơng gian thì đa số các em thường lúng túng trong việc
dùng lời giải, đặc biệt là dùng phương pháp véc tơ để giải các bài tập này.
Trong đề thi đại học những năm gần đây, một số dạng tốn của hình học
khơng gian ln xuất hiện, cụ thể như các bài tính góc, tính khoảng cách, tính
thể tích hay tỉ số thể tích của các hình trong khơng gian. Đề thi học sinh giỏi tỉnh

cũng có một số dạng bài tập này. Điều đáng nói là nếu các em biết sử dụng
phương pháp véc tơ vào giải tốn thì lời giải sẽ ngắn gọn và đặc biệt cịn tránh
được việc phải vẽ hình phức tạp.
1.2. Từ thực tế khách quan
Trong các đề thi đại học những năm gần đây thường có các bài tốn hình học
khơng gian như tính góc, khoảng cách…nhưng đáp án đưa ra không giải bằng
phương pháp vec tơ. Điều này làm cho giáo viên và học sinh ít chú trọng vào
phương pháp, do đó học sinh chưa thấy được những ưu việt của phương pháp
này.
3


Việc sử dụng phương pháp véc tơ ngoài việc phát triển tư duy cịn có thể làm
nhanh một số bài tập tính góc, khoảng cách khó( khơng phải vẽ thêm đường phụ).
Học sinh có thể giải tốn bằng phương pháp véc tơ ở hình học 11 sẽ là tiền đề
tốt để học chương véc tơ và tọa độ trong không gian của hình học lớp 12.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu nội dung sáng kiến kinh nghiệm người học nắm được các căn cứ
lựa chọn, cơng cụ thích hợp, lựa chọn đúng kiến thức đã học để vận dụng giải
bài tập hình học bằng cơng cụ vectơ. Ngồi ra cịn giúp người học phân dạng
được các bài tập, mối liên hệ giữa bài tập này với bài tập kia.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh lớp 11A và 11G năm học
2021-2022 trường THPT DTNT Tỉnh Thanh Hóa.
+ Phạm vi nghiên cứu là: Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không
gian. Quan hệ song song. Chương 3: Quan hệ vng góc trong khơng gian( Hình
Học 11 chương trình cơ bản, NXB Giáo Dục).
4. Phương pháp nghiên cứu
Xuất phát từ đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu để đạt được mục đích đã đề
ra trong q trình nghiên cứu tơi đã sử dụng các phương pháp chủ yếu sau:

4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
+ Nghiên cứu tài liệu.
+ Nghiên cứu và tổng kết kinh nghiệm giảng dạy.
+ Nghiên cứu một số quan điểm, tư tưởng sáng tạo
4.2.Phương pháp nghiên cứu theo phân loại các dạng bài tập
+ Nghiên cứu các bài toán khai thác về tri thức cội nguồn.
+ Nghiên cứu các bài toán về sử dụng các bất biến.
+ Nghiên cứu các bài toán theo tương đương afin.
+ Nghiên cứu các bài toán nhờ phép tương tự.
5. Điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
Nghiên cứu các căn cứ để định hướng đúng hướng giải các bài tốn hình
học phổ thông nhờ công cụ vec tơ nhằm giúp học sinh phát hiện, huy động đúng
kiến thức đã học, các bài tập đã biết cách giải vào việc giải các bài tập mới.
Đưa ra một số dạng bài tập và cách nhận biết hướng giải bài tập đó, các hệ
thống bài tập có liên quan.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lý luận

4


Trong chương trình hình học ở THPT, khi dạy giải bài tập tốn nói chung,
giải bài tập tốn bằng cơng cụ vectơ nói riêng học sinh thường gặp những khó
khăn trong việc trả lời các câu hỏi sau:
- Làm thế nào để phát hiện cơng cụ thích hợp cho việc giải bài toán đã cho?
- Dựa vào cơ sở nào để lưạ chọn đúng các kiến thức đã biết để giải bài toán
dã cho?
- Biến đổi bài toán như thế nào để có thể đưa bài tốn về dạng quen thuộc?
- Có những dạng bài tốn nào có thể lựa chọn công cụ vec tơ để giải?
2. Thực trạng vấn đề

Qua q trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh khi giải một số bài tốn hình
khơng gian thường gặp phải một số vấn đề sau: khó vẽ hình, đặc biệt là vẽ thêm
đường phụ, lúng túng trong việc lựa chọn phương pháp, khơng phân loại được
các dạng tốn, khơng liên hệ được các bài toán tương tự, bài toán liên quan. Với
các bài tập dạng trắc nghiệm ngoài phương pháp giải học sinh cịn nhớ dạng và
có thể bỏ qua một số bước chứng minh để tìm được lời giải nhanh.
Vì vậy việc hướng dẫn phát hiện hướng giải đúng bài tốn hình học phổ
thơng bằng phương pháp vec tơ sẽ giúp người học có tư duy trong việc hệ thống
hóa các dạng tốn, giải được các bài tốn hình học một cách đơn giản hơn mà
việc giải nó bằng phương pháp tổng hợp thì cơng kềnh và hình vẽ thì phức tạp.
Ngồi ra phương pháp này cịn giúp giáo viên và học sinh trong hoạt động giảng
dạy và học tập mơn hình học đạt hiệu quả cao hơn. Vì vậy tơi mạnh dạn đưa ra
một số giải pháp của mình thơng qua sáng kiến '' Hướng dẫn học sinh phát
hiện đúng hướng giải các bài tập hình học không gian bằng phương pháp véc
tơ''.
3. Các biện pháp giải quyết vấn đề
3.1. Cách định hướng tìm lời giải bài toán trong quan hệ song song
3.1.1. Định hướng về bài toán chứng minh 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng
Định hướng: Ta xét hệ ba véctơ trong đó có hai vectơ khác phương chẳng
hạn . Khi đó chứng minh tồn tại cặp số (x ; y) duy nhất sao cho
5


Ví dụ 1.1
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc AD và
BB’ sao cho . Gọi I, J là trung điểm của AD và C’D’. Chứng minh rằng M, N, I,
J cùng thuộc một mặt phẳng.
Định hướng: (Hình 1.1)
Ta thấy , khác phương từ đó ta chứng minh
Lời giải:

Đặt
Ta có:

(2)
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra
(2)
hay bốn điểm M, I, N, J đồng
phẳng.

Ví dụ 1.2
Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q là các trung điểm của các cạnh AB và CD. R, S
là các điểm thuộc các thuộc hai cạnh AC và BD sao cho .
Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng.
Định hướng: Ta tìm cặp số x,y và chứng minh:
A

Lời giải: (Hình 1.2)
Đặt
Và suy ra

P

Ta có (1)
(2)

B

S

(3)
R
Q
Từ (1), (2), (3) suy ra hay P, Q, R, S đồng phẳng.
3.1.2. Định hướng về bài tốn chứng minh songCsong Hình 1.2
- Định hướng chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng.

D

6


Do song song là một bất biến Afin nên ta dùng tọa độ Afin để giải bài toán
(chọn hệ 3 vectơ không đồng phẳng chung gốc).
Gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng a: là cặp véctơ chỉ phương của
mặt phẳng (P). Ta lập luận chứng minh đồng phẳng và chỉ ra điểm A thuộc a mà
không thuộc (P).
- Định hướng chứng minh hai mặt phẳng (P), (Q) song song.
Do song song là một bất biến Afin nên ta dùng tọa độ afin để giải bài toán
(chọn hệ 3 vectơ không đồng phẳng chung gốc).
Giả sử là cặp véc tơ chỉ phương của (P), là véc tơ chỉ phương của (Q). Ta
chứng minh hai bộ 3 vectơ (), () đồng phẳng và tồn tại một điểm A thuộc (P)
không thuộc (Q).
Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1.3
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các
cạnh AD, BB’ và C’D’.
a) Chứng minh MN//(BDC’).
b) Chứng minh (MNP)//(BDC’).
Định hướng: Để chứng minh MN//(BDC’) ta chứng minh đồng phẳng hay

tồn tại cặp số (m;n) sao cho:
M

A

B

D

C
A’

N

D’

Để chứng minh (MNP) // (BDC’) ta chứng minh cho
và

B’

C’

P
Hình 1.3

Lời giải: (Hình 1.3) Đặt
Ta có (1)
(2)
(3)

a) Ta có M khơng thuộc (BDC’) và từ (1) và (3) ta có
Suy ra đồng phẳng hay MN // (BDC’)
b) Theo câu a MN // (BDC’)
7


Mặt khác từ (2) và (3) ta có suy ra MP // (BDC’)
hay (MNP) // (BDC’)
Ví dụ 1.4
Cho hình hộp

DD /

. Gọi

minh:

G1 ,G2

/

/

/

ABCD. A B C D

/

. Gọi

M,N

lần lượt là trung điểm của

lần lượt là trọng tâm của các tứ diện

G1G 2 //( ABB / A / )

/

/

A D MN

và

/

BCC D

/

CD

và

. Chứng

.

Định hướng:
Ở vị dụ này nếu ta dùng phương pháp hình học tổng hợp thì việc vẽ hình để
xác định hai điểm G, G’ là rất rối. Nếu dùng phương pháp vectơ ta chỉ cần
chứng minh:
Lời giải: (Hình 1.4)
Ta có G khơng thuộc (ABB’A’). Đặt :
→

→ →

→ →

→

/
AB =
B a , AD = b , AA = c

G1

là trọng tâm của tứ diện

→

AG1 =

G2

/

A/ D
MN
A

→

B’

C’

N
A’

D’

nên

1 → → →/ →/
( AB + AC + AC + AD )
4
→

→

→

G1G2 = AG2 − AG1 =

Ta có:

D

Hình 1.4

BCC / D /
AG2 =

M

nên

1 →/ →/ → →
( AA + AD + AM + AN )
4

là trọng tâm của tứ diện

C


→
→
→
1 →
( A / B + D / C + MC / + ND / )
4

8

=

1 → → → → 1→ → 1→
1 → →
5 → 1 →
( a − c + a − c + a + c + c ) = (5 a − c ) = AB − AA /
4
2
2
8
8
8

⇒ G G //( ABB / A / )
1 2

3.1.3. Định hướng cho các bài toán về tỉ số các đoạn thẳng cùng phương
Định hướng:
Nếu bài toán cho giả thiết M nằm trêm đoạn AB và thì ta có thể biến đổi sang
ngơn ngữ véc tơ như sau: để áp dụng vào giải bài tốn.
Nếu bài tốn chứng minh tỷ số thì ta có thể chứng minh theo đẳng thức
véctơ .
Tương tự đối với hệ thức chứa nhiều tỷ lệ của các đoạn thẳng khác nhau.
Ví dụ 1.5
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. B’, D’ lần
lượt là trung điểm của SB, SD. Mặt phẳng (A’BD) cắt SC tại C’.
Chứng minh rằng SC = 3SC’.
Định hướng: Ở bài này ta phải chứng minh hay chứng minh
Lời giải: (Hình 1.5)
S

Đặt
Đặt , ta chứng minh
hay
Thật vậy :

C’
D’
B’

Và
C

D

Theo giả thiết A, B’, C, D’ đồng phẳng. Khi đó tồn tại bộ ba số ,
thỏa mãn:
B

A

Kết hợp ta có (đpcm)

Hình 1.5
S

Ví dụ 1.6
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt
phẳng (P) bất kì cắt SA, SB, SC, SD theo thứ tự tại K, L, M, N. M
Chứng minh
rằng: .

Định hướng:
Đặt

N
K

(P)

L

D

C

Ta cần chứng minh
A

B
Hình 1.6

9


Hay chứng minh:
Trong đó
Lời giải: (Hình 2.16)
Đặt
Ta có
Theo giả thiết K, L, M, N đồng phẳng nên tồn tại bộ ba số ,
thỏa mãn:

Kết hợp ta được .(điều phải chứng minh)
3.2. Các cách định hướng về lượng giải các dạng tốn tiêu biểu về lượng,
quan hệ vng góc
3.2.1 Chứng minh vng góc
Để chứng minh hai đường thẳng a, b lần lượt có các véctơ chỉ phương

ta

có các cách sau:
Cách 1: = 0
Cách 2: :
Thật vậy

Ví dụ 2.1
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Chứng minh rằng AC’ BD
A

Định hướng:
Ta có thể giải bài tốn sau theo

D

B

C

cách 1 và cách 2 đã trình bày ở trên.
Lời giải: (Hình 2.1)

A’

D’

Cách 1: Đặt
D’

Hình 2.1

C’

10


Ta có:
=a
,

Cách 2: Ta có

Suy ra B, D nằm trên mặt phẳng vng góc với đường thẳng AC’.
Hay

Ví dụ 2.2
Cho hình chóp
SBC

S. ABC

H,K

có. Gọi

lần lượt là trực tâm các tam giác

ABC

và

S

. Chứng minh .

Định hướng: (Hình 2.2 )
Để chứng minh
Ta chứng minh:
hay

K

A

C
H
B

Lời giải: Ta có

Hình 2.2

Từ (1) và (2) suy ra
11


3.2.2. Định hướng bài tốn tính khảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau
Cho hai đường thẳng a và b có đoạn vng góc chung AB. Khi đó độ dài
đường vng góc chung là khoảng cách giữa hai đường thẳng.
Trong trường hợp dựng đường vng góc chung gặp khó khăn thì bài tốn
hình học tổng hợp sang ngơn ngữ véctơ như sau: ta chuyển sang ngôn ngữ vectơ
nhờ phép chuyển ngôn ngữ từ tính độ dài AB bằng AB
Ví dụ 2.3
Cho hình chóp tứ giác đều
là điểm đối xứng của

D

S. ABCD

qua trung điểm của

BC

AE

và
. Tính khoảng cách giữa
Định hướng:

MN

ABCD

có đáy

và

SA M , N

.

AC

là hình vng cạnh

a E
.

lần lượt là trung điểm của

.

Lời giải: (Hình 2,3)
→

Đặt

→ →

→ →

→

OA = a , OB = b , OS = c

→ →

. Ta có :

→ →

→ →

a . c = 0, b . c = 0, a . b = 0

1 → → 1 →
SD + AC + CB
MN = MA+ AC + CN = 2
2

→

=


→


→


→

1 → → → 1 → →
( SO + OD) + AC + (CO + OB )
2
2

S
E

3→ 1→
= − a− c
2
2
→

M

I

→

AC = −2 a

D

A

PQ

Gọi
của

là đường vng góc chung
MN

và

AC

, ta có:

O

B

D
N
Hình 2.3

12


→

→

→

→

→

PQ = PM + MA + AQ = x MN +

→
1 →
SD + y AO
2

→
3→ 1→ 1 → →
= x(− a − c ) + (− c − b ) − y a
2
2
2

= −( y +

→ 1→
3 → 1
x ) a − ( x + 1) c − b
2
2
2

→2
3
3 →2 1

 → →
(
y
+
x
)
a
+
(
x
+
1
)
c =0
 x = −1

 PQ. MN = 0
2

2
4
⇒
⇒
 → →
3
2
y=
 PQ . AC = 0
 2( y + 3 x ) →


a =0
2



2


→
1→
1
a2
a 2
⇒ PQ = − b ⇒ PQ 2 = OB 2 =
⇒ PQ =
2
4
8
4

Chú ý: Tương tự bài tốn tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau,
bài tốn tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta có thể định hướng
như sau:
Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P). Độ dài AH là khoảng cách từ
A đến (P). Chuyển sang ngơn ngữ véc tơ ta tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(P) bằng cách tính AH như sau: AH
Ví dụ 2.4:
Cho hình chóp
AD = 2a

. Cạnh bên

vng góc của
Định hướng:

A

S. ABCD
SA

lên

có đáy là hình thang,

vng góc với đáy và

SB

. Tính khoảng cách từ

∧
∧
ABC = BAD = 90 0 , BA = BC = a

SA = a 2

H

. Gọi

H

,

là hình chiếu

(SCD)

đến mặt phẳng

.

Gọi I là hình chiếu của H lên mặt phẳng (SCD). Ta có

13


Để tìm độ dài HI thì trước hết ta biểu diễn các đẳng thức (1), (2), (3), qua
các véc tơ cơ sở . Sau đó biểu diễn qua các véc tơ . Cuối cùng bình phương vơ
hướng và suy ra khoảng cách cần tìm.
S

Lời giải: (Hình 2.4)
→

Đặt

→ →

→ →

→

AB = a , AD = b , AS = c
→ →

Ta có:
→

→ →

→ →

a . c = 0, b . c = 0, a . b = 0

H
D

A

→

→ →

→

SB = a − c , SC = a +

1 → → → → →
b − c , SD = b − c

2

B

C
Hình 2.4

Gọi

I

là hình chiếu vng góc hạ từ

Lên mặt phẳng

H

( SCD) ⇒ d ( H ; ( SCD)) = HI

Khi đó :
→

→

→

HI = HS + SI

=−

→
→
2 → → →
2 → x
2
SB + x SC + y SD = ( x − ) a + ( + y ) b + ( − x − y ) c
3
3
2
3

→2
→2

2 →2 1 x
2
5

 → →
(
x
−
)
a
+
(
+
y
)
b

−
(
−
x
−
y
)
c =0
x=


 HI . SC = 0


3
2 2
3
6
⇒
⇒
 → →

2
2
→
→
 HI . SD = 0
( x + y ) b − ( 2 − x − y ) c = 0
y = − 1




3

3
 2

→

HI =

1→ 1 → 1→
1 → 1→ → 2 a
a + b + c ⇒ HI =
(a + b + c ) =
6
12
6
6
2
3

3.2.3: Định hướng các bài tốn về góc
*) Gọi là góc giữa hai đường thẳng a và b,
α

→

→

lần lượt là hai vec tơ chỉ

u1 ,u 2

phương của a,b. Khi đó:
→

→

cos α = cos(u1 , u 2 ) =

→

→

→

→

u1 . u 2
u1 . u 2

14


*) Gọi

α

là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).

Định hướng 1: Ta xác định hình chiếu a’ của a lên mặt phẳng (P). Góc giữa
đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa hai đường thẳng a và a’.
→

Định hướng 2: Ta xác định
đường thẳng a và a’.

→

u1 ,u 2 lần lượt là hai vec tơ chỉ phương của hai

→

→

cos α = cos(u1 , u 2 ) =

→

→

→

→

u1 . u 2
u1 . u 2

*) Gọi

α

Khi đó:
là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). ta xác định

→

→

lần lượt là

u1 ,u 2

hai véc tơ nằm trên hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng (P) và (Q). .
Khi đó:
→

→

cos α = cos(u1 , u 2 ) =

→

→

→

→

u1 . u 2
u1 . u 2

Ví dụ 2.4
Cho hình chóp

SA ⊥ (ABC )

. Gọi

đường thẳng

SM

S. ABC

AN

.
4 2

lần lượt là trung điểm của

M,N

và

có đáy là tam giác đều cạnh bằng

AB, BC

SA = 2

và

. Tính góc giữa hai

.

Lời giải: (Hình 2.5)
Đặt :
→

→ →

→ →

→

AB = a , AC = b , AS = c

Ta có:

→ →

→ →

→ →

a . c = 0, b . c = 0, a . b = 16

15


→

→

→

→

SM = SA + AM = − c +

1
AN = ( a + b )
2

→

→

→

và

→ 1→
1→
a ⇒ SM = (− c + a ) 2 = 2 3
2

2

c

AN = 2 6

Gọi

α

C

b
A

→

là góc giữa hai đường thẳng

SM

và

AN

N
a

1→ 1 → →
1 →2 1 → →

SM . AN = (− c + a ). ( a + b ) = a + a . b = 12
2
2
4
4
→ →

S

M
B

Hình 2.5

, thì

→ →

→ →

cos α = cos(SM , AN ) =

SM . AN

→ →

SM . AN

=

12
2 3.2 6

=

1
2

⇒ α = 450

3.2.4 Định hướng về bài tốn quỹ tích
Đối với bài tốn tìm quỹ tích thõa mãn điều kiện nào đó của bài tốn ta có
thể chuyển tốn ta có thể chuyển sang ngơ ngữ véc tơ các quỹ tích theo ngơn
ngữ véc tơ cơ bản sau:
Tập hợp điểm M sao cho: , trong đó A cố định, cho trước và là tham số là
đường thẳng qua A với véc tơ chỉ phương .
Tập hợp điểm M sao cho: là đoạn thẳng AB (O là điểm bất kỳ ).
Tập hợp điểm M thỏa mãn là đường thẳng vng góc với AB tại A (đối với
bài tốn trong mặt phẳng), là mặt phẳng vng góc với AB tại A (đối với bài
tốn trong khơng gian).
Tập hợp điểm M thỏa mãn với O là điểm cố định và R dương khơng đổi là
đường trịn tâm O bán kính R (đối với bài toán trong mặt phẳng), là mặt cầu tâm
O bán kính R (đối với bài tốn trong không gian).
Tập hợp điểm M thõa mãn , với A,B cố định là đường trung trực của đoạn
thẳng AB (nếu là bài toán trong mặt phẳng), là mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng AB (nếu là bài tốn trong khơng gian).
Ví dụ 2.6
16

Cho hình chóp đều S.ABCD. Tìm tập hợp điểm M trong khơng gian thỏa
mãn:
Định hướng:
Đối với bài tốn này ta thấy từ tổng các véc tơ cho ta liên tưởng đến trọng tâm
của hệ 5 điểm A, B, C, D, S. Tìm được điểm này thì từ hệ thức của bài tốn ta có
thể suy ra được tập hợp của điểm M.
S

Lời giải : (Hình 2.6)
Gọi O là tâm hình vng ABCD.
Ta có
Suy ra
A

G

B

Vì

D
O

C

Hình 2.6

hay G cố định thuộc đoạn OS sao cho . Vậy
Suy ra
Vậy tập hợp điểm M là mặt cầu tâm G bán kính bằng

.

3.3. Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi

G1 , G2 , G3

ABC, ACD, ABD. Chứng minh rằng :
Bài 2: Cho hình chóp
. Cạnh bên

SB = a

( BED) ⊥ ( BFD)

, gọi

S. ABCD

lần lượt là trọng tâm các tam giác

(G1G2 G3 )

// (BCD).

có đáy là hình thoi cạnh a tâm O,

E, F

SA, SC

lần lượt là trung điểm của

SO ⊥ (ABCD)

. Chứng minh

.

17


Bài 3: Cho hình chóp tứ giác
và D,

( AB < CD, BD ⊥ BC )

S. ABCD

có đáy

ABCD

là hình thang vng tại A

AB = AD = a SD ⊥ ( ABCD) SD = a 2
,
,
,.

. Gọi I là
(SAB)

trung điểm của CD. Tính cosin của góc hợp bởi hai mặt phẳng
Bài 4: Cho tứ diện
ABC

vuông tại

AM = CN = t

A

,

S. ABC

, cã

SC = CA = AB = a 2

M

các điểm

thuộc

SA

và

,
N

và

SC ⊥ (ABC )

thuộc

(SBI )

.

. Tam giác

BC

sao cho

.

Tính độ dài đoạn thẳng

MN

theo

Bài 5: Cho hình lập phương
cách giữa hai đường thẳng

a

A/ B

và

t

.

ABCD. A / B / C / D /

và

B/D

có cạnh bằng a. Tính khoảng

.

4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường
Đối chiếu với mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu trong quá trình thực hiện đề
tài ''Hướng dẫn học sinh phát hiện đúng hướng giải các bài tốn hình học
không gian bằng phương pháp véctơ’’. Tôi đã thu được những kết quả sau:
4.1 Sáng kiến kinh nghiệm đã đưa ra một số dạng tốn cơ bản có mặt trong
chương trình hình học phổ thơng đặc biệt là nêu các cách định hướng có căn cứ
để giúp học sinh có ý thức tìm tịi lời giải theo hướng tăng cường các hoạt động
huy động đúng kiến thức. Định hướng tìm tịi lời giải các bài tốn cụ thể như:

định hướng bài toán chứng minh song song, chứng minh thẳng hàng, chứng
minh đồng quy và định hướng các bài toán về tỷ lệ độ dài.
4.2 Sáng kiến kinh nghiệm đã xây dựng được các hệ thống các tri thức định
hướng điều chỉnh hoạt động giải các bài toán về lượng trong hình học phổ
thơng. Định hướng về lượng giải các dạng toán tiêu biểu về lượng như: định
hướng bài toán chứng minh vng góc, tính góc giữa hai mặt phẳng, định hướng
18


bài tốn tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách từ một
điểm tới một mặt phẳng, định hướng giải các bài tốn cực trị hình học, bất đẳng
thức hình học và định hướng giải bài tốn tìm quỹ.
4.3 Sáng kiến kinh nghiệm đã đưa ra một số ví dụ điển hình và chuỗi các
bài tốn minh họa cho các dạng bài tập và được giảng dạy trực tiếp tại các buổi
ôn khối của 2 lớp 11A, 11G trong năm học 2021-2022. Kết quả đạt được thông
qua bài kiểm tra thử như sau:
Điểm trên 8

Điểm từ 5-7,5
Số
lượng
16

Tỷ lệ

Số
lượng
53,3% 2

Tỷ lệ

20

66,7% 6

14,5%

Năm
học

Lớp

Tổng
số

20212022

11A

30

Số
Tỷ lệ
lượng
12
40%

11G

32

6

18,8
%

Điểm dưới 5

6,7%

4.4 Sáng kiến kinh nghiệm có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho học sinh
phổ thông trung học lớp 11, 12 và các giáo viên tốn các trường trung học phổ
thơng.
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
''Hướng dẫn học sinh phát hiện đúng hướng giải các bài tập hình học
khơng gian bằng phương pháp véc tơ'' giúp học sinh vừa có thêm phương
pháp vừa có thể giải nhanh giải tốn hình học khơng gian, ngồi ra cịn phát
triển thế giới quan, phương pháp luận, phát triển tư duy hình học. Tuy nhiên đây
khơng phải là phương pháp tối ưu cho mọi bài toán vì vậy khi giải tốn hình học
khơng gian học sinh cần lưu ý lựa chon kết hợp các phương pháp khác nhau để
giải bài toán một cách đơn giải nhất.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong việc tìm tịi, nghiên cứu song chắc chắn đề
tài có nhiều thiếu sót và cần bổ sung. Vì vậy tơi rất mong được sự quan tâm góp
ý của các bạn, đồng nghiệp và học sinh. Tôi xin chân thành cảm ơn.
2. Kiến nghị và đề xuất
Đề nghị cần tăng cường hơn nữa hệ thống ví vụ bà bài tập trong sách giáo
khoa và tài liệu tham khảo để học sinh có thể tự học, tự vận dụng phương pháp
vec tơ để giải toán.
19

Nhà trường, tổ chuyên môn cần tổ chức thêm các buổi trao đổi chun mơn,
kinh nghiệm giảng dạy, có phịng chuyên môn đạt chuẩn, lưu lại các sáng kiến
kinh nghiệm hằng năm làm tài liệu cơ sở và phát huy tính sáng tạo, nghiên cứu
chuyên đề của cán bộ giáo viên.
Thanh Hóa, tháng 5 năm 2022
Tơi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm này do tôi
viết không trùng lặp với các sáng kiến kinh nghiêm và
các cơng trình nghiên cứu đã công bố.
Người viết

Tạ Thị Thúy Chinh

20


PHỤ LỤC
Bài kiểm tra : 45 phút (10 câu trắc nghiệm và 2 câu tự luận)
Phần 1 Trắc nghiệm ( 5điểm )
ABCD

Câu 1: Cho tứ diện
ABC , ABD

IJ

. Đường thẳng
A.

CM

trong đó

M

Câu 2: Cho tứ diện
R

nằm trên cạnh

( PQR )
A.

và

AD

.

. Gọi

lần lượt là trọng tâm của các tam giác

song song với đường thẳng:
BD

là trung điểm

ABCD

BC

P Q

.Gọi

,

B.

.

B.

SA = 2SD

AC

.

C.

S

. Gọi

ABCD

.

C.

SA = SD

.

I

là trung điểm đoạn

Tìm giá trị của
k=

A.

1
4

k

MN

và

P

AC

B.

ABCD. M

AB CD

k =2

,

và

A.

Câu 5: Cho hình lập phương
của

AD BB′.

,

.

C.

k =4

k=

.

D.

A.

3
3

.

B.

Câu 6: Cho tứ diện đều
thẳng

AB

và

C.

CD

ABCD

2
3

AB

BC ; AD; MN .

ABCD. A′B′C ′D′
MN

và

của tứ diện

(

N

Cosin của góc hợp bởi

.

uur
uuu
r uuu
r uuur uuur
PI = k PA + PB + PC + PD

AC ; AD; MN .

B.

.

. Điểm

2 SA = 3SD

BD

Câu 4: Cho tứ diện
và theo thứ tự là trung điểm của
ba vectouuunào
dưới đây đồnguuu
phẳng?
r uuur uuur
r uuur uuuu
r
uuur uuur uuuu
r
BC , BD, AD.

CD

là 1 điểm bất kỳ trong khơng gian.

thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:

.

D.

D.

lần lượt là trung điểm của các cạnh

. Gọi

.

là giao điểm của mặt phẳng

M, N

Câu 3: Gọi

DB

lần lượt là trung điểm của

BR = 2RC

sao cho

. Khi đó

SA = 3SD

I, J

CD

1
2

.
.

. Bộ

uuur uuur uuur
AC ; DC ; MA.

D.

. Gọi
AC '

.

có cạnh bằng

và

)

M

,

lần lượt là trung điểm

bằng:
C.

2a

N

5
3

.

D.

2
4

.

. Khoảng cách giữa hai đường

bằng:

21


A.

a 2
.
2

B.

Câu 7: Cho hình chóp

thứ tự là trọng tâm

CN. Khi đó tỉ số
A.

S . ABCD

∆SAB; ∆SCD

SI
CD

1

B.

SB

A.

và

2
−
5

AM

D.

M,N

là hình chữ nhật. Gọi

theo

1
2

.

2
3

C.

S . ABCD
M

D.

2a

có có đáy là hình vng cạnh

là trung điểm

3
2

CD

. Tính

cos α

với

α

.

; cạnh
là góc

.

.

B.

Câu 9: Cho tứ diện
trên đường thẳng

ABCD

a 3.

. Gọi I là giao điểm của các đường thẳng BN và

và vng góc với đáy. Gọi

tạo bởi

k

có đáy

C.

a 2.

bằng:

Câu 8: Cho hình chóp tứ giác
SA = a

a 3
.
2

ABCD. M

CD

mà

1
2

.

C.

là điểm trên đoạn

uuur
uuur
CN = kCD

2
5

AB

uuuu
r uuur uuur
MN , AD, BC

. Nếu

.
và

MB = 2 MA

D.
.

N

4
5

.

là điểm

đồng phẳng thì giá trị của

là:
k=

2
3

k=

3
2

k=

4
3

k=

1
2

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, K là
trung điểm của SC. Mặt phẳng qua AK lần lượt cắt các cạnh SB, SD tại M và N.

khi đó giá trị
1
3

SB SD
+
SM SN

A. .
Phần 2 : Tự luận

bằng:
B.

3

C.

1
2

.

2

D. .

22


Câu 11: Cho hình chóp
SAD

S. ABCD

là hình vng cạnh . Tam giác
a

ABCD

đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi

trung điểm của các cạnh

SB, BC , CD

Câu 12: Cho hình chóp đều

điểm đối xứng của

AE

có đáy

và

BC

D

. Chứng minh:

S. ABCD

có đáy

qua trung điểm của

. Tính khoảng cách giữa

MN

và

SA

AM ⊥ BP

ABCD

.

AC

M , N, P

lần lượt là

.

là hình vng cạnh

M,N

a

.

E

là

lần lượt là trung điểm của

.

Đáp án bài kiểm tra
1

2

3

4

D
B
A
C
Câu 11: Cho hình chóp

S. ABCD

SAD

5

6

B
C
có đáy

ABCD

7

8

SB, BC , CD

Lời giải:
Gọi là trung điểm của
H

10

A
C
A
B
là hình vng cạnh . Tam giác
a

đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi

trung điểm của các cạnh

9

. Chứng minh:

M , N, P

AM ⊥ BP

lần lượt là

.

S

AD

M

⇒ SH ⊥ (ABCD)
c

Đặt:
→

→ →

→ →

→

HA = a , HN = b , HS = c

Ta cã:

→ →

→ →

→ →

a . c = 0, b . c = 0, a . b = 0

a
H
D

A

B
b
P

N
C

→
1 → → 1 → → →
AM = ( AS + AB ) = ( b + c − a )
2
2

23


→ →
→ 1→
BP = BC + CP = −2 a − b
2

→

→ →
→2
1 →2
1
⇒ AM . BP = a − b = HA2 − AB 2 = 0
4
4

⇒ AM ⊥ BP

Câu 12: Cho hình chóp đều

điểm đối xứng của

AE

và

BC

D

S. ABCD

có đáy

qua trung điểm của

. Tính khoảng cách giữa

MN

Đặt :

ABCD

là hình vuông cạnh .

.

SA M , N

và

AC

a E

lần lượt là trung điểm của

.

S

E
→

→ →

→ →

là

→

OA = a , OB = b , OS = c

Ta cã :

→ →

→ →

M

→ →

a . c = 0, b . c = 0, a . b = 0


→


→


→



→

MN = MA+ AC + CN =

=

→

3→ 1→
= − a− c
2
2

Gọi

AC
→

1 → → 1 →
SD + AC + CB
2
2

PQ

,

→

→

→

c

A

D

a
B

1
1
( SO + OD) + AC + ( CO + OB )
2
2
→

P

→

b O
N

C

→

AC = −2 a

là đoạn vng góc chung

MN

và

, ta có :
→

→

→

→

PQ = PM + MA + AQ = x MN +

1 → →
SD + y AO
2

→
3→ 1→ 1 → →
= x(− a − c ) + (− c − b ) − y a
2
2
2

24


= −( y +

→ 1→
3 → 1
x) a − ( x + 1) c − b
2
2
2

→2
3
3 →2 1
 → →
 ( y + x) a + ( x + 1) c = 0  x = −1
 PQ. MN = 0
2
2
4
⇒
⇒
 → →
3
2
y=
 PQ . AC = 0 2( y + 3 x) →

a =0

2



2

→
1→
1
a2
a 2
⇒ PQ = − b ⇒ PQ 2 = OB 2 =
⇒ PQ =
2
4
8
4

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. G.Polya (1997), Giải bài toán như thế nào ? NXB Giáo Dục.
2. Đoàn Quỳnh – Văn Như Cương – Phạm Vũ Khuê – Bùi Văn Nghị (2006),
Hình học 11 nâng cao, NXB Giáo Dục.
3. Đoàn Quỳnh – Văn Như Cương – Phạm Vũ Khuê – Bùi Văn Nghị (2006), Bài
tập Hình học 10 nâng cao, NXB Giáo Dục.
4. Đoàn Quỳnh – Văn Như Cương – Phạm Vũ Khuê – Bùi Văn Nghị (2006), Bài
tập Hình học 11 nâng cao, NXB Giáo Dục.
5. Đào Tam, Trần Trung (2010), Tổ chức hoạt động dạy học mơn tốn ở trường
trung học phổ thông, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội.
6. Đào Tam (2007), Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học phổ
thông NXB Đại học Sư phạm Hà Nội.

25