(SKKN 2022) giúp học sinh lớp 8 phát hiện phương pháp phân tích đa thức thành phân tử nhằm nâng cao năng lực giải toán ở trường THCS đông văn

MỤC LỤC
STT

Nội dung

Trang

1

Phần I. Mở đầu

2

2

I. Lí do chọn đề tài

2

3

II. Mục đích nghiên cứu

3

4

III. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

3

5

IV. Phương pháp nghiên cứu

3

6

Phần II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

4

7

I. Cơ sở lí luận

4

8

II.Thực trạng vấn đề nghiên cứu

4

9

III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

5

10

IV.Hiệu quả do sáng kiến kinh nghiệm mang lại

15

11

Phần III. Kết luận, kiến nghị

17


2

PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
1. Cơ sở lí luận
Trong giai đoạn hiện nay, khi mà khoa học, kinh tế, công nghệ thông tin
trên thế giới đang phát triển mạnh mẽ, nước ta vẫn đang chú trọng tìm kiếm
nhân tài thì thế hệ trẻ, các em học sinh càng phải nổ lực nhiều trong trong việc
tìm kiếm kiến thức, học thật tốt để bổ sung nhân tài cho đất nước.
Mơn Tốn ở THCS có một vai trị rất quan trọng, một mặt nó phát triển hệ
thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở
bậc tiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái
độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào các
lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về Tốn học.
Chương trình Tốn THCS khẳng định q trình dạy học là quá trình giáo
viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng. Mặt
khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho

học sinh những kiến thức cơ bản, tìm tịi đủ cách để phát huy tính tích cực của
học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ.
Trong chương trình Đại số lớp 8, Phân tích đa thức thành nhân tử là một
phần quan trọng cả về mặt kiến thức lẫn kĩ năng thực hiện đối với học sinh. Nó
có thể được coi là nội dung nịng cốt của chương trình. Kĩ năng phân tích đa
thức thành nhân tử là một kĩ năng cơ bản quan trọng, nếu nắm vững và thành
thạo kĩ năng này thì học sinh có khả năng giải quyết nhiều vấn đề tốn học có
liên quan sau này.
2. Cơ sở thực tế
Xuất phát từ thực tế giảng dạy ở Trường THCS Đông Văn, qua việc theo
dõi kết quả bài thực hành, bài kiểm tra của học sinh lớp 8, tôi thấy để làm đúng
kết quả của bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử là vấn đề nan giải đối với
đa số học sinh. Tình trạng chung là lúng túng, mơ hồ, không biết phương pháp
để giải quyết vấn đề đặt ra. Ngồi ra cịn mắc những sai lầm khi phân tích, đặc
biệt là đối với học sinh trung bình, học sinh yếu; từ đó các em cũng gặp khơng ít
khó khăn trong việc giải những bài tốn ứng dụng có liên quan; dẫn đến hiện
tượng chán nản, ngại khó. Ngược lại, đối với số ít học sinh khá, giỏi thì giải bài
tốn phân tích đa thức thành nhân tử làm cho các em hết sức thích thú và khơng
kém phần say mê.
Trước tình hình thực tế đó, tơi thấy việc cần thiết là phải định hướng
phương pháp giải cụ thể, rèn các kĩ năng biến đổi để bổ trợ cho việc vận dụng
kiến thức vào giải các dạng bài tập liên quan. Ngoài ra, nhằm tạo nền tảng cho


3

học sinh có ý thức tự học và tìm tịi sáng tạo trong q trình học tập nên bản
thân tơi đã chọn SKKN:“Giúp học sinh lớp 8 phát hiện phương pháp phân tích
đa thức thành nhân tử nhằm nâng cao năng lực giải tốn ở trường THCS
Đơng Văn, Đơng Sơn, Thanh Hóa”.

II. Mục đích nghiên cứu
Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài toán phân tích
đa thức thành nhân tử cho các em học sinh lớp 8A trường THCS Đơng Văn. Từ
đó các em có thể tự tin làm tốt các bài toán vận dụng phân tích đa thức thành
nhân tửtrong các kỳ thi học sinh Giỏi, tuyển sinh vào các trường PTTH, PTTH
chuyên...
Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, khơng chỉ
bài tốn phân tích đa thức thành nhân tửmà cả các dạng toán khác.
III. Đối tượng nghiên cứu, khảo sát thực nghiệm
Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 8A trường THCS Đông Văn.
IV. Phương pháp nghiên cứu
Căn cứ vào mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu, tơi sử dụng các phương
pháp nghiên cứu sau:
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu:
- Phương pháp phỏng vấn, điều tra:
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm:


4

PHẦN II: NỘI DUNG SKKN
I. Cơ sở lý luận
Mục tiêu của giáo dục THCS “Giúp học sinh củng cố và phát triển những
kết quả của giáo dục tiểu học, có trình độ học vấn THCS và những hiểu biết ban
đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động”.
Để khắc phục mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS mới được thiết
kế theo hướng giảm tính lý thuyết hàn lâm, tăng tính thực tiễn, thực hành bảo
đảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học trên lớp, tăng thời gian tự học và hoạt
động ngoại khóa.
Trong chương trình lớp 8, học sinh được học 4 tiết về phân tích đa thức

thành nhân tử;2tiết luyện tập học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết
vừa học.
Theo chương trình trên, học sinh được học các phương pháp phân tích đa
thức thành nhân tử nhưng khơng có nhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng
của phân tích đa thức thành nhân tử nên các em nắm và vận dụng các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tửchưa linh hoạt. Là giáo viên tôi nghĩ cần
phải bồi dưỡng và hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần này để tìm ra
các phương pháp giải phù hợp với từng ứng dụng bài tập.
II. Tình hình thực tế
1. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN
Nhiều năm công tác tại Trường THCS đặc biệt đối với trường nằm trên
địa bàn nông thôn, điều kiện học tập chưa đầy đủ, nhiều em khơng có thời gian
học ở nhà, nhiều gia đình chưa quan tâm đến việc học của con em, vấn đề xã hội
hoá giáo dục chưa ngang tầm với giai đoạn hiện nay. Nên chất lượng học tập
vẫn chưa được cao, số học sinh bị hổng kiến thức còn nhiều, nhiều em cịn có
tâm lý sợ mơn tốn học. Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mức
đến việc học tập của con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự
học tập ở nhà. Các bài tốn về phân tích đa thức thành nhân tửvà ứng dụng rất
quan trọng như đã nêu phần trước, song qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi
thấy với học sinh đại trà các em còn lười làm bài tập. Cũng như qua việc theo
dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của HS thì đa số HS chưa nắm chắc phương
pháp giải, chưa vận dụng biến đổi một cách linh hoạt sáng tạo vào từng bài cụ
thể dẫn đến việc áp dụng vào các dạng tốn khác cịn gặp nhiều khó khăn, lúng
túng.
2. Kết quả của thực trạng
Từ thực trạng trên chất lượng học qua bài kiểm tra 15 phút học kỳ II, năm
học 2020-2021 như sau:


5

STT

Lớp

Sĩ
số

1

8A

32

Giỏi
SL %
1
3,1

Khá
SL
%
7 21,9

Kết quả
TB
SL
%
21 65,7

Yếu
SL
%
2
6,2

kém
SL %
1 3,1

III. Giải pháp và tổ chức thực hiện
1. Các giải pháp thực hiện
1.1 Giải pháp mới của SKKN
* SKKN đưa ra giải pháp mới như sau:
- Định hướng phương pháp cụ thể cách phân tích của 3 phương pháp: Đặt
nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử. Xây dựng trình tự chi tiết
các bước của mỗi phương pháp phân tích.
- Phát triển tư duy cho học sinh thông qua hai phương pháp phân tích mới:
Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác và phương pháp thêm
và bớt cùng một hạng tử.
a) Củng cố kiến thức cơ bản cho học sinh
- Giáo viên cho học sinh tiếp cận các phương pháp:
Đặt nhân tử; dùng hằng đẳng thức; nhóm nhiều hạng tử.
- Giáo viên chỉ ra phương pháp chung cho mỗi dạng, hướng dẫn chi tiết
theo các bước cho học sinh và lưu ý thứ tự ưu tiên khi vận dụng ba phương pháp
trên. Sau đó cho học sinh tự trình bày các bài tập tương tự với mức độ nâng dần
nhằm cho học sinh thấy được các sai lầm thường gặp, đồng thời giáo viên chữa
cácsai sót cho học sinh trong q trình giải.
- Khai thác bài tốn ở mức độ đơn giản.
b) Vận dụng và phát triển kỹ năng cho học sinh

- Giáo viên cho học sinh tiếp cận phương pháp: Phối hợp nhiều phương
pháp (Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử)
- Trên cơ sở là các phương pháp đã học, đối với dạng phối hợp nhiều
phương pháp giáo viên chỉ hướng dẫn tổng quát, cho học sinh tự thực hành là
chủ yếu. Từ đóchữa các sai lầm thường gặp cho học sinh.
- Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành.
(Đặc biệt là kĩ năng lấy dấu ngoặc, bỏ dấu ngoặc trong đa thức)
- Tìm tịi những cách giải hay, khai thác bài toán dành cho các học sinh
khá giỏi.


6

- Đối với phương pháp này, giáo viên phân loại bài tập theo mức độ khác
nhau của học sinh để học sinh thực hiện đạt yêu cầu. Phân nhóm học tập phù
hợp để hướng dẫn chi tiết cho đối tượng yếu kém; rèn kĩ năng thực hành cho đối
tượng trung bình; rèn tính logic, phát huy tính sáng tạo cho đối tượng khá giỏi.
c) Phát triển tư duy cho học sinh
- Giáo viên cho học sinh tiếp cận với các phương pháp:
+ Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác
+ Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử.
- Đây là hai phương pháp tương đối khó nên giáo viên chỉ áp dụng cho đối
tượng học sinh khá, giỏi. Với đối tượng học sinh trung bình trở xuống, giáo viên
chỉ giới thiệu phương pháp chung, ví dụ nêu ra được hướng dẫn chi tiết hướng
giải để học sinh rèn kĩ năng thực hiện các phương pháp cơ bản đã học.
1.2. Biện pháp tiến hành
1.2.1. Củng cố kiến thức cơ bản qua các phương pháp cơ bản
* Phương pháp đặt nhân tử chung
a) Phương pháp chung
- Bước 1: Tìm nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức.

+ Tìm hệ số của nhân tử chung: ƯCLN của các hệ số nguyên dương
+ Tìm phần nhân tử chứa biến (nếu có) của nhân tử chung: Biến có mặt
trong tất cả các hạng tử, với số mũ nhỏ nhất.
-Bước 2: Tìm các hạng tử trong ngoặc bằng cách phân tích các hạng tử
của đa thức thành tích của nhân tử chung với một nhân tử khác rồi sử dụng tích
chất: A.B + A.C + …+ A.E = A.(B + C +…+ E) để phân tích đa thức ban đầu
thành nhân tử.
 Chú ý:Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử ta cần đổi dấu các hạng tử.
b) Các ví dụ
Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử. (BT39c - SGK-tr19)
* Giáo viên gợi ý: Các hạng tử của đa thức có nhân tử chung khơng? Hãy
tìm nhân tử chung của chúng.
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 28 trong các hạng tử trên?
(Đáp án: 7, vì ƯCLN(14, 21, 28) = 7)
- Tìm nhân tử chung chứa các biến x2 y, xy2, x2y2?(Đáp án: xy)
- Tìm nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho?(Đáp án: 7xy)
- Tìm các hạng tử trong ngoặc bằng cách phân tích các hạng tử của đa
thức thành tích của nhân tử chung với một nhân tử.


7

Ví dụ 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử. (BT-39e SGK-tr19)
* Giáo viên gợi ý
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 (Đáp án: 2)
- Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x)
(Đáp án: (x – y) hoặc (y – x))
- Hãy thực hiện đổi dấu tích 10x(x – y) hoặc tích – 8y(y – x) để có nhân
tử chung (y – x) hoặc (x – y)
Cách 1: Đổi dấu tích - 8y(y - x) = 8y(x – y)

Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x - y) = -10x(y - x) (Hs tự giải)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử
(Cho HS tự giải)
c) Nhận xét:Quaví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:
- Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử (tìm nhân tử chung của các hệ
số và nhân tử chung của các biến, mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất).
- Lưu ý quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích.
 Chú ý:Tích khơng đổi khi ta đổi dấu hai nhân tử trong tích đó (một
cách tổng qt, tích khơng đổi khi ta đổi dấu một số chẵn nhân tử trong tích đó).
d) Vận dụng (mức độ tăng dần)
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử
chung
a) 5x – 20yb) 5x(x - 1) - 3x(x – 1)c) x2(x + 1) – x (x + 1)
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử
chung
a) 6xy – 30y b) 5x (x – 2y) + 2 (2y – x)
c) x(x + y) – (2x + 2y) d) 7x(x – 2)2 – (2 – x)3
e) Các bài tập tương tự:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 2x + 6y

b) 5x2y + 20xy2

c) x2y3 –

1 4 8
x y d) a2b4 + a3b – abc
2

e) 5x (x – 11) – 10y(x – 11) f) x (2x – 1) – xy(1 – 2x)g) x3 – 4x2 + x
f) x2y2z – 6x3y – 8x4z2 – 9x5y5z5h) 7x(y – 4)2 – (4 – y)

i) x2 – x + 1 + 7x (x2 – x + 1)
m) 5x5 (y3 + 3y – 13) – 4y (y3 + 3y – 13) – 2x(y3+ 3y – 13).
* Phương pháp hằng đẳng thức
a) Phương pháp chung:Học sinh cầnphải nắm vững bảy hằng đẳng thức
1. Bình phương của một tổng: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
2. Bình phương của một hiệu: (A – B)2 = A2 – 2AB + B2
3. Hiệu hai bình phương:
A2 – B2 = (A – B)(A + B)


8

4. Lập phương của một tổng: (A + B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
5. Lập phương của một hiệu: (A – B)3 = A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3
6. Tổng hai lập phương:
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7. Hiệu hai lập phương:
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
* Phương pháp
Bước 1: - Nhận dạng dạng tổng của hằng đẳng thức có thể phân tích qua
số mũ các hạng tử trong đa thức.
- Nhận dạng dạng tổng của hằng đẳng thức được có thể thơng qua số hạng
tử, và các hệ số của các hạng tử đó.
(Vấn đề này Giáo viên cho học sinh nhận dạng ngay trong tiết học lí
thuyết.)
Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức đã nhận dạng để phân tích đa thức thành
nhân tử.
* Lưu ý: Có thể cần thay đổi vị trí của các hạng tử để nhận dạng hằng
đẳng thức dễ dàng hơn.
b) Ví dụ :Ví dụ 4: Phân tích đa thức x2 – 6x + 9 thành nhân tử

* Giáo viên gợi ý
- Đa thức x2 – 6x + 9 có dạng tổng của hằng đẳng thức nào?
- Biến đổi đa thức để xác định A, B
Ví dụ 5: Phân tích đa thức 8x3 – y3 thành nhân tử (Cho Hs giải)
* Giáo viên gợi ý
- Đa thức trên có dạng tổng của hằng đẳng thức nào? (Đáp án: A3 – B3)
* Lời giải sai: 8x3 – y3 = 2x3 – y 3 = (2x – y)(2x2 + 2x . y + y2)
* Sai lầm của học sinh: Thực hiện thiếu dấu ngoặc
* Lời giải đúng: 8x3 – y3 = (2x)3 – y 3 = (2x – y)[ (2x)2 + 2x . y + y2]
Ví dụ 6: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x– y)2 thành nhân tử bằng phương
pháp dùng hằng đẳng thức. (BT- 28a- SBT-Tr 9) (cho Hs giải)
* Giáo viên gợi ý
- Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào? (Đáp án: A2 – B2)
* Khai thác bài toán: (Đối với học sinh khá giỏi)
- Với ví dụ 6, nếu thay “bình phương” bởi “lập phương” ta có bài tốn:
Phân tích (x + y)3 – (x – y)3 thành nhân tử (BT- 44b-SGK-tr20)
- Với ví dụ 6, nếu đặt x + y = a, x –y = b, thay mũ “3” bởi mũ “6” ta có
bài tốn: Phân tích a6 – b6 thành nhân tử (BT-26c-SBT-tr9)
c) Nhận xét:Giáo viên cho học sinh thấy được:
- Các sai lầm dễ mắc phải:
+ Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc và quy tắc dấu


9

+ Cho học sinh thấy được sự giống nhau và khác nhau của các dạng như
hiệu hai bình phương và tổng hai bình phương, tổng hai lập phương và hiệu hai
lập phương để tránh nhầm lẫn.
- Rèn kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán, dựa vào các hạng
tử, số mũ của các hạng tử mà sử dụng hằng đẳng thức cho thích hợp.

d) Vận dụng
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2 – 9b) 4x2 – 25c) x4 – y4
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 9x2 + 6xy +y2b) x2 + 4y2 + 4xyc) (3x + 1)2 – (x+1)2
e) Các bài tập tương tự
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2 + 10x + 25 b) x2 + 14x + 49 c) 16x2 + 24xy +9y2
d) (x2 + 2x)2 + 2(x2 + 2x) + 1 e) 6x - 9 – x2f) x3 + y3+ z3- 3xyz.
* Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
a) Phương pháp chung
Đặc điểm của phương pháp nhóm hạng tử là đa thức phải có từ 4 hạng tử
trở lên. Dùng các tính chất : giao hốn, kết hợp của phép cộng các đa thức ta lựa
chọn các hạng tử thích hợp để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện một trong hai
dạng sau: hoặc là đặt nhân tử chung, hoặc là dùng hằng đẳng thức.
Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau:
- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài tốn.
- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:
+ Mỗi nhóm đều phân tích được.
+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì q trình phân
tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa.
* Phương pháp chung
- Bước 1: Phát hiện nhân tử chung hoặchằng đẳng thức trong đa thức
- Bước 2: Nhóm các hạng tử đã phát hiện lại để áp dụng phương pháp
hằng đẳng thức và nhân tử chung cho từng nhóm.
- Bước 3: Đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức cho toàn đa thức
để phân tích đa thức thành nhân tử.
* Chú ý: Đôi khi ta phải khai triển (bỏ ngoặc) rồi chọn (sắp xếp) các hạng
tử để nhóm hợp lí.
b) Ví dụ

* Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung


10

Ví dụ 7: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử. (Bài tập 47a –
SGK - tr22)
* Giáo viên gợi ý:
Cách 1: Nhóm (x2 – xy) và (x – y)Cách 2: Nhóm (x2 + x) và (– xy – y)
* Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức
Ví dụ 8: Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhân tử
* Giáo viên gợi ý: Đa thức trên có bao nhiêu hạng tử? Các hạng tử của
đa thức có nhân tử chung khơng? Em có nhận xét gì về các hạng tử trong đa
thức? Nhóm các hạng tử nào với nhau?
* Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp: Đặt nhân tử chung và dùng
hằng đẳng thức
Ví dụ 9: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử.
* Gợi ý: Đa thức trên có bao nhiêu hạng tử? Các hạng tử của đa thức có
nhân tử chung khơng? Em có nhận xét gì về các hạng tử trong đa thức? Nhóm
các hạng tử nào với nhau? Nhóm hạng tử 1 và hạng tử 3, nhóm hạng tử 2 và
hạng tử 4.
c) Nhận xét:Qua các ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:
- Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu trừ “–” hoặc dấu cộng “+” ở trước
dấu ngoặc.
- Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh
cần chú ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm.
Lưu ý:Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì q trình
phân tích thành nhân tử khơng thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai, phải
thực hiện lại.
d) Vận dụng

Bài 1: Phân tích thành nhân tử
a) x2 – x – y2 – yb) x2 - 2xy + y2 – z2
c) 5x – 5y + ax – ayd) 2x2 + 4x + xy +2y
Bài 2: Phân tích thành nhân tử
a) x6 – x4 + 2x3 + 2x2 b) x3 – x2 – 5x + 125
c) a3 – a2x - ay + x d) x2- 2xy - 4z2 + y2
e) Các bài tập tương tự:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a(x – y) + bx – by b) x2 + xy – 7x – 7y
c) ac + bc + a + b
2
2
d) x + 2xy + y – 4 e) – 5ax – 7a + 7x f) 1 – y3 + 6xy2 – 12x2y + 8x3
h) 7z2 – 7yz – 4z + 4y i) b2c + bc2 + ac2 – a2 c – ab (a + b)
k) x3 + 3x2 + 3x + 9 q) x3 + 2x2 – 6x – 27 g) 12x3 + 4x2 – 27x – 9
m) 2a2b + 4ab2 – a2c – 2abc + ac2 + 2bc2 – 4b2c – 2abc


11

n) ax – 34bx – 15a + 17b p) x3 – x2y- x2z – xyz
1.2.2. Vận dụng và phát triển kĩ năng qua phương pháp: Phối hợp các
phương pháp thông thường
a) Phương pháp chung
Phối hợp nhiều phương pháp là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương
pháp:đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử. Vì vậy
phương pháp này sẽ khó khăn đối với học sinh yếu kém, trung bình. Khi tiếp
xúc bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử mà đề bài chưa nêu phương pháp
cụ thể, thì tình trạng chung là lúng túng, bế tắc trong khâu chọn phương pháp,
không biết sử dụng phương pháp nào trước, một số khác thì cũng phân tích được
nhưng chưa triệt để. Vì vậy tơi cho học sinh nhận xét bài toán một cách cụ thể,

xem mối quan hệ của các hạng tử để tìm hướng giải thích hợp.
* Phương pháp:Giáo viên cho học sinh xét lần lượt từng phương pháp:
Đặt nhân tử; dùng hằng đẳng thức; nhóm nhiều hạng tử.
- Bước 1: Đầu tiên hãy xét xem các hạng tử có xuất hiện nhân tử chung
hay khơng?
+ Nếu đa thức có nhân tử chung thì áp dụng phương pháp đặt nhân tử
chung. Sau đó xem đa thức trong ngoặc là bài toán mới và quay lại bước 1, tiếp
tục thực hiện các phương pháp để phân tích ( nếu có thể) đến kết quả cuối cùng.
+ Nếu đa thức khơng có nhân tử chung thì chuyển sang bước 2.
- Bước 2: Xét xem đa thức đó có dạng hằng đẳng thức nào khơng?
+ Nếu đa thức có dạng hằng đẳng thức ta vận dụng phương pháp hằng
đẳng thức để phân tích.
+ Nếu đa thức khơng có dạng hằng đẳng thức thì chuyển sang bước 3.
- Bước 3: Dùng phương pháp nhóm để đưa các hạng tử vào từng nhóm
thỏa mãn điều kiện: mỗi nhóm có nhân tử chung, làm xuất hiện nhân tử chung
của các nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng thức để tìm nhân tử của bài tốn.
b) Ví dụ :Ví dụ 10: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử.
(BT- ?2 - SGK-tr22)
* Gợi ý phân tích: Xét từng phương pháp:
Đặt nhân tử; dùng hằng đẳng thức; nhóm nhiều hạng tử.
c) Nhận xét:Quacác ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh:
Khi phân tích bài tốn theo phương pháp đã chọn cần xem lại đa thức đó
phân tích triệt để chưa. Nếu chưa triệt để thì tìm phương pháp để phân tích tiếp.
Trong một số bài có thể có nhiều cách giải, học sinh cần linh hoạt lựa chọn cách
giải ngắn gọn và phù hợp nhất và cuối cùng là phân tích triệt để bài tốn.
d) Khai thác bài toán (Đối với học sinh khá giỏi)


12

1) Cho a + b + c = 0. Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc (Bài tập 38- SBTtr10)
- Hướng dẫn: Dùng a3 + b3 = (a + b)3 + 3ab(a + b) và a + b + c = 0 
a+b=-c
2) Phân tích đa thức x3 + y3 + z3 – 3xyz thành nhân tử (Bài tập 28c SBT-tr9)
- Hướng dẫn:Dùng x3 + y3 = (x + y)3 + 3xy(x + y)
e) Vận dụng:Phân tích đa thức thành nhân tử (Cho học sinh thực hiện theo
nhóm thích hợp)
a) x4+2x3 + x2
(Nhóm yếu kém)
3
2
b) x – x + 3x y + 3xy2 + y3 – y (Nhóm trung bình)
c) 5x2- 10xy + 5y2 - 20z2(Nhóm khá giỏi)
f) Một số bài tập đề nghị:Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x3- 2x2 + xb) 2x2 + 4x + 2 - 2y2c) 2xy – x2 – y2 +16d) x3 + 2x
e) 2(x +1) – x2 – x f) 2x3- 12x2 + 18xg) x3 + 5x2 + 4x +20
1.2.3. Phát triển tư duy qua 2 phương pháp phân tích mới
Trong chương trình sách giáo khoa Tốn 8 hiện hành chỉ giới thiệu ba
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng
hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử. Tuy nhiên trong phần bài tập lại có những
bài khơng thể áp dụng ngay ba phương pháp trên để giải, (Chẳng hạn như bài
tập 53, 57 sgk/tr24-25). Sách giáo khoa có gợi ý cách “tách” một hạng tử thành
hai hạng tử khác hoặc “thêm và bớt cùng một hạng tử” thích hợp rồi áp dụng các
phương pháp trên để giải. Tuy nhiên mức độ của 2 phương pháp này tương đối
khó nên tơi chỉ áp dụng nhiều cho đối tượng khá, giỏi. Còn riêng đối tượng
trung bình trở xuống thì sẽ hướng dẫn phương pháp, chi tiết trong các ví dụ cụ
thể với mức độ đơn giản.
* Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác
a) Phương pháp
Việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác là nhằm làm xuất hiện các

phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều
hạng tử, là việc làm hết sức cần thiết đối với học sinh trong giải toán. Đối với
phương pháp này, tôi gợiý học sinh giải theo 3 hướng giải thông dụng sau:
- Hướng giải 1: Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phương
pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung. Hướng giải này được áp dụng khi
phân tích đa thức có dạng ax2 + bx + cthành nhân tử. Phương pháp như sau:
+ Bước 1: Tìm tích a.c
+ Bước 2: Phân tích a.c thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi cách


13

+ Bước 3: Chọn 2 thừa số b1, b2 có tổng bằng b. Khi đó bx được tách thành
2 hạng tử bậc nhất b1 x, b2x
- Hướng giải 2: Tách hạng tử không đổi (tự do) thành 2 hạng tử rồi đưa đa
thức về dạng hiệu hai bình phương hoặc làm xuất hiện hằng đẳng thức và có
nhân tử chung với hạng tử còn lại .
- Hướng giải 3: Tách hạng tử bậc hai thành 2 hạng tử rồi đưa đa thức về
dạng hằng đẳng thức (thông thường là hiệu hai bình phương).
b) Ví dụ:Ví dụ 11: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + 4 thành nhân tử.
* Gợi ý: - Áp dụng 3 hướng giải trên
c) Nhận xét:Từ ví dụ trên, ta thấy để tách hạng tử thành nhiều hạng tử để
phân tích đa thức thì học sinh phải nắm vững các phương hướng giải. Đối với
hướng giải 2 và hướng giải 3 thì yêu cầu học sinh nhận dạng được các hằng
đẳng thức: Bình phương 1 tổng, bình phương 1 hiệu, hiệu hai bình phương để
bài tốn được giải quyết chính xác. Có một số cách giải có thể sử dụng đồng
thời các hướng giải với nhau. Vì vậy đối với phương pháp tách hạng tử thì bài
tốn được giải quyết theo nhiều cách khác nhau, u cầu đối tượng khá giỏi tìm
tịi các cách giải đúng có thể thực hiện.
Lưu ý:Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để phân tích đa thức ta sử

dụng phương pháp nhẩm nghiệm. Sử dụng Định lí sau: Nếu f(x) có nghiệm x = a
thì f(a) = 0. Khi đó, f(x) có một nhân tử là x – a và f(x) có thể viết dưới dạng:
f(x) = (x – a).q(x)
- Nếu tổng hệ số của các hạng tử bằng 0 thì đa thức có nghiệm là 1
- Nếu tổng hệ số của các hạng tử bậc chẵn với hệ số đối của các hạng tử
bậc lẻ bằng 0 thì đa thức có nghiệm là -1.
d) Vận dụng
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) x2 + 5x – 6b) x2 + 4x + 3
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) x3 – 7x – 6 b) x2 – 8x + 12
e) Các bài tậptương tự:Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 2x2 + 3x – 5b) 16x – 5x2–3c) 2x2 - 2x – 3d) x3 – 7x + 6
e) x4 – 30x2 + 31x – 30 f) x5+ x + 1g) x2+ 4xy + 3y2
* Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử
a) Phương pháp chung:Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử nhằm
sử dụng phương pháp nhóm để xuất hiện dạng đặt nhân tử chung hoặc dạng
hằng đẳng thức.
* Phương pháp


14

- Bước 1: Dựa vào hạng tử của đa thức để nhận dạng phương pháp: dạng
đặt nhân tử chung hay dạng hằng đẳng thức có thể xuất hiện.
- Bước 2: Nhóm các hạng tử thuộc dạng đã được xác định với nhau và
phân tích tiếp. Q trình phân tích đó phải xuất hiện dạng đặt nhân tử chung.
- Bước 3: Đặt nhân tử chung cho tồn đa thức.
b) Ví dụ:Ví dụ 12: Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử.
* Gợi ý: - Thêm x và bớt x: (làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân

tử chung)
Ví dụ 13: Phân tích đa thức x5 + x4 + 1 thành nhân tử
* Gợi ý: Cách 1:Thêm x3 và bớt x3(làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt
nhân tử chung)
Cách 2:Thêm x3, x2, x và bớt x3, x2, x (làm xuất hiện đặt nhân tử chung)
c) Nhận xét:Từ ví dụ trên, ta thấy việc thêm, bớt hạng tử để xuất hiện
dạng nhân tử chung hay hằng đẳng thức.Và bước phân tích cuối cùng phải xuất
hiện dạng nhân tử chung. Vì vậy trước khi thêm, bớt hạng tử học sinh phải nhận
dạng được phương pháp cần phân tích để tìm hạng tử thêm, bớt cho thích hợp và
triệt để bài tốn.
d) Vận dụng:Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 4x4 + 81b) x8 + 98x4 + 1 c) x7 + x2 + 1d) x7 + x5 + 1
e) Các bài tập tương tự:Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 4x4 + 81b) x4 + 324c) x5 + x4 +1d) x5 - x4 – 1h) x8 + x4 + 1
đ) x3 +y3 +z3 – 3xyze) x7 + x2 + 1f) x8 + x7 + 1g) x10 + x5 + 1
1.2.4. Các dạng bài tập ứng dụng việc phân tích đa thức thành nhân
tử
* Các dạng bài tập liên quan
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức sau
a) x2 + xy + x tại x = 77; y = 22
b) x(x - y) + y (y - x) tại x = 53; y = 3
c) x2 - 2xy - 4z2 + y2 tại x = 6; y = - 4; z = 45
* Gợi ý: Phân tích đa thức thành nhân tử rồi thay số để tính.
Bài 2: Tính nhanh
a) 15,8 . 35 + 15,8 . 65b) 1,43 . 141 – 1.43 . 41
Dạng 2: Tìm x
Bài 1:Tìm x, biết
a) 5x(x – 2022) – x + 2022 = 0b) 5x2 = 13x

15

Bài 2:Tìm x biết :a) x(x – 2) + x – 2 = 0
b) (2x – 1)2 – (x +3)2 = 0c) (5 – 2x)(2x + 7) = 4x2 – 25
Dạng 3: Chứng minh chia hết (Dành cho học sinh khá giỏi)
Bài 1: CMR : a) 55n+1 – 55n chia hết cho 54 (Với n là số tự nhiên)
b) Hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8
Bài 2: Chứng minh rằng: n3 – n chia hết cho 6 với mọi n  Z
Bài 3: Cho a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3
= 3abc
* Các bài tập tương tự
* Bài tập áp dụng chung
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức
1
1
x
a) x2 + 2 16 với x = 49,75

b) x2 – y2 – 2y – 1 với x = 93, y = 6

Bài 2: Tính nhanh
a) 732 – 272 b) 372 – 132 c) 20222 – 222 d) 872 +732 - 272 -132
e) 85.12,7 + 5.3.12,7
f) 52.143 - 52.39 - 8.26
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức sau
a) M = (a + 4)2 + 2(a + 4)(6 – a) + (6 – a)2 với a = 1982
b) N = x2 – xy – 3x + 3y với x = 5,1; y = 3,1
Bài 4: Tính giá trị biểu thức x(x – 1) – y(1 – x) tại x = 2022, y = 2021
Bài 5: Chứng minh rằng (5n + 2)2 – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n

Bài 6: Tìm x, biết
a) 5x(x – 3) – x + 3 = 0 b) x + 1 = (x+1)2
c) x3 + x = 0
d) x2 - 10x = -25 e) 4x2 - 4x = -1
f) 8x3 +12x2 + 6x +1 = 0
g) 2(x+5) - x2 - 5x = 0 h) x2 - 2x - 3 = 0 k) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0
m) 4(2x + 7) – 9(x + 3)2 = 0
n) (5x2 + 3x – 2)2 = (4x2 – 3x – 2)2
* Bài tập dành cho học sinh khá giỏi
Bài 7: CMR :a) Bình phương của một số lẻ chia cho 4 thì dư 1
b) Bình phương của một số lẻ chia cho 8 thì dư 1
Bài 8:a) CMR: Hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp chia hết cho
8
b) CMR: Hiệu các bình phương của hai số chẳn liên tiếp chia hết cho 16
Bài 9: CMR: a) Biểu thức : 4x(x + y) (x + y + z)(x + y) y2z2 luôn luôn
không âm với mọi giá trị của x, y và z
b) Với mọi số nguyên n thì số A = n3(n2 – 7)2 – 36n chia hết cho 105
IV. Hiệu quả củaSKKN


16

1. Kết quả thu được
Từ thực tế giảng dạy áp dụng đề tài này vào giảng dạy tôi thấy chất lượng
được cải thiện rõ rệt qua khảo sát bài kiểm tra 15 phút toán 8 sau khi học xong
chủ đề này của học sinh sinh lớp 8A, kết quả đạt được như sau:
Kết quả
Sĩ
STT Lớp
Giỏi

Khá
TB
Yếu
kém
số
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL %
1
8A 32
6 18,8 16 53,1 9
28,1
0
0
0
0
2. Giải pháp mới cải tiến
Với đề tài này tôi có thể áp dụng cho từng đối tượng học sinh phù hợp với
yêu cầu thực tế giảng dạy. Từ đó để từng bước nâng cao chất lượng đại trà cũng
như chất lượng học sinh khá giỏi.
3. Điều kiện và khả năng áp dụng
Đề tài này áp dụng cho mọi đối tượng học sinh khối 8 nên khi các em nắm
chắc các dạng bài tập này thì đó là một hành trang vững chắc để các em tự tin
khi bước vào phòng thi.

17

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
I. Kết luận
Qua tìm hiểu, trị chuyện với học sinh, tơi nhận thấy đa số các em đã nhận
thức được tầm quan trọng của việc học ở phổ thơng chính là địn bẩy đưa các
em đến tương lai tươi đẹp. Đa số các em học sinh khá, giỏi đều rất muốn được
mở rộng, nâng cao kiến thức nhưng các em không biết bằng cách nào, đọc sách
nào là tốt vì sách tham khảo rất nhiều loại.Vì vậy giáo viên cần nghiên cứu tìm
cách hướng dẫn học sinh cách tự học ở nhà, tự chọn sách tham khảo,…
Mong rằng đề tài này góp phần giúp các em thêm kiến thức, biết ứng
dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải các bài toán để
các em thêm tự tin trong các kỳ thi tuyển.
Trong đề tài này, tơi cịn nhiều thiếu sót, rất mong được sự góp ý của q
thầy, cơ giáo và các em học sinh.
II. Kiến nghị
Đối với giáo viên: Cần nghiên cứu kĩ đề tài, nắm chắc các phương pháp
giải từng dạng tốn; chuẩn bị kĩ giáo án; tích cực nghiên cứu tài liệu và bắt tay
giải toán như một học sinh.
Đối với học sinh: Sáng kiến này áp dụng với học sinh khối 8 cho kết quả
tốt thì học sinh nắm chắc phương pháp giải đối với các dạng tốn và phát huy
tính chủ động sáng tạo, chăm chỉ rèn luyện, làm nhiều bài tập luyện để nâng cao
kĩ năng giải tốn.
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị

Đơng Văn, ngày 15 tháng 4 năm 2022
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung

của người khác.
Người thực hiện

Lê Thị Hưng


18

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH
VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lê Thị Hưng
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THCS Đông Văn – Đơng Sơn
– Thanh Hóa

TT

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Tên đề tài SKKN

Đổi mới phương pháp dạy
học tiết thứ nhất của những
bài học có nội dung hai tiết
dạy học toán THCS
Đổi mới phương pháp dạy
học mơn Tốn qua bài “ góc
tạo bởi tia tiếp tuyến và dây
cung”
Áp dụng chuẩn kiến thức, kĩ
năng trong kiểm tra, đánh giá
kết quả học tập mơn Tốn của
học sinh
Áp dụng chuẩn kiến thức, kĩ
năng trong kiểm tra, đánh giá
kết quả học tập mơn Tốn của
học sinh
Dùng thuật tốn “Giải các bài
tốn bằng cách lập phương
trình” giải các bài tập tích
hợp, rèn kỹ năng giải bài tốn
bằng cách lập phương trình
cho học sinh khối 8,9.
Dùng thuật toán “Giải các bài
toán bằng cách lập phương
trình” giải các bài tập tích
hợp, rèn kỹ năng giải bài tốn

bằng cách lập phương trình
cho học sinh khối 8,9.
Phân loại dạng “Ứng dụng hệ
thức Vi-ét ” trong Đại số lớp
9 trường THCS Đông Văn.

Cấp đánh giá xếp
loại

Kết quả
đánh giá
xếp loại

Năm học
đánh giá
xếp loại

(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh; Tỉnh...)

(A, B, hoặc C)

Huyện

C

2009-2010

Huyện

B

2010-2011

Huyện

A

2011-2012

Tỉnh

C

2011-2012

Huyện

A

2014-2015

Tỉnh

C

2014-2015

Tỉnh

B

2020-2021