de cuong hoc ki 1 dai so va giai tich 11 le van doan

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (6.26 MB, 211 trang )

NHĨM TỐN THẦY LÊ VĂN ĐỒN

Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy §oµn)

MỤC LỤC
Trang
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ............................................ 1
§ 0. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ ......................................................................... 1
§ 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ....................................................................................................... 3
Dạng tốn 1. Tìm tập xác định ............................................................................................... 3
Dạng tốn 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ......................................................... 8
Dạng tốn 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số lượng giác .................................................... 18
Dạng tốn 4. Tìm chu kỳ của hàm số lượng giác ............................................................... 20
§ 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN ................................................................... 21
§ 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP ....................................................... 41
Dạng tốn 1. Phương trình bậc hai và bậc cao cùng một hàm lượng giác .................... 41
Dạng tốn 2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos (cổ điển) ................................... 51
Dạng toán 3. Phương trình lượng giác đẳng cấp .............................................................. 56
Dạng tốn 4. Phương trình lượng giác đối xứng ................................................................ 59
Dạng tốn 5. Một số dạng tốn khác ................................................................................... 62
§ 4. ƠN TẬP CHƯƠNG 1 ............................................................................................................ 67
Chương 2. TỔ HỢP & XÁC SUẤT ................................................................................................................ 79
§ 1. CÁC QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN .......................................................................................... 79
§ 2. HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP ................................................................................ 91
Dạng toán 1. Các bài toán liên quan đến hoán vị .............................................................. 91
Dạng toán 2. Các bài toán liên quan đến tổ hợp và chỉnh hợp ........................................ 96
Dạng toán 3. Giải phương trình, bất phương trình liên quan đến Pn , C nk , Ank ........... 105
§ 3. NHỊ THỨC NEWTON ........................................................................................................ 111
Dạng tốn 1. Tìm hệ số hoặc số hạng trong khai triển Newton .................................... 112
Dạng toán 2. Chứng minh hoặc tính tổng ........................................................................ 121

Dạng tốn 3. Tìm số hạng hoặc hệ số dạng có điều kiện (kết hợp dạng 1, 2) ............. 129
§ 4. BIẾN CỐ & XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ ......................................................................... 141
Dạng toán 1. Xác suất liên quan đến sắp xếp hoặc chọn đồ vật .................................... 143
Dạng toán 2. Xác suất liên quan đến sắp xếp hoặc chọn người .................................... 147
Dạng toán 3. Xác suất liên quan đến sắp xếp hoặc chọn số ........................................... 152
Dạng toán 4. Xác suất liên quan hình học ........................................................................ 158
§ 5. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT ................................................................................... 165
Chương 3. DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN ...................................................................... 171
§ 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC ...................................................................... 171
§ 2. DÃY SỐ ................................................................................................................................. 175
§ 3. CẤP SỐ CỘNG .................................................................................................................... 183
Đ 4. CP S NHN .................................................................................................................... 197
Ths. Lê Văn Đoàn - Ths. Trương Huy Hoàng - Ths. Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh TiÕn

Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy §oµn)

ĐỊA CHỈ GHI DANH
 TRUNG TÂM THẾ VINH – 45A LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ (ĐỐI DIỆN TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ).
 TRUNG TÂM HOÀNG GIA – 56 PHỐ CHỢ – P. TÂN THÀNH – Q. TÂN PHÚ (SAU CHỢ TÂN PHÚ).
 71/25/10 PHÚ THỌ HÒA – P. PHÚ THỌ HỊA – Q. TÂN PHÚ – TP. HỒ CHÍ MINH.

ĐIỆN THOẠI GHI DANH
 0983.047.188 – Zalo (Thầy Nguyễn Đức Nam) – Face: /> 0933.755.607 – Zalo (Thầy Lê Văn Đồn) – 0929.031.789 – Face: />
NHĨM TỐN THẦY LÊ VĂN ĐỒN
Ths. Lê Văn Đồn – Ths. Trương Huy Hồng – Ths. Nguyễn Tiến Hà – Thầy Bùi Sỹ Khanh – Thầy Nguyễn
Đức Nam – Thầy Đỗ Minh Tiến – Thầy Nguyễn Duy Tùng – Thầy Trần Nguyễn Vĩnh Nghi – Thầy Hồng
Minh Thiện – Thầy Trần Quốc Tuấn.

THỜI KHĨA BIỂU CÁC LỚP TOÁN ĐANG HỌC

KHỐI 6

Thứ hai

Thứ ba

19’15 – 21’15
KHỐI 7

Thứ tư

Thứ năm

T6A
Thứ hai

Thứ ba

17’30 -19’30

Thứ tư

Thứ tư

Thứ năm

Thứ sáu

Thứ hai

Thứ năm

19’15 – 21’15

T8A

KHỐI 9

Thứ hai

Thứ ba

Thứ tư

Thứ năm

17’30 -19’30

T9A

T9B

T9A

T9B

KHỐI 10

Thứ hai

Thứ ba

Thứ tư

Thứ năm

Thứ sáu

Thứ bảy

T10B

10HG

T10A

Chủ nhật
Giải đề

Thứ bảy

T8A

Chủ nhật
Giải đề

Thứ sáu

T10B

10HG

Thứ bảy

Chủ nhật
Giải đề

Thứ sáu

17’45 -19’15
T10A

Chủ nhật
Giải đề

T7A

KHỐI 8

19’30 – 21’00

Thứ bảy

T6A

T7A
Thứ ba

Thứ sáu

T10A

Thứ bảy

Chủ nhật

T10C

T10C

T10B

Giải đề

10HG

KHỐI 11

Thứ hai

Thứ ba

Thứ tư

Thứ năm

Thứ sáu

Thứ bảy

Chủ nhật

17’45 -19’15

T11A

T11B1

T11A

T11B1

T11A

T11B1

Giải đề

19’30 – 21’00
KHỐI 12
17’45 -19’15

19’30 – 21’00

T11B2

T11B2

T11B2

T11-C

T11-C

T11-C

Thứ hai

Thứ ba

Thứ tư

Thứ năm

Thứ sáu

Thứ by

Ch nht

T12A1

T12C

T12A1

T12C

T12A1

T12C
T12HG2

Lp
chuyờn
VD v
VDC

T12A2

T12A2

T12A2

T12HG1

T12HG1

T12HG1

T12B

T12B

T12HG2

T12B

T12HG2

Ths. Lê Văn Đoàn - Ths. Trương Huy Hoµng - Ths. Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến

Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn)

Hàm số & phương trình lượng giác

Chửụng 1 : HAỉM SỐ LƯNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
§ 0. CÔNG THỨC LƯNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG

1. Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác
sinx
1
π

Cung phần tư

2

(II)

Giá trị LG

(I)

π

0 1
2π

O

-1

II

III

IV

+

+

–

–

+

–

–

+

+

–

+

–

+

–

+

–

cosx

(IV)

(III)

I

3π
2
-1

(Nhất cả – Nhì sin – Tam tan – Tứ cos)

2. Công thức lượng giác cơ bản
tan .cot   1

sin2   cos2   1

1  tan 2  

1
cos2 

1  cot2  

1
sin 2 

3. Cung góc liên kết
Cung đối nhau

Cung bù nhau

cos(a )  cos a

sin(  a)  sin a

sin(a )   sin a

cos(  a)   cos a

tan(a)   tan a

tan(  a)   tan a

cot(a)   cot a

cot(  a)   cota

Cung hơn kém 

sin(  a)   sin a
cos(  a)   cos a
tan(  a)  tan a
cot(  a)  cot a

Cung phụ nhau



sin   a   cos a

 2


cos   a   sin a

2


tan   a   cot a

2


cot   a   tan a


2

Cung hơn kém


2



sin   a   cos a
2



cos   a    sin a
2



tan   a    cot a
 2



cot   a    tan a
 2


Ths. Lª Văn Đoàn - Ths. Trương Huy Hoàng - Ths. Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến

Trang - 1 -

Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn)

Hàm số & phương trình lượng giác

4. Coõng thửực coọng cung
sin(a  b)  sin a  cos b  cos a  sin b.
tan(a  b) 

cos(a  b)  cos a  cos b  sin a  sin b.

tan a  tan b

1  tan a  tan b





tan(a  b) 



1  tan x



tan a  tan b


1  tan a  tan b

1  tan x


Hệ quả: tan   x  
và tan   x  
 1  tan x
 4
4
 1  tan x

5. Công thức nhân đôi và hạ bậc
Nhân đôi

Hạ bậc

sin 2  2 sin   cos 

sin2  

1  cos 2
2

cos2   sin2 
cos 2  
2
2
2 cos   1  1  2 sin 

cos2  

1  cos 2
2

tan 2 

2 tan 
1  tan2 

tan2  

1  cos 2
1  cos 2

cot 2 

cot2   1
2 cot 

cot2  

1  cos 2
1  cos 2

Nhân ba

 sin 3  3 sin   4 sin 3 


 cos 3  4 cos 3   3 cos 


tan 3 

3 tan   tan3 
1  3 tan2 

6. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos a  cos b  2 cos
sin a  sin b  2 sin

a b
a b
 cos
2
2

cos a  cos b  2 sin

a b
a b
 cos
2
2

sin a  sin b  2 cos

a b
a b

 sin
2
2

a b
a b
 sin
2
2

tan a  tan b 

sin(a  b)
cos a  cos b

tan a  tan b 

sin(a  b)
cos a  cos b

cot a  cotb 

sin(a  b)
sin a  sin b

cot a  cotb 

sin(b  a )
sin a  sin b

Đặc biệt

 
 
sinx  cosx  2sinx    2cosx  
 4
 4

 


sin x  cos x  2 sinx    2 cosx  
4 
4 



7. Công thức biến đổi tích thành tổng
cos a  cos b 

1 
 cos(a  b)  cos(a  b)
2
sin a  cos b 

sin a  sin b 

1 
 cos(a  b)  cos(a  b)
2

1 
 sin(a  b)  sin(a  b)
2

Ths. Lª Văn Đoàn - Ths. Trương Huy Hoàng - Ths. Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến

Trang - 2 -

Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn)

Hàm số & phương trình lượng giác

Đ 1. HAỉM SO LƯNG GIÁC
Dạng toán 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
 Phương pháp giải. Để tìm tập xác định của hàm số lượng giác ta cần nhớ:
 y  tan f (x ) 

sin f (x )

ĐKXĐ

 cos f (x )  0  f (x )   k , (k  ).
cos f (x )
2

 y  cot f (x ) 

cos f (x ) ĐKXĐ

 sin f (x )  0  f (x )  k , (k  ).
sin f (x )

 Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp:

 y

 y

1
ĐKXĐ

 P (x )  0.
P (x )

1
2n

P (x )

 y

2n

ĐKXĐ
P (x ) 
 P (x )  0.

ĐKXĐ


 P (x )  0. (có mẫu khơng ?, có tan, cot khơng ? có căn khơng ?)

A  0

 Lưu ý rằng: 1  sin f (x ); cos f (x )  1 và A.B  0  

B  0

 Với k  , ta cần nhớ những trường hợp đặc biệt:


 k 2
2
 sin x  0  x  k 

 cos x  1  x  k 2

 sin x  1  x 


 sin x  1  x  






 k 2
2


 k
2

 cot x  1  x   k 

4

 cot x  1  x    k 
4
 cot x  0  x 

 tan x  0  x  k 



 k 
2
 cos x  1  x    k 2
 cos x  0  x 


 k

4

 tan x  1  x    k 
4
 tan x  1  x 



BÀI TẬP ÁP DỤNG
1. Hãy tìm tập xác định D của hàm số lượng 2. Hãy tìm tập xác định D của hàm số lượng
tan 2x
cos 3x
giác: y 
 sin x .
 tan x .
giác: y 
cos x  1
1  sin x

cos x  1  0
cos x  1

Điều kiện: 



cos 2x  0
cos 2x  0


x    k 2
x    k 2


(k  ).


 

2x   k 
x    k 


2
4
2
Tập xác định:



 k
D   \   k 2;

(k  ) .


4
2

.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................

 


 k , k   . .....................
 2


Đáp s: D \

Ths. Lê Văn Đoàn - Ths. Trương Huy Hoàng - Ths. Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh TiÕn

Trang - 3 -

Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn)

Hàm số & phương trình lượng giác

3. Hóy tỡm tp xác định D của hàm số lượng 4. Hãy tìm tập xác định D của hàm số lượng
2 tan 2x  5
1
giác: y 


giác: y 
sin 2x  1
tan x  1
.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

  k 


, k   . ....................
 4

2

Đáp số: D   \ 


 
 2

Đáp số: D   \ 
  k ,



 k  . ..................

4

5. Hãy tìm tập xác định D của hàm số lượng 6. Hãy tìm tập xác định D của hàm số lượng
3
1
1
giác: y 
 tan x .


giác: y 
2
2
cos x  sin x
sin x cos x
.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

  k  


;  k  . ...................
 4

2 2

Đáp số: D   \ 


k 

, k   . ............................
 2


Đáp số: D   \ 


7. Hãy tìm tập xác định D của hàm số lượng 8. Hãy tìm tập xác định D của hàm số lượng
1
2  sin x
giác: y 


giác: y 
1


sin
x
cos x  1

1  sin x  1
2  sin x  0
Vì 
 
.

1  cos x  1 cos x  1  0


Hàm số xác định khi

2  sin x
0
cos x  1

.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................

 cos x  1  0  cos x   1

.....................................................................................

 x    k 2 (k  ).

.....................................................................................

Tập xác định: D   \ {  k 2, k  }.

Đáp số: D   \ { / 2  k 2, k  }. ...............

Ths. Lê Văn Đoàn - Ths. Trương Huy Hoàng - Ths. Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến

Trang - 4 -

Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn)

Hàm số & phương trình lượng giác

9. Hóy tỡm tp xác định D của hàm số lượng 10. Hãy tìm tập xác định D của hàm số lượng
giác: y 

cos x  4

sin x  1

giác: y 

2  cos x

1  sin x

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

Đáp số: D   \ {/2  k 2, k  }. ..............

Đáp số: D   \ {/2  k 2, k  }. .................

11. Hãy tìm tập xác định D của hàm số lượng 12. Hãy tìm tập xác định D của hàm số lượng
giác: y 

4 2  x 2  cot 2x .



4 2  x 2  0
2  x  2


Điều kiện: 
 
.
k
sin 2x  0

x

,
k





2



k  
x  k  , k  

 

Xét 
2
2  x  2
2  k  2


2
k  
 k  {4; 3; 2; 1; 0}.
 

 4  k  4

3
 
 x  2;  ;  ;  ; 0 .

2
2 
 3
 
 TXĐ: D  (2;2) \  ;  ;  ; 0 .
 2
2 

giác: y 

 2  x 2  cot 2x .

.....................................................................................

.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
Đáp số: D  (; ) \ {/2; 0}. ..........................

13. Hãy tìm tập xác định D của hàm số lượng 14. Hãy tìm tập xác định D của hàm số lượng
giác: y 

2  x 2

sin 2x

giác: y 

 2  4x 2

cos 2x

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

.....................................................................................

Đáp số: D  (; ) \ {/2; 0}. ..........................

Đáp số: D  [/2; /2] \ {/4}. ...............

Ths. Lê Văn Đoàn - Ths. Trương Huy Hoàng - Ths. Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Ngun Đức Nam - Đỗ Minh Tiến

Trang - 5 -

Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn)

Hàm số & phương trình lượng giác

BI TP V NH
(THPT Chuyên Bắc Ninh) Hàm số y 

Câu 1.

2 sin x  1
xác định khi
1  cos x

A. x  k.

B. x  k 2.

.................................................................................................


C. x   k 2.
2


D. x   k .

2

.................................................................................................
.................................................................................................

(THPT Hùng Vương – Bình Phước) Hàm số y 

Câu 2.

1  3 cos x
xác định khi
sin x

A. x  k.

B. x  k 2.

.................................................................................................

k

C. x 
2


D. x   k .
2

.................................................................................................
.................................................................................................

(THPT Yên Mỹ – Hưng Yên) Tập xác định của hàm số y 

Câu 3.

 

 k  .
 2


 

 k 2 .
 2


1  cos x
là
sin x  1

A.  \ 


B.  \ 


.................................................................................................

C.  \ {k}.

D.  \ {k 2}.

.................................................................................................

.................................................................................................

(THPT Nghĩa Hưng – Nam Định) Tập xác định của hàm số y 

Câu 4.

cot x
là
cos x  1

k 


 . B. D  \    k  . .................................................................................................
 2 
 2
 .................................................................................................

A. D   \ 


C. D   \ {k}.

D. D   \ {k 2}.

.................................................................................................

(THPT Chuyên Trần Phú – Hải Phòng) Hàm số y 

Câu 5.

1
xác định khi
sin x  cos x

A. x  k 2.

B. x 


 k .
2

.................................................................................................

C. x  k.


D. x   k .
4

.................................................................................................

(THPT Kinh Môn – Hải Dương) Tập xác định của hàm số y 

Câu 6.

 

 k  .
 2


B.  \ 


A. .

  k  
 .
 4
2 

C. \ 


Câu 7.

.................................................................................................


4

D. \
 

tan 2x
là
cos x

.................................................................................................
.................................................................................................


k 
; k. .................................................................................................

2 2
.................................................................................................

(THPT Sơn Tây – Hà Nội) Tập xác định của hàm số y 

tan x  5
là
1  sin 2 x

Ths. Lê Văn Đoàn - Ths. Trương Huy Hoµng - Ths. Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến

Trang - 6 -

Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy §oµn)

 


 k  .
 2


A.  \ 


B. .

 

 k 2 . D.  \ {  k }.
 2


C.  \ 


Câu 8.


 k 2. B. x  k.
2


C. x   k 2.
2
Câu 9.

.................................................................................................

D. D   \ {k}.

sin 2x  2
là
1  cos x

.................................................................................................
.................................................................................................
.................................................................................................

Câu 10. (THPT Tân Bình – TP.HCM) Tập xác định D của hàm số y 

tan 2x
sin x  1

là

 
 k  
 k 2;
 .
 2
4
2 

.................................................................................................

B. D   \ 


  k  
  .
 4
2 

.................................................................................................

C. D   \ {k 2}.

.................................................................................................

 
 k  
 .
D. D   \ 
  k ;
 2
4
2 

.................................................................................................

A. D   \ 


.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................




Câu 11. (THPT Trần Phú TP. HCM) Tập xác định của hàm y  cot x 

 

3
 k ;
 k , k   .
 3

4

 
1  cos x
 
là
6 
1  cos x

A. D   \ 


.................................................................................................

B. D   \ {  k , k  }.

.................................................................................................

C. D   \ {k 2, k  }.

.................................................................................................

 

D. D   \ 
  k ; k 2, k   .
 6


.................................................................................................

.................................................................................................

.................................................................................................

Ths. Lê Văn Đoàn - Ths. Trương Huy Hoàng - Ths. Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến

Trang - 7 -

Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn)

Hàm số & phương trình lượng giác

Daùng toaựn 2: Tỡm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
 Phương pháp giải.
Phương pháp 1. Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác.

 Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn:

  1  sin x  1 

0  sin x  1
0  sin2 x  1

hoặc 1  cos x  1 

0  cos x  1
0  cos2 x  1



 Biến đổi về dạng: m  y  M .

 Kết luận: max y  M và min y  m.
Phương pháp 2. Khảo sát parabol
Trong trường hợp hàm số có dạng bậc hai theo một hàm lượng giác, ta có thể sử dụng phương
pháp đặt ẩn phụ để đưa về hàm bậc hai, sau đó khảo sát hàm này và kết luận.
Kiến thức cơ bản về parabol:



b



 Đỉnh parabol (P ) : y  ax 2  bx  c là I  ;   
4a 

 2a
 Bảng biến thiên:
 a 0:
x



 a 0:



y



b
2a



x

y


4a





b
2a




4a



Phương pháp 3. Sử dụng bất đẳng thức.
 Bất đẳng thức Cauchy:
 a, b  0 thì

a b
 ab . Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi a  b  0.
2

 a, b, c  0 thì

a b c 3
 abc . Dấu "  " xảy ra khi a  b  c  0.
3

 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz:
 x , y, a, b   thì ax  by  (a 2  b 2 )(x 2  y 2 ). Dấu "  " khi và chỉ khi

x
y

 
a
b

x 2 y 2 (x  y)2
x
y
 
 Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi  
 x , y  , a, b  0 thì
a
b
a b
a
b
 Lưu ý
Trong trường hợp đề bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
trên đoạn cho trước, ta sẽ sử dụng đường tròn lượng giác để giới hạn miền của sin hoặc cos. Sau
đó thêm bớt giống phương pháp 1 hoặc bậc 2 thì sử dụng parabol.

 m  f (x ), x  D  m  max f (x ).
D

 m  f (x ), x  D  m min f (x ).
D

Ths. Lê Văn Đoàn - Ths. Trương Huy Hoàng - Ths. Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến

Trang - 8 -

Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy §oµn)

1.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm 2.
số y  5  3 cos 4x .

Hàm số & phương trình lượng giác

Tỡm giỏ tr ln nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số y  2  3 cos x .

Tập xác định D  .

....................................................................................

Ta có: 1  cos 4x  1  3  3 cos 4x  3

....................................................................................

 5  3  5  3 cos 4x  5  3  8  y  2

....................................................................................

 2  y  8.

....................................................................................

 max y  8 khi cos 4x   1  .............................

....................................................................................

 min y  2 khi cos 4x  1  ..................................

Đáp số: max y  5, min y  1. .........................

3.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm 4.
số y  3  2 sin 2x .

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số y  3  2 sin 2x .

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

Đáp số: max y  5, min y  1. ................................

Đáp số: max y  3, min y  1. ............................

5.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm 6.
số y 

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

1
2

2

1  4 cos x

3

hàm số y  1  sin2 2x .

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

Đáp số: min y  1/3; max y  5/3. ........................

Đáp số: min y  0, 5; max y  1. .........................

7.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm 8.
số y  sin x  sin(x  2/3).

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số y  cos x  cos(x  /3).

Ghi CT: sin a  sin b  ..............................................

Ghi CT: cos a  cos b  .........................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

Đáp số: min y  1; max y  1. .............................

Đáp số: min y   3; max y

Ths. Lê Văn Đoàn - Ths. Trương Huy Hoµng - Ths. Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến

3. ...................
Trang - 9 -

Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn)

9.

Hàm số & phương trình lượng giác

Tỡm giỏ tr ln nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm 10. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
4
8
số y 

hàm số y 

2  sin x
3  cos2 x

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

Đáp số: min y  4/3; max y  4. ............................

Đáp số: min y  8/3; max y  4. ........................

11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm 12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
3
1
số y 
hàm số y 


2
3  1  cos x
2  sin 3x
........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

Đáp số: min y  1; max y  3/(3  2). ...............

Đáp số: min y  2/2; max y  1. .....................

Gặp hàm số y  a sin x  b cos x  c thì ta sẽ rút a 2  b 2 , rồi áp dụng công thức cộng cung ngược:
sin x .cos   cos x .sin   sin(x  ) và cos x .cos   sin x .sin   cos(x  ).
Lưu ý. Ta có thể sử dụng BĐT Cauchy – Schwarz dạng: ax  by  (a 2  b 2 )(x 2  y 2 ).
13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm 14. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
số y  sin x  3 cos x  12.
Ta có: y  sin x  3 cos x  12

1
3 


 2 sin x   cos x 
  12

2
2 

hàm số y 

3 sin x  cos x  5.

....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................




 2 sin x .cos  cos x .sin   12

3
3 

....................................................................................



 2 sin x    12.
3 


....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................

....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
Đáp số: min y  3, min y  7. .............................

Ths. Lê Văn Đoàn - Ths. Trương Huy Hoàng - Ths. Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến

Trang - 10 -

Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn)

Hàm số & phương trình lượng giác

15. Tỡm giỏ tr lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm 16. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

y  3(cos4 x  sin 4 x )  sin 2x  1.

số y  cos 3x  3 sin 3x  4.
........................................................................................

Ta có: cos 4 x  sin 4 x  (cos2 x )2  (sin2 x )2

........................................................................................

 ................................................................................

........................................................................................

Suy ra y 

........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
Đáp số: min y  2, max y  6. ...............................

3 cos 2x  sin 2x  1

....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
Đáp số: min y  1, max y  3. .........................

17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm 18. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
số y  4 sin2 x  4 sin x  3.
hàm số y  cos2 x  2 cos x  4.
Đặt sin x  t thì t  [1;1]. Khi đó hàm số trở
thành y  4t 2  4t  3 là một parabol có

1 
Đỉnh I  ;2 và a  4  0 nên có BBT:
 2 
t

1
2

1

1

....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................

11
y

3

2

....................................................................................
....................................................................................

 min y  2 khi t  sin x  1/2.

....................................................................................

 max y  11 khi t  sin x   1  ........................

Đáp số: min y  5, max y  1. ......................

19. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm 20. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
y  cos4 x  2 sin2 x  1.
số y  cos2 x  2 sin x  2.
........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

Đáp số: min y  0, max y  4. ................................

Đáp số: min y  1, max y 2. .........................

Ths. Lê Văn Đoàn - Ths. Trương Huy Hoàng - Ths. Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến

Trang - 11 -

Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn)

Hàm số & phương trình lượng giác

21. Tỡm giỏ tr lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm 22. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
số y 

5  4 sin x  sin 2 x .

hàm số y 

cos2 x  6 cos x  14.

Xét hàm số g (x )  5  4 sin x  sin 2 x trên .

Xét hàm số g (x )  cos2 x  6 cos x  14 trên .

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

 t  (sin x  cos x )  ..........................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

Đáp số: min y  1, max y  4  2 2. ...........

Đáp số: min y  2,25 và max y  2. .............

25. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm 26. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
số y  3  sin 2x trên đoạn [0; /2] ?
hàm số y  sin 2x  2 trên [0; /2] ?



 2




Do x  0;   2x  [0;  ].

.................................................

....................................................

.................................................

....................................................

.................................................

........................................................................................

y  cos x   trên [0;  ].

3 


  
 1
y  sin 2x    trên  ;  
 4 4

4  2



...................................................

...................................................

...................................................

...................................................

...................................................

...................................................

...................................................

...................................................

hàm số y  sin 6 x  cos 6 x trên  ;  

Ta có: sin 4 x  cos 4 x  (sin 2 x )2  (cos2 x )2

Sử dụng: a 3  b 3  (a  b )3  3ab(a  b )

 (sin 2 x  cos2 x )2  2 sin 2 cos2 x

Ta có: sin 6 x  cos6 x  (sin 2 x )3  (cos2 x )3

1
1
 1  (2 sin x cos x )2  1  sin2 2x
2
2
1 1  cos 4x  3 1
   cos 4x .
 1  
 4 4
2 
2

 ..............................................................................



Suy ra y  ....................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

Đáp số: min y   3/4; max y  0. .....................

Đáp số: min y  1/4; max y  7/4. ....................

 ...............................................................................

5 3
5 3
 cos 4x  y   cos 4x .
8 8
8 8

31. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm 32. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
số y 

 5  
3 sin 2x  2 cos2 x  3,  ;  
 6 4



  
y  sin 2x  cos 2x  3 trên  ;  
 4 4



........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

Ta có: y  sin 5 x  3 cos x  sin 4 x  3 cos x .

 y  1  cos2 x  10 cos x

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

Đặt cos x  t, t  [1;1]. Khi đó:

1
32
(2  2 cos x )(1  cos x )(1  cos x ) 
 3
2
27

() trở thành y  t 2  10t  1  g (t ), t  [1;1]

....................................................................................

 y   cos2 x  10 cos x  1

()

........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................

....................................................................................
....................................................................................

 
mọi x  0;   Tìm GTNN của hàm số ?



Cho hàm số y 









sin2 x
1

cos x (sin x  cos x ) 4

 
với mọi  ;   Tìm GTNN của hàm số ?
4 2

 2 

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

Đáp số: min y  4/3. .................................................

Đáp số: min y  17/4. ...........................................

37.



Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau:

y  sin x  1  3  sin x .

38.



Hàm số f (x )  cos x  4  cos x  m có

giá trị lớn nhất bằng 3 2. Tìm tham số m .

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

........................................................................................

....................................................................................

Đáp số: max y  2 2. ................................................

ỏp s: m 2. .....................................................

Ths. Lê Văn Đoàn - Ths. Trương Huy Hoàng - Ths. Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến

Trang - 14 -

Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn)

Hàm số & phương trình lượng giác

BI TP V NH
Cõu 1.

(THPT Lê Quý Đôn – Điện Biên) Tập giá trị của hàm số y  2 cos 3x  1 là

A. T  [3;1].

B. T  [3; 1].

C. T  [1; 3].
Câu 2.

D. T  [1;3].

................................................................................................
................................................................................................

................................................................................................

(KTNL GV Bắc Giang) Giá trị lớn nhất của hàm số y  2 sin x  1 là

A. 1.

B. 1.

................................................................................................

C. 0, 5.

D. 3.

................................................................................................



Câu 3.

(THPT Lê Hồn – Thanh Hóa) Giá trị lớn nhất của y  3 sin2 x 



 
  4 là
12 

A. 7.

B. 1.

................................................................................................

C. 4.

D. 3.

................................................................................................

Câu 4.

(THPT Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ) Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
y  3  2 sin 5x lần lượt là

A. 2; 3.

B. 1; 3.

C. 1; 4.

D. 1; 3.

Câu 5.

................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................

(THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai) Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm

số y  1  (sin 2x  cos 2x )3 lần lượt là

A. 1  2; 1  2 2.

................................................................................................

B. 1  2 2; 1  2 2.

................................................................................................

C. 1  2; 1  2 2.

................................................................................................

D. 2  2 2; 1  2 2.

................................................................................................

Câu 6.

(THPT Chuyên Lương Văn Chanh – Phú Yên) Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm
số y 

4  2 sin 5 2x  8 lần lượt là

A.

2  8,

6  8.

................................................................................................

B.

2  8,

6  8.

................................................................................................

C. 2 2; 2  2 2.

................................................................................................

2  8,

................................................................................................

D.

Câu 7.

6  8.

(THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp 2019) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
3
của hàm số y 
lần lượt là
3  1  cos x

Ths. Lê Văn Đoàn - Ths. Trương Huy Hoàng - Ths. Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Ngun Đức Nam - Đỗ Minh Tiến

Trang - 15 -

Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn)

A. 1;

93 2

7

Hàm số & phương trình lượng giác

................................................................................................
................................................................................................

B. 1; 9  3 2.

................................................................................................

C. 2; 9  3 2.

................................................................................................

D. 2; 9  3 2.

................................................................................................

Câu 8.

A.

(THPT Chuyên Đại học Vinh năm 2020) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
4
lần lượt là
y
5  2 cos2 x sin 2 x

4 5
; 2 2.
5

................................................................................................
................................................................................................

B. 4 2; 4 5.
C.
D.

................................................................................................

4 5 4 2
;

5
3

................................................................................................

D. M  m  0.

................................................................................................

Câu 10. (THPT Chuyên Trần Phú – Hải Phòng) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y

12
trên đoạn
7  4 sin x

  5 
 ;
 lần lượt là
 6 6



12 12
;

5 7
B. 4; 3.
C. 1; 1.
A.

D. 4;

4

3

................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................

Câu 11. (THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội) Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

y  cos x  3 sin x  3 lần lượt là
A. 2; 6.

................................................................................................

B. 1; 5.

................................................................................................

C. 1; 5.

................................................................................................

D. 2; 5.

................................................................................................

Ths. Lê Văn Đoàn - Ths. Trương Huy Hoàng - Ths. Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh TiÕn

Trang - 16 -

Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn)

Hàm số & phương trình lượng giác

Cõu 12. (THPT NewTon – Hà Nội) Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của y  3 sin x  4 cos x  2
lần lượt là
A. 3; 7.

................................................................................................

B. 7; 3.

................................................................................................

C. 7; 1.

................................................................................................

D. 1; 3.

................................................................................................

Câu 13. (THPT Ngọc Tảo – Hà Nội) Cho hàm số y  2 sin 2 x  sin 2x  10. Giá trị lớn nhất của hàm
số bằng
A. 10.

................................................................................................

B. 11  2.

................................................................................................

C. 11  2.

................................................................................................

D. 9  2.

................................................................................................

Câu 14. (THPT Phan Đình Phùng – Hà Tĩnh) Cho hàm số y  2 cos2 x  sin 2x  5. Giá trị nhỏ nhất
của hàm số bằng
A.

2.

................................................................................................

B.  2.
C. 6  2.
D. 6  2.

................................................................................................
................................................................................................

Câu 15. (THPT Trần Hưng Đạo – Tp.HCM) Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ



 6 6



 5
nhất của hàm số y  2 sin x trên đoạn  ;  . Tính M , m.
A.
B.
C.
D.

M  1, m  1.
M  2, m  2.
M  1, m  2.
M  2, m  1.

................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................

Câu 16. (THPT Chuyên Hoàng Lê Kha – Tây Ninh) Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
y  cos2 x  2 cos x  3 lần lượt là
A.
B.
C.
D.

3;
4;
4;
3;

0.
1.
0.
1.

................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................

Câu 17. (THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội) Giá trị lớn nhất của hàm y  2 sin 2 x  cos x là phân số
tối giản có dạng
A. 8.
B. 9.
C. 7.
D. 10.

a
với a, b    . Giá trị của a  b bằng
b
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................

Ths. Lê Văn Đoàn - Ths. Trương Huy Hoàng - Ths. Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến

Trang - 17 -

Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn)

Hàm số & phương trình lượng giác

Cõu 18. (THPT Chuyờn Phan Bội Châu – Nghệ An) Giá trị lớn nhất của hàm số y  sin 9 x  cos12 x
bằng
A.
B.
C.
D.

2.
1.
0, 5.
1, 5.

................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................

Câu 19. (Tạp Chí Tốn Học & Tuổi Trẻ số 489 năm 2018) Số giờ có ánh sáng của một thành phố X ở
vĩ độ 40 bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số:

 

d(t )  3 sin 

(t  80)  12, t   và 0  t  365. Vào ngày nào trong năm thì thành phố
 182



X có nhiều giờ ánh sáng nhất ?
A. 262.

................................................................................................

B. 353.

................................................................................................

C. 80.

................................................................................................

D. 171.

Câu 20. (THPT Minh Châu – Hưng Yên 2019) Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo
thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (h ) được cho bởi

 t


   12. Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngắn
 6
3 

công thức h  3 cos 
nhất ?
A. t  22 (h ).

................................................................................................

B. t  15 (h ).

................................................................................................

C. t  14 (h ).

................................................................................................

D. t  10 (h ).

Dạng toán 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
 Phương pháp giải.
 Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số lượng giác.
Nếu x  D thì x  D  D là tập đối xứng và chuyển sang bước 2.
 Bước 2. Tính f (x ), nghĩa là sẽ thay x bằng x, sẽ có 2 kết quả thường gặp sau:
 Nếu f (x )  f (x )  f (x ) là hàm số chẵn.
 Nếu f (x )  f (x )  f (x ) là hàm số lẻ.
Lưu ý:
 Nếu không là tập đối xứng (x  D  x  D ) hoặc f (x ) không bằng f (x ) hoặc f (x )
ta sẽ kết luận hàm số không chẵn, không lẻ.
 Ta thường sử dụng cung góc liên kết dạng cung đối trong dạng toán này, cụ thể:

cos(a)  cos a, sin(a)   sin a, tan(a)   tan a, cot(a)   cot a.

 Lũy thừa: sin2n ()  sin2n , cos2n ()  cos2n , tan2n ()  tan2n ,...
 Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng, đồ thị hàm số lẻ nhn gc ta O
lm tõm i xng.

Ths. Lê Văn Đoàn - Ths. Trương Huy Hoàng - Ths. Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến

Trang - 18 -

Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy §oµn)

1.

Xét tính chẵn, lẻ của hàm số sau:

2.

2

   x  D, xét f (x )  sin 2 (2x )  cos(3x )
2

 ( sin 2x )  cos 3x
 sin 2 2x  cos 3x  f (x ).

 Kết luận: Hàm số đã cho là hàm số chẵn.
3.

Xét tính chẵn, lẻ của hàm số sau:

f (x ) 

Xét tính chẵn, lẻ của hàm số sau:

f (x )  cos2 3x  cos x .

f (x )  sin 2x  cos 3x .

 Tập xác định D  .
  x  D thì x  D D l tp i xng.

Hàm số & phương trình lượng giác

.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
ỏp s: Hm s f (x ) l hàm số chẵn. ...................
4.

Xét tính chẵn, lẻ của hàm số sau:

 3

f (x )  1  cos x .sin   2x .

2

sin 2 x  cos 2x


sin 3x

......................................................................................

.....................................................................................

......................................................................................

.....................................................................................

......................................................................................

.....................................................................................

Đáp số: Hàm số f (x ) là hàm số lẻ. .........................

Đáp số: Hàm số f (x ) là hàm số chẵn. ...................

5.

6.

Xét tính chẵn, lẻ của hàm số sau:

Xét tính chẵn, lẻ của hàm số sau:

f (x )  tan x  cot x .

f (x )  cos x 2  16.
......................................................................................


sin 4x

......................................................................................

.....................................................................................

......................................................................................

.....................................................................................

......................................................................................

.....................................................................................

Đáp số: Hàm số f (x ) là hàm số chẵn. ....................

Đáp số: Hàm số f (x ) l hm s l. ........................

Ths. Lê Văn Đoàn - Ths. Trương Huy Hoàng - Ths. Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến

Trang - 19 -

Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn)

Hàm số & phương trình lượng giác

Daùng toaựn 4: Tỡm chu kỳ của hàm số lượng giác
 Phương pháp giải.

 Hàm số y  sin x, y  cos x tuần hồn với chu kì To  2, nghĩa là: sin(x  k 2)  sin x và
cos(x  k 2)  cos x .

 Hàm số y  sin(ax  b), y  cos(ax  b) tuần hoàn với chu kì To 

2

a

 Hàm số y  tan x , y  cot x tuần hồn với chu kì To  .

 Hàm số y  tan(ax  b), y  cot(ax  b) tuần hồn với chu kì To 



a

 Lưu ý. Giả sử hàm số f (x )  g(x )  h(x ) có hàm g(x ) tuần hồn với chu kì T1 và hàm h(x ) tuần
hồn với chu kì T2 thì hàm số f (x ) sẽ tuần hồn với chu kì To là bội chung nhỏ nhất của
hai chu kì T1 và T2 .
Câu 1.

(THPT Kinh Môn 2 – Hải Dương) Hàm số y  sin 2x có chu kỳ là

A. T  2.
C. T  .

B. T 



2

D. T  4.

.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................

Câu 2.

(THPT Thạch Thành – Thanh Hóa) Hàm số y  tan 2x có chu kỳ là

A. To 



3

C. To  2.
Câu 3.

C. To  2.

D. To  .

.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................

B. To 



2

D. To  4.

x
có chu kỳ là
2

.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................

(THPT Chuyên Hạ Long – Quảng Ninh) Hàm số f (x )  sin

A. 5.

B.

C. 2.
Câu 5.



2

(THPT Xuân Hòa – Nam Định) Hàm số y  3 sin

A. To  0.

Câu 4.

B. To 



2

D. 4.

x
3x
có chu kỳ là
 2 cos
2
2

.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................

(Lê Trọng Tấn – Tp. HCM) Tìm m để hàm số y  cos mx tuần hoàn với chu kì To  .

A. m  1.

B. m 2.

.........................................................................................................................

C. m /2.

D. m .

.........................................................................................................................

Ths. Lê Văn Đoàn - Ths. Trương Huy Hoàng - Ths. Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến

Trang - 20 -

Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn)

Hàm số & phương trình lượng giác

Đ 2. PHệễNG TRèNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN
Với k  , ta có các phương trình lượng giác cơ bản sau:

a  b  k 2
 sin a  sin b  

a    b  k 2

a  b  k 2
 cos a  cos b  

a  b  k 2

 tan a  tan b  a  b  k .

 cot a  cotb  a  b  k .

Nếu đề bài cho dạng độ () thì ta sẽ chuyển k 2  k 360, k   k 180, với   180.
Trường hợp đặc biệt (cách nhớ: 0,  1 chỉ có 1 tập nghiệm,  0  đuôi k,  1 đuôi k 2) :


 k 2
2
 sin x  0  x  k 
 sin x  1  x 



 sin x  1  x  






 k 2
2


 k

4


 tan x  1  x    k 
4
 tan x  1  x 


 k
2

 cot x  1  x   k 

4

 cot x  1  x    k 
4
 cot x  0  x 

 tan x  0  x  k 


 cos x  1  x  k 2

 cos x  0  x   k  
2
 cos x  1  x    k 2



Nếu   [1;1], k   và không là cung góc đặc biệt thì:
x  arcsin   k 2

 cos x    x   arccos   k 2.
 sin x    
.
x



arcsin


k
2


 tan x    x  arctan   k .
 cot x    x  arccot   k .
1. Giải phương trình: sin 2x  1/2.

2. Giải phương trình: sin 3x  2/2.

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

Đáp số: S  {/12  k ; 5/12  k , k  }.

Đáp số: S  {/12  k 2/3; /4  k 2/3}. ........

3. Giải phương trình: 2 sin(2x  /6)  1.

4. Giải phương trình: 2 sin(3x  /4) 

3.

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

Đáp số: S  {/6  k ; /2  k , k  }.

ĐS: S  {7/36  k 2/3; 11/36 k 2/3}.

Ths. Lê Văn Đoàn - Ths. Trương Huy Hoµng - Ths. Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến

Trang - 21 -

Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy §oµn)

5. Giải phương trình: 2 sin(x  20)  3 0.

Hàm số & phương trình lượng giác

6. Gii phng trình: sin(4x  45)  sin 2x .

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

Đáp số: S  {80  k 360; 140  k 360}. ...........

Đáp số: S  {22, 5  k 60;  22, 5  k 180}. ....

7. Giải phương trình: sin 3x  1.

8. Giải phương trình: sin 3x  0.

......................................................................................


 k .
2

10. Giải phương trình 2 cos(2x  /3)  3  0.

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

Kết luận: S  {  3/8  k , k  }.

Đáp số: S  {7/12  k ;  /4  k , k  }.

11. Giải ptrình: 2 cos(3x  15)  3  0.

12. Giải phương trình: 2 cos(x  55)  2.

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

......................................................................................

Đáp số: S  {15  k 120, 5  k 120}. ............

Đáp số: S  {100  k 360; 10  k 360}. ............

Ths. Lª Văn Đoàn - Ths. Trương Huy Hoàng - Ths. Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến

Trang - 22 -

de cuong hoc ki 1 dai so va giai tich 11 le van doan

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về