Tổng hợp lý thuyết toán 12 Tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 Giải tích và Hình học đầy đủ

MỤC LỤC


PHẦN I. HÀM SỐ
1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
1.1. Định nghĩa
K
Kí hiệu
là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số

( )

y=f x

K
xác định trên
ta có:
y=f x
K
• Hàm số
được gọi là đồng biến (tăng) trên
nếu:

( )

( )

( )

∀x1, x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f x1 < f x2

( )

y=f x
•

Hàm số

được gọi là nghịch biến (giảm) trên

( )

K

nếu:

( )

∀x1, x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f x1 > f x2

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên
K
trên
* Nhận xét:

( )

K

được gọi chung là đơn điệu

f x
•

Hàm

⇔

•

( )

( )

f x2 − f x1
x2 − x1

( )

( )

x2 − x1

biến

trên

K

Khi đó đồ thị của hàm số

( )

f x2 − f x1

đồng

> 0  ∀x1, x2 ∈ K ,  x1 ≠ x2.

đi lên từ trái sang phải.
f x
Hàm
số

⇔

•

số

nghịch

biến

trên

K

< 0  ∀x1, x2 ∈ K ,  x1 ≠ x2.
Khi đó đồ thị của hàm số

đi xuống từ trái sang phải.
f ′ x > 0, ∀x ∈ a;b ⇒
f x
Nếu
hàm số
đồng biến trên khoảng

( )

( a;b) .

( )

( )


•

f ′ ( x) < 0, ∀x ∈ ( a; b) ⇒

Nếu

( )

f x
hàm số

nghịch biến trên

( a;b) .

•

khoảng
f ′ x = 0, ∀x ∈ a;b ⇒

( )

( )

( )

f x
hàm số

Nếu

không đổi trên khoảng

( a;b) .
( )

( a;b) ⇒ f ′ ( x) ≥ 0, ∀x ∈ ( a;b) .

f x
•

Nếu

( )

đồng biến trên khoảng

f x
•

Nếu

nghịch biến trên khoảng

•

Nếu thay đổi khoảng

( a;b)

( a;b) ⇒ f ′ ( x) ≤ 0, ∀x ∈ ( a;b) .

bằng một đoạn hoặc nửa khoảng

( )

f x
thì phải bở sung thêm giả thiết “hàm số
đoạn hoặc nửa khoảng đó”.
1.2. Quy tắc và cơng thức tính đạo hàm

( )

( )

liên tục trên

u = u x ; v = v x ;C :
Quy tắc tính đạo hàm: Cho
′
u ± v = u′ ± v′.
• Tổng, hiệu:
′
′
u.v = u′.v + v′.u ⇒ C .u = C .u′.
• Tích:

(

( )

)

(

)

 u  u′.v − v′.u
 C ′
C .u
,
v

0

=

ữ=

ữ
v2
u2
v
u

(

ã

Thng:

l hng s .

)

( )

( )

y = f u , u = u x ⇒ yx′ = yu′ .ux′
•

Đạo hàm hàm hợp: Nếu

1.3. Bảng cơng thức tính đạo hàm
Đạo hàm của hàm sơ Đạo hàm của hàm hợp
cấp
′
′
C =0
xα = α .xα −1
(C là hằng số).
′
′
xα = α .xα −1
uα = α .uα −1.u′

( )

( )

( )

( )

.


 1 ′
1
 ÷ = − 2 (x ≠ 0)
x
x

 1 ′
u′
 ÷ =− 2 u ≠ 0
u
u

( x ) ′ = 21x ( x > 0)

( u ) ′ = 2u′u ( u > 0)

( sinx) ′ = cosx

( sinu) ′ = u′.cosu

( cosx) ′ = − sin x

( cosu) ′ = −u′.sinu

( tanx) ′ = cos1 x

( tanu) ′ = cosu u

( cot x) ′ = − sin1 x

( cot u) ′ = − sinu u

( e ) ′ =e

( e ) ′ = u′.e

(

′

2

2

′

2

x

)

2

x

u

u

( a ) ′ = a .lna

( a ) ′ = u′.a .lna

( ln x ) ′ = x1

( ln u ) ′ = uu′

( log x ) ′ = xln1 a

u′
( log u ) ′ = u.ln
a

x

x

u

a

u

a

1.4 . Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức
 ax + b ′
ad − bc
.

÷ =
2
 cx + d 
cx + d

(

•

)

a   b

x2 + 2

a   c

x+

d   f
 ax2 + bx + c ′ d   e
=
 2
÷
 dx + ex + f 
dx2 + ex + f
•

(

)

2

1.5. Đạo hàm cấp 2

1.5.1. Định nghĩa
′
f ′′ ( x) =  f ′ ( x) 

1.5.2. Ý nghĩa cơ học

b   c
e   f

.


()

s= f t
Gia tốc tức thời của chuyển động

( )

tại thời điểm

t0

là:

( )

a t0 = f ′′ t0 .
1.5.3. Đạo hàm cấp cao
f

( n)

* Một số chú ý:

n −1

( )

f x
•

Nếu hàm số

′

( x) =  f ( ) ( x)  , ( n ∈ ¥ , n ≥ 2)

( )

( )

.

gx
và

( )

f x +g x

thì hàm số

K

cùng đồng biến (nghịch biến) trên

cũng đồng biến (nghịch biến) trên

( )

K.

( )

f x −g x

•

Tính chất này có thể khơng đúng đối với hiệu
.
f x
gx
Nếu hàm số
và
là các hàm số dương và cùng đồng

( )

( )

( ) ( )

f x .g x

K

biến (nghịch biến) trên
thì hàm số
cũng đồng biến
K.
(nghịch biến) trên
Tính chất này có thể khơng đúng khi các

( ) ( )

f x ,g x

K.
không là các hàm số dương trên
u=u x
x ∈ a;b
u x ∈ c;d
Cho hàm số
, xác định với
và
.

hàm số
•

( )

f u( x) 

Hàm số
Ta có nhận xét sau:

( )

( )

x ∈ a;b
cũng xác định với

( )

u=u x
•

Giả sử hàm số
f u( x) 

( ) ( )

.

( )

x ∈ a;b
đồng biến với

( )

( )

. Khi đó, hàm số

x ∈ a;b ⇔ f u
đồng biến với

đồng biến với

u∈ ( c; d)

.


( )

u=u x
•

Giả sử hàm số
số

( )

f u x 

nghịch biến với

nghịch biến với

x ∈ ( a; b)

x ∈ ( a; b) ⇔ f ( u)

. Khi đó, hàm

nghịch biến với

( )

u ∈ c;d

.
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
f
K
Giả sử hàm số có đạo hàm trên

( )

f' x ≥0
•

Nếu

với mọi

x∈K

và

chỉ tại mợt số hữu

f

x∈ K

•

( )

f' x =0

K
hạn điểm
thì hàm số đồng biến trên .
f' x ≤0
f' x =0
x∈K
Nếu
với mọi
và
chỉ tại mợt số hữu

( )

hạn điểm

( )

x∈K

thì hàm số

f

nghịch biến trên

K

.

Chú ý:

y=
* Đối với hàm phân thức hữu tỉ
y′
dấu đạo hàm
không xảy ra.

( )

ax + b 
d
x ≠ − ÷
cx + d 
c

thì dấu

"= "

khi xét

( )

y = f x = ax3 + bx2 + cx + d ⇒ f ′ x = 3ax2 + 2bx + c.
Giả sử

¡
Hàm số đồng biến trên
 a > 0

 ∆ ≤ 0
⇔ f ′ x ≥ 0; ∀x ∈ ¡ ⇔  a = 0 .

 b = 0

 c > 0

¡
Hàm số nghịch biến trên
 a < 0

 ∆ ≤ 0
⇔ f ′ x ≤ 0; ∀x ∈ ¡ ⇔  a = 0 .


 b = 0

 c < 0

( )

c

( )

0

a =b=c = 0

( )

f x =d

Trường hợp 2 thì hệ số khác vì khi
thì
(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì khơng đơn điệu)
* Với dạng tốn tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều
l
trên khoảng có độ dài bằng ta giải như sau:


(

)

y′ = f ′ x;m = ax2 + bx + c.
Bước 1: Tính

( x ;x ) ⇔ y′ = 0
1

Bước 2: Hàm số đơn điệu trên

2

có

2

nghiệm phân biệt

 ∆ > 0
⇔
a ≠ 0

( *)

Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có đợ dài bằng

(

⇔ x1 − x2 = l ⇔ x1 + x2

Bước 4: Giải

( *)

)

và giao với

2

− 4x1x2 = l 2 ⇔ S2 − 4P = l 2

( * *)

l

( * *)

để suy ra giá trị m cần tìm.

2. CỰC TRỊ HÀM SỐ
2.1. Định nghĩa
x0 ∈ K
f
Giả sử hàm số
xác định trên tập K và
. Ta nói:
x0
f
•
là điểm cực tiểu của hàm số
nếu tồn tại một khoảng

( a;b)

chứa

Khi đó
•

x0

( )

f x0

•

f ( x0 )

sao cho

( a; b) ⊂ K

x0

( )

( )

( ) { }

f x > f x0 , ∀x ∈ a;b \ x0
và

f
được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số .

là điểm cực đại của hàm số

chứa

•
•
•

x0

sao cho

( a;b) ⊂ K

f

( )

nếu tồn tại mợt khoảng

( )

( ) { }

.

( a;b)

f x < f x0 , ∀x ∈ a;b \ x0
và

f

. Khi đó

được gọi là giá trị cực đại của hàm số .
Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị
của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực
trị (hay cực trị) của hàm số.


•

Nếu

x0

( x ;f ( x ) )
0

là điểm cực trị của hàm số thì điểm

0

được gọi

f

là điểm cực trị của đồ thị hàm số
* Nhận xét:

( )

.

f x0
•

Giá trị cực đại (cực tiểu)

nói chung khơng phải là giá trị
f

lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số

( )

f x0
trên tập D;

chỉ là giá

f

trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số
nào đó chứa

x0

trên mợt khoảng

hay nói cách khác khi

tiểu) sẽ tồn tại khoảng (a;b) chứa

x0

x0

điểm cực đại ( cực

( )

f x0
sao cho

nhất (nhỏ nhất) của hàm số trên khoảng
f
Hàm số
có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên
K

tập . Hàm số có thể khơng có cực trị trên mợt tập cho trước.

2.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Định lí 1:

( )

y=f x
Giả sử hàm số
đạo hàm tại điểm

x0

đạt cực trị tại điểm

•

( )

y=f x
. Khi đó, nếu

có

( )

thì

Đạo hàm

f ′ ( x)

có thể bằng
x0

•

x0

f ′ x0 = 0.

Chú ý:
•

là giá trị lớn

( a;b) .

f

•

( a;b)

0

tại điểm

x0

nhưng hàm số

f

khơng đạt cực trị tại điểm .
Hàm số có thể đạt cực trị tại mợt điểm mà tại đó hàm số khơng
có đạo hàm.
Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại mợt điểm mà tại đó đạo hàm
0
của hàm số bằng hoặc tại đó hàm số khơng có đạo hàm.


2.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2:
x0
f
f
Giả sử hàm số
đạt cực trị tại điểm . Khi đó, nếu hàm số
có đạo
hàm tại điểm

x0

f '( x0 ) = 0

thì

( )

.

(x

f′ x > 0
•

Nếu

( x ;x
0

•

+h

0

trên khoảng

)

thì
f′ x < 0

( x ;x

0

+ h)

thì

− h; x0

)

( )

f′ x < 0
và

trên khoảng

( )

f x .

x0

là một điểm cực đại của hàm số
x0 − h; x0
f′ x > 0
trên khoảng
và
trên khoảng

( )

Nếu

0

0

(

x0

)

( )

( )

f x .
là một điểm cực tiểu của hàm số

2.4. Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1:

( )

f′ x .
•
•

•

Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm
xi

Bước 2: Tìm các điểm
mà tại đó đạo hàm của hàm
số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng khơng có đạo hàm.
f′ x
Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu
. Nếu

( )

( )

f′ x
Định lí 3:

( i = 1;2;...)

đổi dấu khi đi qua

( )

xi

thì hàm số đạt cực trị tại

y=f x
Giả sử
Khi đó:

0

có đạo hàm cấp 2 trong khoảng

( )

( )

f ′ x0 = 0, f ′′ x0 < 0
•

Nếu

(x

( )

− h;x0 + h

xi

)

f

thì hàm số

f ′ ( x0 ) = 0, f ′′ x0 > 0

đạt cực đại tại
f

Nếu
thì hàm số
đạt cực tiểu tại
Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 2:
•

( )

f′ x .
•

Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm

.

với
x0.
x0.

h > 0.


•

Bước 2: Tìm các nghiệm

( i = 1;2;...)

xi

của phương trình

( )

f ′ x = 0.

( )

f ′′ x

( )

f ′′ xi .

Bước 3: Tính
và tính
f ′′ xi < 0
xi .
f
∗ Nếu
thì hàm số đạt cực đại tại điểm
f ′′ xi > 0
xi .
f
∗ Nếu
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
•

( )
( )

3. MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ
y = ax3 + bx2 + cx + d.

3.1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba
3.1.1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn
hồnh độ cho trước
Bài tốn tổng qt:

(

)

y = f x;m = ax3 + bx2 + cx + d.
Cho hàm số

Tìm tham số m để hàm số

x1, x2

K
có cực đại, cực tiểu tại
thỏa mãn điều kiện
cho trước?
Phương pháp:
• Bước 1:
D =¡.
∗ Tập xác định:

y′ = 3ax2 + 2bx + c = Ax2 + Bx + C
∗ Đạo hàm:
• Bước 2:
Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có
cực đại và cực tiểu)
⇔ y′ = 0
y′
có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua 2 nghiệm đó
y′ = 0
⇔
phương trình
có hai nghiệm phân biệt
A = 3a ≠ 0
a ≠ 0
⇔
⇔
⇒ m ∈ D1.
 2
∆ = B 2 − 4AC = 4b2 − 12ac > 0
b − 3ac > 0
 y′

•

Bước 3:
x1, x2
y′ = 0.
Gọi
là hai nghiệm của phương trình

Khi đó:
Bước 4:

•


B
2b
x1 + x2 = − = −
A
3a .

C
c
x .x =
=
 1 2 A 3a

Biến đổi điều kiện

K

về dạng tởng

S

và tích

P

. Từ đó giải ra tìm

m ∈ D2.

được
Bước 5:

•

Kết luận các giá trị m thỏa mãn:

m = D1 ∩ D2.

(

)

y = ax3 + bx2 + cx + d a ≠ 0 .
* Chú ý: Hàm số bậc ba:
y ' = 3ax2 + 2bx + c.

Ta có:

Điều kiện
b − 3ac ≤ 0

Kết ḷn
Hàm số khơng có cực trị.

b2 − 3ac > 0

Hàm số có hai điểm cực trị.

2




Điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu, trái dấu.
Hàm số có 2 cực trị trái dấu
y′ = 0
⇔
phương trình
có hai nghiệm phân biệt trái dấu
⇔ AC
. = 3ac < 0 ⇔ ac < 0.



Hàm số có hai cực trị cùng dấu
y′ = 0
⇔
phương trình
có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
∆y′ > 0

⇔
C
>0

P = x1.x2 =

A



Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương
y′ = 0
⇔
phương trình
có hai nghiệm dương phân biệt

∆y′ > 0

B
⇔ S = x1 + x2 = − > 0
A

C
P = x .x =
>0
1 2

A



Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm
y′ = 0
⇔

phương trình
có hai nghiệm âm phân biệt



∆y ' > 0

B
⇔ S = x1 + x2 = − < 0
A

C
P = x .x =
>0
1 2

A
Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị



x1, x2

thỏa mãn:

x1 < α < x2
x1 < x2 < α

α < x1 < x2

Hai cực trị



x1, x2

(

thỏa mãn

)(

x1 < α < x2

)

(

)

⇔ x1 − α x2 − α < 0 ⇔ x1.x2 − α x1 + x2 + α 2 < 0
x1, x2
x1 < x2 < α
Hai cực trị
thỏa mãn
 x − α x − α > 0
x .x − α x + x + α 2 > 0
2
1
2

⇔ 1
⇔ 1 2
x + x2 < 2α
x1 + x2 < 2α
 1



(

)(

)

(

)

α < x1 < x2

x1, x2

Hai cực trị
thỏa mãn
 x − α x − α > 0
x .x − α x + x + α 2 > 0
2
1
2
⇔ 1

⇔ 1 2
x + x2 > 2α
x + x2 > 2α
 1
 1



(

)(

)

(

)

Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số cợng
−b
x=
3a
khi có 1 nghiệm là
, có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân khi có 1


x = −3

d
a

nghiệm là
.
3.1.2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu
nằm cùng phía, khác phía so với một đường thẳng
Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng:

(

)

(

A xA ;yA , B xB ;yB
Cho 2 điểm

( ax

A

Nếu

)(

)

)

và đường thẳng

+ byA + c axB + byB + c < 0

hai phía so với đường thẳng

∆.

thì hai điểm

∆ : ax + by + c = 0.

A, B

nằm về


( ax

A

Nếu

)(

)

+ byA + c axB + byB + c > 0
thì hai điểm

A, B

nằm cùng

∆.
ới
đườ
n
g
thẳng
phía so v
Một số trường hợp đặc biệt:
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục
Oy
⇔
hàm số có 2 cực trị cùng dấu
y′ = 0
⇔
phương trình
có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục
Oy
⇔
hàm số có 2 cực trị trái dấu
y′ = 0
⇔
phương trình
có hai nghiệm trái dấu
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục
Ox
yC Đ .yCT > 0
y′ = 0

⇔
phương trình
có hai nghiệm phân biệt và
Đặc biệt:
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với
trục Ox
⇔

y′ = 0

yC Đ .yCT > 0

yC Đ + yCT > 0

⇔

y′ = 0

yC Đ .yCT < 0

phương trình
có hai nghiệm phân biệt và
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với
trục Ox
yC Đ .yCT > 0

y + yCT < 0
y′ = 0
 C Đ
⇔

phương trình
có hai nghiệm phân biệt và
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox
phương trình
có hai nghiệm phân biệt và
(áp dụng khi không nhẩm được nghiệm và viết được phương trình
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số)
Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox
⇔
đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
f x =0
⇔
phương trình hồnh đợ giao điểm
có 3 nghiệm phân
biệt (áp dụng khi nhẩm được nghiệm)

( )


3.1.3. Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị

 2c 2b2 
bc
g x = −
÷x + d −
9a
 3 9a 

( )

g( x) = y −

y′.y′′
.
18a

( )

g x =y−

y′.y′′
3y′′′

hoặc
hoặc
3.1.4. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3
là

AB =

4e + 16e3
a

e=

với

b2 − 3ac
9a

y = ax4 + bx2 + c,
3.2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương
3.2.1. Một số kết quả cần nhớ
⇔ ab ≥ 0.
• Hàm số có mợt cực trị
⇔ ab < 0.
• Hàm số có ba cực trị

• Hàm số có đúng mợt cực trị và cực trị là cực tiểu

• Hàm số có đúng mợt cực trị và cực trị là cực đại

• Hàm số có hai cực tiểu và mợt cực đại

• Hàm số có mợt cực tiểu và hai cực đại

a > 0
⇔
b < 0
a < 0
⇔
b > 0

( a ≠ 0)

a > 0
⇔
b ≥ 0
a < 0
⇔

b ≤ 0

.

.

.

.

3.2.2. Một số cơng thức tính nhanh
Giả

sử

hàm

số

y = ax4 + bx2 + c


b
∆ 
b
∆
A(0;c), B  − − ; − ÷,C  − ; − ÷


2a 4a ÷

2a 4a ÷

 

tạo thành tam giác
·
BAC
=a
Đặt:

ABC

thỏa mãn dữ kiện:

ab < 0

có

3

cực

trị:


α −b3
cot
=
2 8a
2

Tổng quát:

Dữ kiện

Tam giác
Tam giác
Tam giác
Tam giác

Công thức
ABC
ABC
ABC

ABC

A

b3 = −24a

đều
có diện tích
có diện tích

ABC

Tam giác
nợi tiếp

vng cân tại

S∆ABC = S0
max(S0)

có bán kính đường trịn

32a3(S0)2 + b5 = 0

S0 = −
r =

r∆ABC = r0
ABC

Tam giác
ngoại tiếp
Tam giác

có bán kính đường tròn

R∆ABC = R

ABC

ab < 0;c ≠ 0

thỏa mãn
b3 = −8a

BC = m0

có đợ dài cạnh
AB = AC = n0
ABC
Tam giác
có đợ dài
B,C ∈ Ox
ABC
Tam giác
có cực trị
ABC
3
Tam giác
có góc nhọn
ABC
O
Tam giác
có trọng tâm
ABC
O
Tam giác
có trực tâm
ABC
O
Tam giác
cùng điểm
tạo thành
hình thoi
ABC

O
Tam giác
có
là tâm đường trịn
nợi tiếp
ABC
O
Tam giác
có
là tâm đường trịn

R=

b5
32a3
b2


b3 
÷
4 a 1 + 1−

8a ÷


b3 − 8a
8a b

am02 + 2b = 0
16a2n02 − b4 + 8ab = 0

b2 = 4ac
b(8a + b3) > 0

b2 = 6ac
b3 + 8a − 4ac = 0
b2 = 2ac
b3 − 8a − 4abc = 0

b3 − 8a − 8abc = 0


ngoại tiếp
ABC
BC = kAB = kAC
Tam giác
có cạnh
ABC
Trục hồnh chia tam giác
thành
hai phần có diện tích bằng nhau
ABC
Tam giác
có điểm cực trị cách đều
trục hoành
C : y = ax4 + bx2 + c
Đồ thị hàm số
cắt
Ox
trục
tại 4 điểm phân biệt lập thành

cấp số cợng
Định tham số để hình phẳng giới hạn

b3.k2 − 8a(k2 − 4) = 0

b2 = 4 2 ac
b2 = 8ac

( )

( C ) : y = ax

4

+ bx2 + c

b2 =

100
ac
9

b2 =

36
ac
5

bởi đồ thị
và trục

hồnh có diện tích phần trên và phần
dưới bằng nhau.
∆ABC
Phương trình đường trịn ngoại tiếp
là:

2 ∆

2 ∆ 
x2 + y2 −  −
+ c ÷y + c  −
÷= 0
 b 4a

 b 4a 
4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
4.1. Định nghĩa.

( )

y=f x
Cho hàm số

xác định trên tập

D.

( )

y=f x

• Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số

 f (x) ≤ M , ∀x ∈ D

∃x0 ∈ D, f (x0) = M

•

Số

m

trên

nếu:

M = max f ( x)

. Kí hiệu:

x∈D

.

( )

y=f x
gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số

 f (x) ≥ m, ∀x ∈ D


∃x0 ∈ D, f (x0) = m

D

trên

D

nếu:

m = minf (x)
x∈D

. Kí hiệu:
.
4.2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN
4.2.1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp


• Bước 1: Tính

f ′ ( x)

x1, x2,..., xn ∈ D

và tìm các điểm

mà tại đó

( )

f′ x = 0
hoặc hàm số khơng có đạo hàm.
• Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của hàm số.
4.2.2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
• Bước 1:

( )

y=f x
∗ Hàm số đã cho

a;b .

xác định và liên tục trên đoạn
a;b
f′ x = 0
x1, x2,..., xn
∗ Tìm các điểm
trên khoảng
, tại đó
hoặc

( )

( )

( )

f′ x

khơng xác định.
f a , f x1 , f x2 ,..., f xn , f b .
• Bước 2: Tính
• Bước 3: Khi đó:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

{ ( ) ( )

( ) ( ) ( )}

( )

{ ( ) ( )

( ) ( ) ( )}

max f x = max f x1 , f x2 ,..., f xn , f a , f b .
∗

a,b

min f x = min f x1 , f x2 ,..., f xn , f a , f b .

∗

a,b

4.2.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng
f ′(x)
• Bước 1: Tính đạo hàm
.
xi ∈ (a;b)
f ′(x) = 0
• Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm
của phương trình

αi ∈ (a;b)

f ′(x)

và tất cả các điểm
làm cho
không xác định.
A = lim+ f (x) B = lim− f (x) f (x ) f(α )
i
i
x→a
x→b
• Bước 3. Tính
,
,
,
.

M = maxf (x)
• Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận

(a;b)

,

m = minf (x)
(a;b)

.
Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết ḷn khơng có giá trị
lớn nhất (nhỏ nhất).
Chú ý:


( )

y=f x
•

Nếu

đồng biến trên

( )

y=f x

( )

( )

a;b

thì

( )
( )

min f x = f a
 a;b

f x =f b
max
 a;b

.

( )
( )

min f (x) = f b
 a;b
.

max
f
(
x
)

=
f
a
 a;b
 

a;b

• Nếu
nghịch biến trên
thì
• Hàm số liên tục trên mợt khoảng có thể khơng có giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.
5. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
5.1. Đường tiệm cận ngang
y = f (x)
Cho hàm số
xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng

( a; +∞ ) , ( −∞;b)

hoặc

( −∞; +∞ )

). Đường thẳng

y = y0

là đường tiệm cận
y = f (x)
ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số
nếu ít nhất một
lim f (x) = y0, lim f (x) = y0

x→+∞

x→−∞

trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
5.2. Đường tiệm cận đứng
x = x0
Đường thẳng
được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận
y = f (x)
đứng) của đồ thị hàm số
nếu ít nhất mợt trong các điều kiện sau
được thỏa mãn:
lim+ f (x) = +∞, lim− f (x) = −∞, lim+ f (x) = −∞ , lim− f (x) = +∞
x→x0

x→ x0

x→x0

x→ x0

y=
Lưu ý:

Với đồ thị hàm phân thức dạng
y=

tiệm cận ngang là

a
c

và tiệm cận đứng

ax + b
c ≠ 0; ad − bc ≠ 0
cx + d

(

)

d
x=− .
c

6. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
6.1. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức
y = ax3 + bx2 + cx + d
6.1.1. Hàm số bậc ba
a>0
TRƯỜNG HỢP

( a ≠ 0)

a< 0

ln có


y/ = 0

Phương trình
có
2 nghiệm phân biệt

y/ = 0

Phương trình
có nghiệm kép

Phương trình
vơ nghiệm

y/ = 0

y = ax4 + bx2 + c
6.1.2. Hàm số trùng phương
a>0
TRƯỜNG HỢP
Phương
y/ = 0

trình

có
3 nghiệm phân
biệt
(ab<0)

( a ≠ 0)
a< 0


Phương

trình

y/ = 0

có
1 nghiệm.

y=

6.1.3. Hàm số nhất biến
D = ad − bc > 0

ax + b
cx + d

( c ≠ 0, ad− bc ≠ 0)
D = ad − bc < 0

6.2. Một số phép biến đổi đồ thị
6.2.1. Dạng 1
Từ đồ thị

( C ) : y = f ( x)

( )
( )

 f x
y=f x =
 f −x

( )

Ta có:

suy ra đồ thị

( )

khi x < 0

* Cách vẽ

là hàm chẵn nên đồ thị

( C ′)

từ

(C )

.

khi x ≥ 0

y=f x
và

( C ′) : y = f ( x )

( C′ )

nhận Oy làm trục đối xứng.

:

• Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị
• Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của

Ví

được giữ qua Oy.
dụ:
Từ
đồ

( C ) : y = f ( x) = x

3

thị

− 3x
suy ra đồ thị

(C )

( C ) : y = f ( x)

.

, lấy đối xứng phần đồ thị

(C ) : y = x

3

( )

3

− 3x C ′ : y = x − 3 x


( C ′) : y = x
Biến đổi

3

− 3x

(C )

.
:

• Bỏ phần đồ thị của

trái

Oy,

(C )

giữ nguyên
Oy.

bên

(C )

bên phải
• Lấy đối xứng phần đồ thị

Oy

được giữ qua

.

6.2.2. Dạng 2

( C ) : y = f ( x)

Từ đồ thị

( )
( )

 f x
y= f x =
− f x

( )

Ta có:

suy ra đồ thị

( C ′)

* Cách vẽ

từ

( C)

( C ′) : y = f ( x)

( )
f ( x) < 0

.

khi f x ≥ 0
khi

:

( )

y=f x

• Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C):
.
• Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị

bỏ qua Ox.
dụ:
Từ

Ví

( C ) : y = f ( x) = x

3

đồ

thị

− 3x

suy ra đồ thị

y = x3 − 3x
.

Biến đổi
•

( C)

:

Bỏ phần đồ thị của
dưới

Ox,

giữ nguyên

(C )
(C )

( C ′) : y = x

3

− 3x ( C ) : y = x3 − 3x


Ox.
phía trên
Lấy đối xứng phần đồ thị
Ox
bị bỏ qua
.

•

( C ′′) : y =

3

x − 3x

( )

y= f x

Chú ý với dạng:

( )

( )

y= f x

y=f x

và
dụ:

Ví

Từ

( C ) : y = f ( x) = x

3

đồ

suy ra đồ thị

3

(C )

. Biến đổi

( C ′) : y = x

( C ′) : y = x
( C ′′) : y =

3

thị

− 3x

y = x − 3x

đồ thị

ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị

3

để được

− 3x
. Biến đổi

− 3x
ta được đồ thị
3

x − 3x

.
6.2.3. Dạng 3
Từ đồ thị

( C ) : y = u ( x) .v ( x)

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

u x .v x = f x
y = u x .v x = 
−u x .v x = f x

( ) ( )

Ta có:

suy ra đồ thị

* Cách vẽ

( C ′)

từ

( C)

( C ′) : y = u ( x) .v ( x)

( )
khi u ( x ) < 0

khi u x ≥ 0

:

( )

u x ≥0
•

Giữ nguyên phần đồ thị trên miền

( )

u x <0
•

Ví dụ

.

Bỏ phần đồ thị trên miền
thị bị bỏ qua Ox.

của

(C )

của đồ thị

( C ) : y = f ( x)

.

, lấy đối xứng phần đồ


a)

Từ

( C ) : y = f ( x) = 2x

đồ
3

− 3x2 + 1
suy ra đồ

( C ′) : y = x − 1 ( 2x

2

thị

thị

)

( )
( )

Đồ thị (C’):
• Giữ nguyên (C) với

• Bỏ (C) với

( C ′) : y =

)

−x−1

 f x
y = x − 1 2x2 − x − 1 = 
− f x

(

b) Từ đồ thị

x<1

( C ) : y = f ( x) = x x− 1
x
x−1

suy ra đồ thị
 x
khi x ≥ 1
khi x ∈ 1; +∞

x
khi x < 1 y =
= x − 1

.
x − 1 − x
khi x ∈ −∞;1
 x − 1

x≥ 1
.

. Lấy đối xứng
phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

(
(

Đồ thị (C’):
•

Bỏ phần đồ thị của
x < 1,

giữ nguyên

)
)

(C )
(C )

với
với

x > 1.
•

Lấy đối xứng phần đồ thị bị
Ox.
bỏ qua

Nhận xét: Trong quá trình thực hiện
phép suy đồ thị nên lấy đối xứng
các điểm đặc biệt của (C): giao điểm
với Ox, Oy, CĐ, CT…

Nhận xét: Đối với hàm phân thức
thì nên lấy đối xứng các đường
tiệm cận để thực hiện phép suy
đồ thị mợt cách tương đối chính
xác.


7. TIẾP TUYẾN
7.1. Tiếp tuyến
Cho hàm số

(

)

y = f ( x)

, có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm

( )(

Trong đó:

)

y = f ′ x0 x − x0 + y0

M 0 x0;y0 ∈ (C )
có dạng:

(

.

)

M 0 x0;y0 ∈ (C )

( )

y0 = f x0

Điểm
được gọi là tiếp điểm. ( với
là hệ số góc của tiếp tuyến.

( )

k = f ' x0
) và

7.2. Điều kiện tiếp xúc

y
y0
x0 O

Cho hai hàm số

( C ) : y = f ( x)

( C ') : y = g( x)

và

nhau khi chỉ khi hệ phương trình:

. Đồ thị

( ) ( )
( ) ( )

 f x = g x
 /
/
 f x = g x

(C )

và

( C ′)

tiếp xúc

có nghiệm.

8. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ
Cho hàm số

y = f (x)

có đồ thị

(C 1)

và

Phương trình hồnh đợ giao điểm của

y = g(x)

(C 1)

và

có đồ thị

(C2 )

(C2 )

.

()

f (x) = g(x) 1
là

. Khi đó:

x


(C1)

• Số giao điểm của

( 1)
•

•

và

(C 2)

bằng với số nghiệm của phương trình

.

Nghiệm
điểm.

x0

( 1)

của phương trình

Để tính tung đợ

( )

y0

chính là hồnh đợ

của giao điểm, ta thay hồnh đợ

x0

x0

của giao

( )

y=f x
vào

y=g x
hoặc
•

Điểm

.

M ( x0 ; y0 )

là giao điểm của

(C 1)

và

(C 2)

.

9. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
9.1. Bài tốn tìm điểm cố định của họ đường cong
(C m )
f
y = f (x, m)
Xét họ đường cong

có phương trình
, trong đó
là hàm
x
m
đa thức theo biến với
là tham số sao cho bậc của m khơng q 2. Tìm
m
những điểm cố định thuộc họ đường cong khi
thay đổi?
Phương pháp giải:
y = f (x, m)
• Bước 1: Đưa phương trình
về dạng phương trình theo ẩn
Am2 + Bm + C = 0
hoặc
.
0
• Bước 2: Cho các hệ số bằng , ta thu được hệ phương trình và giải
m

có dạng sau:

Am + B = 0

A = 0

B = 0

hệ phương trình:

• Bước 3: Kết luận:

hoặc

A = 0

B = 0
C = 0


- Nếu hệ vơ nghiệm thì họ đường cong

(C m )

.

khơng có điểm cố định.
(C m )
- Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của
.