SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 7

SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Tốn 7

I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài :
- Tốn học là một bộ mơn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừu tượng
cao. Đặc biệt là với hình học nó giúp cho học sinh khả năng tính tốn, suy luận logíc
và phát triển tư duy sáng tạo. Việc bồi dưỡng học sinh học tốn khơng đơn thuần chỉ
cung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm
càng nhiều bài tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả năng và thói quen
suy nghĩ tìm tịi lời giải của một bài toán trên cơ sở các kiến thức đã học.
- Qua nhiều năm công tác và giảng dạy Tốn 7 ở trường THCS Bn Trấp
chúng tơi nhận thấy việc học tốn nói chung và bồi dưỡng học sinh năng lực học
tốn nói riêng, muốn học sinh rèn luyện được tư duy sáng tạo trong việc học và giải
tốn thì việc cần làm ở mỗi người thầy, đó là giúp học sinh khai thác đề bài toán để
từ một bài toán ta chỉ cần thêm bớt một số giả thiết hay kết luận ta sẽ có được bài
tốn mới phong phú hơn, vận dụng được nhiều kiến thức đã học nhằm phát huy nội
lực trong giải tốn nói riêng và học tốn nói chung. Vì vậy tơi ra sức tìm tịi, giải và
chắt lọc hệ thống lại một số các bài tập mà ta có thể khai thác được đề bài để học
sinh có thể lĩnh hội được nhiều kiến thức trong cùng một bài toán.
- Với mong muốn được góp một phần cơng sức nhỏ nhoi của mình trong việc
bồi dưỡng năng lực học tốn cho học sinh hiện nay và cũng nhằm rèn luyện khả
năng sáng tạo trong học toán cho học sinh để các em có thể tự phát huy năng lực độc
lập sáng tạo của mình, nhằm góp phần vào cơng tác chăm lo bồi dưỡng đội ngũ học
1

1


SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Tốn 7

sinh giỏi tốn của ngành giáo dục Krơng Ana ngày một khả quan hơn. Chúng tôi xin
cung cấp và trao đổi cùng đồng nghiệp đề tài kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh
khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Tốn 7”. Đề
tài này ta có thể bồi dưỡng năng lực học tốn cho học sinh và cũng có thể dùng nó
trong việc dạy chủ đề tự chọn toán 7 trong trường THCS hiện nay. Mong quý đồng
nghiệp cùng tham khảo và góp ý.
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài
Đây là đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẻ đẹp của mơn
Hình học và đặc biệt nó giúp phát triển rất nhiều tư duy của học sinh, nếu vấn đề này
tiếp tục được khai thác hàng năm và được sự quan tâm góp ý của các thầy cơ thì
chắc hẳn nó sẽ là kinh nghiệm q dành cho việc dạy học sinh khá giỏi.Vì đây là đề
tài rộng nên trong kinh nghiệm này chỉ trình bày một vài chủ đề của mơn Hình lớp
7, chủ yếu là phần đường tròn do chương này gần gũi với học sinh và xuất hiện
nhiều trong các kỳ thi. Chỉ có thể thấy được sự thú vị của những bài toán này trong
thực tế giảng dạy, những bài toán cơ bản nhưng cũng có thể làm cho một số học sinh
khá lúng túng do chưa nắm phương pháp giải dạng tốn này. Khi đi sâu tìm tịi
những bài tốn cơ bản ấy không những học sinh nắm sâu kiến thức mà cịn tìm được
vẻ đẹp của mơn Tốn nói chung và phần Hình học nói riêng. Vẻ đẹp đó được thể
hiện qua những cách giải khác nhau, những cách kẻ đường phụ, những ý tưởng mà
chỉ có thể ở phần Hình học mới có, làm được như vậy học sinh sẽ u thích mơn
Tốn hơn. Đó là mục đích của bất kì giáo viên dạy ở mơn nào cũng cần khêu gợi
được niềm vui, sự yêu thích và niềm đam mê của học sinh ở mơn học đó. Nhưng
2

2


SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Tốn 7

mục đích lớn nhất trong việc dạy học là phát triển tư duy của học sinh và hình thành
nhân cách cho học sinh. Qua mỗi bài tốn học sinh có sự nhìn nhận đánh giá chính
xác, sáng tạo và tự tin qua việc giải bài tập Hình đó là phẩm chất của con người mới.
3. Đối tượng nghiên cứu
Một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Tốn 7 (tập 1,2).
4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu.
Phạm vi nghiên cứu học sinh trường THCS Buôn Trấp, chủ yếu là học sinh
khối 7 và tài liệu bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi các cấp qua nhiều năm học.
Thời gian thực hiện trong các năm học 2015 - 2018.
5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận
Nhóm phương pháp này nhằm thu thập các thông tin lý luận để xây dựng cơ
sở lý luận của đề tài. Thuộc nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận, có các phương
pháp nghiên cứu cụ thể sau đây:
- Phương pháp phân tích - tổng hợp tài liệu.
- Phương pháp khái quát hóa các nhận định độc lập.
5.2. Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn
Nhóm phương pháp này nhằm thu thập các thông tin thực tiễn để xây dựng cơ
sở thực tiễn của đề tài. Thuộc nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn có các phương pháp nghiên cứu cụ thể sau đây.
3

3


SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Tốn 7

- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm giáo dục.

- Phương pháp nghiên cứu các sản phẩm hoạt động.
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia.
5.3. Phương pháp thống kê tốn học
Sử dụng các cơng thức thống kê và các phần mềm để xử lý số liệu thu
được.

II. PHẦN NỘI DUNG
1.Cơ sở lí luận
Qua việc giảng dạy thực tế nhiều năm ở THCS chúng tôi thấy hiện nay đa số
học sinh sợ học phần Hình học. Tìm hiểu ngun nhân tơi thấy có rất nhiều học sinh
chưa thực sự hứng thú học tập bộ mơn này vì chưa có phương pháp học tập phù hợp
với đặc thù bộ mơn, sự hứng thú với phần Hình học là hầu như ít có. Có nhiều
ngun nhân, trong đó ta có thể xem xét những nguyên nhân cơ bản sau:
- Đặc thù của bộ mơn Hình học là mọi suy luận đều có căn cứ, để có kĩ năng
này học sinh không chỉ phải nắm vững các kiến thức cơ bản mà cịn phải có kĩ năng
trình bày suy luận một cách logic. Kĩ năng này đối với học sinh là tương đối khó,
đặc biệt là học sinh lớp 7 các em mới được làm quen với chứng minh Hình học. Các
em đang bắt đầu tập dượt suy luận có căn cứ và trình bày chứng minh Hình học
4

4


SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Tốn 7

hồn chỉnh. Đứng trước một bài tốn hình học học sinh thường khơng biết bắt đầu từ
đâu, trình bày chứng minh như thế nào.
- Trong q trình dạy tốn nhiều giáo viên còn xem nhẹ hoặc chưa chú trọng
việc nâng cao, mở rộng, phát triển các bài toán đơn giản ở SGK hoặc chưa đầu tư

vào lĩnh vực này, vì thế chưa tạo được hứng thú cho học sinh qua việc phát triển vấn
đề mới từ bài toán cơ bản.
- Việc đưa ra một bài toán hoặc phát triển một bài toán cho phù hợp với từng
đối tượng học sinh để có kết quả giáo dục tốt cịn hiều hạn chế.
- Học sinh THCS nói chung chưa có năng lực giải các bài tốn khó, nhưng
nếu được giáo viên định hướng về phương pháp hoặc kiến thức vận dụng, hoặc gợi ý
về phạm vi tìm kiếm thì các em có thể giải quyết được vấn đề.
- Ngay cả với học sinh khá giỏi cũng cịn e ngại với phân mơn Hình học do
thiếu sự tự tin và niềm đam mê.
2. Thực trạng
Trong hoạt động dạy và học Tốn nói chung, đối với bộ mơn hình học nói
riêng thì vấn đề khai thác, nhìn nhận một bài tốn cơ bản dưới nhiều góc độ khác
nhau nhiều khi cho ta những kết quả khá thú vị. Ta biết rằng ở trường phổ thơng,
việc dạy tốn học cho học sinh thực chất là việc dạy các hoạt động toán học cho họ.
Cụ thể như khi truyền thụ cho học sinh một đơn vị kiến thức thì ngồi việc cho học
sinh tiếp cận, nắm vững đơn vị kiến thức đó thì một việc khơng kém phần quan
trọng là vận dụng đơn vị kiến thức đã học vào các hoạt động toán học. Đây là một
5

5


SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Tốn 7

hoạt động mà theo tơi, thơng qua đó dạy cho học sinh phương pháp tự học - Một
nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên đứng lớp . Xuất phát từ quan điểm trên,
vấn đề khai thác và cùng học sinh khai thác một bài toán cơ bản trong sách giáo
khoa để từ đó xây dựng được một hệ thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao đến bài
toán khó là một hoạt động khơng thể thiếu đối với người giáo viên. Từ những bài

toán chuẩn kiến thức, giáo viên khơng dừng ở việc giải tốn. Việc khai thác một số
bài tốn hình học cơ bản trong SGK khơng những gớp phần rèn luyện tư duy cho HS
khá giỏi mà còn tạo chất lượng, phù hợp với giờ học, gây hứng thú cho HS ở nhiều
đối tượng khác nhau.
+ Để giải quyết vấn đề trên trong quá trình giảng dạy cần chú trong các bài
toán ở SGK. Biết phát triển các bài toán đơn giản đã gặp để tăng vốn kinh nghiệm
vừa phát triển năng lực tư duy toán học, vừa có điều kiện tăng khả năng nhìn nhận
vấn đề mới từ cái đơn giản và từ đó hình thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán sau
này.
+ Việc phát triển một bài toán phù hợp với từng đối tượng học sinh là rất cần
thiết và quan trọng, nó vừa đảm bảo tính vừa sức và là giải pháp có hiệu quả cao
trong việc giải tốn vì nó khơng tạo cho học sinh sự nhụt chí mà là động lực thúc
đẩy giúp cho học sinh có sự tự tin trong q trình học tập, bên cạnh đó cịn hình
thành cho các em sự yêu thích và đam mê bộ môn hơn.
- Các em phải được tập suy luận từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp.

6

6


SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Tốn 7

- Phát huy được khả năng sáng tạo, phát triển khả năng tự học, hình thành cho
học sinh tư duy tích cực ,độc lập và kích thích tị mị ham tìm hiểu đem lại niềm vui
cho các em.
+) Các nguyên nhân, các yếu tố tác động

*) Học sinh không giải được:

- Học sinh chưa biết liên hệ giữa kiến thức cơ bản và kiến thức nâng cao.

- Chưa có tính sáng tạo trong giải toán và khả năng vận dụng kiến thức chưa

linh hoạt.

*) Học sinh giải được:

- Trình bày lời giải chưa chặt chẽ, mất nhiều thời gian.

- Chưa sáng tạo trong vận dụng kiến thức.

Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,…để nâng cao kiến
thức chưa nhiều, nên khả năng học mơn Tốn giữa các em trong lớp học không đồng

7

7


SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Tốn 7

đều. Bên cạnh đó một bộ phận khơng nhỏ học sinh cịn yếu trong kỹ năng phân tích
và vận dụng …
Một số bộ phận phụ huynh học sinh không thể hướng dẫn con em mình giải
các bài tốn hình. Vì vậy chất lượng làm bài tập ở nhà còn thấp.
3. Nội dung và hình thức của giải pháp:
a. Mục tiêu của giải pháp:

- Tìm tịi, tích lũy các đề tốn ở nhiều dạng trên cơ sở vận dụng được các kiến
thức cơ bản đã học.
- Hướng dẫn học sinh tìm hiểu đề bài.
- Giải hoặc hướng dẫn học sinh cách giải.
- Khai thác bài toán và giúp học sinh hướng giải bài toán đã được khai thác
- Trang bị cho các em các dạng toán cơ bản, thường gặp.
- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
- Kỹ năng nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp trong từng
trường hợp cụ thể. Giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
- Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức của học sinh thông qua các bài kiểm
tra. Qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương pháp giảng dạy.
- Tạo hứng thú, đam mê, u thích các dạng tốn hình học, thơng qua các bài
tốn có tính tư duy.
b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp
8

8


SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Tốn 7

- Từ bài toán sách giáo khoa toán 7 (Bài 65- trang 137_SGK_Tốn 7_tập
1_NXB giáo dục 2003)
Bài tốn 1:
µ < 900
Cho ABC cân tại A( A
), Vẽ BH ⊥ AC (H ∈ AC) , CK ⊥ AB (K ∈ AB) .

1.1.

Chứng min rằng AH = AK.

1.2.

Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh rằng AI là tia phân giác của
µ
A

Giải:

GT

KL

µ

Cho ABC cân tại A( A < 90 )
BH ⊥ AC (H ∈ AC) , CK ⊥ AB (K ∈ AB)
0

BH ∩ CK tại I

C/m: 1.1. AH = AK
·
·
= IAC
1.2. IAB

Phân tích bài tốn 1:

- Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau hay hai góc bằng nhau, thông thường ta
phải ghép vào hai tam giác chứa hai đoạn thẳng hoặc hai gốc đó bằng nhau (Tuy
nhiên cịn nhiều cách khác). Vậy để chứng minh AH = AK ta phải chứng minh hai
tam giác nào bằng nhau?
- Hai tam giác đó bằng nhau theo trường hợp nào?

9

9


SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Tốn 7

- Giả thiết đã cho ta được gì rồi? Có thể chứng minh hai đoạn thẳng đó bằng nhau trực
tiếp không? Hay phải thông qua các yếu tố trung gian nào?
- Bằng các câu hỏi gợi mở, giáo viên để học sinh thảo luận rồi đưa ra phương án
chứng minh riêng của học sinh.
- Giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh theo một trong hai sơ đồ sau:
Sơ đồ 1

Sơ đồ 2

⇑
AB = AC (∆ABC cân)

BK = CK (vì AB =AC)

·
KAH

chung
∆KCB = ∆HBC

·
·
BC chung; KBC = HCB (ABC cân)

- Tương tự như trên giáo viên nêu hệ thống câu hỏi gợi mở giúp học sinh tìm ra được
lời giải câu 1.2 theo một trong các sơ đồ sau:

10

Sơ đồ 1

Sơ đồ 2

AI là tia phân giác của góc A

AI l tia phõn giỏc ca gúc A

à 1= A
ả
A
2

à 1= A
¶
A
2

10


SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Tốn 7

∆AKI = ∆AHI

∆ABI = ∆ACI

AK = AH (c/m ở câu a) ; AI chung

à
ả
+ B1 = C1 ( KCB = ∆HBC )

+ AB = AC (ABC cân)
+ AI cạnh chung
- Theo câu 1.1, ta đã chứng minh được AK =AH, cho ta biết điều gì?
-

∆ABC cân

tại A, ta tính số đo góc B như thế nào?

- Hai góc B và K ở vị trí nào? Nhận xét gì về vị

trí của hai

cạnh KH và BC ?

Bài toán 1.3. Chứng minh rằng: KH // BC
-

∆AKH là

tam giác cân tại A. Do đó học sinh chỉ ra được

·
1800 − BAC
·
·
AKH
= AHK
=
2

- Vì

∆ABC cân

(1)

tại A, nên học sinh chứng minh được :

·
1800 − BAC
·
·
ABC
= ACB

=
2

(2)
·
·
- Từ (1) và (2) suy ra: AKH = ABC , mà hai góc này ở vị trí đồng vị, điều này

giúp học sinh chứng minh được: KH // BC.
11

11


SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Tốn 7

- Nhận xét gì về vị trí tương đối của hai cạnh AI và BC? Ta có bài tốn sau:
Bài tốn 1.4. Chứng minh rằng: AI vng góc với BC.
Ở bài tốn A (hình 2),

∆ABC cân

tại A AB = AC

µ ¶
Học sinh đã chứng minh được A1 = A 2 , có thêm AN là cạnh chung, nên suy ra:
0
µ 1= N
ả

à ả
ABN = ACN (c.gc
.) N
2 m N1 + N 2 = 180 (k bự)
0
à 1= N
ả = 180 = 900
⇒N
2
2
⇒ AN ⊥ BC hay AI ⊥ BC

Vì học sinh đã chứng minh được KH // BC ( bài toán 3) mà bài toán 2 lại
chứng minh được

AI ⊥ BC ,

nên ta có AI ⊥ KH .

Từ đó giúp học sinh dễ dàng chứng minh được bài toán sau:
Bài toán 1.5. Chứng minh rằng: AI ⊥ KH .
. ) ⇒ BN = NC ⇒ N
Như đã chứng minh ở bài tốn 2 (hình 2): ∆ABN = ∆ACN (c.gc

là trung điểm của BC:
Từ đó giúp học sinh tìm được lời giải cho bài toán
sau:
Bài toán 1.6. Chứng minh rằng: AI đi qua trung
điểm của BC.
Bài toán khác tương tự:

Bài toán 1.7. Chứng minh rằng: AI đi qua trung điểm của KH.

12

12


SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Tốn 7

Tổng hợp các bài tốn trên (hình 3), học sinh chứng minh được các bài toán
tương tự sau:
Bài toán 1.7. Chứng minh rằng: AI vừa là đường
phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến,
đường trung trực của ∆ABC.
- Với giả thiết của bài tốn (hình 4), học sinh đã chứng minh được AI ⊥ KH
tại D.

Mà

¶ =H
¶
A
2
1

¶ ¶
¶ ¶
·
(cùng phụ AHD ), Mà A1 = A 2 ⇒ A1 = H1 hay

· = KHB
·
BAI

 Đến đây học sinh sẽ định hướng cần phải làm gì khi bắt gặp bài toán sau:
·
·
Bài toán 1.8. Chứng minh rằng BAI = KHB .

 Sau khi chứng minh xong bài toán 7, thì

·
BAI

cịn bằng góc nào nữa trong hình vẽ

trên.
Từ đó ta có bài tốn sau:
·
·
Bài tốn 1.9. Chứng minh rằng BAI = HBC .

· = KHB
·
BAI
(cmt) ·
·
 ⇒ BAI = HBC
·KHB = HBC

·
(slt)
Ta có:
·
·
 Nhận xét gì về hai góc: BAC; HBC ?

13

13


SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Tốn 7

µ < 900
Bài tốn 1.10: Cho ∆ABC cân tại A ( A
), vẽ đường cao BH (H ∈ AC)

Chứng minh rằng

Ta có:

·
BAC
·
HBC
=
2

.

.


¶ =A
¶ = 1 BAC(
·
A
cmt) ·
1·
1
2
2
 ⇒ HBC = BAC
2

·
·
BAI
= HBC
(cmt)


 Để chứng minh được bài 9, thì chúng ta cần phải kẻ thêm đường phụ nào?
- Đây là một bài tốn tương đối khó đối với học sinh lớp 7. Tuy nhiên bài tốn này có
nhiều cách chứng minh khác nhau, nhưng để chứng minh được đòi hỏi học sinh cần
phải linh động vẽ thêm đường phụ.
- Nếu ta đảo lại một số dữ kiện ở giả thiết của bài tốn ban đầu thì ta sẽ có thêm các
bài tốn khác nữa. Củ thê như sau:

Bài tốn

µ < 900
1.11. Cho ∆ABC cân tại A ( A
), vẽ đường cao BH (H ∈ AC) .

Trên canh AB lấy điểm K sao cho AK = AH. Chứng minh rằng:
a) KH // BC

;

b) CK ⊥ AB

(Bài 40- trang 48 – Sách nâng cao và phát triển toán 7 – NXB Giáo dục 2003)
- Chứng minh câu a tương tự bài toán 2.
- Để chứng minh CK ⊥ AB ta làm thế nào?

0
·
·
+ Chứng minh AKB = 90 ; dự đoán xem AKB có thể bằng góc nào trong hình vẽ?

+ Chứng minh:

14

0
0
·
·

∆AHB = ∆AKC ; AHC = 90 (gt) ⇒ AKB = 90

(đpcm)

14


SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Tốn 7

µ < 90
Bài tốn 1.12: Cho ∆ABC cân tại A ( A
), Một điểm I nằm trong tam giác
0

sao cho IB = IC. Chứng minh rằng:
a)

· = CAI
·
BAI

- Ta có:

;

b)

AI ⊥ BC

IB = IC(gt) 
⇒
AB = AC (gt) AI là đường trung trực của đoạn

thẳng AB.

- Xét ∆ABC cân tại A ⇒(dpcm)
- Nếu ta thay giả thiết

µ > 900
A

thì bài tốn có chứng minh được hay khơng? Sự thay đổi

đó có cần phải phân chia các trường hợp hay khơng?
+) Ở các bài tốn 1,2,3,4,5,6,8,9,10 nếu thay đổi

µ
A
thì

bài tốn khơng ảnh

hưởng, vẫn chứng minh bình thường.
µ > 900
A

+) Đối với bài tốn 7 thì có ảnh hưởng. Vì khi

thì

· ; KHB
·
BAI

- Từ đó ta có bài tốn sau:

bù nhau

I

µ < 90
Bài toán 1.13. Cho ∆ABC cân tại A ( A
), có các
0

H

K
A

đường cao BH, CK (H ∈ AC, K ∈ AB) cắt nhau tại I. Hãy cho

B

N

C

biết mối quan hệ giữa hai góc BAI và HBC

- Nếu BH, CK là các đường trung tuyến thì ta sẽ có một số bài tốn sau:
µ < 90
Bài tốn 2: Cho ∆ABC cân tại A ( A
), có các đường trung tuyến BH, CK
0

A

1
(H ∈ AC, K ∈ AB) . Chứng minh rằng: HK = 2 BC
K

H

D

15

15
B

C


SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Tốn 7

Giải:

GT

µ

Cho ABC cân tại A( A < 90 )
AH = HC (H ∈ AC) , AK = KB (K ∈ AB)

KL
C/m:

HK =

0

1
BC
2

Hướng dẫn giải:
1
+Để chứng minh KH = 2 BC ⇔ BC = 2KH, ta tạo ra 1 đoạn thẳng = 2 MN, rồi

chứng minh đoạn thẳng đó bằng BC.
+ GV đặt câu hỏi: làm thế nào để tạo ra được đoạn thẳng bằng 2HK?
- Ta vẽ trên tia đối của HK điểm D sao cho HD = HK;
- Ta cần c/m: ∆ BKC = ∆ DCK
Chứng minh:
+ Lấy D ∈ tia đối của tia HK, sao cho HD = KH ⇒ KD = 2KH
+ ∆ AKH = ∆ CDH (c.g.c) ⇒ AK = DC (2 cạnh tương ứng)
µ = HCD
·

⇒ A

µ ·
+ Vì A = HCD và hai góc ở vị trí so le trong ⇒ AB // CD.
·
·
⇒ BKC
= KCD
(so le trong)

+ ∆ BKC = ∆ DCK (c.g.c)
16

⇒

BC = DK (2 cạnh t/ư)
16


SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Tốn 7
1
Mà DK = 2KH (cmt) ⇒ BC = 2KH ⇒ KH = 2 BC

+ ∆ BKC = ∆ DCK (cmt)

·
·
⇒ BCK = CKD

và hai góc ở vị trí so le trong ⇒ MN // BC

Giáo viên đặt tiếp câu hỏi cho học sinh:
?- Ta có thể vẽ hình cách khác khơng?hãy nêu cách chứng minh?
Ta cũng có thể vẽ điểm D trên tia đối của tia KH: KD = KH; cách chứng minh
giống như cách vẽ trên.
Hoặc giáo viên có thể gieo thêm câu hỏi để học sinh về suy nghĩ?
1
?- Vậy liệu có thể vẽ 1 đoạn thẳng trung gian bằng 2 BC, rồi chứng minh nó bằng

KH hay khơng?
Đó cũng chính là cách buộc các em học sinh phải suy nghĩ, tìm tịi để giải
quyết các tình huống; giúp các em tạo thói quen khi gặp bất cứ một bài tốn nào
cũng phải ln đặt ra các tình huống khác nhau và tìm hướng giải quyết.
Bài tốn 2.1: Chứng minh rằng: đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh của
tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ 3.
Hướng dẫn giải:
Cách vẽ đường phụ trong bài này tương tự như bài toán 2.
* Chú ý: Bài toán 2 và 2.1 chính là nội dung tính chất đường trung bình của tam
giác trong chương trình tốn 8. Nhưng muốn sử dụng nó để giải quyết các bài tập
trong chương trình tốn 7 thì giáo viên cần đưa dưới dạng 2 bài toán phụ sau đây:
17

17


SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Tốn 7

1.“ Đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh của một tam giác thì song song và

bằng nửa cạnh thứ ba”
2. “Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với
cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba”
Bài toán 2.2: Cho ∆ ABC , trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM. Tia
CI cắt cạnh AB ở D. Chứng minh rằng:
1
a) AD = 2 BD

;

1
b) ID = 4 CD

Hướng dẫn giải:
A

1
+ Để chứng minh AD = 2 BD ta tạo ra 1 đoạn thẳng

D
I
E

1
bằng 2 BD, rồi chứng minh đoạn thẳng đó bằng AD. B

M

C

1
⇒
a)+ Gọi E là trung điểm của BD
DE= 2 BD

Xét ∆ BDC có EM//DC (theo bài 2)
1
⇒
+ ∆ AEM có: IA=IM; DI//EM DA = DE= 2 BD (theo bài 2.1)

b) áp dụng bài toán 2.
Bài toán 2.3: Cho ∆ ABC cân tại đỉnh A, trung tuyến AM và phân giác BD.
Tính các góc của ∆ ABC nếu biết rằng BD = 2AM.
Hướng dẫn giải:
18

18


SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Tốn 7

Vì ∆ ABC cân tại đỉnh A, trung tuyến AM ⇒ M là trung điểm của BC.

MàABD = 2AM, nên ta nghĩ đến việc vẽ điểm E là trung điểm của DC để có thể áp
D
E

C

dụngI được bài tốn 2 ⇒ BD = 2 ME ⇒ AM = ME
B
Từ đó
tìm được mối
quan hệ giữa các góc trong ∆ ABC.
M

+ Gọi E là trung điểm của DC
1
-Xét ∆ BDC có ME = 2 BD (bài toán 2)
⇒

AM = ME ⇒ ∆ AME cân tại M

·
·
µ + CME
·
µ + MBD
·
⇒ MAE
= MEA
=C
=C
0

·
µ ⇒C
µ =B
$ = 180 = 360

⇒ BAC
= 3C
·BAC = 2MAC
·
5
Mà
·
⇒ BAC
= 3.360 = 1080

*Bài toán 3: hứng minh rằng: trong một tam giác vuông, đường trung tuyến
ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Giải:

GT

KL

D

C

Cho ABC vuông tại A
BM = MC (M ∈ BC)

C/m:

AM =

1

BC
2

M

A

B

Hướng dẫn giải:
19

19


SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Tốn 7

+ Với bài tốn này, việc vẽ thêm hình cũng tương tự như bài toán 2, tức là tạo
ra 1 đoạn thẳng gấp 2 lần đoạn AM, sau đó đi chứng minh nó bằng BC.
+ Do đó ta phải lấy D thuộc tia đối của MA: MD = MA.
+ C/m: ∆ ABC = ∆ BAD (c.g.c) ⇒ BC = AD.
Đây cũng là nội dung 1 bài toán phụ nữa mà học sinh thường dùng để giải
các bài tốn hình học.
Trong quá trình dạy học giáo viên cần cho học sinh học thuộc nội dung các
bài toán phụ trên và nhất là phải hiểu và chứng minh một cách thành thạo các bài
tốn phụ đó để áp dụng vào làm bài tập.
Bài toán 3.1: Cho ABC, AB < AC; đường cao AH. Gọi M, N, P lần lượt là
A

trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng:

P
N

a) NP là đường trung trực của AH.
B

H

M

C

b) MP = NH
Hướng dẫn giải:
1

PA = PH = AB(cmt) 

2
⇒
1
HN = AN = AC(cmt)
 NP là đường trung trực của AH.
2
a) Ta Chứng minh:
1

PM = AC(cmt)


2
 ⇒ PM = HN (dpcm)
1
HN = AN = AC(cmt)

2
b)

20

20


SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Tốn 7

c. Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp
Để giúp cho học sinh có thể gặt hái được những thành cơng, địi hỏi các em
phải có một sự nỗ lực rất lớn. Một sự quyết tâm học tập hết khả năng của bản thân
mình. Chính vì vậy, sự động viên, quan tâm, giúp đỡ của lãnh đạo ngành, gia đình
các em và những giáo viên là rất lớn. Nhất là đối với lứa tuổi học sinh lớp 7, đặc
điểm tâm lí lứa tuổi của các em có tác động không nhỏ đến việc học tập của các
emm. Nhận thức rõ điều đó, mỗi giáo viên cần phải dành một sự quan tâm rất lớn
đến các em, thường xuyên động viên, uốn nắn kịp thời để giúp cho các em có thể có
một sự quyết tâm lớn trong cơng việc học tập của mình. Đồng thời giáo viên phải
khéo léo lồng vào các tiết dạy nhằm thu hút và phát huy sự sáng tạo cho học sinh.
Đây là một vấn đề hồn tồn mới mẻ và hết sức khó khăn cho học sinh ở mức trung
bình, giáo viên nên cho các em làm quen dần. Dạng tốn này có tác dụng tương hỗ,
cao dần từ những kiến thức rất cơ bản trong sách giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu

kiến thức biết tư duy sáng tạo, biết tìm cách giải dạng toán mới, tập trung “Sáng tạo”
ra các vấn đề mới.
d. Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu.
Qua nhiều năm tham gia giảng dạy và thử nghiệm về sáng kiến của mình tơi thấy
khả năng vận dụng các bài tốn hình học 7 của học sinh đã có nhiều tiến bộ, thể hiện
ở chỗ đa số học sinh biết cách giải toán linh hoạt, sáng tạo và bước đầu chủ động tìm
tịi kiến thức mới góp phần nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà trường.

21

21


SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Tốn 7

Với đối tượng là học sinh khối 7 trường trung học cơ sở Buôn Trấp, khi áp
dụng đề tài vào giảng dạy cho học sinh lớp thực nghiệm cho thấy: Phương pháp
tư duy, kỹ năng giải bài tập và năng lực sáng tạo của học sinh tốt hơn. Trong các
bài kiểm tra đạt được những kết quả nhất định như sau:
+/ Năm học 2012 - 2013:

Lớp

Sĩ

Số h/s biết cách khai thác và

phát triển bài tốn Hình học.

phát triển bài tốn Hình học.

Số lượng

%

Số lượng

%

42

28

66,7%

14

33,3%

40

27

72,5%

11

27,5%

số
7A

Số h/s chưa biết cách khai thác và

1
7A
2
+/ Năm học 2013 - 2014:

Lớp

Sĩ

Số h/s biết cách khai thác và

phát triển bài tốn Hình học.

phát triển bài tốn Hình học.

Số lượng

%

Số lượng

%

42

25

57,5%

17

40,5%

40

26

65%

14

35%

số
7A

Số h/s chưa biết cách khai thác và

4
7A
5
+/ Năm học 2014 - 2015:
22

22

SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Tốn 7

Lớp

Sĩ

Số h/s biết cách khai thác và

phát triển bài toán Hình học.

phát triển bài tốn Hình học.

Số lượng

%

Số lượng

%

40

24

60%

17

47,5%

40

26

65%

15

37,5%

số
7A

Số h/s chưa biết cách khai thác và

6
7A
7
- Giá trị khoa học: Đề tài giúp giáo viên và học sinh biết cách khai thác và
phát triển một số bài tốn Hình học 7 một cách đơn giản, dễ hiểu, dễ trình bày.
1/ Nhận xét:
Các bài tập Hình đều phát triển dựa trên những bài toán cơ bản trong sách
giáo khoa và sách bài tập nên mục đích cần hướng đến là học sinh trung bình cần
phải làm tốt những bài tập này. Sau đó giáo viên phải giúp cho số học sinh đó hiểu
được một số bài tốn phát triển từ bài tốn cơ bản đó nhưng quan trọng hơn giáo
viên cần giúp cho học sinh hiểu được hướng phát triển một bài toán. Tại sao phải
làm như vậy? Làm như thế đạt được mục đích gì? Qua đó giúp các em say mê mơn

Tốn, số học sinh làm được điều này khơng nhiều vì đây là vấn đề khó cần sự kiên
trì và cố gắng của cả học sinh và giáo viên mặc dù vậy tôi hướng đến 1/3 số học sinh
đạt được điều này, có thể học sinh sẽ khơng tạo ra những dạng mà thầy, cơ đã làm vì
vốn kinh nghiệm của học sinh còn rất hạn chế nên giáo viên cần phải động viên giúp
các em tự tin hơn. Việc sáng tạo đó khơng những cần có kiến thức vơ cùng chắc
chắn mà học sinh cần có sự nhạy cảm của toán học. Điều này chỉ phù hợp với học
23
23


SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Tốn 7

sinh giỏi nên tôi chỉ áp dụng yêu cầu này trong quá trình dạy học sinh giỏi. Cho dù
là học sinh giỏi hay học sinh trung bình khi nhìn một bài tốn dưới nhiều góc độ thì
học sinh đó sẽ tự tin hơn, thích thú hơn với mơn học, yếu tố đó rất quan trọng trong
q trình tự học, nó giúp quá trình rèn luyện hình thành tư duy cho học sinh tốt hơn.
.
2/ Kết quả sau khi áp dụng :
Trên đây là đề tài “Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập
hình học trong Sách giáo khoa Tốn 7” mà chúng tơi đã áp dụng giảng dạy trên thực
tế hiện nay ở trường THCS Buôn trấp, tôi thấy chất lượng kiểm tra đã được nâng lên
đáng kể, đặc biệt là đối tượng học sinh trung bình, cũng như trong q trình ơn
luyện, bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp được nâng lên rõ rệt. Tôi cùng các đồng
nghiệp đã thu được kết quả như sau:
+) Học sinh tiếp thu bài nhanh dễ hiểu hơn, hứng thú tích cực trong học tập và
yêu thích bộ mơn tốn Hình học hơn.
+ Học sinh tránh được những sai sót cơ bản và có kĩ năng vận dụng thành
thạo, phát huy được tính tích cực và sáng tạo thơng qua các bài tốn.
Tuy nhiên để đạt được kết quả như mong muốn, đòi hỏi người giáo viên cần

hệ thống, phân loại bài tập thành từng dạng, giáo viên xây dựng kiến thức cũ đến
kiến thức mới, từ củ thể đến tổng quát, từ dễ đến khó và phức tạp, phù hợp với trình
độ nhận thức của học sinh.
III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
24

24


SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Tốn 7

1.Kết luận
Mỗi dạng bài tốn Hình có những phương pháp giải bài tập khác nhau, tuy
nhiên khi làm bài tập Hình học, nếu học sinh có được cái nhìn ở các góc cạnh khác
nhau thì sẽ hiểu sâu sắc bài tập Hình học và hơn nữa tìm được cái đẹp của mơn
Tốn. Cái nhìn ở các phương diện khác nhau chính là cách thay đổi bài tốn có thể
trở thành bài dễ hơn nhưng cũng có thể thành bài tốn khó hơn. Khi làm được như
vậy thì ý thức tự học của học sinh sẽ cao hơn, những bài tập khó sẽ trở nên dễ hơn,
và quan trọng nhất là học sinh có được sự tự tin khi làm bài tập.
Để làm được như vậy thì giáo viên phải cung cấp cho học sinh hệ thống bài
tập từ dễ đến khó, cho học sinh nhìn thấy những bài tốn khó đều bắt đầu từ những
bài toán cơ bản. HS cảm thấy bản thân cũng có thể tạo ra các bài tốn có dạng tương
tự như vậy. Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài này, giúp học sinh thay đổi cách nhìn về
bài tốn, thay đổi phong cách học tập và tư duy cho phù hợp với lứa tuổi, bằng cách
nêu nên cách dạy một số bài tốn Hình học cơ bản trong sách giáo khoa, thay đổi,
phát triển bài tốn đó thành những bài tốn khác nhau. Làm được như vậy học sinh
sẽ thấy tự tin hơn khi gặp bài tốn lạ có khả năng tự tìm lời giải cho bài tốn, phát
huy tính sáng tạo để đáp ứng nhu cầu của cuộc sống hiện đại.
- Mặc dù bản thân tơi đã có cố gắng nhiều trong q trình viết nhưng vì thời

gian nghiên cứu chưa nhiều, năng lực có hạn, q trình cơng tác và kinh nghiệm cịn
ít nên khơng thể tránh được những thiếu sót. Rất mong nhận được các ý kiến đóng

25

25