phân loại một số dạng toán về ma trận

Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
Trang bìa
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 1 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
Mục lục
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 2 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
Lời cảm ơn
Trước tiên cho em gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Trần Mạnh Hùng
là người trực tiếp hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận.
Chính nhờ sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy cùng với các tài liệu thầy cung
cấp giúp em có thể hoàn thành tốt đề tài này.
Cũng xin cho em gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong nhà trường và
đặc biệt là các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Tin đã góp ý để hoàn thiện đề
tài. Các thầy cô giáo đã dạy giỗ em trong suốt thời gian hoàn thành khóa học
của mình.
Em cũng xin được cảm ơn các anh chị khóa trước, các bạn bè xung quanh,
gia đình và tất cả mọi người xung quanh em, luôn động viên giúp đỡ em trong
những khó khăn, chính nhờ sự động viên không nhỏ đó giúp bản thân em ngày
càng cố gắng học tập và hoàn thành tốt khóa học của mình.
Một lần nữa em xin cảm ơn tất cả quý thầy cô giáo đã dạy dỗ em trong
suốt thời gian ngồi trong ghế nhà trường, chính sự dạy dỗ đó em học được rất
nhiều điều bổ ích cho chuyên nghành của mình và trong cuộc sống.
Em xin cảm ơn!
Người thực hiện
Tạ Minh Thanh
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 3 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”

PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết Toán học là một phần của cuộc sống. Sự ứng dụng
của Toán học đóng vai trò ngày càng quan trọng đối với khoa học kỹ thuật.
Chính vì sự quan trọng đó các trường Đại học và Cao đẳng, hầu như đối với
các ngành đào tạo, Toán học được đưa vào từ những năm đầu. Trong đó nội
dung chủ yếu là Toán học cao cấp, và nội dung cốt lõi Toán học cao cấp chính
là ma trận, ma trận được xây dựng như nội dung cơ sở, nền móng của Toán
học cao cấp.
Mô hình khai sinh ra của lý thuyết toán tử xuất phát từ việc nghiên cứu ma
trận. Mặc dù từ ma trận chỉ được “ James Sylvester ” nhắc đến từ những năm
1980. Các phương pháp về ma trận đã được sử dụng trên 2000 năm trước. Cái
mà chúng ta vẫn gọi như phép tối giản Gauss, thực chất bắt nguồn từ cuốn
sách Toán 9 của Hàn Quốc, Trung Quốc. Cũng giống như vậy, mặc dù Carl
Friedrich Gass đã đưa ra khái niệm “ Định thức” ở thế kỷ XIX, tuy nhiên định
thức đã từng được dự báo hàng thế kỷ trước đó, và được sử dụng năm 1963 ở
Nhật Bản. Hầu như các nhà Toán học trên thế giới rất quan tâm đến nội dung
này của Toán học cao cấp, nó thu hút rất nhiều nhà nghiên cứu Toán lao vào
tìm hiểu và nghiên cứu.
Trị riêng và chéo hóa ma trận được khám phá vào năm 1926, sau đó nhiều
phép Toán đa dạng về ma trận ra đời. Các dạng Toán về ma trận trong Đại số
góp phần rất lớn trong giải tích Toán học và đây cũng là chủ đề được nhiều
nhà khoa học chuyên nghành Toán quan tâm.
Khái niệm ma trận trong đại số được giảng dạy trong chương trình Toán
đại cương của hầu hết các trường Đại học – Cao đẳng. Đây cũng là nội dung
quy định của Hội Toán học Việt Nam trong kỳ thi Olympic Toán học sinh viên
toàn quốc. Không những thế Ma trận cũng được xem như nội dung chính của
Olympic Toán sinh viên toàn quốc và Quốc tế (IMC).
Hơn nữa là sinh viên đã từng tham gia Olympic Toán sinh viên toàn quốc
và nhận được sự hướng dẫn của thầy Trần Mạnh Hùng là người trực tiếp ôn

GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 4 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
luyện cho kỳ thi do đó có điều kiện được tìm hiểu sâu Olympic Toán, nên bản
thân xem như đây là một lợi thế.
Với tất cả các lý do trên đã gợi ý cho em chọn và nghiên cứu đề tài “Phân
loại các dạng Toán về ma trận”.
2. Mục đích nghiên cứu
Từ những lý do trên em đã chọn đề tài với những mục đích sau:
- Hệ thống lại lý thuyết một cách tổng quát về ma trận để xây dựng và
phân loại các dạng Toán về ma trận.
- Đưa ra các phương pháp giải phong phú của một bài Toán ma trận.
- Xây dựng hệ thống bài tập, phân loại được các dạng Toán và tìm hướng
giải chúng.
- Thông qua tìm hiểu nghiên cứu giúp bản thân có cái nhìn tổng quan về
các bài toán trong đề thi Olympic Toán sinh viên mà em đã tham gia.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
- Đối tượng nghiên cứu : Lý thuyết về ma trận, sử dụng nội dung cốt lõi
của lý thuyết để phân loại các dạng Toán.
- Phạm vi nghiên cứu: Các dạng Toán về ma trận, tập trung chủ yếu là
các bài Toán được trích ra từ đề thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc
và Quốc tế.
4. Phạm vi nghiên cứu.
- Từ quan điểm liên quan để rút ra, phân loại được các dạng Toán.
- Hệ thống hóa, sáng tạo phương pháp giải các bài toán trong kỳ thi
Olympic Toán sinh viên.
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 5 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
5. Phương pháp nghiên cứu.

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc tài liệu liên quan đến nội dung
ma trận, tìm hiểu từ các đề thi Olympic Toán sinh viên của Việt Nam
và Thế giới.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của bản thân,
các bạn học, anh chị xung quanh để tổng hợp và hệ thống hóa kiến thức
vấn đề nghiên cứu đầy đủ và khoa học kết hợp với đưa ra các ví dụ cụ
thể để minh họa chi tiết
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên để hoàn
thành về mặt nội dung cũng như hình thức của khóa luận tốt nghiệp.
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 6 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
PHẦN II: NỘI DUNG
I. ĐỊNH THỨC MA TRẬN
1. Khai triển theo dòng hoặc cột.
Cơ sở của phương pháp này là định lý Laplace cho 1 ≤ k ≤ n. Xét hai
bộ số 1 ≤ i
1
< < i
k
≤ n và 1 ≤ j
1
< < j
k
≤ n. Ma trận gồm các
phần tử nằm trên giao của các dòng 1 ≤ j
1
< < j
k
≤ n và các cột 1 ≤

i
1
< < i
k
≤ n của ma trận A được gọi là ma trận con cấp k và được kí
hiệu là A(i
1
, .,i
k
, j
1
, ., j
k
). Còn định thức của nó được gọi là định thức
con hay milnor. Ma trận con nằm trên giao của các dòng và cột còn lại
được gọi là ma trận con bù của A(i
1
, .,i
k
; j
1
, ., j
k
) và được kí hiệu là
A(i
1
, .,i
k
; j
1

, ., j
k
). Định thức
|A(i
1
, .,i
k
; j
1
, ., j
k
)|
Được gọi là định thức con bù của |A(i
1
, .,i
k
; j
1
, ., j
k
)| trong A, còn
(−1)
S(i, j )
|A(i
1
, .,i
k
; j
1
, ., j

k
)| được gọi là phần bù đại số của
|A(i
1
, .,i
k
; j
1
, ., j
k
)| trong đó S(i, j) = (i
1
+ + i
k
) + ( j
1
+ + j
n
)
Định lý (Khai triển Laplace) - Giả sử đã chọn ra k dòng (tương ứng cột)
trong một định thức cấp n (1 ≤ k ≤n), khi đó định thức đã cho bằng tích của
tất cả các định thức con cấp k lấy ra từ k dòng (tương ứng cột) đó với phần bù
đại số của chúng, tức là :
|A| =
∑
1≤j
1
< j
k
≤n




A(i
1
, .,i
k
; j
1
, ., j
k
)|(−1)
S(I,J)



.
|
A(i
1
, .,i
k
; j
1
, ., j
k
)
|
|A| =
∑

1≤i
1
< i
k
≤n



A(i
1
, .,i
k
; j
1
, ., j
k
)|(−1)
S(I,J)



.
|
A(i
1
, .,i
k
; j
1
, ., j

k
)
|
Trên thực tế khai triển Laplace hay được vận dụng cho một dòng hay cột
chứa nhiều 0.
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 7 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
Hệ quả (Khai triển Laplace theo dòng thứ i hay cột thứ j)
A = (−1)
i+1
a
i1
|A
i1
|+ (−1)
i+2
a
i2
|A
i2
|+ + (−1)
i+n
a
in
|A
in
|
= (−1)
j+1

a
1 j
|A
1 j
|+ (−1)
j+2
a
2 j
|A
2 j
|+ + (−1)
j+n
a
n j
|A
n j
|
Bài toán 1: Để tính định thức của ma trận tam giác trên (tương ứng
dưới), ta chỉ việc thực hiện liên tiếp khai triển Laplace theo cột (dòng) thứ
nhất.








a
11

a
12
a
13
a
1n
0 a
21
a
23
a
2n
0 0 a
23
a
3n
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
0 0 0 a
nn









= a
1






a
22
a
23

2n
0 a
33
a
3n
.
.
.
.

.
. .
.
.
.
0 0 a
nn






= a
11
a
22
a
nn








a
11
0 0 0

a
21
a
22
0 0
a
31
a
32
a
33
0
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
a
n1
a
n2
a
n3

a
nn








= a
11






a
22
0 0
a
32
a
33
0
.
.
.
.

.
. .
.
.
.
a
n2
a
n3
a
n3






= = a
11
a
22
a
nn
Bài toán 2. Tính định thức ma trận A vuông cấp n trên trường số thực R
A =











a b b b b
−b a b b b
−b −b a b b

−b −b −b a b
−b −b −b −b a










Giải.
Đặt ∆
n
= det A. Nhân cột thứ n cho 1 rồi cộng vào cột thứ nhất ta được:
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 8 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
∆
n

=














a b b b b
−b a b b b
−b −b a b b

−b −b −b a b
−b −b −b −b a















=














a + b b b b b
0 a b b b
0 −b a . b b
. . . . .
0 −b −b a b
a −b −b −b −b a















Khai triển Laplace theo cột thứ nhất ta được
∆
n+1
= (a + b)














a b b b b
−b a b b b

−b −b a b b

−b −b −b a b
−b −b −b −b a














+(−1)
(n+1)
(a −b)















b b b b b
a b b b b
−b −b b b b
.
−b −b −b b b
−b −b −b a b














Do đó: ∆
n+1
= (a + b)∆
n−1
+ (−1)

(n+1)
(a −b)∆.
Trong đó:
∆ =









b b b b
a b b b
.
−b −b a b









=













b b b b
a −b 0 0 0
−2b a −b 0 0

−2b −2b a −b 0












Khai triển Laplace theo cột thứ n −1 (cột cuối) ta nhận được
∆ = (−1)
n
b(a −b)

n−2
thay vào ∆
n
và rút gọn ta được.
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 9 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
∆
n
= (a + b)∆
n−1
−b(a −b)
n−1
. Ta chứng minh bằng quy nạp rằng
∆
n
=
1
2
[(a + b)
n
+ (a −b)
n
]
Thật vậy, rõ ràng ∆
1
= a =
1
2


(a + b)
1
+ (a −b)
1

.
Giả sử đúng với n-1 tức là ∆
n−1
=
1
2

(a + b)
n−1
+ (a −b)
n−1

Ta chứng minh đúng với n .
∆
1
= (a + b)∆
n−1
−b(a −b)
n−1
= (a + b)
1
2
[(a + b)
n
+ (a −b)

n
] −b(a −b)
n−1
=
1
2

(a + b)
n
+ (a −b)
n−1
(a + b −2b)

=
1
2
[(a + b)
n
+ (a −b)
n
]
Vậy định thức của ma trận đó cho detA =
1
2
[(a + b)
n
+ (a −b)
n
]
Bài toán 3. Tính định thức của ma trận sau

D =












1 2 3 n −2 n −1 n
2 3 4 n −1 n n
3 4 5 n n n
.
n n n n n n













Giải:Lấy tất cả các dòng từ dòng 2 trở đi, trừ đi dòng thứ nhất ta được:
D =












1 2 3 n −2 n −1 n
1 1 1 1 1 0
2 2 2 2 1 0
.
n −1 n −2 n −3 2 1 0













Khai triển theo cột cuối cùng ta được:
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 10 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
D =












1 1 1 1 1
2 2 2 2 1
3 3 3 3 1

n −1 n −2 n −3 2 1













Cứ tiếp tục quá trình như vậy, trừ các dòng cho dòng 1 rồi khai triển
Laplace theo cột cuối cùng ta được:
D = (−1)
n(n + 1)
2
.n
Bài toán 4:
Tính định thức ma trận sau:
D
n+1
=












a
0

a
1
a
2
a
n
−y
1
x
1
0 0
0 −y
1
x
2
0
.
0 0 0 x
n













Giải: Khai triển theo cột cuối ta được:
D
n+1
= a
n









−y
1
x
1
0 0
0 −y
2
x
2
0
. 0
0 0 0 −y
n










+ x
n









a
0
a
1
a
2
a
n−1
−y
1
x
1

0 0
.
0 0 0 x
n−1









= a
n
.y
1
.y
2
+ x
n
.D
n
Tiếp tục quá trình như vậy áp dụng cho D
n
ta được
D
n=1
= a
1

x
1
x
2
x
n
+ a
1
y
1
x
2
x
n
+ a
2
y
1
y
2
x
3
x
n
+ + a
n
y
1
y
2

y
n
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 11 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
bài toán 5: Tính định thức
D =












1 2 3 n −1 n
2 3 4 n 1
3 4 5 1 2
.
n 1 2 n −2 n −1













Giải: Bắt đầu từ dòng cuối cùng, trừ đi các dòng đứng trước nó (để tạo
nhiều phần tử giống nhau ở trong định thức ta được:
D =












1 2 3 n −1 n
1 1 1 1 1−n
1 1 1 1 −n 1

1 1 −n 1 1 1













Lần lượt trừ đi cột thứ nhất ta được:
D =












1 1 2 n −2 n −1
1 0 0 0 −n
1 0 0 −n 0
.
1 −n 0 0 0













Bây giờ cộng vào dòng 1 các tích của dòng thứ i với
n −i −1
2
,i ≥ 2. Khai
triển theo dòng thứ nhất ta được:
D = (−1)
n(n−1)
2
.
n + 1
2
.n
n−1
Bài toán 6: Tính định thức:
A =













2 1 1 1 1
1 2 1 1 1
1 1 3 1 1
1 1 1 4 1
1 1 1 1 4












GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 12 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
Giải: Ta có:
D =













2 1 1 1 1
1 2 1 1 1
1 1 3 1 1
1 1 1 4 1
1 1 1 1 4












= −













1 1 1 1 4
1 2 1 1 1
1 1 3 1 1
1 1 1 4 1
2 1 1 1 1












= −













1 1 1 1 4
0 1 0 0 −3
0 0 2 0 −3
0 0 0 3 −3
0 −1 −1 −1 −7












= −













1 1 1 1 4
0 1 0 0 −3
0 0 2 0 −3
0 0 0 3 −3
0 0 −1 −1 −10












= −














1 1 1 1 4
0 1 0 0 −3
0 0 2 0 −3
0 0 0 3 −3
0 0 0 −1
−23
2














Khai triển theo cột 1 ta được
A = −










1 0 0 −3
0 2 0 −3
0 0 3 −3
0 0 −1
−23
2










Khai triển cột 2, sau đó tiếp tục ta được: A =

75
2
.
Bài toán 7: Cho hai ma trận vuông cùng cấp A và B, giả thiết
det(A + B) = 0 và det(A −B) = 0. Đặt
M =

A B
B A

Chứng minh detM = 0
Giải. Ta có det M =





A B
B A





là định thức cấp 2n.
Ta nhân (-1) vào cột n + i và cộng vào cột i (i = 1,n) thì định thức thay
đổi, do đó:
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 13 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”

detM =





A −B B
B −A A





Khai triển Laplace theo n hàng đầu tiên ta được
detM = det(A + B).det(B −A)(−1)
n
2
Do det(B + A) = 0, det(B −A) = 0 nên detM = 0 (đpcm)
2. Đưa về ma trận tam giác.
Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng hay cột ta đưa về ma trận tam giác
trên hay dưới rồi. Khi thực hiện các phép biến đổi, định thức thay đổi theo
quy tắc sau
Mệnh đề
(i) Định thức đổi dấu khi đổi chỗ hai dòng hoặc hai cột cho nhau (Tính
chất này được gọi là tính thay phiên).
(ii) Định thức được nhân với α ∈ K khi ta nhân một dòng hay một cột với
α.
(iii) Định thức không thay đổi khi ta thêm vào một dòng (tương ứng cột)
một tổ hợp tuyến tính của các dòng (tương ứng cột) còn lại.
Đây là phương pháp thông dụng nhất để tính định thức có cấp là một số

cụ thể. Ta có thể trình bày thành thuật toán sau:
Thuật toán tính định thức (phương pháp Gauss).
1a. Cho một chỉ số i sao cho a
i1
= 0 , rồi đổi chổ dòng thứ 1 và dòng thứ
i cho nhau, đồng thời đổi dấu định thức. (Thông thường ta chọn i sao
cho a
i1
gần 1 nhất, hoặc chọn i đầu tiên thỏa mãn tính chất đó). Nếu chỉ
số như vậy không tồn tại thì định thức bằng 0.
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 14 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
1b. Lần lượt trừ dòng j ≥ 2 đi tích của dòng thứ 1 (của ma trận mới) với
a
i1
/a
11
2. Tại bước k, 2 ≤ k < n lặp lại bước 1 đối với ma trận con cấp n −k + 1 ở
góc phải bên dưới cùng.
3. Tối đa sau n −1 bước ta sẽ được ma trận tam giác trên. Định thức của
nó bằng tích các phần tử trên đường chéo.
Bài toán 1: Tính định thức








2 1 4
5 19 1
1 4 3







= −







1 4 3
5 19 1
2 1 4







= −








1 4 3
0 −1 −14
0 −7 −2







= −1







1 4 3
0 −1 −14
0 0 96








= 96
Để viết gọn ta có thể phối hợp hai phương pháp trên: sau bước thứ nhất ta
được cột đầu chỉ có phần tử đầu tiên khác 0. Sử dụng khai triển Laplace đối
với cột này, ta đưa về tính định thức cấp thấp hơn. Làm như thế này ta không
những khỏi phải viết lại dòng đầu và cột đầu trong bước tiếp theo, mà còn có
thể sử dụng các tính chất ở mệnh đề trên để đơn giản hóa ma trận nhận được
từ bước thứ hai trở đi, trước khi sử dụng thuật toán trên.
Bài toán 2:







1 4 3
4 19 9
2 1 −1







=








1 1 3
0 3 −3
0 −7 7







=





3 −3
−7 −7






= 3.7





1 −1
−1 −1





= 21





1 −1
0 −2





= −42
Thuật toán trên tuy luôn cho ta kết quả, nhưng việc luôn luôn trừ đi một
bội của dòng (cột) thứ nhất có thể dẫn tới một ma trận phức tạp ở (các) bước
tiếp theo sau đó. Do đó, cũng vẫn phương pháp đưa về ma trận tam giác,

nhưng từ đặc thù bài toán, ta có thể linh hoạt trong việc sử dụng thứ tự các
phép biến đổi sơ cấp.
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 15 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
Bài toán 3: Tính định thức Vandermonde.
D
n
=












1 1 1 1
x
1
x
2
x
3
x
n

x
2
1
x
2
2
x
2
3
x
2
n

x
n−1
1
x
n−1
2
x
n−1
3
x
n−1
n













Lấy dòng thứ n −1 nhân với −x
1
rồi cộng dòng thứ n, sau đó lấy dòng
thứ n-2 nhân với −x
1
rồi cộng vào dòng thứ n-1,. cho đến khi biến đổi xong
dòng thứ 2, ta được.
D
n
=












1 1 1 1

0 x
2
−x
1
x
3
−x
2
x
n
−x
1
0 x
2
(x
2
−x
1
) x
3
(x
3
−x
2
) x
n
(x
n
−x
1

)

0 x
n−2
2
(x
2
−x
1
) x
n−2
3
(x
3
−x
2
) x
n−2
n
(x
n
−x
1
)













=









x
2
−x
1
x
3
−x
2
x
n
−x
1
x
2

(x
2
−x
1
) x
3
(x
3
−x
2
) x
n
(x
n
−x
1
)

x
n−2
2
(x
2
−x
1
) x
n−2
3
(x
3

−x
2
) x
n−2
n
(x
n
−x
1
)









= (x
2
−x
1
)(x
3
−x
2
) .(x
n
−x

1
)









1 1 1
x
2
x
3
x
n
x
2
2
x
2
3
x
2
n
x
n−2
2

x
n−2
3
x
n−2
n









=
∏
i> j
(x
i
−x
j
)
Tại dòng thứ 2 ở trên ta áp dụng khai triển Laplace theo cột thứ nhất, tại
dòng thứ 3 ta đưa các nhân tử chung của các dòng ra ngoài dấu định thức còn
ở dòng cuối cùng ta áp dụng công thức truy hồi.
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 16 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
Bài toán 4 Tính định thức.

D =












a
1
b
1
a
1
b
2
a
1
b
3
a
1
b
n
a

1
b
2
a
2
b
2
a
2
b
3
a
2
n
n
a
1
b
3
a
2
b
3
a
3
b
3
a
3
b

3
.
.
.
a
1
b
n
a
2
b
n
a
3
b
n
a
n
b
n













Giải. Ta có :
D = a
1












b
1
a
1
b
2
a
1
b
3
a
1
b

n
b
2
a
2
b
2
a
2
b
3
a
2
n
n
b
3
a
2
b
3
a
3
b
3
a
3
b
3
.

.
. .
b
n
a
2
b
n
a
3
b
n
a
n
b
n












= a
1













b
1
a
1
b
2
−a
2
b
1
∗ ∗
b
2
0 a
2
b
3
−a

3
b
2
∗
b
3
0 0 ∗
.
.
. .
b
n
0 0 0












= (−1)
n−1
a
1













a
1
b
2
−a
2
b −1 ∗ ∗ b −1
0 a
2
b
3
−a
3
b
1
∗ b
2
0 0 ∗ b
2

0 0 0 b
n












= a
1
b
n
(a
2
b
1
−a
1
b
2
)(a
3
b

2
−a
2
b
3
) .(a
1
b
n−1
−a
n−1
b
2
)
Trong dòng thứ 2 ở trên, lần lượt từ cột thứ 2 ta trừ một bội của cột thứ
nhất, sau đó ở dòng thứ 3 thì chuyển cột đầu xuống cuối.
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 17 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
Bài toán 5.













1 1 1
c
1
2
C
1
3
C
1
n+1
C
2
3
C
2
3
C
2
n+2
.
C
n−1
n
C
n−1
n+1
C
n−1

2n−1












Giải. Sử dụng công thức tổ hợp C
k
n
= C
k
n−1
+ c
k−1
n−1
Trong các phép biến đổi sau: bắt đầu từ cột cuối cùng trừ đi các cột đứng
trước đó, sau đó áp dụng khai triển Laplace đối với dòng đầu, rồi tiếp tục như
vậy.
ta được
D =













1 0 0 0
C
1
2
1 . 1 1
C
2
3
C
1
3
C
1
n
C
1
n+1
.
C
n−1
n

C
n−2
n
C
n−2
2n−3
C
n−2
2n−2












Lại làm như trên nhưng chỉ đến cột thứ 2 ta có:
D =













1 0 0 0
C
1
2
1 . 0 0
C
2
3
C
1
3
1 1
.
C
n−1
n
C
n−2
n
C
n−2
2n−3
C
n−2
2n−2













Sau n-1 bước ta được
D =












1 0 0 0
C
1
2

1 . 0 0
C
2
3
C
1
3
0 0
.
C
n−1
n
C
n−2
n
C
1
n
1













= 1
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 18 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
Bài toán 6 Cho A là ma trận thực thỏa mãn
A = (a
(i j)
m×n
=

(−1)
|i−j|
khi i = j
2 khi i = j
Tính định thức ma trận A.
Giải.
Xét
detA =















2 −1 1 ±1 ∓1
−1 2 −1 ∓1 ±1
1 −1 2 ±1 ∓1

±1 ∓1 ±1 2 −1
∓1 ±1 ∓1 −1 2














Cộng dòng 2 vào dòng 1, cộng dòng 3 vào dòng 2, . , cộng dòng n vào
dòng n-1, ta được
detA =















1 1 0 0 0
0 1 1 0 0
0 0 1 0 0
.
0 0 0 1 1
∓1 ±1 ∓1 1 2















sau đó nhân cột 1 với (-1) rồi cộng vào cột 2, nhân 2 với (-1) rồi cộng vào
cột 3,. . ., nhân cột (n-1) với -1 rồi cộng vào cột n ta được
detA =














1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
.
0 0 0 1 0
∓1 ±2 ∓3 −n n + 1















= n + 1 = 0(n ∈N)
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 19 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
Bài toán 7.
Cho a
0
,d là các số thực, dãy {a
0
,a
1
, .,a
n
} lập thành cấp số cộng, công
sai d.
Tính định thức của ma trận
A =











a
0
a
1
a
2
a
n−1
a
n
a
1
a
0
a
1
a
n−2
a
n−1
a
2
a
1
a
0

a
n−3
a
n−2

a
n−1
a
n−2
a
n−3
a
0
a
1
a
n
a
n−1
a
n−2
a
1
a
0











Giải.
Ta có
detA = D = det










a
0
a
1
a
2
a
n−1
a
n
a
1

a
0
a
1
a
n−2
a
n−1
a
2
a
1
a
0
a
n−3
a
n−2

a
n−1
a
n−2
a
n−3
a
0
a
1
a

n
a
n−1
a
n−2
a
1
a
0










Cộng cột đầu vào cột cuối ta được
D = (a
0
+ a
n
).















a
0
a
1
a
2
a
n−1
1
a
1
a
0
a
1
a
n−2
1
a
2
a

1
a
0
a
n−1
1

a
n−1
a
n−2
a
n−3
a
0
1
a
n
a
n−1
a
n−2
a
1
1















Do a
k
+ a
n−k
= a
0
+ kd + a
n
−kd = a
0
+ a
n
,k = 1,n −1
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 20 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
Tiếp tục nhân hàng thứ n −1 với -1 rồi cộng vào hàng cuối cùng, nhân
hàng thứ n −2 với -1 rồi cộng vào hàng thứ n −1, , nhân hàng 1 với -1 rồi
cộng vào hàng 2 ta được:
D = (a
0

+ a
n
) =














a
0
a
1
a
2
a
n−1
1
d −d −d −d 0
d d −d −d 0
0
d d d −d 0

d d d d 0














= (−1)
n
(a
0
+ a
n
)















d −d −d −d −d
d d −d −d −d
d d d −d −d

d d d d −d
d d d d d














Cộng hàng cuối vào các dòng còn lại ta được
D = (−1)
n
(a

0
+ a
n
)














2d 0 0 0 0
2d 2d 0 0 0
2d 2d 2d 0 0
. .
2d 2d 2d . 2d 0
d d d d d















= (−1)
n
(2a
0
+ nd)2
n−1
d
n
Bài toán 8. Tính định thức
D
n
=















1 1 1
x
1
+ 1 x
2
+ 1 x
n
+ 1
x
2
1
+ x
1
x
2
2
+ x
2
x
2
n
+ x
n
x
3
1

+ x
2
1
x
3
2
+ x
3
2
x
3
n
+ x
2
n

x
n−1
1
+ x
n−2
1
x
n−1
2
+ x
n−2
2
x
n−1

n
+ x
n−2
n














GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 21 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
Giải. Kể từ dòng hai, lần lượt trừ đi dòng đứng trước đó ta sẽ được định
thức Vandermorde
D
n
=















1 1 1
x
1
x
2
x
n
x
2
1
x
2
2
x
2
n
x
3
1
x

3
2
x
3
n

x
n−1
1
x
n−1
2
x
n−1
n














Lấy dòng n−1 nhân −x

1
rồi cộng vào dòng thứ n ,sau đó lấy dòng thứ n-2
nhân với −x
1
rồi cộng vào dòng thứ n-1, .cho đến khi biến đổi xong dòng
thứ 2, ta được:
D
n
=












1 1 1
0 x
1
−x
2
x
n
−x
1

0 x
2
(x
2
−x
1
) x
n
(x
n
−x
1
)

0 x
n−2
2
(x
2
−x
1
) x
n−2
n
(x
n
−x
1
)













=












1 1
x
1
−x
2
x

n
−x
1
x
2
(x
2
−x
1
) x
n
(x
n
−x
1
)

x
n−2
2
(x
2
−x
1
) x
n−2
n
(x
n
−x

1
)












= (x
2
−x
2
)(x
3
−x
1
) .(x
n
−x
1
)















1 1 1
x
1
x
2
x
n
x
2
1
x
2
2
x
2
n
x
3
1

x
3
2
x
3
n

x
n−2
1
x
n−2
2
x
n−2
n















=
∏
i> j
(x
i
−x
j
)
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 22 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
Bài toán 9. Tính đính thức cấp n của ma trận A sau:
|A| =












1 + a
1
a
2
a

3
a
n
a
1
1 + a
2
a
3
a
n
a
1
a
2
1 + a
3
a
n

a
1
a
2
a
3
1 + a
n













Giải. Cộng tất cả các cột vào cột 1 ta được:
|A| =












1 + a
1
+ a
2
+ + a
n

a
2
a
3
a
n
1 + a
1
+ a
2
+ + a
n
1 + a
2
a
3
a
n
1 + a
1
+ a
2
+ + a
n
a
2
1 + a
3
a
n

1 + a
1
+ a
2
+ + a
n
a
2
a
3
1 + a
n












Nhân hàng 1 với −1 rồi công vào hàng 2,3,. . . , n. Ta có:
|A| =













1 + a
1
+ a
2
+ + a
n
a
2
a
3
a
n
0 1 0 0
0 0 1 0
.
0 0 0 1













=1 + a
1
+ a
2
+ + a
n
3. Rút ra các nhân tử tuyến tính
Chú ý: Nếu mỗi phân tử của ma trận vuông A cấp n là một đa thức bậc
nhất đối với biến x nào đó thì định thức |A| là một đa thức của các biến đó với
bậc (tổng thể) không quá n. Nếu bằng cách nào đó ta tìm được n đa thức bậc
nhất f
1
, ., f
n
độc lập tuyến tính với nhau sao cho mỗi f
i
là ước của |A| thì ta
có thể kết luận |A| và tích f
1
f
n
sai khác nhau một nhân tử hằng số.
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 23 SVTH: Tạ Minh Thanh

Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
Bài toán 1: Tính định thức
D(x) =












1 2 3 n
1 x + 1 3 n
1 2 x + 1 n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
1 2 3 x + 1












Giải. Ta biết rằng
D(x) =












1 2 3 n
1 x + 1 3 n

1 2 x + 1 n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 2 3 x + 1












Là một ma trận bậc tối đa là n −1, vì mỗi số hạng trong định nghĩa của đa
thức là một tích a
1π
(1)

a
2π
(2)
a
nπ
(n)
đều có thừa số thứ nhất là một hằng số.
Thực ra ta thấy chỉ có một tích có bậc đúng bằng n, nó tương ứng với tích các
phần tử trên đường chéo, tức khi π là hoán vị đồng nhất. Do đó bậc đa thức
của bài toán trên đúng bằng n −1 và có hệ số dẫn đầu là 1. Mặt khác lần lượt
cho x = 1,2, ,n −1, ta nhận được định thức có hai dòng bằng nhau, nên
chúng đều bằng 0. Tức là D(1) = D(2) = = D(n −1). Do đó D(x) chia hết
cho x −1, ,x −n + 1. Suy ra D(x) = (x −1)(x −2) (x −n + 1).
Bài toán 2. Tính định thức
D =









−x a b c
a −x c b
b c −x a
c b a −x










Giải. Cộng tất cả vào dòng đầu tiên ta thấy khi x = a +b + c thì định thức
bằng 0. Tương tự cộng hai dòng vào dòng 1, dòng 4 vào dòng 3 ta thấy nếu
a −x = b + c thì định thức bằng 0. Tương tự với các cặp dòng 1+3, 2+4 và
1+4, 2+3 ta được:
D = (x −a −b −c)(x −a + b + c)(x + a −b + c)(x +a + b −c)
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 24 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận”
Bài toán 3. Tính định thức
D =









d a b c
a d c b
b c d a
c b a d










Giải
Dễ thấy định thức trên là một đa thức bậc 4 của d, có hệ số bậc cao nhất
là 1.
- Cộng tất cả vào dòng 1, và đưa nhận tử ra ngoài ta được :
D = (a +b + c + d)









1 1 1 1
a d c b
b c d a
c b a d










Khi a + b + c + d = 0 thì D = 0.
- Cộng dòng 2 vào dòng 1, dòng 4 vào dòng 3 ta được:
D =









a + d a + d b + c b + c
a d c b
b + c b + c d + a d + a
c b a d










Khi a + d = b + c hay a + d −b −c = 0 thì D = 0
- Cộng dòng 3 vào dòng 1, dòng 4 vào dòng 2, ta được:
D =









d + b a + c d + b a + c
a + c d + b a +c d + b
b c d a
c b a d









Khi d + b = a + c hay d + b −a −c = 0 thì D = 0
GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 25 SVTH: Tạ Minh Thanh
Lớp ĐHSP Toán - Lý K50