Tài liệu phương pháp tích phân từng phần
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (394.5 KB, 11 trang )
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
I. Công thức tích phân từng phần
Giả sử:
( ); ( )
u u x v v x
= =
có ñạo hàm liên tục trong miền D, khi ñó ta có:
•
( ) ( )
d uv udv vdu d uv udv vdu uv udv vdu
= + ⇔ = + ⇔ = +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )
b b
a a
b
udv uv vdu udv uv vdu
a
⇒ = − ⇒ = −
∫ ∫ ∫ ∫
Nhận dạng
: Hàm số dưới dấu tích phân thường là dạng tích 2 loại hàm số khác nhau.
Ý nghĩa:
ðưa 1 tích phân phức tạp về tích phân ñơn giản hơn (trong nhiều trường hợp việc sử dụng tích
phân từng phần sẽ khử bớt hàm số dưới dấu tích phân và cuối cùng chỉ còn lại 1 hàm số dưới dấu tích
phân).
Chú ý:
Cần phải chọn u, dv sao cho du ñơn giản và dễ tính ñược v ñồng thời tích phân
vdu
∫
ñơn giản
hơn tích phân
udv
∫
.
II. Các dạng tích phân từng phần cơ bản và cách chọn u, dv.
1. Dạng 1:
( )
sin( )
sin( )
os( )
os( )
( )
ax b
ax b
ax b
ax b
u P x
ax b dx
ax b dx
c ax b dx
c ax b dx
P x
dv
e dx
e dx
m dx
m dx
+
+
+
+
=
+
+
+
+
⇒
=
∫
(trong ñó P(x) là ña thức)
2. Dạng 2:
( )
arcsin( )
arcsin( )
ar os( )
ar os( )
arctan( )
( ) arctan( )
ar cot( )
ar cot( )
ln( )
ln( )
log ( )
log ( )
m
m
dv P x dx
ax b dx
ax b dx
cc ax b dx
cc ax b dx
ax b dx
P x ax b dx
ax b dx u
ax b dx
ax b dx
ax b dx
ax b dx
ax b dx
=
+
+
+
+
+
⇒ +
+ =
+
+
+
+
+
∫
(trong ñó P(x) là ña thức)
3. Dạng 3:
BÀI GIẢNG 09.
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
( TÀI LIỆU BÀI GIẢNG)
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
( )
sin(ln )
sin(ln )
os(ln )
os(ln )
arctan( )
arctan( )
ar cot( )
ar cot( )
ln( )
ln( )
log ( )
log ( )
k
m
m
dv P x dx
x dx
x dx
c x dx
c x dx
ax b dx
x ax b dx
ax b dx u
ax b dx
ax b dx
ax b dx
ax b dx
ax b dx
=
+
⇒ +
+ =
+
+
+
+
+
∫
(trong ñó P(x) là ña thức)
III. Các bài tập mẫu minh họa:
1. Dạng 1:
{
}
( ) sin( ); os( ); ;
ax b ax b
P x ax b c ax b e m dx
+ +
+ +
∫
•
3
1
cos
A x xdx
=
∫
Cách làm chậm: ðặt
3 2
3
cos sin
u x du x dx
dv xdx v x
= =
⇒
= =
. Khi ñó ta có:
3 2
1
sin 3 sin .
A x x x xdx
= −
∫
ðặt
2
2
sin
cos
du xdx
u x
v x
dv xdx
=
=
⇒
=
=
. Khi ñó ta có:
3 2
1
sin 3 cos 2 cos
A x x x x x xdx
= − − +
∫
. ðặt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
= =
⇒
= =
(
)
3 2 3 2
1
sin 3 cos 6 sin sin sin 3 cos 6( sin cos )
A x x x x x x xdx x x x x x x x C
= + − − = + − + +
∫
Cách làm nhanh: Biến ñổi về dạng
( ) ( ) ( )
P x L x dx P x du
=
∫ ∫
3 3 3 3 3 2
1
cos (sin ) sin sin ( ) sin 3 sin
A x xdx x d x x x xd x x x x xdx
= = = − = −
∫ ∫ ∫ ∫
3 2 3 2 2
sin 3 (cos ) sin 3 cos cos ( )
x x x d x x x x x xd x
= + = + −
∫ ∫
( )
3 2 3 2
3 2 3 2
sin 3 cos 6 cos sin 3 cos 6 (sin )
sin 3 cos 6 sin sin sin 3 cos 6( sin cos )
x x x x x xdx x x x x xd x
x x x x x x xdx x x x x x x x C
= + − = + −
= + − − = + − + +
∫ ∫
∫
•
( )
3 5 1 3 5 1 3 5 1 5 1 3
2
1 1
( )
5 5
x x x x
A x e dx x d e x e e d x
− − − −
= = = −
∫ ∫ ∫
3 5 1 2 5 1 3 5 1 2 5 1
1 1 3
3 ( )
5 5 5
x x x x
x e x e dx x e x d e
− − − −
= − = −
∫ ∫
3 5 1 2 5 1 5 1 2 3 5 1 2 5 1 5 1
1 3 1 3 6
( )
5 25 5 25 25
x x x x x x
x e x e e d x x e x e xe dx
− − − − − −
= − − = − +
∫ ∫
3 5 1 2 5 1 5 1 3 5 1 2 5 1 5 1 5 1
1 3 6 1 3 6
( )
5 25 125 5 25 125
x x x x x x x
x e x e xd e x e x e xe e dx
− − − − − − −
= − + = − + −
∫ ∫
3 5 1 2 5 1 5 1 5 1
1 3 6 6
5 25 125 625
x x x x
x e x e xe e C
− − − −
= − + − +
Nhận xét: Nếu P(x) có bậc n thì phải n lần sử dụng tích phân từng phần.
•
2
4
3
0
sin .
A x xdx
π
=
∫
ðặt
2
2
t x t x dx tdt
= ⇒ = ⇒ =
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-
ðổi cận:
2
0 0
4 2
x t
x t
π π
= → =
= → =
2 2 2 2
3 3 3 3 2
3
0 0 0 0
2 sin 2 (cos ) 2 cos 2 cos ( ) 6 cos
2
0
A t tdt t d t t t td t t tdt
π π π π
π
= = − = − + =
∫ ∫ ∫ ∫
2 2
2 2 2 2
2 2 2
0 0 0 0
3 3
6 (sin ) 6 sin 6 sin ( ) 12 sin 12 (cos )
2
2 2
0
t d t t t td t t tdt td t
π π π π
π
π π
= = − = − = +
∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2
2
0
3 3 3
12 cos 12 cos 12sin 12
2 2
2 2 2
0 0
t t tdt t
π
π π
π π π
= + − = − = −
∫
•
36 6 6
2 3 3
4
0 0 0
1 cos 1
sin os ( os ) os
6
3 3 3
0
x x
A x xc xdx xd c x c xdx
π π π
π
= = − = − +
∫ ∫ ∫
36
2
0
3 1 3 1 sin 11 3
(1 sin ) (sin ) sin
6
48 3 48 3 3 72 48
0
x
x d x x
π
π
π π π π
= − + − = − + − = −
∫
•
1
2
5
2
0
( 2)
x
x e dx
A
x
=
+
∫
. ðặt
2
2
( 2)
1
( 2)
2
x
x
u x e
du x x e dx
dx
dv
v
x
x
=
= +
⇒
=
= −
+
+
1 1 1
2
5
0 0 0
1
0
1
( )
0
2 3 3
1 1
1
0 0
3 3 3
x
x x x
x x x
x e e e
A xe dx xe dx xd e
x
e e e
xe e dx e e
= − + = − + = − +
+
= − + − = − + − = −
∫ ∫ ∫
∫
2. Dạng 2:
{
}
( ) arcsin ;arccos ;arctan ;ar cot ;ln ;log
m
P x u u u u u u u ax b dx
= +
∫
•
2 2 2 3 3 2 3 2
1
1 1 1
1 1
ln ln ( ) (ln ) (ln )
1
3 3
e e e
e
B x xdx xd x x x x d x
= = = −
∫ ∫ ∫
3 3 3 2 3 3
1 1 1
1 1 1
2 ln 2 ln ln ( )
3 3 3
e e e
dx
e x x e x xdx e xd x
x
= − = − = −
∫ ∫ ∫
3 3 3 3
3 3 3 2 3
1 1
2 2 2 2 5 2
( ln ) (ln )
1 1
3 9 3 9 9 9 27 27
e e
e e
e e e e
x x x d x e x dx x
−
= − − = − + = + =
∫ ∫
1 1 1
2 2 2
2 2 2
2
0 0 0
1
1 1 1 1 1 1
ln ln ( ) ln ln
2
1 2 1 2 1 1
0
x x x x
B x dx d x x x d
x x x x
+ + + +
= = = −
− − − −
∫ ∫ ∫
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-
1
2
2
0
1 1 ln3 3 5
ln3 1 2ln
8 1 8 2 6
dx
x
= − − = + −
+
∫
(
)
(
)
(
)
1 1
2 2 2
3
0 0
1
ln 1 ln 1 ln 1
0
B x x dx x x x xd x x
= + + = + + − + +
∫ ∫
( ) ( )
1 1
2 2 2
0 0
ln 1 2 1 ln 1 2
1 1 1
x dx xdx
x
x x x x
= + − + = + −
+ + + +
∫ ∫
(
)
ln 1 2 2 1
= + + −
(
)
(
)
2
1 1
2 2
4
2
0 0
ln 1
ln 1 1
1
x x x
B dx x x d x
x
+ +
= = + + +
+
∫ ∫
( ) ( )
(
)
( ) ( )
1
2 2 2 2
0
1
0
1
1 ln 1 1 ln 1
0
2 ln 1 2 2 ln 1 2 1
x x x x d x x
dx
= + + + − + + +
= + − = + −
∫
∫
(
)
2
1
5
2
0
ln 1
1
x x x
B
x x
+ +
=
+ +
∫
. ðặt
(
)
(
)
2
2
2
ln 1
1
1
u x x
xdx
dv x x x dx
x x
= + +
= = + −
+ +
2
2 2
1
1
1 1
x
dx
dx
x
du
x x x
+
+
⇒ = =
+ + +
( )
3
1
2 2 2 2 3
2
2
1 1
1 (1 ) (1 )
2 3
v x d x x dx x x
= + + − = + −
∫ ∫
( )
(
)
( )
1
3 3
2 3 2 2 3
2 2
5
2
0
1
1 1
1 ln 1 1
0
3 3
1
dx
B x x x x x x
x
= + − + + − + −
+
∫
=…
=
(
)
(2 2 1)ln 1 2
2 2
3 12 9
π
− +
−
− +
(
)
(
)
1 1
2 2 2
6
0 0
1
ln 1 ln 1 ( )
2
B x x x dx x x d x
= + + = + +
∫ ∫
(
)
( )
( ) ( )
2 2
1
2 2
0
1 1
2
2
2 2 2
0 0
ln 1
1
1
ln 1
0
2 2
1 1 1 1
ln 1 2 1 ln 1 2
2 2 2 2
1 1 1
x x x
x d x x
x dx x dx
x
x x x x
+ +
= − + +
= + − + = + −
+ + + +
∫
∫ ∫
Xét
1
2
2
0
1
x dx
I
x
=
+
∫
. ðặt
tan
x t
=
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5
-
( )
2
ln 1 2
2
I⇒ = − +
( ) ( )
6
1 1 2
ln 1 2 ln 1 2
2 2 4
B I⇒ = + − = − + +
0 0 0
2 2 2
7
8 8 8
0
1 1 1
ln 1 ln 1 ( ) ln 1 (ln 1 )
8
2 2 2
B x x xd x x x x d x
− − −
= − = − = − − −
−
∫ ∫ ∫
0 0
2
2
8 8
1 1 1
32ln3 . . 32ln3
2 4 1
2 1 1
dx x dx
x
x
x x
− −
−
= − − = − +
−
− −
∫ ∫
=……
63
6 ln3
2
= −
0
8
3
ln 1
(1 ) 1
x
B
x x
−
−
=
− −
∫
. ðặt
2
1 1 2
t x t x tdt dx
= − ⇒ = − ⇒ = −
1 2 2
8
3 2
2 1 1
2
1
ln 1
( 2 ) 2 ln 2 ln
2 2
2ln (ln ) 2
2 ln 2 1 ln 2
1 1
t dt
B tdt t td
t t t
t d t
t t t
⇒ = − = = −
− −
= − = − − = −
∫ ∫ ∫
∫
3 3 3
2
9
2 2 2 2 2
1 1 1
ln 1 ln ( 1) 1 1
ln
( 1) 2 ( 1) 2 1
x xdx xd x
B xd
x x x
+ −
= = =
+ + +
∫ ∫ ∫
3 3
2 2 2
1 1
3
2
1
3
ln 1 ln ln3 1 1
ln
1
2( 1) 2 1 20 2 1
ln3 1 1 9ln 3
2
20 2 1 20
x d x
xd
x x x
x
dx
x x
− − −
= + = +
+ + −
−
= + − = −
+
∫ ∫
∫
3. Dạng 3: Tích phân từng phần luân hồi.
•
( )
2 3 3 3
1
1 1 1
sin(ln ) sin(ln ) sin(ln ) sin(ln )
3 3 3
C x x dx x dx x x x d x
= = = −
∫ ∫ ∫
3 3 3 2
1 1 1 1
sin(ln ) os(ln ) sin(ln ) os(ln )
3 3 3 3
dx
x x x c x x x x c x dx
x
= − = −
∫ ∫
( )
3 3 3 3
1 1 1 1 1
sin(ln ) os(ln ) ( ) sin(ln ) os(ln ) os(ln )
3 9 3 9 9
x x c x d x x x c x x d c x
= − = − +
∫ ∫
3 3 2 3 3
1
1 1 1 1 1 1
sin(ln ) os(ln ) sin(ln ) sin(ln ) os(ln )
3 9 9 3 9 9
x x x c x x x dx x x x c x C
= − − = − −
∫
3 3 3 3
1 1
10 1 1 1
sin(ln ) os(ln ) 3 sin(ln ) os(ln )
9 3 9 10
C x x x c x C x x x c x C
⇒ = − ⇒ = − +
•
2 2
2 2 2 2
2
0 0 0
1 1 1 1
sin (1 os2 ) os2
0
2 4 2 4 2
x x
x x x
e e
C e xdx e c x dx e c xdx J
π π π
π
−
= = − = − = −
∫ ∫ ∫
2 2 2 2
0 0 0
1 1 1
os2 (sin 2 ) sin 2 sin 2 ( )
0
2 2 2
x x x x
J e c xdx e d x e x xd e
π π π
π
= = = −
∫ ∫ ∫
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 6
-
2 2 2 2
0 0 0
1 1 1
sin 2 ( os2 ) os2 os2 ( )
0
2 2 2
x x x x
e xdx e d c x e c x c xd e
π π π
π
= − = = −
∫ ∫ ∫
2 2 2 2
2
0
1 1 1 1
os2 2
2 2 2 4
x
e e e e
e c xdx J J J
π
π π π π
− − − −
= − = − ⇒ = ⇒ =
∫
2 2 2 2
2
1 1 1 1 1
4 2 4 8 8
e e e e
C J
π π π π
− − − −
⇒ = − = − =
•
( )
( )
3
1 1 1
os(ln ) cos(ln ) os(ln ) 1 sin(ln )
1
e e e
e
C c x dx x x xd c x e x dx
π π π
π
π
= = − = − + +
∫ ∫ ∫
( ) ( )
1 1
1 sin(ln ) 1 sin(ln ) sin(ln )
1
e e
e
e x dx e x x x dx
π π
π
π π
= − + + = − + + −
∫ ∫
( ) ( ) ( )
3 3 3
1
1
1 os(ln ) 1 2 1
2
e
e
e c x dx e C C e C
π
π
π π π
+
= − + − = − + − ⇒ = − + ⇒ = −
∫
•
[ ]
2
4
1 1 1
1 1 1 1 1
os (ln ) 1 os(2ln ) os(2ln )
2 2 2 2 2
1
e e e
e
e
C c x dx c x dx x c x dx I
π π π
π
π
−
= = + = − = −
∫ ∫ ∫
Xét
( )
1 1 1
2sin(2ln )
os(2ln ) cos(2ln ) os(2ln 1
1
e e e
e
x
I c x dx x x xd c x e x dx
x
π π π
π
π
= = − = − +
∫ ∫ ∫
1 1
2cos(2ln )
1 2 1 4 os(2ln ) 1 4
e e
x dx
e x e c x dx e I
x
π π
π π π
= − − = − − = − −
∫ ∫
( )
1 1
2cos(2ln ) 1 6
1 2 1 4 os(2ln ) 1 1
5 5
e e
x dx e
e x e c x dx e e
x
π π
π
π π π π
−
= − − = − − = − + = −
∫ ∫
4
1 1 6
5 1 1 1 ( 1)
5 5 5
x x
x
e e
I e I C e I e e
π π π
− −
⇒ = − ⇒ = ⇒ = − + = − + = −
•
5
1 sin 1 sin 1 sin 1 sin
( )
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos
x x x x
x x x x
C e dx d e e e d
x x x x
+ + + +
= = = −
+ + + +
∫ ∫ ∫
2 2
1 sin 1 cos sin 1 sin sin
1 cos (1 cos ) 1 cos 1 cos (1 cos )
x x
x x x
x x x x e dx e xdx
e e dx e
x x x x x
+ + + +
= − = − −
+ + + + +
∫ ∫ ∫
2
1 sin sin
(1); ;
1 cos 1 cos (1 cos )
x x
x
x e dx e xdx
e I J I J
x x x
+
= − − = =
+ + +
∫ ∫
Xét
2
sin
(1 cos )
x
e xdx
J
x
=
+
∫
. ðặt
2
sin
1
(1 cos )
1 cos
x
x
u e
du e dx
xdx
dv
v
x
x
=
=
⇒
=
=
+
+
(2)
1 cos 1 cos 1 cos
x x x
e e dx e
J I
x x x
⇒ = − = −
+ + +
∫
. Thay (2) vào (1) ta có:
5
1 sin 1 sin
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos
x x
x x
x e x e
C e I I C e C
x x x x
+ +
⇒ = − − − + = − +
+ + + +
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 7
-
•
2
6
0 0 0 0
sin 1 1 1
(1 cos 2 ) cos 2
2 2 2
x x x
x
x
C dx e x dx e dx e xdx
e
π π π π
− − −
= = − = −
∫ ∫ ∫ ∫
0 0
1 1 1 1 1
cos 2 cos 2
0
2 2 2 2 2 2
x
x x
e e e
e xdx e xdx J
π π
π π
π
− − −
− −
− − −
= − = − = −
∫ ∫
( )
0 0 0
1 sin 2 1
cos 2 (sin 2 ) sin 2
0
2 2 2
x
x x x
e x
J e xdx e d x xd e
π π π
π
−
− − −
= = = −
∫ ∫ ∫
( )
0 0 0
1 1 cos2 1
sin 2 (cos2 ) cos2
0
2 4 4 4
x
x x x
e x
e xdx e d x xd e
π π π
π
−
− − −
−
= = = − +
∫ ∫ ∫
0
1 1 1 1 5 1 1
cos2
4 4 4 4 4 4 5
x
e e e e
e xdx J J J
π
π π π π
− − − −
−
− − − −
= − = − ⇒ = ⇒ =
∫
( )
6
1 1 1 1 2
1
2 2 2 10 5
e e e
C J e
π π π
π
− − −
−
− − −
⇒ = − = − = −
•
2 2
7
0
( 0)
a
C a x dx a
= − >
∫
( )
2
2 2 2 2 2 2 2
7
2 2 2 2
0 0 0 0
2
2 2 2
7
0
0
arcsin
0
2
a a a a
a
a
x dx dx
C x a x xd a x a a x dx
a x a x
a
x a
a a x dx C
a
π
= − − − = = − −
− −
= − − = −
∫ ∫ ∫ ∫
∫
2 2
7 7
2
2 4
a a
C C
π π
⇒ = ⇒ =
•
2 2
8
0
( 0)
a
C a x dx a
= + >
∫
( )
2
2 2 2 2 2
8
2 2
0 0
2
2 2 2
2 2
0 0
2
0
2
a a
a a
a
x
C x a x xd a x a dx
a x
dx
a a x dx a
a x
= + − + = −
+
= − + +
+
∫ ∫
∫ ∫
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2
8
0
2 2 2
8 8
2 ln 2 ln 1 2
0
2 ln 1 2
2 2 ln 1 2
2
a
a
a a x a x a x dx a a C
C a a C a
= + + + − + = + + −
+ +
⇒ = + + ⇒ =
∫
•
2 2 2
9
0
( 0)
a
C x a x dx a
= + >
∫
ðặt:
( )
1
2 2
2 2
2
1
3
du dx
u x
v a x
dv x a x dx
=
=
⇒
= +
= +
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 8
-
( ) ( )
3 3
2 2 2 2
2 2
9
0
2 2
4 2 2 2 2 2 4
8 9
0 0
1
0
3 3
2 2 1 2 2 1
3 3 3 3 3 3
a
a a
a
x
C a x a x dx
a a
a a x dx x a x dx a C C
⇒ = + − +
= − + − + = − −
∫
∫ ∫
(
)
9
3 2 ln 1 2
8
C
− +
⇒ =
•
2 2 2
10
0
( 0)
a
C x a x dx a
= − >
∫
ðặt:
( )
3
2 2
2 2
2
1
3
du dx
u x
v a x
dv x a x dx
=
=
⇒
= − −
= −
( ) ( )
3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
10
0 0 0
2 4
7 10 10
1 1
0
3 3 3
1
3 3 8
a a a
a
x
C a x a x dx a a x dx x a x dx
a a
C C C
π
−
= − + − = − + −
= + ⇒ =
∫ ∫ ∫
•
(
)
2 2
2 2 2 2 2 2
11
2 2
2
2
a a
a a
a
C x a dx x x a xd x a
a
= − = − − −
∫ ∫
( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 3 2 2 3 2
a a a
a a a
x dx
a x dx a a x a dx
x a x a
− − = − − − −
− −
∫ ∫ ∫
( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
2
2 2
11
2
2 3 2 ln
2
2 3
2 3 2 ln
1 2
a
a
a
a a x x a x a dx
a
a a C
= − − + − − −
+
= − − −
+
∫
( )
2
11
2 3
2 3 2 ln
2
1 2
a
C
+
⇒ = − −
+
•
( )
2 2 2
12
3
4 4 4
1 cot 1
2
cot cot
sin sin sin sin
4
dx x
C d x xd
x x x x
π π π
π π π
π
π
= = − = − +
∫ ∫ ∫
2 2
2 2
4 4
cos 1 1
2 cot 2 1
sin sin sin
x
x dx dx
x x x
π π
π π
= − − = − − −
∫ ∫
2 2 2
12
3 2
4 4 4
sin
2 2
sin sin 1 cos
dx dx xdx
C
x x x
π π π
π π π
= − + − = − + −
−
∫ ∫ ∫
(
)
12
2 ln 1 2
2
C
− + +
⇒ =
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 9
-
4. Dạng 4: Các bài toán tổng hợp
(
)
(
)
3 2 3 2
3 3 3 3
5 3 3
1
2 2 2 2
0 0 0 0
3 3
2 2 2
2
0 0
2 1
2
1 1 1 1
. 1
1
x x x x
x x x
D dx dx dx dx
x x x x
xdx
x x x dx x I J
x
+ +
+
= = = +
+ + + +
= + + = +
+
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
- Xét:
3
2 2
0
. 1
I x x x dx
= +
∫
. ðặt:
( )
2
3
2
2
2
2
1
1
1
3
du xdx
u x
v x
dv x x dx
=
=
⇒
= +
= +
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
3 3 3
2 2 2 2 2
2 2 2
0 0
1 2 13
1 1 8 1 1
3 3 3
0
I x x x x dx x d x
= + − + = − + +
∫ ∫
( )
5
2
2
2 58
3
8 1
15 15
0
x= − + =
- Xét:
3
2
2
0
1
xdx
J x
x
=
+
∫
. ðặt:
2
2
2
2
1
1
u x
du xdx
xdx
dv
v x
x
=
=
⇒
=
= +
+
( ) ( )
3 3
3
2 2 2 2 2 2
2
0 0
2 4
3
1 2 1 6 1 1 6 1
3 3
0
J x x x x dx x d x x
= + − + = − + + = − + =
∫ ∫
1
58 4 26
15 3 5
D I J⇒ = + = + =
•
(
)
3
2 2 2
3 3
3
2
4 3 3 3
1 1 1
1
2
1 1 1 1 1
1
1
3 3 3
d x
x x
D dx x d
x x x x
+
+ +
= = − + = − +
∫ ∫ ∫
(
)
3
2 2
2
3 3 3 3
1 1
1
2 1 1 2 1 1
3 8 2 3 8 6
1 1
d x
x dx
x x x x
+
= − + = − +
+ +
∫ ∫
3 3
2
2 2
2 2
2 1 1 ( ) 2 1 1
3 8 6 ( 1) 3 8 3 1
d u du
u u u
= − + = − +
− −
∫ ∫
( )
2
2 1 1 1 2 1 1 1
ln ln 2ln 1 2
3 8 3 1 3 8 3 2
3
u
u
−
= − + = − + + +
+
•
2 2
2 2
sin 3 2 sin
3
0 0
1
sin cos 2cos (2sin cos )
4
x x
D e x xdx x x x e dx
π π
= =
∫ ∫
( )
( )
( )
2 2 2
2 2
sin sin sin
0 0
1 1 1
1 cos2 1 cos 2 (1 cos 2 )
2
4 4 4
0
x x x
x d e x e e d x
π π
π
= + = + − +
∫ ∫
( )
2 2 2
2 2
sin sin sin
0 0
1 1 1 1 1 1
sin 2 1
2
2 2 2 2 2 2 2
0
x x x
e
e xdx d e e
π π
π
= − + = − + = − + = −
∫ ∫
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 10
-
2 2
4
3 3
2 2
3 3
cos ln(1 cos ) ln(1 cos ) (sin )
3 sin
2
sin ln(1 cos ) sin (ln(1 cos )) ln 2 sin
2 1 cos
3
D x x dx x d x
xdx
x x d x x
x
π π
π π
π π
π π
π
π
= − = −
= − − − = −
−
∫ ∫
∫ ∫
2
2 2
3 3
3 1 cos 3 3
2
ln 2 ln 2 (1 cos ) ln 2 ( sin )
2 1 cos 2 2
3
3 3
ln 2 1
2 6 2
x
dx x dx x x
x
π π
π π
π
π
π
−
= − = − + = − +
−
= − − +
∫ ∫
•
3 3 3
5
4 4 4
3
sin ln(tan ) ln(tan ) (cos ) cos ln(tan ) cos (ln(t
an ))
4
D x x dx x d x x x xd x
π π π
π π π
π
π
= = − = − +
∫ ∫ ∫
3 3 3
2 2
4 4 4
1 cos 1 1 sin
ln3 ln3 ln 3
4 cos tan 4 sin 4 sin
xdx dx xdx
x x x x
π π π
π π π
= − + = − + = − +
∫ ∫ ∫
( )
3
2
4
1 (cos ) 1 1 1 cos 3
3
ln3 ln3 ln ln 1 2 ln 3
4 1 cos 4 2 1 cos 4
4
d x x
x x
π
π
π
π
+
= − − = − − = + −
− −
∫
•
( )
4 4 4 4 4
6
2
0 0 0 0 0
1 cos
sin sin
tan
1 cos 1 cos 1 cos 2
2cos
2
d x
x x xdx xdx x
D dx xd
x
x x x
π π π π π
+
+
= = + = − +
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
4
0
4
ln 1 cos tan tan ln tan 2ln cos
4 4
2 2 4 8 2
2 2
0 0
x x x
x x dx
π
π π
π π
= − + + − = + +
+
∫
(
)
2 1
4
π
= −
.
•
2 2 2
4 4 4
7
0 0 0
sin 2 cos (sin ) 2 sin cos cos (sin ) 2 sin cos (sin ) (
sin )
D x x dx x x x dx x x d x
π π π
= = =
∫ ∫ ∫
( )
( )
2
1 1 1
4 2
0 0 0
1
0
1 1
2 cos 1 cos 2 1 2cos cos 2
2 2
1
(2 4cos 2 cos 4 )
4
t tdt t t dt t t t dt
t t t dt
= = + = + +
= + +
∫ ∫ ∫
∫
= Tích phân từng phần =
1 1 1 1 31
sin 2 cos 2 sin 4 cos 4
2 4 16 16 64
+ + + +
Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương
Chuyên ñề 04 - Tích phân và
ứng dụng
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 11
-
•
2
4 4 4
2 2
8
2 2
0 0 0
tan sin 2 cos
1 sin 2 cos (cos )
cos cos cos
x x x
D xdx xdx d x
x x x
π π π
−
= + = − = −
∫ ∫ ∫
(
)
1 1 1
2
2 2 2
2 2
2
2
1 1 1
1
2
2
1
1
2
2 1 2
2
2
1
1
3 1 3 1 arcsin 3 1
2
12
2
2
1
d u
u u
du u d
u u u u
du u
u
π
−
− −
= − = − = −
= − − = − − = − −
−
∫ ∫ ∫
∫
•
23 3
9
2 2
0 0
cos
.
( sin cos ) cos ( sin cos )
x dx x x x
D dx
x x x x x x x
π π
= =
+ +
∫ ∫
3 3
0 0
1 1 1
.
3
cos sin cos cos sin cos sin cos cos
0
x x x
d d
x x x x x x x x x x x x
π π
π
= − = − +
+ + +
∫ ∫
3
2
0
4 1 cos sin 4 3 3
tan
3
sin cos cos
3 3 3 3 3 3
0
x x x
dx x
x x x x
π
π
π π π
π π π
+ − −
= − + = + =
+
+ + +
∫
Giáo viên : Trần Phương
Nguồn :
Hocmai.vn
