Tài liệu CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 2 docx

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
C¬ häc l îng tö
NguyÔn V¨n Khiªm
Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bài 2
Các đại l ợng Vật lý trong Cơ học l ợng
tử
Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bắt đầu từ đây, ta sẽ chỉ xét tr ờng với số l ợng l ợng
tử (tạm gọi là số hạt) hoàn toàn xác định, mà ở phần
đầu là tr ờng hợp một hạt. Trong bài này, ta sẽ đề cập
đến khái niệm về những đại l ợng vật lý của hạt, ví dụ:
xung l ợng, năng l ợng, toạ độ
Trong bài này, ta sẽ đề cập đến khái niệm về những
đại l ợng vật lý của hạt, ví dụ: xung l ợng, năng l ợng,
toạ độ
Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Để nghiên cứu một đối t ợng vật lý, ta phải dùng đến những
máy đo .
1. Những yêu cầu đối với việc định nghĩa các đại l ợng vật lý
Kết quả đo thực chất là phản ảnh t ơng tác giữa đối t ợng
nghiên cứu với máy đo , và đ ợc thể hiện bởi sự thay đổi
của các đại l ợng vật lý cổ điển đặc tr ng cho trạng thái của
máy đo .
Chẳng hạn, để khảo sát điện tr ờng tại một điểm trong không
gian, ta có thể dùng một lực kế đo lực tác dụng của điện tr
ờng tại điểm đó lên một điện tích thử.

Độ giãn của lò xo thể hiện t ơng tác của điện tr ờng và máy
đo (gồm lực kế và điện tích thử).
Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Máy đo
đối t ợng nghiên cứu
Trạng thái của máy đo
khi bị đối t ợng nghiên
cứu tác dụng
đại l ợng cần đo
Trạng thái hạt vi mô
Đại l ợng vật lý
trong vật lý hạt vi mô ?????
Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Nếu đối t ợng nghiên cứu thuộc loại đã biết thì khái niệm về các
đại l ợng vật lý đã đ ợc định nghĩa. Nếu đối t ợng thuộc loại mới, ta phải
định nghĩa các đại l ợng vật lý đặc tr ng cho đối t ợng đó.
Chẳng hạn, khi lần đầu tiên ta biết đến điện tr ờng, ta có thể nêu
ra khái niệm c ờng độ điện tr ờng nh tỷ số giữa lực tác dụng của điện tr ờng
lên điện tích thử và độ lớn của điện tích thử.
Cũng có thể nêu ra các khái niệm với tên gọi cũ nh ng nội dung
mới, ví dụ nh năng l ợng của điện tr ờng.
Đối với đối t ợng nghiên cứu là l ợng tử của tr ờng (gọi tắt là hạt l
ợng tử), việc định nghĩa các đại l ợng mới với tên gọi cũ cần thoả mãn các
yêu cầu sau:
Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
(i) Trong những điều kiện mà hạt l ợng tử có tính chất rất gần
với hạt theo nghĩa cổ điển (tức là coi nh chất điểm) thì đại l

ợng này gần với đại l ợng cùng tên của hạt cổ điển.
(ii) Các hệ thức (có ý nghĩa nh định luật) giữa các đại l ợng mới của hạt l
ợng tử cũng phải giống nh các hệ thức đã có giữa các đại l ợng cổ điển
t ơng ứng (yêu cầu này gọi là nguyên lý về tính t ơng ứng hay nguyên lý
Bohr)
(iii) Nếu các đại l ợng cổ điển t ơng ứng có tính bảo toàn (cho hệ
kín) thì các đại l ợng mới (đại l ợng l ợng tử) t ơng ứng cũng phải
có tính chất đó.
Về mặt logic toán học, có thể không tuân theo
những yêu cầu trên. Nh ng về ph ơng diện vật lý,
việc kh ớc từ chúng sẽ làm cho lý thuyết mới vô
giá trị, vì các đại l ợng mới sẽ là những đại l ợng
không có liên quan gì đến các đại l ợng cũ cùng
tên, và do đó không đo đ ợc.
Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
2. Các đại l ợng l ợng tử với t cách là các toán tử
Mô hình nguyên tử của E. Rutherford cần phải đ ợc chỉnh sửa
lại, và không chỉ có thế, các khẳng định của N. Bohr cũng phải đ ợc
chính xác hoá.
1. Không phải các electron chuyển động trên các quỹ đạo tròn quanh hạt nhân.
2. Cần nói một cách chính xác hơn là trong vùng không gian quanh hạt nhân
có một tr ờng electron (với số hạt xác định bằng điện tích hạt nhân).
3. Trong tr ờng đó có các trạng thái dừng với năng l ợng xác định, và trong mỗi trạng thái
dừng có tối đa một electron.
4. ở trạng thái dừng electron không bức xạ, không hấp thụ năng l ợng điện
từ. Năng l ợng điện từ chỉ đ ợc bức xạ hoặc hấp thụ khi có một electron
chuyển từ trạng thái dừng này sang một trạng thái dừng khác, và khi đó l
ợng tử năng l ợng đ ợc trao đổi chính bằng hiệu hai mức năng l ợng ở hai
trạng thái dừng.

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Việc phân tích các mô hình t ơng tự dẫn đến một dự
đoán nh sau.
Với một hạt vi mô (hạt l ợng tử) hàm trạng thái
của nó có thể là tuỳ ý, nh ng đại l ợng vật lý L của hạt chỉ có giá trị

nào đó, nếu
là hàm riêng của một toán tử tuyến tính
)(r


ứng với trị riêng bằng
nghĩa là:
)(r


L




=L


=L

(2.1)
Nội dung toán học của phát biểu vừa nêu sẽ đ ợc giải
thích ngay d ới đây.

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
λ

λψψ
=L
ˆ
λψψ
=L
ˆ
lµ hµm riªng cña
mét to¸n tö tuyÕn
tÝnh (L)
)(r

ψ
to¸n tö
tuyÕn tÝnh
L
ˆ
trÞ riªng b»ng mét
to¸n tö tuyÕn tÝnh (L)
Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
3. Toán tử, trị riêng, hàm riêng
Tr ớc hết, toán tử tuyến tính
(gọi tắt là toán tử) là quy luật biến mỗi hàm

thành một hàm mới
L thoả mãn điều kiện sau:

L


L

=
1 2 1 2

. ( )a L L L

+ = +

. ( )b L k kL

=
(với k là một số phức tuỳ ý)
Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
VÝ dô 1:
VÝ dô 2:
),,()( zyxr
ψψ
=

x
ψ
∂
∂
(kh¶ vi)
lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh, v×

xxx ∂
∂
+
∂
∂
=+
∂
∂
21
21
)(
ψψ
ψψ
x
kk
x ∂
∂
=
∂
∂
ψ
ψ
)(
ψ
ξ

Quy t¾c
L
ˆ
sao cho

còng lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh ( )
),,(),,( zyxxzyx
ψξ
=
ξψ
=L
ˆ
Quy t¾c
L
ˆ
biÕn
ψ
thµnh hµm
ξ
sao cho
),,(),,( zyxxzyx
ψξ
=
còng lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh
ξψ
=L
ˆ
).
Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
To¸n tö
C
ˆ
® îc gäi lµ tæng cña c¸c to¸n tö
A

ˆ
vµ
B
ˆ
(viÕt )
BAC
ˆ
ˆˆ
+=
nÕu lu«n cã:
ψψψ
BAC
ˆ
ˆˆ
+=
1
TÝch cña sè k víi to¸n tö
L
ˆ
lµ to¸n tö
M
ˆ
(ký hiÖu
LkM
ˆˆ
=
) sao cho:
ψψ
LkM
ˆˆ

=
2
To¸n tö
N
ˆ
® îc gäi lµ tÝch cña
L
ˆ
víi
M
ˆ
(viÕt
MLN
ˆˆˆ
=
), nÕu lu«n cã:
)
ˆ
(
ˆˆ
ψψ
MLN =
3
Nãi chung,
LMML
ˆˆˆˆ
≠
. Trong tr êng hîp
LMML
ˆˆˆˆ

=
, ta nãi
L
ˆ
vµ
M
ˆ
giao ho¸n víi nhau.
Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Tiếp theo, nếu
L

là một toán tử,

là một số (phức) và

là một hàm sao
cho:

=L


(2.2)

là một trị riêng, còn

là hàm riêng ứng với trị riêng

của toán tử

L

thi ta
nói
Ví dụ: Xét toán tử
x
L


=

khi đó, (2.2) trở
thành:


=


x
suy ra
dx
d



=
, tức là
Cx +=

ln

với C không phụ thuộc x. Từ đó ta có
x
eC


1
=
x
eC


1
=
, trong đó C
1
=e
C
(có thể phụ thuộc y và z).
Nh vậy, mọi số phức đều có thể là trị riêng của toán tử
x

, và với

cho tr ớc thi hàm riêng tr ơng ứng là mọi hàm có
dạng:
x
ezyCzyx


),(),,(

1
=
x
ezyCzyx


),(),,(
1
=
Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Tập hợp mọi trị riêng của một toán tử gọi là phổ của nó. Phổ có thể là liên tục,
tức là có dạng một khoang trên trục số, nh tr ờng hợp phổ của toán tử
x

; nó cũng có thể là rời rạc, tức là gồm nhung điểm rời nhau.
Các đại l ợng với phổ rời rạc sẽ đ ợc gặp ở những bài tiếp theo.
4. Tính bất định của đại l ợng l ợng tử
Trong vật lý cổ điển, mỗi đại l ợng vật lý là một biến số hoặc biến vector với
những giá trị hoàn toàn xác định.
Việc chuyển từ biến số sang toán tử đồng nghĩa với việc kh ớc từ tính xác
định
Đại l ợng vật lý nói chung không có giá trị cụ thể nào, nếu hàm trạng thái của
hạt không phải là hàm riêng của toán tử t ơng ứng, vì nh ta đã nói, đại l ợng L
ứng với toán tử (nói tắt là đại l ợng L ) nhận giá trị

khi và chỉ khi hàm trạng
thái thoả mãn hệ thức . Nếu không tồn tại

sao cho hệ thức

này đúng thì trong trạng thái ,

, L không có giá trị nào
L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L


=L

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
5. Tính thực của đại l ợng vật lý và tính hermitic của toán tử
Toán tử
'

L
đ ợc gọi là toán tử liên hợp của toán tử
L

nếu với mọi cặp hàm

,

(xác định trong không gian 3 chiều) đều có:
dvLdvL )

()'

(



=

dvLdvL )

()'

(



=
(2.3)
đ ợc hiểu là tích phân 3
lớp theo toàn bộ không
gian (chứ không phải
tích phân bất định)
đ ợc hiểu là tích phân 3
lớp theo toàn bộ không
gian (chứ không phải
tích phân bất định)
ký hiệu phép lấy
liên hợp phức
ký hiệu phép lấy
liên hợp phức
Trên thực tế có thể hiểu là

,

thoa mãn điều kiện là
)(r

)(r


tiến đến 0 đủ nhanh khi
r

, thậm chí có thể coi là
)(r


=
)(r


= 0 khi
r

đủ lớn.
a

Hong Duc University
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Toán tử tự liên hợp của
L

ký hiệu là
+
L

. Nếu

L

=
+
L

thi ta nói
L

là toán tử tự liên hợp hay toán tử hermitic (tên toán tử lấy theo tên của nhà toán
học ng ời Pháp C. Hermite)
Một toán tử là hermitic khi và chỉ khi mọi trị riêng của nó đều là thực. Thật vậy,
gia sử
L

là toán tử hermitic và

là một hàm riêng ứng với trị riêng

. Khi đó

=L

.
Mặt
khác:


= dvLdvL )

()

(



= dvLdvL )

()

(

nên:


= dvdv )()(



= dvdv )()(

tức là


= dvdv



= dvdv

từ đó suy ra

=


h
a
y


là số thực.
L

đều thực thi
L

là toán tử hermitic.
Hãy tự tìm cách chứng minh phần đảo, tức là nếu mọi trị riêng của