CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 4 docx

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Nguyễn Văn Khiêm
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
BÀI 4:
KHAI TRIỂN HÀM TRẠNG THÁI. HÀM
TRẠNG THÁI VÀ CÁC ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ
TRONG CÁC KHÔNG GIAN KHÁC NHAU
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
ë đây ta giải quyết một vấn đề giống như trong Đại số
tuyến tính: khai triển một hàm (hay một vector) theo các
hàm riêng (các vector riêng) của một toán tử.
ë đây ta giải quyết một vấn đề giống như trong Đại số
tuyến tính: khai triển một hàm (hay một vector) theo các
hàm riêng (các vector riêng) của một toán tử.
Để cho đơn giản, ta tạm thời chỉ xét các hàm nhận GIÁ
TRỊ LÀ CÁC SỐ PHỨC. Những trường hợp phức tạp
hơn sẽ được xét sau.
Cũng như trong Đại số tuyến tính, vấn đề này có liên
quan với tính trực giao của các hàm riêng ứng với các trị
riêng khác nhau.
Cũng như trong Đại số tuyến tính, vấn đề này có liên
quan với tính trực giao của các hàm riêng ứng với các trị
riêng khác nhau.

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
1.Tính trực giao của các hàm riêng ứng với các trị riêng khác nhau

Gia sử
λ
ψ
và
µ
ψ
là hai hàm riêng ứng với hai trị riêng
λ
và
µ
khác nhau của toán tử hermitic
L
ˆ
, tức là:
ˆ
(4.1)L
λ λ
ψ λψ
=
ˆ
(4.2)L
µ µ
ψ µψ
∗ ∗
=
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Khi đó,
λ
ψ

và
µ
ψ
trực giao với nhau theo nghĩa sau:
0 (4.3)dv
λ µ
ψ ψ
∗
=
∫
0 (4.3)dv
λ µ
ψ ψ
∗
=
∫
Thật vậy, nhân (4.1) với
∗
µ
ψ
rồi lấy tích phân (theo toàn bộ không gian)
ˆ
(4.4)L dv dv
µ λ µ λ
ψ ψ λ ψ ψ
∗ ∗
=
∫ ∫
Tiếp theo, nhân (4.2) với
λ

ψ
rồi lấy tích phân ta có:
ˆ
( ) (4.5)L dv dv
µ λ µ λ
ψ ψ µ ψ ψ
∗ ∗
=
∫ ∫
Do tính hermitic nên các vế trái của (4.4) và (4.5) bằng nhau.
Vì vậy, lấy (4.4) trừ (4.5) ta được.
dv
λµ
ψψµλ
∫
∗
−= )(0
TỪ ĐÓ SUY RA (4.3).
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
2. Khai triển hàm trạng thái theo hệ hàm riêng của một toán tử
Bây giờ gia sử
L
ˆ
có các trị riêng là
1
λ
,
2
λ

, ,
n
λ

n
ψ
. Khi đó, mỗi hàm
ψ
tuỳ ý có thể viết dưới dạng:
n
λ
ta có một hàm riêng
(là một phổ rời rạc) và ứng với mỗi trị riêng
( ) ( ) ( ) (4.6)
n n
n
r c r r
ψ ψ ϕ
= +
∑
  
trong đó
ϕ
trực giao với mọi
n
ψ
.
Xét trường hợp hệ
1
ψ

,
2
ψ
, ,
n
ψ
, là đầy đủ, nghiã là với mọi
,
ψ
thi hàm
ϕ
trong (4.6) đều bằng 0.
n
c
. Lúc đó ta có:
Khi đó, vấn đề đặt ra là phải tìm các hệ số c
n
(phức)
( ) ( ) (4.7)
n n
n
r c r
ψ ψ
=
∑
 
( ) ( ) (4.7)
n n
n
r c r

ψ ψ
=
∑
 
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Nhân hai vế của (4.7) với
)(r
m

∗
ψ
và lấy tích phân, ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) (4.8)
m n m
n
r r dv c r r dv
ψ ψ ψ ψ
∗ ∗
=
∑
∫ ∫
   
Do tính trực giao nên vế trái của (4.8) sẽ bằng:
∫
∗
dvrrc
mmm
)()(


ψψ
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
do đó:
( ) ( ) ( ) ( ) (4.9)
m m m m
r r dv c r r dv
ψ ψ ψ ψ
∗ ∗
=
∫ ∫
   
( ) ( ) ( ) ( ) (4.9)
m m m m
r r dv c r r dv
ψ ψ ψ ψ
∗ ∗
=
∫ ∫
   
Do hai hàm
m
ψ
và
m
k
ψ
thực ra mô ta một trạng thái nên ta có thể coi là
1 2
, ,

ψ ψ
thoa mãn điều kiện chuẩn hoá sau:
2
1 (4.10)
m m m
dv dv
ψ ψ ψ
∗
= =
∫ ∫
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Khi đó, ta có:
(4.11)
m m
c dv
ψ ψ
∗
=
∫
Một trường hợp đặc trưng khác là trường hợp
L
ˆ
có phổ liên tục là khoang S trên trục số, hay tổng quát hơn là
tập hợp liên thông trong một không gian
k
R
Khi đó, thay vi (4.7) ta phai viết:
với
),( r


λψ
là hàm riêng ứng với
λ
Nhân hai vế của (4.12)
với
),( r

µψ
∗
rồi lấy tích phân theo toàn bộ không gian, ta có:
(4.12)
λλψλψ
drcr
S
),()()(

∫
=
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Yêu cầu các hàm
),( r

λψ
thoa mãn hệ thức chuẩn hoá suy rộng sau:
Khi đó từ (4.13) suy ra:
(4.14) )(),(),(
λµδλψµψ
−=

∫
∗
dvrr

( )
(4.13)
λλψµψλψµψ
ddvrrcdvrr
S
∫∫∫
∗∗
= ),(),()()(),(

(4.15)
∫
∗
= dvrrc )(),()(

ψµψµ
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
:
3. Các trường hợp đặc biệt
a.Trường hợp
L
ˆ
là toán tử xung lượng.
p

Trong trường hợp

∇−= iL
ˆ
, thay cho
λ
ta có vector
, thay cho
),( r

λψ
ta có
rp
i
eCrp



.),( =
ψ
Dễ chứng tỏ rằng điều kiện chuẩn hoá
)(),(),( qpdvrqrp

−=
∫
∗
δψψ
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
:
dẫn đến hệ thức:
2

3
2
1
)( 
π
=C
Khi đó, (4.12) thay bởi:
(4.16)
∫
= dwepcr
rp
i





)(
)2(
1
)(
2
3
π
ψ
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
trong đó dw là yếu tố thể tích trong không gian các vector
p


còn (4.15) trở thành:
Như vậy, theo thuật ngu của Giai tích toán học thi
)(r

ψ
là anh của hàm
)( pc

qua biến đổi Fourier, và
)( pc

là anh của
)(r

ψ
qua biến đổi Fourier ngược.
(4.17)
∫
−
= dverpc
rp
i





)(
)2(
1

)(
2
3
ψ
π
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
b. Trường hợp
L
ˆ
là toán tử toạ độ.
Khi
rL
ˆ
ˆ

=
thi (4.12) trở thành:
Nhưng từ tính chất hàm Dirac, vế phai của (4.18) chính là
)'(rc

. Như vậy, ta có:
)()'( rrc

ψ
=
.
(4.18)
∫
−= dvrrrcr )'()'()(


δψ
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
4. Biểu diễn – L của hàm sóng và các đại lượng vật lý.
Trong trường hợp tổng quát, cập công thức (4.12) - (4.15) hoặc
(4.7) - (4.11) cho ta thấy rằng, giua hàm trạng thái
)(r

ψ
và hàm
)(
λ
c
(hay hệ số c
n
) có mối tương quan “một – một”. Vi vậy, chính hàm
)(
λ
c
cũng có thể coi như hàm trạng thái của hạt.
(4.12)
λλψλψ
drcr
S
),()()(

∫
=
(4.15)

∫
∗
= dvrrc )(),()(

ψµψµ
(4.11)
m m
c dv
ψ ψ
∗
=
∫
(4.7)
∑
=
n
nn
rcr )()(

ψψ

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Ta gọi nó là hàm trạng thái trong không gian các giá trị của đại lượng L
hay hàm trạng thái trong biểu diễn - L.
là hàm trạng thái trong biểu diễn toạ độ x- biểu diễn;
)( pc

thành một hàm với biến
λ

):
Bay giờ ta sẽ coi (4.15) là công thức của một toán tử tuyến tính U
(chuyển một hàm với biến
r

Hàm
)(r

ψ
Hàm cho bởi (4.17) là hàm trạng thái trong biểu diễn xung lượng.
p- biểu diễn
(4.15)
∫
∗
= dvrrc )(),()(

ψµψµ
Khi đó, (4.12) chính là công thức của toán tử ngược:
(4.19)c U
ψ
=
(4.12)
λλψλψ
drcr
S
),()()(

∫
=
HONG DUC UNIVERSITY

307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Xét các hàm
1
ψ
,
2
ψ
(biến
r

) và c
1
, c
2
(biến
λ
) sao cho:
1 1
(4.21)c U
ψ
=
2 2
(4.22)c U
ψ
=
2 1
ˆ
(4.23)M
ψ ψ
=

2 1 1
ˆ
(4.24)c M c=
Ta cần tim mối liên hệ giua
M
ˆ
và
1
M
ˆ
để khi có (4.21); (4.22); (4.23) thi (4.24) luôn đúng. Ta có:
1
(4.20)U c
ψ
−
=
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
1
1
12211
cUMUMUUccM
−
====
ˆˆˆ
ψψ
Từ đó suy ra:
1
1
ˆ ˆ

(4.25)M UMU
−
=
ĐAY CHÍNH LÀ CÔNG THỨC CẦN TÌM.
Lẽ tự nhiên, ta cần phai coi
1
M
ˆ

Dối với trường hợp phổ rời rạc, công thức (4.11) cho ta phép biến đổi U
biến
ψ
thành bộ (c
1
, c
2
, ), còn (4.7) là biến đổi ngược U
-1
. Như vậy:
là toán tử của đại lượng M trong biểu diễn –L.
1 2
( , , ) (4.27)U c c
ψ
=
1
1 2
( , , ) (4.28)U c c
ψ
−
=

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Dối với đại lượng M, các toán tử của nó là
M
ˆ
trong biểu diễn toạ độ và
1
M
ˆ
trong biểu diễn –L vẫn thoa mãn (4.25). Bây giờ ta tim toán tử
1
L
ˆ
của chính L trong biểu diễn –L. Muốn vậy, ta viết lại (4.27) như sau:
1 2
( , , ) (4.27')
n n
n
U c c c
ψ
 
=
 ÷
 
∑
Từ đây suy ra:
( )
.), ,,, ,( ).( 000010
11 nnnn
cUU =++++=

+−
ψψψψ
Do đó:
∑
∑∑∑
==
==






=






==
−
n
nnnnn
n
nnn
n
nnn
n
nn

cccc
UccUcLUccULUccL
), , ,(, ),,, (
)(
ˆ
, ),(
ˆ
, ),(
ˆ
λλλλλ
ψλψλψ
2211
21
1
211
000
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Tương tự, trong trường hợp phổ liên tục, ta có:
)()(
ˆ
λλλ
ccL =
1
Nói cách khác, toán tử của L trong biểu diễn của chính nó chính là
phép nhân với biến số
λ
. Diều này phù hợp với khẳng định đã nhận
được trước đây: toán tử toạ độ x chính là phép nhân với biến số x,
Chú ý: Công thức (4.25) dễ dàng tổng quát hoá như sau: nếu

1
M
ˆ
và
2
M
ˆ
lần lượt là các toán tử của đại lượng M trong biểu diễn - L
1
và
biểu diễn - L
2
; U là phép chuyển từ hàm trạng thái c
1

trong biểu diễn - L
1
sang hàm trạng thái c
2
trong biểu diễn - L
2
thi:
1
2 1
ˆ ˆ
(4.25')M UM U
−
=
Dùng công thức này, dễ chứng minh rằng
* *

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
ˆ ˆ
( ) ( ) ( ) ( ) (4.29)c M c d c M c d
λ λ λ λ λ λ
=
∫ ∫
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
với tích phân ở vế trái được lấy theo phổ của
1
L
ˆ
còn ở vế phai lấy theo phổ của
2
L
ˆ
.
HÃY NGHIỀN NGẪM RẤT KỸ Ý NGHĨA CÁC KÝ HIỆU
TRONG CÁC CÔNG THỨC NÀY!
* *
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
ˆ ˆ
( ) ( ) ( ) ( ) (4.29)c M c d c M c d
λ λ λ λ λ λ
=
∫ ∫
* *
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
ˆ ˆ
( ) ( ) ( ) ( ) (4.29)c M c d c M c d

λ λ λ λ λ λ
=
∫ ∫
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
5. Các toán tử toạ độ và xung lượng trong biểu diễn xung lượng
Trong biểu diễn xung lượng, cố nhiên toán tử
x
p
ˆ
chính là phép nhân hàm trạng thái với p
x
:
)()(
ˆ
pcppcp
xx

=
và đối với các thành phần khác cũng vậy.
Dể xác định, ví dụ, toán tử
1
x
ˆ
lên hàm c(p) tương đương với việc tác dụng
x
ˆ
của toạ độ x trong biểu diễn xung lượng, ta chú ý đến (4.17).
Do việc tác dụng
1

x
ˆ
lên
ψ
nên:

(4.30)
∫
−
= dverxpcx
rp
i





)(
ˆ
)2(
1
)(
ˆ
2
3
1
ψ
π
(4.17)
∫

−
= dverpc
rp
i





)(
)2(
1
)(
2
3
ψ
π
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Mặt khác, vế phải của (4.30) lại bằng
)()(
)(
)(
)(
)(
)(
pc
p
idver
p

i
dve
p
irdverx
x
rp
i
x
rp
i
x
rp
i
















∂

∂
=










∂
∂
=
=
∂
∂
=
∫
∫∫
−
−−
ψ
π
ψ
π
ψ
π
2

3
2
3
2
3
2
1
2
1
2
1
Như vậy, với sai khác là dấu (cộng hoặc trừ), dạng của toán tử toạ độ
trong biểu diễn xung lượng hoàn toàn giống như dạng của toán tử
xung
lượng trong biểu diễn toạ độ.
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
( )








∂
∂
∂
∂

∂
∂
+++=
zyx
zyx
p
i
p
i
p
iUppp
m
H  ,,
ˆ
222
1
2
1
( )








∂
∂
∂

∂
∂
∂
+++=
zyx
zyx
p
i
p
i
p
iUppp
m
H  ,,
ˆ
222
1
2
1
Từ những điều vừa nói, ta suy ra dạng của toán tử năng lượng
trong biểu diễn xung lượng: