CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 3 potx

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
BÀI 3:
CÁC TOÁN TỬ TOẠ ĐỘ, XUNG LƯỢNG
VÀ NĂNG LƯỢNG
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Ta bắt đầu từ việc xây dựng các toán tử cho các đại lượng cơ bản nhất, đặc
trưng cho một hạt: đó là các toán tử toạ độ, xung lượng và năng lượng.
Ta bắt đầu từ việc xây dựng các toán tử cho các đại lượng cơ bản nhất, đặc
trưng cho một hạt: đó là các toán tử toạ độ, xung lượng và năng lượng.
Có nhiều cách khác nhau để xác định toán tử xung lượng, và kết quả
thực chất là dẫn đến một toán tử duy nhất.
Xin điểm qua tinh thần của một vài cách.
1. Toán tử xung lượng
Cách thứ nhất: Có thể xác định toán tử xung lượng xuất phát từ các
hệ thức tương tự như các hệ thức cho các “móc Poisson” trong Cơ
học giải tích cổ điển.
Cách thứ hai: Có thể xuất phát từ yêu cầu: tính bảo toàn của xung
lượng đối với hệ kín
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Cách thứ ba: xuất phát từ ý tưởng liên quan đến công thức (1.1).
Cụ thể, ta sẽ coi toán tử xung lượng là toán tử vector
p
ˆ

gồm 3 thành phần
x
p
ˆ

,
y
p
ˆ
,
z
p
ˆ
sao cho
p
ˆ

nhận mọi vector
),,(
zyx
pppp

làm trị riêng, và các hàm riêng tương ứng
là:
( ) . (3.1)
i
pr
p
r C e
ψ
=

h



trong đó C không phụ thuộc x, y, z.
Dễ thấy toán tử vector thoả mãn yêu cầu trên, chính là
toán tử
trong đó
∇

là toán tử vector với 3 thành phần
, ,
x y z
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
Thật vậy, ta
có:
)(.)(
)(
rpe
x
Cir
x
i
px
zpypxp
i
p
zyx








ψ
ψ
=
∂
∂
−=
∂
∂
−
++
và tương tự với 2 thành phần còn lại. Từ đó suy
ra:
)(.)(
ˆ
rprp
pp


ψψ
=
ˆ
(3.2)p i
= − ∇


h
toán tử vector thoả mãn yêu cầu trên, chính là toán tử
(3.2) LÀ TOÁN TỬ

XUNG LƯỢNG CẦN
TÌM
CHÚ Ý: NẾU CÒN PHỤ THUỘC CẢ VÀO THỜI GIAN t
THÌ SỰ PHỤ THUỘC ĐÓ SẼ ĐƯỢC THỂ HIỆN QUA
HỆ SỐ C (C KHÔNG PHỤ THUỘC X, Y, Z).
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
2. Hàm Dirac
Muốn xác định các toán tử toạ độ, ta cần đến khái niệm về một hàm số
đặc biệt gọi là hàm Dirac (do Paul Dirac nêu ra). Với mỗi số dương p,
xét hàm số trên trục số sao cho:
)(xf
p
(i)
)(xf
p
= 0 khi
px
−≤
hoặc
px ≥
(i
i)
)(xf
p
tang trên khoang (-p; 0) và giam trên (0;
p);
.
∫
−

=
p
p
p
dxxf 1)(
(iii)
Ngoài ra yêu cầu
dx
xdf
p
)(
hay
)(
'
xf
p
tồn tại với mọi x.
Đồ thị của hàm số này có dạng như hình 1
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Diện tích hình được gạch
chéo bằng 1.
x
0
)(xf
p
Khi cho
0
→
p

, hàm số
)(xf
p
tiến đén một hàm đặc biệt (hàm Dirac trên trục
số):



=∞+
≠
=
0
0,0
)(
x
x
x
nÕu,
nÕu
δ
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Ta quy
ước:
1)(lim)(lim)()(
00
∫∫∫∫
+
−
→

+∞
∞−
→
+
−
+∞
∞−
====
p
p
p
p
p
p
dxxfdxxfdxxdxx
α
α
δδ
Ngoài ra, quy ước
thêm:
)()()(
00
xfdxxfxx
∫
+∞
∞−
=−
δ

HONG DUC UNIVERSITY

307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Chú ý: Dịnh nghiã chính xác của hàm Dirac có thể tim trong các
tài liệu về hàm suy rộng.
được định nghĩa như giới hạn của tích
)()()( zfyfxf
ppp
khi
0
→
p
. Ta cũng có thể viết:
( ) ( ) ( ) ( ) (3.1)r x y z
δ δ δ δ
=

Tuy nhiên, ở đây ta không cần chính xác hoá ở mức quá cao.
Ngoài ra, chính định nghĩa kiểu “sơ khai” như trên có vẻ đẹp
riêng và mang “tính lãng mạn Dirac”.
Tiếp theo, hàm Dirac trong không gian 3
chiều
)(r

δ
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
và
:




=∞+
≠
=
0
0,0
)(
r
r
r



nÕu,
nÕu
δ
đồng thời quy
ước:
( ) 1 (3.2)r dv
δ
=
∫

v
à
0 0
( ) ( ) ( ) (3.3)r r f r dv f r
δ
+∞
−∞
− =

∫
 
TRONG (3.2) VÀ (3.3) NÓI ĐẾN TÍCH PHÂN 3
LỚP TRÊN TOÀN BỘ KHÔNG GIAN
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
3. Toán tử toạ độ
Một cách tự nhiên, nếu một hạt có vị trí xác định
0
r

thi trường tương ứng chỉ được phép khác 0 tại
0
r

và do đó, hàm trường hay hàm trạng thái của hạt phai là
)(
0
rr

−
δ
.
Như vậy, toán tử toạ độ là toán tử vector
r
ˆ

với 3 thành phần
zyx
ˆ

,
ˆ
,
ˆ
sao cho
r
ˆ

nhận mọi vector
0
r

làm trị riêng, và hàm riêng tương ứng là
)(
0
rr

−
δ
:
0 0 0
ˆ
( ) ( ) (3.4)r r r r r r
δ δ
− = −
     
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Do
)(

0
rr

−
δ
= 0 nếu
0
rr

≠
, nên luôn có
)()(
000
rrrrrr

−=−
δδ
Từ đó suy ra: toán tử
r
ˆ

chính là phép nhân hàm số với biến vector
r

và mỗi thành phần của toán tử là phép nhân với biến toạ độ tương ứng.

ˆ
ˆ
ψψ
ψψ

xx
rr
=
=

Nhận xét: Một lần nua ta lại đối mặt với tính bất định, ở đây là sự
bất định về vị trí. Hạt có vị trí tại
0
r

khi và chỉ khi hàm trạng thái là
)(
0
rr

−
δ
Nếu hàm trạng thái không phai là hàm Dirac thi hạt không ở đâu ca.
Mặt khác trong trạng thái với hàm trường
ψ
thi hạt có TIỀM NANG xuất hiện tại bất kỳ điểm nào mà
0
≠
ψ
.
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
4. Các hệ thức giao hoán đối với các toán tử thành phần
xung lượng và toạ độ
Với

ψ
là hàm tuỳ ý, ta có:
ψψ
yxxy
=
. Từ đó suy ra
xyyx
ˆˆˆˆ
=
nói một cách khác, hai toán tử toạ độ khác nhau thi GIAO HOÁN với
nhau.
Tiếp theo ta có






∂
∂
∂
∂
=









∂
∂
∂
∂
xyyx
ψψ
từ đó suy ra:






∂
∂
−
∂
∂
−=








∂
∂

−
∂
∂
−
x
i
y
i
y
i
x
i
ψψ

hay
xyyx
pppp
ˆˆˆˆ
=
tức là hai thành phần của toán tử xung lượng
CŨNG GIAO HOÁN với nhau.
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bây giờ ta xét tương quan giữa một thành phần của toán tử xung lượng
và một toán tử toạ độ. Ta có:
( )







∂
∂
−+−=






∂
∂
+−=
∂
∂
−
x
ixi
x
xix
x
i
ψ
ψ
ψ
ψψ
 .
tức là:
( ) ( )

ψψψ
ipxxp
xx
−=−
ˆˆˆˆ
hay:
và tương tự
Như vậy, toán tử của một toạ độ và thành phần xung lượng tương
ứng không giao hoán với nhau.
Như vậy, toán tử của một toạ độ và thành phần xung lượng tương
ứng không giao hoán với nhau.
(3.5)
ˆˆˆˆ
ipxxp
xx
−=−
(3.6)
ˆˆˆˆ
ipyyp
yy
−=−
(3.7)
ˆ
ˆˆ
ˆ
ipzzp
zz
−=−
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

Các kết quả trên có thể diễn đạt như sau. Với hai toán tử
a
ˆ
và
b
ˆ
ta đặt
[ ]
baabba
ˆ
,
ˆˆ
ˆˆ
ˆ
=−
và gọi biểu thức này là hoán tử của
a
ˆ
với
b
ˆ
. Rõ ràng
a
ˆ
với
b
ˆ
là giao hoán khi và chỉ khi
[ ]
0

ˆ
,
ˆ
=
ba
Ngoài ra với
ba
ˆ
,
ˆ
tuỳ ý ta có:
[ ] [ ]
abba
ˆ
,
ˆˆ
,
ˆ
−=
.
V
ới
zyx
ppppppzxyxxx
ˆˆ
;
ˆˆ
;
ˆˆ
;

ˆ
ˆ
;
ˆˆ
;
ˆˆ
321321
======
thi:
[ ]
[ ]
[ ]
(3.8)
nÕu
nÕu












=
≠
=

=
=
jii
ji
px
pp
xx
ji
ji
ji

0
ˆ
,
ˆ
0
ˆ
,
ˆ
0
ˆ
,
ˆ
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
5. Toán tử năng lượng
Trong cơ học cổ điển, động năng T liên hệ với xung lượng bởi công thức:
m
p
T

2
2
=
Theo nguyên lý Bohr, hệ thức trên phải được giữ nguyên trong Cơ học
lượng tử với việc thay thế các biến số bởi các toán tử:
( )
222
2
2
1
2
zyx
ppp
mm
p
T
ˆˆˆ
ˆ
ˆ
++==
tức là








∂

∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
2
2
2
2
2
22
2
zyx
m
T

ˆ
hay
trong đó









∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∆
2
2
2
2
2
2
zyx
là toán tử Laplace.
(3.9)
∆−=
m
T
2
ˆ
2

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bây giờ xét trường hợp hạt ở trong một trường khác. Khi đó, toán tử nang
lượng toàn phần phai bằng tổng của
T

ˆ
với toán tử thế nang
U
ˆ
Nói một cách khác chặt chẽ hơn thi trường ngoài tác dụng lên hạt mà
ta đang nghiên cứu cũng phai được lượng tử hoá.
ψ

Tuy nhiên, trong thực tế thi rất nhiều bài toán có thể giai với độ chính
xác cao, khi xem trường ngoài này là trường cổ điển, tức là hàm của
điểm.
Khi đó, toán tử thế nang sẽ được xem như phép nhân hàm trạng thái

của hạt với hàm thế nang U(x, y, z):

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Như vậy, toán tử năng lượng toàn phần sẽ là:
với
U
ˆ
là toán tử xác định bởi
(3.10).
(3.11) U
m
H
ˆ
2
ˆ
+∆−=


(3.10) )()()(
ˆ
rrUrU

ψψ
=
HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Việc chấp nhận hệ thức (3.11) HỢP LÝ ĐẾN MỨC NÀO,
điều đó chỉ có thể được quyết định bởi việc đối chiếu các
kết quả lý thuyết với các số liệu thực nghiệm.
Việc chấp nhận hệ thức (3.11) HỢP LÝ ĐẾN MỨC NÀO,
điều đó chỉ có thể được quyết định bởi việc đối chiếu các
kết quả lý thuyết với các số liệu thực nghiệm.
MÔ HÌNH
LÝ THUYẾT
KẾT QUẢ
THỰC NGHIỆM
HỢP LÝ ĐẾN MỨC NÀO??????

HONG DUC UNIVERSITY
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Cho đến nay, quan điểm xây dựng toán tử năng lượng như
vậy nói chung vẫn cho những kết quả với độ chính xác “đủ
dùng”.
Cho đến nay, quan điểm xây dựng toán tử năng lượng như
vậy nói chung vẫn cho những kết quả với độ chính xác “đủ
dùng”.
Còn nếu muốn có các kết quả lý thuyết chính xác hơn nữa

ta cần dùng một lý thuyết “cao hơn” lý thuyết trường lượng
tử.
Còn nếu muốn có các kết quả lý thuyết chính xác hơn nữa
ta cần dùng một lý thuyết “cao hơn” lý thuyết trường lượng
tử.