de thi hoc ky 2 mon toan lop 10 (co dap an) so 66

Trường THPT Nguyễn Trãi ĐỀ THI HỌC KÌ II NĂM HỌC 2012-2013
MÔN THI: TOÁN 10
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian giao đề)
A. PHẦN CHUNG (7điểm). (Dành cho tất cả các thí sinh)
Câu I(2điểm). Gii bt phương trnh và hệ bt phương trnh sau:
1)
2
6
0
4
x
x
x
+ −
<
−
2)
2
2
2 3 2 0
5 4 0
x x
x x

− + + ≥


− + >


.

Câu II(1điểm).
Để kho sát kết qu thi tuyển sinh môn Toán trong kỳ thi tuyển sinh đại học
năm vừa qua của trường A, người điều tra chọn một mẫu gồm 100 học sinh
tham gia kỳ thi tuyển sinh đó. Điểm môn Toán (thang điểm10) của các học
sinh này được cho ở bng phân bố tần số sau đây:
Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tần số 1 1 3 5 8 13 19 24 14 10 2 N = 100
Tm mốt và số trung vị của bng phân bố tần số trên.
Câu III(2điểm).
1) Tính các giá trị lượng giác của góc
,
α
biết sin
α
=
5
4
và
.
2
π
α π
< <
2) Chứng minh rằng: cot
α
− tan
α
= 2cot2
α
Câu IV(2điểm). Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1 ; 0) và B(-2 ; 9).

1) Viết phương trnh tổng quát của đường thẳng
∆
đi qua hai điểm A và B.
2) Viết phương trnh đường tròn (C) có tâm I(2 ; 7) và tiếp xúc với đường
thẳng
.∆
B. PHẦN RIÊNG (3điểm). (Thí sinh học chương trình nào thì làm theo
chương trình đó)
1. Theo chương trình cơ bản.
Câu Va(2điểm).
1) Gii bt phương trnh
2 5.x − <
2) Tm m để biểu thức
2 2
( ) 2( 2) 0f x x m x m= − − + >
, với
.x
∀ ∈
R.
Câu VIa(1điểm).
Tm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh ; độ dài trục lớn, trục bé của elip (E):
2 2
4 25 100.x y+ =
2. Chương trình nâng cao.
Câu Vb(2điểm).
1) Gii bt phương trnh
2
10 21 3.− + − < −x x x
2) Cho phương trnh x
2

- 2(m-1)x + 2m
2
- 5m + 3 = 0. Tm m để phương
trnh có hai nghiệm dương phân biệt.
Câu VIb(1điểm).
1) Viết phương trnh chính tắc của hypebol (H) biết tâm sai e = 2, các tiêu
điểm của (H) trùng với các tiêu điểm của elip (E):
2 2
1.
25 16
x y
+ =
2) Tm điểm M trên (H) sao cho
1 2
2MF MF=
.
HẾT
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM THI HỌC KÌ II- MÔN TOÁN 10 NĂM HỌC
2012-2013
CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM
I
(2đ)
1(1đ)
2
2
6 0
3
4 0 4
x
x

x
x
x x
=

+ − = ⇔

= −

− = ⇔ =
x
−∞
-3 2 4
+∞
2
6x
x
+ −
+ 0 - 0 + +
4x
−
- - - 0 +
VT
- 0 + 0 - +
Tập nghiệm:
( ; 3) (2;4)S = −∞ − ∪







0,5







0,25
0,25
2(1đ)
2
2
1
2
2
2 3 2 0
1
1
1
2
5 4 0
4
x
x x
x
x
x x

x

− ≤ ≤


− + + ≥
 
⇔ ⇔ − ≤ <
 
<

− + >




>


+ Bt phương trnh
2
2 3 2 0x x− + + ≥
có tập nghiệm
1
1
;2
2
S
 
= −

 
 
+ Bt phương trnh
2
5 4 0x x− + >
có tập nghiệm
( ) ( )
2
;1 4;S = −∞ ∪ +∞
+ Tập nghiệm của hệ là:
1 2
1
;1
2
S S S
 
= ∩ = −
÷

 
(Chỉ đúng một tập nghiệm S
1
hoặc S
2
thì cho 0,5 đ)






0,75
0,25
II
(1đ)
+ Mốt
7
O
M =
(ứng với tần số là 24)
+ Số trung vị
50 51
6 7
6,5
2 2
e
x x
M
+ +
= = =
0,5
0,5
III
(2đ)
1(1đ)
2
2 2
4 9
os 1 sin 1
5 25
c x x

 
= − = − =
 ÷
 
3
os
5
3
os loai v < <
5 2
c x
c x
π
α π

= −


⇒
 

=
 ÷

 


4 3
tan ; cot
3 4

α α
=− =−

0,25







0,5
0,25
2(1đ)
Chứng minh : cotx – tanx = 2 cos2x
Ta có : cotx – tanx =
2 2
cos sin cos sin
sin cos sin .cos
x x x x
x x x x
−
− =

cos2
2cot 2
1
sin 2
2
x

x
x
= =
0,5
0,5
IV
(3đ)
1(1đ)
+ Đường thẳng
∆
có VTCP
3( 1;3)AB = −
uuur

⇒
VTPT
(3;1)n =
r
+ Đường thẳng
∆
đi qua A(1 ; 0) nhận vectơ pháp tuyến
(3;1)n =
r
nên có PT:
3( x – 1) + 1(y – 0) = 0

⇔
3x + y – 3 = 0
0,5
0,25

0,25
2(1đ)
+ Pt đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính R có dạng
( ) ( )
2 2
2
x a y b R− + − =
+ V đường tròn có tâm I(2; 7) và tiếp xúc với
∆
: 3x + y -3= 0 nên ta có bán
kính
( )
2
3.2 7 3
, 10
3 1
R d I AB
+ −
= = =
+
+ Kết luận: Phương trnh đường tròn cần tm là:
( ) ( )
2 2
2 7 10x y− + − =
0,25
0,25
0,25
0,25
Chương trình cơ bản
Va

(2đ)
1(1đ)
2 5
2 5
2 5
x
x
x
− > −

− < ⇔

− <

3
3 7
7
x
x
x
> −

⇔ ⇔ − < <

<

Vậy tập nghiệm của bt phương trnh là:
( )
3;7S = −
0,5

0,5
2(1đ)
2 2
( ) 2( 2) 0f x x m x m= − − + >
, với
x
∀ ∈
R.

0
⇔ ∆ <

4 4 0 1m m⇔ − + < ⇔ >
0,5
0,5
VIa
(1đ)
(E):
2 2
2 2
4 25 100 1
25 4
x y
x y+ = ⇔ + =
Phương trnh (E)có dạng:
2 2
2 2
1
x y
a b

+ =
Ta có a = 5 ; b = 4 ;
2 2
3c a b
= − =
Tọa độ các tiêu điểm
1 2
( 3;0); (3;0)F F
−
Tọa độ các đỉnh (-5;0) ; (5;0) ; (0;-4) ; (0;4).
Độ dài trục lớn 2a = 10; độ dài trục bé 2b = 8
0,25
0,25
0,25
0,25
Chương trình nâng cao
Vb
(2đ)
1(1đ)
2 2
2 2
3 0
10 21 3 10 21 0
10 21 ( 3)
x
x x x x x
x x x
− >



− + − < − ⇔ − + − ≥


− + − < −

⇔
2
2
3
10 21 0
2 16 30 0
>


− + − ≥


− + >

x
x x
x x



0,5
⇔
3
3 7 (5;7]
3

5
>


≤ ≤ ⇔ ∈


<



>



x
x x
x
x



0,5
2(1đ)
Viết được






>
>
>∆
0
0
0
'
P
S
hoặc









>
>−
>∆
0
0
0
'
a
c
a
b










>
+−
>
−
>−+−
⇔
0
3
23
0
3
)1(2
0572
2
2
mm
m
mm
gii được








>∨<
>
<<
21
1
2
5
1
mm
m
m
Kết luận: 2 < m <
2
5







0,5










0,5
VIb
(1đ)
1(0,5đ)
Elip (E) có
1 2
( 3;0), (3;0)F F−
Phương trnh chính tắc của (H) có dạng:
2 2
2 2
1
x y
a b
− =
(a, b, c dương ;
2 2 2
c a b= +
)
Theo gi thiết ta có: c = 3 ;
2 2
9a b+ =
3
2
2

c
e a
a
= = ⇒ =
( a
2
=
9
4
) ;
2
27 3 3
4 2
b b= ⇒ =
Vậy phương trnh chính tắc của hypebol (H):
2 2
1
9 27
4 4
x y
− =







0,25








0,25
2(0,5đ)
Gọi M(x;y)
( )H∈
, khi đó
1 2
3 3
2 2 2 2
2 2
MF MF x x= ⇔ + = −

2
1 105
4 16
9 135
4 4
x y
x y

= → = −


⇔


= → = ±


Vậy
1 2
9 135 9 135
( ; ) , ( ; )
4 4 4 4
M M −
0,25







0,25