de thi hoc ky 2 mon toan lop 10 (co dap an) so 79

TRƯỜNG THPT ĐẠI NGÃI KIỂM TRA HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 2012-2013
TỔ TOÁN Môn: TOÁN – Lớp 10
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
I. PHẦN BẮT BUỘC (7,0 điểm)
Câu I. (3,0 điểm)
1) Giải bất phương trình
2
12 7 10 0x x- - <
.
2) Giải bất phương trình
2
4 12 9
0
2 1
x x
x
+ +
³
-
.
3) Giải bất phương trình
2
2 3x x x+ - +³
.
Câu II. (3,0 điểm)
1) Tính giá trị của biểu thức
( )
2 sin 10 1 cos 50A = ° + °
.
2) Cho

4
cos
5
a
=
và
0
2
p
a
- < <
. Tính
cos 2
a
và
t an
a
.
3) Chứng minh:
5 5
1
sin cos sin cos sin(4 )
4
a a a a a
× - × =
.
Câu III.(1,0 điểm) Cho tam giác
A BC
có
,A B a=

3BC a=
,
·
30A BC = °
. Tính theo
a
độ
dài cạnh
A C
và khoảng cách từ điểm
B
đến đường thẳng
A C
.
II. PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)
Học sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
Phần A.
Câu IVa. (1,0 điểm) Cho
,a b
là hai số thực tùy ý. Chứng minh
2 2
a b ab+ ³
.
Câu Va. (2,0 điểm) Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thẳng
: 3 4 15 0x y- - =D
và các điểm
(2; 2)A -
,

( 6; 4)B -
.
1) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
d
đi qua hai điểm
A
và
B
. Tìm tọa độ giao
điểm của hai đường thẳng
D
và
d
.
2) Viết phương trình đường tròn (C) có đường kính
A B
. Chứng minh
D
là tiếp tuyến của (C).
Phần B.
Câu IVb. (1,0 điểm)
Cho
, , ,a b x y
là các số thực tùy ý. Chứng minh
2 2 2 2 2
( ) ( )( )ax by a b x y+ + +£
.
Câu Vb. (2,0 điểm) Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thẳng

D
có phương trình
3 2 0x y+ + =

và hai điểm
(0;2), ( 1;1)A B -
.
1) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm
A
và đi qua
O
. Chứng minh
D
tiếp xúc với (C).
2) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
d
di qua hai điểm
A
và
B
. Tính góc giữa hai
đường thẳng
d
và
D
.
HẾT
Học sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên học sinh: Lớp:
Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:

TRNG THPT I NGI KIM TRA HC Kè 2 NM HC 2012-2013
T TON Mụn: TON Lp 10
CHNH THC
Thi gian lm bi: 120 phỳt, khụng k thi gian giao
P N V THANG IM
(ỏp ỏn ny cú 04 trang)
Cõu í Ni dung im
Cõu I. (3 im)
1) (1 im) Gii bt phng trỡnh
2
12 7 10 0x x- - <
.
Tam thc bc hai
2
12 7 10x x- -
cú cỏc nghim l
5
4
v
2
3
-
.
0.25
Bng xột du
2
12 7 10x x- -
x
- Ơ

2 3-

5 4

+ Ơ
2
12 7 10x x- -

-

0

+
0
-
0.25
Tp nghim ca bt phng trỡnh ó cho l
2 5
;
3 4
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
-
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ố ứ
.
0.5
2) (1,0 im) Gii bt phng trỡnh:
2
4 12 9
0
2 1
x x
x
+ +

-
.
Nh thc
2 1x -
cú nghim l
1
2
. Tam thc
2
4 12 9x x+ +
cú nghim kộp l
3 2-
.
Bng xột du
x
- Ơ

3 2-

1 2

+ Ơ
2 1x -

-
|
-
0
+
2
4 12 9x x+ +

+
0
+
|
+
2
4 12 9
2 1
x x
x
+ +
-

-
0
-

||
+
0.75
Tp nghim ca bt phng trỡnh ó cho l
1 3
;
2 2
ổ ử ỡ ỹ
ù ù
ữ
ù ù
ỗ
ữ
+ Ơ -ẩ
ỗ
ớ ý
ữ
ỗ
ữ
ỗ ù ù
ố ứ
ù ù
ợ ỵ
0.25
3) (1 im)
2
2 3x x x+ - +
iu kin:
2
2 0x x+ -

2x -Ê
hoc
1x
. 0.25
o Xột
3x -Ê
. Khi ú,
2
2 0x x+ - >
v
3 0x + Ê
. Suy ra
3x -Ê
l nghim
ca bt phng trỡnh ó cho.
0.25
o Xột
( )
3; 2 1;x
ự ộ
- - + Ơẻ ẩ
ỳ ờ
ỷ ở
. Khi ú,
2
2 0x x+ -
v
3 0x + >
.

Do ú,
( )
( )
2
2
2 2
2 3 2 3x x x x x x+ - + + - +
5 11 0x + Ê
0.25

11
5
x - Ê
. Kt hp vi
( )
3; 2 1;x
ự ộ
- - + Ơẻ ẩ
ỳ ờ
ỷ ở
ta c nghim ca bt pt trong
trng hp ny l
11
3
5
x- < -Ê
.Tng hp nghim hai trng hp, ta c tp
0.25
1
nghim ca bpt ó cho l:

11
;
5
ổ ự
ỗ
ỳ
- Ơ -
ỗ
ỗ
ỳ
ỗ
ố
ỷ
.
Cõu II. (3 im)
1) (1 im)
( )
2 sin 10 1 cos 50A = +
2 sin 10 cos 50 cos 50A = +
0.25
sin( 40 ) sin 60 cos 50= - + +
0.25
sin 40 sin 60 sin 40= - + +
0.25
0
3
sin 60
2
= =
. 0.25

2) (1 im) Cho
4
cos
5
a
=
v
0
2
p
a
- < <
. Tớnh
cos 2
a
v
t an
a
2
cos 2 2 cos 1
a a
= -
0.25

2
4 7
2 1
5 25
ổử
ữ

ỗ
ữ
= - =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
. 0.25
2
2
1 9
t an 1
16
cos
a
a
= - =
. 0.25
Vỡ
0
2
p
a
- < <
nờn
t an 0
a
<

. Suy ra
3
t an
4
a
= -
. 0.25
3) (1 im) Chng minh
5 5
1
sin cos sin cos sin(4 )
4
a a a a a
ì - ì =
( )
5 5 4 4
sin cos sin cos sin cos cos s in
a a a a a a a a
ì - ì = ì -
0.25
Ta cú:
( ) ( )
4 4 2 2 2 2
cos sin cos sin cos sin
a a a a a a
- = - +
0.25
cos 2
a
=

0.25
v
1
sin cos sin 2
2
a a a
ì =
.
T ú
( )
4 4
1 1
sin cos cos sin sin 2 cos 2 sin 4
2 4
a a a a a a a
ì - = =
. Suy ra ng thc
cn chng minh.
0.25
Cõu III. (1 im) Cho tam giỏc
A BC
cú
,A B a=
3BC a=
,
ã
30A BC =
. Tớnh theo
a
di cnh

A C
v khong cỏch t im
B
n ng thng
A C
.
o
ã
2 2 2
2 . . cosA C A B BC A B A BC ABC= + -
0.25

2
a=
.
A C a=ị
.
0.25
o
2
1 3
. .sin
2 4
A B C
a
S A B BC B= =
0.25
o o K
BH
vuụng gúc vi

A C
ti
H
. Ta cú:
2
3
( , )
2
A B C
S
a
d B A C BH
A C
ì
= = =
.
0.25
Cõu IVa. (1,0 im) Cho
,a b
l hai s thc tựy ý. Chng minh
2 2
a b ab+
.
Ta cú :
2 2
2 2 2 2
2. .
2 2 2
b b b
a b ab a a b

ổử ổử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
+ - = - + - +
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
0.25*
2
2
2
3
0
2 4
b
a b
æ ö
÷
ç
÷
= - + ³
ç
÷
ç
÷
ç

è ø
0.5
Suy ra:
2 2
a b ab+ ³
. 0.25
Câu Va. (2 điểm)
: 3 4 15 0x y- - =D
,
(2; 2)A -
,
( 6; 4)B -
.
1) (1 điểm) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
d
đi qua điểm
A
và
B
. Tìm tọa độ
giao điểm của hai đường thẳng
D
và
d
.
Ta có
( 8;6)A B = -
uuur
vuông góc với
(3;4)n =

r
. 0.25
Vì
d
qua
(2; 2)A -
và có v.t.p.t
(3; 4)n =
r
nên
d
có phương trình là
3( 2) 4( 2) 0x y- + + =
hay
3 4 2 0x y+ + =
.
0.25
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng
D
và
d
là nghiệm của hệ pt

3 4 15 0
3 4 2 0
x y
x y
ì
ï
- - =

ï
í
ï
+ + =
ï
î
0.25
( )
13 17
; ;
6 8
x y
æ ö
÷
ç
÷
= -Û
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
. Tọa độ giao điểm cần tìm là
13 17
;
6 8
æ ö
÷
ç

÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
. 0.25
2) (1 điểm) Viết phương trình đường tròn (C) có đường kính
A B
. Chứng minh
D
là tiếp tuyến
của (C).
(C) có tâm là trung điểm
( 2;1)I -
của đoạn
A B
và có bán kính
5
2
A B
r = =
. 0.25
Phương trình của (C) là:
2 2
( 2) ( 1) 25x y+ + - =
. 0.25
Ta có

2 2 2 2
3 4 15 3( 2) 4.1 15
( , ) 5
3 ( 4) 3 ( 4)
I I
x y
d I
- - - - -
= = =D
+ - + -
. 0.25
Vì
( , )d I r=D
nên
D
là tiếp tuyến của (C).
0.25
Câu IVb. (1,0 điểm) Cho
, , ,a b x y
là các số thực tùy ý.
Chứng minh
2 2 2 2 2
( ) ( )( )ax by a b x y+ + +£
.
Ta có:
2 2 2 2 2
( )( ) ( )a b x y ax by+ + - +
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2a x a y b x b y a x axby b y= + + + - + +

0.5
( )
2
2 2 2 2
2 0a y b x axby ay bx= + + = + ³
. 0.25
Suy ra
2 2 2 2 2
( ) ( )( )ax by a b x y+ + +£
. 0.25
Câu Vb. (2,0 điểm)
: 3 2 0x y+ + =D
,
(0;2), ( 1;1)A B -
.
1) (1 điểm) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm
A
và đi qua
O
. Chứng minh
D
tiếp xúc với
(C).
Đường tròn (C) có bán kính
2r A O= =
.
0.25
Phương trình của (C) là
2 2
( 2) 4x y+ - =

.
0.25
Ta có
( )
2
2
3 2 3 0 2 2
( , ) 2
2
3 (1)
A A
x y
d A
+ + × + +
= = =D
+
.
0.25
Vì
( , )d I r=D
nên
D
tiếp xúc với (C).
0.25
2) (1 điểm) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
d
di qua hai điểm
A
và
B

. Tính góc
giữa hai đường thẳng
d
và
D
.
3
Vì đường thẳng
d
có một v.t.c.p là
( )
1; 1A B = - -
uuur
nên nó có một v.t.p.t là
(1; 1)n = -
r
.
0.25
Phương trình của
d
là:
1.( 0) 1( 2) 0 2 0x y x y- - - = - + =Û
. 0.25
Ta có:
( )
( )
( )
2
2
2 2

3.1 1( 1)
6 2
cos ,
4
3 1 1 1
d
+ -
-
= =D
+ × + -
0.25
Suy ra
( )
0
, 75d =D
0.25
Hết
4