bài tập thể tích khối chóp tam giác

Bài 01:Thể tích hình chóp tam giác đều – CĐ Thể tích khối đa diện – Thầy Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

CHƯƠNG I: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TAM GIÁC.
ĐÁP ÁN BTVN BÀI 01: THỂ TÍCH HÌNH CHÓP TAM GIÁC ĐỀU
Bài 01: Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30
o
.
Tính thể tích hình chóp.
Giải:


Ta có :
(
)
(
)
0
,( ) , 30
SH SAB SH SM MSH= = =
  

0
3
.
tan 30 3 3
3 3
2
3. 2
3

1 1 1 3
. . .2 . 3
3 3 2 3
S ABC
h h
MH h CM h
AB h h
h
V Bh h h h
⇒ = = ⇒ = =
⇒ = ==
⇒ = = =

Bài 02: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45
o
.
Tính thể tích hình chóp SABC.

Giải:


Ta có
SAB
∆
cân tại S và có
0
45
SAB SAB
= ⇒ ∆


vuông ở S
2
AB a
⇒ =


2
2 2 2
3
3 6 6 2 6
2. .
2 2 2 3 3
6 3
3 3
1 3 1 6
. . . . 2
3 3 2 2 6
a a a
AM a AO
a a
SO SO SA a
a a a
V a
⇒ = = ⇒ = =
 
⇒ = − = − =
 
 
 

⇒ = =

Bài 03: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Mặt bên có góc ở đáy là
α
.
Gọi O là tâm của đáy. Mặt phẳng đi qua SB vuông góc với
ACcắtAC tại M. D là trung điểm của SA. Tính thể tích hình
chóp
.
D SBM
.
Giải:
Ta có:
(
)
( )
( )SO AC Do SO ABC
AC SBM
SM AC

⊥ ⊥

⇒ ⊥

⊥



Bài 01:Thể tích hình chóp tam giác đều – CĐ Thể tích khối đa diện – Thầy Trịnh Hào Quang

Page 2 of 4
Vậy qua D dựng
(
)
/ /
DH AC H SM h DM
∈ ⇒ =


Tam giác SAB cân có

2
2 2 2 2
2
.
3
2 2
3
2 cos 2 cos . 3 cos
2
2 3 cos 2 3 cos
9 12 cos
3 3 3
1 1 1 cos 1
. . . . 3 cos . 9 12 cos
3 3 3 2 2 3
3
os 9 12 cos
36
D SBM SMB

SAB AB a AN a a
a a a
AO SO SA AO a
a a
V Bh DH S a
a
c
α α α α
α α
α
α
α α
α α
∆
= ⇒ = ⇒ = =
 
⇒ = ⇒ = − = − = −
 
 
 
⇒ = = = −
= −


Bài 04: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có đường cao SO =1 và đáy ABC có cạnh bằng

2 6
.Điểm M,N là trung điểm của cạnh AB,AC tương ứng Tính V của hình chóp
S.AMN.
Giải:

Trong hình chóp S.AMN ta có:

( )
2
1
2 6 . 3
1 1 3 3
.
4 4 4 2
1 1 3 3 3
.1.
3 3 2 2
AMN ABC
h SO
B S S
V Bh
= =




= = = =

⇒ = = =
 

Bài 05: (Đề số 2 - thi thử ĐH toán học tuổi trẻ - 2011)
Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a
và khoảng các giữa cạnh bên và cạnh đáy đối diện bằng m.
Giải:

Gọi M là trung điểm của BC
( )
AM BC
BC SAM
SM BC
⊥

⇒ ⇒ ⊥

⊥


Trong (SAM) dựng MN vuông góc với SA khi đó MN chính là
đoạn vuông góc chung của SA và BC nên MN=m.
Ta có:
2
2 2 2
3
4
a
AN AM MN m
= − = −

Dựng đường cao SO của hình chóp ta có:
Bài 01:Thể tích hình chóp tam giác đều – CĐ Thể tích khối đa diện – Thầy Trịnh Hào Quang

Page 3 of 4

2 2 2
2

2 3
.
2 2 2 2
2 3
3
3 3 3 4
3
4
1 1 2 3 3
. . .
3 3 4
3 3 4 6 3 4
S ABC ABC
MN SO m SO ma
SO
AN AO
a
a a m
m
ma a ma
V SO S
a m a m
= ⇔ = ⇒ =
−
−
= = =
− −


Bài 06: Cho 2 hình chóp tam giác đều có chung chiều cao, đỉnh của hình chóp này trùng với

tâm của hình chóp kia. Cạnh bên l của hình chóp thứ nhất tạo với đường cao góc
α
.
Cạnh bên của hình chóp thứ hai tạo với đường cao góc
β
. Tính thể tích phần chung của
2 hình chóp.
Giải:
Gọi hình chóp thứ nhất là O’ABC, hình chóp thứ hai là O.A’B’C’. Nhìn vào hình vẽ ta
thấy phần chung của 2 hình chóp cần tính thể tích chinh là: Khối đa diện OMO’NP và ta
có:
'
'
;
OMO' '
01
'
02
' ' '
V V
O MNP
V V
OMNP
V V V
OMNP
NP O MNP
V V
O ABC
V V
OA B C

=


=


= +

=


=



Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có:
3
01
3
02
' ' ' '
. .
' ' ' '
'
. .
' ' ' '
V O M O N O P O M
V O A O C O B O A
V OM ON OP OM
V OA OC OB OA


 
= =

 
 


  
= =
 

 


Xét hình thang vuông AA’O’O ta có:
'
' ' ' '
tan cot
1
'
' 1 cot
' 1 1 cot tan cot cot
1 1 cot
' 1 1 tan cot cot cot
O M
k
O M MA A O
MA
k

MA OM AO OM
MA k
O M k
O A k
OM
MA k
α β
β
α β α β
α
α β α β

=


= = = = ⇒


=



= = =

+ + +

⇒


= = =


+ + +




Bài 01:Thể tích hình chóp tam giác đều – CĐ Thể tích khối đa diện – Thầy Trịnh Hào Quang

Page 4 of 4
( )
( )
3
3
3
01
3
3
3
02
2 2 3 2
01
2 2 2 3 3 2
01 ' ' '
' cot
'
cot cot
' cot
'
cot cot
1 1 3 3 os 3 sin os

.OO'. . sin .
3 3 4 4
1 1 3 3 sin cot 3 sin cot
.OO'. . sin .
3 3 4 4
co
'
ABC
A B C
V O M
V O A
V OM
V OA
l c l c
V S l
l l
V S l
V V
β
α β
α
α β
α α α
α
α β α β
α

 
= =


 
 
+

⇒

  
= =
 

 
+


= = =




= = =


⇒ + =


( ) ( )
( )
( )
( )
( )

( )
3 3 2 3 3 3 2
3 3
3 3 3 2
3 2 3 2
3 3
3
2
2
t 3 sin os cot 3 sin cot
. .
4 4
cot cot cot cot
3 os cot 3 cot
cot sin os os cot 1
cot
4 cot cot 4 cot cot
os cot
3
.
4
cot cot cot
l c l
l l c
c c
lc
β α α α α β
α β α β
α β β
β α α α β

α
α β α β
α β
α α β
+
+ +
 
= + = +
 
 
+ +
=
+


====================Hết==================