bài toán thể tích hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy LTĐH

Bài 02: Thể tích hình chóp tam giác có cạnh bên vuông góc với đáy – CĐ Thể tích khối đa diện
Thầy Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 1 of 4

BÀI 02: THỂ TÍCH HÌNH CHÓP TAM GIÁC CÓ CẠNH BÊN
VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Khối chóp tam giác thứ hai mà chúng ta nghiên cứu đó là: Hình chóp tam giác có cạnh bên
vuông góc với đáy. Với khối hình này khi tính thể tích không có gì khó khăn vì chúng ta hoàn toàn
xác định được chiều cao và diện tích đáy. Song một số bài toán biến dạng cần phải vận dụng một số
kiến thức đã biết ở lớp 11 để chúng ta tính được thể tích các khối hình khác. Sau đây thầy xin nhắc
lại các kiến thức đó:
I. Các kiến thức cần nhớ:
1. Phương pháp chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng:

( ) ( )
;
,
a d b d
a b P a P
a b O
⊥ ⊥


⊂ ⇒ ⊥


∩ =


2. Tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

(
)
( )
d P
d a
a P

⊥

⇒ ⊥

∀ ⊂



3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

(
)
(
)
;( ) ; ' ; '
d P d d d
=
 
là hình chiếu của d lên (P)
4. Góc giữa 2 mặt phẳng:

(
)

(
)
( );( ) ,
P Q a b aOb
= =
  
với
( ) ( )
( ), ( )
;
a P b Q
P Q d
a d b d
a b d O
⊂ ⊂


∩ =


⊥ ⊥


∩ ∩ =




II. Các ví dụ minh họa:
1. Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C.

SA vuông góc với đáy ABC, SC=a. Xác định góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) sao cho
thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất.
Giải:
Bài 02: Thể tích hình chóp tam giác có cạnh bên vuông góc với đáy – CĐ Thể tích khối đa diện
Thầy Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 4
Ta có:
(
)
( )
SA BC do SA P
BC SAC BC SC
AC BC

⊥ ⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥




( )
( )
2 2 2 2 2
.
3 3
2 2
a sin

( );( )
cos
os 1 1 os
. .a sin
2 2 3 3 2
.sin os sin 1 sin
6 6
ABC S ABC
h SA
SBC ABC SCA
AC BC a
AC a c a c
S V Bh
a a
c
α
α
α
α α
α
α α α α
∆
= =

⇒ = = ⇒

= =

⇒ = = ⇒ = =
= = −

 

• Cách 1: (PP hàm số)
Xét
( )
( )
2
0
1
( ) (1 )
3
'( ) 0
1
s inx; 0;1 0;90
0
3
t
f t t t
f t
t t do
t
α

=


= −


⇒ = ⇔


= ∈ ∈



= − <



Lập bảng biến thiên ta có:
3 3
ax
1 2 3 2 3 3 3
ax ( ) . sin
9 6 9 27 3
3
M
a a
M f t f V
α
 
= = ⇒ = = ⇔ =
 
 

• Cách 2: ( PP Côsi)
Gọi
(
)
(

)
2
2 2 2 2
s in 1 sin 2 2 s in 1 sinP P
α α α α
= − ⇔ = −

3
2 2 2 3 3
2 s in 1 sin 1 sin 8 2 3 2 3 3
.
ax
3 27 9 6 9 27
a a
P V
M
α α α
 
+ − + −
≤ = ⇔ ≤ ⇒ = =
 
 
 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
2 2 2
1 3
2 s in =1-sin sin sin
3 3
α α α α

⇔ = ⇔ =

2. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB=a. Trên đường thẳng đi qua C vuông
góc với mặt phẳng ABC lấy điểm D sao cho CD=a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD cắt
BD tại F và cắt AD tại E. Tính thể tích tứ diện CDEF theo a.
Giải
Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có:
. .
V
DC DE DF
CDEF
V DC DA DB
CDAB
=

Ta có
( ) ( )
EF
CE BD
C BD CE ABD CE AD
AB CE
⊥

⊥ ⇒ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥


Bài 02: Thể tích hình chóp tam giác có cạnh bên vuông góc với đáy – CĐ Thể tích khối đa diện
Thầy Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 4
Nhưng ta thấy
ACD
∆
cân ở D nên
1
2
DE
ED EA
DA
= ⇒ =

Mặt khác trong tam giác vuông ABD ta có:
2 2
2
2 2
1
.
3 3
DF CD a
CD DF BF
BD BD a
= ⇔ = = =

1 1 1
. . 1. .
3
2 3 6
36
2 3

1 1
. . . .
3 3 2 6
V
DC DE DF
CDEF
V DC DA DB
a
CDAB
V
CDEF
a a
V CD S a
CDAB ABC

= = =


⇒ ⇒ =


= = =

∆


3. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC, trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đáy là
tam giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD là
a
, cạnh bên SB tạo với đáy một góc

α
và
tạo với mặt (SAD) góc
β
. Tìm thể tích hình chóp S.
Giải
Đặt
BD x
=
ta có:
(
)
2 2 2 2
tan tan
2 2
sin
sin sin sin
2 2 2 2 2
sin
2 2 2
tan
2 2 2 2
sin sin os os
2 2 2
os sin
2
.
2 2 2
sin os os
2 2 2 2

.sin .sin
2 2
2 2 2 2
os sin os sin
SA x a SA x a
AB x a
BD SA x
SB SA
x x x a
x a
c c
c a
x
c c
a a
x SA
c c
α α
α
β α β
α
α
β β α α
α β
β α α
β β
α β α
 
= + = +
 

⇒ = + ⇒ ⇔
 
= = =
 
 
⇔ = + ⇔ = +
−
⇔ =
⇔ = ⇒ =
− −
( ) ( )
2 2
tan
2 2 2
os sin
2 2
.tan
2 2 2 2
os sin os sin
1 . sin a sin
. . .
2 2 2 2
3 2 6
os sin os sin
3 3
sin sin sin sin
. .
2 2
6 3 os . os
os sin

a
c a
a
c c
AD BC a a
V SA
c c
a a
c c
c
α
β
α α
α
α β α β
α β
α β α β
α β α β
α β α β
α β
 
+
 
 
 
= =
− −
= =
− −
= =

+ −
−

4. Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = 2a và
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A
trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM
Bài 02: Thể tích hình chóp tam giác có cạnh bên vuông góc với đáy – CĐ Thể tích khối đa diện
Thầy Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 4 of 4
Giải
Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có:

. . .
.
. .
.
V V V
A BCNM S ABC S AMN
V
SA SM SN
S AMN
V SA SB SC
S ABC
= −




=





Mặt khác ta có:
2
4
4
2
2 2
2 2
2 3
3
.
2 16
.
. .
25
5
.
1 1 3 3
. . .
5
.
3 3 4 12
16 9 9 3 3
.
. . .
25 25 25 12
ABC
A BCNM

SN SA
V
SA SM SN SA
SC SC
S AMN
V SA SB SC SC
SM SA SN SM SA
S ABC
SB SB SC SB SC
a a
V SA S a
SB SC a
S ABC
a a
V V V V
S ABC S ABC S ABC
∆

=


 
 

= = = =

 
 



 
 
= ⇒ = = ⇒
 
 
= = =
 
= =



⇒ = − = = =
3
3
100


====================Hết==================