bài toán sự biến thiên của hàm số lần 2

Bài 02 – Chuyên ñề 01: Hàm số - Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ (TIẾP)

Bài 1: Tìm m ñể hàm số:
3 2
3 ( 2)
y x mx m x m
= + + − −
ñồng biến trên R.
Giải:
Ta có:
2
' 3 6 ( 2)
y x mx m
= + + −

ðể hàm số trên ñồng biến trên R thì BPT:
2
' 3 6 ( 2) 0;y x mx m x
= + + − > ∀ ∈
ℝ


3 0
2
' 9 3 6 0
a
m m∆
= >



⇔

= − + <


.
Nhưng
( )
2
1 23 23
2
' 9 3 6 9 0 «
6 4 4
m m m V lÝ
∆
 
= − + = − + ≥ >
 
 

Vậy không tồn tại giá trị nào của m ñể hàm số ñồng biến trên R.
Bài 2: Tìm a ñể hàm số:
1
3 2
( 1) (2 1)
3
a
y x a x a x

−
= + − + +
luôn ñồng biến.
Giải:
TXð: D=R. Ta có:
2
' ( 1) 2( 1) (2 1)
y a x a x a
= − + − + +

• Nếu
a 1 ' 3 0 /
y t m
= ⇒ = > ⇒

• ðể hàm số luôn ñồng biến thì BPT:
2
' ( 1) 2( 1) (2 1) 0,y a x a x a x
= − + − + + ≥ ∀ ∈
ℝ


1 0
1
2
' ( 1)( 2) 0
' ( 1) ( 1)(2 1) 0
1
1
1; 2

a
a
a a
a a a
a
a
a a
∆
∆
− >

>


⇔ ⇔
 
= − + >
= − − − + <



>

⇔ ⇔ >

> < −


Vậy với
1

a
≥
thì thõa mãn ñiều kiện bài toán.
Bài 3: Tìm a ñể hàm số:
1
3 2
( 2) ax 3
3
y x a x a
= − + − − +
nghịch biến trên
(
)
1;
+∞

Giải:
Ta có:
2
' 2( 2) a
y x a x
= − + − −
. ðể hàm số nghịch biến trên
(
)
1;
+∞
thì BPT:

2

' 2( 2) a 0, 1
y x a x x
= − + − − > ∀ >

Bài 02 – Chuyên ñề 01: Hàm số - Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 3
Ta có:
( )
2
4
2 2
2( 2) a 0 (2 1) 4 ; 1;
2 1
x x
x a x a x x x a x
x
+
⇔ − + − − > ⇔ − < + ⇔ < ∀ ∈ +∞
−

ðặt
( )
2
2
4
2
( ) '( ) 0 (2 1) 9 0
1 1;
2 1
x

x x
g x g x x
x
x
=

+
=
⇒
= ⇔ − − = ⇔

= − ∉ +∞
−


Ta có bảng xét dấu:

Vậy Min g(x) = g(2)=4. Vậy với
4
a
<
thì thõa mãn ñiều kiện bài toán.
Bài 4: Cho hàm số:
3 2
3( 1) 3( 1) 1
y x m x m
= − + + + +
. Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên các
khoảng xác ñịnh của nó.
Giải:

Tập xác ñịnh: D=R.
Ta có:
2
' 3 6( 1) 3( 1)
y x m x m
= − + + +

ðể hàm số ñồng biến trên R thì BPT:
2
2( 1) ( 1) 0,x m x m x
− + + + ≥ ∀ ∈
ℝ


2
1 0 ' ( 1) ( 1) 0 ( 1) 0 1 0
Do a m m m m m
∆
= >
⇒
= + − + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ − ≤ ≤

Vậy với
1 0
m
− < <
thì thõa mãn ñiều kiện bài toán.
Bài 5: Cho hàm số:
3 2
3( 1) 3( 1) 1

y x m x m
= − + + + +
. Tìm m ñể hàm số nghịch biến trên
(
)
1;0
−

Giải:
Ta có:
2
' 3 6( 1) 3( 1)
y x m x m
= − + + +

ðể hàm số nghịch biến trên
(
)
1;0
−
thì
( )
2
2( 1) ( 1) 0, 1;0
x m x m x− + + + ≤ ∀ ∈ −


( )
2
2

( 1)(2 1) 1 ( ); 1;0
2 1
x
x m x m g x x
x
⇔ ≤ + − ⇔ + ≥ = ∀ ∈ −
−

Ta có:
1
2
'( ) 0 (2 1) 1 0
0
x
g x x
x
=

= ⇔ − − = ⇔

=


Ta có bảng biến thiên:
Bài 02 – Chuyên ñề 01: Hàm số - Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 3

Vậy ta có:Max g(x) =g(0)=0. Vậy
m 1 0 hay m 1
+ > > −

thì thõa mãn.
………………….Hết…………………

Nguồn: Hocmai.vn