kĩ thuật xét chiều biến thiên của hàm số và một số ứng dụng dành cho học sinh lớp 10

Sở GD & ĐT Tỉnh Bà Rịa –Vũng Tàu.
Năm học 2008 - 2009 .

SKKN : KĨ THUẬT XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 10.
Họ và tên : VŨ HỮU VIÊN .
Chức vụ : Giáo viên.
Đơn vị : Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn.

A.LÝ DO :
Trong chương trình toán lớp 10, phương pháp hàm số để giải quyết
các bài toán cực trị - bài toán chứa tham số…là một công cụ rất hiệu quả.
Tuy nhiên, học sinh mới chỉ được biết về tính biến thiên của một vài hàm đa
thức hoặc phân thức đơn giản: bậc nhất, bậc hai, phân tuyến tính… ; trong
khi các bài toán liên quan đòi hỏi việc khảo sát một số dạng hàm phức tạp
mà công cụ đạo hàm lại vượt quá tầm tay của học sinh lớp 10.
B.MỤC ĐÍCH :
Qua một số bài toán đặc trưng, với các kĩ thuật sơ cấp “biến khó
thành dễ”, giúp học sinh dần hoàn thiện kiến thức hàm số và tự tin vận dụng
phương pháp hàm số.

C.NỘI DUNG :
1. Đa thức hoá:
Bài toán 1. Tìm min, max của biểu thức:
2 2
2 2
| 2 | | |
;( 0)
a b a b
P a b

a b
− + +
= + >
+
.
Giải:
1. Nếu
0, 0a b= ≠
: P = 2.
2. Nếu
0:a ≠

2 2
2 1
2 1
1
1
b b
x x
a a
P
x
b
a
− + +
− + +
= =
+
 
+

 ÷
 
, với
b
x
a
= ∈¡
.
a. Trong
( ; 1)−∞ −
:
2 2
1 2 2
1 2 5
x t
P
x t t
−
= =
+ − +
, với
1 2 (3; ).t x= − ∈ +∞

2
2
2 2
5 2
5 2 1
1
P

u u
t t
= =
− +
− +
, với
1 1
(0; )
3
u
t
= ∈
.
Hàm số
2
( ) 5 2 1f u u u= − +
trong (0;1/3) có tập giá trị là [4/5;1) .
Vậy
2 5, 1P x< ≤ ∀ < −
.
b. Trong
[ ]
1;2−
:
2
3
1
P
x
=

+
.
Hàm số
2
( ) 1g x x= +
trong
[ ]
1;2−
có tập giá trị là [1;5].
Vậy
[ ]
3
3, 1;2
5
P x≤ ≤ ∀ ∈ −
.
c. Trong
(2; )+∞
:
2 2
2 1 2
1 2 5
x t
P
x t t
−
= =
+ + +
, với
2 1 (3; ).t x= − ∈ +∞

Thực hiện tương tự trường hợp a/. ta cũng có:
3
2, 2
5
P x< < ∀ >
.
Tổng hợp các kết quả, ta có: MaxP = 3, khi
0, 0b a= ≠
. MinP =
3
5
, khi
2b a=
.
Ghi chú: Dùng Graph, ta có minh hoạ đồ thị của hàm số
2
2 1
1
x x
y
x
− + +
=
+

f(x)=(abs(x-2)+abs(x+1))/sqrt(x^2+1)
-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
-0.5
0.5
1

1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
x
y
Nhận xét: Dạng hình học của bài toán 1: Cho đường thẳng d quay quanh
gốc toạ độ O.
Tìm vị trí của d sao cho tổng các khoảng cách từ A(2;-1) và B(1;1) đến d
đạt min, max?
Bài toán 2. Cho bất phương trình ( ẩn
x
):
2 2
1 2mx x x x− − ≥ − +
. Tìm tất cả
giá trị
của tham số m để bất phương trình có nghiệm.
Giải:
*
2 2
2
0 2
5 2 2
( 1) 3 2
x
mx x x x

m x x
≤ ≤

+ − ≥ − + ⇔

+ ≥ − +

(1)
*
0x
=
không là nghiệm của (1) với mọi m, vậy (1)
2
0 2
2 3
1
x
m
x x
< ≤


⇔

≥ − −


* Đặt
1 1
, [ ; )

2
t t
x
= ∈ +∞
; (1) trở thành:
2
1
2
2 3 1
t
m t t

≤



≥ − −

* Xét hàm số
2
1
( ) 2 3 1 [ ; )
2
f t t t trong= − − +∞
; có tập giá trị là
17
[ ; )
8
− +∞
.

Kết luận: bất phương trình có nghiệm
17
8
m ≥ −
.
* Nhận xét: Việc “sáng tác” các bài toán dạng này khá đơn giản, chỉ cần
lưu ý đến vị trí
của tham số trong kết quả biến đổi cuối.
Bài toán 3. Cho hệ phương trình :
2 2
x y xy m
x y m
+ − =


+ =

(1).
Tìm m để hệ có nghiệm
( ; )x y
thoả mãn:
1, 1x y< <
Giải :
* Hệ (1)
2
( ) 2
x y xy m
x y xy m
+ − =


⇔

+ − =

Đặt
;S x y P xy= + =
ta có hệ :
2
2
S P m
S P m
− =


− =

(2)
( 1)( 1) 0 1 0
1, 1
1 1 0 2 0
x y P S
x y
x y S
− − > − + >
 
< < ⇔ ⇔
 
− + − < − <
 

* Vậy yêu cầu của bài toán trở thành : Tìm m để hệ
2
2
2
4 0
1 0
2 0
S P m
S P m
S P
P S
S
− =


− =


− ≥


− + >

− <


có nghiệm
(S,P)
2 2 2
2 2 2 2 2

2
2 2( ) 2
4 0 4( ) 0 4( 2 ) 0 2
1 0 ( ) 1 0 4
2 1 0
0 ; 1
3
2 0 2 0
2 0
S P m P S m P S m
S P m S S m m S S m P S m
S P S S m S S S S S S m
P S S m S
S S
S S
S S
S
− = = − = −
  

  
− = − − = − = = −
  

  
− ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ − − + ≥ ⇔ − =
   
   
− + > − − + >
− + >

   
≤ ≤ ≠

− < − <
  
− <
  
* Xét hàm số
2
( ) 2f S S S= −
trên [0 ;4/3]\{1} ; suy ra kết quả :
0 1m
≤ <
.
* Nhận xét :
1.Kỹ thuật cơ bản của bài toán này là phép thế biến và tham số, đưa về đa
thức một biến.
2.Còn một cách thể hiện lời giải tương tự : đặt
1 ; 1x X y Y= − = −
với X > 0,Y
> 0.
2. Dùng điểm rơi trong bất đẳng thức để tìm khoảng đơn điệu:
Bài toán 4.
Xét chiều biến thiên của hàm số:
1
( ) 1
2
f x x
x
= − +

−
Giải:
* Tập xác định:
( ;2) (2; )D = −∞ ∪ +∞
* Trong khoảng
(2; )+∞
:
1
( ) 2 1 2 1 3
2
f x x
x
= − + + ≥ + =
−
,(bất đẳng thức Cô-si).

( ) 3 3f x x= ⇔ =
. Xét chiều biến thiên trong mỗi khoảng (2;3) và
(3; )+∞
:
( ) ( ) 1
( 2)( 2)
1 0
( 2)( 2)
a b
b a
f b f a
b a
b a b a b a
−

− +
−
− −
= = − >
− − − −
nếu
3 a b
< <
và < 0 nếu
2 3a b< < <
.
Vậy f nghịch biến trong (2;3) và đồng biến trong
(3; )+∞
.
* Tương tự, trong
( ;2)−∞
:
1
( ) 1 2 1 2 1
2
f x x
x
 
= − − + ≤ − = −
 ÷
−
 
,
( ) 1 1f x x= − ⇔ =
.

Xét chiều biến thiên trong mỗi khoảng (1;2) và
( ;1)−∞
, ta có f nghịch biến
trong (1;2) và
đồng biến trong
( ;1)−∞
.
Nhận xét:
Bài toán tổng quát:
( ) ; 0
C
f x Ax B AC
x D
= + + ≠
+
.
1
( )f x Ax B= +
và
2
( )
C
f x
x D
=
+
cùng tính đơn điệu khi AC < 0, cụ thể:
Nếu
0A C> >
: f đồng biến trên từng khoảng xác định.

Nếu
0A C< <
: f nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Nếu
0AC >
: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
( ) ( ) 2
C
f x A x D B AD AC B AD
x D
= + + + − ≥ + −
+
( hoặc
( ) 2f x AC B AD≤ − + −
tuỳ theo A,C cùng dương hay âm và tuỳ theo x < -D hay x > -D)).
dấu đẳng thức tại:
C
x D
A
= − ±
là hai ”điểm rơi” để xét khoảng đơn điệu.
Chú ý: nên cho các bài tập ở dạng f(x) có AC < 0 để học sinh làm quen
trước với dạng hàm này.
Bài toán 5. Tìm tất cả giá trị của tham số m để bất phương trình
2
( 3) 2 3 0x m x m− + + + ≥
(1)
là hệ quả của bất phương trình
2
2 3 0x x− ≤

(2)
Giải:
*
3
(2) 0
2
x⇔ ≤ ≤
* (1) là hệ quả của (2) khi và chỉ khi:
2
( 3) 2 3 0x m x m− + + + ≤
thoả
3
0;
2
x
 
∀ ∈
 
 
2
3 3 ( 2);x x m x⇔ − + ≤ −
3
0;
2
x
 
∀ ∈
 
 
1

1 ;
2
x m
x
⇔ − + ≥
−
3
0;
2
x
 
∀ ∈
 
 
* Áp dụng kết quả bài toán 3, ta có chiều biến thiên của
1
( ) 1
2
f x x
x
= − +
−

trong
3
0;
2
 
 
 

Suy ra
[ ]
0;3/ 2
3
min ( )
2
f x = −
. Vậy
3
2
m ≤ −
là kết quả của bài toán.
Bài toán 6. Xét chiều biến thiên của hàm số :
2 2
( ) 2 2 2 5f x x x x x= − + + + +
Giải :
* Áp dụng bất đẳng thức :
| | | | | |a b a b+ ≥ +
r r r r
hay
2 2 2 2 2 2
( ) ( )a b c d a c b d+ + + ≥ + + +
2 2 2 2 2 2
( ) (1 ) 1 ( 1) 2 2 3 13f x x x= − + + + + ≥ + =
;
1 1 1
( ) 13 0
1 2 3
x
f x x

x
−
= ⇔ = > ⇔ =
+
.
*
2 2 2 2
( ) ( ) 2 2
(1 ) 1 (1 ) 1 ( 1) 4 ( 1) 4
f b f a b a b a
A
b a
b a b a
− + − + +
= + =
−
− + + − + + + + + +
Với
1a b< ≤ −
:
0A <
Với
1 : 0a b A≤ < >

Với
1
1
3
a b− < < <
:

0 1 2(1 )&0 1 2(1 )a a b b< + < − < + < −
;
đặt
1 , 1 , 1 , 1 ;0 2 ,0 2x a y b z a t b z x t y= − = − = + = + < < < <
2 2 2 2
0
4 4 1 1
z t x y
A
z t y x
+ +
⇒ = − <
+ + + + + +
nên f nghịch biến trong
( ;1/3)−∞
.
Tương tự với
1
1
3
a b< < <
, ta có A > 0 nên f đồng biến trong
(1/ 3; )+∞
.
3. Sử dụng phương pháp tiếp cận giới hạn và đạo hàm :
Bài toán 7. (Sử dụng lại bài toán 4)
Xét chiều biến thiên của hàm số:
1
( ) 1
2

f x x
x
= − +
−
Giải:
* Tập xác định:
( ;2) (2; )D = −∞ ∪ +∞
Với
, :a b D∈
2a b
< <
hoặc
2 a b
< <
, xét
( ) ( ) 1
1
( 2)( 2)
f b f a
b a b a
−
= −
− − −
* Khi cho
b a
→
thì
2
( ) ( ) 1
1

( 2)
f b f a
b a a
−
→ −
− −
Kết quả nhận được chính là đạo hàm tại
a
của f, từ đây có thể dần hình
thành khái niệm
giới hạn và đạo hàm, cũng như quan hệ giữa chiều biến thiên và dấu của đạo
hàm cho
học sinh chuyên toán.
Cho
2
1
1 0 1 3
( 2)
a a
a
− = ⇒ = ∨ =
−
, ta cũng có được hai “điểm rơi” nói trong
phương pháp trên.
Nhận xét:
Bài toán tổng quát:
( ) ; 0
C
f x Ax B AC
x D

= + + ≠
+
.
Với
D a b− < <
hoặc
a b D< < −
:
( )
( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
C a b
A b a
f b f a C
b D a D
A
b a b a b D a D
−
− +
−
+ +
= = −
− − + +
Nếu
0A C> >
: f đồng biến trên từng khoảng xác định.
Nếu
0A C< <

: f nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Nếu
0AC
>
: cho
b a
→
thì
2
( ) ( )
0
( )
f b f a C C
A a D
b a a D A
−
→ − = ⇒ = − ±
− +
: ta có
hai ”điểm rơi” để xét khoảng đơn điệu.
Bài toán 8. Xét chiều biến thiên của hàm số :
3 2
( ) 3f x x x= −
Giải :
* Với
a b
<
, xét
2 2
( ) ( )

3( )
f b f a
A a ab b a b
b a
−
= = + + − +
−
. Cho
b a
→
, ta có
2
3 6A a a→ −
Ta có hai “điểm rơi” là 0 và 2. Biến đổi
( 2)( ) ( 2)( )
2 2
b a
A a a b b= − + + − +
* Nếu
0a b< <
: A > 0
Nếu
2 a b< <
: A > 0
Nếu
0 2:a b< < <
A < 0
* Vậy f đồng biến trong các khoảng
( ;0);(2; )−∞ +∞
và nghịch biến trong

khoảng (0;2).
Nhận xét:
1. Việc chỉ ra “điểm rơi” không khó, quan trọng là qua việc xét dấu biểu
thức
( ) ( )f b f a
b a
−
−
củng cố cho học sinh các kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức.
2. Có thể dùng bất đẳng thức Cô – si để tìm điểm rơi:
3 2
1
( ) 3 . .(6 2 ) 4
2
f x x x x x x= − = − − ≥ −
,
(0;3)x∀ ∈
, dấu = tại x = 2.
3 2 2
( ) 3 .(3 ) 0, (0;3)f x x x x x x= − = − ≤ ∀ ∈
, dấu = tại x = 0.
3. Tổng quát :
3 2
( ) ,( 0)f x ax bx cx d a= + + + ≠
.
Theo phương pháp 2 : Đặt
3
b
x t
a

= −
, biến đổi hàm số về dạng
3 2
( ) ( )g t at mt n t at m n= + + = + +
Dùng bất đẳng thức Cô – si cho
2 2 2
2 , ,at at m at m− + +
nếu a < 0, hoặc
2 2 2
2 , ,at at m at m− − − −

nếu a > 0. Suy ra các điểm rơi là
3
m
t
a
−
= ±
hay
3 3
b m
x
a a
−
= − ±
( tồn tại khi
am < 0).
Một số bài tập tham khảo :
BT1. Tìm m sao cho phương trình
4 3 2

3 3 1 0x x mx x− − + + =
có đúng 3 hoặc 2
nghiệm.
BT2. Tìm m sao cho bất phương trình
( )
2 ( 1)(5 ) ( 3) 0x x mx x− − − − + ≤
thoả
với mọi x thuộc
tập xác định.
BT3. Xét chiều biến thiên của hàm số
2
( ) (1 1)f x x x= + +
.
Áp dụng, giải bất phương trình :
2 2
2 1 2 ( 1) 2 3 0x x x x x x+ + + + + + + <
BT4. Tìm a để phương trình sau có nghiệm :
1 2 3 1 3x a x a x x a- - + = - - + +
.
BT5. Tìm m để hàm số
2
( )
1
x x m
f x
x
− +
=
+
nghịch biến trên (-1;1).

D.KẾT LUẬN :
Phương pháp hàm số có hiệu ứng rất tốt trong nhiều bài toán đại số ở
chương trình phổ thông, vấn đề là tuỳ theo đối tượng học sinh trong từng cấp
lớp mà giáo viên có thể vận dụng một cách hiệu quả nhất.
Các phương pháp nêu trên có thể rất “ cầu kì”,” lằng nhằng” đối với học sinh
lớp 12, nhưng lại rất thú vị đối với học sinh lớp 10 chương trình nâng cao
mà người viết đã giảng dạy thể nghiệm. Hầu hết học sinh khi đã nắm được
các “ kĩ thuật” trên, đều biết vận dụng một cách sáng tạo và hiệu quả trong
các bài toán đại số mà lời giải quá phức tạp nếu như chỉ biết dùng các
phương pháp truyền thống, thuần tuý đại số.
Vũng tàu, 1-2009.

Người viết: Vũ Hữu Viên