bài tập cực trị của hàm số lần 1
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (157.21 KB, 3 trang )
Bài 4.1: Cực trị của hàm số của hàm số – Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (TIẾT 1)
Bài 1: Tìm m ñể hàm số
3
2
y x mx
= + +
ñạt cực tiểu tại x=1.
Giải:
a) ðiều kiện cần:
ðể hàm số ñạt cực tiểu tại x=1 thì:
0
0
'( ) '(1) 0
''( ) ''(1) 0
f x f
f x f
= =
= >
3 0
3
6.1 0
m
m
+ =
⇔ ⇔ = −
>
b) ðiều kiện ñủ:
Khi
m 3
= −
ta có:
3 2 2
3 2 ' 3 3 0 1 1
y x x y x x x
= − +
⇒
= − = ⇔ = ⇔ = ±
Lập bảng biến thiên ta có: x=1 là ñiểm cực tiểu.
Vậy với
m 3
= −
thì thõa mãn ñiều kiện bài toán.
Bài 2: Tìm m ñể hàm số
3 2
1
1
3
y x mx x m
= − − + +
ñạ
t C
ð
, CT và kho
ả
ng cách gi
ữ
a chúng nh
ỏ
nh
ấ
t.
Giải:
Ta có:
2
' 2 1 ( )
y x mx g x
= − − =
. Ta có:
' 2
1 1 0
g
∆ m
= + ≥ >
.
V
ậ
y hàm s
ố
luôn có C
ð
, CT.
G
ọ
i 2
ñ
i
ể
m C
ð
, CT có t
ọ
a
ñộ
l
ầ
n l
ượ
t là:
(
)
1 1 2 2
; ; ( ; )
A x y B x y
Ta chia y cho y’ thì ta
ñượ
c:
( )
( )
2
1 1
2
1 2
2 2
1 1
3 3
2 2
1 1
3 3
y x m m
y x m m
= − + + +
= − + + +
V
ậ
y
( ) ( ) ( )
(
)
2
2 2 2
2 2
1 2 1 2 1 2
4
1 1
9
AB x x y y x x m
= − + − = − + +
Theo Viet ta l
ạ
i có:
( )
( )
1 2
2
2
1 2
1 2
2
4 1
1
b
x x m
a
x x m
c
x x
a
+ = − =
⇒ − = +
= = −
(
)
(
)
2
2 2 2 2 2
4 4 52
4 1 1 1 . 0 4 1
9 9 9
AB m m Do m AB
⇒ = + + + ≥ ⇒ ≥ + =
Bài 4.1: Cực trị của hàm số của hàm số – Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Page 2 of 3
V
ậ
y
min
52
3
AB =
. D
ấ
u “=” x
ả
y ra khi m=0
Bài 3:
Tìm m
ñể
hàm s
ố
3 2
3 2
y x x
= − +
có C
ð
, CT n
ằ
m v
ề
2 phía c
ủ
a
ñườ
ng tròn có ph
ươ
ng
trình:
2 2
2 4 5 1 0
x y mx my m
+ − − + − =
Giải:
Ta d
ễ
dàng tìm
ñượ
c 2
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
3 2
3 2
y x x
= − +
là:
(
)
(
)
0;2 à 2; 2
v
−
ðể
2 c
ự
c tr
ị
n
ằ
m v
ề
2 phía trong và ngoài c
ủ
a
ñườ
ng tròn thì ta g
ọ
i:
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )
2 2
2 2
2 2 2
(0; 2) 3 3
( , ) 2 4 5 1
(2; 2) 9 7
(0;2). (2; 2) 3 3 9 7 0
1 9 7 0
2 5 5 1 0 5 5 1 0
7
; 1;
9
f m
f x y x y mx my m
f m
f f m m
m m
x m y m m m R m m
m
= −
= + − − + − ⇒
− = +
− = − + <
− + >
⇒ ⇔
− + − = − + = > − + >
⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
V
ậ
y v
ớ
i
( )
7
; 1;
9
m
∈ −∞ − ∪ +∞
thì thõa mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n bài toán.
Bài 4:
Cho hàm s
ố
:
( )
( ) ( )
3 2
2
cos 3sin 8 1 cos2 1
3
f x x a a x a x
= + − − + +
a)
CMR: Hàm s
ố
luôn có C
ð
, CT.
b)
Gi
ả
s
ử
hàm s
ố
ñạ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i
x
1
,
x
2
. CMR:
2 2
1 2
18
x x
+ ≤
Giải:
a)
Xét ph
ươ
ng trình:
( )
( )
( )
2
2 2 cos 3sin 8 1 cos2 0
f x x a a x a
′
= + − − + =
Ta có:
( )
( ) ( )
2 2
2
cos 3sin 16 1 cos2 cos 3sin 32cos 0
a a a a a a a
′
∆ = − + + = − + ≥ ∀
N
ế
u
2 2
0 cos 3sin cos 0 sin cos sin cos 0
a a a a a a a
′
∆ = ⇔ − = = ⇔ = ⇒ + =
(vô lý)
V
ậ
y
∆′
> 0
∀a
⇒
f
′
(
x
)
=
0 có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
x
1
,
x
2
và hàm s
ố
có C
ð
, CT
b)
Theo Viet ta có:
(
)
3sin cos ; 4 1 cos 2
1 2 1 2
x x a a x x a
+ = − = − +
( )
( )
( )
2
2
2 2
2 3sin cos 8 1 cos2
1 2 1 2 1 2
2
9 8cos 6sin cos
x x x x x x a a a
a a a
+ = + − = − + +
= + −
(
)
( ) ( )
2 2
2 2
9 9 sin cos 3sin cos 18 3sin cos 18
a a a a a a
= + + − + = − + ≤
Bài 4.1: Cực trị của hàm số của hàm số – Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Page 3 of 3
Bài 5:
Cho hàm s
ố
( ) ( ) ( )
3 2
1 1
1 3 2
3 3
f x mx m x m x
= − − + − +
. Tìm m
ñể
hàm s
ố
ñạ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i
x
1
,
x
2
tho
ả
mãn
1 2
2 1
x x
+ =
.
Giải:
Hàm s
ố
có C
ð
, CT
⇔
( ) ( ) ( )
2
2 1 3 2 0
f x mx m x m
′
= − − + − =
có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
⇔
( ) ( )
0
2
1 3 2 0
m
m m m
≠
′
∆ = − − − >
⇔
6 6
1 0 1
2 2
m− < ≠ < + (*)
V
ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n (*) thì
(
)
0
f x
′
=
có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
x
1
,
x
2
và hàm s
ố
f
(
x
)
ñạ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i
x
1
,
x
2
. Theo
ñị
nh lý Viet ta có:
(
)
(
)
2 1 3 2
;
1 2 1 2
m m
x x x x
m m
− −
+ = =
Ta có:
(
)
(
)
1 2 2 1
2 1 2 1
2 2 3 4
2 1 1 ;
m m
m m m
x x x x
m m m m m
− −
− − −
+ = ⇔ = − = = − =
(
)
( ) ( ) ( )
3 2
2 3 4
2 3 4 3 2
m
m m
m m m m
m m m
−
− −
⇒ ⋅ = ⇔ − − = −
2
2
3
m
m
=
⇔
=
C
ả
2 giá tr
ị
này
ñề
u tho
ả
mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n (*). V
ậ
y
1 2
2 1
x x
+ =
2
2
3
m m
⇔ = ∨ =
………………….Hết………………
Nguồn:
Hocmai.vn
