bài tập cực trị của hàm số lần 2

Bài 5: Cực trị của hàm số của hàm số(Tiết 2) – Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1


BTVN BÀI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (TIẾT 2)

Bài 1: Tìm m ñể
( ) ( ) ( )
3 2
2 3 1 6 1 2
f x x m x m m x
= + − + −
có Cð, CT nằm trên ñường thẳng
(d): y = −4x
Giải:
Ta có:
( ) ( ) ( )
[
]
2
6 1 1 2 0
f x x m x m m
′
= + − + − =

⇔
( ) ( ) ( )
2
1 1 2 0
g x x m x m m
= + − + − =

Hàm số có Cð, CT
(
)
0
g x
⇔ =
có 2 nghiệm phân biệt
( )
2
1
3 1 0
3
g
m m
⇔ ∆ = − > ⇔ ≠

Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2
2 1 3 1 1 1 2
f x x m g x m x m m m
= + − − − + − −

Với
1
3
m
≠

thì phương trình
(
)
0
g x
=
có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và hàm số
y = f (x) ñạt cực trị tại x
1
, x
2
. Ta có:
(
)
(
)
1 2
0
g x g x
= =
nên suy ra

( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1 1 2 2

3 1 1 2 ; 3 1 1 2
y f x m x m m m y m x m m m
= = − − + − − = − − + − −

⇒ ðường thẳng ñi qua Cð, CT là (∆):
( ) ( )( )
2
3 1 1 1 2
y m x m m m
= − − + − −
.
ðể cực ñại, cực tiểu nằm trên ñường thẳng (d): y = −4x thì (∆) ≡ (d)
⇔
( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
2
3 1 2 3 1 2 0
3 1 4
1
1 1 2 0
1 1 2 0
m m
m
m
m m m
m m m



− − − + =

− − = −
⇔ ⇔ =
 
− − =
− − =




Bài 2: Tìm m ñể
( )
3 2
7 3
f x x mx x
= + + +
có ñường thẳng ñi qua Cð, CT vuông góc với
y = 3x − 7
Giải:
Hàm số có Cð, CT ⇔
( )
2
3 2 7 0
f x x mx
′
= + + =
có 2 nghiệm phân biệt
⇔
2

21 0 21
m m
′
∆ = − > ⇔ >
. Thực hiện phép chia f (x) cho f ′(x) ta có:

( ) ( ) ( )
( )
2
7
1 2
3 21 3
9 9 9
m
f x x m f x m x
′
= + + − + −

Với
21
m >
thì phương trình
(
)
0
f x
′
=
có 2 nghiệm phân biệt x
1

, x
2
và hàm số y = f (x)
ñạt cực trị tại x
1
, x
2
. Ta có:
(
)
(
)
1 2
0
f x f x
′ ′
= =
suy ra

( )
( )
( )
( )
2 2
1 1 1 2 2 2
7 7
2 2
21 3 ; 21 3
9 9 9 9
m m

y f x m x y f x m x= = − + − = = − + −

⇒ ðường thẳng ñi qua Cð, CT là (∆):
( )
2
7
2
21 3
9 9
m
y m x= − + −

Ta có (∆) ⊥ y = 3x − 7 ⇔
( )
2 2
3 10
45
2
21 .3 1 21
9 2 2
m m m− = − ⇔ = > ⇔ = ±


Bài 5: Cực trị của hàm số của hàm số(Tiết 2) – Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Page 2 of 3

Bài 3: Tìm m ñể hàm số
( )
3 2 2
3

f x x x m x m
= − + +
có cực ñại, cực tiểu ñối xứng nhau qua
(∆):
5
1
2 2
y x
= −

Giải:
Hàm số có Cð, CT ⇔
( )
2 2
3 6 0
f x x x m
′
= − + =
có 2 nghiệm phân biệt
⇔
2
9 3 0 3
m m
′
∆ = − > ⇔ <
. Thực hiện phép chia f (x) cho f ′(x) ta có:

( ) ( ) ( )
( )
2

2
1 2
1 3
3 3 3
m
f x x f x m x m
′
= − + − + +

Với
3
m <
thì phương trình
(
)
0
f x
′
=
có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và hàm số y = f (x)
ñạt cực trị tại x
1
, x
2
. Ta có:
(

)
(
)
1 2
0
f x f x
′ ′
= =
nên

( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
1 1 1 2 2 2
2 2
3 ; 3
3 3 3 3
m m
y f x m x m y f x m x m
= = − + + = = − + +

⇒ ðường thẳng ñi qua Cð, CT là (d):
( )
2
2
2
3

3 3
m
y m x m
= − + +
.
Các ñiểm cực trị
(
)
(
)
1 1 2 2
, , ,
A x y B x y
ñối xứng nhau qua
( )
5
1
:
2 2
y x
∆ = −

⇔ (d) ⊥ (∆) tại trung ñiểm I của AB (*) . Ta có
1 2
1
2
I
x x
x
+

= =
suy ra
(*) ⇔
( )
( )
( )
2
2
2
2 1
3 1
0
3 2
0
5
2 1
1 0
3 1 1
3 3 2 2
m
m
m
m
m m
m m

− ⋅ = −
=



 
⇔ ⇔ =
 
+ =
 

− ⋅ + + = ⋅ −



Bài 4: Tìm m ñể hàm số
3 2
3
( )
2
m
f x x x m
= − +
có các C
ð
và CT n
ằ
m v
ề
hai phía c
ủ
a

ñườ
ng th

ẳ
ng y = x

Giải:

Hàm s
ố
có C
ð
và CT
2
( ) 3 3 0
f x x mx
′
⇔ = − =
có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
0
m
⇔ ≠

Khi
ñ
ó f’(x) có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ

t
1 2
0;
x x m
= =


⇒
t
ọ
a
ñộ
2
ñ
i
ể
m C
ð
, CT là:
3
(0; ); ( ; )
2
m
A m B m m −
Hai
ñ
i
ể
m A, B n
ằ

m v
ề
hai phía c
ủ
a
ñườ
ng th
ẳ
ng y = x hay x – y = 0 khi và ch
ỉ
khi:

3 4
(0 )( ) 0 0
2 2
m m
m m m
− − + < ⇔ − <
, luôn
ñ
úng v
ớ
i
0
m
≠

V
ậ
y

ð
S:
0
m
≠
.
Bài 5: Cực trị của hàm số của hàm số(Tiết 2) – Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ
Page 3 of 3


Bài 5:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng: Hàm s
ố

4 2
6 4 6
y x x x
= − + +
luôn có 3 c
ự
c tr
ị
,
ñồ
ng th
ờ

i g
ố
c t
ọ
a
ñộ

O là tr
ọ
ng tâm c
ủ
a tam giác t
ạ
o b
ở
i 3
ñỉ
nh là 3 c
ự
c tr
ị
.

Giải:
Ta có:
3 3
' 4 12 4 0 ( ) 3 1 0(*)
y x x g x x x= − + = ⇔ = − + =
.

ðể
hàm s
ố
có 3 c
ự
c tr
ị
thì (*) ph
ả
i có 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
Th
ậ
t v
ậ
y,
2
1 1
'( ) 0 3 3 0 . 1 0
1 1
CT CT
CT CD
CD CD
x y
g x x y y
x y
= ⇒ = −


= ⇔ − = ⇔ ⇒ = − <

= − ⇒ =


V
ậ
y
ñồ
th
ị
c
ủ
a g(x) luôn c
ắ
t Ox t
ạ
i 3
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t nên hàm f(x) có 3 c
ự
c tr
ị
.
Áp d

ụ
ng h
ệ
th
ứ
c Viet vào PT (*) ta có:

1 2 3
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
0
3 0
3
1
O
b
x x x
a
x x x
c
x x x x x x x
a
d
x x x
a

+ + = − =



+ +

+ + = = − ⇒ = =



= − = −



Ta cần CM:
1 2 3
1 2 3
0 0
3
O
y y y
y y y y
+ +
= = ⇔ + + =

Thật vậy chia f(x) cho g(x) ta có:
2
( ) . ( ) (3 4 6)
( ) 0
f x x g x x x
g x

= − − −



=


2
1 1 1
2
2 2 2
2
3 3 3
3 4 6
3 4 6
3 4 6
y x x
y x x
y x x

= − + +


⇒ = − + +


= − + +




( )
2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3
2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
3( ) 4( ) 18
3 2( ) 4( ) 18 3.6 18 0
y y y x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
⇒ + + = − + + + + + +
 
= − + + − + + + + + + = − + =
 
 

=>
ð
PCM


………………….Hết………………

Nguồn:
Hocmai.vn