9 0 đề vận dụng cao mũ và logarit số 03(trang 340 375)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (700.03 KB, 38 trang )
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
LOGARIT
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ
III. ĐỀ VẬN DỤNG CAO MŨ VÀ LOGARIT SỐ 03
ĐỀ BÀI
Câu 1:
a
b
c
Cho các số thực không âm a, b, c thoả mãn 2 4 8 4 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn
M
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a 2b 3c . Giá trị của biểu thức 4 log M m bằng
2809
A. 500 .
Câu 2:
Câu 3:
4096
B. 729 .
Câu 5:
Câu 6:
Cho hàm số y f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ
f e x m(3e x 2019)
nghiệm đúng với mọi x �(0;1) khi và chỉ khi
2
f ( e)
f ( e)
m �
m�
m
1011 .
3e 2019 .
3e 2019 .
B.
C.
D.
Cho a, b là hai số thực thay đổi thỏa mãn 1 a b �2 , biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P 2.log a b 2 4b 4 log 2b a
3
a
là m 3 n với m, n là số nguyên dương. Tính S m n .
A. S 9 .
B. S 18 .
C. S 54 .
D. S 15 .
2 log
y � 20; 20
Có bao nhiêu số nguyên
thỏa mãn
mọi x ��?
A. 9 .
B. 11 .
C. 10 .
3
3x
2
1 �log
3
yx
2
6x 2 y
với
D. 8 .
Cho hình vng ABCD có các đỉnh A, B, C tương ứng nằm trên các đồ thị của các hàm số
y log a x, y 2 log a x, y 3log a x . Biết rằng diện tích hình vng bằng 36, cạnh AB song
song với trục hồnh. Khi đó a bằng
A.
Câu 7:
14
D. 25 .
x log 2 y
x log 2 y
Biết rằng x, y là các số thực dương sao cho 3 số u1 8
, u2 2
, u3 5 y theo thứ tự
x 2
lập thành một cấp số cộng và một cấp số nhân. Khi đó, tích 2 . y có giá trị bằng:
A. 10.
B. 5.
C. 5 .
D. 1.
Bất phương trình
4
m
1011
A.
Câu 4:
281
C. 50 .
6.
B.
6
3.
C.
3
6.
D.
3.
� 2
x3 � x
log
x
log
� 2
�e m 0
2
4�
�
Cho phương trình
. Gọi S là tập hợp giá trị m nguyên với
m � 10;10
để phương trình có đúng hai nghiệm. Tổng giá trị các phần tử của S bằng
A. 28 .
B. 3 .
C. 27 .
D. 12 .
Tuyển chọn các bài toán VD-VDC | 340
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
LOGARIT
Câu 8:
Câu 9:
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ
m � 20; 20
Số giá trị m nguyên,
, sao cho
A. 5 .
B. 1 .
Cho phương trình
m � 2021; 2021
A. 2022 .
ln x m e x m 0
min
log 0,3 x m 16
log 0,3 x m
x� 0,3;1
16
là
D. 40 .
C. 20 .
, với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị ngun
để phương trình đã cho có nghiệm?
B. 4042 .
C. 2019 .
Câu 10: Cho các số thực x , y thỏa mãn
5 16.4 x
2
2 y
5 16 x
2
2 y
D. 2021 .
.7
2 y x2 2
. Gọi M và m lần lượt là
10 x 6 y 26
2 x 2 y 5 . Tính T M m .
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
19
21
T
T
2 .
2 .
A. T 15 .
B.
C.
D. T 10 .
P
Câu 11:
� 4 x 7 2 xy y e 2 xy y e 4 x 7 2 x 2 y y 7
một phân biệt. Có bao nhiêu bộ
A. 1 .
B. 3 .
a; b; c
Cho a , b , c là ba số thực dương đôi
b2
a2
c 2
b 2
a2
c 2
thỏa mãn: a �b ; b �c ; c �a
C. 6 .
D. 0 .
�1
x y
1 �
log �
� 1 2 xy
10
2
x
2
y
x
,
y
�
�
Câu 12: Xét tất cả các số thực dương
thỏa mãn
. Khi biểu thức
4 1
x 2 y 2 đạt giá trị nhỏ nhất, tích xy bằng
9
A. 200 .
1
B. 64 .
log 22
9
C. 100 .
x 2 1 x m 2 2 log 2
1
D. 32 .
x2 1 x 1 0
Câu 13: Cho phương trình
với m là tham số
thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2
x12 1 x1
thỏa mãn
A. 4 .
x22 1 x2
3
3
74 3
. Tích các phần tử của S bằng
B. 4 .
C. 0 .
D. 2 .
x
x
Câu 14: Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình a.4 b.2 50 0 có hai nghiệm phân
x
x
biệt x1 , x2 và phương trình 9 b.3 50a 0 có hai nghiệm x3 , x4 thỏa mãn điều kiện
x3 x4 x1 x2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S 3a 4b .
A. 109 .
B. 51 .
C. 49 .
D. 87 .
y 1
log 3 �
x 1 y 1 �
�
� 9 x 1 y 1 . Giá trị nhỏ
Câu 15: Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn
nhất của biểu thức P x 2 y là
11
25
Pmin
Pmin
2 .
7 .
A.
B.
C.
Pmin 5 6 3 .
D.
Pmin 3 6 2 .
Tuyển chọn các bài toán VD-VDC | 341
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
LOGARIT
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ
ln x 1 ln x m
Câu 16: Có bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn x 1 x x 1 x , x 0 , x �1 ?
A. 2 .
B. 1 .
C. Vô số.
D. 0 .
2021; � sao cho với mỗi giá trị của y tồn
Câu 17: Có bao nhiêu số nguyên y nằm trong khoảng
2
x 2 y x 2 x .2020 x y 2 x 2 x y .2020 x x
x
tại nhiều hơn hai số thực thỏa mãn
?
A. 2020 .
B. 2019 .
C. 2021 .
D. 2022 .
2 log 3
6x
2
2x 1 1
2y
2x 1 y 3
2x 0
x; y thoả
.Với các cặp số
1
7
T
2 x 1 2 x 4 2 x 2.32 y
3
3
mãn phương trình trên, giá trị nhỏ nhất của
thuộc
khoảng nào sau đây?
4; 2 .
11; 9,5 .
6; 4 .
9,5; 8 .
A.
B.
C.
D.
Câu 18: Cho phương trình
Câu 19: Cho hàm số bậc 4 có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m và
f x
log
x�
f x mx �
mx 3 f x
2
�
�
m � 2021; 2021
mx
để phương trình
có hai nghiệm
dương phân biệt?
y
1
O
1
A. 2022 .
Câu 20: Biết
B. 2020 .
điều
log 21 x 2
2
2
kiện
và
đủ
của
1
4 m 5 log 1
8m 4 0
x2
2
m � �; a � b; �
A.
T
8
3.
1
cần
x
C. 2019 .
tham
có
. Tính giá trị biểu thức T a b .
22
8
T
T
3 .
3.
B.
C.
D. 2021 .
số
nghiệm
m
để
thuộc
D.
T
phương
trình
�3 �
;6
�
�2 �
� là
22
3 .
1
2
log 2 a log 2
b . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 21: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn 2
3
3
3
3
P 4a b 4 log 2 4a b
được viết dưới dạng x y log 2 z , với x, y, z 2 là các số
nguyên, z là số lẻ. Tổng x y z bằng
A. 11 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 4 .
bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương
x2 4 x m
log 3 2
�2 x 2 7 x 7 m
x � 1;5
x x2
nghiệm đúng với mọi
?
9
10
A. 11 .
B. .
C. .
D. 12 .
Câu 22: Có
342 | Phan Nhật Linh
trình
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
LOGARIT
5
Câu 23: Xét các số thực x , y thỏa mãn
x y
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ
2
25xy x 2 y 2 1 xy 53 xy 1 0
. Gọi m , M lần lượt
4
4
2 2
là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P x y x y . Khi đó 3m 2M bằng
7
10
3m 2 M
3m 2 M
3.
3 .
A. 3m 2 M 1 .
B.
C.
D. 3m 2M 1 .
2;3
Câu 24: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho khoảng
thuộc tập nghiệm của bất
phương trình
A.
log 5 x 2 1 log5 x 2 4 x m 1
m � 12;13
.
m � 13;12
B.
Câu 25: Có bao nhiêu số nguyên
.
x � 2021; 2021
C.
m � 13; 12
.
D.
m � 12;13
.
để ứng với mỗi x có tối thiểu 64 số nguyên y thoả
log 3 x 4 y �log 2 x y
mãn
?
A. 3990.
B. 3992.
C. 3988.
D. 3989.
ln x y 2020 x ln x y 2020 y e 2021
x, y
Câu 26: Gọi S là các cặp số thực
sao cho
và
2021x
2
x � 1;1
Pe
y 1 2021x với x, y �S đạt
. Biết rằng giá trị lớn nhất của biểu thức
x ;y
được tại 0 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
1 �
1 1�
�
�
� 1�
x0 �� ;1�
x0 �� ; �
x0 ��
0; �
x � 1;0
2 �.
4 2 �.
�
�
� 4 �.
A.
B.
C. 0
.
D.
x
y
Câu 27: Có bao nhiêu cặp số x, y là các số nguyên không âm thỏa mãn:
2 1 x 2 y
2
A. 2.
log 2 x 2 y 2log 2 x 2 y 2 2 xy x 2 x y 4 x 4 y
2
B. 3.
C. 4.
D. 5.
x; y thỏa mãn
Câu 28: Có bao nhiêu số nguyên m �2021 để có nhiều hơn một cặp số
log x2 y 2 4 4 x 2 y m �1
và 4 x 3 y 1 0 ?
A. 2017 .
B. 2020 .
C. 2019 .
D. 2022 .
log3 2x2 y2 log7 x3 2y3 log z
x
,
y
,
z
Câu 29: Cho các số thực
thỏa mãn
. Có bao giá
x, y thỏa mãn đẳng thức trên.
trị nguyên của z để có đúng hai cặp
A. 2 .
B. 211 .
C. 99 .
D. 4.
Câu 30: Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y ln có ít hơn 2021 số ngun x
�
log ( x + 3) - 1�
.( log 2 x - y ) < 0
�
thoả mãn � 2
A. 20 .
B. 9 .
C. 10 .
D. 11 .
Câu 31: Có
bao
3
2021x a
A. 9.
3log x1
nhiêu
x
3
số
tự
2020 a
nhiên
3log x 1
a
sao
cho
tồn
tại
số
thực
x
thoả
2020
B. 8.
Câu 32: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương
C. 5.
x; y
D. 12
với y �2021 thỏa mãn
Tuyển chọn các bài toán VD-VDC | 343
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
LOGARIT
x 1
�4 y 4 4 y 3 x 2 y 2 2 y 2 x
2 y 1
.
log
A.
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ
2021 2021 1
.
B.
2021 2022 1
.
C.
2022 2022 1
.
D.
2022 2022 1
.
log 3 2 x 2 y 2 log 7 x3 2 y 3 log z
x
,
y
,
z
Câu 33: Cho các số thực
thỏa mãn
. Có bao giá trị
x, y thỏa mãn đẳng thức trên.
nguyên của z để có đúng hai cặp
A. 2 .
B. 211 .
C. 99 .
2
Câu 34: Số giá trị nguyên dương của m để bất phương trình
chứa khơng q 6 số ngun là:
A. 62 .
B. 33 .
C. 32 .
2
2 2x m 0
D. 31 .
2
có tập nghiệm
8 x 1
7 log 2 x 2 4 x log 2 m 3 m
Câu 35: Cho phương trình
, ( là tham số). Có
m
bao nhiêu số nguyên dương
sao cho phương trình đã cho có nghiệm thực.
31
63
A. .
B.
.
C. 32 .
D. 64 .
m.2 x
4 x 1
x2
D. 4.
m 2 .22 x
1
1
x
x x4 a
Câu 36: Hỏi có bao nhiêu số nguyên âm a để phương trình 9 3 3 9
có hai
nghiệm thực phân biệt?
A. Vơ số.
B. 5 .
C. 7 .
D. 4 .
x
Câu 37: Tập
hợp
tất
cả
các
giá
trị
e3 m e m 2 x 1 x 2 1 x 1 x 2
A.
Câu 38: Có bao nhiêu số nguyên
m � 2021;2021
3. x
log 2 3
của
có nghiệm là
� 1
�
0; ln 2 �
�
�
B. � 2
.
�;ln 2 .
A. 2021 .
thực
số
�1
�
� ln 2; ��
�.
C. �2
m
để
phương
trình
� 1
�
�; ln 2 �
�
�.
D. � 2
sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn:
�1
�
� x m �
�
3�ln 2
B. 4041 .
tham
1
x 1 log 2 x m
ln 2
C. 2020 .
D. 4040 .
m � 2020; 2020
S
Câu 39: Gọi
là
tập
các
số
nguyên
để
phương
2
log 2 x log 2 x m m log 2 x
có đúng hai nghiệm. Số phần tử của S bằng
A. 1 .
B. 2020 .
C. 2021 .
D. 0 .
trình
4
3
2
2
Câu 40: Cho phương trình log x log x 2 log x 3m log x m 0 (1) ,. Biết tập tất cả các giá trị
�1
�
;100 �
�
100
�là
thực của tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn �
a; b � b; c . Xét T a b c , trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A.
T � 2;3
344 | Phan Nhật Linh
.
�3 �
T �� ; 2 �
�2 �.
B.
C.
T � 0;1
.
� 3�
T ��
1; �
� 2�
D.
.
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
LOGARIT
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ
log mx log m m 10 x
m
20
Câu 41: Có bao nhiêu số nguyên dương
nhỏ hơn
thỏa mãn phương trình
có đúng hai nghiệm thực x phân biệt.
A. 13 .
B. 12 .
C. 10 .
D. 11 .
Câu 42: Có bao nhiêu số thực m để phương trình sau có 3 nghiệm thực phân biệt:
2
x m
4
log 3 x 2 2 x 3 2 x 2 x log 1 2 x m 2 0
3
.
A. 3 .
B. 2 .
C. 4 .
D. Vô số.
�1
x y
1 �
log �
� 1 2 xy
�2 x 2 y �
Câu 43: Xét các số thực dương x , y thay đổi thỏa mãn 10
. Khi biểu thức
20 5
x 2 y 2 đạt giá trị nhỏ nhất, tích xy bằng
9
B. 100 .
1
A. 32 .
9
C. 200 .
1
D. 64 .
a 2b 8 �0
�
�
a b 2 �0
�
2
2
�
g a; b a b
2a b 4 �0
Câu 44: Gọi M là giá trị nhỏ nhất của biểu thức
với a, b thỏa mãn �
.
m � 0; M
Khi
thì
tổng
các
nghiệm
của
phương
trình
2
2
log 2 2 3 x 2 x 2 1 m log 2 3 x 2 x 3
thuộc khoảng?
A.
2
C.
.
2 3; �
2 3; 2 2 3
B.
1; 2 3 .
� 1
�
;2�
�
. D. �2 3 �.
log 3 3x 2m log 5 3 x m 2
Câu 45: Gọi S là tập hợp các số ngun m sao cho phương trình
có
S
nghiệm. Tổng các phần tử của là
A. 4 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 5 .
Câu 46: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc
ln 3 x m m3 e x ln x m
A. 4042 .
3m
e3 x
2020; 2021
sao cho tồn tại x thỏa mãn
?
B. 2019 .
C. 2023 .
D. 2021 .
x; y
Câu 47: Có tất cả bao nhiêu cặp số thực
thỏa mãn đồng thời các điều kiện
x2 y 2
2
2
log x y 2 2 6 y 2 2 y 1
2
log 3 x y 5 18 0
và
?
6
8
4
A. .
B. .
C. .
D. 9 .
2
Câu 48: Cho hai số thực x, y thỏa mãn hệ thức
m � 40; 40
2 y x2
log 2 y 1 x
. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị
nguyên
để tồn tại duy nhất một số thực
2
2
4 y 10 x mx 1 0 ?
x
thỏa mãn hệ thức
Tuyển chọn các bài toán VD-VDC | 345
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
LOGARIT
A. 51 .
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ
B. 52 .
C. 53 .
D. 31 .
y
y 2 x4 1
2
x
�
0,
y
0
2x
Câu 49: Cho các số thực
thỏa mãn đẳng thức
. Có bao nhiêu giá trị
x, y thỏa mãn phương trình
ngun của m để có nhiều hơn 2 cặp
m 2 y 2 x 2 y 4 x m 2 22 x
?
6
15
A. .
B. .
C. 5 .
D. 16 .
log 2
2 log 3
6x
2
2x 1 1
2 x 1 y 32 y 2 x 0
x; y thoả
.Với các cặp số
1
7
2y
T
2 x 1 2 x 4 2 x 2.3
3
3
mãn phương trình trên, giá trị nhỏ nhất của
thuộc
khoảng nào sau đây?
4; 2 .
11; 9,5 .
6; 4 .
9,5; 8 .
A.
B.
C.
D.
Câu 50: Cho phương trình
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1:
Chọn B
Đặt a log 2 x, 2b log 2 y,3c log 2 z .
S a 2b 3c log 2 x log 2 y log 2 z log 2 xyz
Ta có
.
a
b
c
Mà 2 4 8 4 � x y z 4 .
3
4 �
x ��
y z
3. xyz
3
Suy ra
�4 �
xyz � �
�3 �
log 2 xyz
S
3
�4 �
�4 �
log 2 � � 3log 2 � �
�3 �
�3 �.
�4 �
M max S 3log 2 � � x y z 4
�3 �khi
3.
Do đó
0 xy x y 1 3 z
x �1
y 1 �
Mặt khác, ta có
Suy ra S �1 , do đó m min S 1 khi x z 1, y 2 .
4 M log M m
Câu 2:
Vậy
Chọn D
4
xyz
z 3 z
6
6
4�
�log2 �
� �� �
4 � 4096
log �4 �1 �
2 �3 �� � �
�
� �3 � 729
3log 2 � �
�3 �
�
�
.
�4 �
3log 2 � �
�3 �
x log 2 y
�
2.2
8 x log 2 y 5 y 1
�
�2 x log y
2
2
8x log 2 y.5 y
y
0
Điều kiện:
. Theo đề bài, ta có: �
8
�
x log 2 y
5y
4
346 | Phan Nhật Linh
2
8 x log2 y.5 y � 8x log2 y 5 y
2
0 � 8x log2 y 5 y
2
.
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
LOGARIT
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ
� log 2 8 x log2 y log 2 5 y � x log 2 y .log 2 8 log 2 5 log 2 y
� 3x 3log 2 y log 2 5 log 2 y � 3 x 2log 2 y log 2 5 � 3x log 2
Thay
2.2
Từ
2
x log 2 y
3
và
vào
1
ta được:
5 y 5 y � 2
4
� log 2
x log 2 y
5 y � x log 2 y log 2 5 y � x log 2 5 y 2 4
5
5
1
1
2
2 3
3.log
5
y
�
5
y
� y8
�y 4
2
2
2
y
y
25
5
2
Câu 3:
5
3
y2
2
1
�1 �
�1 �
� x log 2 5. �4 � log 2 5 � 2 x. y 2 2 log2 5. �4 � 5.
1
5
�5�
�5�
Chọn C
x
Đầu tiên, ta nhận thấy hàm số y e luôn đồng biến trên � cho nên hàm số f ( x) và hàm số
f (e x ) có tính chất giống nhau nên từ bảng biến thiên đã cho ta có thể suy ra tính chất của hàm
x
số f (e ) .
f e x m(3e x 2019)
x
. Đặt t e 0 , với x �(0;1) � t �(1; e) .
f (t )
f t m(3t 2019) � m
(1)
(3
t
2019)
Ta được bất phương trình mới
f (t )
f�
(t )(3t 2019) 3 f (t )
g (t )
g�
( x)
(3t 2019) trên t �(1; e) , ta có
(3t 2019) 2
Xét hàm số
.
Xét bất phương trình
x
Do hàm số f ( x) và hàm số f (e ) có tính chất giống nhau nên trên khoảng đang được xét thì
f (t ) 0 và f �
(t ) 0 với mọi t �(1; e) � g �
(t ) 0 với mọi t �(1; e) .
Như vậy ta có bảng biến thiên của hàm số
Suy ra, Bất phương trình
Câu 4:
۳
۳
đúng với mọi t �(1; e)
Chọn D
Ta có
g (t )
f (t )
(3t 2019) với t �(1; e) như sau:
f e x m(3e x 2019)
m max g (t )
1;e
b 2 4b 4 �b3 � b 1 b2 4 �0
2
m
nghiệm đúng với mọi x �(0;1) khi và chỉ khi
f (e )
g (e) m
3e 2019 .
.
2
� 1
�
� 1
�
P �2.log a b �
� 6 log a b �
�
log a b 1 �
log a b 1 �
�
�
Nên
.
3
Tuyển chọn các bài toán VD-VDC | 347
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
LOGARIT
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ
2
�1 �
f t 6t � �
�t 1 � với t 1 thì P �f t , t 1 .
Đặt t log a b . Với 1 a b �2 thì t 1 . Đặt
3
� 1 �
3 t 1 1
2
�1 �
�
f t 6 2� �
2.
�
� 6
3
3
� t 1 2 �
�t 1 �
t 1
t 1 .
�
�
Ta có
1
f�
t 0 � t 1 3
3.
2
�
f�
1
�
Câu 5:
Ta có
Chọn C
Ta có:
�
�
�
�
1 �
6 � 1 �
3
� 6 3 ��1 �� 6 3 9
3
3�
3
��3 ��
�� 3 ��
. Vậy m 6, n 9 � m n 15 .
2 log
ĐKXĐ:
3
3x
2
1 �log
3
yx
2
6 x 2 y 1
với mọi x ��.
�y 0
3 2
yx 2 6 x 2 y 0, x ��� �
� y
2
2
� ' 9 2 y 0
1 � log
3 3x 1 �log yx
2
3
2
3
6x 2 y
.
� 3 3 x 2 1 �yx 2 6 x 2 y � y 9 x 2 6 x 2 y 3 �0, x ��
�
a0
�
�
�
bx c �0
�
�
���۳
�
a0
�
�
�
' �0
�
�
Câu 6:
�
�y 9
�
�
6 x 15 �0 x � Loai
�
�
�y 9
�
�
�
�
9 y 9 2 y 3 �0
�
�
�y 9
� 2
2 y 21 y 18 �0
�
y
21 3 33
4
�y � 20; 20
�
�y ��
� 3 2
� y � 10;11;...;18;19
�y
2
�
� 21 3 33
�y �
4
Do �
. Vậy có 10 số nguyên y thỏa yêu cầu bài toán.
Chọn B
Từ giả thiết đã cho, ta có các đỉnh A, B, C của hình vng ABCD lần lượt nằm trên các đồ thị
y log a x, y 2 log a x, y 3log a x .
Do AB / / Ox, AB BC nên suy ra CB / / Oy
uuu
r
�AB a x2 a x1 ; 2 x2 x1
�
�uuur
BC a x3 a x2 ;3 x3 2 x2
�
A(a x1 ; x1 ), B (a x2 ; 2 x2 ), C ( a x3 ;3 x3 )
�
Giả sử
ta có:
348 | Phan Nhật Linh
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
LOGARIT
CB / / Oy
�
�
Do �AB / / Ox nên
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ
2 x2 x1 0
�
� 2 x2 x1 2 x3 2k 0
� x3
a a x2 0
�
�AB 2 (a k a 2 k )2
A( a ; 2k ), B(a ; 2k ), C ( a ;3k ) � � 2
2
�BC k
Khi đó
Mà diện tích của hình vng ABCD bằng 36 nên
2k
S ABCD
k
k
��
��
a k a 2 k 6
a k a 2 k 6
2
k
2k 2
�
AB
(
a
a
)
36
��k
��k
AB 2 BC 2 36 � � 2
� ��
a a 2 k 6 � ��
a a 2k 6
2
�BC k 36
�
�
k 6
�k m6, k 0
�
��
a 6 a12 6
�
a6 3
��6 12
� ��
�a63
a a 6 � �6
a 2
�
�
�k 6
Câu 7:
Chọn A
� 2
x3 � x
log
x
log
� 2
�e m 0
2
4�
�
Ta có:
� 2
x3
log
x
log
0
2
�
log 22 x 3log 2 x 2 0
x0 � � 2
4
�
�
�
�x
�
x
�
e m
m ex
�
�e m 0
Điều kiện: �
�
log 2 x 1
�
x2
�
�
��
log 2 x 2 � �
x4
x
�
�
ex m
e m
�
�
x
Trường hợp 1: m �0 . Khi đó phương trình e m vơ nghiệm.
��
x2
��
x4
��
�
3
x ln m
� 2
x �
�
��
log 2 x log 2 � e x m 0
�
�
4�
� �x �ln m
Trường hợp 2: m 0 . Khi �
Câu 8:
�
2 �ln m 4
�
ln m �0
e2 m e4
ۣ
Để phương trình chỉ có hai nghiệm phân biệt thì: �
ex 1 � x 0 l
Ngoài ra khi m 1 thì
. Nên m 1,8;9;10 .
m � 10; 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1;1;8;9;10 � �m 28
Vậy
.
Chọn B
m log 0,3 x 16
f x
t log 0,3 x
log 0,3 x m x 0
Đặt
. Đặt
.
m 2 16
mt 16
�
f
t
2
f t
0;1
t m
t
m
Khi đó: Xét
trên đoạn
. Từ đó
.,
16
m 16
f 0
f 1
m,
m 1
Tuyển chọn các bài toán VD-VDC | 349
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
LOGARIT
Trường hợp 1:
m � 20; 4 �
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ
f�
t
Nên hàm số đồng biến trên khoảng
m 2 16
t m
2
0, t � 0;1
.
0;1 .
f 0 � f t � f 1 0 t � 0;1
,
.
m 16
m 16
max f t f 1
0 � min f t f 1
m �1
t� 0;1
t� 0;1
m 1
m 1
Nên
.
Suy ra,
f 0 �f t �f 1 0
nên
m 0 l
�
�
�
m 16
32
�
16
m
l
� 17
Mà m 1
.
Trường hợp 2:
m � 4;0 �
f�
t
Nên hàm số nghịch biến trên đoạn
m 2 16
t m
2
0, t � 0;1
0;1 .
.
f 1 � f t � f 0 0 t � 0;1
,
.
16
m �0
max f x f 0 � min f x f 0
x� 0;1
x� 0;1
m
Nên
.
Suy ra,
Mà
0 f 0 �f t �f 1
�
m 1 l
16
16 � �
m
m 1 l
�
Trường hợp 3:
nên
.
m � 0; 4 �
f�
t
Nên hàm số nghịch biến trên khoảng
m 2 16
t m
0, t � 0;1
2
.
0;1 .
f 1 � f t � f 0 0 t � 0;1
,
.
m 16
min f t f 1
min f t f 1
m 1 m �1 .
� x� 0;1
Nên x� 0;1
Suy ra,
f 0 �f t �f 1 0
nên
�
m 0 n
�
�
m 16
32
�
16
m
l
� 17
Mà m 1
.
Trường hợp 4:
m � 4; 20 �
f�
t
Nên hàm số đồng biến trên khoảng
Suy ra,
Nên
Mà
0 f 0 �f t �f 1
min f t f 0
x� 0;1
t m
2
� x� 0;1
0, t � 0;1
.
0;1 .
nên
0 f 0 � f t � f 1
min f t f 0
m 1 l
�
16
16 � �
m
m 1 l
�
350 | Phan Nhật Linh
m 2 16
,
t � 0;1
16
m m �0 .
. Vậy tổng hợp các trường hợp: m 1 .
.
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
LOGARIT
Câu 9:
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ
Chọn D
Điều kiện: x m 0 .
t
�
�x m e
�
t ln x m � x m et
t m ex
Đặt
, ta có hệ phương trình sau: �
.
Suy ra
x t et e x � e x x e t t
f x ex x
Xét hàm số
, có
* .
f�
x e x 1 0, x ��� f x
luôn đồng biến trên khoảng
�; � .
*
Ta thấy
có dạng
f x f t � x t
.
x
Khi đó ta có phương trình x m e � m e x
g x ex x
g�
x e x 1; g �
x 0 � ex 1 � x 0 .
Xét hàm số
, có
Bảng biến thiên
x
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm khi m �1 .
�
m � 2021; 2021
�
m � 1; 2;...; 2020; 2021
m ��
Mà �
nên ta có
. Tức là có 2021 số nguyên m thỏa
mãn đề bài.
Câu 10: Chọn B
5 16.4 x
2
2 y
5 16 x
2
2 y
.7
2 y x2 2
1
2
1 trở thành: 5 16.4t 5 16t .72t
Đặt t x 2 y , khi đó phương trình
� 5.7t 16.28t 49 5 16t � 5 7 t 49 16.28t 49.16t 0
t
2
�
�7 � �7 ��
� 5 7 t 7 2 42 t 2 �
� � � �� 0 � t 2
�4 � �4 ��
�
2
2
Khi đó: x 2 y 2 � 2 y x 2 , thế vào biểu thức P ta được:
P
10 x 3 x 2 2 26
2x x2 2 5
f�
x
4 x 2 22 x 10
x
2
2 x 3
2
3 x 2 10 x 20
f x
x2 2x 3
x 5
�
f�
x 0 � 4 x 22 x 10 0 � �
1
�
x
�
2
;
2
Bảng biến thiên
Tuyển chọn các bài toán VD-VDC | 351
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
LOGARIT
Dựa vào BBT ta có:
Câu 11: Chọn D
Xét hàm số
f x
M 7; m
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ
5
5 19
T M m 7
2 . Vậy
2 2
ln x
x2 ,
ln a
ln b
a b 2 �b a 2 � b 2 ln a � a 2 ln b ۣ a 2 b 2 ۣ f a f b 1
Ta có:
ln b
ln c
bc 2 �cb 2 � c 2 ln b � b 2 ln c ۣ b 2 c 2 ۣ f b f c 2
ln c
ln a
c a 2 �a c 2 � a 2 ln c � c 2 ln a ۣ c 2 a 2 f c f a 3
1 , 2 và 3 suy ra: f a f b f c
Từ
a; b; c thì phải tồn tại số thực m sao cho
Mà a, b, c dương phân biệt nên để tồn tại bộ ba số
đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số
f x
ln x
x 2 tại ba điểm phân biệt hay phương trình
ln x
m *
x2
có ba nghiệm dương phân biệt.
2
1 ln x
1 � 2
�
f�
1 ln x �
x x 2
2 �
�
x 2
x 2 � x
Ta có:
2
2
f�
x 0 � 1 ln x 0 � 1 ln x **
x
x
2
g
x
1
0;
�
hàm số
x là hàm nghịch biến, h x ln x đồng biến nên
Mặt khác trên
phương trình
**
có khơng q một nghiệm, suy ra hàm số
f x
có khơng q một cực trị
f x
suy ra với mọi giá trị của m , đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số
không quá hai điểm
* có khơng q hai nghiệm, hay khơng tồn tại bộ ba số a; b; c thỏa
suy ra phương trình
mãn đề bài.
Câu 12: Chọn B
�1
x y
1 �
log �
� 1 2 xy
10
2
x
2
y
�
�
Ta có:
352 | Phan Nhật Linh
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
LOGARIT
�
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ
�x y �
x y
log �
� 1 2 xy
10
�2 xy �
x y
log x y 1 2 xy log 2 xy
10
x y
�x y �
�
log �
� 2 xy log 2 xy 1
10
�10 �
�
Xét hàm số:
f t t log t
t 0
1
0, t 0
0; �
t.ln10
nên hàm số f đồng biến trên
x y�
x y
x
2 xy � y
1 : f �
�
� f 2 xy �
10
20 x 1 .
�10 �
Vậy
f ' t 1
4 1
4 20 x 1
400 x 2 40 x 5
40 5
�1
�
400 2 5 � 4 � 320 �320
2
2
2
2
2
y
x
x
x
x x
�x
�
Ta có: x
1
1
1
� x ; y � xy
4
16
64 .
Đẳng thức xảy ra
Câu 13: Chọn B
x2 1 x2
1
2
x
1
x
2 3 2 3 1
2
2
x 1 x
x 1 x .
Ta có:
và
2
log 22
3
x 2 1 x m 2 2 log 2
3
� log 22
3
t�
t log 2
� log 22
Đặt
2
3
x2 1 x 1 0
x 1 x m 2 log
x 1 x 1 0 *
x 1 x � x 1 x 2 3 , ta có
� 1
�
x 2 1 x m 2 2 log 2 3 �
� 1 0
2
x
1
x
�
�
2
2
2
2 3
2
t
2
3
� x
�
1
.�
1�
2
x 2 1 x ln 2 3 � x 1 � ln 2 3
1
Khi đó phương trình
*
t m 2 t 1 0
2
đã cho trở thành:
Yêu cầu bài toán tương đương: Phương trình
1
thỏa mãn
2 3 2 3
t2
0; x
.
2
.
t m 2 t 1 0
2
t1
x2 1
2
74 3 � 2 3
t1 t2
2 3
có 2 nghiệm phân biệt t1 ; t2
2
� t1 t2 2
.
�
0
�
�
�m2 2 4 0 � m �2
��
�
2 m 2 2 �
�
m �2
2
.
S 2; 2
Vậy
. Tích các phần tử của S là: 4 .
Câu 14: Chọn A
Tuyển chọn các bài toán VD-VDC | 353
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
LOGARIT
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ
x
2
Đặt u 2 0 thì phương trình trở thành a.u b.u 50 0 . Phương trình có hai nghiệm phân
biệt x1 , x2 tương đương phương trình có hai nghiệm phân biệt dương u1 , u2 , nghĩa là
�
�
b 2 200a 0
�
�b
� b 2 200a
� 0
a
�
�50
0
�
�a
.
x
2
Đặt v 3 0 thì phương trình trở thành v b.v 50a 0 . Phương trình có hai nghiệm phân
biệt x3 , x4 tương đương với phương trình có hai nghiệm phân biệt dương v3 , v4 , nghĩa là
�
b 2 200a 0
�
b0
� b2 200a
�
�
50a 0
�
Ta có
.
x3 x4 x1 x2 � log 3 v3 log 3 v4 log 2 u1 log 2 u2 � log 3 v3v4 log 2 u1u2
�50 �
� log 3 50a log 2 � �� log 3 a log 2 a log 2 50 log 3 50 �2, 08
�a �
.
f a log 3 a log 2 a ( a 0)
f 2 �1, 63
f 3 �2,58
Mặt khác hàm số
là hàm số tăng,
và
2
200
a 600 b 25 . Vậy min S 3.3 4.25 109 .
nên a �3 . Từ đó ta có b �
Câu 15:
Chọn D
Với x , y 0 ta có:
log 3 �
x 1 y 1 �
x 1 y 1 �
�
� 9 x 1 y 1 � y 1 log 3 �
�
� 9 x 1 y 1
y 1
9
9
x 1 � log3 x 1 x 1 2 log 3 y 1
y 1
y 1
9
9
� log3 x 1 x 1 log 3
y 1 y 1 1 .
� log 3 x 1 log 3 y 1
Xét hàm số
Ta có:
f t log 3 t t
f�
t
với t 0 .
1
1 0
t.ln 3
, t 0 .
� Hàm số f t đồng biến trên khoảng 0; � .
�9 �
9
1 � f x 1 f � �� x 1
y 1 .
�y 1 �
Khi đó:
P x 2 y x 1 2 y 1
Từ đó suy ra
Dấu " " xảy ra
354 | Phan Nhật Linh
�
9
9
2 y 1 3 �2
.2 y 1 3 3 6 2
y 1
y 1
.
9
9
3 2
2
2 y 1 � y 1 � y
1 � x 25 27 2
y 1
2
2
7
.
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
LOGARIT
x
Pmin 3 6 2
Câu 16:
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ
25 27 2
3 2
y
1
7
2
;
.
Vậy
khi
Chọn C
Với x 0 , x �1 ta có:
ln x 1 ln x m
m
1 �1
x ln x
�1
� ln x �
� � m 2 2 1 f x
x 1 x x 1 x
x
x 1
�x 1 x 1 � x
x ln x
f x 2 2
1
x 1
* Xét hàm số:
với x 0 , x �0 .
f�
x 2.
x 2 ln x ln x 1 x 2
x
2
1
2
Ta có:
.
2
2
f�
x 0 � x ln x ln x 1 x 0 1
g x x ln x ln x 1 x
2
Xét hàm số
Đạo hàm
g�
x 2 x ln x
�
g�
x 2 ln x 1
2
.
với x 0
1
x
x
1
x2 .
2 1
0
�
g�
x đồng biến trên khoảng 0; � .
x x3
, x 0 � Hàm số
�
g�
x 0 nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Từ đó suy ra phương trình
�
�
g�
1 0 . Suy ra phương trình g �
x 0 có nghiệm duy nhất x 1 .
Lại có
y g�
x :
Bảng biến thiên của hàm số
�
�
g�
x
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình
y g x
Bảng biến thiên của hàm số
:
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình
Giới hạn:
g�
x 0
có nghiệm duy nhất x 1 .
g x 0
có nghiệm duy nhất x 1 .
Tuyển chọn các bài toán VD-VDC | 355
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
LOGARIT
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ
ln x x �
�
�ln x x �
lim f x lim �
1 2.
.
1 2 lim � .
�
� 1 1 0
x �1
x �1
x �1 x 1 x 1
x 1 x 1 �
�
�
�
.
Bảng biến thiên của hàm số
y f x
:
m f x
Bất phương trình
nghiệm đúng x 0 , x �1 ۣ m 0 .
Vậy có vơ số các giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 17: Chọn A
x 2 y x 2 x .2020 x y 2 x 2 x y .2020 x x
Ta có:
2
x
� x y .2020
x
�
2
2
x
y . 2020 x
2
x 2 x .2020 x
x
2
y
2
2x2 x y
1 x 2 x . 2020 x
2
y
1 0 1
2
2
2020 x x 1 2020 x y 1
0
2
2
2
2
x y x x �0
1 �
2
x
x
x
y
Nếu
thì
2 ln dương nên suy ra 1 không xảy ra.
Dễ thấy vế trái của
�
x0
�
2
�
x 1
x x0
�
�2
x2 y
1 � �x y 0 � �
�
Do đó
Với y 1 thì có ba giá trị x thỏa mãn đề bài.
Yêu cầu bài toán � y 0 � y 0
2021; � nên y � 2020; 2019;...; 1 .
Do y nguyên nằm trong khoảng
Vậy có 2020 số nguyên y thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 18:
Chọn B
Điều kiện x 0 .
6x
2 log 3
2
2
x
1
1
Ta có
2x 1 y 3
2y
2x 0
� 2 2 log 2 x 1 1 2 2 x 1 2 y 3 2 x 0
� 2 log 2 x 1 1 2 x 2 2 2 x 1 2 y 3
� 2 log 2 x 1 1 2 x 1 1 log 3 3
� 2 log 3 3
2 x 1 1 2 2 x 1 2 y 32 y 2 x 0
2y
3
2
2y
3
2
3
356 | Phan Nhật Linh
2
2y
3
2y
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
LOGARIT
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ
1
1 0, t 0
t
y f t log 3 t t � f �
t ln 3
Xét hàm số
.
y f t
0; � .
Suy ra hàm số
đồng biến trên khoảng
Từ
1 �
Do đó
T
f
2x 1 1
2
f 3
2y
�
2
2 x 1 1 32 y
.
1
7
1
7
2y
2 x 1 2 x 4 2 x 2.3
2 x 1 2 x 4 2 x 2.
3
3
3
3
2x 1 1
2
.
2
Đặt t 2 x 1 1 � 2 x t 1 .
1
7
1
2
2
T t t 2 1 4 t 2 1 2 t 1 t 3 t 2 3t
3
3
3
3.
Suy ra
t 1
�
T�
t 2 2t 3 � T �
0� �
t 3 .
�
Có
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra
Câu 19: Chọn D
min T
29
�9, 67 � 11; 9,5
3
.
f x
�f x 0
0��
� x � 1;0;1
2
mx
� x �0
Điều kiện:
f x
log
x�
f x mx �
mx 3 f x
2
�
�
mx
Xét:
.
� log f x log x 1 xf x f x log mx 2 log x 1 mx 3 mx 2
2
� log �
mx 2 x 1 �
x 1 f x �
�
� x 1 f x log �
�
� mx x 1 .
Điều kiện bổ sung: x 1 0 � x 1 .
0; � , khi đó:
trên
0; � .
Suy ra: g là hàm tăng trên
Xét hàm số
g t log t t
g�
t
1
1 0, t � 0; �
t ln10
.
Tuyển chọn các bài toán VD-VDC | 357
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
LOGARIT
Khi đó:
CHUN ĐỀ: MŨ VÀ
x 1 f x mx 2 x 1 � f x mx 2 .
Dựa vào đồ thị, để hàm số
m 0.
y f x
2
và y mx cắt nhau có 2 điểm có hồnh độ dương thì
m � 2021; 2021
Kết hợp với đề bài: m �� và
, ta được 2021 giá trị của m thỏa yêu cầu đề
bài.
Câu 20: Điều kiện: x 2 0 � x 2 .
1
2
log 21 x 2 4 m 5 log 1
8m 4 0
x
2
2
2
Ta có
2
� 4log 1 x 2 4 m 5 log 1 x 2 8m 4 0
2
� log
2
1
2
2
x 2 m 5 log 1 x 2 2m 1 0 1
2
.
�3 �
x ��
;6 � t � 3;1
�2 �
�
2
Đặt
, với
.
2
t m 5 t 2m 1 0
Phương trình trở thành
� t 2 mt 5t 2m 1 0 � m t 2 t 2 5t 1
t log 1 x 2
t 2 5t 1
m 2
Nhận thấy t 2 không là nghiệm nên t 2
.
t 2 5t 1
t 2 trên 3;1 .
Xét hàm số
t 2 4t 9
y�
0, t � 3;1 \ 2
t
2
t 2
Ta có
.
Bảng biến thiên :
y t
�3 �
;6 �
�
Để phương trình ban đầu có nghiệm thuộc � 2 �� Phương trình có nghiệm thuộc đoạn
3;1 .
� 7�
m ��
�; �� 5; �
� 3�
Suy ra
.
Câu 21:
Chọn A
1
2
2
log 2 a log 2 � log 2 a log 2 � ab 2 4
b
b
Do a, b là các số thực dương và 2
.
Đặt
t 4a 3 b 3 4 a 3
358 | Phan Nhật Linh
b3 b3
�3 3 a3b6 3ab 2 12
2 2
.
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
LOGARIT
Khi đó
P 4a 3 b 3 4 log 2 4a 3 b3 t 4 log 2 t f (t )
f�
(t ) 1
Ta có
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ
.
4
0, t �12
t ln 2
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của f (t ) là f (12) 12 4 log 2 12 12 4(2 log 2 3) 4 4 log 2 3 .
P 4a 3 b3 4log 2 4a 3 b3
Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Từ đó ta có x y 4, x 3. Tổng x y z bằng 11.
Câu 22: Chọn A
là 4 4 log 2 3 .
2
� x 2 4 m 1
Điều kiện: x 4 x m 0
.
2
x � 1;5
1 �x�
5 �1���
x 2 3
Với mọi
, suy ra:
1 và 2 suy ra: 4 m 0 � m 4 * .
Từ
0
x
2
9 2
2
.
x2 4 x m
log 3 2
�2 x 2 7 x 7 m
x x2
Ta có
� log 3 x 2 4 x m log3 x 2 x 2 �2 x 2 7 x 7 m
� log 3 x 2 4 x m x 2 4 x m �log 3 3 x 2 x 2 3 x 2 x 2
Xét hàm số
f�
t 1
f t t log 3 t
trên
.
**
0; � , ta có:
1
0 t � 0; �
f t
0; � .
t ln t
, suy ra hàm số
đồng biến trên
** � f x 2 4 x m �f 3x 2 3x 6
Ta có:
� x 2 4 x m �3x 2 3x 6
� 2 x 2 7 x 6 �m 3 .
3 nghiệm đúng với mọi x � 1;5 .
Ta tìm điều kiện để bất phương trình
�7
�
; ��
2
�
g x 2x 7x 6
�nên đồng biến
Xét hàm số
là hàm số bậc hai đồng biến trên � 4
x � 1;5
trên đoạn
Suy ra
3
, suy ra:
g x �g 1 15
.
m min g x g 1 15
x � 1;5 ۣ
1;5
nghiệm đúng với mọi
.
* , suy ra m � 5; 6;...;14;15 . Có 11 giá trị nguyên của m .
Kết hợp điều kiện
Câu 23: Chọn C
5 x y 25xy x 2 y 2 1 xy 53 xy 1 0 � 5 x y
2
Ta
� 5x
có:
2
y2
x 2 y 2 5 xy 1 xy 1
2
2 xy
5 xy 1 x 2 y 2 xy 1
1 .
t
0; � có y� 5t.ln 5 1 0, t � 0; � .
Xét hàm số y 5 t trên
Phương trình
1 �x 2 y 2 xy 1
2xy
xy 1
x
y
2
1
2 xy � 3 �xy �1
.
Tuyển chọn các bài toán VD-VDC | 359
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
LOGARIT
P x 2 y 2 3x 2 y 2 xy 1 3 x 2 y 2 2 xy 2 xy 1
2
Ta có:
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ
2
2
.
1 �1 �
�1 �
;1�
� t ��
;1�
2
�
�
y
2
t
2
t
1
y
4
t
2
0
3
2
3 �.
�
�
�
Xét hàm số
trên
có
� 1� 1
�1 � 3
1
3
y�
�
y � �
m
M
y
1
1
suy ra
9 và
2.
Ta có: � 3 � 9 , �2 � 2 ,
1
3 10
3m 2 M 3. 2.
9
2 3 .
Vậy
Câu 24: Chọn A
log 5 x 2 1 log 5 x 2 4 x m 1
� log 5 x 2 1 1 log 5 x 2 4 x m
� log 5 5 x 2 5 log 5 x 2 4 x m
�
�
�
5x2 5 x2 4 x m
4x2 4x 5 m 0
m 4x2 4x 5
�
�
�
� �2
� �2
��
*
m x2 4x
�x 4 x m 0
�x 4 x m 0
�
Vì khoảng
2;3 thuộc tập nghiệm của bất phương trình nên * trở thành
�
m 4 x 2 4 x 5, x � 2;3
�
�
m x 2 4 x,
x � 2;3
�
Đặt
1
2
f x 4 x 2 4 x 5 � f ' x 8 x 4, f ' x 0 � x
1
4
1 ۳ m 13
g x x 2 4 x � g ' x 2 x 4, f ' x 0 � x 2
Dựa vào bảng biến thiên ta có
Đặt
Dựa vào bảng biến thiên ta có
Câu 25: Chọn A
360 | Phan Nhật Linh
2 ۳
m 12
. Vậy
* � 12 �m �13 .
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
LOGARIT
Xét bất phương trình
CHUN ĐỀ: MŨ VÀ
log 3 x 4 y �log 2 x y
�x 4 y 0
�
�x y 0
�x y �1
�x, y �� � �
�x, y �� .
Điều kiện xác định: �
log 3 x 4 t x �log 2 t
Đặt t x y ta được t �1 . Bất phương trình trở thành
x �� có tối thiểu 64 y �� thoả nên có tối thiểu 64 số nguyên t t �1 thoả.
Với mỗi
1
y f t log 3 x 4 t x log 2 t log 3 x 4 t x log 2 t
2
Xét hàm số
,
f�
t
vì
1
1
0, x, t �1
2 x t x ln 3 t ln 2
4
nên
f t
x 4 x 1 x x 1 x 2 x 1 1 �1
Ta nhận thấy
, do đó
Do đó phương trình ln nhận nghiệm t 1, x ��.
x �� có tối thiểu 64 y �� thì
Suy ra để mỗi
f 64 �0 �
nghịch biến trên
1; � .
log 3 x 4 x 1 �log 3 1 0
.
x �27
�
1
x 4 x 64 �312 � �
log 3 x 4 x 64 log 2 64 �0
x �27 .
�
�
2
x � 2021; 27 � 27; 2021
ta được
.
x � 2021; 2022
Vậy có 3990 số nguyên
thoả mãn.
Câu 26: Chọn A
Điều kiện x y 0
Kết hợp
x � 2021; 2021
ln x y 2020 x ln x y 2020 y e 2021
x
Ta có:
y
� x y ln x y 2020 x y e 2021 � ln x y 2020
e 2021
0 *
x y
e 2021
1 e 2021
�
f t ln t 2020
f t
0, t 0
t , có
t
t
Xét hàm
Do đó
f t
Suy ra
* � f x y 0
đồng biến trên khoảng
0; �
f e 2021 � x y e 2021 � y x e 2021
P e 2021x 1 x e 2021 2021x 2 g x
Khi đó
g�
x e2021x 2022 2021x 2021e2021 4042 x
�
g�
x e2021x 2021.2022 20212 x 20212 e 2021 4042
�e 2021x 2021.2022 20212 x 20212 e 2021 4042 0, x � 1;1
Nên
Mà
1;1
nghịch biến trên đoạn
g�
1 e2021 2021 0, g �
0 2022 2021e2021 0
g�
x
g x0 0
và khi đó
Max g x g x0
1;1
nên tồn tại
x0 � 1; 0
sao cho
x � 1; 0
. Vậy P lớn nhất tại 0
.
Tuyển chọn các bài toán VD-VDC | 361
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
LOGARIT
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ
Câu 27: Chọn B
Ta có
2 1 x 2y
2
log 2 x 2 y 2log 2 x 2 y 2 2 xy x 2 x y 4 x 4 y
2
1
2
2
� 1 2 x 2 y x 2 y log 2 x 2 y log 2 �
x y 2x 2 y
x y x�
�
�
2
2
2
� 1 log 2 x 2 y 2 x 2 y log 2 �
x y x
x y x�
�
�
2
2
� log 2 2 x 2 y 2 x 2 y log 2 �
�
x y x�
x y x�
�
��
�
Xét hàm số
g t log 2 t t
Suy ra hàm số
Từ
với t 0 , có
y g t log 2 t t
1 � g 2
1
1 0, t 0
t.ln 2
.
đồng biến trên khoảng
g�
t
0; � .
x 2y g x y x � 2 x 2y x y x
2
2
� x 2 y 2 x 2 y x y 2 x y
2
Xét hàm số
h u u2 u
Suy ra hàm số
Từ
2 � h
h�
u 2u 1 0, u 0 .
với u 0 , có
y h u u2 u
đồng biến trên khoảng
0; � .
x 2y h x y � x 2y x y � x 2y x y
2
� x 2 2 xy y 2 x 2 y � y 2 2 x 1 y x 2 x 0
Ta coi phương trình là phương trình bậc hai ẩn y , khi đó: Phương trình có nghiệm
� 0���
���
x 1
x 2
y
2
x
0
x 1 0
x 1
.
Do x là số nguyên không âm nên x 0 hoặc x 1 .
Với x 0 , suy ra
�y 0
�y 2 .
3 � y 2 2 y 0 � �
3 � y 2 0 � y 0
x
1
Với
, suy ra
.
Vậy có 3 cặp
Câu 28: Chọn A
x; y
thoả mãn là
0;0 , 0; 2 , 1;0 .
�
log x2 y 2 4 4 x 2 y m �1 �
4 x 2 y m �x 2 y 2 4
�
��
�
4x 3y 1 0
4x 3y 1 0
�
�
Ta có:
2
2
�
x 2 y 1 �m 1
�
��
4x 3y 1 0
�
Xét
1 : x 2
Khi
m 1 0 � 1
362 | Phan Nhật Linh
2
y 1 �m 1
1
2
*
2
.
vô nghiệm nên m 1 loại.
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
LOGARIT
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ
2
�
x 2 0 �x 2
�
m 1 � 1 � x 2 y 1 �0 � �
��
2
�y 1
y
1
0
�
�
Khi
thay vào
thỏa mãn nên m 1 loại.
2
2
2
không
1 là miền trong của đường trịn C có tâm
Khi m 1 thì nghiệm của bất phương trình
I 2; 1
và bán kính R m 1 .
Xét d : 4 x 3 y 1 0 .
d I,d
4.2 3. 1 1
12
5
42 3
Khoảng cách từ tâm I đén đường thẳng d là:
.
* có nhiều hơn một cặp số x; y � d cắt đường tròn C tại 2 điểm phân biệt
Hệ
12
119
d I,d R �
m 1 � m
5
25 .
2
� m � 5;6;...; 2021
Mà m nguyên và m �2021
.
Vậy có 2017 số nguyên m thảo mãn.
Câu 29:
Chọn B
�2x2 y2 3t 1
�
�
log3 2x2 y2 log7 x3 2y3 log z t � �x3 2y3 7t 2
�
z 10t
3 .
�
Ta có
2t
t
3
2 � x 7 thay vào 1 ta được
Nếu y 0
2.7 3 3t � t log
3
3
49
2
log
do đó z 10
3 2
3 49
.
Nếu y �0
2
Từ
1 & 2 suy ra
�2x2 y2
�
�
�x3 2y3
�
3
2
x 2y
�
49
2x y
27t
3
2
t
u 2
f u
2u 1
3
x
u,u � 3 2
y
Đặt
. Xét
Ta có bảng biến thiên
3
2
2
2
3
3
�
�x � �
�
� � 2�
t
t
�
�y � �
�49 �
�49 �
�
�
� ��
� �, *
3
2
�27 � � �x �
� �27 �
�
2� � 12 �
� �y �
�
�
�
.
2
3
� f�
u
6u u3 2 u 4
2u 1
2
4
�
u 0
�
0� �
u 3 2
�
u 4
�
.
Tuyển chọn các bài toán VD-VDC | 363
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022
LOGARIT
Nhận xét với mỗi giá trị
u
CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ
tương ứng với duy nhất 1 cặp
t
�
1 �49 �
� �� � 4
8 �27 �
�
�
t
�
�
49
�
4
�
0 � �
�
� �27 � 33
u cầu bài tốn tương đương
Vì z là số nguyên nên có 211 giá trị thỏa mãn.
Câu 30: Chọn C
Điều kiện: x > 0
Với
điều
kiện
x, y
thỏa mãn bài tốn do đó
1�
� log49 �
log 49 4
��
�8 �
27
�
10
�z 10 27
�
�4 �
log 49 � �
�
�33�
0 z 10 27
�
�
.
�
�
log 2 ( x + 3) - 1 < 0
�
�
�
�
�
log 2 x - y > 0
�
�
��
�
�
log 2 ( x + 3) - 1 > 0
�
�
�
�
�
log 2 ( x + 3) - 1�
.( log 2 x - y ) < 0 �
log 2 x - y < 0
�
�
�
�
trên:
�
�
�
log 2 ( x + 3) <1 �
x +3 < 2
x <- 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
y
y
�
�
�
�
�
�
log 2 x > y
2 y < x <- 1 ( sai )
�
�
�x > 2
�x > 2
�
�
��
��
�
�
� - 1< x < 2y
�
�
�
y
�
�x >- 1 �
�
x +3 > 2
log 2 ( x + 3) >1 �
�
�
- 1< x < 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
y
y
�
�
�
�
�
�
log 2 x < y
�
�x < 2
�x < 2
�
�
�
y
So điều kiện ta được: 0 < x < 2
2 y 2021
Ứng với mỗi y ln có ít hơn 2021 số ngun x ۣۣۣ
y �{1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10}
Vì y là số nguyên dương nên
Câu 31:
y
log 2 2021
Chọn A
x3 a
Xét phương trình:
2021
3log x 1
a
3log x 1
2020
x 2020 , điều kiện: x 1 ,
3
� x3 a 3log x1 log 2021 a 3log x1 2020 log 2021 x 3 2020
� x3 log 2021 x 3 2020 a
Xét hàm số
f '(t ) 3t 2
364 | Phan Nhật Linh
3log x 1
log 2021 a
f (t ) t 3 log 2021 t 3 2020
, trên
3t 2
0, t 0
t 3 2020 ln 2021
3log x 1
2020
0;�
0;�
nên hàm số f (t ) đồng biến trên
