Chủ đề 3 PHƯƠNG PHÁP đổi BIẾN số tìm NGUYÊN hàm
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (229.61 KB, 21 trang )
CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN TÌM NGUYÊN HÀM
DẠNG 1. ĐỔI BIẾN SỐ HÀM SỐ VÔ TỈ (Đặt t = hàm theo biến x)
Mẫu 1: Đổi biến hàm số vô tỷ đơn giản
Nguyên hàm
f x dx trong đó f x
g x ta đặt t n g x t n g x
n
nt n 1 dt g x dx . Khi đó
f x dx h t dt.
Mẫu 2: Nguyên hàm dạng f a dx.
x
Ta đặt t a x dt a x ln adx dx
Mẫu 3: Nguyên hàm dạng
Ta đặt t ln x dt
f t .dt
dt
.
f a x dx
t.ln a
t.ln a
f ln x dx
x
1
dx. Khi đó
x
.
f ln x dx
x
f t dt.
Chú ý: Nếu nguyên hàm Mẫu 2 và Mẫu 3 có chứa căn thức, ta nên đặt t bằng căn thức.
Ví dụ với nguyên hàm I
ln x.dx
x ln 2 x 1
ta nên đặt t ln 2 x 1 t 2 ln 2 x 1.
1
1
tdt
2tdt 2 ln x. dx tdt ln x. dx. Khi đó I
dt t C ln 2 x 1 C .
x
x
t
Ví dụ 1: Tìm các nguyên hàm sau:
a) I x 3 x 2 4dx.
c) I
dx
x 1 x
x
b) I x
d) I
.
2
4 dx.
1
x x3 9
Lời giải
a) Đặt t x 2 4 t 2 x 2 4 2tdt 2 xdx tdt xdx.
Khi đó I x 2 x 2 4 xdx t 2 4 t.tdt t 4 4t 2 dt
t 5 4t 3
C
5
3
x
2
4
5
5
4
x
2
3
4
3
C.
b) Đặt t x 2 4 t 2 x 2 4 2tdt 2 xdx tdt xdx.
5
Khi đó I x x 2 4 dx t 3 .tdt t 4 dt t C
5
3
c) Đặt t x t 2 x 2tdt dx
x
2
4
5
5
C.
3
dx.
Khi đó I
2 t 1 t dt
2tdt
2dt
1
1
2
dt.
2
t t 1
t t 1
t 1 t
t t 1
2 ln t 2 ln t 1 C 2 ln
t
C 2 ln
t 1
x
x 1
C.
d) Đặt t x 3 9 t 2 x 3 9 2tdt 3 x 2 dx
Ta có: I
1
x x3 9
dx
3x 2
3x3 x3 9
dx
2tdt
3 t 2 9 .t
2
dt
2
dt
1 t 3 t 3 dt 1 1
1
2
3 t 9 3 t 3 t 3 9
9 t 3 t 3
t 3 t 3
1 t 3
1
ln
C ln
9 t 3
9
x3 9 3
x3 9 3
C.
Ví dụ 2: Tìm các ngun hàm sau:
a) I
2e x 1
dx.
ex 1
b) I
ln 2 x 1
dx.
x ln x
c) I
ln x. 2 ln x 1
dx.
x
d) I
ln x
x. ln x 2
dx.
Lời giải
a) Đặt t e x dt e x dx dt tdx
Khi đó I
2t 1 dt 2t 1 dt d t 2 t
2
2
t t 1
t t
t t
ln t 2 t C ln e 2 x e x C
ln e x ln e x 1 C x ln e x 1 C.
Cách 2: I
d e x 1
ex
2e x 1
ex ex 1
e x dx
dx
dx
1
dx
ex 1
e x 1 e x 1 dx
ex 1
x ln e x 1 x C.
ex 1
b) Đặt t ln x dt
Khi đó I
dx
x
t2 1
t2
ln 2 x
1
dt t dt ln t C
ln ln x C.
t
2
2
t
2
c) Đặt t 2 ln x 1 t 2ln x 1 2tdt
Khi đó: I
2dx
dx
tdt .
x
x
t2 1
1
t5 t3
tdt t 4 t 2 dt C
2
2
10 6
2 ln x 1
t
10
5
2ln x 1
6
3
C.
2
d) Đặt t ln x 2 t ln x 2 2tdt
dx
x
ln x 2
2
3
2
Khi đó I t 2 .2tdt 2 t 2 2 dt 2t 4t C
t
3
3
4 ln x 2 C.
3
Ví dụ 3: Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
a) I1
xdx
4x 1
x 2 dx
c) I 3
b) I 2 x 3 x 2 2dx
1 x
Lời giải
t 2 1 tdt
2tdt 4dx
.
xdx
4
2 1 t 2 1 dt
2
a) Đặt t 4 x 1 t 2 4 x 1
I1
t t
t
8
4x 1
x
4
1 t3
1
t C
8 3
8
4 x 1
3
3
4 x 1 C.
x 2 t 2 2 2 xdx 2tdt
x3 dx x 2 .xdx t 2 2 .tdt
b) Đặt t x 2 2 t 2 x 2 2
x
t5
t3
x 2 2.x3 dx t. t 2 2 tdt t 4 2t 2 dt 2. C
5
3
I2
2
2
5
5
x
2
2
2
3
C
3
dx 2tdt
1 t 2 tdt
x 2 dx
t
1
x
t
1
x
x
1
t
I
2
c) Đặt
2
3
1 x
2 2
t
x 1 t
2
2
2 1 t
I3
2 2
2
t 5 2t 3
dt 2 t 2t 1 dt 2
t C 2
5
3
4
2
t5
t3
x 2 2.x 3 dx t. t 2 2 tdt 2. C
5
3
x
2
2
5
5
2
1 x
5
x
2
2
3
Ví dụ 4: Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
a) I 4
x 1
dx
x
b) I 5
Lời giải
5
dx
1 1 3x
2 1 x
3
3
C.
3
1 x C
2tdt dx
2t 2 dt
2
2
I
2
a) Đặt t x 1 t x 1
4
2
2
t 1
t 1 t 1
x t 1
I 4 2t
t 1
C 2 x 1 ln
t 1
x 1 1
x 1 1
dt
C
2tdt 3dx
2tdt
2
1
1
b) Đặt t 1 3x t 1 3 x
t 2 1 I5
dt
3 1 t 3 t 1
x
3
2
I5
2
2
t ln t 1 C
3
3
1 3 x ln 1 3 x 1
Ví dụ 5: Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
a) I 6
e 2 x dx
b)
1 ex 1
I7
dx
x 1 x
2
Lời giải
2t t 2 1 dt
2tdt e x dx
2
2
I
2
t
t
2
a) Đặt t e 1 t e 1 x
6
dt
2
1 t
t 1
e t 1
x
2
x
t3 t2
2 2t 2 ln t 1 C 2
3 2
e
x
1
3
3
ex 1
2 e x 1 2 ln
2
e 1 1 C
x
2tdt dx
2tdt
2
2
I7
C
C
b) Đặt t x 2
2
1 t
1 x
t 1 t
t x
Ví dụ 6: Tìm ngun hàm I x x 1dx.
A. I
C. I
2
x 1 3x 2 x 1 C.
3
2 x 1
2
15
x 1
C.
B. I
D. I
2 x 1 3 x 2 x 1
15
3 x 1 3 x 2 x 1
Lời giải
Đặt t x 1 t 2 x 1 2tdt dx
Ta có: I t 2 1 t.2tdt 2t 4 2t 2 dt
2 x 1 3x 2 x 1
15
C. Chọn B.
2t 5 2t 3
2t 3
C
3t 2 5
5
3
15
5
C.
C.
2x
Ví dụ 7: Tìm ngun hàm I
x2
dx.
A. I
4
x 4 x 2 C.
3
B. I
2
x 2 x 2 C.
3
C. I
2
x 4 x 2 C.
3
D. I
4
x 2 x 2 C.
3
Lời giải
Đặt t x 2 t 2 x 2 2tdt dx
Khi đó I
2 t 2 2
t
.2tdt 4t 2 8 dt
4t 3
4
8t C t t 2 6 C
3
3
4
x 2 x 4 C. Chọn A.
3
Ví dụ 8: Tìm ngun hàm I
A. I ln
dx
x23 x2
.
x 2 3 C.
C. I x 2 ln
B. I 2 ln
x 2 3 C.
D. I
x 2 3 C.
2
x2
ln
C.
3
x2 3
Lời giải
Đặt t x 2 t 2 x 2 2tdt dx
Khi đó I
2tdt
2dt
2 ln t 3 C 2 ln
t3
t 3t
2
Ví dụ 9: Tìm nguyên hàm I
xdx
1 x 1
x 2 3 C. Chọn B.
.
A. I
2
3
x 1
3
x C.
B. I
2
3
x 1
3
2 x 1 C.
C. I
3
2
x 1
3
x 1 C.
D. I
1
3
x 1
3
x 1 C.
Lời giải
Đặt t x 1 t 2 x 1 2tdt dx
Khi đó I
t
2
1 .2tdt
1 t
2
3
x 1
3
t 1 .2tdt 2t 2 2t dt
x 1 C
2
3
x 1
3
2t 3 2
t C
3
x C. Chọn A.
Ví dụ 10: Tìm ngun hàm I
A. I ln
dx
e 1
x
ex
C.
ex 1
B. I ln
e2 x
C. I ln x
C.
e 1
ex 1
C.
ex
D. I 2 ln
ex
C.
ex 1
Lời giải
x
x
Đặt t e dt e dx tdx dx
Khi đó I
dt
t
t 1 t
dt
1
t
1
dt
C
dt ln
t t 1
t 1
t t 1
t t 1
ln
ex
ex
C
ln
C. Chọn A.
ex 1
ex 1
Ví dụ 11: Giả sử F x là một nguyên hàm của hàm số f x
ex
.
e 2 x 2e x 1
Biết rằng F 0 0, tìm F x
A. F x
1
1
.
e 1 2
x
B. F x ln e 1 ln 2.
C. F x
1
1
.
e 1 2
x
D. F x ln e 1 ln 2.
x
x
Ta có: F x
Lời giải
e x dx
. Đặt t e x dt e x dx
e 2 x 2e x 1
d t 1
e x dx
dt
1
2
C
Khi đó 2 x
x
2
e 2e 1
t 2t 1
t 1 t 1
Do đó F x
1
1
1
C , do F 0 0
C 0 C
2
2
e 1
Suy ra F x
1
1
. Chọn C.
e 1 2
x
x
Ví dụ 12: Giả sử F x là một nguyên hàm của hàm số f x e x 1.e 2 x . Biết rằng F 0 0, tìm F x
A. F x
C. F x
2 e x 1 e x 1 3e x 2 4 2
15
.
2 e x 1 e x 1 5e x 2 28 2
15
B. F x
.
D. F x
2 e x 1
2
ex 1 8 2
15
.
2 e x 1 e x 1 3e x 2 4 2
15
.
Lời giải
Ta có: I e x 1.e 2 x dx
Đặt t e x 1 t 2 e x 1 2tdt e x dx
5
3
2t 3 3t 2 5
Khi đó I t t 2 1 .2tdt 2t 4 2t 2 dt 2t 2t C
C
5
3
15
F x
2 e x 1 e x 1 3e x 2
15
Lại có: F 0
Vậy F x
C
2.2 2
4 2
C 0C
15
15
2 e x 1 e x 1 3e x 2 4 2
15
. Chọn A.
Ví dụ 13: Tìm nguyên hàm của hàm số f x
A.
1
2 ln ln x 2 C .
ln x 2
C. ln x 2
ln x
x 2 ln x
2
B. ln ln x 2
2
C.
ln x 2
D.
2
C.
ln x 2
1
2 ln ln x 2 C.
ln x 2
Lời giải
1
dx
x
Đặt t ln x dt
Khi đó
ln xdx
x 2 ln x
2
tdt
t 2
2
ln t 2
t 22
t 2
2
1
2
dt
dt
2
t 2 t 2
2
2
C ln ln x 2
C. Chọn B.
t2
ln x 2
DẠNG 2. ĐỔI BIẾN SỐ HÀM VÔ TỈ (Đặt x = hàm theo biến t)
Mẫu 1: Nếu f x có chứa
a 2 x 2 ta đặt x a sin t t ;
2 2
dx a cos tdt
2
2
2
a a sin t a cos t
Mẫu 2: Dạng
x 2 a 2 thì đổi biến số x a tan t , t ;
2 2
adt
dx cos 2 t
a 2 x 2 a 2 a 2 tan 2 t a
cos t
Mẫu 3: Dạng
x 2 a 2 thì ta đặt x
a
a
(hoặc x
).
sin t
cos t
a cos tdt
dx sin 2 t
x 2 a 2 a 2 cot 2 t
Mẫu 4: Dạng
x
2
dx
thì ta đặt x a tan t.
a2
Mẫu 5: Nếu f x có chứa
dx d a cos 2t 2a.sin 2tdt
ax
a x
thì đặt x a cos 2t
1 cos 2t
cos 2 t
ax
1 cos 2t
sin 2 t
ax
Một số kết quả quan trọng cần lưu ý khi giải trắc nghiệm:
x
2
x
2
dx
1
x
arctan C
2
a
a
a
a 0
dx
1
xa
ln
C
2
2a x a
a
dx
x a
2
ln x x 2 a C
dx
a 2 x2
arcsin
x
C
a
a 0
a 0
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I1
c) I 3
dx
4x
2
x 2 dx
1 x
2
; a 2
b) I 2 1 x 2 dx ; a 1
; a 1
d) I 4 x 2 9 x 2 dx; a 3
Lời giải
dx d 2sin t 2 cos tdt
dx
2cos tdt
I1
dt t C
a) Đặt x 2sin t
2
2
2
2 cos t
4x
4 x 4 4sin t 2 cos t
x
x
I1 arcsin C
Từ phép đặt x 2sin t t arcsin
2
2
dx d sin t cos tdt
b) Đặt x sin t
2
2
1 x 1 sin t cos t
2
Khi đó I 2 1 x dx cos t.cos tdt
1 cos 2t
1
1
t 1
dt dt cos 2tdt sin 2t C.
2
2
2
2 4
cos t 1 sin 2 t 1 x 2
x
sin
t
sin 2t 2sin t.cos t 2 x 1 x 2
Từ
t arcsin x
I2
arcsin x 1
x 1 x2 C
2
2
dx d sin t cos tdt
c) Đặt x sin t
2
2
1 x 1 sin t cos t
Khi đó, I 3
x 2 dx
1 x2
sin 2 t.cos tdt
1 cos 2t
1
1
sin 2 tdt
dt t sin 2t C
cos t
2
2
4
cos t 1 sin 2 t 1 x 2
x
sin
t
sin 2t 2sin t.cos t 2 x 1 x 2
Từ
t arcsin x
I3
arcsin x 1
x 1 x2 C
2
2
dx d 3sin t 3cos tdt
d) Đặt x 3sin t
2
2
9 x 9 9sin t 3cos t
I 4 x 2 9 x 2 dx 9sin 2 t.3cos tdt 81 sin 2 t.cos 2 tdt
81
81 1 cos 4t
sin 2 2tdt
dt
4
4
2
81 1
1
81 t 1
dt cos 4tdt sin 4t C
4 2
2
4 2 8
x2
2
cos t 1 sin t 1
2x
x2
9
sin 2t
1
Từ x 3sin t
3
9
t arcsin x
3
2
2 x2
2x
x2 2 x2
x
sin 4t 2sin 2t.cos 2t 2.
1 . 1
Mà cos 2t 1 2sin t 1 2 1
9
3
9
9
3
2
x
arcsin
2
2
81
3 x 1 x . 1 2 x
I
Từ đó ta được 4
4
2
6
9
9
C.
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I1
dx
; a 1
2
x 1
b) I 2 x 2 2 x 5dx
Lời giải
c) I 3
x 2 dx
x2 4
; a 2
dt
1 tan 2 t dt
1 tan 2 t dt
dx d tan t
2
I1
dt t C
cos t
a) Đặt x tan x
2
1
tan
t
2
2
1 x 1 tan t
I1 arctan x C.
Từ giả thiết đặt x tan t t arctan x
x 1
b) Ta có I 2 x 2 2 x 5dx
2
t x 1
4d x 1
I t 2 4dt
2du
dt d 2 tan u cos2 u
2du
du
cos udu
I2
Đặt t 2 tan u
2
cos u
cos 2 u
4 t 2 4 4 tan 2 u 2
.cos 2 u
cos u
cos u
d sin u
1 sin u
2
1 1 sin u 1 sin u
1 d sin u 1 d sin u 1 1 sin u
d sin u
ln
C.
2 1 sin u 1 sin u
2 1 sin u 2 1 sin u 2 1 sin u
Từ phép đặt t 2 tan u tan u
Từ đó ta được I 2
t
1
t2
4
t2
2
2
1
sin
u
1
cos
u
1
2
4
cos 2 u
4 t2 4 t2
1 1 sin u
1
ln
C ln
2 1 sin u
2
1
1
t
4 t 2 C 1 ln
t
2
4 t2
1
1
x 1
x 2 2 x 5 C.
x 1
x2 2x 5
2dt
2
dx d 2 tan t cos 2 t 2 1 tan t dt
c) Đặt x 2 tan t
x 2 4 4 tan 2 t 4
I3
4 tan 2 t.2 1 tan 2 t dt
4
2 1 tan 2 t
4 tan 2 t 1 tan 2 tdt 4
sin 2 t
dt
cos3 t
sin 2 t.d sin t
sin 2 t.cos tdt
4
1 sin 2 t 2
cos 4 t
I3 4
Đặt u sin t
2
1 1 u 1 u
u
du 4
du
du 4
1 u
2 1 u 1 u
2
u2
1 u
2 2
2
1
du
du
2du
1
du
2
2
1 u 1 u
1 u 1 u
1 u
1 u
d 1 u
1 u
2
d 1 u
1 u
2
1 u 1 u du
1 u 1 u
1
1
1
1
1
du
du
1
du
1 u 1 u
1 u 1 u
1 u
1 u
1 u 1 u
1
1
1
1
u 1
ln 1 u ln u 1 C
ln
C
1 u 1 u
u 1 1 u
u 1
I3
1
1
u 1
1
1
sin t 1
ln
C
ln
C.
u 1 1 u
u 1
sin t t sin t 1
sin t 1
x
1
x2
4
x2
2
2
2
Lại có x 2 tan t tan t
1 tan t 1
cos t
sin t
2
4
cos 2 t
4 x2
4 x2
x
sin t
x
4 x2
1
I3
x
4 x2
1
1
x
4 x2
1
ln
1
4 x2
x
1
4 x2
C.
Ví dụ 3: Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
a) I1
dx
x2 1
dx
b) I 2
.
x2 x2 4
Lời giải
c) I 3
.
dx
x2 2x 2
1 cos tdt
cos tdt
dx d sin t sin 2 t
1
dx sin 2 t
a) Đặt x
sin t
1
x2 1
x 2 1 cot t
1
2
sin t
I1
dx
x2 1
d cos t
cos tdt
sin tdt
2
2
sin t.cot t
sin t
1 cos 2 t
d cos t
1 cos t 1 cos t
Từ phép đặt x
1 1 cos t 1 cos t
1 1 cos t
d cos t ln
C.
2 1 cos t 1 cos t
2 1 cos t
1
1
cos 2 t 1 sin 2 t 1 2 cos t
sin t
x
2 2 cos tdt
dx d sin t sin 2 t
2
b) Đặt x
sin t
4
x2 4
4
sin 2 t
Khi đó,
Từ x
c)
I2
dx
x
2
x 4
2
dx
x2 2x 2
2 cos tdt
dx sin 2 t
x 2 4 2 cos t x 2 x 2 4 8cot t
sin 2 t
2 cos tdt
1
1
sin tdt cos t C.
8cot
t
4
4
sin 2 t. 2
sin t
2
4
cos 2 t 1 sin 2 t 1 2 cos t
sin t
x
I3
x2 1
x2 1
1
x
I1 ln
C.
2
x
2
x 1
1
x
1
d x 1
x 1
2
3
t x 1
I3
x2 4
I2
x
dt
t2 3
x2 4
C.
4x
dt
t
2
3
2
.
.
3 3 cos udu
dt d
sin
u
sin 2 u
3
Đặt t
sin u
2
3
3
t 3
sin 2 u
dt
I3
t2 3
3 cos udu
2
sin u. 3 cot u
3 cos udu
dt
sin 2 u
2
t 3 3 cot u
d cos u
d cos u
sin udu
2
2
sin u
1 cos u
1 cos u 1 cos u
1 1 cos u 1 cos u
1 1 cos u
d cos u ln
C.
2 1 cos u 1 cos u
2 1 cos u
t2 3
x2 2 x 2
1
3
3
t 3
1
1
t
x 1
t
cos 2 u 1 2 cos t
I 3 ln
C ln
C.
2
2
sin u
t
2
2
t
t 3
x 2x 2
1
1
t
x 1
1
2
Ví dụ 4: Cho nguyên hàm I x 2 1 x 2 dx. Bằng cách đặt x sin t t ; mệnh đề nào sau đây
2 2
là đúng?
A. I 1 cos 4t dt.
C. I
B. I 1 cos 4t dt.
t sin 4t
C.
8
32
D. I
t sin 4t
C.
8
32
Lời giải
dx cos tdt
Ta có: x sin t t ;
2
2
2 2 1 x 1 sin t cos t cos t
2
2
Khi đó I sin t.cos tdt
1
1
t sin 4t
sin 2 2tdt 1 cos 4t dt I
C. Chọn C.
4
8
8
32
Ví dụ 5: Cho nguyên hàm I x 2 9dx. Bằng cách đặt x
3
, với t 0; . Mệnh đề nào dưới
cos t
2
đây là đúng?
sin 2 t
A. I 9
dt.
cos3 t
Ta có I
sin 2 t
B. I 9
dt.
cos3 t
sin 2 t
C. I 9
dt.
cos 4 t
Lời giải
9
1
9
3
9d
1.
. sin t dt
3
2
2
cos t
cos t
cos 2 t
cos t
9
sin 2 t sin t
sin 2 t
.
dt
9
cos3 dt. Chọn B.
cos 2 t cos 2 t
sin 2 t
D. I 9
dt.
cos 4 t
Ví dụ 6: Tính nguyên hàm I
x
C.
2
A. I arcsin
dx
4 x2
.
x
C. I arccos C.
2
Lời giải
B. I x C .
D. I arcsin x C.
dx 2 cos tdt
Đặt x 2sin t t ;
2
2
2 2 4 x 4 sin t 2 cos t 2cos t
Khi đó I
2 cos tdt
x
dt t C arcsin C. Chọn A.
2 cos t
2
Tổng quát:
dx
a2 x2
arcsin
Ví dụ 7: Tính nguyên hàm I
A. I arcsin
x 1
5
x
C a 0
a
dx
.
1 x x2
C.
B. I arcsin
C. I arcsin 2 x 1 C.
D. I arcsin
2x 1
2 5
2x 1
5
C.
C.
Lời giải
Ta có: I
dx
1 x x
arcsin
2
dx
2
5 1
x
4 2
1
dx
2
2
5 1
x
4 2
1
2 C arcsin 2 x 1 C.
Chọn D.
5
5
2
x
Ví dụ 8: Tính nguyên hàm
A. I 2 tan 2 t C.
I
B. I
x 2 dx
1 x
2 5
tan 3 t
C.
3
bằng cách đặt x sin t t ; ta được:
2 2
C. I
tan 2 t
C.
2
D. I
Lời giải
dx cos tdt
.
Đặt x sin t t ;
2
2
2 2 1 x 1 sin t cos t cos t
Khi đó: I
sin 2 t.cos tdt
sin 2 t
1
tan 3 t
2
.
dt tan td tan t
C. Chọn B.
3
cos5 t
cos 2 t cos 2 t
tan 5 t
C.
5
Ví dụ 9: Tính nguyên hàm I
2
A. I 4 cos tdt.
1 x
dx bằng cách đặt x cos 2t
1 x
2
B. I 2 cos tdt.
t 0; 2 ta được:
2
C. I 4 sin tdt.
D. I 4
cos3 t
dt.
sin t
Lời giải
Đặt x cos 2t dx 2sin 2tdt 4sin t cos tdt.
Mặt khác
1 cos 2t
1 cos 2t
2cos 2 t
cos 2 t cos t cos t
sin t
sin t
2sin 2 t
sin 2 t
cos t
. 4sin t cos t dt 4 cos 2 tdt. Chọn A.
sin t
Khi đó I
Ví dụ 10: Tính nguyên hàm I
3
A. I tan xdx.
Đặt x 1
cos t
Lại có:
Do đó
1
x2 1
t 0; ta được.
dx bằng cách đặt x
cos t 2
x
2
B. I tan xdx.
Lời giải
cos t
sin t
t
0;
dx
dt
dt
2
2
cos t
cos 2 t
1
1 tan 2 t tan t tan t
cos 2 t
I
3
C. I cot xdx.
tan t sin t
.
dt tan 2 tdt.
2
1 cos t
Chọn B.
cos t
2
D. I cot xdx.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Xét I x3 4 x 4 3 dx . Bằng cách đặt u 4 x 4 3, hỏi khẳng định nào đúng?
5
A. I
1 5
u du.
4
B. I
1
u 5 du.
21
C. I
1
u 5du.
16
5
D. I u du.
Câu 2: Cho I x 1 x 2 dx. Đặt u 1 x 2 , hỏi khẳng định nào đúng?
10
10
A. I 2u du
10
B. I 2u du
Câu 3: Xét I
C. I
1 10
u du
2
D. I
1 10
u du
2
x
dx, bằng cách đặt t 4 x 1, mệnh đề nào sau đúng?
4x 1
1 t3
I
A.
t C .
8 3
1 t3
I
B.
t C.
4 3
1 t3
I
C.
t C .
8 3
1 t3
I
D.
t C.
4 3
Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số f x x 1 x 2 .
A.
1 2
x 1 x 2 C.
2
B.
1 2
x 1 x2
3
3
C.
C.
1
3
1 x2
3
C.
D.
1 2
x 1 x 2 C.
3
5
Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos x.sin x
1
6
A. cos x C
6
1 6
B. sin x C
6
C.
1
cos 6 x C
6
1
4
D. cos x C
4
Câu 6: Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x 2 x x 2 1 thỏa mãn F 1 6.
4
A. F x
C. F x
x 2 x 2 1
5
5
x 2 x 2 1
5
5
2
5
2
5
B. F x
x
D. F x
x
2
1
5
5
2
1
2
5
2
5
4
5
Câu 7: Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x x x 2 1 thỏa mãn F 0
9
A. F x
10
1 2
x 1 1
20
C. F x 2 x 2 1 1
10
B. F x
21
.
20
10
1 2
x 1 1
20
D. F x x 2 1 2
10
Câu 8: Tìm nguyên hàm của hàm số f x x 3 x .
5
1
6 3 x
C
A. 3 x
2
6
1
6 3 x
C
B. 3 x
2
7
1
6 3 x
C
C. 3 x
2
7
1
6 3 x
C
D. 3 x
2
7
Câu 9: Biết F x là một nguyên hàm của f x
ln x
1
2
ln 2 x 1 thỏa F 1 . Tính F e .
x
3
2
8
A. F e .
3
2
8
B. F e .
9
2
1
C. F e .
3
2
1
D. F e .
9
x
Câu 10: Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f x
8 x2
thỏa F 2 0. Tìm tổng các
nghiệm phương trình F x x.
A. 1 3
B. 2.
D. 1 3
C. 1.
Câu 11: Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x
2x
x x2 1
.
A. F x
2 3 2 2
x x 1 x 2 1
3
3
B. F x
2 3 2 2
x x 1 x 2 1
3
3
C. F x
2 3 2 2
x x 1 x 2 1
3
3
D. F x
2 3 2 2
x x 1 x 2 1
3
3
Câu 12: Hàm số f x
1
2
A. F e .
3
1
2
ln x ln 2 x 1
có 1 nguyên hàm F x là thỏa F 1 . Tìm F e .
3
x
8
2
B. F e .
3
8
2
C. F e .
9
Câu 13: Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x
ex
ex 3
1
2
D. F e .
9
thỏa F 0 27.
A. F x 2 e x 3 3
B. F x e x 3 3
C. F x 2 e x 3 3
D. F x e x 3 3
Câu 14: Hàm số f x
A. F 1 2
x3
2 x x2
1
có một nguyên hàm là F x thỏa F 1 . Tính F 1 .
3
B. F 1
1
3
C. F 1
Câu 15: Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x
5
3
D. F 1
x
2
thỏa mãn F 3 .
3
x2
A. F x
2
3
x 2
3
4 x 2 4.
B. F x
1
3
x 2
3
4 x 2 4.
C. F x
2
3
x 2
3
4 x 2 4.
D. F x
2
3
x 2
3
2 x 2 4.
Câu 16: Hàm số f x
A. F 1 2 ln 2.
1
x 1
3
5
có một nguyên hàm là F x thỏa F 0 2ln 2. Tính F 1 .
B. F 1 2 ln 2.
C. F 1 2.
Câu 17: Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x
1
2x 1 4
D. F 1 0.
thỏa F 1 2 4 ln 5.
A.
2 x 1 1 4 ln
2x 1 4
C.
7
2 x 1 1 ln
2
2x 1 4
B.
2 x 1 1 4 ln
D.
7
2 x 1 1 ln
2
2x 1 4
2x 1 4
x2
2
có một nguyên hàm là F x thỏa F 0 . Tính F 1 .
3
x 1
Câu 18: Hàm số f x
3
3
B. F 1 .
2
3 2
.
2
A. F 1
C. F 1
Câu 19: Tìm nguyên hàm của hàm số f x
1
2
A. sin C
2
x
2
D. F 1 .
3
2 2
.
3
1
2
cos .
2
x
x
1
2
B. cos C
2
x
C.
1
2
sin C
2
x
Câu 20: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x
D.
1
2
cos C
2
x
1
1
thỏa mãn F 0 ln 4. Tìm tập
3
e 3
x
x
nghiệm S của phương trình 3F x ln e 3 2.
A. S 2
B. S 2; 2
Câu 21: Giả sử
x 1 x
2017
A. 2a b 2017
dx
1 x
a
C. S 1; 2
a
1 x
b
b
B. 2a b 2018
Câu 22: Tìm nguyên hàm của hàm số f x
x
x
A. e ln e 1 C
x
C. ln e 1 C
1
x 1
2 x 1 x 1
x2
x 1
1
1 x
C
.
B.
C
Câu 25: Tìm nguyên hàm của hàm số f x
A. 2 1 x
D. 2 2 ln 1 x C
3
x 4 x 1 C
4
x
.
Câu 24: Tìm nguyên hàm của hàm số f x
C.
D. e 2 x e x C
B. 2 x 2 ln 1 x C
C. ln 1 x C
A.
D. 2a b 2020
e2 x
.
ex 1
A. 2 x 2ln 1 x C
C , với a, b là các số nguyên dương. Tính 2a b.
C. 2a b 2019
x
x
B. e ln e 1 C
Câu 23: Tìm nguyên hàm của hàm số f x
D. S 2; 1
D.
2x 1
1 x
2
x 4 x 1 C
3
x 1
1
x 1
C
.
B.
2
2 x 1 1 x C
3
C.
2
2 x 1 1 x C
3
D.
2
2 x 1 1 x C
3
LỜI GIẢI CHI TIẾT
4
3
3
Câu 1: Đặt u 4 x 3 du 16 x dx x dx
Khi đó I
1
du
16
1 5
1
u du u 5 du. Chọn C.
16
16
1
1 10
2
Câu 2: Đặt u 1 x du 2 xdx xdx du. Khi đó I u du. Chọn C.
2
2
2
Câu 3: Đặt t 4 x 1 t 4 x 1 4dx 2tdt dx
t
dt
2
t2 1
2
3
Khi đó I
4 . t dt t 1 dt 1 t t C. Chọn C.
t 2 8
8 3
f x dx x 1 x 2 dx
Câu 4:
Câu 5:
f x dx cos
Câu 6:
f x dx 2x x
Suy ra F x
x
Câu 7: F x
Mà F 0
2
1
5
1
1
1 x2 d 1 x2
2
3
1 x2
3
C . Chọn C.
1
x.sin xdx cos5 xd cos x cos 6 x C . Chọn A.
6
2
1 dx x 1 d x 1
4
2
2
x
2
1
5
C.
5
2
x 2 1
2
F
1
6
C
.
mà
Vậy
C
F x
. Chọn B.
5
5
5
5
5
5
x 2 1
9
1
2
2
f x dx x x 1 dx x 1 d x 1
2
20
2
10
9
C.
10
21
1 2
C 1. Vậy F x
x 1 1. Chọn B.
20
20
Câu 8: f x x 3 x 3 x 3 . 3 x 3 x 3. 3 x .
5
Khi đó
5
6
6
5
f x dx 3 x 3. 3 x dx
2
2
2
Câu 9: t ln x 1 t ln x 1 2tdt 2.
Khi đó
3
t
f x dx t dt
3
Vậy F x
2
ln 2 x 1
3
C
ln 2 x 1
3
3
3 x
7
7
f x d x
2
6
C . Chọn C.
1
F 1 C 0.
mà
C
3
2 2 Chọn B.
.
3
Câu 10: Đặt t 8 x 2 t 2 8 x 2 xdx t dt
Khi đó
3 x
ln x
ln x
dx
dx tdt.
x
x
3
F e
5
t
dt dt t C 8 x 2 C
t
C 2. Vậy F x x 2 8 x 2 x x 1 3. Chọn D.
Mà F 2 0
1
2
2
Câu 11: Ta có x x 1 x x 1 1
x x 1
2
x x2 1
2
2
2
Khi đó f x 2 x x x 1 2 x 2 x x 1 f x d x
2
2
2
Câu 12: Đặt t ln x 1 t ln x 1 2t dt 2.
Khi đó
f x d x t 2 dt
Vậy F x
ln 2 x 1
3
t
C
3
ln 2 x 1
3
3
2 3 2 2
x x 1 x 2 1 C. Chọn A.
3
3
ln x
ln x
dx
d x t dt.
x
x
1
F 1 C 0.
C mà 3
3
F e
3
2 2 Chọn C.
.
3
Câu 13: Đặt t e x 3 t 2 e x 3 e x d x 2t dt
Khi đó
f x d x
2t
dt 2 dt 2t C 2 e x 3 C
t
C 3. Vậy F x 2 e x 3 3. Chọn C.
Mà F 0 3 3
Câu 14: Đặt t 2 x 2 t 2 2 x 2 t dt x dx
Khi đó
f x d x
t3
1
2t C
3
3
x2
2 x2
2 x2
3
x dx
2 t2
t dt t 2 2 dt
t
2 2 x 2 C mà F 1
1
1
C 2. Vậy F 1 . Chọn B.
3
3
Câu 15: Đặt t x 2 t 2 x 2 d x 2t dt
Khi đó
f x d x
Mà F 3
t2 2
2
2
.2t dt 2t 2 4 dt t 3 4t C
t
3
3
2
2
C 4. Vậy F x
3
3
2x
3
2 x
3
4 2 x C
4 2 x 4. Chọn B.
Câu 16: Đặt t x x t 2 d x 2t dt
Khi đó
2t
2
f x d x t 1 dt 2 t 1 dt 2t 2 ln t 1 C 2
x 2 ln
x 1 C.
C 2ln 2. Vậy F 1 2 2 ln 2 2 ln 2 2. Chọn C.
Mà F 0 2 ln 2
Câu 17: Đặt t 2 x 1 t 2 2 x 1 d x t dt
Khi đó
t
4
f x d x t 4 dt 1 t 4 dt t 4ln t 4 C
C 1. Vậy F x 2 x 1 1 4 ln
Mà F 1 2 4 ln 5
2 x 1 4ln
2 x 1 4 C.
2 x 1 4 . Chọn B.
3
2
3
2
Câu 18: Đặt t x 1 t x 1 x d x
Khi đó
2t
2
2
2
f x dx 3 : tdt 3 dt 3 t C 3
Mà F 0
1
f x dx x
2
2
1
2 2
1
2
cos dx . cos d sin C. Chọn A.
x
2
x x
2
x
x
x
Câu 20: Đặt t e dt e dx dx
x 3 1 C.
2
2 2
C 0. Vậy F 1
. Chọn C.
3
3
Câu 19: Ta có
Khi đó
2t
dt
3
dt
.
t
dt
1
t
1
ex
f x dx
ln
C ln x
C.
t t 3 3 t 3
3 e 3
1
C 0. Do đó 3F x ln e x ln e x 3 .
Mà F 0
3
x
x
Vậy 3F x ln e 3 2 ln e 2 x 2. Chọn A.
Câu 21: Ta có
1 x
2019
2019
Câu 22: Ta có
x 1 x
1 x
2017
2018
2018
dx 1 x 1 1 x
2017
dx 1 x
2018
1 x
2017
d 1 x
a 2019
C
. Vậy 2a b 2020. Chọn D.
b 2018
f x d x
e2 x
ex
x
x
x
d
x
e x 1 d e e ln e 1 C. Chọn A.
ex 1
Câu 23: Đặt t x x t 2 d x 2t dt
Khi đó
2t
2
f x d x t 1 dt 2 t 1 dt 2t 2 ln t 1 C 2
x 2 ln
x 1 C. Chọn A.
Câu 24: Đặt t x 1 t 2 x 1 d x 2t dt
Khi đó
t2 1
2
f x d x
.2t dt 2t 2 2 dt t 3 2t C. Chọn B.
t
3
Câu 25: Đặt t 1 x t 2 1 x x 1 t 2 d x 2t dt
Khi đó
f x d x
21 t 1
2
t
. 2t dt 2 2t 2 4t 1 dt
2
2 x 1 1 x C. Chọn C.
3
