CÁC DẠNG TOÁN về hàm ẩn LIÊN QUAN đến bài TOÁN

ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT

ĐỀ DỰ ĐỐN MINH HỌA BGD
ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT MƠN TỐN NĂM 2022
Câu 1:

ĐỀ SỐ 04 – HVA3
Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?

A. y = − x 3 + x − 1 .
Câu 2:
Câu 3:
Câu 4:

B. y = − x 3 − 3x + 1 .

C. y = x 4 − x 2 + 1 .

D. y = x 3 − 3x + 1 .

Số điểm cực trị của hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 1 là
A. 0 .
B. 3 .
C. 1 .
D. 2 .
Cho dãy số ( un ) có số hạng tổng quát un = −2n + 3 với n ∈ ¥ * . Số hạng u5 bằng
A. −10 .
B. −7 .
C. 13 .
D. 5 .
Thể tích khối chóp có diện tích đáy 2a 2 và chiều cao 4a bằng

8π a 3
.
3

Câu 5:

8a 3
.
D. 8a 3 .
3
Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : x + 3 = y − 1 = z − 2 . Vectơ nào dưới đây không
3
−1
2
phải là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d ?
r
r
ur
r
A. b = (−3;1; 2) .
B. a = (−3;1; −2) .
C. d = (−9;3; −6) .
D. c = (6; −2; 4) .

Câu 6:

Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ

A. 8π a 3 .

B.

C.

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

 1 
C.  − ; 0 ÷.
D.
 2 
Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên (a; b) . Hình phẳng được giới hạn
y = f ( x) , trục Ox và các đường thẳng x = a, x = b (a < b) có diện tích là
A.

Câu 7:

(1; +∞)

.

B. (0;1) .

1

 −∞; − ÷.
2

bởi đồ thị hàm số

Page 1

ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
b

∫

A.

b

f ( x)dx

.

B.

a

Câu 8:
Câu 9:

∫

b

f ( x)dx .

C.

a

b

∫

f 2 ( x )dx .

a

D. π ∫ f ( x )dx .
a

Cho tập X có 2022 phần tử phân biệt, số các hoán vị của tập X là
A. 4044
.
B. 2022! .
C. 22022 .

D. 20222 .

Cho hàm số y = 2 x − 1 . Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình
x −1

A. y =1 .
B. x = 1 .
C. x = 2 .
D. y = 2 .
2
Câu 10: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z + 2 z + 2 = 0 . Khi đó z1 + z2 bằng

A. 1 .
B. 2 .
C. − 1 .
D. − 2 .
Câu 11: Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng (Oyz)
A. y = 0 .
B. z = 0 .
C. x = 0 .
Câu 12: Với a, b là các số thực dương tùy ý và a ≠ 1 , log a3 b bằng
A.

3log a b .

B.

3

∫ f ( x ) dx = −5

Câu 13: Nếu

1

1
+ log a b .
3

C.
5

∫ f ( x ) dx = 2 thì ∫
5

và

f ( x ) dx

1

3

1
log a b .
3

z

D.

3 + log a b .

bằng

A. − 3 .
B. 3 .
C. 1 .
Câu 14: Tập xác định D của hàm số y = log 2021( x − 2022).
A. D = ( 0; +∞ ) .
B. D = [ 2022; +∞ ) .
C. D = ( 2021; +∞ ) .

Câu 15: Cho số phức z = 4 + 6i . Phần ảo của số phức
A. 6 .
B. 6i .

D. y + z = 0 .

D. − 1 .
D. D = ( 2022; +∞ ) .

là
D. − 4 .

C. 4 .

1
1
Câu 16: Cho hàm số F ( x ) có đạo hàm F ′ ( x ) = 2 x −1 với mọi x > 2 và F ( 1) = 3 thì giá trị của F ( 5)
bằng
A. 3ln 3
B. 3 − ln 3
C. 3 + ln 3
D. 3 + ln 9 .
Câu 17: Cho số phức z = 1 − 3i . Khi đó z bằng

A. 2 .

B. 2 2 .

C. 4 .

D.

10 .

Câu 18: Cho tứ diện ABCD đều có tất cả các cạnh bằng a . Cơsin góc giữa AB với mặt phẳng ( BCD )
bằng
A.

3
.
3

B.

3
.
2

C.

3
.
6

D.

3
.
4

3 4
Câu 19: Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn 6log 4 a + 4log 2 b = 3 . Giá trị của P = a b bằng
A. 4 .
B. 8 .
C. 2 .
D. 16 .
Câu 20: Cho tam giác đều SAB có các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của AB chiều cao h của khối

nón tạo thành khi tam giác SAB quay quanh cạnh SM bằng
A.

a 3
.
3

B.

a
.
2

C.

a
.
3

D.

a 3

.
2

Câu 21: Khối lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có BB′ = a , đáy ABC là tam giác vng cân tại B và BC = a
. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V = a 3 .

B. V =

a3
.
3

C. V =

a3
.
6

D. V =

a3
.
2
Page 2


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
1

Câu 22: Biết

∫(
0

1

f ( x ) − 2 x ) dx = 2021 khi đó ∫ f ( x ) dx bằng
0

A. 2022 .
B. 2020 .
C. 2019 .
D. 2021.
6
x
+
7
bằng
Câu 23: Đạo hàm của hàm số y = 5
A. 6.56 x+7 .
B. 56 x+7.6.ln 5 .
C. 56 x+7.ln 30 .
D. 56 x+7.ln 5 .
Câu 24: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ −3; 2] và có bảng biến thiên như sau

Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên [ −3; 2] .
Giá trị M + m bằng
A. 4 .
B. 3 .

C. 1 .
D. 2 .
Trong
không
gian
,
cho
mặt
phẳng
và
điểm
Oxyz
M ( 1;1; 2 ) . Phương
( P) : x − y + z − 5 = 0
Câu 25:
trình của đường thẳng d đi qua M và vng góc với ( P ) là
x −1
=
1
x −1
=
C.
1

y −1 z − 2
=
.
1
1
y −1 z − 2

=
.
1
2

A.

x −1 y −1 z − 2
=
=
.
1
−1
1
x +1 y +1 z + 2
=
=
D.
.
1
−1
1

B.

Câu 26: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Tập hợp tất cả giá trị thực của tham số
biệt là

A. [ −5;1) .
Câu 27: Cho số phức
A. ( −6;1) .

B. ( −5;1) .
z

m

để phương trình f ( x ) − m = 0 có ba nghiệm phân
C. [ − 5;1] .

D. ( −∞; +∞ ) .

thoả mãn ( 1 − i ) z = 2 − 3i . Điểm biểu diễn cho số phức w = 1 + 2 z có toạ độ là
B. ( 6; − 1) .

C. ( −6; −1) .

D. ( 6;1) .

Câu 28: Trong khơng gian Oxyz , phương trình của mặt cầu có tâm I ( 1; 2;3) và bán kính R = 4
A. ( x + 1) + ( y + 2 ) + ( z + 3) = 4 .

B. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 4 .

C. ( x + 1) + ( y + 2 ) + ( z + 3) = 16 .

D. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 16 .

2

2

2

2

3

3

2

2

2

2

3

3

Câu 29: Trong không gian Oxyz , cho hình bình hành ABCD có A ( 2;0; − 1) ; B ( 1;3; 4 )

D ( −5;1;0 ) . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AC là:

A. ( −3; − 1; − 2 ) .

B. ( −6; 4;5 ) .

C. ( − 1;1;1) .

và

D. ( −2; 2; 2 ) .

Page 3


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
3x
Câu 30: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e ; y = 0 ; x = 0 và x = 1 . Thể tích khối
trịn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng:
1

6x
A. π ∫ e dx .
0

1

3x
B. ∫ e dx .
0

1

6x

C. ∫ e dx .
0

1

3x
D. π ∫ e dx .
0

Page 4


ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 31: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh bằng 2a ; SA vng góc với mặt phẳng đáy
và SA = a 5 . Gọi M ; N lần lượt là trung điểm của SA và CD (tham khảo hình vẽ). Khoảng
cách giữa hai đường thẳng MN và SC bằng:

A.

a 5
.
3

B.

a
.
3

C.

a 5
.
6

D.

2a 5
.
3

Câu 32: Từ một tấm tơn có hình dạng là một elip với độ dài trục lớn bằng 8 , độ dài trục bé bằng 4 , ta
cắt lấy tấm tơn có dạng hình chữ nhật nội tiếp elip (tham khảo hình vẽ sau). Gị tấm tơn hình
chữ nhật thành một hình trụ khơng có đáy.

Thể tích lớn nhất của khối trụ giới hạn bởi hình trụ trên bằng:
A.

64
.
3 2π

B.

128 3
.
9π

C.

64 3
.
9π

D.

128
.
3 2π

Câu 33: Cho hàm số y = f ( x ) là một hàm đa thức có bảng xét dấu f '( x) như sau

2
Hàm số g ( x ) = f ( x - x ) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. ( - ¥ ;0) .

B. ( 1;+¥ ) .

ỉ ư
è2 ø

1 ÷
;1÷.
C. ç
ç
ç ÷

D.

ỉ 1ư
çç0; ÷
÷
÷.
çè 2 ø

x
x
Câu 34: Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình 6 +( 3 - m) 2 - m = 0 có nghiệm thuộc

khoảng ( 0;1) là
A. 1 .

B. 3 .

C. 2 .

D. 0 .

Page 5


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 35: Cho S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

m

để đồ thị của hàm số

1

y = x 3 - mx 2 +( m 2 - 1) x có hai điểm cực trị A và B sao cho A, B nằm khác phía và cách
3
đều đường thẳng d : y = 5 x - 9 . Tổng tất cả các phần tử của S bằng

A. 0 .
B. 6 .
C. 2 .
D. - 6 .
Câu 36: Cho đồ thị biểu diễn vận tốc của một chất điểm theo thời gian (tính bằng giây). Biết đồ thị biểu
diễn theo hướng từ O đến A là một đường thẳng, từ A đến D là một phần của Parabol có
đỉnh là B (tham khảo hình vẽ). Qng đường (tính bằng mét) chất điểm đi được trong 3 giây
đầu tiên gần nhất với kết quả nào sau đây?

A. 2m .
B. 1, 7m .
C. 3, 7m .
D. 2, 7m .
Câu 37: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y − 2 z + 3 = 0 . Gọi d là đường thẳng đi qua
điểm M ( 1;1; −2 ) , cắt trục Ox và song song với ( P ) . Phương trình đường thẳng d là:

 x = 1− t
 x = 1+ t
 x = 1 + 2t
 x = 1 + 2t




A.  y = 1 − t .
B.  y = 1 − 2t .

C.  y = 1 − t .
D.  y = 1
.
 z = − 2 + 2t
 z = − 2 + 2t
 z = − 2 + 2t
 z = −2 + t




/ / /
/
Câu 38: Khối lăng trụ ABC. A B C có thể tích bằng 3. Gọi M là trung điểm của cạnh AA . N là điểm

2 uuur/
BB . Đường thẳng CM cắt đường thẳng C / A/ tại P và đường
3
thẳng CN cắt đường thẳng C / B / tại Q . Thể tích khối đa diện lồi A/ MPB / NQ .
uuu
r

thuộc BB / sao cho BN =

A.

7
.
6

B.

7
.
9

log
Câu 39: Biết nghiệm lớn nhất của phương trình

C.
2

7
.
2

D.

7
.
3

x + log 1 ( 2 x − 1) = 2 có dạng là
x = a + b 3 , a, b
2

là hai số nguyên. Giá trị của a + b bằng
A. 2 .
B. 4 .
C. 6 .

D. 10 .
2
Câu 40: Cho m = log a ab với a, b > 1 và P = log a b + 54log b a . Khi đó giá trị của m để P đạt giá trị
nhỏ nhất là?
A. 2.
B. 4.
C. 4.
D. 5.
Câu 41: Cho tập A = { 0;1;2;3;4;5} . Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau
và các chữ số đó thuộc A . Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số được chọn có
dạng abc với a > b > c bằng
A.

3
.
10

Câu 42: Có bao nhiêu số phức
A. 2.

B.
z

1
.
5

C.

1

.
10

D.

2
.
5

thoả mãn z 2 là số thuần ảo và z − 2 = 2
B. 3.

C. 0.

D. 1.

Page 6


ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT
2
2
2
Câu 43: Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 x − 2 y − 7 = 0 và điểm M ( 2;0;1) .

Mặt phẳng ( P ) thay đổi đi qua M và cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến là một đường trịn có
bán kính bằng

r.

Khi

r

3
.
3

A.

đạt giá trị nhỏ nhất, khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( P ) bằng
B.

6

.

C.

(

2.

D.

3.

)

Câu 44: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 3;1; 0 , B ( 0; 2; 0 ) ; M là một điểm di động trên tia

Oz. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vng góc của A trên MB và OB. Đường thẳng HK
cắt trục Oz tại N . Khi thể tích của tứ diện MNAB nhỏ nhất thì phương trình mặt phẳng ( AHN )
có dạng ax + by − 2 z + c = 0 . Giá trị biểu thức a + b + c bằng
A. 5 .
B. 2 2 .
C. − 1 .
D. 0 .
Câu 45: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 = z1 + z2 = 3 và z1 − z2 = 3 3 . Giá trị biểu thức

( z z ) +( z z )
3

1

2

1 2

3

bằng

A. 324.
B. 1458.
C. 729.
D. 2196.
Câu 46: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn
2
f ( 1) = 1; f ( 4 ) = 8 và 2 xf ( x ) . f ' ( x ) = x3 + 2  f ( x )  ; ∀ x ∈ [ 1;4] . Tích phân




4

x

∫ f ( x ) dx
1

[ 1; 4] ,
bằng

A. 3 .
B. 1 .
C. 4 .
D. 2 .
Câu 47: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ . Đồ thị hàm số y = f ' ( x ) như hình vẽ bên.

Để giá trị nhỏ nhất của hàm số h ( x ) = f ( x ) − (

x + 1)
+ m trênđoạn [ −3;3] khơng vượt q
2
2

2021 thì tập giá trị của m là

A. ( 0; f ( 3) + 2021) .

B. ( −∞; − f ( 3) + 2029  . .

C. ( −∞; − f ( 1) + 2023 . D. ( −∞; − f ( −3) + 2023 .
3
2
Câu 48: Cho hàm số g ( x) = x − 6 x + 11x − 6 và f ( x ) là hàm đa thức bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên

Page 7


ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT

Phương trình g ( f ( x) ) = 0 có số nghiệm thực là
A. 6 .
B. 8 .
C. 12 .
D. 10 .
Câu 49: Cho hình hộp ABCD . A ' B ' C ' D ' có chiều cao h = 10 và diện tích đáy S = 8 . Gọi O , O ' , E ,
F , G , H lần lượt là tâm của các mặt ABCD , A ' B ' C ' D ' , A ' B ' BA , B ' C ' CB , C ' D ' DC ,
D ' A ' AD . Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm O , O ' , E , F , G , H bằng
40
20
A.
.
B. 40 .
C.
.
D. 20 .
3
3
Câu 50: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ ( −5;15 ) để phương trình

(x

2

+ 1) ln ( x 2 + mx + m2 + 1) − ( x 2 + mx + m 2 ) ln 2 x 2 + 3 = 0 có nghiệm?

A. 17 .

B. 18 .

C. 20 .

D. 19 .

---------- HẾT ----------

Page 8


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

Câu 1:

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?

A. y = − x 3 + x − 1 .

B. y = − x 3 − 3x + 1 .

C. y = x 4 − x 2 + 1 .

D. y = x 3 − 3x + 1 .

Lời giải
Chọn D
Dựa vào hình vẽ, suy ra hàm số có hai điểm cực trị nên là hàm số bậc 3.
Ta có: lim y = −∞ và lim y = +∞ nên hệ số a > 0 .
x →−∞

Câu 2:

x →+∞

Vậy đồ thị là của hàm số y = x3 − 3x + 1 .
Số điểm cực trị của hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 1 là
A. 0 .

B. 3 .

C. 1 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn D
x = 0
2
Ta có: y′ = 3 x − 6 x = 0 ⇔ 

.
x = 2
Bảng xét dấu:

Câu 3:

Câu 4:

Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.
Cho dãy số ( un ) có số hạng tổng quát un = −2n + 3 với n ∈ ¥ * . Số hạng u5 bằng
A. −10 .
B. −7 .
C. 13 .
D. 5 .
Lời giải
Chọn B
Ta có: u5 = −2.5 + 3 = −7 .
Thể tích khối chóp có diện tích đáy 2a 2 và chiều cao 4a bằng
A. 8π a 3 .

B.

8π a 3
.
3

C.

8a 3
.

3

D. 8a 3 .

Lời giải
Chọn C

Page 9


ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT

Câu 5:

1
1
8a 3
Thể tích của khối chóp là: V = Bh = .2a 2 .4a =
.
3
3
3
Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : x + 3 = y − 1 = z − 2 . Vectơ nào dưới đây không
3
−1
2
phải là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d ?
r
r
ur

r
A. b = (−3;1; 2) .
B. a = (−3;1; −2) .
C. d = (−9;3; −6) .
D. c = (6; −2; 4) .
Lời giải

Câu 6:

Chọn A
r
r
r
3 −1 2
=
≠ nên b không phải là vectơ chỉ phương của
Xét u = (3; −1; 2) và b = (−3;1; 2) ta có:
−3 1 2
đường thẳng d .
Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.

Câu 7:

(1; +∞)

B. (0;1) .

.

 1 
C.  − ; 0 ÷.
 2 
Lời giải

1

D.  −∞; − ÷.
2


Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) .
Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên (a; b) . Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f ( x) , trục Ox và các đường thẳng x = a, x = b (a < b) có diện tích là
b

A.

∫ f ( x)dx
a

b

.

B.

∫

b

f ( x)dx .

C.

a

∫f

b

2

( x )dx .

a

D. π ∫ f ( x )dx .
a

Lời giải

Câu 8:

Chọn B
Áp dụng công thức dùng ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng.
Cho tập X có 2022 phần tử phân biệt, số các hốn vị của tập X là

A.

4044

.

B. 2022! .

C. 22022 .
Lời giải

D. 20222 .

Chọn B
Theo định nghĩa hoán vị.
2x −1
Câu 9: Cho hàm số y = x − 1 . Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình
A. y = 1 .
B. x = 1 .
C. x = 2 .
D. y = 2 .
Lời giải
Chọn B
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1
2
Câu 10: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z + 2 z + 2 = 0 . Khi đó z1 + z2 bằng
A. 1 .
B. 2 .
C. −1 .
D. −2 .

Page 10


ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT
Lời giải
Chọn D
Ta có z 2 + 2 z + 2 = 0 có hai nghiệm z1 = −1 + i và z2 = −1 − i nên z1 + z2 = −2
Câu 11: Trong khơng gian Oxyz , phương trình mặt phẳng (Oyz )
A. y = 0 .
B. z = 0 .
C. x = 0 .
D. y + z = 0 .
Lời giải
Chọn C
r
Phương trình mặt phẳng (Oyz ) đi qua O(0; 0;0) nhận i (1; 0; 0) làm vecto pháp tuyến nên có PT
x =0.
Câu 12: Với a, b là các số thực dương tùy ý và a ≠ 1 , log a3 b bằng
1
1
A. 3log a b .
B. + log a b .
C. log a b .
3
3
Lời giải
1
1
Áp dụng công thức log a n b = log a b ta có log a3 b = log a b

3
n
3

Câu 13: Nếu

∫ f ( x ) dx = −5
1

5

∫
f ( x ) dx = 2
và ∫
thì
5

1

3

A. −3 .

B. 3 .

f ( x ) dx

D. 3 + log a b .

bằng

C. 1 .
Lời giải

D. −1 .

Chọn A
5

Ta có

∫
1

3

5

1

3

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = −5 + 2 = −3 .

Câu 14: Tập xác định D của hàm số y = log 2021( x − 2022).
A. D = ( 0; +∞ ) .
B. D = [ 2022; +∞ ) .
C. D = ( 2021; +∞ ) .
Lời giải
Chọn D

Điều kiện là: x − 2022 > 0 ⇔ x > 2022
Hay TXĐ: D = ( 2022; +∞ ) .
Câu 15: Cho số phức z = 4 + 6i . Phần ảo của số phức z là
A. 6 .

B. 6i .

C. 4 .
Lời giải

D. D = ( 2022; +∞ ) .

D. −4 .

Chọn A
Phần ảo của số phức z là 6 .
1
1
Câu 16: Cho hàm số F ( x ) có đạo hàm F ′ ( x ) = 2 x − 1 với mọi x > 2 và F ( 1) = 3 thì giá trị của F ( 5 )
bằng
A. 3ln 3
B. 3 − ln 3
C. 3 + ln 3
D. 3 + ln 9 .
Lời giải
Chọn C
5
5
5
1

1
1
′
F
5
−
F
1
=
F
x
d
x
=
d
x
=
ln
2
x
−
1
= ln 9 = ln 3 .
( ) ∫ ( )
(
)
Ta có ( )
∫
1
2x −1

2
2
1
1

⇒ F ( 5 ) = F ( 1) + ln 3 = 3 + ln 3 .

Page 11


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 17: Cho số phức z = 1 − 3i . Khi đó z bằng
A. 2 .
B. 2 2 .

C. 4 .
Lời giải

D. 10 .

Chọn D
Ta có z = 1 − 3i = 12 + ( −3 ) = 10 .
2

Câu 18: Cho tứ diện ABCD đều có tất cả các cạnh bằng a . Cơsin góc giữa AB với mặt phẳng ( BCD )
bằng
3
3
3
3

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
2
6
4
Lời giải
1. Dạng tốn: Đây là dạng tốn tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
2. Hướng giải: Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
B1: Xác định hình chiếu H của A lên mặt phẳng ( BCD) (chính là trọng tâm của tam giác BCD
).
B2: Góc giữa AB và ( BCD ) chính là ·ABH .
BH
B3: Khi đó cos ·ABH =
.
BA
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Chọn A

(

)

Gọi H là trọng tâm của tam giác BCD . Khi đó AH ⊥ ( BCD ) .

Suy ra ( AB, ( BCD ) ) = ( AB, BH ) = ·ABH .
2
2a 3
BM
BH
3.
cos ·ABH =
= 3
=3 2 =
BA
BA
a
3
3 4
Câu 19: Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn 6 log 4 a + 4 log 2 b = 3 . Giá trị của P = a b bằng
A. 4 .
B. 8 .
C. 2 .
D. 16 .
Lời giải
Chọn B
Ta có
6 log 4 a + 4log 2 b = 3 ⇔ 3log 2 a + 4 log 2 b = 3
.
⇔ log 2 a 3 + log 2 b 4 = 3 ⇔ log 2 a 3b 4 = 3 ⇔ a 3b 4 = 23 = 8
Vậy

(

)

Page 12


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 20: Cho tam giác đều SAB có các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của AB chiều cao h của
khối nón tạo thành khi tam giác SAB quay quanh cạnh SM bằng
a
a
a 3
a 3
A.
.
B. .
C. .
D.
.
2
3
3
2
Lời giải
Chọn D

a 3
.
2
Câu 21: Khối lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có BB′ = a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BC = a .
Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

Chiều cao của khối nón là SM =

A. V = a 3 .

B. V =

a3
.
3

C. V =

a3
.
6

D. V =

a3
.
2

Lời giải
Chọn D

Thể tích khối lăng trụ V = S ABC .BB′ =
1

∫ ( f ( x ) − 2 x ) dx = 2021

Câu 22: Biết
A. 2022 .
0

1
a3
.
BA.BC.BB′ =
2
2

1

∫ f ( x ) dx

khi đó 0

B. 2020 .

bằng

C. 2019 .
Lời giải

D. 2021.

Chọn A

Page 13

ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT
1

Ta có:

∫(
0

1

1

1

0

0

0

f ( x ) − 2 x ) dx = 2021 ⇔ ∫ f ( x ) dx − ∫ 2 xdx = 2021 ⇔ ∫ f ( x ) dx − 1 = 2021

1

⇔ ∫ f ( x ) dx = 2022 .
0

6 x + 7 bằng
Câu 23: Đạo hàm của hàm số y = 5

A. 6.56 x+ 7 .
B. 56 x+ 7.6.ln 5 .

C. 56 x+ 7.ln 30 .
Lời giải

D. 56 x+ 7.ln 5 .

Chọn B
Ta có: y′ = ( 6 x + 7 ) ′ .56 x +7.ln 5 = 6.56 x + 7.ln 5 .
Câu 24: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ −3; 2] và có bảng biến thiên như sau

Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên [ −3; 2] .
Giá trị M + m bằng
A. 4 .

B. 3 .

C. 1 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn C
Ta có: M = 3, m = −2 suy ra: M + m = 1 .
Câu 25: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − 5 = 0 và điểm M ( 1;1; 2 ) . Phương trình
của đường thẳng d đi qua M và vng góc với ( P ) là
x −1 y −1 z − 2
x −1 y −1 z − 2
=

=
=
=
A.
. B.
.
1
1
1
1
−1
1
x −1 y −1 z − 2
x +1 y +1 z + 2
=
=
=
=
C.
. D.
.
1
1
2
1
−1
1
Lời giải
Chọn B
uu

r uuur
Ta có d ⊥ ( P ) ⇒ ud = n( P ) = ( 1; −1;1) .
uu
r
Đường thẳng d qua M ( 1;1; 2 ) có véc-tơ chỉ phương ud = ( 1; −1;1) có phương trình
x −1 y + 1 z − 2
=
=
.
1
−1
1
Câu 26: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Page 14


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Tập hợp tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình f ( x ) − m = 0 có ba nghiệm phân
biệt là
A. [ −5;1) .

C. [ −5;1] .

B. ( −5;1) .

D. ( −∞; +∞ ) .

Lời giải
Chọn B

Ta có f ( x ) − m = 0 ⇔ f ( x ) = m : Đây là phương trình hồnh độ giao điểm giữa đồ thị hàm số

y = f ( x ) và đường thẳng nằm ngang y = m .
Theo đề: f ( x ) − m = 0 có ba nghiệm phân biệt khi y = m cắt đồ thị y = f ( x ) tại ba điểm phân
biệt.
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy y = m cắt đồ thị y = f ( x ) tại ba điểm phân biệt khi

m ∈ ( −5;1) .
Câu 27: Cho số phức z thoả mãn ( 1 − i ) z = 2 − 3i . Điểm biểu diễn cho số phức w = 1 + 2 z có toạ độ là
A. ( −6;1) .
B. ( 6; −1) .
C. ( −6; −1) .
D. ( 6;1) .
Lời giải
Chọn D
2 − 3i
5 1
⇔ z = − i.
1− i
2 2
5 1
5 1 
Suy ra z = + i ⇒ w = 1 + 2  + i ÷ = 6 + i .
2 2
2 2 

Ta có ( 1 − i ) z = 2 − 3i ⇔ z =

Vậy điểm biểu diễn số phức w có toạ độ ( 6;1) .

Câu 28: Trong khơng gian Oxyz , phương trình của mặt cầu có tâm I ( 1; 2;3) và bán kính R = 4
2
2
3
2
2
3
A. ( x + 1) + ( y + 2 ) + ( z + 3 ) = 4 .
B. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 4 .
C. ( x + 1) + ( y + 2 ) + ( z + 3) = 16 .
2

2

D. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 16 .

3

2

2

3

Lời giải
Chọn D
Phương trình mặt cầu là ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 16 .
2

2

3

Câu 29: Trong khơng gian Oxyz , cho hình bình hành ABCD có A ( 2;0; − 1) ; B ( 1;3; 4 ) và D ( −5;1;0 ) .
Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AC là:
A. ( −3; − 1; − 2 ) .
B. ( −6; 4;5 ) .
C. ( −1;1;1) .
D. ( −2; 2; 2 ) .
Lời giải
Chọn D
Do ABCD là hình bình hành nên trung điểm I của đoạn thẳng AC cũng là trung điểm của
x B + xD

x
=
= −2
I

2

y + yD

=2 .
đoạn thẳng BD và có tọa độ là:  yI = B
2

zB + zD

 zI = 2 = 2


Vậy tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AC là: ( −2; 2; 2 ) .
Page 15


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
3x
Câu 30: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e ; y = 0 ; x = 0 và x = 1 . Thể tích khối trịn
xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng:
1

A. π ∫ e dx .
6x

0

1

B. ∫ e dx .
3x

0

1

1

C. ∫ e dx .

3x

D. π ∫ e dx .

6x

0

0

Lời giải
Chọn A
1

1

3x
6x
Thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox là: V = π ∫ ( e ) dx = π ∫ e dx .
2

0

0

Câu 31: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh bằng 2a ; SA vng góc với mặt phẳng
đáy và SA = a 5 . Gọi M ; N lần lượt là trung điểm của SA và CD (tham khảo hình vẽ).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SC bằng:

A.

a 5

.
3

B.

a
.
3

C.

a 5
.
6

D.

2a 5
.
3

Lời giải
Chọn A

Gọi E là trung điểm của AB ; O là tâm hình vng ABCD .
Trong ( SAB ) : Kẻ AH ⊥ EM tại H .

Ta có: SA ⊥ EN và AB ⊥ EN nên EN ⊥ ( SAB ) ⇒ EN ⊥ AH .
Do đó AH ⊥ ( MEN )

Dễ thấy OM / / SC nên SC / / ( MEN ) .
Page 16


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
⇒ d ( MN ; SC ) = d ( SC ; ( MEN ) ) = d ( S ; ( MEN ) ) = d ( A ; ( MEN ) ) = AH .
1
1
1
⇒ AH = a 5 .
=
+
2
2
2
AH
AM
AE
3
a 5
Vậy d ( MN ; SC ) = AH =
.
3
Câu 32: Từ một tấm tơn có hình dạng là một elip với độ dài trục lớn bằng 8 , độ dài trục bé bằng 4 , ta
cắt lấy tấm tơn có dạng hình chữ nhật nội tiếp elip (tham khảo hình vẽ sau). Gị tấm tơn hình
chữ nhật thành một hình trụ khơng có đáy.

Mà

Thể tích lớn nhất của khối trụ giới hạn bởi hình trụ trên bằng:

64
128 3
64 3
A.
.
B.
.
C.
.
3 2π
9π
9π
Lời giải
Chọn B

D.

128
.
3 2π

Giả sử hình chữ nhật nội tiếp elip là ABCD .
Xét hệ tọa độ Oxy với O là tâm hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.
x2 y2
Từ gt ⇒ Phương trình elip là:
+
= 1.
16 4
Giả sử điểm A ( a ; b ) ( a < 0 ; b > 0 ).
2

⇒ Hình trụ có chiều cao h = 2b = 4. 1 − a = 16 − a 2 , bán kính đáy r .
16
a
Ta có 2π r = −2a ⇒ r = − .
π
Khi đó thể tích khối trụ là:
3

 a 2 + a 2 + 32 − 2a 2  128 3
a2
1
1
.
V =πr h =
16 − a 2 =
a 4 ( 32 − 2a 2 ) ≤

÷ =
π
3
9π
π 2
π 2 

2

4 6
Dấu bằng xảy ra ⇔ a 2 = 32 − 2a 2 ⇔ a = −
.

3

128 3
.
9π
Câu 33: Cho hàm số y = f ( x) là một hàm đa thức có bảng xét dấu f '( x ) như sau

Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ giới hạn bởi hình trụ trên bằng

Page 17


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

2
Hàm số g ( x ) = f ( x - x ) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. ( - ¥ ;0) .

ỉ
1 ử
;1ữ
ữ
C. ỗ
ỗ
ữ.
ỗ
ố2 ứ

B. ( 1;+Ơ ) .

D.

ổ 1ử
ỗ
0; ữ
ữ
ỗ
ữ.
ỗ
ố 2ứ

Li giải
Chọn C
2
Xét hàm số h ( x ) = f ( x - x )
2
Ta có: h '( x ) = ( 2 x - 1) . f '( x - x ) = 0

é 1
êx =
ê 2
é2 x - 1 = 0
ê
ê
Û ê
Û êx 2 - x =- 1( VN ) Û
2
f ' x - x) = 0 ê
ê

ë (
êx 2 - x = 1
ê
ê
ë

é 1
êx =
ê 2
ê
.
ê 1± 5
êx =
ê
2
ë

Bảng biến thiên:

ỉ
1 ư
;1÷
÷
Theo bảng biến thiên, đồ thị hàm số g ( x ) = h ( x ) nghch bin trờn khong ỗ
ỗ
ữ.
ỗ
ố2 ứ
x
x

Cõu 34: S giỏ trị nguyên của tham số m để phương trình 6 +( 3 - m) 2 - m = 0 có nghiệm thuộc
khoảng ( 0;1) là
A. 1 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn A
6 x + 3.2 x
Theo bài ta có: 6 x + 3.2 x - m.2 x - m = 0 Þ m = x
.
2 +1

Xét hàm số g ( x) =
Þ g '( x ) =

6 x + 3.2 x
2 x +1

12 x.ln 3 + 6 x.ln 6 + 3.2 x.ln 2

( 2 x +1)

2

> 0 " x Ỵ ( 0;1)

Page 18

ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT
Þ g ( x ) là hàm số đồng biến trên ( 0;1) . Ta có bảng biến thiên

Để phương trình có nghiệm thì 2 < m < 4 .
M m ẻ Â ị m = 3 .
Câu 35: Cho S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số
1
y = x 3 - mx 2 +( m 2 - 1) x có hai điểm cực trị A và B sao cho A, B nằm khác phía và cách
3
đều đường thẳng d : y = 5 x - 9 . Tổng tất cả các phần tử của S bằng
A. 0 .
B. 6 .
C. 2 .
D. - 6 .
Lời giải
Chọn A
Ta có: y ' = x 2 - 2mx + m 2 - 1
y '' = 2 x - 2m
Để đồ thị có hai điểm cực trị thì y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt Û D ' > 0
Û m 2 - ( m2 - 1) > 0 Û 1 > 0 (luôn đúng).

Gọi I là điểm uốn của đồ thị hàm số
1
Þ xI là nghiệm phương trình y '' = 0 Þ xI = m Þ yI = m3 - m
3
ỉ 1 3
ử
m ; m - mữ
ị Iỗ
ữ

ỗ
ữ
ỗ
ố 3
ứ

Theo gi thit, hai cực trị nằm khác phía và cách đều đường thẳng d : y = 5 x - 9 nên I Î d .
ém = 3
ê
1 3
Khi đó, ta có: 5m - 9 = m - m Û ê
êm = - 3 ± 3 5 .
3
ê
2
ë
Vậy tổng các phần tử của S bằng 0 .
Câu 36: Cho đồ thị biểu diễn vận tốc của một chất điểm theo thời gian (tính bằng giây). Biết đồ thị biểu
diễn theo hướng từ O đến A là một đường thẳng, từ A đến D là một phần của Parabol có
đỉnh là B (tham khảo hình vẽ). Qng đường (tính bằng mét) chất điểm đi được trong 3 giây
đầu tiên gần nhất với kết quả nào sau đây?

Page 19


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

A. 2m .

B. 1, 7m .

C. 3, 7m .
Lời giải

D. 2, 7m .

Chọn D
Theo hình vẽ, Parabol y = ax 2 + bx + c đi qua các điểm A ( 2;1) , B ( 3; 2) , C ( 4;1) nên ta có:

ìï 4a + 2b + c = 1
ìï a =- 1
ïï
ïï
í 9a + 3b + c = 2 Û í b = 6
ïï
ï
ïỵï 16a + 4b + c = 1 ïïỵï c =- 7
Þ Phương trình Parabol là y =- x 2 + 6 x - 7 .
Phương trình vận tốc theo thời gian của chất điểm chuyển động thẳng từ O đến A là:
1
v1 ( t ) = t .
2
Phương trình vận tốc theo thời gian của chất điểm chuyển động theo đường cong Parabol từ A
2
đến D là v2 ( t ) =- t + 6t - 7 .

Khi đó, quãng đường chất điểm đi được trong 3 giây đầu tiên là:
2

3

1
8
S = ò tdt + ò( - t 2 + 6t - 7) dt = » 2, 7.
2
3
0
2
Câu 37: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y − 2 z + 3 = 0 . Gọi d là đường thẳng đi qua
điểm M ( 1;1; −2 ) , cắt trục Ox và song song với ( P ) . Phương trình đường thẳng d là:
x = 1− t

A.  y = 1 − t .
 z = −2 + 2t


x = 1+ t

B.  y = 1 − 2t .
 z = −2 + 2t


 x = 1 + 2t

C.  y = 1 − t .
 z = −2 + 2t


 x = 1 + 2t


D.  y = 1
.
 z = −2 + t


Lời giải
Chọn C
Gọi điểm giao điểm của d với Ox là N , nên N ( a; 0;0 ) . Vectơ chỉ phương của d là
uuur
MN = ( a − 1; −1; 2 ) .
uu
r uu
r
uu
r
Do d / / ( P ) nên ud ⊥ nP ⇒ ( a − 1) + ( −1) . ( −2 ) − 2.2 = 0 ⇒ a = 3 ( Do ud = ( a − 1; −1; 2 ) ,
uu
r
nP = ( 1; −2; −2 ) ).
 x = 1 + 2t
uu
r uuur

Vậy ud = MN = ( 2; −1; 2 ) ⇒ d :  y = 1 − t
 z = −2 + 2t


Page 20

ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
/ / /
/
Câu 38: Khối lăng trụ ABC. A B C có thể tích bằng 3. Gọi M là trung điểm của cạnh AA . N là điểm
u
u
u
r
uuu
r 2
/
thuộc BB / sao cho BN = BB . Đường thẳng CM cắt đường thẳng C / A/ tại P và đường
3
thẳng CN cắt đường thẳng C / B / tại Q . Thể tích khối đa diện lồi A/ MPB / NQ .
7
7
7
7
A. .
B. .
C. .
D. .
6
9
2
3
Lời giải

Chọn A
1

1
7
S ABB ' A ' và S NKM = S ABB ' A ' ⇒ S ABNM = S ABB ' A ' .
2
12
12
7
2
Nên: VC . ABNM = VC . ABB ' A ' mà VC . ABB ' A ' = VABC . A ' B ' C ' nên:
12
3
7 2
7
7
11
11
VC . ABNM = . .VABC . A ' B ' C ' = VABC . A ' B ' C ' = . Nên VCMNA ' B ' C ' = VABC . A ' B ' C ' = .
12 3
18
6
18
6
PC
'
Do M là trung điểm AA ' nên A ' là trung điểm
.
1
1
Do B ' N = CC ' nên QB ' = QC ' .
3

3
1
Nên S A ' B ' C ' = SC ' PQ ⇒ VC .C ' PQ = 3VC . A ' B ' C ' = VABC . A ' B ' C ' = 3 .
3
11 7
Vậy VA ' MPB ' NQ = 3 − = .
6 6
log 2 x + log 1 ( 2 x − 1) = 2 có dạng là
x = a + b 3 , a, b
Câu 39: Biết nghiệm lớn nhất của phương trình
2

Gọi K là trung điểm AB thì S ABKM =

là hai số nguyên. Giá trị của a + b bằng
A. 2 .
B. 4 .

C. 6 .
Lời giải

D. 10 .

Chọn C
1
Điều kiện: x > .
2

Khi đó: log

2

x + log 1 ( 2 x − 1) = 2 ⇔ 2 log 2 x − log 2 ( 2 x − 1) = 2 ⇔
2

x = 4 + 2 3
x2
=4⇔ 
.
2x −1
 x = 4 − 2 3

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm lớn nhất của phương trình là: x = 4 + 2 3 .
Page 21


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Vậy a + b = 6.
2
Câu 40: Cho m = log a ab với a, b > 1 và P = log a b + 54 log b a . Khi đó giá trị của m để P đạt giá trị
nhỏ nhất là?
A. 2.
B. 4.
C. 4.
D. 5.
Lời giải
Chọn A
54
2
2

Ta có P = log a b + 54 log b a = log a b +
log a b
2
2
Đặt P = log a b + 54 log b a = log a b +

54
54
= t 2 + . ( Với t = log a b )
log a b
t

Vì a, b > 1 nên t = log a b > 0 . Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có
54 2 27 27
P = t2 +
=t +
+
≥ 3 3 27 2 = 27.
t
t
t
27
2
⇔ t = 3.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t =
t
1
1
1
1

Ta có m = log a ab = log a ( ab ) = ( 1 + log a b ) = ( 1 + t ) = ( 1 + 3 ) = 2.
2
2
2
2
Câu 41: Cho tập A = { 0;1;2;3;4;5} . Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số đơi một khác nhau
và các chữ số đó thuộc A . Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số được chọn có dạng
abc với a > b > c bằng
3
1
1
2
A.
.
B. .
C.
.
D. .
10
5
10
5
Lời giải
Chọn B
2
Gọi Ω là không gian mẫu ⇒ n ( Ω ) = 5. A5 = 100
3
Gọi B là biến cố “số được chọn có dạng abc với a > b > c ” ⇒ n ( B ) = C6 = 20

20 1

= .
100 5
2
Câu 42: Có bao nhiêu số phức z thoả mãn z là số thuần ảo và z − 2 = 2
A. 2.
B. 3.
C. 0.
Lời giải
Chọn B
Gọi z = a + bi ( a, b ∈ ¡ )
Vậy P ( B ) =

D. 1.

+) z 2 = ( a + bi ) = a 2 − b 2 + 2abi
2

+) z − 2 = 2 ⇔ ( a − 2 ) + b 2 = 4
2

 a = 0

 b = 0
2
2

a
−
b
=

0
2
2
2
2
2
2
 a = 2
 a − b = 0
a − b = 0

a − b = 0

⇔
⇔
⇔
⇔
Ta có: 

 2
 a = 0
2
2
2
2
2
a
−
4
a

=
0
 b = 2
a
−
2
+
b
=
4
a
−
2
+
a
=
4

(
)
(
)

a = 2




 a = 2
 b = −2

Page 22


ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT
Vậy có 3 số phức thoả mãn đề bài.
2
2
2
Câu 43: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 x − 2 y − 7 = 0 và điểm M ( 2;0;1) .
Mặt phẳng ( P ) thay đổi đi qua M và cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến là một đường trịn có
bán kính bằng r. Khi r đạt giá trị nhỏ nhất, khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( P ) bằng
A.

3
.
3

B.

6.

C.

2.

D.

3.

Lời giải

Chọn D

uuur
Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1;1;0 ) và bán kính R = 3 . Ta có IM = ( 1; −1;1) và IM = 3 < R nên

M nằm bên trong mặt cầu ( S ) .
Giả sử mặt phẳng ( P ) đi qua điểm M và cắt ( S ) theo giao tuyến là một đường trịn có bán
kính là r thì r = R 2 − d 2 ( I , ( P ) ) ≥ R 2 − IM 2 = 6 . Dấu bằng xảy ra khi IM = d ( I , ( P ) )
uuur
hay mặt phẳng ( P ) đi qua M và nhận IM = ( 1; −1;1) làm VTPT nên ( P ) : x − y + z − 3 = 0 .
Vậy rmin = 6 khi đó d ( O; ( P ) ) = 3 .

(

)

Câu 44: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 3;1;0 , B ( 0; 2;0 ) ; M là một điểm di động trên tia
Oz. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vng góc của A trên MB và OB. Đường thẳng HK
cắt trục Oz tại N . Khi thể tích của tứ diện MNAB nhỏ nhất thì phương trình mặt phẳng
( AHN ) có dạng ax + by − 2 z + c = 0 . Giá trị biểu thức a + b + c bằng
A. 5 .
B. 2 2 .
C. −1 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn D

Gọi M ( 0;0; t ) và t > 0 . Vì K là hình chiếu vng góc của A trên OB ≡ Oy nên K ( 0;1;0 ) ,
tức là K là trung điểm của OB .
Vì ( OAB ) ≡ ( Oxy ) và AK ⊥ OB với OB = ( Oxy ) ∩ ( Oyz ) nên AK ⊥ ( Oyz ) ≡ ( OMB ) , suy ra

AK ⊥ MB . Mà AH ⊥ MB, do đó MB ⊥ ( AHK ) ⇒ HK ⊥ MB .
1
1
1
3
Ta có VMNAB = d ( A, ( Oyz ) ) .S BMN = . 3. OB.MN =
MN .
3
3
2
3

Page 23


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

( Oyz ) ,

Trong mặt phẳng

xét hai tam giác OMB

và OKN

đồng dạng vì có

·
·

MOB
= KON
= 90°,
OM OB
OB
2
·
·
·
=
⇒ ON =
.OK = .
vì cùng phụ với OMB
. Do đó ta có:
OBM
= ONK
OK ON
OM
t
2
Suy ra MN = OM + ON = t + ≥ 2 2 , dấu bằng xảy ra khi t = 2 .
t

(

qua điểm A

)

2 6

khi MN min = 2 2 với M 0;0; 2 . Khi đó mặt phẳng ( AHN ) đi
3
uuur
3;1;0 và nhận MB = 0; 2; − 2 là một VTPT nên có phương trình

Như vậy ( VMNAB ) min =

(

)

(

( AHN ) : 0 x + 2 y − 2 z − 2 = 0 .
Mà theo giả thiết ( AHN ) : ax + by −

)

2 z + c = 0 . Vậy a = 0; b = 2; c = −2 ⇒ a + b + c = 0 .

Câu 45: Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1 = z1 + z2 = 3 và z1 − z2 = 3 3 . Giá trị biểu thức

( z z ) +( z z )
3

1 2

3

1 2

bằng

A. 324.

B. 1458.

D. 2196.

C. 729.
Lời giải

Chọn B
Ta có z1 + z2 = 3
3

⇒ z1 + z2 = 0

(

)

⇔ ( z1 + z2 ) z1 + z2 = 9
2

(

)

2

⇔ z1 + z1 z2 + z2 z1 + z2 = 9 (1)
2

Tương tự: z1 − z2 = 3 3 ⇒ z1 − z2 = 27
2

(

)

2

⇔ z1 − z1 z2 + z2 z1 + z2 = 27 (2)

(

)

Từ ( 1) và ( 2 ) ⇒ 2 z1 z2 + z2 z1 = −18

(

)

⇒ z1 z2 + z2 z1 = −9

(

)

Thay vào ( 1) ta được: z1 + z1 z2 + z2 z1 + z2 = 9
2

2

⇔ 9 + ( −9 ) + z2 = 9 ⇒ z2 = 3 .
2

(

Ta có z1 z2

(

) +( z z )
3

3

1 2

)

3

(

)

(

3

= z1 z2 + z2 z1 − 3 z1 z2

2

2

= z1 z2 + z2 z1 − 3 z1 . z2

(z z

1 2

Câu 46: Cho hàm số y = f ( x )

)

)(z z )(z z
2 1

1 2

+ z2 z1

)

+ z2 z1 = ( −9 ) − 3.9.9. ( −9 ) = 1458

3

có đạo hàm liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn

f ( 1) = 1; f ( 4 ) = 8 và 2 xf ( x ) . f ' ( x ) = x + 2  f ( x )  ; ∀x ∈ [ 1; 4 ] . Tích phân
3

A. 3 .

B. 1 .

2

C. 4 .
Lời giải

4

x

∫ f x dx
1 ( )

[ 1; 4] ,
bằng

D. 2 .

Chọn D
Page 24

ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
2

2 xf ( x ) . f ' ( x ) = x 3 + 2  f ( x )  ; ∀x ∈ [ 1; 4 ]
2
2
2
⇔ 2 . f ( x ) . f ' ( x ) − 3  f ( x )  = 1
x
x
'

 1

⇔  2 . f 2 ( x) ÷ = 1
x

1
⇒ 2 . f 2 ( x) = x + C
x
Lại có f ( 1) = 1; f ( 4 ) = 8 nên suy ra C = 0 .
Vậy

1
x

2

. f 2 ( x ) = x ⇒ f 2 ( x ) = x3 ⇒ f ( x ) = x x ; ∀x ∈ [ 1; 4]

4

Từ đó

∫

1

4
4
x
x
1
dx = ∫
dx = ∫
dx = 2
f ( x)
1 x x
1 x

Câu 47: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ . Đồ thị hàm số y = f ' ( x ) như hình vẽ bên.

Để giá trị nhỏ nhất của hàm số h ( x ) = f ( x ) − (

x + 1)
+ m trênđoạn [ −3;3] khơng vượt q
2
2

2021 thì tập giá trị của m là

A. ( 0; f ( 3) + 2021) .

B. ( −∞; − f ( 3) + 2029  . .

C. ( −∞; − f ( 1) + 2023 . D. ( −∞; − f ( −3) + 2023 .
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số h ( x ) = f ( x ) − (

x + 1)
+ m ⇒ h′ ( x ) = f ′ ( x ) − ( x + 1)
2
2

Page 25