Dirichlets Principle and some applications (Nguyên lý Dirichlet và một số ứng dụng)

THAI NGUYEN UNIVERSITY OF EDUCATION
MATHEMATICS

----------

PROBLEM SEMINAR
Problem: Dirichlet's Principle and some applications
Subject: Discrete math
Lecturer: Tran Nguyen An
Author: Nguyen Nhu Quynh
Unit: English for students of mathematics (NO1)

June, 2022


CONTENT
Page
Introduction
Chapter 1: Basic knownledge
1.1.
Basic Dirichlet Principle
1.2.
The Generalized Dirichlet Principle
1.3.
Extended dirichlet principle
1.4.
Dirichlet's principle of set form
1.5.
Dirichlet's principle of the extended set
1.6.
Application method

Chapter 2: Application of Dirichlet Principle to compined
geology problem
Chapter 3: Appication of Dirichlet’s Principle to
arithmetic
Chapter 4: Application of Dirichlet Principle in the field
of combinatorial theorem
Chapter 5: Appication of Dirichlet Principle to other
problems
5.1. Apply Dirichlet’s principle in proving inequality.
5.2. Aproximate a real number
Conclution
References

3
3
3
4
5
5
6
6
13
19
21
21
28
29
30

2

INTRODUCTION
The first formalization of the pigeonhole concept is believed to have been made by
Dirichlet (1805–1859) as what he called Schubfachprinzip or the “drawer/shelf
principle”. As Dirichlet published works in both German and French, he would alternate
between calling the principle Schubfach and tiroir, which both translate to drawer.
However, as Dirichlet’s father was a postmaster it is believed that the type of drawer he
was referring to might have best been translated to English as pigeon-hole, such as those
commonly used for storing and sorting mail. The first appearance of the term “pigeonhole
principle” was used by mathematician Raphael M. Robinson in 1940.
One of the important principles of mathematics is the Dirichlet principle. Dirichlet's
principle was proposed by the German mathematician Johnann Peter Gustav Lejeune
Dirichlet. This is a fairly simple principle, but it has many applications in reasoning and
solving problems such as arithmetic, combinatorics,... That's why we often encounter this
theorem in major exams. like IMO or other international competitions.
There are many problems that just need to prove the existence of a thing or a
phenomenon without explicitly indicating that thing or phenomenon. Therefore, the
Dirichlet principle may seem simple, but it is a very effective tool for proving many
profound results in different areas of mathematics. Dirichlet's principle is a very effective
tool used to prove many profound results of mathematics. It especially has many
applications in different areas of mathematics. This principle in many cases is easy to
prove the existence without giving a specific method, but in fact in many problems we
just need to show the existence is enough.
For the above reasons, in this essay we have chosen the topic "Dirichlet's principle and
its application". Hope it can become a useful document for readers.
However, in the process of researching and understanding, despite efforts, it is difficult
to avoid errors. Hope to receive suggestions from teachers and readers.
Thank you sincerely!

3


CHAPTER 1: BASIC KNOWLEDGE
Dirichlet’s principle also known as the pigeonhole principle or the principle of rabbit
cages or the principle of arranging objects in drawers (The Drawer Pinciple) – gives a
principle of elemental division of classes.
Nguyên tắc Dirichlet còn được gọi là nguyên tắc chuồng chim bồ câu hay nguyên tắc
chuồng thỏ hay nguyên tắc sắp xếp đồ vật trong ngăn kéo (The Drawer Pinciple) - đưa
ra một nguyên tắc phân chia các lớp theo nguyên tố.
1.1. Basic Dirichlet Principle (Nguyên lý Dirichlet cơ bản): If k is a positive

integer and k+1 or more objects are placed into k boxes, then there is at least one
box containing two or more of the objects.
Nếu k là một số nguyên dương và k + 1 hoặc nhiều đồ vật được xếp vào k hộp, thì
có ít nhất một hộp chứa hai hoặc nhiều đồ vật.
Proof (Chứng minh)
We prove the pigeonhole principle using a proof by contraposition. Suppose that none
of the k boxes contains more than one object. Then the total number of objects would be
at most k. This is a contradiction, because there are at least k + 1 objects.
Ta chứng minh nguyên tắc chuồng chim bồ câu bằng chứng minh phản đảo. Giả sử
rằng khơng có hộp nào trong k hộp chứa nhiều hơn một đồ vật. Khi đó tổng số đồ vật
nhiều nhất là k. Đây là một sự mâu thuẫn, bởi vì có ít nhất k + 1 đồ vật.
a. Definition (Định nghĩa): Let x be a real number. The ceiling function of x,

denoted by , is defined to be the least integer that is greater than or equal to x.
Cho x là một số thực. Phần nguyên của x, ký hiệu là ⌈x⌉, được xác định là số nguyên
nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng x.
b. Remark 1(Nhận xét 1):
(i) = min{n | n x}.

(ii) x – 1 < x < x + 1.
(iii) – =
1.2. The Generalized Dirichlet Principle (Nguyên lý Dirichlet Tổng quát): If

N objects are placed into k boxes, then there is at least one box containing at least
objects.
Nếu xếp N đồ vật vào k hộp thì có ít nhất một hộp chứa ít nhất ⌈N / k⌉ đồ vật.
4


Proof (Chứng minh)
We will use a proof by contradiction. Suppose that none of the boxes contains more
than - 1 objects. Then by remark 1, the total number of objects is at most
k( -1) < k((- 1) = N
This is a contradiction because there is a total of N objects.
Ta sẽ sử dụng chứng minh phản chứng. Giả sử rằng không có hộp nào chứa nhiều hơn
- 1 đồ vật. Khi đó, theo nhận xét 1, tổng số đồ vật nhiều nhất là
k( -1) < k((- 1) = N
Đó là một sự mâu thuẫn vì có tổng cộng N đồ vật.
1.3. Extended dirichlet principle (Nguyên lý Dirichlet mở rộng): If n rabbits

are kept in m ≥ 2 cages, there exists a cage with at least [rabbits.
Nếu n con thỏ được nuôi trong m ≥ 2 cái lồng thì sẽ tồn tại một lồng có ít nhất
[thỏ.
Proof (Chứng minh)
If n rabbits are kept in m ≥ 2 cages, then there exists a cage with at least [] rabbits, here
the symbol [α] denotes the integer part of the number α.
We prove that the Extended Dirichlet's Principle is as follows: If otherwise every
rabbit cage does not have up to
[] = [ + 1] = [] + 1

rabbits, then the number of rabbits in each cage is smaller or equal to [] rabbits. From
that, it follows that the total number of rabbits does not exceed m[] ≥ n − 1 rabbits. This
makes no sense since there are n rabbits. Therefore, the hypothesis is false.
Nếu n con thỏ được nuôi trong m ≥ 2 cái lồng thì tồn tại một cái lồng có ít nhất [] con
thỏ, ở đây ký hiệu [α] biểu thị phần nguyên của số α.
Ta chứng minh Nguyên lý Dirichlet mở rộng như sau: Nếu trái lại mỗi chuồng thỏ
khơng có tối đa
[] = [ + 1] = [] + 1
con thỏ thì số thỏ trong mỗi chuồng nhỏ hơn hoặc bằng [] thỏ. Từ đó suy ra rằng tổng
số thỏ khơng vượt quá m m[] ≥ n−1 con thỏ. Điều này là vơ lý vì có n con thỏ. Do đó, giả
thuyết là sai.
1.4. Dirichlet's principle of set form (Nguyên lý của Dirichlet dạng tập hợp)
5


Let A and B be two non-empty sets with a finite number of elements, where the
number of elements of A is greater than the number of elements of B. If by some rule,
each element of A gives the equivalent corresponds to an element of B, then there
exist at least two distinct elements of A that correspond to an element of B.
Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng có số phần tử hữu hạn, mà số lượng phần tử
của A lớn hơn số lượng phần tử của B. Nếu với một quy tắc nào đó, mỗi phần tử của
A cho tương ứng với một phần tử của B, thì tồn tại ít nhất hai phần tử khác nhau của
A mà chúng tương ứng với một phần tử của B.
a1
b1
b2

a2

b3

a3

b4

a4
a5

1.5. Dirichlet's principle of the extended set (Nguyên lý Dirichlet dạng tập

hợp mở rộng)
Suppose A and B are two finite sets, and S(A), S(B) are denoted by the numbers of
elements of A and B respectively. Suppose there is some natural number k that
S(A)>k.S(B) and we have a rule that corresponds each element of A to an element of B.
Then there exist at least k+1 elements of A that correspond to the same element of B.
Note: When k = 1, we immediately have Dirichlet's principle.
Giả sử A, B là hai tập hợp hữu hạn và S(A), S(B) tương ứng kí hiệu là các số lượng
phần tử của A và B. Giả sử có một số tự nhiên k nào đó mà S(A) > k.S(B) và ta có quy tắc
cho tương ứng mỗi phần tử của A với một phần tử của B. Khi đó tồn tại ít nhất k + 1
phần tử của A mà chúng tương ứng với cùng một phần tử của B.
Chú ý: Khi k = 1, ta có ngay lại nguyên lý Dirichlet.
1.6. Application method (Phương pháp ứng dụng)

Dirichlet's principle may seem so simple, but it is a very powerful tool used to
prove many profound results of mathematics. Dirichlet's principle is also applied to
problems of geometry, which is demonstrated through the following system of
exercises:
6

To use Dirichlet's principle, we must make a situation where "rabbit" is locked in
a "cage" and satisfy the following conditions:
+ The number of "rabbits" must be more than the number of cages.
+ "Rabbits" must be put in all "cages", but it is not mandatory that every cage has
rabbits.
Often the Dirichlet method is applied together with the counterargument method.
In addition, it can also be applied to other principles.
Nguyên lí Dirichlet tưởng chừng như đơn giản như vậy, nhưng nó là một cơng cụ
hết sức có hiệu quả dùng để chứng minh nhiều kết quả hết sức sâu sắc của toán học.
Nguyên lí Dirichlet cũng được áp dụng cho các bài tốn của hình học, điều đó được
thể hiện qua hệ thống bài tập sau:
Để sử dụng nguyên lý Dirichlet ta phải làm xuất hiện tình huống nhốt "thỏ" vào
"chuồng" và thoả mãn các điều kiện:
+ Số "thỏ" phải nhiều hơn số chuồng.
+"Thỏ" phải được nhốt hết vào các "chuồng", nhưng không bắt buộc chuồng
nàocũng phải có thỏ.
Thường thì phương pháp Dirichlet được áp dụng kèm theo phương pháp phản
chứng. Ngoài ra nó cịn có thể áp dụng với các ngun lý khác.

CHAPTER 2: APPLICATION OF DIRICHLET
PRINCIPLE TO COMBINED GEOLOGY PROBLEM
Theorem 2.1: Dirichlet's principle for area (Nguyên lí Dirichlet cho diện tích)
If K is a plane figure, and K1, K2, ...., Kn are plane figures such that Ki K and i=and
where is the area of the plane K, and Ki is the area of the plane Ki,i= then there
exist at least two planes Hi, Hj (1) such that Hi and Hj have a common interior point.(
Here we say that P is the interior point of the set A on the plane, if there exists a shape
in the center of P with a small enough radius such that the circle is completely inside
A.)
Nếu K là một hình phẳng, cịn K1, K2, ..., Kn là các hình phẳng sao cho Ki ⊆ K với i
= và < . Ở đây là diện tích của hình phẳng K, cịn |K i| là diện tích của hình phẳng

Ki, i=, thì tồn tại ít nhất hai hình phẳng H i, Hj, (1 ≤ i ≤ j ≤ n) sao cho H i và Hj có điểm
trong chung. (Ở đây ta nói rằng P là điểm trong của tập hợp A trên mặt phẳng, nếu
như tồn tại hình trịn tâm P bán kính đủ bé sao cho hình tròn này nằm trọn trong A).
Theorem 2.2: Infinite Dirichlet's Principle (Ngun lí Dirichlet vơ hạn)
If an infinite set of apples is placed into a finite number of drawers, then at least
one drawer must contain infinitely many apples.
Nếu chi một tập hợp vô hạn các quả táo vào hữu hạn các ngăn kéo, thì phải ít nhất
một ngăn kéo chứa vơ hạn quả táo.
Problem 1: Let the base pyramid be a nine-sided polygon. All sides and 27
diagonals of the base polygon are highlighted in either red or blue. Prove that there

7


exist three vertices of the pyramid such that they are the vertices of the triangle with
the edges highlighted in the same color.
Cho hình chóp đáy là đa giác chín cạnh. Tất cả các cạnh bên và 27 đường chéo
của đa giác đáy được bôi bằng một trong hai màu đỏ hoặc xanh. Chứng minh rằng
tồn tại ba đỉnh của hình chóp sao cho chúng là những đỉnh của hình tam giác với các
cạnh được bôi cùng màu.
Solution. (lời giải)
Consider the side. Since these nine edges are painted with only two colors, blue or
blue, according to Dirichlet's principle there are five edges painted with the same
color. No reduction in general can be said that the edges SA 1, SA2, SA3, SA4, SA5 are
painted with the same red, points A1, A2, A3, A4, A5 are arranged in a counterclockwise direction. Considering the polygon A1A2 A3A4A5 there are two possibilities:

S
A5

A1

A4
A2

A3

If is the diagonal of the bottom, then of course are also the diagonals of
the bottom. The following two possibilities happen again
a) If all three segments , are highlighted in blue. Then are the three vertices
to be found, because triangle is a triangle with three green sides
b) If one of the segments , is red. Assuming is red, then S is a triangle with
three red sides. Now S, are the three vertices to be found. Case 1 has been solved.
2. If A1A2 is the base edge. Then of course A 1A3, A3A5 is definitely the bottom
diagonal
a) If is the base diagonal, we return to the case 1 just considered, where is a
triangle with three sides being the base diagonal.
b) If is the base edge. Then it is clear that , are the bottom diagonals.
1.

If is the base diagonal, we return to the case 1, if is the side. Consider the following
two possibilities:

8


If is the base diagonal, is triangle with three sides are the three diagonals
of the base, we return to the case 1.
2. If is the base egde. Then consider triangle and return to the case 1.
1.

Xét chính cạnh bên. Vì chính cạnh này được bơi bằng hai màu đoe hoặc xanh, nên theo

nguyên lý Dirichlet tồn tại năm cạnh bên được bơi cùng màu. Khơng giảm tổng q có
thể cho đó là các cạnh bên SA1, SA2, SA3, SA4, SA5 được bôi cùng màu đoe, các điểm A 1,
A2, A3, A4, A5 xếp theo chiều ngược chiều kim đồng hồ. Xét đa giác A 1A2 A3A4A5. Có hai
khả năng sau xảy ra:
1. Nếu là đường chéo của đáy, khi đó dĩ nhiên cũng là các đường chéo của đáy. Lại

có hai khả năng sau xảy ra:
a) Nếu cả ba đoạn, cũng bơi màu xanh. Khi đó là ba đỉnh cần tìm, vì tam giác
là tam giác với ba cạnh xanh.
b) Nếu một trong các đoạn, là đỏ. Giả sử đỏ, thì là tam giác S với ba cạnh đỏ.
Lúc này S, là ba đỉnh cần tìm.
Trường hợp 1 đã giải quyết xong.
2. Nếu A1A2 là cạnh đáy. Khi đó dĩ nhiên A1A3, A3A5 chắc chắn là đường chéo đáy.
a) Nếu A1A5 là đường chéo thì ta quay về trường hợp 1, với là tam giác với ba
cạnh là ba đường chéo đáy
b) Nếu A1A5 là cạnh đáy. Khi đó rõ ràng , là các đường chéo đáy.
Nếu là đường chéo đáy, ta quay về trường hợp 1, nếu là cạnh bên. Lại xét hai khả
năng sau:
1. Nếu là đường chéo đáy, thì tam giác là tam giác với ba cạnh là ba đường chéo

đáy, ta quay về trường hợp 1.
2. Nếu là cạnh đáy. Khi đó ta xét tam giác và
quay về trường hợp 1.
Problem 2: In the unit square (side equals 1) there
are 101 points. Prove that there are five points in the
selected points covered by a circle of radius .

9

Trong hình vng đơn vị( cạnh bằng 1) có 101 điểm. Chứng minh rằng có năm điểm
trong các điểm đã chọn được phủ bởi một đường trón bán kính .
Solution.(Lời giải)
Divide the square into 25 equal squares, each side of the square is 0.2. The wallet has
101 points, but only 25 squares, so according to Dirichlet's principle there exists a small
square containing at least five points (of which 101 points are given). Since this square is
inscribed in a circle of radius R= =
Since
,the circle is concentric with the above circumscribed circle and has radius
containing at least five of the aforementioned points.

Chia hình vng làm 25 hình vng bằng nhau, mỗi cạnh của hình vng là 0,2. Vì có
101 điểm, mà chỉ có 25 hình vng, nên theo ngun lý Dirichlet tồn tại hình vng nhỏ
chứa ít nhất năm điểm (trong 101 điểm đã cho). Vì hình vng này nội tiếp trong đường
trịng bán kính R= =
Do nên dĩ nhiên đường trịn đồng tâm với đường trong ngoại tiếp trên có bán kính
chứa ít nhất năm điểm nói trên.
Problem 3: In space for 30 non-zero vectors. Prove that among them are two vectors
whose angle is less than 45o.
Trong không gian cho 30 vectơ khác khơng. Chứng minh rằng trong số đó có hai vectơ
mà góc giữa chúng nhỏ hơn 45o.
Solution. ( Lời giải)
It can be assumed that all vectors have the same starting point O. Take OA of length 1
on the first vector. We construct a vertex cone O on the axis OA, whose vertex angle is
45o. The problem will be proven if we show that at least two of the 30 cones have an
interior point in common.
We draw a sphere S with center O and radius 1. Each time we construct a cone that
intersects the sphere S a shape with an area that can be calculated. We also see that two
cones have a common interior if and only if the parts of the sphere must also have a
common interior. From this and Dirichlet's principle we only need to check that the sum

of the areas of the 30 shapes on the sphere is greater than
the area of the sphere (which is equal to 4π).
We have that = 2π(1-)=2π(1-).
So 30. 2π(1-) 4π
10


This implies that < or <
Có thể giả thiết rằng tất cả vecto có chung điểm đầu O. Lấy OA với độ dài bằng 1
vecto thứ nhất. Chúng ta dựng hình nón đỉnh O cới trục OA, mà góc ở đỉnh là 45 0. Bài
toán sẽ được chứng minh nếu chúng ta chỉ ra rằng ít nhất hai trong số 30 hình nón có
điểm trong chung.
Chúng ra xét hình cấu S với tâm O và bán kính 1, Mỗi lần dựng nón cắt mặt cầu S một
hình với diện tích mà có thể tính tốn được. Ta cũng thấy rằng hai hình nón có điểm
trong chung khi và chỉ khi những phần trên mặt cầu cũng phải có điểm trong chung. Từ
điều này và nuyên lý Dirichlet chúng ra chỉ cần thiết kiểm tra tổng diện tích của 30 hình
trên mặt cầu lớn hơn diện tích mặt cầu ( bằng 4π)
Chúng ta có = 2π(1-)=2π(1-). Vậy 30. 2π(1-) 4π. Điều đó kéo theo < hoặc

<
Problem 4: Let A be the set of convex and bounded points in the plane, and P 1, P2, P3,
P4, P5 the points belonging to A. Let A i be the set obtained from A after a translation of
the points along the vector P1Pi ( i=1,2,3,4,5). Prove that at least two sets of
Ai(i=1,2,3,4,5) have something in common.
Cho A là tập hợp lồi và bị chặn những điểm trong mặt phẳng, còn P 1, P2, P3, P4, P5 là
những điểm thuộc A. Gọi Ai là tập hợp nhận từ A sau một phép tịnh tiến các điểm theo
vectơ P1Pi (I = 1, 2, 3, 4, 5). Chứng minh rằng ít nhất có hai tập hợp trong số các A i (i=
1, 2, 3, 4, 5) có điểm chung.
Solution. (Lời giải)
We separate two cases where A may or may not have an interior point.

1. Case A has an inside point. The symbol A is the set,
which it gets from A’, after affecting the predicate
predicate P1 and the predicate coefficient 2. Then the
following formula is correct AiA’.
Indeed, if Q and Qi are images of Q through vector
translation , P1PiQ1Qi is a parallelogram. The symbol Q”
is the midpoint of P1Qi. Obviously Q”, since Q and Pi are
elements of A and A are convex. On the other hand, P 1Qi
=2P1Q” and since A’ is the image of A through the self-centred predicate P 1 and
coefficient 2, the point Qi is in the set A. Thus each set of the sets A i is in A. At the same
time, each set of Ai is in the set A. simultaneously with A and deduce S(A i)=S(A).
Therefore
S(A1) + S(A2) + S(A3) + S(A4) + S(A5) = 5S(A) (1)
11


But the set A' is similar because A has a coefficient of 2. Deduce
S(A') = 4S(A) (2)
On the other hand, A has an interior point, so S(A) > 0. That is, from (1) and (2) it
follows that S(A1) + S(A2) + S(A3) + S(A4) + S(A5)> S(A’).
Thus in the case of a problem deduced from Dirichlet's principle for area.
2. Where A has no interior point, A will lie on a line. Indeed, if at least three points lie
on a line, due to convexity A contains the entire triangle with vertices at these points,
infer that A has an interior point. But the convex set, which is bounded on a line is exactly
the line segment on this line. The rest of the reasoning is the same as above. But in the
case of a straight line only 3 points and Dirichlet's principle of length are needed.
Chúng ta chia ra hai trường hợp A có thể hoặc có thể khơng có điểm trong.
1. Trường hợp A có điểm trong. Kí hiệu A là tập hợp, mà nó nhận được từ A, sau khi

tác động vị tự tâm P1 và hệ số vị tự 2. Khi đó cơng thứ sau đúng AiA’

Thật vậy, nếu Q và Qi là ảnh của Q qua phép tịnh tiến theo vectơ, thì P1PiQ1Qi là hình
bình hành. Ký hiệu Q” là trung điểm của P 1Qi. Rõ ràng Q”, vì Q và Pi là phần tử của
A và A lồi. Mặt khác P1Qi =2P1Q” và vì A’ là ảnh của A qua phép vị tự tâm P1 và hệ
số 2, nên điểm Qi nằm trong tập hợp A. Như vậy mỗi tập trong các tập A i nằm trong A.
Đồng thời mỗi tập của Ai đồng thời với A và suy ra S(Ai)=S(A). Do đó
S(A1) + S(A2) + S(A3) + S(A4) + S(A5) = 5S(A) (1)
Nhưng tập hợp A’ đồng dạng cới A với hệ số 2. Suy ra
S(A’) = 4S(A) (2)
Mặt khác A có điểm trong, vì thế S(A)>0. Nghĩa là từ (1) và (2) suy ra S(A 1) +
S(A2) + S(A3) + S(A4) + S(A5 )> S(A’).
Như vậy trong trường hợp 1 bài toán được suy ra từ ngun lý Dirichlet cho diện
tích.
2. Trường hợp A khơng có điểm trong, A sẽ nằm trên một đường thẳng, Thật vậy, nếu
ít nhất ba điểm nằm trên một đường thẳng, do tính chất lồi A chứa tồn bộ hình
tam giác với đỉnh là các điểm này, suy ra A có điểm trong. Nhưng tập lồi, bị chặn
trên một đường thẳng chính là đoạn thẳng trên đường thẳng này, Phần cịn lại lý
luận tương tự như phần trên. Nhưng trong trường hợp trên đường thẳng chỉ cần 3
điểm và nguyên lý Dirichlet về độ dài.
SELF PRACTICE EXERCISES
Exercise 1: Let each point on the plane be colored with either blue or red. Prove that
there exists a triangle whose three vertices and the centroid have the same color.
12


Cho mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bằng một trong hai màu xanh, đỏ. Chứng minh
rằng tồn tại một tam giác mà ba đỉnh và trọng tâm cùng màu.
Exercise 2: Let ABC be an acute triangle with BAC= 60 o, BC=2cm. Inside this triangle
give any 13 points. Prove that among these 13 points, there are always 2 points whose
distance is not greater than 1cm.
Cho tam giác nhọn ABC có BAC = 60o, BC=2cm. Bên trong tam giác này cho 13 điểm

bất kì. Chứng minh rằng trong 13 điểm ấy ln tìm được 2 điểm mà khoảng cách giữa
chúng khơng lớn hơn 1cm.
Exercise 3: If a surface A in the plane satisfies the condition S(A) > 1, then it always
contains at least two points in (x1, y1), (x2, y2) whose difference x2-x1 and y2-y1 are integer.
Nếu một bề mặt A trong mặt phẳng thỏa mãn điều kiện S(A)>1 thì nó ln ln chứa ít
nhất hai điểm trong (x1, y1), (x2, y2) mà hiệu x2-x1 and y2-y1 là những số nguyên.
Exercise 4: On the plane for 25 points. Know that among the three odd points there are
always two points less than 1 apart. Prove that there exists a circle of radius 1 containing
not less than 13 given points.
Trên mặt phẳng cho 25 điểm. Biết rằng trong ba điểm bết kì trong số đó ln ln tồn
tại hai điểm cách nhau nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại hình trịn bán kính 1 chứa
khơng ít hơn 13 điểm đã cho.
Exercise 5: Let nine lines have the same property that each line divides the square into
two quadrilaterals whose area ratio is . Prove that at least three of these lines pass through
the same point.
Cho chín đường thẳng cùng có tính chất là mỗi đường thẳng chia hình vng thành
hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng . Chứng minh rằng có ít nhất ba đường thẳng trong số
đó cùng đi qua một điểm.

CHAPTER 3: APPLICATION OF DIRICHLET'S
PRINCIPLE TO ARITHMETIC
Problem 1: Given a square table with size 10x10 consisting of 100 units squares.
Filling each square of this table with a positive integer not exceeding 10 such that the two
numbers in the two squares sharing the same side or the same vertex are co-prime. Prove
that in the given square table, there is a number occurring at least 17 times.
Cho bảng ơ vng kích thước 10x10 gồm 100 ô vuông đơn vị. Điền vào mỗi ô
vuông của bảng này một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho hai số ở hai ô
vuông chung cạnh hoặc chung đỉnh nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng trong bảng ơ
vng đã cho có một số xuất hiện ít nhất 17 lần
13

Solution
Consider a square with side 2x2, since this square has each small square that
always shares the same side or vertex, there exists at most 1 even number, at most 1
number is divisible by 3. Thus, there are at least 2 odd numbers that are not divisible by
3. Table 10x10 is divided into 25 squares with side 2x2, so there are at least 50 odd
numbers that are not divisible by 3. From 1 to 0, there are 3 odd numbers that are not
divisible by 3 which are 1, 5, 7. Applying Dirichlet's principle, one of the three above
numbers appears at least [] +1 = 17 times.
Xét hình vng cạnh 2x2, do hình vng này có mỗi hình vng nhỏ ln chung
cạnh hoặc chung đỉnh nên tồn tại nhiều nhất 1 số chẵn, nhiều nhất 1 số chia hết cho 3 do
đó có ít nhất 2 số lẻ khơng chia hết cho 3. Bảng 10x10 được chia thành 25 hình vng có
cạnh 2x2 nên có ít nhất 50 số lẻ khơng chia hết cho 3. Từ 1 đến 0 có 3 số lẻ không chia
hết cho 3 là 1, 5, 7. Áp dụng nguyên lí Dirichlet ta được một trong ba số trên xuất hiện ít
nhất [] +1 = 17 lần.
Problem 2: In the final round of chess, there are 8 participants. Any 2 participants
must play with each other and each participant must meet all 7 of his opponents. Prove
that at all times of the game, there are always 2 participants competition participants who
have played the same number of matches.
Ở vòng chung kết cờ vua có 8 bạn tham gia. Hai bạn bất kỳ đều phải đấu với nhau
một trận và người nào cũng phải gặp đủ 7 đấu thủ của mình. Chứng minh rằng trong mọi
thời điểm của cuộc đấu, bao giờ cũng có hai đấu thủ đã đấu một số trận như nhau.
Solution
Suppose that the number of matches of participants in the chess competition is a 1;
a2; ...; a8. Since 2 participants play with each other 1 time, we have 0 a i 7, 1 i 8.
Consider the following cases:
+) Up to that point, there is one participant who has not played any match, so no
participant has played all 7 matches.
Then 0 ai 6, 1 i 8, so there exists ak = am. It means that there are two participants

who participant in the same number of matches.
+) Up to the present time, each of participant has played at least one time.
Then we have 0 ai 7, 1 i 8, so there exists ak = am. It means that there are two
participants who played the same number of matches.
Therefore, the problem is proved.

14


Giả sử số trận thi đấu của các bạn tham gia thi đấu cờ vua là a 1; a2; ...; a8. Do hai
bạn thi đấu với nhau một trận nên ta có 0 ai 7, 1 i 8. Xét các trường hợp sau:
+) Tính đến thời điểm đó có một bạn chưa đấu trận nào suy ra khơng có bạn nào
đấu đủ 7 trận.
Khi đó 0 ai 6, 1 i 8 do đó tồn tại ak = am có nghĩa là có hai đấu thủ đã đấu một
số trận như nhau.
+) Tính đến thời điểm đang xét, mỗi bạn đều đã đấu ít nhất một ván.
Khi đó ta có 0 ai 7, 1 i 8, do đó tồn tại ak = am có nghĩa là có hai đấu thủ đã đấu
một số trận như nhau.
Vậy bài toán được chứng minh.
Problem 3: Given 40 positive integers a1, a2, …, a19 and b1, b2, …, b21 satisfying
two conditions:
1 a1 a2 … a19 200 and 1 b1 b2 … b21 200
Prove that there exist four numbers ai; aj; bk; bp with 1 i, j 19; 1 k, p 21 satisfying

Cho 40 số nguyên dương a1, a2, …, a19 và b1, b2, …, b21 thoả mãn hai điều kiện:
1 a1 a2 … a19 200 và 1 b1 b2 … b21 200
Chứng minh rằng tồn tại bốn số ai; aj; bk; bp với 1 i, j 19; 1 k, p 21 thỏa mãn

Solution
Consider sums having the form am + bn with am {a1, a2, …, a19} and bn {b1, b2, …,

b21}.
Since the set {a1, a2, …, a19} has 19 elements and the set {b1, b2, …, b21} has 21
elements, we have a total of 19.21 = 399 sums with the form am + bn.
Notice that 1 a1 a2 … a19 200 and 1 b1 b2 … b21 200, so 2 am + bn 400. So,
sums am + bn take positive integer values from 2 to 400. Here we consider the following
cases:
+) If the above sums get all 399 values from 2 to 400. Then from the hypothesis of
the problem, we get:

15


From that we can deduce:
+) If the above sums do not get enough 399 values from 2 to 400. Then with 399
sums, according to Dirichlet's principle, there will exist two sums with equal values.
Without loss of generality, we assume that the two sums are
Thence inferred

Therefore, the problem is proved.
Xét các tổng có dạng am + bn với am {a1, a2, …, a19} và bn {b1, b2, …, b21}.
Do tập hợp {a1, a2, …, a19} có 19 phần tử và tập hợp {b1, b2, …, b21} có 21 phần tử,
nên ta có tất cả 19.21 = 399 tổng dạng am + bn như thế.
Chú ý rằng 1 a1 a2 … a19 200 và 1 b1 b2 … b21 200 nên 2 am + bn 400. Nên các
tổng am + bn nhận các giá trị nguyên dương từ 2 đến 400. Đến đây ta xét các trường hợp
sau:
+) Nếu các tổng trên nhận đủ 399 giá trị từ 2 đến 400. Khi đó từ giả thiết của bài
tốn ta được
Từ đó ta suy ra được:
+) Nếu các tổng trên không nhận đủ 399 giá trị từ 2 đến 400. Khi đó với 399 tổng
thì theo ngun lí Dirichlet sẽ tồn tại hai tổng có giá trị bằng nhau.

Khơng mất tính tổng qt ta giả sử hai tổng đó là
Từ đó suy ra
Vậy bài toán được chứng minh.
Problem 4: Let X be a set consisting of 700 different positive integers, each
number is not greater than 2006. Prove that in the set X, we always find two elements x,
y such that x - y belongs to the set E = {3; 6; 9}.
Cho X là một tập hợp gồm 700 số nguyên dương đôi một khác nhau, mỗi số không
lớn hơn 2006. Chứng minh rằng trong tập hợp X ln tìm được hai phần tử x, y sao cho x
– y thuộc tập hợp E = {3; 6; 9}.

16


Solution
According to the Dirichlet's principle, in 700 numbers, at least [] + 1 = 234
numbers having the same remainder when they divided by 3. Let 234 numbers be 1 a 1 a2
… a234 2006. Suppose that there is no two numbers ai, aj satisfying ai - aj {3; 6; 9}. So ai
– aj 12 (since (ai - aj)3 and ai aj). In 234 above numbers, the two adjacent numbers are
more or less each other at least 12 units. So, a 234 - a1 233.12 = 2796 2006, this is
illogical.
Therefore, the problem is proved.
Note:
+) We can tighten the problem by reducing the number of given numbers initially
or increasing the value for the number that can be received.
I can tighten the problem by changing 700 numbers to 504 numbers. Let 504
different positive integers, that are considered, be 1 a 1 a2 … a504 2006. Considering
504.4 = 2016 positive integers as follows:
a1
a1 + 3
a1 + 6

a1 + 9

a2
a2 + 3
a2 + 6
a2 + 9

…
…
…
…

a503
a503 + 3
a503 + 6
a503 + 9

a504
a504 + 3
a504 + 6
a504 + 9

Since the numbers in the above table take integer values from 1 to 2006.9 = 2015,
according to Dirichlet's principle, there are at least [] + 1 = 2 numbers that have the same
value or two numbers that are equal. This implies that the problem is proved.
Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 700 số có ít nhất [] + 1 = 234 số có cùng số dư
khi chia cho 3. Gọi 234 số đó là 1 a 1 a2 … a234 2006. Giả sử không tồn tại hai số a i, aj
nào thỏa mãn ai - aj {3; 6; 9} do đó ai – aj 12 (vì (ai - aj)3 and ai aj). Trong 234 số trên,
hai số kề nhau hơn kém nhau ít nhất 12 đơn vị nên a 234 - a1 233.12 = 2796 2006, điều
này vô lý.

Như vậy ta có điều phải chứng minh.
Chú ý:
+ Ta có thể làm chặt bài tốn bằng cách giảm số các số cho ban đầu hoặc tăng
giá trị cho các số có thể nhận. Ta có thể làm chặt bài toán bằng cách thay 700 số thành
504 số. Gọi 504 số nguyên dương đôi một khác nhau đã cho là 2006. Xét 2016 số nguyên
dương như sau:
a1
a1 + 3

a2
a2 + 3

…
…
17

a503
a503 + 3

a504
a504 + 3


a1 + 6
a1 + 9

a2 + 6
a2 + 9

…

…

a503 + 6
a503 + 9

a504 + 6
a504 + 9

Vì các số trong bảng trên nhận các giá trị nguyên từ 1 đến 2006 + 9 = 2015 nên
theo ngun lí Dirichlet, có ít nhất [] + 1 = 2 số nhận cùng một giá trị hay có hai số
bằng nhau, suy ra điều phải chứng minh.
SELF PRACTICE EXERCISES
Exercise 1: In a rectangle with size 1x2, we take 6n 2 + 1 points with n is a positive
integer. Prove that there exists a circle with radius containing not less than 4 of the given
points.
Trong hình chữ nhật kích thước 1x2 ta lấy 6n2 + 1 điểm với n là số nguyên dương.
Chứng minh rằng tồn tại 1 hình trịn có bán kính chứa khơng ít hơn 4 trong số các điểm
đã cho.
Exercise 2: In a national football championship competition, there are 20 teams
participating. What is the minimum number of matches such that in any 3 teams, there are
always 2 teams that have played each other?
Trong một cuộc tranh giải vô địch quốc gia về bóng đá có 20 đội tham gia. Số nhỏ
nhất các trận đấu là bao nhiêu để trong 3 đội bất kỳ ln tìm được 2 đội đã chơi với
nhau.
Exercise 3: Prove that in 39 consecutive natural numbers, there exists at least one
number whose sum of digits is divisible by 11.
Chứng minh rằng trong 39 số tự nhiên liên tiếp bất kỳ ln tồn tại ít nhất một số
có tổng các chữ số chia hết cho 11.
Exercise 4: Given the set A = {1; 2; 3; …; 16}. Finding the smallest positive
integer k such that in every subset consisting of k elements of A, there exist two distinct

numbers a and b, of which a2 + b2 is a prime number.
Cho tập A = {1; 2; 3; …; 16}. Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho trong
mỗi tập con gồm k phần tử của A đều tồn tại hai số phân biệt a, b mà a 2 + b2 là một số
nguyên tố.
Exercise 5: Given 5 distinct positive integers such that each of them has no prime
divisors other than 2 and 3. Prove that in these 5 numbers, there exist two numbers whose
product is a square number.
Cho năm số nguyên dương đôi một phân biệt sao cho mỗi số trong chúng khơng
có ước số ngun tố nào khác 2 và 3. Chứng minh rằng trong năm số đó tồn tại hai số
mà tích của chúng là một số chính phương.

18


CHAPTER 4: APPLOCATION OF DIRICHLET
PRINCIPLE IN THE FIELD OF COMBINATORIAL
THEOREM
Problem 1: To celebrate the 20th anniversary of the liberation of the South, in a city a
meeting was held with 20-year-olds. On April 30 of that year, 400 young people attended
the ceremony. Prove that at least two of the attendees share the same birthday.
Để kỷ niệm 20 năm ngày giải phóng Miền Nam, tại một thành phố người ta tổ chức buổi
lễ gặp mặt những người 20 tuổi. Ngày 30 tháng 4 năm đó có 400 thanh niên đến dự lễ.
Chứng minh rằng có ít nhất hai người trong số người tới dự cùng chung một ngày sinh.
Solution:
The year 1995 has 365 days. We treat each day as a rabbit cage and number it from 1 to
365 (The last rabbit cage is December 31, 1995), the number of young people attending is
rabbits. We put bars years with the same date of birth in the same cage with the exact
same number as the date of birth. Since the number of rabbits is greater than the number
of cages, according to the dirichle principle at least two rabbits should be placed in the
same cage. That means they have the same birth. day.

Năm 1995 có 365 ngày. Chúng ta coi mỗi ngày như là một chuồng thỏ và đánh số từ 1
đến 365 (Chuồng thỏ cuối cùng là ngày 31 tháng 12 năm 1995), số thanh niên tới dự là
thỏ. Chúng ta đặt những thanh niên có cùng ngày sinh vào cùng một chuồng có số đúng
bằng ngày sinh. Vì số thỏ lớn hơn số chuồng nên theo ngun lý đirichlê có ít nhất hai
con thỏ được đặt vào cùng một chuồng. Điều đó có nghĩa là họ sinh cùng một ngày.
Problem 2: Thirty students do their spelling work. One of the students makes 14
mistakes, and the other students make less. Prove that at least three people make the same
number of mistakes.
Ba mươi học sinh làm bài viết chính tả. Một trong số học sinh đó bị 14 lỗi, cịn các học
sinh khác mắc số lỗi ít hơn. Chứng minh rằng có ít nhất ba người mắc số lỗi bằng nhau.
Solution:
Let's consider 15 rabbit cages numbered from 0 to 14. We put each rabbit (student) in a
cage with the exact number of mistakes that the student makes. If no three students have
the same number of mistakes. then in each cage with numbers from 0, ...,13 there will be
at most two students. Then the maximum number of these students is 28 plus the students
who make 14 mistakes in cage number 14 we will get at most 29 students write dictation,
which contradicts the hypothesis of 30 students in the problem.

19


Chúng ta xét 15 chuồng thỏ được đánh số từ 0 đến 14.Chúng ta đặt mỗi con thỏ (học
sinh) vào một chuồng mang số đúng bằng số lỗi mà học sinh đó mắc.Nếu khơng có ba
học sinh nào có số lỗi bằng nhau thì trong mỗi chuồng mang số từ 0,…,13 sẽ có nhiều
nhất hai học sinh.Khi đó số lượng của những học sinh này nhiều nhất là 28 cộng với học
sinh mắc 14 lỗi trong chuồng số 14 chúng ta sẽ nhận được nhiều nhất là 29 học sinh viết
chính tả,điều này dẫn đến sự mâu thuẫn với giả thiết có 30 học sinh của bài tốn.
Problem 3: In a dormitory live 123 people. Their total age is 3813. Prove that it is
possible to choose 100 people living in this compound whose sum of ages is not less than
3100.

Trong một khu tập thể sống 123 người. Tổng số tuổi của họ là 3813. Chứng minh rằng có
thể chọn 100 người sống ở khu tập thể này mà tổng số tuổi của họ không nhỏ hơn 3100.
Solution.
Let's choose 100 oldest people and suppose their sum of ages is less than 3100. Then the
youngest among selected people is 3100:100=31 years old. Otherwise this person is not
younger than the other 23. then the sum of the ages of these 23 people is not greater than
23.31=713. Inferring that the total age of all people living in the dormitory is less than
3100+713=3813, which leads to absurdity.
Chúng ta hãy chọn 100 người nhiều tuổi nhất và giả sử tổng số tuổi của họ nhỏ hơn
3100. Khi đó người trẻ nhất trong số người được chọn là 3100:100=31 tuổi. Mặt khác
người này không trẻ hơn 23 người cịn lại theo cách chọn. Khi đó tổng số tuổi của 23
người này không lớn hơn 23.31 = 713. Suy ra tổng số tuổi của tất cả mọi người sống
trong khu tập thể nhỏ hơn 3100 + 713 = 3813 dẫn đến vơ lí.
SELF PRACTICE EXERCISES
Exercise 1: Five couples hold a get-together. When they see each other they shake hands,
but no one shakes the hand of family members and people whose spouses already shake
hands. No one shakes hands with the same person more than once. After the initial
congratulatory meeting, a man named Hung asked everyone present, including his wife,
how many times they had shaken hands. They found that 9 respondents all answered
different numbers. How many times did Hung's wife shake hands?
Năm cặp vợ chồng tổ chức một buổi gặp mặt. Khi gặp nhau họ bắt tay nhau, nhưng
không ai tự bắt tay người trong gia đình và người mà vợ hoặc chồng mình đã bắt tay rồi.
Cũng khơng ai bắt tay cùng một người nhiều hơn một lần. Sau cuộc gặp chúc mừng ban
đầu, một người đàn ông tên Hùng hỏi tất cả những người có mặt, kể cả vợ mình, là họ đã
bắt tay được bao nhiêu lần. Họ nhận thấy rằng 9 người được hỏi đều trả lời những con
số khác nhau. Như vậy vợ của Hùng đã bắt tay bao nhiêu lần?

20

Exercise 2: A class has 40 students. Prove that there are at least 4 students with the same
birth month.
Một lớp học có 40 học sinh. Chứng minh rằng có ít nhất 4 học sinh có tháng sinh giống
nhau.
Exercise 3: A pine forest has 800000 trees, each tree has no more than 500000 leaves.
Prove that there exist two trees with the same number of leaves.
Một rừng thơng có 800000 cây, mỗi cây có khơng q 500000 lá. Chứng minh rằng tồn
tại 2 cây có số lá bằng nhau.
Exercise 4: Prove that in each group of 5 friends there are at least two people who have
the same number of acquaintances among the people in that group.
Chứng minh rằng trong mỗi nhóm bạn 5 người có ít nhất hai người có cùng số lượng
người quen giữa những người trong nhóm đó.

CHAPTER 5: APPLICATION OF THE DIRICHLET
PRINCIPLE TO OTHER PROBLEMS
5.1. Apply Dirichlet’s principle in proving inequality.
Method: "If more than n rabbits are locked in n naked, then at least one is more than 1
naked rabbit."
From Drichlet's principle deduce the proposition: "Given any 3 real numbers, we can
always get 2 numbers such that their product is not negative".
Apply to the problem of proving inequality:
Suppose we need to prove that f(a,b,c,...) ≥ 0
Step 1: Try to find a=b=c=...=k, the inequality has equal sign.
Step 2: Apply the above proposition: Among the numbers a-k,b-k,c-k,...is there a pair that
has a product of no negative .Assume (a-k)(b-k) ≥ 0.
Step 3: Exploit (a-k)(b-k) ≥ 0 to prove the inequality to be proved.
"Nếu nhốt nhiều hơn n con thỏ vào n truồng thì ít nhất một truồng nhiều hơn 1 con thỏ."
Từ nguyên lý Drichlet suy ra mệnh đề : "Cho 3 số thực bất kỳ ,bao giờ ta cũng lấy ra
được 2 số sao cho tích của chúng khơng âm ".
Vận dụng vào bài toán chứng minh bất đẳng thức:

Giả sử cần chứng minh bđt f(a,b,c,.....) ≥ 0
21


Bước 1: Thử để tìm được a=b=c=...=k thì bất đẳng thức xảy ra dấu bằng.
Bước 2: Áp dụng mệnh đề trên : Trong các số a-k,b-k,c-k,...có một cặp có tích không âm
.Giả sử (a-k)(b-k) ≥ 0.
Bước 3: Khai thác (a-k)(b-k) ≥ 0 để chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh

Problem 1: Let a, b, c be any positive real numbers. We prove that:
Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:
Solution:
It is easy to predict that the equality occurs at a= b=c =1. According to a familiar
evaluation we have
. So we need to prove
Observing the above inequality, we think of the Bunhiacopsky inequality. So we need to
evaluate the word to appear, notice we see
The proof is complete if we can show
Equivalent transformation we have:
So we can only show , however because of the role of a, b, c are the same, so according
to Dirichlet's principle, in the three numbers there are always two numbers with the same
sign and we can completely assume that the two numbers are . Thus, the problem is
proved.
Comment:
We can prove the above inequality in another way:
According to Dirichlet's principle in three numbers there exist two numbers with no
opposite sign,Without loss of generality we assume the two numbers we then we get
deduce
The inequality to be proved can be rewritten
we have

we get
and
From the above inequalities we get
So the above inequality is proved. Equality occurs if and only if a= b= c= 1
Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xảy ra tại a= b=c =1. Theo một đánh giá quen thuộc
ta có
9(ab+ bc+ ca) ≤ 3( a+ b+ c)2. Như vậy ta cần chứng minh

22


Quan sát bất đẳng thức trên ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki,
như vậy ta cần đánh giá từ làm xuất hiện , để ý ta thấy
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được
Biến đổi tương đương ta có
Như vậy ta chỉ cần chỉ ra ,tuy nhiên vì vai trị a,b,c như nhau nên theo
ngun tắc dirichlet thì trong ba số ln tồn tại hai số cùng dấu và ta
hồn
tồn
có
thể
giả
sử
hai
số
đó
là
.
Như vậy bài tốn được chứng minh xong.
+ Nhận xét:

Ta có thể chứng minh bất đẳng thức trên theo cách khác sau
Theo nguyên lý dirichlet trong ba số tồn tại hai số khơng trái
dấu.khơng mất tính tổng qt ta giải sử hai số đó là khi đó ta được
suy ra
Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành

Ta

có

Ta có

và
Từ các bất đẳng thức trên ta được

Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khi a=b=c=1
Problem 2: Let a, b, c be positive real numbers satisfying
prove that .
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng:
23


Solution:
Predict the equality sign occurring at
According to Dirichlet's principle, 2 out of 3 numbers same sign. Without loss of
generality, suppose then
On the other hand we have:
deduce
Dự đoán bất đẳng thức xảy ra tại

Theo nguyên lý dirichlet thì 2 trong 3 sốcùng dấu. Khơng mất tính tổng
qt, giả sử thì
Mặt khác ta có
Suy ra
Problem 3. Let a, b, c be positive real numbers satisfying abc= 1. Prove that:
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
Solution:
The inequality is rewritten
Without loss of generality suppose and same non-negative
Then deduce. We have

So, the inequality is proved.
Bất đẳng thức được viết là
Khơng mất tính tổng qt giả sử và cùng khơng âm.
Thì suy ra . Ta có

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Problem 4. Let a, b, c be positive real numbers. Prove that:
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Solution
According to Dirichlet's principle, 2 out of 3 numbers same sign, no loss of generality
24


assuming
deduce 2(
The proof is complete if we can show
Indeed, the above inequality is equivalent to
The above inequality is always true.
So the problem is proven. Equality occurs if and only if .

Theo nguyên lý dirichlet thì 2 trong 3 số cùng dấu, khơng mất tính
tổng qt giả sử
suy ra 2(
Phép chứng minh sẽ được hoàn tất nếu ta chỉ ra được
Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với
Bất đẳng thức trên ln đúng.
Vậy bài tốn được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
SELF PRACTICE EXERCISES
Exercise 1. Let a, b, c be non-negative real numbers. Prove that:
Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
Exercise 2. Let a, b, c be positive real numbers such that . Prove that:
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
Exercise 3. Let a, b, c be positive real numbers satisfying . Prove that:
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
Exercise 4. Let a, b, c be positive real numbers that satisfy . Prove that:
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
Exercise 5. Let a, b, c be positive real numbers satisfying . Prove that:
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
Exercise 6. Let a, b, c be positive real numbers such that . Prove that:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
25