(SKKN mới NHẤT) một số giải pháp giúp học sinh trường THPT thường xuân 2 giải bài toán lập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ oxy

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong
Nghị quyết Trung ương 4 khóa VII, Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII, được
thể chế hóa trong Luật Giáo dục, được cụ thể hóa trong các chỉ thị của Bộ
Giáo dục và Đào tạo.
Trong Luật Giáo dục, tại điều 24.2 đã ghi: "Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh;
phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự
học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình
cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh".
Chương trình Tốn học ở THPT có nội dung tương đối trừu tượng và
khái quát. Mặc dù, nội dung chương trình đã được biên soạn phù hợp với khả
năng nhận thức, tiếp thu của lứa tuổi học sinh THPT nhưng với đối tượng học
sinh đa dạng thì việc tìm ra phương pháp giảng dạy phù hợp là yêu cầu cần
thiết đối với giáo viên. Giáo viên cần phải phân loại được học sinh, thiết kế bài
giảng cho từng đối tượng, giúp học sinh hứng thú với môn học, chủ động, tích
cực trong học tập. Trong q trình giảng dạy, tơi nhận thấy việc phân dạng
và hình thành phương pháp giải từng dạng toán là biện pháp mang lại hiệu
quả cao trong giảng dạy, đặc biệt với đối tượng học sinh có học lực trung
bình, yếu mơn Tốn.
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là một phương pháp dùng đại số
và giải tích để giải các bài tốn hình học phẳng. Đây là phần kiến thức mới,
được đưa vào nội dung mơn Hình học lớp 10 nên đa số học sinh còn gặp nhiều
lúng túng khi tiếp cận phương pháp giải tốn này, nhất là những học sinh có
học lực trung bình, yếu.
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng có thể coi là bước đệm để học
sinh để học sinh có thể tiếp thu tốt nội dung phương pháp tọa độ trong không
gian, một mảng kiến thức quan trọng ở chương trình Hình học lớp 12. Vì vậy,
việc tìm ra giải pháp giúp học sinh (đặc biệt là học sinh có học lực trung bình
hoặc yếu) nắm được kiến thức cơ bản và kỹ năng giải các bài toán tọa độ là

một việc thực sự cần thiết.
Trường THPT Thường Xuân 2 đóng trên địa bàn miền núi, với đa số học
sinh là con em dân tộc Thái, Mường, còn nhiều hạn chế trong việc tiếp thu
kiến thức, đặc biệt là kiến thức của các mơn địi hỏi khả năng tư duy trừu
tượng như mơn Tốn. Đại đa số các em đều có học lực mơn Tốn là trung
bình, yếu. Với đặc điểm như trên, để cải thiện chất lượng mơn Tốn cho đối
tượng học sinh đại trà, chúng tơi thường tập trung vào giúp các em nắm
vững kiến thức và giải thành thạo các bài toán cơ bản.

1

TIEU LUAN MOI download :


Từ những lí do trên, tơi chọn đề tài: “ Một số giải pháp giúp học sinh
trường THPT Thường Xuân 2 giải bài tốn lập phương trình đường thẳng
trong mặt phẳng tọa độ Oxy”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu nội dung các định nghĩa phương trình tham số, phương
trình tổng quát của đường thẳng, từ đó để phân dạng các bài tốn lập
phương trình đường thẳng.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu mà đề tài hướng tới là:
- Phân dạng các bài tốn cơ bản về lập phương trình đường thẳng,
nhằm giúp đối tượng học sinh có học lực trung bình, yếu nắm vững kiến thức
và kỹ năng giải bài toán dạng này.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo
liên quan đến phương trình đường thẳng trong mặt phẳng, nghiên cứu
chương trình giáo khoa của bộ mơn.

- Phương pháp nghiên cứu thực tế: thông qua việc dạy và học giúp học
sinh nhận dạng và biết cách lập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng.
- Phương pháp kiểm chứng sư phạm: tiến hành dạy và kiểm tra khả
năng
ứng dụng của học sinh nhằm minh chứng cho hiệu quả của việc sử dụng các
giải
pháp.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của Bộ giáo dục và
đào tạo, trong quá trình dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người thầy
phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các
phương pháp phù hợp với kiến thức, với các đối tượng học sinh cần truyền
thụ.
Toán học là một mơn học địi hỏi ở người học khả năng tư duy và logic.
Một trong những hoạt động cơ bản của học sinh trong học tập mơn Tốn ở
trường phổ thơng là hoạt động giải toán. Thực tiễn dạy học lâu nay ở nước
ta, theo nội dung, chương trình và SGK đã ban hành, hoạt động học và giải
toán của học sinh đối tượng trung bình, yếu cơ bản diễn ra theo trình tự:
quan sát, tiếp thu kiến thức; làm bài có sự hướng dẫn; tự làm theo mẫu; độc
lập làm bài.
Bài tốn lập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng là phần kiến
thức rất đa dạng, phong phú. Đây là phần kiến thức học sinh mới được làm
quen nên không tránh khỏi những bỡ ngỡ. Kiến thức, bài tập ở SGK tương đối
dễ với đối tượng học sinh khá, giỏi, nhưng đối với học sinh trung bình, yếu thì
2

TIEU LUAN MOI download :

khá khó khăn trong việc phân biệt các dạng tốn và sử dụng cách giải phù
hợp.
Do đó, tơi ln muốn tìm ra phương pháp dạy hiệu quả cho đối tượng
học sinh có học lực trung bình, yếu; một phương pháp học đơn giản giúp học
sinh tiếp thu kiến thức dễ dàng và thấy hứng thú khi học.
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu trước khi áp dụng sáng kiến
kinh nghiệm
Lượng kiến thức về phần phương trình đường thẳng trình bày trong sách
giáo khoa Hình học 10 tương đối nhiều, bài tập đa dạng. Tuy nhiên, các ví dụ
minh họa chủ yếu ở mức độ nhận biết, thông hiểu trong khi nhiều bài tập lại
đòi hỏi ở mức độ vận dụng hoặc vận dụng cao. Qua thực tế giảng dạy trực
tiếp ở các lớp đại trà, tôi thấy rằng khi ra những bài tập dạng này học sinh có
học lực trung bình, yếu thường bị lúng túng khi xác định các yếu tố để lập
phương trình đường thẳng như: vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến, điểm
thuộc đường thẳng, quan hệ vng góc, quan hệ song song,….dẫn đến lập
khơng chính xác phương trình các đường thẳng. Cụ thể, năm học 2018-2019
khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy, tôi cho học sinh lớp 10C2 làm bài
khảo sát, kết quả như sau:
Lớp

Sĩ số

10C2 45

Giỏi
SL
4

Khá
TB

SL
TL(%) SL
15
33.3
14

TL(%)
8.9

Yếu
TL(%) SL
31.1
12

TL(%)
26.7

Xuất phát từ thực tế đó, trong năm học 2019-2020 tôi đã tiến hành đổi
mới cách dạy nội dung này tại lớp 10C3 (có chất lượngmơn Toán tương
đương với lớp 10C2 trong năm học trước).
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Như tơi đã nói ở trên, hoạt động học và giải tốn của học sinh đối tượng
trung bình, yếu cơ bản diễn ra theo trình tự: quan sát, tiếp thu kiến thức; làm
bài có sự hướng dẫn; tự làm theo mẫu; độc lập làm bài.Vì vậy, để giúp học
sinh có học lực mơn Tốn ở mức trung bình, yếu có thể giải được bài tốn lập
phương trình đường thẳng tơi đã thực hiện các giải pháp sau:
2.3.1. Giải pháp 1: Hệ thống các kiến thức cơ bản về phương trình
đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy
a. Phương trình tham số của đường thẳng:
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( x 0 ; y 0), có vectơ chỉ phương u⃗ =( u1 ; u 2 )

có phương trình tham số có dạng:

{

x=x 0 +u1 t ( t ∈ R )
y= y 0 +u2 t

Nhận xét 1: Muốn viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ ta cần
biết một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương của đường thẳng
đó.
3

TIEU LUAN MOI download :


b. Phương trình tổng quát của đường thẳng:
Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng:
ax +by +c =0 , với a 2+ b2 ≠ 0 .
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M (x 0 ; y 0), có vectơ pháp tuyến n⃗ =( a ; b ) ,
có phương trình tổng quát dạng:
a ( x−x 0 ) + b ( y− y 0 ) =0.
Nhận xét 2: Muốn viết phương trình tổng quát của đường thẳng ta
cần biết một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ pháp tuyến của đường
thẳng đó.
c. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn
Nếu đường thẳng ∆ cắt trục Ox tại điểm A ( a ;0 ) và cắt trục Oy tại điểm
B ( 0 ; b ), với a ≠ 0 , b ≠ 0, thì đường thẳng ∆ có phương trình dạng:
x y
+ =1
a b

d. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆ 1 :a 1 x +b1 y+ c 1=0
∆ 2 :a 2 x +b2 y +c 2=0
a1 x+ b1 y + c1=0
Xét hệ phương trình:
a2 x+ b2 y + c2 =0

{

(*)

Khi đó:
- ∆ 1 , ∆ 2 song song với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình (*) vơ nghiệm.
- ∆ 1 , ∆ 2 cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình (*) có nghiệm duy nhất.
- ∆ 1 , ∆ 2 trùng nhau khi và chỉ khi hệ phương trình (*) vơ số nghiệm.
Nhận xét 3:
- Hai đường thẳng song song với nhau thì vectơ pháp tuyến của
đường thẳng này cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại.
- Hai đường thẳng vng góc với nhau thì hai vectơ pháp tuyến của
chúng cũng vng góc với nhau.
e. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆ 1 :a 1 x +b1 y+ c 1=0
∆ 2 :a 2 x +b2 y +c 2=0
Góc giữa hai đường thẳng ∆ 1 , ∆ 2 được xác định bằng công thức:
|a1 a2 +b1 b2|
cos ( ∆1 , ∆2 )= 2 2 2 2
√ a1 +b 1 √ a2 +b 2

Nhận xét 4:

- Góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ
pháp tuyến ( hoặc góc giữa hai vectơ chỉ phương )của hai đường thẳng đó.
f. Cơng thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ có phương trình: ax +by +c =0 , với a 2+ b2 ≠ 0 .

4

TIEU LUAN MOI download :


Khoảng cách từ điểm M ( x 0 ; y 0) đến đường thẳng ∆ được xác định bởi
công thức:
d ( M 0 , ∆ )=

|a x 0 +b y 0 + c|

√ a2 +b 2

2.3.2. Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh phân dạng và tìm cách giải cho
bài tốn lập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy
a. Lập phương trình tham số của đường thẳng
Phương pháp giải:
- Tìm vectơ chỉ phương (VTCP) u⃗ =( u1 ; u 2 ) của đường thẳng ∆ ;
- Tìm một điểm M (x 0 ; y 0) thuộc ∆ ;

{

x=x 0 +u1 t

- Phương trình tham số của ∆ là: y= y +u t ( t ∈ R )

0
2
Dạng a1: Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( x 0 ; y 0),
có vectơ chỉ phương u⃗ =( u1 ; u 2 ).
Ptts ∆ có dạng:

{

x=x 0 +u1 t
(t ∈ R)
y= y 0 +u2 t

Dạng a2: Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( x 0 ; y 0)
, có vectơ pháp tuyến n⃗ =( a ;b ) .
Cách giải:
+ Tìm VTCP: u⃗ =(−b ;a ) hoặc u⃗ =( b ;−a ).
+ Lập ptts ∆ như dạng a1.
Dạng a3: Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( x 0 ; y 0)
, có hệ số góc k .
Cách giải:
+ Tìm VTCP: u⃗ =( 1; k ).
+ Lập ptts ∆ như dạng a1
Dạng a4: Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua hai điểm
A( x A ; y A ) và B( x B ; y B ).
Cách giải:
AB=( x B−x A ; y B− y A ) hoặc u⃗ =⃗
BA
+ Tìm VTCP: u⃗ =⃗
+ Lập ptts ∆ như dạng a1.
b. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng

Phương pháp giải:
- Tìm vectơ pháp tuyến (VTPT) n⃗ =( a ;b ) của đường thẳng ∆ ;
- Tìm một điểm M (x 0 ; y 0) thuộc ∆ ;
- Lập phương trình ∆ theo cơng thức: a ( x−x 0 ) + b ( y− y 0 ) =0
- Biến đổi phương trình ∆ về dạng: ax +by +c =0
Dạng b1: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm
M ( x 0 ; y 0), có vectơ pháp tuyến n⃗ =( a ;b ) .
Cách giải:
+ Phương trình tổng qt ∆ có dạng:
5

TIEU LUAN MOI download :


a ( x−x 0 ) + b ( y− y 0 ) =0
⇔ ax +by +c =0 , với c=−a x 0−b y 0 .

Dạng b2: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm
M ( x 0 ; y 0), có vectơ chỉ phương u⃗ =( a ; b ) .
Cách giải:
+ Tìm VTPT: n⃗ =(−b ;a ) hoặc n⃗ =( b ;−a ) .
+ Lập pttq ∆ như dạng b1.
Dạng b3: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm
M ( x 0 ; y 0), có hệ số góc k .
Cách giải:
+ Tìm VTCP u⃗ =( 1; k ), suy ra VTPT n⃗ =(−k ; 1 )
+ Lập pttq ∆ như dạng b1.
Dạng b4: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua hai điểm
A( x A ; y A ), B(x B ; y B )
Cách giải:

AB=( x B−x A ; y B− y A ) hoặc u⃗ =⃗
BA , từ đó suy ra VTPT của
+ Tìm VTCP: u⃗ =⃗
∆.
+ Lập pttq ∆ như dạng b1.
Chú ý: Nếu đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A ( a ;0 ) và B ( 0 ; b ), với a ≠ 0 , b ≠ 0 thì
đường thẳng ∆ có phương trình dạng:
x y
+ =1
a b

Dạng b5: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm
M ( x 0 ; y 0) và song song với đường thẳng d : ax +by +c =0.
Cách giải:
+ Tìm VTPT của ∆ : do ∆ /¿ d nên n⃗ ∆=⃗n d=( a; b ).
+ Lập pttq ∆ như dạng b1.
Dạng b6: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm
M ( x 0 ; y 0) và vng góc với đường thẳng d : ax +by +c =0.
Cách giải:
+ Tìm VTPT của ∆ : do ∆ ⊥ d nên n⃗ ∆=⃗ud =(−b ; a ).
+ Lập pttq ∆ như dạng b1.
Dạng b7: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là đường phân giác
của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau ∆ 1 , ∆ 2, biết ∆ 1 : a 1 x +b1 y+ c 1=0 và
∆ 2 :a 2 x +b2 y +c 2=0 .
Cách giải:
+ Giả sử điểm M ( x ; y ) thuộc đường thẳng ∆ , do ∆ đường phân giác của
góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau ∆ 1 , ∆ 2 nên ta có:
d ( M , ∆1 )=d ( M , ∆2 )
⇔

|a1 x +b 1 y +c 1| |a2 x+ b2 y+ c 2|
2

2

√ a1 + b1

=

2
2

√ a +b

2
2

6

TIEU LUAN MOI download :


⇔

a1 x +b1 y +c 1
2
1

√ a +b

2
1

=±

a2 x+ b2 y+ c 2
2
2

√ a +b

2
2

Từ đó suy ra lập được phương trình của hai đường phân giác của góc
tạo bởi hai đường thẳng ∆ 1 , ∆ 2.
Dạng b8: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là tập hợp các điểm
M cách đều hai đường thẳng song song ∆ 1 , ∆ 2, với ∆ 1 :ax +by + c1=0 và
∆ 2 :ax +by + c2=0, c 1 ≠ c 2.
Cách giải:
+ Do M cách đều hai đường thẳng ∆ 1 , ∆ 2 nên ta có:
d ( M , ∆1 )=d ( M , ∆2 )
⇔

|ax+ by+ c 1| |ax+ by+ c 2|

√ a 2+b 2

=

√ a2 +b 2

⇔ 2 ax+2 by +c 1 +c 2=0
c +c
Từ đó phương trình ∆ : ax +by + 1 2 =0.
2

c. Chuyển từ phương trình tham số sang phương trình tổng quát và
ngược lại

{

x=x 0 +u1 t

c1. Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số: y= y +u t ( t ∈ R )
0
2
u
⃗
=
u
;
u
M
(
x
;
y
)
( 1 2 ) nên ∆ đi qua điểm

Khi đó, ∆ đi qua điểm
0
0 , có VTCP
M ( x 0 ; y 0), có VTPT n⃗ =(−u2 ; u1 ), từ đó suy ra phương trình tổng quát của đường
thẳng ∆ ( dạng b1).
c2. Cho đường thẳng ∆ có phương trình tổng qt: ax +by +c =0 ,
Chọn điểm M (x 0 ; y 0) sao cho a x 0 +b y 0 +c=0, khi đó ∆ đi qua điểm
M ( x 0 ; y 0), có VTCP u⃗ =(−b ;a ), từ đó suy ra phương trình tham số của đường
thẳng ∆ ( dạng a1).
2.3.3. Giải pháp 3: Hướng dẫn học sinh giải các ví dụ minh họa về bài
tốn lập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy
Ví dụ 1:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , lập phương trình tham số của đường
thẳng ∆ , biết:
a) ∆ đi qua điểm A ( 2 ; 1 ) và có VTCP u⃗ =( 3 ; 4 );
b) ∆ đi qua điểm B (−2; 3 ) và có VTPT n⃗ =( 5 ; 1 );
c) ∆ đi qua điểm C ( 0 ; 1 ) và có hệ số góc k =3;
d) ∆ đi qua hai điểm M (3 ;1 ) và N ( 2; 3 ).
Hướng dẫn:
HS đọc đề bài để nhận dạng và nêu cách giải.
Lời giải:
a) Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( 2 ;1 ) và có
VTCP u⃗ =( 3 ; 4 ) là:
t (t ∈ R )
{ x=2+3
y=1+4 t
7

TIEU LUAN MOI download :

b) Do ∆ có VTPT n⃗ =( 5 ; 1 ) nên ∆ có VTCP là u⃗ =(−1;5 ).
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm B (−2; 3 ) và có
VTCP u⃗ =(−1;5 ) là:
(t ∈ R )
{x=−2−t
y =3+5 t

c) Do ∆ có hệ số góc k =3 nên ∆ có VTCP là u⃗ =( 1;3 ).
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm C ( 0 ; 1 ) và có
VTCP u⃗ =( 1; 3 ) là:
x=t ( t ∈ R )
{ y=1+3
t
MN= (−1;2 ) .
d) Do ∆ đi qua hai điểm M (3 ;1 ) và N ( 2; 3 ) nên ∆ có VTCP u⃗ =⃗
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M (3 ; 1 ) và có
VTCP u⃗ =(−1;2 ) là:

x=3−t ( t ∈ R )
{ y=1+2
t

Ví dụ 2:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , lập phương trình tổng quát của đường
thẳng ∆ , biết:
a) ∆ đi qua điểm A ( 2 ; 1 ) và có VTPT n⃗ =( 3 ;4 );
b) ∆ đi qua điểm B (−2; 3 ) và có VTCP u⃗ =( 5;1 );
c) ∆ đi qua điểm C ( 0 ; 1 ) và có hệ số góc k =3;
d) ∆ đi qua hai điểm M (3 ;1 ) và N ( 2; 3 );

e) ∆ đi qua hai điểm A ( 3 ; 0 ) và B ( 0 ;−2 ) ;
f) ∆ đi qua điểm P ( 3 ; 4 ), song song với đường thẳng d : 2 x− y+ 5=0;
g) ∆ đi qua điểm Q ( 1;−4 ), vng góc với đường thẳng d : 3 x+2 y=0;
h) ∆ là đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng ∆ 1 , ∆ 2, biết
∆ 1 :2 x− y +3=0 và ∆ 2 : 4 x+ 2 y −7=0.
Hướng dẫn:
HS nhận dạng và nêu cách giải.
Lời giải:
a) PTTQ của đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( 2 ;1 ) và có VTPT n⃗ =( 3 ;4 ) là:
3 ( x−2 ) +4 ( y−1 )=0
⇔ 3 x+ 4 y −10=0
b) Do ∆ có VTCP u⃗ =( 5; 1 ) nên ∆ có VTPT là n⃗ =(−1 ;5 )
Khi đó, PTTQ của đường thẳng ∆ đi qua điểm B (−2; 3 ) và có VTPT
n⃗ =(−1 ;5 ) là:
−1 ( x+2 )+5 ( y −3 )=0
⇔ −x +5 y−17=0

c) Do ∆ có hệ số góc k =3 nên ∆ có VTCP là u⃗ =( 1; 3 ), suy ra ∆ có VTPT
n⃗ =(−3 ; 1 ).
8

TIEU LUAN MOI download :


Khi đó, PTTQ của đường thẳng ∆ đi qua điểm C ( 0 ; 1 ) và có VTPT
n⃗ =(−3 ; 1 ) là:
−3 ( x−0 )+1 ( y−1 ) =0
⇔ −3 x+ y−1=0
d) Do ∆ đi qua hai điểm M (3 ; 1 ) và N ( 2; 3 ) nên ∆ có VTCP là
u⃗ =⃗

MN= (−1; 2 ) , suy ra ∆ có VTPT n⃗ =(−2 ;−1 ) .
Khi đó, PTTQ của đường thẳng ∆ đi qua điểm M (3 ;1 ) và có VTPT
n⃗ =(−2 ;−1 ) là:
−2 ( x−3 )−1 ( y−1 )=0
⇔ −2 x− y +7=0 .
e) Do ∆ đi qua hai điểm A ( 3 ; 0 ) và B ( 0 ;−2 ) nên phương trình ∆ có dạng:
x y
+
=1
3 −2
⇔−2 x +3 y+ 6=0

f) Do ∆ song song với đường thẳng d : 2 x− y+ 5=0 nên ∆ có VTPT
n⃗ =⃗nd =( 2 ;−1 ) .
Khi đó, PTTQ của đường thẳng ∆ đi qua điểm P ( 3 ; 4 ) và có VTPT
n⃗ =( 2;−1 ) là:
2 ( x−3 )−1 ( y−4 )=0
⇔ 2 x− y−2=0 .

g) Do ∆ vuông góc với đường thẳng d :3 x+2 y=0 nên ∆ có VTPT
n⃗ =⃗ud =(−2 ; 3 ).
Khi đó, PTTQ của đường thẳng ∆ đi qua điểm Q ( 1;−4 ) và có VTPT
n⃗ =(−2 ; 3 ) là:
−2 ( x−1 ) +3 ( y+ 4 )=0
⇔ −2 x+3 y +14=0 .
h) Giả sử điểm M ( x ; y ) thuộc đường thẳng ∆ , do ∆ đường phân giác của
góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau ∆ 1 , ∆ 2 nên ta có:
d ( M , ∆1 )=d ( M , ∆2 )
|2 x− y +3| |4 x +2 y−7|
⇔

=
√2 2+(−1 )2 √ 42 +22
⇔

2 x− y +3
4 x +2 y−7
=±
2√ 5
√5

⇔ −4 y +13=0
8 x−1=0
Vậy PTTQ ∆ : −4 y +13=0 hoặc ∆ : 8 x−1=0.

[

Ví dụ 3: (BT3-sgk-tr93)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường
thẳng ∆ 1 : 5 x+ 3 y−3=0 và ∆ 2 : 5 x+ 3 y+7=0 .
9

TIEU LUAN MOI download :


Hướng dẫn:
Tập hợp các điểm M cách đều hai đường thẳng song song ∆ 1 , ∆ 2 là một
đường thẳng ∆ song song với ∆ 1 , ∆ 2 ( dạng b8).
Lời giải:
Do điểm M ( x ; y ) cách đều hai đường thẳng ∆ 1 , ∆ 2 nên ta có:
d ( M , ∆1 )=d ( M , ∆2 )

|5 x +3 y−3| |5 x +3 y +7|
⇔

√5 2+3 2

=

√52 +32

⇔ 5 x +3 y +2=0

Vậy tập hợp các điểm M cách đều hai đường thẳng ∆ 1 , ∆ 2 là đường
thẳng ∆ có phương trình: 5 x+ 3 y +2=0
Ví dụ 4:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC , biết A ( 1 ; 4 ), B ( 4 ; 0 ),
C ( 5 ; 1 ). Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng:
a) Đường thẳng chứa cạnh BC ;
b) Đường trung tuyến AM ;
c) Đường cao AH ;
d) Đường trung trực của cạnh BC ;
e) Đường phân giác trong góc A .
Hướng dẫn:
HS phân tích đề bài, nắm vững các định nghĩa đường trung tuyến,
đường cao, đường trung trực, đường phân giác từ đó vẽ hình, nhận dạng và
lập phương trình đường thẳng.
a) Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC (dạng b4).
b) Lập phương trình đường trung tuyến AM (dạng b4).
c) Lập phương trình đường cao AH (dạng b6).
d) Lập phương trình đường trung trực của cạnh BC (dạng b6).
e) Lập phương trình đường phân giác trong góc A (dạng b7).

Lời giải:

a) Đường thẳng chứa cạnh BC đi qua hai điểm B ( 9 ;−2 ) , C ( 4 ;0 ) nên có
BC =(−5 ; 2 ), suy ra VTPT n⃗ =( 2; 5 ).
VTCP u⃗ =⃗
Phương trình cạnh BC :
2 ( x−9 ) +5 ( y +2 )=0
10

TIEU LUAN MOI download :


⇔ 2 x+5 y −8=0 .
Vậy phương trình cạnh BC : 2 x+5 y −8=0.
b) Đường trung tuyến AM đi qua hai điểm A ( 1 ;4 ) và trung điểm
13
11
11
M
;−1 của BC nên có VTCP u⃗ =⃗
AM =
;−5 , suy ra VTPT
n⃗ = 5 ;
.
2
2
2
Phương trình trung tuyến AM :
11
5 ( x−1 ) + ( y−4 )=0

2
⇔ 10 x+11 y−54=0
Vậy phương trình trung tuyến AM : 10 x+11 y−54=0.
c) Đường cao AH đi qua điểm A ( 1 ;4 ) và vng góc với cạnh BC nên có
BC=(−5 ;2 ) .
VTPT n⃗ =⃗
Phương trình đường cao AH :
−5 ( x−1 ) +2 ( y−4 )=0
⇔ −5 x+ 2 y −3=0 .
Vậy phương trình đường cao AH : −5 x+ 2 y −3=0 .
13
d) Đường trung trực của cạnh BC đi qua trung điểm M 2 ;−1 của BC
BC =(−5 ; 2 ) .
và vng góc với cạnh BC nên có VTPT n⃗ =⃗
Phương trình đường trung trực của cạnh BC :
13
−5 x −
+ 2 ( y +1 ) =0
2
⇔ −10 x+ 4 y +69=0
Vậy phương trình đường trung trực của cạnh BC : −10 x+ 4 y +69=0.
e) Trước hết, lập phương trình đường phân giác ∆ của góc A , là góc tạo
bởi hai đường thẳng lần lượt chứa cạnh AB và AC .
Tương tự câu a), ta có phương trình cạnh AB: 3 x+ 4 y −19=0 và
phương trình cạnh AC : 4 x+3 y −16=0
Giả sử điểm P ( x ; y ) thuộc đường thẳng ∆ , do ∆ đường phân giác của
góc tạo bởi hai đường thẳng AB , AC nên ta có:
d ( P , AB )=d ( P , AC )
|3 x +4 y−19| |4 x+ 3 y−16|
⇔

=
√ 3 2 + 42
√ 42 +32

(

)

(

)

(

(

(

⇔

)

)

)

3 x +4 y−19
4 x+ 3 y−16
=±
5

5

⇔ −x + y−3=0
x + y−5=0

[

Do ∆ là phân giác trong của góc

A nên hai điểm B ,C phải nằm về hai phía khác nhau so với ∆ , vậy phương
trình đường phân giác ∆ cần tìm là: x + y−5=0.

Ví dụ 5: (BT1-sgk-tr93)
11

TIEU LUAN MOI download :


Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD. Biết các đỉnh
A ( 5 ;1 ) , C ( 0 ; 6 ) và phương trình CD : x +2 y −12=0 . Tìm phương trình các đường
thẳng chứa các cạnh cịn lại.
Hướng dẫn:
HS vẽ hình, phân tích đề bài, nhận dạng và lập phương trình đường
thẳng.
- Đường thẳng chứa cạnh AB đi qua điểm A ( 5 ; 1 ) và song song với CD
(dạng b5).
- Đường thẳng chứa cạnh BC đi qua điểm C ( 0 ; 6 ) và vng góc với CD
(dạng b6).
- Đường thẳng chứa cạnh AD đi qua điểm A ( 5 ; 1 ) và vng góc với CD
(dạng b6).

Lời giải:

+) Đường thẳng chứa cạnh AB song song với CD nên có VTPT:
n⃗ AB =⃗nCD =( 1 ;2 ).
Khi đó, PTTQ của đường thẳng AB đi qua điểm A ( 5 ; 1 ) và có VTPT
n⃗ AB =( 1; 2 ) là:
1 ( x−5 ) +2 ( y−1 )=0
⇔ x +2 y −7=0 .
+) Đường thẳng chứa cạnh BC vng góc với CD nên có VTPT
n⃗ BC =⃗uCD =(−2 ; 1 ).
Khi đó, PTTQ của đường thẳng BC đi qua điểm C ( 0 ; 6 ) và có VTPT
n⃗ BC =(−2 ; 1 ) là:
−2 ( x−0 ) +1 ( y−6 )=0
⇔ −2 x+ y−6=0 .
+) Đường thẳng chứa cạnh AD vng góc với CD nên có VTPT
n⃗ AD =⃗uCD =(−2 ; 1 ).
Khi đó, PTTQ của đường thẳng AD đi qua điểm A ( 5 ; 1 ) và có VTPT
n⃗ AD =(−2 ;1 ) là:
−2 ( x−5 ) +1 ( y−1 )=0
⇔ −2 x+ y+ 9=0 .

Ví dụ 6: (BT3.6- Sách BTHH 10-tr131)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC , biết phương trình
đường thẳng AB: x−3 y +11=0, đường cao AH :3 x+ 7 y−15=0, đường cao
BH :3 x−5 y +13=0. Lập phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh cịn lại
của tam giác.
12

TIEU LUAN MOI download :

Hướng dẫn:
HS đọc kĩ đề bài , vẽ hình, phân tích, định hướng cách giải.
- Xác định tọa độ điểm A , B .
- Đường thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm A và vng góc với đường
cao BH (dạng b6).
- Đường thẳng chứa cạnh BC đi qua điểm B và vng góc với đường
cao AH (dạng b6).
Lời giải:

Điểm A là giao của hai đường thẳng AB, AH nên tọa độ điểm A là
nghiệm của hệ phương trình:
y +11=0
x=−2
⇔{
{3x−3
x +7 y −15=0
y=3

⇒ A (−2 ; 3 ).

Tương tự, điểm B là giao của hai đường thẳng AB, BH nên tọa độ điểm
B là nghiệm của hệ phương trình:
y +11=0
x=4
⇔{
{3x−3
x −5 y+13=0
y=5

⇒ B ( 4 ;5 ) .

⇒
Đường thẳng chứa cạnh AC vng góc với BH : 3 x−5 y +13=0
VTPT n⃗ AC =⃗uBH =( 5 ; 3 ) .
Khi đó, PTTQ của đường thẳng AC đi qua điểm A (−2 ; 3 ) và có VTPT
n⃗ AC = ( 5;3 ) là:

5 ( x+ 2 )+ 3 ( y −3 )=0
⇔ 5 x+ 3 y +1=0 .
Vậy phương trình cạnh AC : 5 x+ 3 y +1=0
⇒
Đường thẳng chứa cạnh BC vng góc với AH : 3 x+ 7 y−15=0
VTPT n⃗ BC =⃗u AH =(−7 ; 3 ).
Khi đó, PTTQ của đường thẳng BC đi qua điểm B ( 4 ; 5 ) và có VTPT
n⃗ BC =(−7 ; 3 ) là:
−7 ( x−4 ) +3 ( y−5 )=0
⇔ −7 x +3 y+ 13=0 .
Vậy phương trình cạnh BC : −7 x +3 y+ 13=0

Ví dụ 7:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường trịn (C) có phương trình:
2
2
x + y −4 x −2 y +3=0. Lập phương trình tiếp tuyến ∆ của (C), biết ∆ vng góc
với đường thẳng d : y=x .
Hướng dẫn:
13

TIEU LUAN MOI download :

giải.

HS đọc kĩ đề bài, vẽ hình, phân tích u cầu bài toán, định hướng cách

- Xác định dạng phương trình của ∆ .
- Xác định điều kiện để ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C).
Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm A ( 2 ; 1 ), bán kính R=√ 2.
Do đường thẳng ∆ đường thẳng d : y=x nên VTPT n⃗ ∆=⃗ud =( 1 ; 1 ).
Khi đó, ptđt ∆ có dạng: x + y +c=0 .
Mặt khác, ∆ là tiếp tuyến của (C) nên ta có: d ( A , ∆)=R
⇔
⇔ c=−1
c=−5

|2+1+ c|

√12 +12

=√ 2 ⇔|3+c|=2

[

Vậy phương trình dường thẳng ∆ là: x + y−1=0 hoặc x + y−5=0.
2.3.4. Giải pháp 4: Giao bài tập về nhà.
Bài 1. Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp
sau:

a) ∆ đi qua điểm A (−5 ;−2 ) và có VTCP u⃗ =( 4 ;−3 ) ;
b) ∆ đi qua điểm B ( 3; 0 ) và có VTPT n⃗ =( 2; 1 ) ;
c) ∆ đi qua điểm C (−3 ;2 ) và có hệ số góc k =−2;
d) ∆ đi qua hai điểm M ( √3 ; 1 ) và N ( 2+ √ 3; 4 ).
Bài 2. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ , trong các trường hợp
sau:
a) ∆ đi qua điểm A ( 1 ;1 ) và có VTPT n⃗ =( 3 ;−2 );
b) ∆ đi qua điểm B (−1;−3 ) và có VTCP u⃗ =( 2;−3 ) ;
−1
c) ∆ đi qua điểm C ( 2 ;−1 ) và có hệ số góc k = 2 ;

d) ∆ đi qua hai điểm M (3 ; 5 ) và N (−2 ; 3 );
e) ∆ đi qua hai điểm A ( 2 ; 0 ) và B ( 0 ;−3 );
f) ∆ đi qua điểm P ( 1; 4 ) , song song với đường thẳng d : x−2 y+ 1=0;
g) ∆ đi qua điểm Q ( 5 ; 0 ) và vng góc với đường thẳng
d :−4 x +3 y−1=0;
h) ∆ là đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng ∆ 1 , ∆ 2, biết
∆ 1 :2 x+ 4 y +7=0 và ∆ 2 : x−2 y−3=0 .

14

TIEU LUAN MOI download :


Bài 3. (BT6-sgk-93) Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo
bởi hai đường thẳng 3 x−4 y+ 12=0 và 12 x+5 y−7=0 .
Bài 4. (BT3.5- BTHH10-tr131) Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm
M (1 ; 2 ) và chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn có độ dài bằng nhau.
Bài 5. Lập phương trình đường thẳng chứa ba cạnh của một tam giác có
trung điểm các cạnh lần lượt là M (−1;0 ), N ( 4 ; 1 ) , P ( 2; 4 ) .

Bài 6. (BT3-sgk-tr80) Cho tam giác ABC , biết A ( 1 ; 4 ), B ( 3;−1 ) và C ( 6 ; 2 ) .
a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC và CA .
b) Lập phương trình tổng quát của đường cao AH và trung tuyến AM .
Bài 7. Biết hai cạnh của một hình bình hành có phương trình x +3 y=0 và
2 x−5 y+ 6=0, một đỉnh của hình bình hành là C(4; 1). Lập phương trình các cạnh
cịn lại của hình bình hành.
Bài 8. Biết phương trình hai cạnh của một tam giác là 5 x−2 y+ 6=0 và
4 x+7 y −21=0 . Lập phương trình cạnh thứ ba của tam giác biết trực tâm tam giác
trùng với gốc toạ độ.
Bài 9. Cho tam giác ABC có A (−2 ; 1 ) và các đường cao có phương trình
2 x− y +1=0 và x + y +2=0 . Lập phương trình đường trung tuyến qua đỉnh A của
tam giác ABC .
Bài 10.(BT7-sgk-tr99) Cho tam giác ABC với H là trực tâm. Biết phương trình
của đường thẳng AB, BH và AH lần lượt là 4 x+ y−12=0 , 5 x−4 y−15=0 và
2 x+2 y−9=0 . Hãy lập phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại và
đường cao thứ ba.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Như trong phần lí do chọn đề tài đã nêu, sáng kiến kinh nghiệm trình
bày các giải pháp giúp học sinh trường THPT Thường Xn 2 giải bài tốn
lập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Với tinh thần đó,
trong q trình giảng dạy bài tốn này tơi thực hiện theo cách hệ thống kiến
thức, phân dạng và định hướng cách giải cho từng dạng, thông qua các ví dụ
được chọn lọc từ dễ đến khó. Từ những bài tốn cơ bản học sinh có thể áp
dụng vào giải các bài phức tạp, đòi hỏi nhiều kiến thức và kỹ năng hơn. Khi
thực hiện các giải pháp này tại lớp 10C3 (năm học 2019-2020), tôi nhận thấy:
- Học sinh hứng thú hơn khi giải toán, bởi các kiến thức, kỹ năng mà
các em còn lúng túng, mơ hồ đã được trình bày một cách tường minh, dễ hiểu.
- Giờ dạy tránh được tính đơn điệu, nhàm chán theo một lối mịn lâu
nay.

- Học sinh có nhiều thay đổi tích cực về phương pháp học tập và tư duy
giải tốn.
Kết quả đó cịn được thể hiện rõ rệt qua các bài kiểm tra:
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Số
Lớp
HS
SL
TL(%)
SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%)
15

TIEU LUAN MOI download :


10C3

43

6

14

17

39,5

17

39,5

3

7

3. Kết luận và đề xuất
3.1. Kết quả thực hiện đề tài
Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy khi chưa áp dụng đề tài vào giảng
dạy, học sinh có học lực mơn Tốn ở mức trung bình, yếu gặp khá nhiều khó
khăn, kể cả giải những bài tập ở dạng cơ bản nhất. Sau khi triển khai đề tài
học sinh đã có thể làm tốt các bài tập cơ bản ở mức độ thông hiểu và vận
dụng, đặc biệt là các bài tập trong sách giáo khoa. Vì vậy, các em đã thực sự
cảm thấy tự tin, hứng thú với mơn Tốn. Qua khảo sát kết quả học tập của
các em cũng có sự tiến bộ rõ rệt.
3.2. Kiến nghị
a)Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần nghiên cứu, tìm tịi các
phương pháp dạy phù hợp với từng đối tượng học sinh để mang lại hiệu quả
cao nhất.
b) Giáo viên cần tăng cường kiểm tra, sửa chữa sai sót cho học sinh,
đồng thời động viên các em khi các em tiến bộ.
c) Giáo viên hướng dẫn cách tự đọc sách của học sinh, động viên tìm tịi
các phương pháp hay, ngắn gọn.
d) Đề tài là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các em học sinh và thầy
cơ giáo.
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân trong quá trình thực
hiện việc đổi mới phương pháp dạy học, đề tài khơng tránh khỏi những hạn
chế. Vì vậy, tơi rất mong sự đóng góp q báu của bạn bè, đồng nghiệp.

Tôi xin chân thành cảm ơn.
XÁC NHẬN
Thanh Hóa, ngày 26 tháng 6 năm
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
2020
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung
của người khác.

Nguyễn Thị Thanh Huyền

16

TIEU LUAN MOI download :


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa: Hình học 10.
2. Sách bài tập: Bài tập Hình học 10.
3. Một số tài liệu tham khảo từ trang web: Violet.vn.

17

TIEU LUAN MOI download :