-tích phân liên kết

1
TÀI LIỆU TOÁN THPT
www.k2pi.net
( Tài liệu được gửi đến www.k2pi.net bởi thầy Ngô Quang Huy )

Tích phân liên kết
Trong một số bài toán tính tích phân I =
()
b
a
f x dx

, ta tìm đến tích phân K=
()
b
a
g x dx

và tính I trong
các mối ràng buộc với K ( K được gọi là tích phân liên kết với I ) .
Ta đi xác lập các đẳng thức liên hệ giữa I và K :
mI nK a
pI qK b






Giải hệ 2 phương trình 2 ẩn I , K ta tính được I và cả K .

Ta thường gặp trường hợp :
* I = K khi đó tính I+K từ đó suy ra I .
* K là một tính phân được tính đơn giản , khi đó từ đẳng thức : mI +nK =a ta suy ra I (và K)
Việc tìm đến tích phân liên kết K , tùy thuộc vào kinh nghiệm của bạn . Thường biểu thức các tích
phân (liên kết ) f(x) ,g(x) có tính cân xứng hoặc bổ sung cho nhau .
Chúng ta hãy tìm hiểu qua một số ví dụ :
Bài 1: Tính I =
6
2
0
cos 2 .x sin xdx



Có thể tính trực tiếp tích phân này – Một cách tính gián tiếp ?
Vì sin
2
x + cos
2
x =1 , ta xét tích phân tương tự : K =
6
2
0
cos 2 . osx c xdx



Ta có : I +K =
6
0

cos 2 xdx


=
1
2
sin2x |
6
0

=
3
4
(*)
Mặt khác : K-I =
6
22
0
cos 2 (cos )x x sin x dx



=
6
2
0
cos 2xdx



=
6
0
1
(1 cos 4 )
2
x dx



=
6
0
1 1 1 3 1 3
( sin 4 ) | ( ) ( )
2 4 2 6 8 4 3 4
xx


    
(**)
Từ (*) (**) suy ra : I =
1 3 3
()
8 4 3




Bài 2: Tính I =

2
0
sin
sin cos 1
x
dx
xx




Xét bài toán (tích phân) tương tự : K =
2
0
os
sin cos 1
cx
dx
xx




Bằng phép thay biến x = /2-t
Ta có : dx =-dt , x = 0 → t= /2 , x = /2→ t= 0
Khi đó : I = = K
Ta có : I + K =
2
0
cos sin

sin cos 1
xx
dx
xx




=
2
0
1dx


-
2
0
1
sin cos 1
dx
xx



= /2 -
2
0
1
sin cos 1
dx

xx




Tính
2
0
1
sin cos 1
dx
xx



=
2
0
11
sin( / 4) sin( / 4)
2
dx
x




=
2
0

11
22
sin( ) os( )
2 4 2
dx
xx
c






2
=
22
00
os[( ) ( )]
11
2 4 2
[ cot( ) tan( )]
2 2 2 4 2
sin( ) os( )
2 4 2
xx
c
xx
dx dx
xx
c






  


=
/2
0
[ ln sin( ) ln os( )] |
2 4 2
xx
c




=
/2
0
sin( )
2
24
ln | ln 2 ln ln 2
2
os( )
2
x

x
c



  

Ta có : I=K và I+K = ln2 → I=K =
ln 2
2

Chú ý : + Bạn có thể không thay biến , tính I-K = = 0 → I=K .
Bài 3: I =
3
2
44
0
cos sin
sin cos
xx
dx
xx




Nếu tính được I =
3
2
44

0
cos sin
sin cos
xx
dx
xx



thì ta cũng tính được K =
3
2
44
0
sin cos
sin cos
xx
dx
xx




Biểu thức của K là biểu thức của I trong đó : sinx được thay bởi cosx và cosx được thay bởi sinx .
Bằng phép thay biến x = /2-t Ta cm được I = K
Ta có : I+K =
2
44
0
sin cos

sin cos
xx
dx
xx



=
2
2
0
sin 2
1 cos 2
x
dx
x




Đặt t = cos2x → dt = -2sin2xdx
x = 0 → t=1 , x = /2 → t= -1
I+K =
1
2
1
11
21
dt
t




= = /4
Suy ra : I = /8
Chú ý : (cos
4
x )’= -4 cos
3
xsinx - xét đến (sin
4
x )’= 4 sin
3
xcosx
Ta có: (sin
4
x + cos
4
x )’= - sin4x
Khi đó : 4(I-K) =
2
44
0
sin 4
sin cos
x
dx
xx




= - ln(
44
sin cosxx
)|
/2
0

= 0 → I= K
Bài 4: I =
1
2
0
3
x
dx
e



* Chọn K =
2
1
2
0
3
x
x
e dx
e




Ta có :
1
0
31I K dx  

(1)
* Tính K . Để ý (e
2x
+3 )’= 2 e
2x
.
Khi đó : K =
1
0
22
1
2
2
0
1 2 1 1 3
ln( 3) | ln( )
2 3 2 2 4
x
x
x
e dx e
e

e

  


(2)
Từ (1) (2) suy ra : I =
2
1 1 3
ln( )
3 6 4
e 

.
Bài 5:
4
1
6
0
1
1
x
I dx
x





Liên hệ đến hằng đẳng thức : x

6
+1 = (x
2
+1) ( x
4
- x
2
+1) , ta chọn
2
1
6
0
1
x
K dx
x




Ta có : I - K =
24
1
6
0
1
1
xx
dx
x




=
1
2
0
1
1
dx
x



Đặt x = tant → dx = (1+tan
2
t)dt . x = 0 → t =0 , x = 1 → t = /4
Khi đó : I-K =
/4
0
1
4
dt




và
22
1

0
11
6
66
00
1 3 1 1
ln( 1) | ln 2
1 3 1 3 3
xx
K dx dx x
xx
    




3
suy ra : I =
1
ln 2
3
+
4

.
Đây là nội dung còn nhiều điều tìm hiểu – vấn đề chọ tích phân liên kết đòi hỏi khả năng tư duy linh
hoạt của bạn . Bạn suy nghĩ tìm tòi thêm nhé . Mời bạn cùng giải một số bài tập sau :
Bài tập đề nghị :
Bài 1: a/
2

4
0
sin 2 . osx c xdx


b/
2
4
0
os2 . osc x c xdx



Bài 2: a/
3
6
sin
cos sin
x
dx
xx




b/
2
2012 2010
0
sin osxc xdx



c/
2
2
0
sin os
nn
xc xdx




Bài 3: a/
dx
x
x
I


6
0
2
2cos
cos

b/
2
0
2 sin 3 cos

s inx cos 1
xx
dx
x





Bài 4: a/
2
0
2 sin 1
sin cos 1
x
dx
xx




b/
2
4
1 os
sin cos 1
cx
dx
xx







Bài 5: a/
2
0
2 sin 3 cos
s inx cos
xx
dx
x




b/
3
6
2 cot 3 tan
cotx tan
xx
dx
x






Bài 6: a/ *
2
3
0
sin
3 s inx cos
x
dx
x



b/
2
2
0
os
sin cos 1
cx
dx
xx




Bài 7 a/
3
62
1

1
(1 )
dx
xx

b/
1
4
1
12
x
x
dx



c/
1
2
2
0
( 2)
x
xe
dx
x 


Bài 8 : a/ *
3

6
os5
sin 2
cx
dx
x



b/ *
3
6
sin 5
os
x
dx
cx




Và bạn có thể đề xuất thêm nhiều bài toán mà khi giải nó ta phải xét đến tích phân liên kết phải
không nào. Chúc bạn vui – thành công.
17/6/2012

4





Bắt đầu từ những gì đơn giản nhất
4
2
0

t1
()
1
gx
dx
tgx




2
4
cos sin
3 sin 2
xx
dx
x






5









b/
3 3 3
6 6 6
sin 5 s inx 2 os3 sin 2
2 2 os3 sin
os os
x c x x
dx dx c x xdx
c x c x
  
  


  
  

=
3
6
2 (sin 4 sin 2 )x x dx




=

Bổ sung : Tính : I =
3
6
os5
sin 2
cx
dx
x




Chọn K =
3
6
os

sin 2
cx
dx
x





I+K =
3 3 3
3
6
6 6 6
os5 cos 2 sin 3 sin 2 2 2
2 sin 3 os3 |
sin 2 sin 2 3 3
c x x x x
dx dx xdx c x
xx
  


  

     
  


K =

3
6
os
sin 2
cx
dx
x



=
3
6
1
sin
dx
x



=
33
3
6
66
12
(cot tan ) (ln sin ln os ) |
2 2 2 2 2 2
sin 2
2

x x x x x
dx d c
x




   


















2
3
0
tan

3 s inx cos
x
dx
x





2
3
0
sin
3 s inx cos
x
dx
x








6
3
6
os3
os

cx
dx
cx



3
6
os5
os
cx
dx
cx


