Các bài toán tích phân liên kết

 Nguyễn Đức Thụy  Tích phân liên kết
Trong nhiều trường hợp việc tính tích phân I phức tạp, ta tìm cách xét thêm tích phân J (gọi là tích
phân liên kết, có quan hệ với I) sao cho ta tính được mI+nJ và nI-mJ (thường là I+J, I-J) tương đối dễ dàng, từ
đó suy ra I.
Vấn đề là lúc nào thì dùng tích phân liên kết và liên kết đến tích phân nào?
Tính các tích phân sau nhờ sử dụng tích phân liên kết:
1.
3
6
cos
sinx cos
xdx
I
x
π
π
=
+
∫
2.
4
4 4
0
cos
sin x cos
xdx
T
x
π
=
+

∫
3.
1
0
x
x x
e dx
M
e e
−
=
+
∫
4.
2
1
x
x x
e dx
G
e e
−
=
−
∫
5.
2
ax
0
osb ( ; 0)

b
R e c xdx a b
π
= ≠
∫
6.
2
2
0
os
x
U e c xdx
π
=
∫
7.
4
2
0
os . os2A c x c xdx
π
=
∫
8.
2
4
0
os
x
E e c xdx

π
−
=
∫
9.
2
1
sin(ln )
e
P x dx
π
=
∫
10.
2
6
0
cos
cos2
x
W dx
x
π
=
∫
HD: Tích phân liên kết của các tích phân trên là: 1.
3
6
sin
sinx cos

xdx
J
x
π
π
=
+
∫
, I+J=pi/6 và I-J=0;
2.
4
4 4
0
sin
sin x cos
xdx
P
x
π
=
+
∫
,
T P
π
+ =
và
0T P
− =
; 3.

1
0
x
x x
e dx
M
e e
−
=
+
∫
, M+N=1 và
2
1
ln
2
e
M N
e
+
− =
;
4.
2
1
x
x x
e dx
H
e e

−
−
=
−
∫
,
2
ln( 1) 1; 1G H e G H+ = + − − =
;
5. Đặt
ax
cosu bx
dv e dx
=


=

rồi dẫn đến
2
ax
0
sinb
b
S e xdx
π
=
∫
, khi đó aI-bJ=-1, lại đặt
ax

sinu bx
dv e dx
=


=

lại có aJ+bI=
2
a
b
e
π
;
10.
2
6
0
sin
cos2
x
Z dx
x
π
=
∫
khi đó
1
¦W ln tan ;¦W
2 4 6

Z x Z
π π
 
+ = + − =
 ÷
 
11. Xét hai tích phân:
1
0 0
os .sin x ; os .cos .sin x ;
n n
I c x dx J c x nx dx n N
π π
−
= = ∀ ∈
∫ ∫
a. Chứng minh rằng: I + J = 0. b. Tính:
1
0
os .sin( 1)x
n
K c x n dx
π
−
= +
∫
12. (ĐH QG TP. HCM A01- 02): Đặt
2
6
sin

sin 3 cos
0
xdx
I
x x
π
=
∫
+
và
2
6
cos
sin 3 cos
0
xdx
J
x x
π
=
∫
+
a. Tính I-3J và I+J. b. Từ các kết quả trên hãy tính các giá trị của I, J và: T =
5
3
cos2
cos 3 sin
3
2
xdx

x x
π
π
∫
−
13. (ĐH Cần Thơ A99- 00) a. Cho hàm số f liên tục trên (0 ; 1). CMR:
2 2
(sin ) (cos )
0 0
f x dx f x dx
π π
=
∫ ∫
b. Sử dụng kết quả trên để tính:
3
2
cos
sin cos
0
xdx
I
x x
π
=
∫
+
và
3
2
sin

sin cos
0
xdx
J
x x
π
=
∫
+
 Written by Thuy Nguyen Duc  Lien Son High School  Email: