Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên (Trường ĐH Thương mại)

CHƯƠNG 2

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN


Chương 2
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

1. Đại lượng ngẫu nhiên.
2. Quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên.
3. Các số đặc trưng chính của đại lượng ngẫu nhiên.


Chương 2
§1. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
1.1 Định nghĩa
Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên ( biến ngẫu nhiên, ĐLNN)
là đại lượng mà trong kết quả của phép thử sẽ nhận một và chỉ
một trong các giá trị có thể có với một xác suất tương ứng xác
định.
• ĐLNN thường được ký hiệu bởi chữ cái hoa như: X, Y,
Z,…,X1…,Y1 …,
• Các giá trị có thể có của ĐLNN được ký hiệu bởi các chữ
cái thường x,y, z,…


Chương 2
§1. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
1.1 Định nghĩa
Ví dụ: - Gọi X là số chấm xuất hiện khi gieo quân xúc xắc
X nhận các giá trị có thể có: 1,2,3,4,5,6

- Theo báo cáo của phòng Y tế chiều cao sinh viên
K45C nằm trong đoạn [150;190](cm). Chọn ngẫu nhiên ôột
sinh viên K45C .Gọi Y là chiều cao của sinh viên. Khi đó Y là
ĐLNN
Y nhận các giá trị có thể có: [150;190]


Chng 2
Đ1. I LNG NGU NHIấN
1.2 Phõn loi LNN
ã LNN rời rạc: ĐLNN X được gọi là ĐLNN rời rạc nếu tập
các giá trị có thể có của nó là đếm được.
• ĐLNN liên tục: ĐLNN X được gọi là ĐLNN liên tục nếu tập
các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng bất kỳ trên
trục số.


Chương 2
§2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN
Định nghĩa: Luật phân phối xác suất của ĐLNN là quy
tắc cho biết những giá trị có thể có của nó cùng các xác suất
tương ứng.
2.1 Bảng phân phối xác suất
2.1.1 Định nghĩa
Cho X là ĐLNN rời rạc nhận các giá trị có thể có x1,
x2, …,xn … và các xác suất tương ứng p1, p2, …,pn …Bảng
phân phối xác suất của X có dạng:


Chương 2

§2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN
2.1 Bảng phân phối xác suất

X
P

x1
p1

x2
p2

2.1.2 Tính chất
• ∑ pi = ∑ P(X = xi)=1

...
...

xn
pn

…
…


Chương 2
§2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN
2.2 Hàm phân phối xác suất
2.2.1 Định nghĩa
Hàm phân phối xác suất của ĐLNN X, ký hiệu F(x), là xác

suất để ĐLNN X nhận giá trị nhỏ hơn x, với x là số thực bất kỳ.
F(x)=P(X< x)
Chú ý: Nếu X là ĐLNN rời rạc, ta có:

F ( x) 

p

i: xi  x

i


Chương 2
§2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN
2.2.2 Tính chất của hàm phân phối xác suất
Tính chất 1: 0 ≤ F(x) ≤ 1

với mọi x

Tính chất 2 : F(x) là hàm khơng giảm.
Nếu x1 < x2 ta có: F(x1) ≤ F(x2)
Hệ quả 1: P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a)


Chương 2
§2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN
2.2.2 Tính chất của hàm phân phối xác suất
Hệ quả 2:
+) Xác suất để ĐLNN liên tục X nhận một giá trị xác

định bằng 0.

P(X = x0 ) = 0

+) Nếu X là ĐLNN liên tục ta có:
P(a ≤ X ≤ b)= P(a ≤ X < b)= P(a < X ≤ b)= P(a < X < b)


Chương 2
§2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN
2.2.2 Tính chất của hàm phân phối xác suất
Tính chất 3 :
lim F( x )  F()  1

x 

lim F( x )  F()  0

x 

Tính chất 4 : Nếu X chỉ nhận giá trị trong [a;b] thì
F(x) = 0 với mọi x ≤ a
F(x) = 1 với mọi x > b


Chương 2
§2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN
2.3 Hàm mật độ xác suất
2.3.1 Định nghĩa
Cho ĐLNN liên tục X có hàm phân phối xác suất F(x), nếu

F(x) khả vi tại x thì hàm số f(x)=F’(x) được gọi là hàm mật độ
xác suất của ĐLNN X
2.3.2 Tính chất của hàm mật độ
Tính chất 1:

f(x)≥ 0

với mọi x


Chương 2
§2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN
2.3.2 Tính chất của hàm mật độ
x

Tính chất 2:

F ( x) 

 f (t )dt



b

Tính chất 3 :

P(a  X  b)   f ( x)dx


Tính chất 4 :

a

 f ( x)dx  1



Chú ý: Nếu hàm số f(x) thỏa tính chất 1 và 4 thì f(x) sẽ là hàm
mật độ xác suất của một ĐLNN nào đó.


Chương 2
§3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CHÍNH CỦA ĐLNN
3.1 Kỳ vọng toán
3.1.1 Định nghĩa
Kỳ vọng toán của ĐLNN X, ký hiệu E(X), là số được xác
định như sau:
+ Nếu X là ĐLNN rời rạc nhận các giá trị xi, với các xác
suất pi, ta có:

E ( X )   xi pi
i

nếu chuỗi hội tụ tuyệt đối.


Chương 2
§3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CHÍNH CỦA ĐLNN
3.1.1 Định nghĩa

+ Nếu X là ĐLNN liên tục với hàm mật độ xác suất f(x) :


E( X ) 

 xf ( x)dx



nếu tích phân hội tụ tuyệt đối.
Ý nghĩa: + Kỳ vọng tốn đặc trưng cho giá trị trung bình của
ĐLNN theo nghĩa xác suất.
+ Kỳ vọng toán là đặc trưng xác định vị trí của phân
phối.


Chương 2
§3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CHÍNH CỦA ĐLNN
3.1.2 Tính chất của kỳ vọng tốn
Tính chất 1:

E(C) = C

với C = const

Tính chất 2:

E(C.X) = C.E(X)

với C = const

Tính chất 3:

E(X+Y) = E(X)+E(Y)

Tính chất 4: Nếu X, Y là hai ĐLNN độc lập
E(X.Y) = E(X).E(Y)


Chương 2
§3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CHÍNH CỦA ĐLNN
3.2 Mode
Mode của ĐLNN X, ký hiệu Mod(X) là giá trị của X :
+ tương ứng với xác suất lớn nhất nếu X là ĐLNN rời
rạc
+ tại đó hàm mật độ đạt giá trị cực đại nếu X liên tục
Chú ý: Một ĐLNN có thể có nhiều giá trị mode


Chương 2
§3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CHÍNH CỦA ĐLNN
3.3 Phương sai
3.3.1 Định nghĩa
Phương sai của ĐLNN X, ký hiệu Var(X) hoặc V(X), là kỳ
vọng tốn của bình phương độ lệch giữa X và E(X)
Var(X)=E[X-E(X)]2 =E(X)2 -μ2
trong đó: μ= E(X).


Chương 2

§3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CHÍNH CỦA ĐLNN
3.3.1 Định nghĩa
+ Nếu X là ĐLNN rời rạc:

Var ( X )   ( xi   ) 2 . pi   xi . pi   2
2

i

i

+ Nếu X là ĐLNN liên tục:








Var ( X )   [ x   ]2 f ( x)dx 

2
2
x
f
(
x
)
dx






Chương 2
§3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CHÍNH CỦA ĐLNN
Ý nghĩa của phương sai
+ Phương sai của ĐLNN đặc trưng cho độ phân tán của
các giá trị có thể có của ĐLNN đó xung quanh giá trị E(X).
+ Trong kỹ thuật Phương sai đặc trưng cho mức độ sai số
của các thiết bị.


Chương 2
§3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CHÍNH CỦA ĐLNN
3.3.2 Tính chất của phương sai
Tính chất 1:

Var(C) = 0

với C = const

Tính chất 2:

Var(C.X) = C2.Var(X)

với C = const

Tính chất 3: Nếu X, Y là hai ĐLNN độc lập

Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)
Hai ĐLNN X và Y được gọi là độc lập nếu việc nhận hay
không nhận giá trị của đại lượng này không ảnh hưởng đến việc
nhận hay không nhận giá trị của đại lượng còn lại.


Chương 2
§3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CHÍNH CỦA ĐLNN
3.3.2 Tính chất của phương sai

Tính chất 4: Nếu X1, X2,… ,Xn là các ĐLNN độc lập có cùng
phân phối

 

 X 1  X 2  ..  X n  Var ( X i )
Var X  Var 

n
n




Chương 2
§3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CHÍNH CỦA ĐLNN
3.4 Độ lệch chuẩn
Độ lệch chuẩn của ĐLNN X, ký hiệu σx hoặc σ, là căn bậc
hai của phương sai.

 X  Var ( X )