Phương pháp tự thích nghi giải bài toán bất đẳng thức biến phân và một số bài toán liên quan

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Phương pháp tự thích nghi
giải bài tốn bất đẳng thức biến phân
và một số bài toán liên quan
NGUYỄN THỊ DINH

Ngành Toán Tin

Giảng viên hướng dẫn:

TS. TRỊNH NGỌC HẢI

Viện:

Toán ứng dụng và Tin học

HÀ NỘI, 05/2022

Chữ kí của GVHD


2

Lời cảm ơn
Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy TS. Trịnh Ngọc
Hải, giảng viên Viện Toán ứng dụng và Tin học, Trường Đại học Bách khoa
Hà Nội. Trong suốt quá trình làm luận văn, thầy đã dành nhiều thời gian và
công sức để chỉ bảo hướng dẫn tôi từ những điều nhỏ nhặt nhất tới những
vấn đề khó khăn, thầy vẫn ln kiên nhẫn, tận tình quan tâm giúp đỡ tơi để

hồn thành luận văn này.
Tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới cô PGS. TS. Nguyễn Thị
Thu Thủy và các thầy cơ viện Tốn ứng dụng và Tin học, Trường Đại học
Bách khoa Hà Nội, cùng gia đình, bạn bè đã đồng hành cùng tơi để tơi có
thể hồn thành luận văn này một cách tốt nhất.

Tóm tắt nội dung luận văn
1. Giới thiệu về bài toán bất đẳng thức biến phân trong khơng gian Hilbert
và một số bài tốn có liên quan, trình bày một số kiến thức cơ bản về
khơng gian Hilbert thực cùng một số tốn tử trong khơng gian này.
2. Trình bày một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân
trên tập điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu
mạnh; chứng minh sự hội tụ mạnh của các phương pháp; đưa ra các ví
dụ số minh họa trong khơng gian Hilbert thực hữu hạn chiều.
3. Trình bày một phương pháp giải bài tốn khơng điểm chung tách và một
phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân; chứng minh sự hội
tụ mạnh của các phương pháp; đưa ra các ví dụ số minh họa trong khơng
gian Hilbert thực hữu hạn chiều.
HỌC VIÊN

Nguyễn Thị Dinh


3

Mục lục
Lời cảm ơn

2

Mục lục

4

Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt

5

Danh sách bảng

6

Danh sách hình vẽ

7

MỞ ĐẦU

8

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1

1.2

12

Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.1.1

Sự hội tụ yếu và hội tụ mạnh . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1.2

Toán tử tuyến tính bị chặn. Tốn tử liên hợp . . . . . .

14

1.1.3

Toán tử liên tục Lipschitz. Toán tử chiếu . . . . . . . .

16

1.1.4

Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.2.1

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.2.2

Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.2.3

Mối liên hệ với những bài toán khác

27

. . . . . . . . . .


4

Chương 2. Phương pháp tự thích nghi giải bài tốn bất đẳng
thức biến phân và một số bài toán liên quan
2.1

2.2

34

Phương pháp tự thích nghi giải bài tốn bất đẳng thức biến
phân trên tập điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.1.1

Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.1.2

Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Phương pháp tự thích nghi giải bài toán bất đẳng thức biến
phân giả đơn điệu mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.2.1

Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.2.2

Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

Chương 3. Phương pháp giải bài tốn khơng điểm chung tách và
bài tốn bất đẳng thức biến phân trong khơng gian Hilbert 60
3.1

Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.2

Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

3.3

Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

KẾT LUẬN

73

Danh mục cơng trình khoa học liên quan tới luận văn

74

Tài liệu tham khảo

75


5

Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt
R

tập các số thực

RN

không gian Euclid N chiều

H

không gian Hilbert thực

x∈C

x thuộc tập C

f (x)
∀x

gradient của hàm f tại điểm x

với mọi x

x, y

tích vơ hướng của x và y

x

chuẩn của x

NC z

nón chuẩn tắc của C tại điểm z

PC

phép chiếu mêtric lên C

xn → x

dãy {xn } hội tụ mạnh tới x

xn

dãy {xn } hội tụ yếu tới x

x

Fix(S)

tập điểm bất động của ánh xạ S

VIP(F, C)

bài toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giá F và
tập ràng buộc C


6

Danh sách bảng
2.1

Bảng kết quả so sánh Thuật toán 2.2.2 với T.N.Hai và B.C,
(-) nghĩa là λk không thỏa mãn điều kiện thuật toán. . . . . .

3.1

Bảng kết quả minh họa phương pháp lặp (3.2) với x0 = (−2, 1)T , u =
(−1/100, −1/100)T , δ = 0.05, γnA = γnB = 1, βn = 12 , αn =

3.2

58

1
n+1

.

72

. . . . . . .

72

Bảng kết quả minh họa phương pháp lặp (3.16) với x0 =
(−2, 1)T , δ = 0.05, γnA = γnB = 1, βn = 12 , αn =

1
n+1


7

Danh sách hình vẽ
1.1

Minh họa phép chiếu lên một tập lồi, đóng . . . . . . . . . . .

17

1.2

Phát biểu bài tốn dưới ngơn ngữ nón pháp tuyến . . . . . . .

23

2.1

Đồ thị minh họa sự hội tụ của ba thuật toán trong Ví dụ 2.1.6.
m=5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Đồ thị minh họa sự hội tụ của ba thuật tốn trong Ví dụ 2.1.6.
m = 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3

49

Đồ thị minh họa sự hội tụ của ba thuật tốn trong Ví dụ 2.1.6.
m = 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5

48

Đồ thị minh họa sự hội tụ của ba thuật tốn trong Ví dụ 2.1.6.
m = 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4

48

49

Đồ thị minh họa sự hội tụ của ba thuật tốn trong Ví dụ 2.1.6.
m = 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50


8

MỞ ĐẦU
Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vơ hướng và chuẩn được
ký hiệu tương ứng là ., . và . , với C là tập lồi, đóng, khác rỗng của H và
ánh xạ A : C → H. Trong luận văn này, chúng tôi xét bài tốn bất đẳng thức
biến phân VIP(A, C) sau đây
tìm x∗ ∈ C sao cho Ax∗ , y − x∗ ≥ 0 ∀y ∈ C.
Bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(A, C) được nhà toán học người
Italia là Stampacchia (xem [15]) và các đồng sự đưa ra lần đầu tiên vào
những năm đầu của thập niên 60, thế kỷ XX, khi nghiên cứu về bài tốn
biên tự do. Nó bao hàm các lớp bài toán quan trọng như bài toán tối ưu hóa,
bài tốn điểm n ngựa, bài tốn cân bằng Nash, bài tốn điểm bất động
v.v. . . Chính vì vậy, bài tốn bất đẳng thức biến phân có nhiều ứng dụng
trong thực tế, chẳng hạn trong lý thuyết trò chơi, trong vận tải, kinh tế, hệ
thống mạng v.v. . .
Các nghiên cứu về bài toán bất đẳng thức biến phân có thể chia thành hai
hướng: hướng nghiên cứu định tính (về sự tồn tại và duy nhất nghiệm, về cấu
trúc của tập nghiệm, về tính ổn định của nghiệm. . . ) và hướng nghiên cứu
định lượng (đề xuất các thuật giải, nghiên cứu tốc độ hội tụ của các phương
pháp giải cũng như đánh giá các sai số của chúng). Đề tài của luận văn thuộc
hướng nghiên cứu thứ hai. Cụ thể, chúng tôi đề xuất một số phương pháp tự
thích nghi giải bài tốn bất đẳng thức biến phân và các dạng liên quan.
Một trong những phương pháp đơn giản nhất để giải bài toán bất đẳng

9

thức biến phân là phương pháp chiếu:

 x0 ∈ C
 xk+1 = P xk − λ A(xk ) ,
C
k

(1)

trong đó λk là cỡ bước của thuật toán. Với điều kiện A là ánh xạ γ-đơn
γ
điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz, λk ∈ 0, 2 2 , thuật toán hội tụ mạnh
L
∗
tới nghiệm duy nhất x của bài toán. Nếu ánh xạ A chỉ đơn điệu thay vì
đơn điệu mạnh, phương pháp một lần chiếu nói trên khơng hội tụ. Để khắc
phục điều này, nhà toán học Korpelevich đề xuất phương pháp đạo hàm tăng
cường:



x0 ∈ C,


y k+1 = PC (xk − λA(xk )),




 xk+1 = P (xk − λA(y k+1 )).

(2)

C

1
, thuật toán trên hội tụ yếu tới một nghiệm của
L
bài tốn. Có thể thấy nhược điểm chung của hai phương pháp kể trên là: để
Với điều kiện λ ∈

0,

khởi tạo thuật tốn, chúng ta cần tính được hệ số đơn điệu mạnh và hệ số
Lipschitz của toán tử A. Trong thực tế, các giá trị này có thể rất khó để ước
lượng. Ngồi ra, ngay cả khi các hằng số này đã biết, chúng ta cũng phải đối
mặt với câu hỏi: cần chọn cỡ bước bằng bao nhiêu trong khoảng cho trước để
tối ưu được tốc độ của thuật tốn. Trong luận văn này, chúng tơi sẽ trả lời
cho câu hỏi nói trên. Cụ thể, trong phương pháp tự thích nghi mà chúng tơi
đề xuất, cỡ bước tại mỗi bước lặp của thuật tốn khơng được chọn trước từ
đầu mà được xây dựng dựa trên thông tin của các bước lặp trước đó. Đây là
cách tiếp cận hiện đại, giúp phương pháp mới của chúng tôi khắc phục được
một số nhược điểm của các phương pháp hiện có và đồng thời tăng được tốc
độ hội tụ của thuật tốn.
Ngồi ra, một số mơ hình thực tế được mơ phỏng bởi bài toán bất đẳng
thức biến phân với tập ràng buộc được cho dưới dạng ẩn (xem [17], [18]).


10

Trong trường hợp này, các phương pháp giải hiện có không thể áp dụng
được. Để khắc phục, ta thường phải xây dựng một ánh xạ khơng giãn có tập
điểm bất động trùng với tập ràng buộc của bài toán đã cho và nghiên cứu
phương pháp giải cho bài toán hai cấp thu được. Đây là lớp bài tốn khó, có
cấu trúc phức tạp, các phương pháp giải còn rất hạn chế. Trong luận văn của
mình, chúng tơi đề xuất một phương pháp mới cho lớp bài toán này. Điểm
đặc biệt của phương pháp mới, phân biệt nó với các phương pháp hiện có,
là tại mỗi bước lặp, chúng ta khơng cần thực hiện bất cứ phép chiếu nào lên
các tập lồi, đóng, vốn là một thao tác đắt về mặt tính tốn và là tác nhân
chính ảnh hưởng đến tốc độ hội tụ của thuật toán. Các thử nghiệm số chứng
tỏ trong một số trường hợp, phương pháp mới tỏ ra hiệu quả hơn so với các
phương pháp đã có.
Ngồi phần Mở đầu, Kết luận, luận văn gồm ba chương: Chương 1 “Kiến
thức chuẩn bị” trình bày cơ sở tốn học về khơng gian Hilbert và giới thiệu
bài tốn bất đẳng thức biến phân cùng một số bài toán liên quan. Cụ thể,
trình bày một số tính chất của khơng gian Hilbert thực; khái niệm và ví dụ
về tốn tử đơn điệu, tốn tử chiếu trong khơng gian Hilbert thực; bài toán
bất đẳng thức biến phân và mối liên hệ của bài toán bất đẳng thức biến
phân với các bài tốn khác. Chương 2 “Phương pháp tự thích nghi giải bài
toán bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan” trình bày một số
phương pháp giải bài tốn bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động
và bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh; chứng minh sự hội
tụ mạnh của các phương pháp; đưa ra các ví dụ số minh họa trong khơng
gian Hilbert thực hữu hạn chiều. Chương trình thực nghiệm được viết bằng
ngôn ngữ MATLAB. Chương 3 “Phương pháp lặp giải bài tốn khơng điểm
chung tách và bài tốn bất đẳng thức biến phân trong khơng gian Hilbert”
trình bày một phương pháp giải bài tốn khơng điểm chung tách và một
phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân; chứng minh sự hội tụ
mạnh của các phương pháp; đưa ra các ví dụ số minh họa trong khơng gian

11

Hilbert thực hữu hạn chiều. Chương trình thực nghiệm được viết bằng ngôn
ngữ MATLAB.


12

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số tính chất của khơng gian Hilbert thực H;
giới thiệu về bài tốn bất đẳng thức biến phân trong khơng gian Hilbert thực
H cùng một số bài toán liên quan. Kiến thức của chương được tổng hợp từ
các tài liệu [1]-[9], [21], [24].

1.1

Một số khái niệm cơ bản

Một không gian véc tơ thực H được trang bị tích vơ hướng ., . và đầy đủ
đối với chuẩn
x, x

x :=

được gọi là không gian Hilbert thực. Từ đây đến hết luận văn, ta luôn ký
hiệu H là không gian Hilbert thực. Không gian Rn là một không gian Hilbert

(hữu hạn chiều) với tích vơ hướng
n

x, y :=

x i yi
i=1

và chuẩn

1/2

n

x2i

x :=
i=1


13

với mọi x = (x1 , . . . , xn ) , y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn .
Không gian l2 các dãy khả tổng bậc hai là một không gian Hilbert (vô hạn
chiều) với tích vơ hướng
∞

x, y :=

x i yi

i=1

và chuẩn

1/2

∞

x2i

x :=
i=1

với mọi x = {xi }, y = {yi } ∈ l2 .
1.1.1

Sự hội tụ yếu và hội tụ mạnh

Định nghĩa 1.1.1 (xem [1]) Cho H là một không gian Hilbert thực.
(a) Dãy {xn } trong H được gọi là hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H nếu với mọi
v ∈ H ta có:
lim xn , v = x, v .

n→∞

(b) Dãy {xn } trong H được gọi là hội tụ mạnh đến phần tử x ∈ H nếu
lim xn − x = 0.

n→∞

Ta ký hiệu xn

x để chỉ dãy {xn } hội tụ yếu đến x và xn → x cho dãy {xn }

hội tụ mạnh đến x.
Nhận xét 1.1.2 (xem [1]) Trong không gian Hilbert thực H, nếu dãy {xn }
hội tụ yếu đến x∗ ∈ H và dãy { xn } hội tụ đến x∗ thì dãy {xn } hội tụ
mạnh x∗ ∈ H.
Thật vậy, với mọi n, ta có
xn − x∗

2

= xn − x∗ , xn − x∗
= xn

2

− x∗ , xn − xn , x∗ + x∗ 2 .


14

Từ giả thiết, suy ra:
lim xn

n→∞

2

= x∗ 2 ,

Do đó, limn→∞ xn − x∗
1.1.2

lim xn , x∗ = x∗ 2 ,

n→∞
2

lim x∗ , xn = x∗ 2 .

n→∞

= 0.

Toán tử tuyến tính bị chặn. Tốn tử liên hợp

Cho X và Y là hai khơng gian tuyến tính trên trường số thực R.
Định nghĩa 1.1.3 (xem [1]) toán tử A : X → Y được gọi là tốn tử tuyến
tính (hay ánh xạ tuyến tính) nếu
(i) A(x + y) = Ax + Ay với mọi x, y ∈ X;
(ii) A(αx) = αAx với mọi x, y ∈ X và mọi α ∈ R.
Điều kiện (i) và (ii) trong Định nghĩa 1.1.3 tương đương với
A(αx + βy) = αA(x) + βA(y) với mọi x, y ∈ X và mọi α, β ∈ R.
Định nghĩa 1.1.4 (xem [1]) (a) Tốn tử tuyến tính A từ không gian định
chuẩn X vào không gian định chuẩn Y được gọi là bị chặn nếu tồn tại
một hằng số M > 0 sao cho
Ax ≤ M x ,

∀x ∈ X.

(1.1)

(b) Hằng số M > 0 nhỏ nhất thỏa mãn (1.1) được gọi là chuẩn của toán tử
A, ký hiệu là A .
Định nghĩa 1.1.5 (xem [1]) Cho A : X → Y là tốn tử tuyến tính bị chặn.
Khi đó tốn tử liên hợp A∗ : Y → X của toán tử A được xác định bởi
Ax, y = x, A∗ y ,

∀x ∈ X, y ∈ Y.


15

Ví dụ 1.1.6 Cho tốn tử A : R2 → R3 được xác định như sau
x = (x1 , x2 ) ∈ R2 .

A(x) = (x1 + x2 , −x1 + x2 , 0),

Dễ thấy A là toán tử tuyến tính. Bây giờ ta xét
A(x1 , x2 )

2

= (x1 + x2 , −x1 + x2 , 0)

2

= (x1 + x2 )2 + (−x1 + x2 )2

= 2(x21 + x22 )
= 2 x 2.
Do đó: A(x) =

√

2 x ≤ M x với ∀M ≥

√

2. Suy ra A là toán tử bị chặn.

Toán tử liên hợp A∗ : R3 → R2 của A được xác định như sau
A∗ (y1 , y2 , y3 ) = (y1 − y2 + 0y3 , y1 + y2 + 0y3 ),

∀y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ R3 .

Thật vậy, ta có:
Ax, y = (x1 + x2 , −x1 + x2 , 0), (y1 , y2 , y3 )
= x1 y1 + x2 y1 − x1 y2 + x2 y2
= x1 (y1 − y2 + 0y3 ) + x2 (y1 + y2 + 0y3 )
= x, A∗ y .
Để tính chuẩn của tốn tử A, trước hết ta tìm ma trận của tốn tử tuyến
tính bị chặn A theo cơ sở chính tắc:




1 1



.
A=
−1
1


0 0

Lập ma trận A A:

A A=

1 −1 0
1

1 0



1 1


 −1 1  =


0 0

2 0
0 2

.


16

Phương trình đặc trưng:
det(A A − λI) = 0 ⇔ det

2−λ

0

0

2−λ

=0

⇔ (2 − λ)2 = 0
⇔ λ = 2.
Suy ra: A =
1.1.3

√

λmax =

√

λ=

√

2.

Toán tử liên tục Lipschitz. Toán tử chiếu

Định nghĩa 1.1.7 (xem [1]) Cho C là một tập con khác rỗng của khơng
gian Hilbert thực H.
(i) Tốn tử T : C → H được gọi là toán tử L-liên tục Lipschitz trên C nếu
tồn tại hằng số L ≥ 0 sao cho
T (x) − T (y) ≤ L x − y ,

∀x, y ∈ C.

(1.2)

(ii) Trong (1.2), nếu L ∈ [0, 1) thì T được gọi là tốn tử co; nếu L = 1 thì T
được gọi là tốn tử khơng giãn.
(iii) Tốn tử T được gọi là µ-giả co chặt theo Browder and Petryshyn [8], nếu
với 0 ≤ µ < 1,
T (x) − T (y)

2

≤ x−y

2

+ µ (I − T )x − (I − T )y 2 ,

∀x, y ∈ C.

Định lý 1.1.8 (xem [1]) Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng trong
khơng gian Hilbert thực H. Khi đó với mọi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử
v ∈ C sao cho
x − v = min x − z .
z∈C

(1.3)

Điểm v ∈ C thỏa mãn (1.3) được gọi là hình chiếu của x trên C, ký hiệu là
PC (x).


17

Hình 1.1: Minh họa phép chiếu lên một tập lồi, đóng

Chứng minh. Thật vậy, đặt d = inf x − z . Khi đó, tồn tại dãy {zn } ⊂ C
z∈C

sao cho x − zn −→ d, n −→ ∞. Từ đó ta có
zm − zn

2

= (x − zn ) − (x − zm )
= 2 x − zn

≤ 2( x − zn

2

2

+ 2 x − zm
2

+ x − zm

zn + zm 2
2
2
2
) − 4d −→ 0, khi n, m −→ ∞.
2

−4 x−

Do đó {zn } là dãy Cauchy trong H. Suy ra tồn tại z = lim zn ∈ C. Do chuẩn
n→∞

là hàm số liên tục nên x − z = d. Giả sử tồn tại v ∈ C sao cho x − v = d.
Ta có
v−z

2

= (x − z) − (x − v)

= 2( x − z
≤ 0.

2

2

+ x − v 2) − 4 x −

z+v
2

2


18

Suy ra z = v. Vậy tồn tại duy nhất một phần tử PC (x) ∈ C sao cho
x − PC (x) = min x − z .
z∈C

Trong trường hợp C có dạng đặc biệt (nửa khơng gian, hình cầu, hình
hộp), ta có thể tính được tường minh cơng thức của hình chiếu lên C.
Ví dụ 1.1.9 Giả sử a, b ∈ RN , a = 0. Xét nửa không gian C ⊂ RN cho bởi
C = {u ∈ RN : a, u − b ≤ 0}.
Khi đó tốn tử chiếu lên C xác định như sau: nếu x ∈ C thì PC (x) = x. Nếu
x∈
/ C thì hình chiếu của x lên C chính là giao điểm của mặt phẳng C1 và
đường thẳng vng góc với mặt phẳng C1 và đi qua x ký hiệu là d.
C1 := {u ∈ RN : a, u − b = 0}.

Vì đường thẳng d vng góc với C1 nên a chính là vectơ chỉ phương của d.
Ta có
d = {u ∈ RN : u = x − at, t > 0}.
Thay u = x − at vào phương trình mặt phẳng C1 , được
a, x − at − b = 0
⇔ a, x − b − a, at = 0
⇔ a, x − b − t a
a, x − b
.
⇔t=
a 2
Vậy hình chiếu của x lên C là PC (x) = x −

2

=0

a, x − b
a.
a 2

Tổng hợp lại ta được
PC (x) =



x,

nếu

a, x − b ≤ 0

a, x − b a

,
x −
a 2

nếu

a, x − b > 0.


19

Ví dụ 1.1.10 Cho tập C = u ∈ RN : u − a ≤ r , r > 0. Khi đó tốn tử
chiếu của x lên C được xác định như sau: Nếu x ∈ C thì PC (x) = x. Nếu
x∈
/ C thì hình chiếu của x lên C chính là giao điểm của C với đường thẳng
đi qua x và tâm I của mặt cầu ký hiệu là d.
Ta có
d = {u ∈ RN : u = a + (x − a)t, t > 0}.
Thay u = a + (x − a)t ta được
a + (x − a)t − a = r
⇔t x−a =r
r
.
⇔t=
x−a
Vậy ta có hình chiếu của x lên C là PC (x) = a + (x − a)

r
.
x−a

Tổng hợp lại ta được

x,
PC (x) =
a +

r(x−a)
x−a ,

nếu

x−a ≤r

nếu

x − a > r.

Ví dụ 1.1.11 Cho tập C = {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : a ≤ xi ≤ b}. Ta
thực hiện tính tốn hình chiếu PC (x) = (x1 , x2 , . . . , xn ) của điểm x ∈ Rn với



x,
nếu a ≤ xi ≤ b,


 i
xi = a
nếu xi < a,



b
nếu xi > b.
Tốn tử chiếu có các tính chất sau.
Mệnh đề 1.1.12 (xem [3]) Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của
khơng gian Hilbert thực H. Khi đó,
(i) x − PC (x), y − PC (x) ≤ 0 với mọi y ∈ C, x ∈ H;


20

(ii) PC (x) − PC (y)

2

≤ PC (x) − PC (y), x − y với mọi x, y ∈ H;

(iii) PC (x) − PC (y) ≤ x − y với mọi x, y ∈ H.
1.1.4

Toán tử đơn điệu

Định nghĩa 1.1.13 (xem [3]) Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng
trong không gian Hilbert thực H, F : C → H là một toán tử từ C vào H.
Toán tử F được gọi là

(i) đơn điệu trên C nếu
F (x) − F (y), x − y ≥ 0,

∀x, y ∈ C;

đơn điệu chặt trên C nếu dấu "=" của bất đẳng thức trên chỉ xảy ra khi
x = y;
(ii) đơn điệu đều trên C nếu tồn tại một hàm không âm δ(t), không giảm với
t ≥ 0, δ(0) = 0 và thỏa mãn tính chất
F (x) − F (y), x − y ≥ δ x − y ,

∀x, y ∈ C;

nếu δ(t) = βt2 , β là hằng số dương, thì F được gọi là tốn tử đơn điệu
mạnh trên C (hay β-đơn điệu mạnh trên C);
(iii) đơn điệu mạnh ngược trên C với hệ số η > 0 (hay η-đơn điệu mạnh ngược
trên C) (inverse strongly monotone) nếu
F (x) − F (y), x − y ≥ η F (x) − F (y) 2 ,

∀x, y ∈ C.

(iv) đơn điệu cực đại nếu nó đơn điệu và đồ thị
G(A) = {(x, y) ∈ H × H : x ∈ D(A), y ∈ A(x)}
của A không được chứa trọn trong đồ thị của bất kỳ toán tử đơn điệu
nào khác trên D(A), với D(A) = {x ∈ H : A(x) = ∅}.


21

(v) giả đơn điệu trên C nếu với mọi x, y ∈ C, ta có

F (y), x − y ≥ 0 ⇒ F (x), x − y ≥ 0.
(vi) γ-giả đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại một hằng số γ ∈ (0, ∞) thỏa
mãn với mọi x, y ∈ C,
F (y), x − y ≥ 0 ⇒ F (x), x − y ≥ γ x − y 2 .
(vii) para đơn điệu trên C nếu F đơn điệu và với mọi x, y ∈ C, ta có
F (x) − F (y), x − y = 0 ⇒ F (x) = F (y).
Ví dụ 1.1.14 Hàm f : R2 → R, f (x) = ax1 + bx2 với a, b ∈ R là hằng số. Với
mọi 0 ≤ t ≤ 1 và với mọi x = (x1 , x2 ) , y = (y1 , y2 ) ∈ R2
f (tx + (1 − t)y) = a [tx1 + (1 − t)y1 ] + b [tx2 + (1 − t)y2 ]
= t (ax1 + bx2 ) + (1 − t) (ay1 + by2 )
= tf (x) + (1 − t)f (y).
Như vậy f là hàm lồi trên R2 . Ta có ánh xạ ∇f : R2 → R2 ,
∇f (x) =

∂f
∂x1

∂f
∂x2

=

a b

.

Khi đó, với mọi x, y ∈ R2 ,
∇f (x) − ∇f (y), x − y =

a

b

−

a
b

,x − y

= 0.

Suy ra ∇f có tính đơn điệu trên R2 .
Ví dụ 1.1.15 Cho H là không gian Hilbert thực, C = {x ∈ H : x ≤ 1},
ánh xạ F : C → H được xác định bởi


 1 −1 x
x
2
F (x) =

0

nếu x = 0,
nếu x = 0.

Khi đó F là ánh xạ giả đơn điệu mạnh trên C.


22

Thật vậy
• Nếu y = 0, do x, y − x ≥ 0, ta có x = 0, do đó, bất đẳng thức
F (y), y − x ≥ γ y − x

2

thỏa mãn với bất kỳ γ > 0.

• Với mọi x, y ∈ C thỏa mãn F (x), y − x ≥ 0, ta được x, y − x ≥ 0. Ta
có
F (y), y − x =
≥
≥

1
1
−
y, y − x
y
2
1
1
−
( y, y − x) − x, y − x )
y
2
1
y − x 2.
2

Tiếp theo, cho x ∈ C là một điểm ngẫu nhiên thỏa mãn x =

1
2

và y = 12 x.

Khi đó,
F (x) − F (y), x − y = − x

2

< 0.

Do đó F là 12 -giả đơn điệu mạnh trên C và F không đơn điệu trên C.

1.2

Bài tốn bất đẳng thức biến phân

Đầu tiên, chúng tơi phát biểu khái niệm về bài toán bất đẳng thức biến
phân. Sau đó là phát biểu sự tồn tại nghiệm và mối liện hệ của bài toán bất
đẳng thức biến phân với những bài toán khác.
1.2.1

Phát biểu bài toán

Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng trong một khơng gian Hilbert thực
H và ánh xạ F : C → H. Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational

Inequality Problem) xác định bởi miền ràng buộc C và ánh xạ giá F là bài
tốn
Tìm x∗ ∈ C

sao cho

F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.

(VIP)


23

Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) được ký hiệu là
Sol(F, C).
Định nghĩa 1.2.1 (xem [19]) Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng
trong khơng gian Rn , x0 ∈ C. Nón pháp tuyến của C tại x0 , ký hiệu NC x0 ,
được cho bởi:
NC x0 := w ∈ Rp : w, y − x0 ≤ 0 ∀y ∈ C .
Sử dụng khái niệm nón pháp tuyến, ta có thể phát biểu lại bài toán bất dẳng
thức biến phân dưới dạng như sau (xem Hình 1.2):
tìm x∗ ∈ C sao cho − F (x∗ ) ∈ NC (x∗ ) .

Hình 1.2: Phát biểu bài tốn dưới ngơn ngữ nón pháp tuyến


24

1.2.2

Sự tồn tại nghiệm

Định lý 1.2.2 (xem [19]) Cho C là mơt tập con, lồi, đóng, khác rỗng của
khơng gian Hilbert thực H và một ánh xạ liên tục F : C → H. Khi đó bài
tốn bất đẳng thức biến phân VIP(F, C) có nghiệm.
Chứng minh. Ta có, với mỗi x ∈ H thì PC (x) tồn tại và duy nhất và PC là
ánh xạ không giãn trên C. Do vậy, với mỗi λ > 0, phép chiếu PC (I − λF ) :
C → C là một ánh xạ liên tục. Từ C là một tập lồi, compact, khác rỗng
và PC (I − λF ) liên tục, tồn tại duy nhất điểm bất động x∗ ∈ C của ánh xạ
PC (I − λF ).
Với mỗi x∗ , ta có
x − PC (x∗ − λF (x∗ )) , x∗ − λF (x∗ ) − PC (x∗ − λF (x∗ )) ≤ 0, ∀x ∈ C.
Kết hợp điều này với PC (I − λF ) (x∗ ) = x∗ suy ra
x − x∗ , x∗ − λF (x∗ ) − x∗ ≤ 0.
Với giả thiết λ > 0, ta có
F (x∗ ) , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C.
Vậy x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, C).
Thông qua các giả thiết đơn điệu của hàm giá F , việc giải bài toán bất
đẳng thức biến phân VIP(F, C) rất gần với việc giải bài tốn sau (ký hiệu
DVI(F, C):
Tìm x∗ ∈ C sao cho F (x), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C.
Bài toán này thường được gọi là bài toán đối ngẫu của bài toán bất đẳng
thức biến phân VIP(F, C). Ta ký hiệu tập nghiệm của bài toán DVI(F, C)
là Sol(F, C)∗ . Khi đó tính chất của tập nghiệm Sol(F, C) và Sol(F, C)∗ như
nhau.


25

Định lý 1.2.3 Cho C là một tâp con lồi, đóng, khác rỗng của một khơng

gian Hilbert thực H và một ánh xạ liên tục F : C → H. Khi đó, bài tốn bất
đẳng thức biến phân VIP(F, C) có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại R > 0 sao
cho bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, C ∩ B(0, R)) có một nghiệm xR
thỏa mãn xR < R, với B(0, R) là hình cầu tâm 0 bán kính R.
Chứng minh. Giả sử bài tốn bất đẳng thức biến phân VIP(F, C) có một
nghiệm x∗ ∈ C. Chọn R thỏa mãn R > x∗ . Khi đó
F (x∗ ) , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C.
Do đó x∗ ∈ C ∩ B(0, R) và
F (x∗ ) , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C ∩ B(0, R).
Như vậy, bài toán VIP(F, C ∩ B(0, R)) có nghiệm x∗ .
Ngược lại, giả sử xR là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
VIP(F, C ∩ B(0, R)) thỏa mãn xR < R. Khi đó, với mỗi x ∈ C, tồn tại
≥ 0 đủ nhỏ sao cho y = xR + (x − xR ) ∈ C ∩ B(0, R). Theo định nghĩa
tồn tại nghiệm xR của bài toán VIP(F, C ∩ B(0, R)) ta có xR ∈ C và
0 ≤ F (xR ) , y − xR =

F (xR ) , x − xR , ∀x ∈ C.

Điều này có nghĩa là xR là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
VIP(F, C).
Mệnh đề 1.2.4 Cho C ⊂ H là một tập lồi, đóng và tốn tử F : C → H liên
tục.
a) Nếu F giả đơn điệu mạnh thì VIP(F, C) có tối đa một nghiệm.
b) Nếu F giả đơn điệu thì Sol(F, C) là một tập lồi.
Chứng minh. Giả sử F là toán tử giả đơn điệu mạnh và u∗ , v ∗ ∈ Sol(F, C),
thì F (v ∗ ) , u∗ − v ∗ ≥ 0 và F (v ∗ ) , v ∗ − u∗ ≥ γ v ∗ − u∗ 2 . Cộng từng vế
của hai bất đẳng thức ta được γ v ∗ − u∗

2

≤ 0. Suy ra u∗ = v ∗ .