SKKN rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua việc giải phương trình mũ và một số bài toán liên quan

�n liên quan đến mơn học nào? ứng phóng xạ là m0
dụng trong lĩnh vực nào?
Khối lượng đã mất của chất phóng
xạ là m0 .45%
Giải bài tốn.
GV: Khối lượng đã mất của chất phóng
xạ?
HS: m0 .45%
Khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t ?
HS: m(t )  m0  m0 .45%  0,55m0
GV: Từ đó tìm t = ?
Nêu 1 ý nghĩa của bài tốn?
HS suy nghĩ tìm tịi ý nghĩa

Khối lượng chất phóng xạ tại thời
điểm t là:
m(t )  m0  m0 .45%  0,55m0
công thức m (t )  m0 e  t ,
ln 2
và m  t   0,55 m0

T
Ta suy ra:
Từ

ln 2
t
5730

ln 2
t  ln 0,55

GV chốt kiến thức liên quan và nêu ý
5730
nghĩa của bài toán
5730.ln 0,55
t
 4942
ln 2

e



 0,55  

Vậy cơng trình kiến trúc đó có niên
đại khoảng 4942 năm.
Ý nghĩa: Tính được cơng trình kiến
trúc đó có niên đại khoảng bao


nhiêu năm (tuổi của cơng trình)
Chuyển giao
Ví dụ 4: (Ứng dụng của tốn học
trong đời sống xã hội)

(nguồn Internet)
Chiếu hình ảnh.
Cho HS nêu ý nghĩa của hình ảnh?
GV chỉnh sửa và nêu ý nghĩa.
Chiếu nội dung ví dụ 4.

+) Chuyển giao:

Để dự báo dân số của một quốc gia,
người ta sử dụng cơng thức
S  Ae
. nr trong đó A là dân số của
năm lấy làm mốc tính, S là dân số
sau n năm, r là tỉ lệ gia dân số
hằng năm. Năm 2019 dân số Việt
Nam là 96208984 người, tỉ lệ tăng
dân số hằng không đổi là 1,07% .
Khi dân số Việt Nam ở mức khoảng
120 triệu người, hỏi năm đó gần với
năm nào sau đây nhất? (giả sử tỉ lệ
tăng dân số hằng không đổi là 1,07%
)
A. 2040.

B. 2035.

C. 2050.

D. 2045.

Bài tập về nhà.

+) Phương thức: Cá nhân.
+) Thực hiện: Bài tập về nhà.
Ý nghĩa?

Học sinh suy nghĩ, trả lời.
Đáng giá, nhận xét, chốt kiến thức.
Nêu một vài ý nghĩa của bài tốn?
4. Hoạt động vận dụng, tìm tòi: ( 3 phút)
- Mục tiêu : Tạo sự phấn khởi và giúp học sinh tìm hiểu được kiến thức về dân số
Nghệ An và lập được bài toán liên quan tương tự theo yêu cầu của giáo viên, đặc
biệt là học sinh được tìm hiểu kiến thức thực tế có áp dụng phương trình mũ để
giải quyết
Bài tập về nhà: Phát phiếu học tập cho các nhóm
Các nhóm làm vào giấy thời gian 1 tuần- Nộp. Yêu cầu học sinh
Các em hãy tìm hiểu và lấy một ví dụ thực tế có áp dụng kiến thức tốn học
(hàm số mũ, lơgarit, phương trình mũ...) để giải bài tốn đó. Nêu bài tốn và giải
bài tốn đó.


V. Củng cố dặn dị:
-Nắm các dạng bài tốn liên quan đã nêu.
Hoạt động kiểm tra 15 phút
Mục tiêu:
GV: Nắm bắt tình hình nắm bài của học sinh qua nội dung đã học, để điều chỉnh
phương pháp dạy học cho phù hợp với từng đối tượng.
HS: Tích cực khi làm bài, cận thận, chính xác
BÀI KIỂM TRA 15 PHÚT (Đề gốc- đảo thành 8 mã đề)
x1
Câu 1. Nghiệm của phương trình 3  9 là:

A. x  2 .

B. x  3 .

1
Câu 2. Tập nghiệm của phương trình  
7
B. 2 .
A. 1 .

C. x  2 .

D. x  3 .

2

x 2 x 3

 7 x 1 là:
C. 1;4 .

D. 1; 2 .

2 x
2 x
Câu 3.Tập nghiệm của phương trình 3  3  30 là:

1
A. S  3; 
 3

B. S  1

C. S  1; 1

D. S  3;1.

2

Câu 4. Tính tích các nghiệm thực của phương trình 2 x  3x
A.  3 .

B. 0 .

C. 1.

D. 1  log 2 3

x
Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình 3  m có nghiệm thực.

A. m  1

B. m  0

C. m  0

D. m  0

Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
3x  2m2  m  3  0 có nghiệm?.
3
A. m   1;  .
2



1
B. m   ;    .
2


C. m   0;    .
2x

3
D. m   1; 
2


x2

Câu 7. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 3  2.3  27  0 bằng
B. 18 .
C. 3 .
D. 27 .
A. 0 .
Câu 8. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình





x

2 1  m

A. 15.





x

2  1  8 có hai nghiệm dương phân biệt. Số phần tử của S bằng

B. 17.

C. 10.

D. 9.

Câu 9. Một người gửi tiết kiệm với số tiền ban đầu là P  15 triệu đồng, lãi suất
r  5% / năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn (lãi kép). Hỏi sau bao nhiêu
tháng người đó thu được số tiền 16537500 đồng?


A. 2 (tháng).

B. 24 (tháng)

D. 285,1617969 .

C. 36 (tháng)

Câu 10. Ông Bình mua một chiếc xe máy với giá 60 triệu đồng tại một cửa hàng
theo hình thức trả góp với lãi suất 8 % một năm. Biết rằng lãi suất được chia đều
cho 12 tháng và không thay đổi trong suốt thời gian ơng Bình trả nợ. Theo quy
định của cửa hàng, mỗi tháng ơng Bình phải trả một số tiền cố định là 2 triệu đồng
(bao gồm tiền nợ gốc và tiền lãi). Hỏi ơng Bình trả hết nợ ít nhất là trong bao nhiêu
tháng?
A. 35 .

B. 34 .

C. 33 .

D. 32 .

Đáp án :
Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Đáp án

B

D

C

B

C

A

C

A

B

B

Minh họa bài làm của học sinh trong nội dung
'' Tìm điều kiện của tham số để phương trình mũ thỏa mãn yêu cầu nào đó''



Minh họa
Bài làm của nhóm học sinh trong phần bài tập về nhà ở nội dung
'' Ứng dụng của toán học vào một số bài toán liên quan đến thực tiễn''


Phụ lục 3 (Một số hình ảnh minh họa cho các tiết dạy thực nghiệm).

Hình ảnh GV quan sát học sinh thảo luận nhóm, đại diện HS báo cáo kết quả hoạt
động nhóm, GV nêu thêm cách khác ở ví dụ 5 bài ''Phương trình mũ''. PPCT 37

Hình ảnh học sinh lên bảng giải ví dụ b, c trong ví dụ 1 nội dung''Tìm điều kiện
của tham số để PT mũ có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó''

Hình ảnh học sinh thảo luận, trình bày kết quả hoạt động nhóm giải ví dụ 2 nội
dung '' Ứng dụng của toán học vào một số bài toán liên quan đến thực tiễn''


Minh họa: Phiếu trả lời khảo sát của HS sau khi học một số nội dung trong đề tài


PHỤ LỤC 5. (Hướng dẫn một số bài tập).
5.1. Hướng dẫn một số bài tập mục 2.4.1.
Câu 4C.
Câu 5D.

Câu 6B.
Câu 7. (Trích đề thi thử THPT Gia Viễn A Ninh Bình năm học 2020-2021).
2
Cho hai số thực a  1, b  1. Biết phương trình a x .b x 1  1 có hai nghiệm phân
2

 x .x 
biệt x1, x2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S   1 2   4( x1  x2 ) bằng:
 x1  x2 
B. 4 .

A. 3 3 4 .

C. 3 4.

D. 3 3 2

Hướng dẫn.
2

Ta có: a x .b x 1  1  x 2  x log b a  1  0 .
Nhận thấy PT ln có hai nghiệm trái dấu và theo Vi-et: x1  x2   logb a ;
x1.x2  1 .
2

 x .x 
1
4
Khi đó S   1 2   4( x1  x2 ) 
.

 4 log b a  log a2 b 
2
log b a
log a b
 x1  x2 
Đặt loga b  t , t  0 ( Vì a  1, b  1).

4
4 2t 3  4
Khi đó S  t 2  ; S '  2t  2 
;S'0t  3 2
2
t
t
t
BBT của S

0

t

3

–

S'



2

0





S


3

3. 4

Dựa vào BBT ta suy ra giá trị nhỏ nhất của S bằng 3 3 4 . Vậy chọn A
2. Hướng dẫn một số bài tập mục 2.4.2.
Câu 1 b. Giải phương trình



2021  2020

 
x

2021  2020

 
x

8082

.
x

Hướng dẫn. Chia cả hai vế của PT cho  8082  được PT có về trái là hàm số
nghịch biến, từ đó lập luận tìm được nghiệm là x  2.
x

2

2

2

Câu 3: Giải phương trình 9 x  101 x  11.10 x .
Giải.
2

2

2

2

Ta có 9 x  101 x  11.10 x  9 x 

10
10

x2

2

 11.10 x (1).


2
Đặt x  t với t  0.
t

t

10
9
 1 
PT (1) trở thành 9  t  11.10t     10.
  11 (2).
10
 10 
 100 
t

t

t

9
 1 
Xét hàm số f  t      10.

 , t  0.
 10 
 100 
t

t

9
 1 
Nhận thấy f  t      10.
 nghịch biến trên [0; ) và f (0)  11.
 10 
 100 
2
Khi đó PT (2) có nghiệm duy nhất t  0 . Do đó x  0  x  0.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  0.
Câu 4. (Trích đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Bắc Giang năm học 2020-2021).
Giải phương trình 2.3x

2

4

 3 x  2  3x

2

 x 2

 2.

Hướng dẫn. Nhận xét ( x 2  4)  ( x  2)  x 2  x  2 , giải theo phương pháp đặt
ẩn phụ hoặc phân tích thành nhân tử, giải ra ta được các nghiệm là
x  2, x  2, x  2  log3 2.
Câu 6. (Trích đề thi học sinh giỏi lớp 12 cấp TPHCM năm học 2020-2021).
Giải phương trình 4x  x(2x  1)  2 x  x .
Hướng dẫn. 4 x  x(2 x  1)  2 x  x  2 x (2 x  x)  x  2 x  x  0.

 2x (2x  x)  2x  2x  x  2x  x  0
Đặt u  2 x , v  2 x  x , u  0, v  0.
PT trở thành u.v  u  v  v  0  ( v  1)(u v  u  v )  0  v  1  0

 v  1  2x  x  1  0 (giải phương trình dựa vào PP tính đơn điệu của hàm số)
Nghiệm của PT đã cho là: x  0, x  1.
Câu 7. (Trích đề thi thử THPT Chu Văn An - Hà Nội - 2018). Tích tất cả các
giá trị của x thỏa mãn phương trình  3 x  3    4 x  4    3x  4 x  7  bằng:
2

B. 1.

A. 2.
Hướng dẫn.

2

C. 4.

2

D. 3.

Cách 1. Đặt u  3 x  3, v  4 x  4 
4x  4  0
v  0
PT trở thành u  v  (u  v)  2v  2uv  0  
 x
x
u
v



 3  3  4  4
2

2

2

2

giải các PT ta tìm nghiệm được nghiệm kép x  1. Vậy chọn B


Cách 2. Phân tích thành nhân tử.
Câu 8B.
Câu 9.(Trích đề thi thử THPT Yên Phong - Bắc Ninh năm học 2020-2021).
cos3 x

 1 
1
Số nghiệm của phương trình  
 
 16 
8
B. 1930 .
A. 1932

cos x

 cos3 x trên  0; 2021 là:

C. 1925

D. 1927 .

3
Hướng dẫn. Áp dụng công thức cos3x  4cos x  3.cos x.

 1 
Ta có  
 16 

cos3 x

1
 
8

cos x

1
 cos3 x  3.cos x   
2

3cos x

1
 4.cos 3 x   
2

4 cos3 x

(*)

t

1
Xét hàm số: f (t )  t    trên
2

, hàm số f (t ) đồng biến trên

Khi đó từ (*) : f (3cos x )  f (4 cos 3 x )  3cos x  4 cos 3 x  x 
Vì x   0; 2021 nên 0 


6

k

.





k , k .
6
3



1
2063 1
 2021    k 
  1929,4
3
2

2

Vậy có 1930 số k  0; 1; 2;...; 1929 hay phương trình có 1930 nghiệm thỏa
mãn YCBT. Vậy chọn B.
Câu 10. (Trích đề thi thử THPT Hàn Thuyên- Bắc Ninh năm học 2020-2021).
Tổng các nghiệm của phương trình
2

1

3( x2)
1

 x  1  x2 4 x  9.3x6  ( x  4)(2  x) (*)
x 8
5
27
5.5
B. 6. .

A. 37.
Hướng dẫn.
PT (*) 

1
5

x 8

 3x 8  ( x  8) 

Xét hàm số f (t ) 

1
5

2

x  4 x 1

D. 3. .

C. 3.

 3x

2

 4 x 1

 ( x 2  4 x  1) (**).

1 t
 3  t , hàm số nghịch biến trên .
5t

Khi đó từ (**) ta có f ( x  8)  f ( x 2  4 x  1)  x  8  x 2  4 x  1
Giải tìm nghiệm, theo YCBT chọn D.
Câu 11. Số nghiệm của phương trình

2x2  2x  9   x2  x  3 .2021x 3 x6   x2  3x  6 .2021x  x3
2

A. 4 .

B. 3 .

2

C. 1.

D. 2 .


Giải.
Cách 1
2
2
v
u
+ Đặt x  x  3  u , x  3x  6  v . PT (1) trở thành u  v  u.2021  v.2021

* 

+ Khi u  0 , phương trình * có dạng v  v (đúng).
Khi đó ta có u  0  x 2  3 x  6  0  x 

3  33
.
2

+ Khi v  0 , phương trình * có dạng u  u (đúng).
1  13
.
2
+ Khi u.v  0 , khơng mất tính tổng quát, giả sử u  v.

2
Khi đó ta có v  0  x  x  3  0  x 

Trường hợp 1: u  v  0 .
 2021v  1 u.2021v  u
Có 

 u  v  u.2021v  v.2021u.
u
u
 2021  1 v.2021  v

Trường hợp 2 : u  0  v .
v
v
 2021  1 u.2021  u
Có 

 u.2021v  v.2021u  u  v.
u
v
 2021  1 v.2021  v

Trường hợp 3 : u  v  0 .
u
u
 2021  1 v.2021  v
Có 

 v.2021u  u.2021v  u  v .
v
v
 2021  1 u.2021  u

u

Từ ba trường hợp trên suy ra u  v , phương trình * có dạng u  u.2021
 u  0  v (loại vì phương trình đã cho khơng có nghiệm x chung).
Từ đó ta kết luận phương trình * chỉ có nghiệm khi u  0 hoặc v  0
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt x 

3  33
1  13
; x
.
2
2

Cách 2.
PT (1)

 ( x2  3x  6)  ( x2  x  3)   x2  x  3 .2021x 3 x6   x2  3x  6 .2021x  x3
2

2

Đặt: u  x 2  3 x  6; v  x 2  x  3
PT (1) trở thành u  v  u.2021v  v.2021u   2021u  1 v   2021v  1 u  0 *


Trường hợp 1: Nếu u  0 thì (*)  0.v  0  PT (*) luôn đúng. Vậy PT (*) có
3  33
nghiệm u  0  x 2  3 x  6  0  x 

2
Trường hợp 2. Nếu v  0, tương tự trường hợp 1, ta có nghiệm x 
Trường hợp 3. Nếu u  0; v  0 thì

 2021

u

1  13
.
2

 1 v   2021v  1 u  0  * vô

nghiệm.
Trường hợp 4. Nếu u  0; v  0 (tương tự trường hợp 3).
Trường hợp 5. Nếu u  0; v  0 thì:
2021u  1  0; 2021v  1  0   2021u  1 v   2021v  1 u  0  * vô nghiệm.

Trường hợp 6: Nếu u  0; v  0 (tương tự trường hợp 5)
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt x 

1  13
3  33
; x
.
2
2

Vậy chọn A.

Câu 12. Chọn B. 3
5.3. Hướng dẫn một số bài tập mục 2.4.3.1.
Câu 2. Chọn C. 4
Câu 3. Chọn B. 2018.
Câu 4.( Đề thử Trường THPT Yên Định 1 Thanh Hóa năm học 2020-2021).
Tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình: 4 x  m.2 x 1  3m  3  0 có hai
nghiệm trái dấu là:
A. (0; 2) .

B. (; 2) .

C. (1; ).

D. (1; 2).

Hướng dẫn. Đặt t  2 x , t  0. PT trở thành t 2  2 mt  3m  3  0 (*)
PT đã cho có hai nghiệm trái dấu  PT (*) có 2 nghiệm t1 , t2 sao cho
0  t1  1  t2 . Dựa vào bài toán mục 2.4.3.1 để giải, ta chọn D.
Câu 5. Chọn D. 2 .
Câu 6. Chọn D. 3
Câu 7. Chọn D m  1.
Câu 8.(Đề thi thử Trường THPT Hai Bà Trưng - Huế năm học 2018- 2019).
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình
4x  2m.2x  m  6  0 có hai nghiệm thực x1, x2 sao cho x1  x2  3 . Tập hợp S
có bao nhiêu phần tử?.


A. Vô số.
B. 3 .
C. 2 .

Hướng dẫn.
x
Đặt t  2 , t  0 ta được phương trình t 2  2mt  m  6  0 1 .
Ta có x1  x2  3  2 x  2 x  23  8 .
1

D. 1.

2

YCBT  PT 1 có hai nghiệm thỏa mãn 0  t1  t2  8 , tìm được 2  m 
Vậy có hai giá trị nguyên của m là m  3 và m  4 . Chọn C.
Câu 9.(Trích đề thi thử Trường THPT Minh Khai-Hà Nội - 2018– 2019).

70
.
17

Giá trị thực của tham số m để phương trình 4 x   2m  3 .2 x  64  0 có hai
nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn  x1  2  x2  2   24 thuộc khoảng nào sau đây?
3
A.  0;  .
 2

3
B.   ;0  .
 2 

21 29
C.  ;  .

 2 2 

11 19
D.  ;  .
 2 2 

Hướng dẫn.
x
Đặt t  2 , điều kiện t  0 . PT đã cho trở thành t 2   2m  3 .t  64  0 * .

Cách 1. Để PT đã cho có hai nghiệm thực x1 và x2 thì PT * phải có hai nghiệm
13
t1 , t2 dương  m  .
2
x x
x x
Theo định lý Vi-ét, ta có t1.t2  64  2 1.2 2  64  2 1 2  64  x1  x2  6 .

Ta có  x1  2  x2  2   24  x1.x2  2  x1  x2   4  24  x1.x2  8 .

  x1  2

x  x  6
 x2  4

Từ  1 2
. Khi đó, ta có t1  t2  2 x  2 x  20

x  4
 x1.x2  8

 1
  x2  2
1

2

Theo hệ thức Viet ta có t1 + t2 = 2m + 3 . Do đó 2m  3  20  m 

17
. Chọn D
2

17
.
2
Quan sát đáp án trắc nghiệm chọn D hoặc thử lại m vừa tìm được và kết luận

Cách 2. Giả sử PT * có hai nghiệm t1 , t2 thỏa YCBT, ta tìm được m =

Câu 10. (Trích đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Bắc Ninh năm học 2019-2020).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
8 x  3 x.4 x   3 x 2  1 .2 x   m3  1 x 3   m  1 x có đúng hai nghiệm phân biệt
thuộc  0;10  .
A. 101.

B. 100.

C. 102.

D. 103.

Giải.
8 x  3 x.4 x   3 x 2  1 .2 x   m 3  1 x 3   m  1 x   2 x  x    2 x  x    mx   mx (*)
3

3

Xét hàm số f  t   t 3  t
1  2 x  1024
Ta có t  2  x , 0  x  10  
 1  2 x  x  1034  1  t  1034
0  x  10
x

f   t   3t 2  1  0, t  1; 1034  hay f  t   t 3  t đồng biến trên 1; 1034 

2x  x
Khi đó ta có (*)  f (2  x )  f ( mx )  2  x  mx 
m
x
2x
Xét hàm số g  x    1, t   0; 10 
x
x
x
1
x.2 ln 2  2 x 2  x.ln 2  1
 log 2 e
, g x   0  x 

 g x  

2
2
ln 2
x
x
BBT của g ( x) trên khoảng (0; 10).
x

x

x

log2 e

0

g x 
g  x

–

0

10


104,4



e.ln 2  1
Dựa vào BBT và yêu cầu bài toán, ta có điều kiện của m là:
e.ln 2  1  m  104,4 .
Mặt khác m là số nguyên nên m  3; 4; ...; 103; 104
104  3
Vậy số các giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
 1  102. Vậy chọn C.
1
Câu 11. (Trích đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Thái Bình năm học 2020-2021).

Cho phương trình 8 x  m.2 2 x 1  (2 m 2  1).2 x  m  m 2  0. Biết rằng tập hợp tất cả
các giá trị của m để phương trình có ba nghiệm phân biệt là (a; b). Tính a.b
bằng?
A. a.b 

2
.
3

B. a.b 

3
.
2

4
C. a.b  .
3

3
D. a.b  .
4

Giải.
PT đã cho  23 x  2 m.2 2 x  (2 m 2  1).2 x  m  m 3  0 (*)
Đặt t  2 x , t  0. PT (*) trở thành t 3  2 m.t 2  (2 m 2  1).t  m  m 3  0
t  m
(t  m)(t 2  mt  m 2  1)  0   2
2
t  mt  m  1  0 (**).


Phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt  m  0 và phương trình (**) có hai
nghiệm phân biệt dương khác m

 m 2  4m 2  4  0

2
2
2
m  0
)  a.b 
. Vậy chọn A.
 2
1 m 
 m  (1;
1
0

m


3
3
3

m 2  1  0

5.4. Hướng dẫn một số bài tập mục 2.4.3.2.
Câu 1. Đáp số 63 tháng.
Câu 2. Đáp án A. 43 .
Câu 3. Đáp số t = 7 phút.