TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM
KHOA KĨ THUẬT ĐỊA CHẤT & DẦU KHÍ
MƠN HỌC: ĐỊA THỐNG KÊ- GE3141
BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
ĐỀ TÀI:
GVHD: TS. Phùng Đại Khánh
Lớp: L01
Thành viên: Đoàn Trần Minh Thành – 1915128
Vũ Hùng Phong - 1914645
Đặng Xuân Phú - 1914649
Phạm Thanh Nhân - 1911761
Vũ Ngọc Quốc - 1914868
Tô Phước Hào - 1913229
TP.HCM, 11/01/2022
0
Danh sách phân cơng:
STT
Họ và tên
Cơng việc
1
Đồn Trần Minh Thành
(Nhóm trưởng)
-
Phân chia công việc
Lý thuyết Variogram
2
Vũ Hùng Phong
-
Lý thuyết Simple Kriging
Bài tập Simple Kriging
3
Đặng Xuân Phú
-
Lý thuyết Simple Kriging
Bài tập Simple Kriging
4
Vũ Ngọc Quốc
-
Bài tập Variogram
5
Phạm Thanh Nhân
-
Lý thuyết Ordinary Kriging
Bài tập Ordinary Kriging
6
Tô Phước Hào
-
Lý thuyết Ordinary Kriging
Bài tập Ordinary Kriging
1
Điểm
MỤC LỤC
DANH SÁCH HÌNH ẢNH.........................................................................................3
DANH SÁCH BẢNG BIỂU........................................................................................4
I. MỞ ĐẦU...............................................................................................................5
II.
PHƯƠNG PHÁP VARIOGRAM..................................................................6
1. Cơ sở lý thuyết...............................................................................................6
1.1. Định nghĩa............................................................................................6
1.2. Tính chất..............................................................................................6
1.3. Các mơ hình của Variogram...............................................................7
2. Bài tập...........................................................................................................13
III.
PHƯƠNG PHÁP KRIGING.......................................................................17
1. Cơ sở lý thuyết.............................................................................................17
1.1. Simple Kriging...................................................................................18
1.2. Ordinary Kriging...............................................................................19
2. Bài tập...........................................................................................................22
2.1. Phương pháp Simple Kriging...........................................................23
2.2. Ordinary Kriging...............................................................................26
IV.
KẾT LUẬN...................................................................................................28
LỜI CẢM ƠN............................................................................................................ 29
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................29
DANH SÁCH HÌNH ẢNH
Hình 1. Biểu đồ Variogram...........................................................................................7
Hình 2. Mơ hình Variogram với sill..............................................................................9
Hình 3. Mơ hình variogram kết hợp giữa mơ hình cầu và nugget-effected.................11
Hình 4. Ảnh hưởng các giá trị H trong mơ hình ........................................................12
Hình 5. Bảng giá trị i,h...............................................................................................14
Hình 6. Bảng tính các giá trị variogram tương ứng với 1h, 2h,…,10h........................14
Hình 7. Biểu đồ γ(h)...................................................................................................15
Hình 8. Bảng giá trị 3 mơ hình variogram..................................................................16
Hình 9. Biểu đồ variogram.........................................................................................16
Hình 10. Kết quả cần tính của bài tốn.......................................................................17
Hình 11. Vị trí và tọa độ của bài 2..............................................................................23
Hình 12. Tọa độ của 7 điểm.......................................................................................24
Hình 13. Khoảng cách của 7 điểm đến x....................................................................24
Hình 14. Mơ hình phân bố variogram.........................................................................24
Hình 15. Khoảng cách giữa các điểm.........................................................................25
Hình 16. Mơ hình variogram......................................................................................25
Hình 17. Giá trị phân bố.............................................................................................25
Hình 18. Giá trị covariance.........................................................................................25
Hình 19. Trọng số.......................................................................................................26
Hình 20. Ước lượng kết quả theo phương pháp Simple Kriging................................26
Hình 21. Bảng ma trận khoảng cách giữa các điểm....................................................26
Hình 22. Ma Trận C....................................................................................................27
Hình 23. Ma trận nghịch đảo của C............................................................................27
DANH SÁCH BẢNG BIỂU
Bảng 1. Đề bài tập 1...................................................................................................14
Bảng 2. Bảng thông số của bài 2.................................................................................23
I. MỞ ĐẦU
Địa chất truyền thống, khi chưa có áp dụng máy móc, thì dựa hồn tồn vào mơ tả và
sự phân loại các cấu trúc cùng với các hiện tượng địa chất. Theo đó, các mơ hình địa
chất định tính được chuyển thành các mơ hình số, mặc dù được tính tốn dựa vào các
kỹ thuật cơng nghệ hơn là dựa vào các nhà địa chất. Nếu mơ hình địa chất là mơ tả
chính xác các hiện tượng trong hiện tại, thì trong q khứ thì các mơ hình số đó có xu
hướng ít giống với các địa chất thực tế. Sự khác biệt hầu hết là do sự minh giải các
quy luật và thường do phiến diện về kinh tế. Các mơ hình đã và đang là q trình rất
đắt giá và khơng thực tế nếu độ phân giải càng cao. Để giảm thiểu thời gian thì các mơ
hình địa chất được làm thơ lại đến khi các nút của lưới mơ hình có khả năng kiểm
sốt.
Từ những năm 1980, kỹ thuật địa thống kê đã được chấp nhận trong đánh giá các mỏ
dầu khí, đặc biệt là minh giải tài liệu địa chất 3D. Các kết quả thường được đưa vào
mơ phỏng các dịng chất lưu trong vỉa. Cho nên, sử dụng địa thống kê rất cần thiết cho
sự phối hợp giữa khoa học địa chất và các quy luật cơng nghệ mỏ, đóng góp đáng kể
vào q trình xây dựng mơ hình của mỏ dầu khí.
Địa thống kê là phương pháp mới, đang được tiếp tục hoàn thiện. Đã từ nhiều năm,
phương pháp được xem là hiện đại, và đang trở lên rất phổ biến, đặc biệt là các nước
tư bản phát triển: Pháp, Mỹ, Canada, Anh,... Địa thống kê không chỉ áp dụng rộng rãi
trong khảo sát thăm dò mỏ, địa vật lý, địa chất thuỷ văn, địa chất cơng trình, địa hố,
dầu khí, khai thác mỏ mà cịn ở nhiều lĩnh vực khác: Nơng nghiệp, sinh học, khí tượng
thuỷ văn, ngư nghiệp, xã hội học, cơ học và môi trường. Như vậy, đối tượng nghiên
cứu, ứng dụng của địa thống kê là rất rộng.
Báo cáo của nhóm 6 trình bày cơ sở lý thuyết và mơ hình của phương pháp Variogram
và Kriging (gồm Simple và Ordinary), cũng như giải quyết một số bài tập áp dụng các
phương pháp này.
II. PHƯƠNG PHÁP VARIOGRAM
1. Cơ sở lý thuyết
1.1. Định nghĩa
Variogram được sử dụng hầu hết trong kỹ thuật địa thống kê để mô tả mối quan hệ
không gian. Variogram được định nghĩa như là một nửa kỳ vọng toán học của biến
ngẫu nhiên , nghĩa là: . Cũng có thể xem (h) như là một nửa phương sai của , tức là:
1
1
( h) E[ Z x Z x h ] [ Z x Z x h ]2 dv
2
2v
1.1
Trong đó, Z(x), Z(x+h) - hai đại lượng ở hai điểm nghiên cứu cách nhau một đoạn h.
Variogram thực nghiệm được xác định:
( h)
1 N ( h)
[Z x Z xh ]2
2 N (h) i 1
1.2
Với: N(h) - số lượng cặp điểm nghiên cứu.
1.2. Tính chất
- Giá trị variogram bằng khơng khi khoảng cách bằng không:
(0)
1 N (h)
[ Z x Z x ]2 0
2 N (h) i 1
1.3
- γ(h) = γ(-h), là hàm đối xứng
( h)
lim
|h|
| h2 |
0
vậy γ(h) tăng chậm hơn so với |h2|.
- γ(h) > 0
- Nếu covariance tồn tại thì variogram tồn tại, ngược lại, nếu variogram tồn tại thì
chưa chắc tồn tại covariance.
Hình 1. Biểu đồ Variogram
- Các variogram có những khái niệm sau:
Variogram tăng lên từ gốc, tại đó giá trị (h) khá nhỏ.
Variogram sau đó ổn định dần ở trị số , lúc này (h) không tăng (nằm ngang) và
gọi là trần (sill); h = a.
Khi vượt quá giới hạn h > a thì giá trị nghiên cứu biến đổi hồn tồn ngẫu nhiên
và khơng có mối quan hệ tương quan lẫn nhau.
Giá trị (h=0) có thể khác khơng, variogram lúc đó thể hiện hiện tượng được gọi
là hiệu ứng tự sinh (nugget effect).
Khoảng cách h = a để (h) tiệm cận đến trần gọi là bán kính ảnh hưởng.
1.3. Các mơ hình của Variogram
Các variogram thực nghiệm thường là đường zigzag dao động kề đường cong lý
thuyết. Do đó có thể áp dụng các phương pháp khác nhau để mô phỏng về dạng đường
cong lý thuyết.
- Các yêu cầu trong mô phỏng: Trong mô phỏng ước lượng varigram, chúng ta phải
xem xét hay yêu cầu. Thứ nhất, sử dụng ít nhất các thơng số và và mơ hình để mơ
phỏng variogram. Chúng ta cần biết các đặc điểm về bản chất được quan sát từ ước
lượng variogram và quan trọng là biết các đặc điểm không gian của các variogram
được ước lượng.
Yêu cầu thứ hai là điều kiện xác định rõ ràng. Bất cứ mơ hình nào được sử dụng để
mơ phỏng variogram hay covariance nên có điều kiện yêu cầu rõ ràng và phù hợp.
Christoako đã đưa ra một tiêu chuẩn cho phép để đáp ứng các điều kiện xác định. Có
vài mơ hình được kiểm tra cho các điều kiện xác định. Nếu chắc chắn mơ hình phù
hợp với các u cầu của điều kiện xác định thì bất cứ kết hợp mơ hình tuyến tình nào
cũng có thể được chấp nhận. Ví dụ, nếu chúng ta có:
N
( h) i i ( h )
i 1
N
C(h) ai Ci (h)
1.4
i 1
C(h) và (h) là các mơ hình được chấp nhận nếu các mơ hình Ci(h) và i(h) phù hợp
với yêu cầu của các điều kiện xác định.
- Các mơ hình variogram có ngưỡng (sill): Trong phần này chúng ta sẽ nói đến 4 mơ
hình hầu hết được sử dụng trong mơ phỏng để xác định variogram.
Mơ hình ảnh hưởng bởi Nugget: là mơ hình đơn giản nhất. Trong thực tế, nó được viết
như sau:
(h) 0 khi h 0
(h) Co khi h 0
1.5
Trong đó, Co là giá trị sill. Mơ hình được xác định bằng không khi khoảng cách các
lag bằng không. Khi có ảnh hưởng của nugget thì variogram tăng đột ngột đến giá trị
Co cho bất cứ khoảng cách lag nào lớn hơn không.
Ảnh hưởng của nugget chỉ ra sự thiếu thông tin trong các mối quan hệ không gian.
Nếu các thành phần variogram được xem xét bởi ảnh hưởng của nugget sạch (purenugget) thì nó nói lên khơng có lượng thông tin là phù hợp về mối quan hệ không gian
cho các biến đó. Nguyên nhân, có hai lý do: thứ nhất, khoảng cách ngắn nhất giữa các
cặp điểm có thể lớn hơn range của variogram, vì thế chúng ta khơng có các cặp dữ
liệu cho mối tương quan đó. Thứ hai, sai số phép đo có thể cho ta thêm thông tin
không chắn chắc và được phản ảnh bới giá trị nugget. Trong Hình 3-2 thể hiện mơ
hình ảnh hưởng bởi nugget với các mơ hình khác. Ảnh hưởng nugget là đường màu
đen nằm ngang cũng chính là sill Co.
Hình 2. Mơ hình Variogram với sill
Mơ hình cầu: là mơ hình hầu hết được sử dụng nhiều để thể hiện variogram có
ngưỡng. Phương trình mơ hình variogram dạng cầu:
3 h 1 h 3
(h) Co khi h a
2 a 2 a
(h) Co
khi h a
1.6
Trong đó a là range của mơ hình. Covariance của mơ hình cầu:
3 h 1 h 3
C(h) Co 1 khi h a
2a 2a
C(h) 0
khi h a
1.7
Mơ hình cầu được xác định với range a và sill Co. Mô hình variogram đạt đến sill tại
khoảng cách lag là a. Hình 3-2 thể hiện mơ hình cầu có hệ số góc lớn nhất tại gốc.
Chính vì thế, nếu variogram tăng nhanh theo range thì mơ hình cầu là lựa chọn tốt
nhất để thử và xác định mơ hình.
Mơ hình mũ. Phương trình mơ hình mũ được viết như sau:
3h
(h) Co 1 exp
khi h 0
a
Trong đó, a là range hiệu dụng của variogram, tương ứng với covariance:
1.8
3h
C( h) Co exp
khi h 0
a
1.9
Đối với mơ hình cầu, variogram sẽ đạt tiệm cận giá trị sill vì thế, trong thực tế range
được xác định bằng 95% giá trị sill tại khoảng cách lag. Hình 3-2 cho chúng ta cùng 1
range hệ số góc tại gốc thì mơ hình mũ nhỏ hơn mơ hình cầu.
Mơ hình Gaussian: phương trình variogram cho mơ hình Gaussian được viết:
3h 2
(h) Co 1 exp 2 khi h 0
a
1.10
Trong đó, a là range của mơ hình Gaussiance và covariance tương ứng là:
3h 2
C(h) Co exp 2
a
khi h 0
1.11
Đối với mơ hình Gaussian, hệ số góc tại gốc là khơng, chỉ ra sự thay đổi tính chất rất
nhỏ của hàm variogram theo khoảng cách và range hiệu dụng của mơ hình bằng 95%
sill. Như Hình 3-2 thể hiện variogram thay đổi dần dần tại gốc và đường cong dạng S
trước khi đạt giá trị sill.
Các mơ hình kết hợp: Sử dụng bất kỳ trong bốn mơ hình trên, chúng ta có thể tạo mơ
hình variogram bằng cách kết hợp các mơ hình trên. Hầu hết, mơ hình ảnh hưởng bởi
nugget trở thành một phần tự do trong mô hình variogram kết hợp. Ví dụ, chúng ta
viết mơ hình variogram kết hợp:
3 h 1 h 3
C( h) Co C1 khi h 0
2 a 2 a
1.12
Trong đó, Co là giá trị sill của nugget, C1 là giá trị sill của mô hình cầu. Hình 3-3 bắt
đầu với variogram có giá trị sill là Co thì nó chắc chắn thiết thơng tin về mối quan hệ
khơng gian. Do đó, variogram cuối cùng đạt giá trị sill là Co + C1 tổng sill của hai mơ
hình.
Hình 3. Mơ hình variogram kết hợp giữa mơ hình cầu và nugget-effected
Các mơ hình variogram khơng sill: Các mơ hình khơng sill được sử dụng để mơ
phỏng variogram mà nó tiếp tục tăng khi lag tăng. Các variogram đó cũng tăng đến
sill nhưng trong khu vực thích hợp nó vượt qua sill khi khoảng cách lag tiếp tục tăng.
Trong hai mơ hình đầu tiên thường được sử dụng để mơ phỏng các loại variogram.
Mơ hình thứ ba phổ biến trong cơng nghiệp mỏ và hầu như ít sử dụng để mơ tả
variogram của các tính chất vỉa dầu khí.
- Mơ hình Fractional Gaussian Noise fGn. [ CITATION TAH86 \l 1033 ]. Mơ hình fGn
được giới thiệu đầu tiên bởi Hewett, ông sử dụng dữ liệu giếng khoan để đưa ra mơ
hình. Có phương trình như sau:
2H
h
1
h
2 H 2
( h) Cs
2 1 2
2
2H
2H
h
1
1.13
Trong đó Cs là thông số tỉ lệ là một giá trị khác với sill. H là hệ số mũ gián đoạn năm
giữa 0 và một giá trị giới hạn mà nó phải phù hợp với điều kiện xác định. δ hệ số trung
bình. Ví dụ, nếu δ = 3ft nếu dữ liệu log có độ phân giải là 3ft và δ = 1ft nếu dữ liệu
mẫu lõi có giá trị trên khoảng 1 ft.
Mơ hình này được sử dụng khi dữ liệu mẫu cùng một khoảng không gian. Ba thông số
trong mô hình phải được xác định. δ có thể được đốn vì trong tài liệu chúng ta có giá
trị này. Cách khác để xác định ba thơng số đó là sử dụng quy trình thử và sai để có giá
trị phù hợp. Ngồi ra, chúng ta có thể xác định giá trị H bằng phương pháp phân tích
R/S[ CITATION TAH86 \l 1033 ], phương pháp phổ quang [ CITATION TAH86 \l
1033 ] và phương pháp đếm hộp (box-counting) [ CITATION Jen88 \l 1033 ]. Tất cả
phương pháp phải yêu cầu không gian đồng nhất của dữ liệu. Phương pháp đếm hộp
cũng yêu cầu dữ liệu chất lượng trước khi sử dụng. Giá trị H đại diện cho mức độ liên
tục giữa các điểm mẫu xung quanh. H < 0.5 gọi là bất bền vững (antipersistent) chẳng
hạn giá trị cao đi với giá trị thấp. Khi H > 0.5 được gọi là bền vững (persistent) thì giá
trị cao đi với giá trị cao. Trong dữ liệu kỹ thuật địa chất thì mong muốn có giá trị H >
0.5 và phân tích các dữ liệu giếng khoan H thường là 0.7 – 0.9. Hình 3-4 thể một ví dụ
variogram fGn với các giá trị H khác nhau. H = 0.5 là variogram có nugget sạch.
Hình 4. Ảnh hưởng các giá trị H trong mơ hình
Mơ hình Fractional Brownian Motion fBm: Mơ hình fBm được xét để nắm rõ các tính
chất tự nhiên của đối tượng. Phương trình variogram của mơ hình fBm là:
( h) Cs h 2 H
1.14
Trong đó Cs là hệ số tỷ lệ. h là khoảng cách lag và H là hệ số mũ gián đoạn và có giá
trị từ 0 đến 1. Giữa fBm và fGn có mối quan hệ lẫn nhau như sau:
f Bm fGn
1.15
Do mơ hình fBm có tính chất mượt hơn so với fGn. Hình 3-5 thể hiện mơ hình fBm khi giá
trị H thay đổi từ 0.1 – 0.9. Giá trị H càng lớn thì mơ hình càng mượt hơn, Hình 3-6 vẽ
các biểu đồ variogram theo ba giá trị H, nếu H lớn hơn hay bé hơn 0.5 thì variogram
sẽ là parabol hay hyperbol và H = 0.5 thì gần như đường thẳng. Tương tự như mơ hình
fGn, các giá trị của mơ hình có thể xác định thơng qua phương pháp thử và sai. Giá trị
H có thể thử qua phương pháp phân tích R/S, phổ quang và đếm hộp. Hay dựa vào hệ
số sườn bằng 2H, hệ số sườn được vẽ lên biểu đồ log-log giữa γ(h) và h.
2. Bài tập
Cho dataset của độ rỗng “Phi” theo độ sâu “Depth” như bảng bên dưới. Thực hiện mơ
hình hóa variogram cho các loại mơ hình variogram khác nhau. Đề xuất một mơ hình
Variogram thích hợp nhất từ các variogram đã thành lập và giải thích rõ tại sao.
Depth
Phi
11060
0.083
11060.5
0.074
11061
0.062
11061.5
0.058
11062
0.061
11062.5
0.066
11063
0.07
11063.5
0.073
11064
0.078
11064.5
0.079
11065
0.075
11065.5
0.072
11066
0.072
11066.5
0.074
11067
0.075
11067.5
0.077
11068
0.098
11068.5
0.129
11069
0.151
11069.5
0.157
Bảng 1. Đề bài tập 1
Bài làm
Từ số liệu bài tốn ta có:
Đầu tiên chọn khoảng h bằng cách xác định khoảng giá trị độ sâu :
N = 11069.5- 11060 = 9.5
Chọn khoảng i = 10
Với i là số hạng của h
Ta chọn khoảng cách nhau là h= 0.5, h chạy từ 0.5 đến 5
H là khoảng cách
Hình 5. Bảng giá trị i,h
Từ đó ta tính variogram tương ứng với 1h, 2h,…,10h qua công thức:
2*(h) = 2
Ta được:
Hình 6. Bảng tính các giá trị variogram tương ứng với 1h, 2h,…,10h
Ta có các giá trị như sau:
Sum_dev là tính tổng các giá trị khoảng cách h, dùng lệnh = SUM(x:y) để tính
N(h) là số cặp ta dùng lệnh = COUNT(x:y) để đếm số cặp tướng ứng với 1h,2h,…,10h
Ta tính được experimental ((h) ) qua cơng thức :
(h) = * sum_dev
Từ đó ta vẽ biểu đồ (h) tướng ứng (với trục x = h, trục y = gama h) ta được
Variog ram
9.0E-04
8.0E-04
7.0E-04
gama h
6.0E-04
5.0E-04
4.0E-04
3.0E-04
2.0E-04
1.0E-04
0.0E+00
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
h
experimental
Hình 7. Biểu đồ γ(h)
Từ đồ thị ta chọn điểm khơng tn theo su hướng thì ta chọn được điểm
H = a = 4 và (h) = C(o) = 0,00689
Từ đó ta đi tiếp cơng thức có liên quan đến 3 mơ hình variogram chính tương ứng là:
Spherical
3
], h ≤ a
,h>a
Expomential
Gaussian
Hình 8. Bảng giá trị 3 mơ hình variogram
Xong tất cả thì ta thiết lập được biểu đồ giá trị của variogram cần tìm:
Variog ram
9.0E-04
8.0E-04
7.0E-04
gama h
6.0E-04
5.0E-04
4.0E-04
3.0E-04
2.0E-04
1.0E-04
0.0E+00
0.5
1
1.5
2
experimental variogram
gaussian
2.5
3
h spherical
3.5
4
4.5
5
exporimental
Hình 9. Biểu đồ variogram
Nhận xét: Từ Biểu đồ variogram trên ta thấy đường màu xanh là experimental
variogram giá trị thực nghiệm và các đường còn lại là 3 đường mode variogram, từ đó
ta thấy đường spherical khớp nhất với đường experimental variogram nên từ đó ta
dùng đường phương trình này để tính tốn và dự báo cho các số liệu và các vùng cịn
thiếu.
Hình 10. Kết quả cần tính của bài tốn
III. PHƯƠNG PHÁP KRIGING
1. Cơ sở lý thuyết
Kriging là phương pháp nội suy tối ưu, chưa biết trước giá trị trung bình, chủ yếu dựa
vào giả thuyết hàm ngẫu nhiên, với việc quan sát sự tương quang giá trị của các điểm
xung quanh đến điểm cần xác định. Ví dụ trong hình 3.11, ta xác định giá trị điểm p
bằng trung bình trọng số
z
i i
, với i là trọng số thay đổi theo hàm của khoảng
cách d từ giá trị xung quanh. Một trong tính chất của Kriging là chất lượng của mẫu
tốt thì giá trị xác định sẽ tốt. Kriging nội suy dựa trên quy luật BLUE – Best Linear
Unbiased Estimator.
Phương trình cơ bản của Kriging:
n
Z o (u ) mo i Zi (ui ) mi
2.1
i 1
Mục đích là xác định trọng số i và tối thiểu sự variance để phương trình Kriging
2
khơng lệch thì sai số E là tối thiểu và giá trị kỳ vọng của giữa giá trị xác định Z o và
giá trị không biết hay giá trị thực là bằng không :
E2 Var Z o (u ) Z i (ui )
và
E Z o (u ) Z i (ui ) 0
2.2
Trong đó, Zi chia thành hai thành phần là giá trị dư R i và giá trị theo hướng (trend) m i,
Zi = Ri + mi, thành phần Ri cho bằng 0 và covariance của nó :
E Ri 0
2.3
Cov(R i , Ri h ) E Ri .Ri h CR ( h)
2.4
Hàm covariance giá trị dư được xác định từ mơ hình semivariogram:
CR ( h) CR (0) ( h) Sill ( h)
2.5
Trong báo cáo này, ta sẽ xét hai phương pháp Kriging chính là: Simple Kriging và
Ordinary Kriging.
1.1. Simple Kriging
Đối với phương pháp này ta giả sử rằng thành phần Trend (hướng) là hằng số m i = m,
ta biết giá trị trung bình chung:
n
Z oSK (u ) m iSK Z i (ui ) m
2.6
i 1
Xác định không chệch khi
E Z i (ui ) m 0
, vì thế
E ZiSK (ui ) m E Zi (ui )
. Xác
SK
định sai số Z o (u ) Zi (ui ) là tập hợp các giá trị dư tại điểm dữ liệu và điểm cần xác
định:
n
Z oSK Z i [ ZoSK (u ) m] [ Z i (ui ) m] iSK Ri (ui ) Ro (ui ) RoSK (u ) Ri (ui )
2.7
i 1
Sử dụng qui luật variance, xác định sai số:
E2 (u ) Var RoSK (u ) Var RiSK (ui ) 2Cov RoSK (u ), RiSK (ui )
n
m
n
iSK jSK CR ( Z i (u ) T j (u j )) C R (0) 2 iSK CR ( Z i (ui ) Z o (u ))
i 1 j 1
2.8
i 1
Để giảm thiểu sai số, chúng ta đạo hàm phương trình trên theo các trọng số và cho
bằng khơng. Và ta có hệ phương trình sau:
n
j 1
SK
i
CR ( Z i (ui ) T j (u j )) CR ( Zi (ui ) Z o (u ))
2.9
Ta có thể viết dạng ma trận:
K iSK k
2.10
Trong đó, K là ma trận covariance giữa các điểm dữ liệu với các thành phần K i,j = C(Zi
(ui )
– Tj
(u j )
), k là vecto covariance giữa điểm dữ liệu và điểm cần xác định với k i =
SK
C(Zi (ui ) - Zo (u ) ), và i là vecto trọng số SK cho các dữ liệu xung quanh.
1.2. Ordinary Kriging
1.2.1. Cơ sở lý thuyết
Đối với ordinary kriging (OK), giả sử rằng giá trị trung bình khơng biết và cố định
trên toàn bộ miền hay cho khu vực gần điểm xác định mi = m(z). OK là phương pháp
gắn liền với thuật ngữ “Dự đốn tuyến tính khơng thiên vị tốt nhất” (best linear
unbiased estimator). Tuyến tính do kết hợp trọng số với dữ liệu sẵn có. Tốt nhất do
giảm phương sai xuống nhỏ nhất có thể. Khơng thiên vị do bao gồm sai số trung bình
Ước lượng giá trị trung bình thơng qua việc kết hợp trọng số với dữ liệu có sẵn:
3.1
- Trong đó :
: giá trị ước lượng.
: trọng số.
: dữ liệu thực tế.
Bộ trọng số thay đổi đối với từng dữ liệu ước tính ở các vị trị khác nhau. Để xác định
sai số giữa dữ liệu thực tế và ước tế tương ứng với từng trọng số:
3.2
Từ đó có phương trình tính được sai số trung bình.
3.3
Tuy nhiên, khơng thể dùng phương trình trên trong tính tốn do khơng có được dữ liệu
thực tế. Vì vậy giải pháp khả thi nhất là tạo ra một bộ dữ liệu đầu ra (dữ liệu ước tính)
theo một mơ hình được xây dựng.
3.4
Tương tự như sai số thực tế, sai số của giá trị theo mơ hình có dạng như sau:
3.5
Giả thiết rằng sai số ở từng vị tri cụ thể = 0 bằng cách thay (3.4) vào (3.5) và tiếp tục
biến đổi, ta có phương trình (3):
3.6
Tiếp tục cho mơ hình xây dựng mang tính ngẫu nhiên và ổn định. Từ đó cho phép biểu
diễn những giá trị đã lọc theo E{V}.
3.7
Giá trị sai số mong muốn ở vị trí cụ thể thường thiên vị (bias?). Giảm giá trị này về 0
để kết quả tính tốn khơng mang tính thiên vị.
3.8
Khi đi đến kết luận này, ta nhận thấy trong suốt q trình ước tính, kết quả tính ra là
khơng thiên vị.
1.2.2. Sai số phương sai
Ordinary kriging (OK) đặc trưng do kết quả tính tốn được có sai số nhỏ. Sai số
phương sai của 1 bộ dữ liệu gồm k giá trị ước tính được viết như sau:
3.9
Nếu chấp chận sai số trung bình = 0, phương trình trên có thể đơn giản hóa thành:
3.10
Vì sai số phương sai là 1 biến ngẫu nhiên dựa theo việc kết hợp phương sai với các
biến ngẫu nhiên khác nên có cơng thức như sau:
3.11
Thay 3.5 vào 3.11, ta có:
3.12
Vì Cov0)0)} tương đương Var0)0)}, kết hợp với trọng số:
3.13
lại tương đương với . Giả thiết các biến ngẫu nhiên có cùng phương sai:
3.14
Tiếp tục biến đổi hàm sau:
3.15
Từ 3.11, 3.12, 3.13 suy ra cơng thức tính sai số phương sai:
3.16
2. Bài tập
Cho hình vẽ mơ tả vị trị và tọa độ của 7 điểm lấy mẫu như hình bên dưới
Hãy ước lượng giá trị tại x theo cách Simple Kriging và Ordinary Kriging.
2.1. Phương pháp Simple Kriging
Hình 11. Vị trí và tọa độ của bài 2
Bảng thông số
Điểm mẫu số
Giá trị mẫu
1
477
2
696
3
227
4
646
5
606
6
791
7
783
Bảng 2. Bảng thông số của bài 2
Đầu tiên chúng ta xác định tọa độ của 7 điểm trong bộ số liệu: