Giáo trình Toán kinh tế (Nghề: Kế toán - Cao đẳng): Phần 1 - Trường Cao đẳng Cộng đồng Đồng Tháp

UỶ BAN NHÂN DÂN TỈNH ĐỒNG THÁP
TRƢỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP

GIÁO TRÌNH
MƠN HỌC/MƠ ĐUN: TỐN KINH TẾ
NGÀNH, NGHỀ: KẾ TỐN, QUẢN TRỊ KINH DOANH
TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG

(Ban hành kèm theo Quyết định Số:…./QĐ-CĐCĐ-ĐT ngày… tháng… năm
2021 của Hiệu trưởng Trường Cao đẳng Cộng đồng Đồng Tháp)

Đồng Tháp, năm 2021


TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN
Tài liệu này thuộc loại sách giáo trình nên các nguồn thơng tin có thể đƣợc
phép dùng nguyên bản hoặc trích dùng cho các mục đích về đào tạo và tham
khảo.
Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc hoặc sử dụng với mục đích kinh
doanh thiếu lành mạnh sẽ bị nghiêm cấm.

i


LỜI GIỚI THIỆU
Tốn kinh tế (Quy hoạch tuyến tính) là một bộ phận cơ bản và có nhiều
ứng dụng trong thực tiễn của Tối ưu hóa, được áp dụng trong kinh tế và nhiều
ngành khoa học khác cả lý thuyết lẫn thực hành, nhằm tối ưu hóa kết quả đạt
được. Kiến thức về quy hoạch tuyến tính rất cần cho sinh viên ở bậc đại học,
cao đẳng nói chung và khối ngành kinh tế nói riêng. Với mong muốn có một tài
liệu học tập phù hợp với đối tượng sinh viên hệ cao đẳng ngành kế toán và quản

trị kinh doanh, nhóm tác giả biên soạn giáo trình tốn kinh tế trên cơ sở bài
giảng dùng chung đã giảng dạy nhiều năm và bổ sung thêm những bài tập ứng
dụng phù hợp với lĩnh vực kinh tế. Mục tiêu cụ thể của môn học là:
 Cung cấp cho sinh viên về một số dạng tốn QHTT, cách xây dựng mơ
hình toán học cho một số bài toán thực tế - những hiện tượng kinh tế rất thường
gặp sản xuất kinh doanh và các cách đưa bài toán QHTT tổng quát về dạng
chính tắc. Trên cơ sở đó để tìm ra các phương pháp giải tối ưu nhất.
 Cung cấp cho sinh viên về cơ sở lý luận dẫn đến bảng đơn hình, từ đó
có thể giúp sinh viên giải quyết các bài tốn để tìm được tính tối ưu của từng bài
toán cho phù hợp.
 Giới thiệu cho sinh viên về bài toán đối ngẫu, ý nghĩa kinh tế của bài
toán đối ngẫu, sự cần thiết phải đưa về bài toán đối ngẫu.
 Giới thiệu cho sinh viên về bài toán vận tải, ý nghĩa kinh tế của bài
toán vận tải. Các phương pháp giải các bài toán vận tải tổng quát và các bài
toán vận tải đặc biệt.
Cấu trúc của giáo trình tốn kinh tế được biên soạn theo đề cương môn
học đã được hội đồng khoa học trường thông qua với các chương:
Chương 0. Một số khái niệm cơ bản trong đại số tuyến tính.
Chương 1. Bài tốn quy hoạch tuyến tính.
Chương 2. Phương pháp đơn hình.
Chương 3. Bài toán đối ngẫu.
Chương 4. Bài toán vận tải - Bài toán thế vị
Chân thành cảm ơn ban lãnh đạo trường Cao đẳng Cộng Đồng Đồng Tháp
tạo điều kiện để có những cuốn giáo trình đến với sinh viên, cảm ơn những đồng
nghiệp, các em sinh viên đã có những đóng góp để nội dung giáo trình hồn
thiện hơn. Trong q trình biên soạn giáo trình sẽ khơng tránh khỏi những sai
sót nhỏ. Rất mong nhận được sự góp ý từ quý đồng nghiệp và các bạn sinh viên.
Đồng Tháp, ngày…..tháng 5 năm 2021
Chủ biên/Tham gia biên soạn
Nguyễn Thành Tâm

Phạm Thị Kiều Anh
ii


MỤC LỤC
LỜI GIỚI THIỆU ................................................................................................. II
CHƢƠNG 0: MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ............. 1
1.

MA TRẬN..................................................................................................... 2
1.1. MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN ............................................. 2
1.1.1. Các định nghĩa................................................................................... 2
1.1.2. Các phép toán trên ma trận................................................................ 6
1.2. ĐỊNH THỨC ................................................................................................. 8
1.2.1. Định thức cấp 2, 3 ............................................................................. 8
1.2.2. Định thức cấp n (khai triển theo một dòng hay theo một cột) .......... 9
1.3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO ............................................................................. 11
1.4. HẠNG CỦA MA TRẬN................................................................................. 11
1.4.1. Định nghĩa ....................................................................................... 11
1.4.2. Cách tính hạng của ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp. ................. 12

2.

VECTƠ........................................................................................................ 13
2.1. VECTƠ ...................................................................................................... 13
2.2. KHONG GIAN VECTƠ ................................................................................. 13
2.3. ĐỘC LẬP TUYẾN TINH - PHỤ THUỘC TUYẾN TINH ...................................... 14

BÀI TẬP CHƢƠNG 0 ........................................................................................ 17
CHƢƠNG 1: BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ................................. 18

1.

MỘT SỐ VÍ DỤ DẪN ĐẾN BÀI TỐN QHTT ....................................... 19

2.

PHÂN LOẠI DẠNG BÀI TOÁN .............................................................. 23
2.1. DẠNG TỔNG QUÁT .................................................................................... 24
2.2. DẠNG CHÍNH TẮC ..................................................................................... 25
2.3. DẠNG CHUẨN ........................................................................................... 25

3.

BIẾN ĐỔI DẠNG BÀI TOÁN ................................................................... 27
3.1. ĐƢA MỘT BÀI TỐN DẠNG TỔNG QT VỀ DẠNG CHÍNH TẮC .................... 27
3.2. KHÁI NIỆM TẬP HỢP LỒI, ĐIỂM CỰC BIÊN, PHƢƠNG ÁN CỰC BIÊN. ............. 28

BÀI TẬP CHƢƠNG 1 ........................................................................................ 31
CHƢƠNG 2: PHƢƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH ..................................................... 35
1.

CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA PHƢƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH ........................... 36

2.

THUẬT TỐN ĐƠN HÌNH VỚI VECTƠ ĐƠN VỊ CÓ SẴN. ................ 37
2.1. TRƢỜNG HỢP

f (x) min ...................................................................... 37
iii

2.2. TRƢỜNG HỢP

f (x) max ....................................................................... 39

3. THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH VỚI VEC TƠ ĐƠN VỊ KHƠNG CĨ SẴN
(BÀI TỐN MỞ RỘNG) ................................................................................... 44
BÀI TẬP CHƢƠNG 2 ........................................................................................ 51
CHƢƠNG 3: BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU............................................................... 54
1.

KHÁI NIỆM ................................................................................................ 55
1.1. BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU CỦA BÀI TỐN DẠNG CHÍNH TẮC .............................. 55
1.2. BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU CỦA BÀI TOÁN DẠNG TỔNG QUÁT ............................. 56

2.

QUAN HỆ GIỮA BÀI TOÁN GỐC VÀ BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU .......... 57
2.1. CÁC ĐỊNH LÝ ĐỐI NGẪU ............................................................................ 57
2.2. TÌM P.A.T.Ƣ CỦA BÀI TỐN ĐỐI NGẪU QUA P.A.T.Ƣ CỦA BÀI TOÁN GỐC.
58

3.

Ý NGHĨA BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU ........................................................... 61

BÀI TẬP CHƢƠNG 3 ........................................................................................ 63
CHƢƠNG 4: BÀI TOÁN VẬN TẢI - BÀI TOÁN THẾ VỊ ............................ 65
1.

BÀI TOÁN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU PHÁT (BÀI TOÁN CỔ ĐIỂN)
66
1.1. THIẾT LẬP BÀI TOÁN ................................................................................. 66
1.2. ĐẶT BÀI TOÁN DƢỚI DẠNG BẢNG.............................................................. 67
1.3. CÁC TÍNH CHẤT ........................................................................................ 68
1.3.1. Tính chất 1 ....................................................................................... 68
1.3.2. Tính chất 2....................................................................................... 69
1.3.3. Tính chất 3 ....................................................................................... 69

2. THUẬT TOÁN THẾ VỊ GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU
PHÁT................................................................................................................... 69
2.1. LẬP PHƢƠNG ÁN CƠ BẢN BAN ĐẦU ........................................................... 69
2.2. THUẬT TỐN “QUY 0 CƢỚC PHÍ CÁC Ô CHỌN” .......................................... 71
2.3. PHƢƠNG PHÁP THẾ VỊ ............................................................................... 74
3.

BÀI TỐN VẬN TẢI CĨ Ơ CẤM ............................................................ 78

4.

BÀI TỐN VẬN TẢI KHƠNG CÂN BẰNG THU PHÁT ...................... 80

5.

BÀI TỐN VẬN TẢI DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC .................................. 82
5.1. ĐỊNH NGHĨA.............................................................................................. 82
iv

5.2. ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU ..................................................................................... 82
5.3. CÁCH GIẢI ................................................................................................ 82
BÀI TẬP CHƢƠNG 4 ........................................................................................ 84
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 88

v


GIÁO TRÌNH MƠN HỌC/MƠ ĐUN
Tên mơn học/mơ đun: TỐN KINH TẾ.
Mã mơn học/mơ đun: MH33 KX6340301.
Vị trí, tính chất, ý nghĩa và vai trị của mơn học/mơ đun:
- Vị trí: Là môn học tự chọn thuộc ngành học cao đẳng Kế tốn, Quản trị
kinh doanh. Mơn học đƣợc phân bố từ đầu khóa học.
- Tính chất: Nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản về toán
kinh tế (quy hoạch tuyến tính) để làm nên tảng cho việc học các học phần cơ sở
& chuyên ngành, đồng thời rèn luyện cho sinh viên khả năng tƣ duy logic, khả
năng tính tốn, định lƣợng.
- Ý nghĩa và vai trị của mơn học/mơ đun: mơn học Tốn kinh tế (quy
hoạch tuyến tính) là mơn học nhằm vận dụng tốn học trong phân tích các mơ
hình kinh tế, lập ra mơ hình một số bài tốn kinh tế và tìm ra phƣơng pháp tối ƣu
để đƣa ra những phân tích, những quyết định. Toán kinh tế cung cấp cho các
Nhà Quản lý các kiến thức để họ có thể vận dụng vào việc ra các quyết định sản
xuất. Mơn học có vai trò quan trọng trong lĩnh vực kinh tế về các vấn đề tìm
phƣơng án tối ƣu.
Mục tiêu của mơn học/mô đun:
- Về kiến thức:
+ Môn học trang bị một số kiến thức về cơ sở lý thuyết, các bài
toán cơ bản và các phƣơng pháp giải bài toán trong quy hoạch tuyến tính: Khái
niệm và cách thiết lập bài tốn quy hoạch tuyến tính, phƣơng án, phƣơng án cực

biên, phƣơng án tối ƣu của một bài toán quy hoạch tuyến tính;
+ Hƣớng dẫn giải các dạng bài tốn quy hoạch tuyến tính bằng
phƣơng pháp đơn hình hoặc đơn hình mở rộng; Bài toán đối ngẫu và cách giải;
Bài toán vận tải và ứng dụng.
- Về kỹ năng:
+ Hiểu và vận dụng đƣợc các phƣơng pháp giải quy hoạch tuyến
tính, giúp ngƣời học có kỹ năng xây dựng mơ hình toán cho các bài toán thực tế
nhƣ: bài toán vốn đầu tƣ, bài toán lập kế hoạch sản xuất, bài toán vận tải.
+ Vận dụng các phƣơng pháp, kết quả cơ bản của lý thuyết đã đƣợc
trang bị để giải các bài tập, sử dụng tốt các kiến thức về tối ƣu hóa tuyến tính đã
đƣợc trang bị để học các môn học khác, trong nghiên cứu khoa học và trong
công việc sau này.
- Về năng lực tự chủ và trách nhiệm:
vi


+ Có ý thức nghiêm túc đúng đắn và khoa học về bản chất của các
vấn đề toán học và vận dụng vào lĩnh vực chun mơn.
+ Có ý thức tích cực, chủ động trong q trình học tập.
+ Tự chịu trách nhiệm với các kết quả bài tập mình thực hiện.
Nội dung của môn học/mô đun:
Thời gian (giờ)
Số TT

Thảo
Tổng Lý
luận, bài Kiểm tra
số thuyết
tập

Tên chƣơng, mục

1

Chƣơng 0: Một số khái niệm trong
đại số tuyến tính

2

2

0

0

2

Chƣơng 1: Bài tốn quy hoạch
tuyến tính.

6

6

0

0

3

Chƣơng 2: Phƣơng pháp đơn hình

8

8

0

0

4

Kiểm tra thƣờng xun

1

0

0

1

5

Chƣơng 3: Bài toán đối ngẫu

6

6

0

0

6

Chƣơng 4: Bài toán vận tải. Bài tốn
thế vị

6

6

0

0

7

Thi kết thúc mơn học

1

0

0

1

Cộng

30

28

0

2

vii


CHƢƠNG 0: MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
 Giới thiệu
Chƣơng này nhằm củng cố các kiến thức về đại số tuyến tính cho sinh
viên để có thể vận dụng tốt và linh hoạt vào các chƣơng sau. Giới thiệu các kiến
thức cơ bản về ma trận và các phép toán của ma trận, khái niệm và phƣơng pháp
tính định thức của một ma trận, hạng của ma trận, áp dụng giải các hệ phƣơng
trình tuyến tính, cấu trúc không gian vectơ V, khái niệm một hệ độc lập độc lập
tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.
 Mục tiêu
- Về kiến thức:
+ Hiểu đƣợc khái niệm ma trận và sử dụng thành thạo các phép
toán của ma trận: phép toán cộng, trừ, nhân. . .
+ Hiểu rõ cấu trúc không gian vectơ V, cách xác định một hệ độc
lập độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
- Về kỹ năng:
+ Tính đƣợc định thức của một ma trận cấp 2, cấp 3, …, cấp n theo
công thức, qui tắc Laplace hay bằng phép biến đổi sơ cấp.
+ Thành thạo kỹ năng “phép biến đổi sơ cấp trên ma trận”, từ đó rút

ra phƣơng pháp tìm hạng của ma trận bất kỳ.
+ Làm đƣợc các bài tập tƣơng tự.
- Về năng lực tự chủ và trách nhiệm: Có thái độ nghiêm túc, tự giác học
tập và chịu trách nhiệm với kết quả thực hiện.

1


1. Ma trận
1.1. Ma trận và các phép toán trên ma trận
1.1.1. Các định nghĩa
Định nghĩa ma trận
Một ma trận A cấp m n là một bảng gồm m n số thực đƣợc sắp xếp theo một
thứ tự thành m dòng và n cột đƣợc viết dƣới dạng:

 a11
 a21
A   ...

am1


a12
a22
...
am2

...
...
...

...

Cột thứ 2

a1n 
a2n 

... 
amn 

a11
a21
hoặc A   ...

am1


Dòng thứ 1

 mn .

i 1,m;

Ký hiệu:

A  aij

Trong đó:

A: là tên của ma trận.

a12
a22
...
am2

...
...
...
...

a1n 
a2n 

...  (0.1.1)
amn 

j  1, n

aij : là phần tử (hay số hạng) nằm ở dòng (hay hàng) i, cột j của A.
(m, n) : đƣợc gọi là kích thƣớc của A.



Dòng thứ i của A là A(i)  ai1

ai2 ... a1n



a1j 
a2j 
 
Cột thứ j của A là A(j)   . 
 . 
 
amj 
-1 1 2 
A  
 là ma trận cấp 23 và
1
1
3


a11  -1, a12 1, a23  3....

Ví dụ 1:

12 7 9 4 18


?
Cho ma trận B  0 3 21 12 7 . Hãy xác định:


1
15
14


4
30


i) Loại của ma trận B? ii) Giá trị của b23 , b32 ? iii) Dòng thứ 2 và cột thứ 3?
b) Ma trận không
Là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0

aij 0, i, j.
2

(0.1.2)


Ký hiệu: O

 (O)mn .

0 0 0 0
0 0


Ví dụ 2: O22  
; O34  0 0 0 0

0 0
0 0 0 0


c) Ma trận đối của ma trận A

Là ma trận đƣợc nhận từ A bằng cách đổi dấu mọi phần tử của A.
Ký hiệu: A.

1 2 2 0 1
Ví dụ 3: Cho ma trận A  

3

4
5

1
1


1 2 2 0 1 
 Ma trận đối của A là A  3 4 5 1 1


d) Ma trận vng
Là ma trận có số dịng = số cột = n (thuộc loại cấp
trận vuông cấp n. Ký hiệu: A  (aij)nn  (aij)n .

n n ) và đƣợc gọi là ma

Khi đó đƣờng thẳng chứa các phần tử a11, a22, …, ann đƣợc gọi là đƣờng
chéo chính của A.

a11
a21

A   ...

an1


Ví dụ 4:

a1n 
a2n 

(0.1.3)
... 
ann 
0 7 8


 1 3
2 7 ma trận vuông cấp 2. 4 2 0 ma trận vuông cấp 3




5
0
2


a12
a22
...

an2

...
...
...
...

Đƣờng chéo của A là {1, 7},
Đƣờng chéo của B là {0, -2, 2}.
 Các ma trận đặc biệt
* Ma trận dòng: là ma trận có

* Ma trận cột: là ma trận có



  1n .

m  1 a11a12 ...a1n : ai

n 1

3

 a11 
a 
 21  : a
i
 .. 
 

am1 

 m1.

(0.1.4)

(0.1.5)


e) Ma trận tam giác và ma trận chéo
Ma trận vuông là ma trận tam giác, nếu các phần tử ở một phía đƣờng
chéo bằng 0.

A  (aij )n đƣợc gọi là ma trận tam giác trên nếu

* Ma trận

aij  0 (i  j).
* Ma trận

aij  0 (i < j) .
* Ma trận

aij  0(i  j)

A  (aij )n đƣợc gọi là ma trận tam giác dưới nếu

A  (aij )nn đƣợc gọi là ma trận tam giác chéo nếu
(các phần tử nằm ngoài đƣờng chéo đều bằng 0)

a11
0

 ...

0

a12
a22
...
0

...
...
...
...

a1n 
a2n 
... 

ann 

a11
a
 21
 ...

an1

ma trận tam giác trên

Ví dụ 5:

2
0

0

 0

0
0
0
0

0
a22
...
an2

...
...
...
...

a11
0

 ...


 0

0
0 
... 

ann 

ma trận tam giác dưới

9
35
5
0

11
0 
8
5 

ma trận tam giác trên

12
2

7

 3

0
0
1
8

0
a22
...
0

...
...
...
...

0
0 
...  (0.1.6)

ann 

ma trận chéo.

0
0
5
0

0
0 

0 
5

7
0

0

0

ma trận tam giác dưới

0
5
0
0

0
0
1
0

0
0
0
2

ma trận chéo.

f) Ma trận đơn vị cấp n

Là ma trận vng cấp n có các phần tử trên đƣờng chéo chính đều bằng 1,
các phần tử ngồi đƣờng chéo chính đều bằng 0. Ký hiệu: In hoặc I.

Ví dụ 6:

1
I2  
0

1
0 

I

;

1  3 0
0

0
1
0

0

0  , …, In

1 

1

0
 ...

 0

g) Ma trận bậc thang
Là ma trân cấp

m n có: aij  0, i  j.

Khi: a11a22a33...arr

 0, ta nói ma trận hình thang đã chuẩn hóa

4

0
1
...
0

...
...
...
...

0
0 
...


1 


a11
0

 ..
A  0

0

0


a12
a22
..
0
0
0

...
...
...
...
...
...

a1r
a2r

..
arr
0
0

...
...
...
...
...
...

a1n 
a2n 
.. 
arn 
0 
0 

(0.1.7)

1
0

0

0

Ví dụ 7:

2
4
5
0

3
3
0
0

1
0
9
0

h) Ma trận đối xứng
Là ma trận vng có các phần tử đối xứng nhau qua đƣờng chéo chính bằng
nhau.

11
4

Ví dụ 8:  2
0

21

4
3
4

2
1

2
4
2
22
9

0
2
22
5
8

21
1
9 
8

21

i) Ma trận bằng nhau.
Hai ma trận

A  (aij )mn, B  (bij )mn gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
aij bij i  1,m; j  1,n

Ký hiệu:

(0.1.8)

A B

j) Ma trận chuyển vị
Cho ma trận A = (aij)mxn . Ma trận chuyển vị của ma trận A là ma trận cấp
n m bằng cách chuyển dòng thành cột và ngƣợc lại. Ký hiệu: AT hoặc A*.
Tức là: AT = (aji)nxm .

 a11 a12
a a
A   ..21 ..22

am1 am2

a11 a21
... a1n 

a a
... a2n 
 12 22
T

A


 .. ..
... ..



... amn 
a1n a2n
mn
5

... am1 
... am2 
... .. 

... anm 
nm

(0.1.9)


1 6
1 2 5
T  2 7
A  

A

 

6
7
9
5 9

23

 32

Ví dụ 9:

 Tính chất
i)

(AT )T  A , AT = BT A  B

ii) Cho A, B cùng cấp, ta có:

(A B)  AT BT .
iii) Cho ma trận A = (aij)mxn , B = (bij)nxp . Ta có:

(AB)T  BT AT .
 Chú ý: Nếu AT

 A thì A

gọi là ma trận đối xứng.

1.1.2. Các phép tốn trên ma trận
a) Phép cộng hai ma trận
Tổng hai ma trận

A  (aij )mn, B  (bij )mn là ma trận C (cij )mn có

các phần tử tính bằng cơng thức:

cij  aij bij

(i  1,m ; j  1,n).

(0.1.10)

b) Phép hiệu hai ma trận.
Hiệu hai ma trận

A  (aij )mn, B  (bij )mn là ma trận C (cij )mn có các

phần tử tính bằng cơng thức:

cij  aij bij

(i  1,m ; j  1,n).

(0.1.11)

c) Phép nhân một số thực với ma trận
Tích của số thực

k với ma trận A (aij )mn là ma trận C  kA (cij )mn

có các phần tử đƣợc tính bằng cơng thức:

cij  kaij
-1 1
A  
 1 1
-2

A B  
 2

Ví dụ 10:

(i  1,m ; j  1,n).

2 
-1 0 1 
B

,
 1 -1 1 
3 


1 3
0 1
; A B  
0 4
0 2
6

(0.1.12)

1
-2 2 4 
; 2A  

2

2
2
6




Ví dụ 11: Một ngƣời có hai cửa dịng bán dịng tin học. Số lƣợng dịng hóa bán
ra trong tháng thứ nhất và tháng thứ hai cho bởi hai ma trận A và B. Tìm lƣợng
dịng hóa bán trong cả hai tháng của ngƣời đó.
Bàn phím Ram Chuột USB

 2
A  
 4

5
6

10
9

15  Ch1
13 Ch2

 7
B  
 6

3

5

12
8

11 
17 

Giải: Lƣợng dịng hóa bán ra cả 2 tháng đƣợc cho bởi ma trận C A B.

9
C  
10
2 0

A  1 2

2 5

8
11

22
17

36 
30 

1 2 2 4 0
1 1 3




?
0 2 4 và B  1 3 1 3 0
Cho ma trận



3 5 0
4
5

5
3
3


Tìm ma trận: C  2A 3B và D  3A 2B.
 Các tính chất

m n , r, s là các số. khi đó:
A B  B A
v) r(A B)  rA rB
A (B C)  (A B) C
vi) (r s)A  rA sA
A O O A  A
vii) (rs)A  r(sA)
A (- A) O
viii) 1.A  A

Cho A, B, C là các ma trận cùng cấp

i)
ii)
iii)
iv)

d) Phép nhân hai ma trận.
Tích của hai ma trận Cho ma trận

A  (aij )mn , B  (bjk)np là một ma

trận C  AB (cij )mp có các phần tử xác định bởi cơng thức

cij  aikbkj
n

k1

(i  1, m ; j  1, n).

(0.1.13)

Nghĩa là: phần tử cij của ma trận C là tổng các tích của các phần tử ở
dịng i của ma trận A với các phần tử tƣơng ứng ở cột j của ma trận B.
Sơ đồ thực hiện:

7

 Chú ý: Tích AB xác định khi và chỉ khi số cột của ma trận A bằng số dòng
của ma trận B.

1 2
2
-1
1


Ví dụ 12: 
-3 2 0 .2 -1
3 0
?

1. Cho ma trận:

3 -1
 3 5 7 -1
1 0  
.
1
-8
-7
3


2 2 
 5 3
2 0 1





1 3 1
A  
B

0
1
C

3
1
0
;
và

.





 3 0 2

2
0
1


1
2





Tính a) A.B, B.A của các ma trận và nhận xét 2 kết quả A.B và B.A
b) CTC;

CB  3B.

 Tính chất
Cho

A  (aij )mn , B  (bij )np, C  (cij )pq và I là ma trận đơn vị
i) A(BC) = (AB)C.

ii) A(B + C) = AB + AC.

iii) (A + B)C = AC + BC

iv) ImA

 AIn  A.

1.2. Định thức
Khái niệm định thức chỉ áp dụng cho ma trận vuông. Định thức của ma trận
A là một số, kí hiệu là det(A) hay A .
1.2.1. Định thức cấp 2, 3

* Định thức cấp 2: Xét ma trận vng cấp 2:
Khi đó:

a11 a12
A  a a : a11a22 a12a21
21 22

* Định thức cấp 3 (qui tắc Sarrus) :

8

a11 a12
A  a a  .
 21 22 
(0.1.14)


a11 a12 a13 


Xét ma trận vuông cấp 3: A  a21 a22 a23 
a31 a32 a33 



Khi đó:

a11 a12 a13
A  a21 a22 a23  a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33

a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31

 Cách nhớ:

a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32

(0.1.15)

(0.1.16)

+ Nhận thấy rằng, định thức cấp 3 là một tổng của sáu số hạng, có ba số
hạng có dấu +, ba số hạng có dấu -, và mỗi số hạng là tích của ba phần tử nằm
trên các hàng các cột khác nhau.
+ Định thức cấp 3 là tổng đầu gồm 3 tích số lấy theo đƣờng chéo chính và
2 đƣờng song song với nó nhân với phần tử đối diện. Tổng sau cùng cũng gồm 3
tích số nhƣng lấy theo đƣờng chéo cịn lại và 2 đƣờng song song với nó nhân với
phần tử đối diện.
Ví dụ 13:

2 3 4
1 2 3 [2.2.2(3).3.51.(4).4][4.2.5(3).1.23.(4).2] 63.
5 1 2
1.2.2. Định thức cấp n (khai triển theo một dịng hay theo một cột)

a11
a21
Cho ma trận vng cấp n : A   ...


an1


a12
a22
...
an2

...
...
...
...

a1n 
a2n 

...  . Định thức của ma
ann 

trận A khai triển theo hàng một là:

A a11A11 a12A12 .... a1nA1n

9

(0.1.17)


Định lý Laplace: Định thức của ma trận A cấp

a11
a21
A  ...
an1
Trong đó:



a12
a22
...
an2

...
...
...
...

n là:

.
a1n
a2n n
(1)i j aij det(Mij )
...  
j 1
ann

(0.1.18)

Mij là ma trận vuông nhận từ A bằng cách bỏ đi dòng i, cột j.

 Đặt Aij

 (1)ij det(Mij ), ta gọi là phần bù đại số của phần tử aij

Khi đó, ta có cơng thức khai triển định thức

A theo dòng thứ i :

A  aijAij ai1Ai1 ai2Ai2 .... ainAin
n

j 1

 Chú ý: Có thể khai triển

(0.1.19)

A theo cột thứ j

A  aijAij  a1jA1j a2jA2j .... anjAnj
n

i 1

1 4 3
Ví dụ 14: Tính định thức sau A  5 2 1
3 6 0
Giải Khai triển theo dịng 1, ta có:

i 1
A  a11A11 a12A12 a13A13 1A11 4A12 (3)A13
Mà

A11  (1)11 det(M11)  (1)2

2 1
 6
6 0

A12  (1)12 det(M12)  (1)3

5 1
 3
3 0

A13  (1)13 det(M13)  (1)4

5 2
 36
3 6

 A 1.(6) 4.(3) (3).36 126
Nhận xét: Có thể trình bày ngắn gọn nhƣ sau
10

(0.1.20)


2 1

5 1
5 2
 4.(1)3
(3).(1)4
6 0
3 0
3 6 (khai triển theo dòng 1)
 1.(6)  4.(3) (3).36 126

i 1

A  1.(1)2

 Nhận xét: Do giá trị định thức không đổi dù ta khai triển theo dòng (cột) bất
kỳ nên khi thực hành ta chọn những dịng (cột) có nhiều số 0 nhất rồi khai triển
theo dịng (cột) đó.
1.3. Ma trận nghịch đảo
* Định nghĩa. Ma trận vuông
biến khi và chỉ khi A  0.

A

cấp

n đƣợc gọi là ma trận không suy

* Định nghĩa. Cho ma trận vuông A cấp n Nếu tồn tại ma trận vuông B
cấp n sao cho AB  BA  In thì B đƣợc gọi là nghịch đảo của A (hoặc A khả
nghịch).
Ký hiệu:

B  A-1.

Nhƣ vậy, nếu A khả nghịch thì

AA
. -1  A-1.A  In .

1 2 

 7 - 2


. Ma trận nghịch đảo là B 
Ví dụ 15 : Cho A 
-3 1 
3 7
1 2   7 - 2  1
=
3 7 -3 1  0

Vì 

0
7 - 2 1 2   1

= 
 và 
1
-3 1  3 7 0

* Định lý: Ma trận vuông A khả nghịch

0

1

det A  0.

1.4. Hạng của ma trận
1.4.1. Định nghĩa
 Định nghĩa 1
Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của các định thức con khác không
của A. Ký hiệu: rank(A) hay r(A) .
 Chú ý:

A (0)mn , thì ta qui ƣớc r(A)  0.

2

Ví dụ 16: Tìm hạng của ma trận A 0

2

2 -1
Giải + Ta có det A  0 -3
2 -4

1
2

3

 0.

3x3

11

-1
-3
-4

1

2

3 


+ Định thức con cấp 2 là

2
0

-1
 6  0. Kết luận r(A)  2.
-3

* Hạng của ma trận A bằng số dòng khác 0 của ma trận dạng bậc thang
tƣơng đƣơng với ma trận A

m,n) ( A là ma trận cấp mxn).
 Nhận xét : 0  r(A)  min(
 Định nghĩa 2
Số dòng khác 0 của ma trận bậc thang (không nhất thiết là ma trận bậc
thang rút gọn theo dòng) tƣơng đƣơng ma trận A đƣợc gọi là hạng của ma trận
A.
1.4.2. Cách tính hạng của ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp.
Biến đổi sơ cấp
i) Đổi chỗ hai hàng cho nhau ( hi hj )
ii) Nhân một hàng với một số k 0
iii) Cộng một hàng với

k lần hàng khác (hi k.hj )

Phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận.
Để tính hạng của ma trận A ta thƣờng dùng các phép biến đổi sơ cấp để đƣa
ma trận A về ma trận B có dạng:

b11
0

 ...

B  0

0
 ...

 0

Ta có

b12
b21
...
0
0
...
0

... b1r
... b2r
... ...
brr
... 0
... ...
... 0

... b1n 
... b2n 
... ... 

brn 

... 0 
... ... 

... 0 

r(A)  r(B)  r  số dịng khác khơng của ma trận B.

1 5 4 -13 


5
Ví dụ 17: Tìm hạng ma trận: A 3 -1 2


2
2
3
-4



Giải
12

(0.1.21)


1 5 4 -13 
1 5
4 -13

 h2h2 3h1 

5 






0
-16
-10
44
3 -1 2


h

h

2
h
3
3
1




2
2
3
-4
0
-8
-5

22




1 5
4 -13 


h3h3 h2

0 -16 -10 44 


0
0
0 0
Kết luận: r(A) = 2

1
2

? Tìm hạng của ma trận: A  4

5
2.

2
6
2

0

8
3
13
21

3
4 
10
13

Vectơ

2.1. Vectơ
a) Vectơ n chiều
Là một bộ n số có xếp thứ tự
phần thứ i của vectơ

x ( i 1,2,...,n).

x (x1, x2,..., xn), trong đó xi

là thành

b) Vectơ hàng và vectơ cột
Vectơ đƣợc viết theo hàng gọi là vectơ hàng. Nếu viết theo cột gọi là
vectơ cột.

x (x1, x2,..., xn) : vectơ hàng n chiều

 y1 
y 
y  2  : vectơ cột m chiều.
 ... 
y 
 m
2.2. Không gian vectơ
Định nghĩa
Cho V là một tập tùy ý khác rỗng và tập số thực
hai phép toán

. Trên V ta xác định

Cộng hai phần tử của V :

 :V V  V
(u,v) u v

(0.2.1)

Nhân phần tử của V với một số k :
13


. : RV  V
(k,u) ku
.

(0.2.2)

Ta gọi V cùng với hai phép tốn trên đƣợc gọi là một khơng gian vectơ
(hay khơng gian tuyến tính) nếu 8 tiên đề sau đƣợc thỏa mãn u,v,wV và
k,r  :

uv vu
2) (uv) wu(vw)
3) V :u u,  đƣợc gọi là phần tử không.
4) uV :u(u)  , u đƣợc gọi là phần tử đối của u .
5) k(uv) kukv
6) (k r)u kuru
7) k(ru) (kr)u
8) 1.u u
1)

Mỗi phần tử của một không gian vectơ đƣợc gọi là một vectơ.
Ta còn viết

u(v) uv và gọi là hiệu của u và v.

Phép toán u + v gọi là phép cộng vectơ.
Phép toán k.u gọi là phép nhân vectơ với một vô hƣớng, hay đơn giản là
phép nhân với vơ hƣớng.





Ví dụ 18: Rn  (x1, x2...,xn) xi R,i 1,...,n ta trang bị hai phép toán:
- Phép cộng: (x1, x2,...,xn) (y1, y2,...,yn) (x1  y1, x2  y2,...,xn  yn)
- Phép nhân: k(x1, x2,...,xn)  (kx1,kx2,...,kxn),k R

là một khơng gian vectơ.
2.3. Độc lập tuyến tính - phụ thuộc tuyến tính
* Định nghĩa tổ hợp tuyến tính của một hệ véctơ

Giả sử S u1,u2,...,un là một hệ (hay một tập) của không gian vectơ V.
Vectơ

u  ku
i i , ki R,i 1,..., n
n

i1

(0.2.3)

đƣợc gọi là tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ S hay u biểu thị tuyến tính qua các
vectơ u1,…,un .
* Định nghĩa hệ độc lập tuyến tính và hệ phụ thuộc tuyến tính

14


Hệ vectơ S u1,u2,...,un của không gian vectơ V đƣợc gọi là phụ thuộc
tuyến tính nếu có các số k1, k2,..., kn không đồng thời bằng 0 sao cho

ku
1 1 k2u2 ... knun  .

Hệ vectơ S u1,u2,...,un đƣợc gọi là độc lập tuyến tính nếu nó khơng phụ

thuộc tuyến tính, tức là nếu ku
1 1 k2u2 ... knun  thì suy ra k1  k2 ... kn  0.
Ví dụ 19: Trong 3 , hệ vectơ e1,e2,e3 với e1 (1,0,0), e2 (0,1,0), e3 (0,0,1) là





một hệ độc lập tuyến tính.
Thật vậy: Giả sử có:

ke
1 1 k2e2 k3e3 

k1(1,0,0) k2(0,1,0) k3(0,0,1)  (0,0,0)
(k1,k2,k3)  (0,0,0)
k1  k2  k3  0

Vậy hệ vectơ

e1,e2,e3 độc lập tuyến tính .

Một cách tƣơng tự, ta có:
Trong khơng gian n , hệ vectơ {e1,e2,…,en} :

e1 (1,0,...,0)
e2 (0,1,...,0)
.....
en (0,0,...,1)
là hệ độc lập tuyến tính .

Ví dụ 20: Hệ {u1,u2,u3} với u1 = (1,1,1), u2 = (1,1,0), u3 = (2,2,1) là phụ thuộc
tuyến tính. Vì u1 + u2 - u3= (1,1,1) + (1,1,0) - (2,2,1) = (0,0,0) = .
Nhận xét: Từ định nghĩa trên, suy ra:

xu
1 1  xu
2 2 ...  xu
n n  , với xi là các ẩn số thực.
Phƣơng trình này ln có nghiệm khơng x1 0, x2 0,..., xn 0. Nếu nghiệm đó
Xét phƣơng trình:

là duy nhất thì hệ vectơ u1,u2,...,un là độc lập tuyến tính. Cịn nếu phƣơng trình
có nghiệm khác nghiệm khơng thì hệ vectơ u1,u2,...,un là phụ thuộc tuyến tính.
Ví dụ 21: Xét xem hệ vectơ

u1 (1; 3; 2), u2 (1; 5; 3), u3= (2; 7; 5) là độc lập

tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.
Giải.

xu
1 1  xu
2 2  xu
3 3  , xi R, ta đƣợc:
x1  x2 2x3 0
x1  x2 2x3  0
3x 5x 7x 0 2x  x 0 x 0, x 0, x 0.
 1 2 3
 2 3
1

2
3
2x1 3x2 5x3 0 x3 0



Từ phƣơng trình

15


Vậy u1,u2,u3 độc lập tuyến tính.
?

Xét xem các hệ sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
a) u1 1,1,2,
b)

u2 0,0,0, u3 4,1,2

u1 1,0,1,0, u2 0,0,1,0, u3 1,0,0,1, u4 1,0,1,0

16


BÀI TẬP CHƢƠNG 0

1 3
0 1
2 3





A  1 2-, B  3 2, C  1 2 
1. Cho các ma trận:
3 4
2 3
4 1
Tính : a) (A  BC
b) 3A
c) AT , BT , CT
) T

 1 3 3
2 5 6 




2. Cho hai ma trận A   2 2 1, B  5 3 2.





3

4
0

7
4

4




a) Tính 2A  3B.
b) Tính AB
. , BA
..
c) Tìm ma trận X sao cho
:
i) 2A  3X  I3
ii) A  X  B
3. Tính các định thức:

cos
b) B 
-sin

tanx
-1
a) A 
1
tanx

-2
c) C  1

0

4
3
-2

sin
cos

0
1
2 d) D  - i
1
1- i

i
1
0

1
2

c) 
5
7

3
1
1
7

1 i
0
3

4. Tìm hạng của các ma trận

1 4 8 


a) A 3 2 4 


4
6
12



1 2 3 1 3


b) B 0 1 3 4 5


0
2
3
1
8




5
3
1
9

1
4 
7 
1 

5. Trong R3 xét xem các hệ sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến
tính
a) a1 1,1,1, a2 0,1,1, a3  3,1,2

b) a1 2,3,5, a2 0,1,1, a3 1,3,1
6. Trong R4 xét xem hệ vectơ sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến
tính

S a1 0,3,1,1,a2 1,0,2,1,a3 1,3,1,2.
17