ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (369.01 KB, 21 trang )
ng d ng tích phân tính di n tích, th tích
NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH DI N TÍCH, TH
I. DI N TÍCH HÌNH PH NG XÁC
NH B I
Ư NG CONG y = f(x)
1. DI N TÍCH HÌNH PH NG GI I H N B I 1
1.1. Bài tốn:
y
TÍCH
Ư NG CONG:
( C ) : y = f ( x )
Tìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i Ox : y = 0
x = a, x = b
y
O
f(x) > 0
a
b
S
x
S
O a
b
x
f(x) < 0
b
1.2. Công th c t ng quát :
S=
∫
f ( x ) dx
a
1.3. Công th c khai tri n:
y
b
a. S = ∫ f ( x ) dx a n u f(x) ≥ 0
f(x) > 0
f(x) > 0
a
b
∫
O
a
c
d
S3
S1
b. S = − f ( x ) dx n u f(x) ≤ 0
a
c
b
c. S = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
a
c
2.1. Bài tốn:
b
f(x) < 0
d
2. DI N TÍCH HÌNH PH NG GI I H N B I 2
d
S2
x
Ư NG CONG:
( C1 ) : y = f ( x )
Tìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i ( C2 ) : y = g ( x )
x = a, x = b
b
2.2. Công th c t ng quát:
S=
∫
a
y
f ( x ) − g ( x ) dx
y
S
O
S1
x
a
b
g(x)
g(x)
f(x)
f(x)
O
S2
c
a
g(x)
x
b
f(x)
217
Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương
2.3. Công th c khai tri n:
b
a. S =
∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx
n u f(x) ≥ g(x) ∀x∈[a, b]
a
b
b. S =
∫ ( g ( x ) − f ( x ) ) dx
n u f(x) ≤ g(x) ∀x∈[a, b]
a
c
c. S =
∫
b
( f ( x ) − g ( x ) ) dx +
a
∫ ( g ( x ) − f ( x ) ) dx
c
3. DI N TÍCH HÌNH PH NG GI I H N B I CÁC
3.1. Bài toán 1:
Ư NG CONG T
C T KHÉP KÍN
( C1 ) : y = f ( x )
Tìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i
( C2 ) : y = g ( x )
x = a
Bư c 1: Gi i phương trình: f ( x ) = g ( x ) ⇔
x = b
y
f(x)
S
b
Bư c 2: S d ng S =
∫
g(x)
f ( x ) − g ( x ) dx
O
a
x
b
a
y
3.2. Bài tốn 2:
g(x) C f(x)
Tìm di n tích hình ph ng
( C1 ) : y = f ( x )
S gi i h n b i ( C2 ) : y = g ( x )
( C3 ) : y = h ( x )
A
h(x)
S
B
O
Bư c 1: Gi i phương trình tương giao → tìm hồnh
a
c
b
x
giao i m
C ≡ ( C1 ) ∩ ( C2 ) gi i phương trình f(x) = g(x)
C ≡ C1 ∩ C2
A ≡ C ∩ C
A ≡ ( C2 ) ∩ ( C3 ) gi i phương trình g(x) = h(x)
2
3
B ≡ C ∩ C
B ≡ ( C3 ) ∩ ( C1 ) gi i phương trình h(x) = f(x)
3
1
c
Bư c 2: S d ng S =
∫
a
b
( f ( x ) − h ( x ) ) dx +
∫ ( g ( x ) − h ( x ) ) dx
c
C n ph i i n " vdt" vào k t qu cu i cùng trong các bài tốn
tính di n tích hình ph ng
4. CHÚ Ý:
218
ng d ng tích phân tính di n tích, th tích
5. CÁC BÀI T P M U MINH H A
Bài 1. Tính S:
{( P ) : x
2
1
}
= ay ; ( P2 ) : y 2 = ax
( a > 0)
y
Gi i
2 x4
x2
y =
y = 2
( P1 ) ∩ ( P2 ) : a ⇔
a
y2 = ax
y2 = ax
a
(P )
1
S
x
3
4
x = 0, y = 0
= ax
x = a x
⇔ a2
⇔ 2
⇔
x = a, y = a
y = ax
y2 = ax
4
a
O
x
(P )
2
a
2 a
x2
x3
2a 2 a 3 a 2
−
=
S = ax −
x x− =
( vdt)
dx =
a
3a
3
3a
3
3
0
a
∫
0
{
}
Bài 2. Tính S: (C ) : y 2 − 2y + x = 0 ; ( D ) : x + y = 0
y
Gi i
(C ) : y 2 − 2y + x = 0
⇔
( D ) : x + y = 0
(C ) : x = − y 2 + 2y
( D ) : x + y = 0
3
2
x
=
0
3
∫
∫ (−y
0
-3
0
2
1
y
3
S = ( − y 2 + 2y ) − ( − y ) dy =
S
+
y = 0; x = 0
y = 3; x = −3
(C ) ∩ ( D ) : − y 2 + 2y + y = 0 ⇔
+ 2y + y ) dy
2
y +2
x=-
1
O
y
x
3
3
y3 3y 2
1
3
9
= ( − y + 3y ) dy = − +
= − ⋅ 27 + ⋅ 9 = ( vdt)
2
3
2
2
3
0
0
∫
2
{
}
Bài 3. Tính S: ( P ) : y 2 = 2x ; ( D ) : x − 2y + 2 = 0 ; Ox : y = 0
y
Gi i
y2 = 2 ( 2y − 2 )
2
( P ) ∩ ( D ) ⇔ y = 2x ⇔
x = 2y − 2 x = 2y − 2
y2 − 4y + 4 = 0 y = 2
⇔
⇔
x = 2y − 2
x = 2
2
1
S
(D)
-2
2
y2
y3
8
S = − ( 2y − 2 ) dy =
− y 2 + 2y =
( vdt)
6
2
6
0
2
∫
2
O
x
(P)
-2
0
219
Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương
{
1
7−x
Bài 4. Tính S: ( P ) : y = − x 2 − 8x + 7 ; ( H ) : y =
3
x −3
(
)
}
y
Gi i
( P ) ∩ ( H ) : − 1 ( x 2 − 8x + 7 ) = 7 − x
3
x −3
3
(P)
O
-1
x = 0
x ( x 2 − 11x + 28 )
x = 4
⇔
=0⇔
3 (3 − x )
x = 7
S
1
7
3
3 4
x
7
(H)
7
7 − x
1
S = − ( x 2 − 8x + 7 ) −
dx
x − 3
3
4
∫
7
x3 4x 2 4
x 2 8x 4
4
− x − 4ln x − 3 = 9 + 8ln 2 ( vdt)
= −
+
− −
dx = − +
3 3 x − 3
3 3
3
9
4
7
∫
4
{
}
Bài 5. Cho: ( P ) : y 2 = 2x ; ( C ) : x 2 + y 2 = 8 .
(P) chia (C) thành 2 ph n, tìm t s di n tích c a 2 ph n ó.
Gi i
2
y2
th ta có: S2 = 2 8 − y 2 − dy
2
0
∫
Nhìn vào
2
=2
∫
0
y
2
y3
8 − y dy − y dy = 2I −
3
0
∫
2
2
2
= 2I −
0
2
8
3
O
∫
t y = 2 2 sin t ⇒ dy = 2 2 cos tdt
8 − y 2 dy .
2
2 2
x
2
Xét I =
S
-2
0
π4
2
I=
∫
2
8 − y dy =
0
∫
8 − 8sin t .2 2 cos tdt = 8
0
π4
=8
π4
2
∫ cos
t dt = 4
0
∫
(1 + cos 2t ) dt = 4 t + 1 sin 2t
0
V y S2 = 2I −
1 − sin 2 t cos tdt
0
π4
2
∫
8
8
4
= 2π + 4 − = 2 π +
3
3
3
2
π4
0
π 1
= 4 + = π + 2
4 2
2
( vdt). Ta có: S1 + S2 = π ( 2 2 ) = 8π
6π − 4 18π − 4 9π − 2
3 =
4 = 6π − 4 ( vdt) ⇒ S1 =
⇒ S1 = 8π − 2π +
=
3
3
S2 2π + 4 6π + 4 3π + 2
3
(
220
)
ng d ng tích phân tính di n tích, th tích
{
}
Bài 6. Tính S: ( P ) : y = x 2 − 4x + 3 ; ( D ) : y = x + 3
Gi i
x + 3 = x 2 − 4x + 3
x 2 − 5x = 0
x = 0, y = 3
( P) ∩ ( D) :
⇔ 2
⇔
2
x + 3 = − x + 4x − 3 x − 3x + 6
x = 5, y = 8
y
x = 1
( P ) ∩ Ox : y = 0 ⇒ x 2 − 4x + 3 = 0 ⇔
x = 3
8
1
S = ( x + 3) − ( x 2 − 4x + 3) dx +
∫
S3
0
3
3
+ ( x + 3) + ( x 2 − 4x + 3) dx +
∫
S2
S1
1
5
+ ( x + 3) − ( x 2 − 4x + 3) dx
∫
-3
O
2
1
3
3
x
5
-1
1
3
5
0
1
3
= ∫ ( − x 2 + 5x ) dx + ∫ ( x 2 − 3x + 6 ) dx + ∫ ( − x 2 + 5x ) dx
1
3
5
x 3 5x 2
x 3 3x 2
x 3 5x 2
109
= −
+
+
−
+ 6x + −
+
( vdt)
=
2
2
2
6
3
3
1 3
0
3
3x
12x
π
Bài 7. Tính S: ( C1 ) : y = 1 − 2 sin 2
; ( C2 ) : y = 1 +
; ( D) : x =
2
π
2
Gi i
( C1 ) : y = 1 − 2 sin 2
Nhìn vào
7
3x
= cos 3x
2
A
th ta có: S = SANOI − 3SOIK
π6
=
y
π6
7 +1 π
⋅ − 3 cos3xdx = 2π − sin3x = 2π − 1
2 2
0
0
∫
Bài 8. Tìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i
S
1
N
(P): y = x2 − 2x + 2 và các ti p tuy n c a (P)
O
i qua A(2; −2).
M
B
C
π
π
π
6
3
2
x
221
Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương
Gi i
ư ng th ng qua A có d ng (d): y = k(x − 2) − 2.
x 2 − 2x + 2 = k ( x − 2 ) − 2
(d) là ti p tuy n c a (P) khi
( x 2 − 2x + 2 )′ = [ k ( x − 2 ) − 2]′
2x − 2 = k
2x − 2 = k
⇔ 2
⇔ 2
⇔
( 2x − 2 )( x − 2 ) − 2
x − 2x + 2 =
x − 4x = 0
x = 0; k = −2
x = 4; k = 6
V y 2 ti p tuy n c a (P) i qua A là: (d1): y = −2x + 2 ti p xúc v i (P) t i
y
10
B(0, 2) và (d2): y = 6x −14 ti p xúc v i (P) t i C(4, 10).
{
}
V y S: ( P) : y = x2 − 2x + 2; ( d1 ) : y = −2x + 2 ; ( d2 ) : y = 6x −14
2
4
S = ( x2 − 2x + 2) − ( −2x + 2) dx + ( x2 − 2x + 2) − ( 6x − 14) dx
∫
∫
0
2
2
∫
4
2
2
2
∫ ( x − 8x + 16) dx = ∫ x dx + ∫ ( x − 4) d ( x − 4)
2
4
0
2
0
2
= x 2 dx +
2
3 4
( x − 4)
x3
=
+
3 0
3
2
(P)
2
−8 8 8 16
8
( vdt)
= − 0 + 0 − = + =
3 3 3 3
3
O
( P1 ) ∩ ( P2 ) : x2 =
x2
⇔x =0⇒y =0
27
( P2 ) ∩ ( H) :
Nhìn vào
3
∫
(P1 )
s2
s1
O
th ta có:
3
∫
0
(P2 )
3
6
9
x3
+ 27 ln x −
81
3
1
26
= − 0 + 27 ln 9 − 27 ln 3 − 9 + = 27 ln 3 ( vdt)
3
3
222
(H)
3
x2 27
= ⇔ x3 = 272 ⇔ x = 9
27 x
9
2 x2
27 x 2
26x 3
S = x −
−
dx +
dx =
27
81
x 27
0
3
1 2 7
3
d1 d
2
y
9
9
2
27
( P1 ) ∩ ( H) : x2 = ⇔ x3 = 27 ⇔ x = 3
x
s1
2
x2
27
Bài 9. Tính S: ( P1 ) : y = x2 ; ( P2 ) : y = ; ( H) : y =
27
x
Gi i
s2
9 x
4 x
ng d ng tích phân tính di n tích, th tích
x2
2
8
Bài 10. Tính S: ( P1 ) : y = x 2 ; ( P2 ) : y =
; ( H1 ) : y = ; ( H 2 ) : y =
4
x
x
y
Gi i
(P )
2
⇔ x3 = 2 ⇔ x = 3 2 ⇒ y = 3 4
x
8
( P1 ) ∩( H2 ) : x2 = ⇔ x3 = 8 ⇔ x = 2 ⇒ y = 4
x
2
x 2
( P2 ) ∩( H1 ) : = ⇔ x3 = 8 ⇔ x = 2 ⇒ y = 1
4 x
1
( P1 ) ∩( H1 ) : x2 =
(P )
2
4
3
16
3
(H2)
s2
S1
4
1
(H1)
2
( P2 ) ∩( H2 ) :
x 8
= ⇔ x3 = 32 ⇔ x = 2 3 4 ⇒ y = 2 3 2
4 x
2
2
S = x 2 − dx +
x
3
2
∫
3
32
∫
2
O
3
2
2
2
8 x2
x3
x3
− dx = − 2ln x + 8ln x −
12
x 4
3
3
2
{
3
Bài 11. Tính S: ( P ) : y 2 = 4x; ( C ) : y 2 = ( 4 − x )
x
3
2 4
3
32
= 4 ln 2 ( vdt)
2
}
Gi i
Phương trình c a (P) và (C)
u ch n
i v i y, vì th S là mi n nh n Ox làm
i x ng. G i S1 là ph n n m trên tr c Ox, khi ó S = 2S1
tr c
y
( P) ∩ ( C) : 4x = ( 4 − x)3 ⇔ x3 −12x2 + 52x + 64 = 0
⇔ ( x − 2) ( x −10x + 32) = 0 ⇔ ( x − 2) ( x − 5) + 7 = 0
2
2
(P)
2 2
(C)
1
⇔x =2⇒y=2 2
O
( P ) ∩ Ox : 4x = 0 ⇔ x = 0
2
∫
4
4x 2 dx +
0
=
4
3
∫
2
0
3
4
x
2
4
1
-2 2
3
( 4 − x )3 dx = 2 x 2 dx − ( x − 4) 2 d ( x − 4)
∫
∫
2
3
x2
2
-1
( C ) ∩ Ox : ( 4 − x )3 = 0 ⇔ x = 4
S1 =
S1
5
2
− ( x − 4) 2
5
0
4
2
2
8 2
8 2 64 2
128 2
=
− 0 − 0 +
. V y S = 2S′ =
=
5
15
15
3
1 2
( )
2 2
2
128 2
1
P :x = y
Cách 2: S:
4
⇒ S1 =
4 − y 3 − y 2 dy =
( vdt)
4
15
( C ) : x = 4 − y2 3
0
∫
(
)
223
Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương
{
3
Bài 12. Tính S: ( P ) : y 2 = 2x; ( C ) : 27y 2 = 8 ( x − 1)
}
Gi i
y
G i S′ là ph n n m phía trên tr c Ox, t tính ch t
c a 2 hàm ch n suy ra tính
(P)
i x ng khi ó S = 2S′.
Do y ≥ 0 ⇒ (x − 1) ≥ 0 ⇒ x ≥ 1
( P) ∩ ( C) : 2x = 8 ( x −1)3
27
2
⇔ ( x − 4) ( 2x +1) = 0 ⇒ x = 4 ⇒ y = 2 2
2
2 2
3
S1
O
( P) ∩ Ox : 2x = 0 ⇔ x = 0 ; ( C) ∩ Ox: ( x −1)3 = 0 ⇔ x =1
(
)3
2x − 8 x − 1
S = 2S1 = 2
27
1
4
∫
(C)
1
4
x
2 2
4 1
4
3
dx = 2 2 x 2 dx − 4 2 ( x − 1) 2 d ( x − 1) = 68 2
15
3 3 1
1
∫
∫
Bài 13. Tính di n tích hình elip gi i h n b i (E):
x2
y2
+ 2 =1
a2
b
Gi i
2
Phương trình
2
x
y
+ 2 = 1 ch n
2
a
b
i v i x và y nên elip nh n O là tâm
i x ng.
G i S 1 là di n tích c a ph n elip thu c góc ph n tư (I) trên m t ph ng Oxy.
{
⇒ S1 : x = 0; y = 0; y =
b 2
a − x2
a
}
a
và S = 4S1 = 4
b
a 2 − x2 dx
a0
∫
y
b
x = 0 ⇒ α = π 2
t x = acosα:
; Khi ó
x = a ⇒ α = 0
S=4
b
a
a
∫
0
a 2 − x 2 dx =
0
{
4b ( 2
−a sin 2 α ) dα = 4ab
a π2
O
S1
a x
π2
∫
∫
0
1 − cos 2α
dα = πab ( vdt)
2
}
2
Bài 14. Tính S: 0 ≤ y ≤ 1; y = ( x + 1) ; x = sin πy
Gi i
2
x = sin πy ∈ [ −1,1] ⇒ x + 1 ≥ 0; mà 0 ≤ y ≤ 1 nên y = ( x + 1) ⇔ x = y − 1
1
S=
∫(
0
224
1
3
1
2
2 1
sin πy − y + 1 dy = − cos πy − y 2 + y = +
3
π
0 π 3
)
( vdt)
ng d ng tích phân tính di n tích, th tích
TH
TÍCH KH I TRỊN XOAY
I. VX SINH B I DI N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Ox:
y
( C ) : y = f ( x )
S: Ox : y = 0
∆ , ∆ : x = a, x = b
1 2
(C)
S
a
O
b
x
b
Công th c :
Vx = π ∫ f 2 ( x ) dx
a
II. VX SINH B I DI N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Ox:
(C1)
y
( C1 ) : y = f ( x )
( C ) : y = g ( x )
S: 2
0 ≤ g ( x ) ≤ f ( x )
∆ , ∆ : x = a, x = b
1 2
S
(C2)
O
a
b
x
b
Công th c:
Vx = π ∫ f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx
a
III. VX SINH B I DI N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Ox:
Bư c 1:
( C1 ) : y = f ( x )
S:
( C2 ) : y = g ( x )
x = a
Gi i phương trình: f ( x ) = g ( x ) ⇔
x = b
b
Bư c 2:
∫
2
2
Gi s 0 ≤ g(x) ≤ f(x),∀x∈[a, b]. Khi ó: Vx = π f ( x ) − g ( x ) dx
a
IV. VX SINH B I DI N TÍCH:
Ư NG CONG B C HAI f(x, y) = 0 QUAY XUNG QUANH Ox:
Tách ư ng cong b c hai f(x, y) = 0 thành
y
( C1 ) : y = f1 ( x )
( C2 ) : y = f 2 ( x )
Bư c 1:
(C1)
(C2)
và gi s 0 ≤ f2(x) ≤ f1(x)
Bư c 2:
Xác
nh c n x = a, x = b.
O
a
b
x
b
∫
Khi ó: Vx = π f12 ( x ) − f 22 ( x ) dx
a
225
Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương
V. Vy SINH B I DI N TÍCH S C A 1
TH QUAY XUNG QUANH Oy:
( C ) : y = f ( x )
Oy : x = 0
S:
∆1 : y = f ( a )
∆ : y = f ( b )
2
Bư c 1:
f(b)
S
(C)
−1
y = f(x) ⇔ x = f (y)
f (b)
Bư c 2:
y
Vy = π
∫ f ( y )
( )
−1
2
f(a)
dy
a
O
b x
f a
VI. Vy SINH B I DI N TÍCH S C A 2
TH QUAY XUNG QUANH Oy:
y
( C1 ) : y = f ( x )
( C ) : y = g ( x )
S: 2
∆1 : y = f ( a ) = g ( m )
∆ 2 : y = f ( b ) = g ( n )
f(b)
(C2 )
(C1)
Bư c 1:
( C1 ) : y = f ( x ) ⇔ x = f −1 ( y )
−1
( C2 ) : y = g ( x ) ⇔ x = g ( y )
f(a)
O
f (b)
Bư c 2:
Gi s
0≤g
−1
( y ) ≤ f −1 ( y )
⇒ Vy = π
S
∫(
m a n
2
b
2
Bư c 1:
)
f −1 ( y ) − g −1 ( y ) dy
f (a )
VII. Vy SINH B I DI N TÍCH:
x
Ư NG CONG B C 2 f(x, y) = 0 QUAY XUNG QUANH Oy:
( C1 ) : x = f1 ( y )
Tách ư ng cong b c hai f(x, y) = 0 thành
( C2 ) : x = f 2 ( y )
và gi s 0 ≤ f2(y) ≤ f1(y)
b
Bư c 2:
Xác
∫
nh c n x = a, x = b. Khi ó: Vx = π f12 ( y ) − f 22 ( y ) dy
a
VIII. PHƯƠNG PHÁP BAO TR
TÍNH Vy KHI DI N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Oy:
b
Cơng th c:
∫
Vy = 2π xf ( x ) dx
a
C n ph i i n " vtt" vào k t qu cu i cùng trong các bài tốn tính
th tích kh i trịn xoay
CHÚ Ý:
226
ng d ng tích phân tính di n tích, th tích
IX. CÁC BÀI T P M U MINH H A
Bài 1. Tìm Vx sinh b i S: {( C ) : y = ln x ; Ox : y = 0; ( ∆ ) : x = 2} quay quanh Ox
Gi i
2
2
2
2
2
2
Xét ( C ) ∩ Ox : ln x = 0 ⇔ x = 1 ⇒ Vx = π ∫ ( ln x ) dx = π x ( ln x ) 1 − π ∫ x d ( ln x )
1
1
2
2
1
1
2
2
2
= 2π ( ln 2 ) − 2π ∫ ln x dx = 2π ( ln 2 ) − 2π x ln x 1 + 2π ∫ x d ( ln x )
2
2
2
2
= 2π ( ln 2 ) − 4π ln 2 + 2π ∫ dx = 2π ( ln 2 ) − 4π ln 2 + 2π = 2π ( ln 2 − 1)
( ®vtt )
1
{
}
Bài 2. Tính Vx khi S: ( L ) : y = x ln (1 + x 3 ) ; y = 0 ; x = 1 quay quanh Ox.
Gi i
1 + x > 0
x > −1
3
ln (1 + x ) ⇒
⇒
⇔ x≥0
(1 + x 3 ) ≥ 0 1 + x 3 ≥ 1
ln
3
y=x
⇒y≥0
1
1
( L) ∩ Ox : x ln (1 + x3 ) = 0 ⇔ x = 0 ⇒ Vx = π x2 ln (1 + x3 ) dx = π ln (1 + x3 ) d ( x3 + 1)
∫
3∫
0
0
1
1
π( 3 ) (
π
3
x + 1 ln 1 + x ) −
3
3
0
2π ln 2 π 3
3
3
− x
∫ ( x + 1) d ln (1 + x ) =
{
=
1
π ( 2 ln 2 − 1)
3
}
3
0
3
=
0
Bài 3. Cho S: ( C) : y = 1 2 ; ( D) :x =1;y = 0, x = 0 . Tính Vy khi S quay quanh Oy
1+ x
y
Gi i
y=
1
1
1
> 0 ⇒ (C) : x2 = − 1
2
y
1+ x
(C)
(D)
1/2
( C ) ∩ Oy : x = 0 ⇒ y = 1
( C ) ∩ ( D ) : x = 1 ⇒ y = 1 2
12
O
1
⇒ Vy = π dy + π 1 − 1 dy = πy 0 + π ( ln y − y ) 1 2
y
0
1 2
∫
∫
12
1
1
x
π
1 1
= + π − ln − = π ln 2
2
2 2
227
Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương
2
Bài 4. Cho S: x 2 + ( y − b ) ≤ a 2 ; 0 < a ≤ b
y
B
a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox
b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy
Gi i
2
2
b
I
A
C
D
2
2
2
a. Ta có: x + ( y − b ) ≤ a ⇔ ( y − b ) = a − x
2
-a
O
a
x
⇒ A1 B 2 A2 : y = b + a 2 − x 2 ; A1 B1 A2 : y = b − a 2 − x 2
a
2
2
Vx = π b + a − x
∫ (
2
) − (b −
2
a −x
2
)
2
dx
−a
a
= 4πb
a
∫
2
2
a − x dx = 8πb
−a
∫
2
2
0
π2
Vx = 8πb
∫
2
2
2
2
∫ 2 cos
2
t dt
0
∫ (1 + 2 cos 2t ) dt = 4πa
2
b ( t + sin 2t )
0
π2
0
2
2 2
= 2π a b ( ®vtt )
b. Ta có: x 2 + ( y − b ) ≤ a 2 ⇔ x 2 = a 2 − ( y − b )
2
2
⇔ B1 A 2 B2 : x = a 2 − ( y − b ) ; B1 A1 B2 : x = − a 2 − ( y − b )
Do các cung B1 A 2 B2 , B1 A1 B2
b +a
Vy = π
∫
b −a
2
i x ng nhau qua Oy nên
a 2 − ( y − b )2 dy = π a 2 y − 1 ( y − b )3
3
Bài 5. Cho S là di n tích c a (E):
b+a
b −a
3 2a3 4πa 3
( vtt)
= π 2a −
=
3
3
( x − 4 )2 y 2
+
=1
4
16
a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox
b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy
Gi i
228
0
a
0
π/2
a cost dt
π2
a (1 − sin t ) a cos t dt = 4πa b
0
π2
= 4πa b
x
t
dx
t x = asint ⇒
a − x dx .
ng d ng tích phân tính di n tích, th tích
2
( x − 4 )2 y 2
y
( x − 4 )2
2
2
+
=1⇔
=1−
⇔ y = 4 4 − ( x − 4)
4
16
16
4
a. (E):
( E ) ∩ Ox : 4 − ( x − 4 )2 = 0 ⇔ x = 2; x = 6
2
⇔ ABC : y = 2 4 − ( x − 4 ) ; ADC : y = −2 4 − ( x − 4 )
Do các cung ABC, ADC
6
Vx = π
∫ (2
4 − ( x − 4)
2
)
2
i x ng nhau qua Ox nên
2
6
2
dx = 4π 4 − ( x − 4 ) d ( x − 4 )
∫
2
2
6
( x − 4 )3
8
8 128π
= 4π 4 ( x − 4 ) −
= 4π 8 − + 8 − =
3
3
3
3
2
2
( x − 4 )2 y 2
( x − 4 )2
y
+
=1⇔
=1−
4
16
4
16
b. (E):
2
⇔ ( x − 4) =
( ®vtt )
y
B
4
1
(16 − y2 )
4
1
2
⇔ BAD : x = 4 −
16 − y
2
BCD : x = 4 +
O
1
2
16 − y
2
A
2
4
C
6 x
-4
D
2
2
4
1
1
2
2
2
Vy = π 4 +
16 − y − 4 −
16 − y dy = 8π 16 − y dy
2
2
−4
−4
4
∫
∫
t y = 4sint ⇒
y
t
dy
4
−4
−π/2 π/2
4 cost dt
π2
= 64π
∫
−π 2
π2
⇒ Vy = 8π
∫
16 (1 − sin 2 t ) 4 cos t dt
−π 2
π2
2 cos 2 t dt = 64π
∫
(1 + 2 cos 2t ) dt = 6 4π ( t + sin 2t )
π2
−π 2
= 64π2
( ®vtt )
−π 2
2
( P ) : y = 2x − x
Bài 6. Cho S:
Ox : y = 0
a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox
b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy
229
Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương
Gi i
y
a. ( P ) ∩ Ox : 2x − x 2 = 0 ⇔ x = 0; x = 2
2
2
0
⇒ Vx = π
1
0
2 2
2
3
4
∫ ( 2x − x ) dx = π∫ ( 4x − 4x + x ) dx
2
O
1
16
4
= π x 3 − x 4 + x 5 = π ( ®vtt )
5 0 15
3
2 x
2
b. ( P ) : y = 2x − x 2 ⇔ ( x − 1) = 1 − y
⇒ OA : x = 1 − 1 − y ; AB : x = 1 + 1 − y
y
1
⇒ Vy = π 1 + 1 − y
∫(
2
) − (1 −
1− y
)
2
A
dy
1
0
1
= 4π
∫
1
∫
0
=−
12
1 − y dy = −4π (1 − y )
d (1 − y )
0
8π
(1 − y )3 2
3
1
=
0
8π
3
B
2 x
O
( ®vtt )
{
Bài 7. Tìm Vx khi quay S: y = cos6 x + sin 6 x ; y = 0; x = 0; x =
}
π
quanh Ox.
2
Gi i
π2
Vx = π
∫(
6
6
cos x + sin x
)
π2
2
dx = π
0
∫ ( cos
6
x + sin x ) dx
6
0
π2
π2
0
0
2
3
= π ∫ ( cos2 x + sin 2 x ) ( cos2 x + sin 2 x ) − 3sin 2 x cos2 x dx = π ∫ 1 − sin 2 2x dx
π2
=π
∫
0
4
2
3
5π
3(
5
)
1 − 8 1 − cos 4x dx = π 8 x + 32 sin 4x = 16
0
( P ) : y = x 2 ( x > 0 )
Bài 8. Cho S: ( D1 ) : y = −3x + 10
( D ) : y = 1
2
230
π2
( ®vtt )
a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox
b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy
ng d ng tích phân tính di n tích, th tích
y
Gi i
a. ( D1 ) ∩ ( D 2 ) : −3x + 10 = 1 ⇔ x = 3
4
( P ) ∩ ( D2 ) : x 2 = 1 ⇒ x = 1 > 0
(P)
S
( P ) ∩ ( D1 ) : x 2 = −3x + 10 ⇒ x = 2 > 0 ; y = 4
2
D2
1
3
1
Vx
D1
2
2
4
= π ∫ ( x − 1) dx + π ∫ ( −3x + 10 ) − 1 dx
1
O
2
x
3
3
2
1 ( −3x + 10 )3
x5
31π
61π
= π
− x + π ⋅
− x =
+ 6π =
3
5
5
5
1
−3
2
( ®vtt )
10 − y
b. ( P ) : y = x 2 ( x > 0 ) ⇔ x = y ; ( D1 ) : y = −3x + 10 ⇔ x =
3
4
(10 − y )2
Vy = π
−
9
1
∫
( )
y
2
π
dy =
9
4
∫
4
2
∫
( y − 10 ) d ( y − 10 ) − π ydy
1
1
4
π ( y − 10 )
π
152π 15π 101π
= ⋅
− y2 =
−
=
3
2 1
27
2
54
9
3
2
2
y
Bài 9. Cho S là di n tích c a (E): x 2 + 2 = 1 (0 < b < a)
a
b
a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox
b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy
Gi i
y
B
2
2
2
2
2
y
y
b
a. (E): x2 + 2 = 1 ⇔ 2 = 1 − x2 ⇔ y2 = 2 ( a 2 − x 2 )
a
b
b
a
a
A
⇔ BA : y = b a 2 − x 2 ; CA : y = −b a 2 − x 2
a
a
Do các cung BA, AC
a
Vx = π
∫(a
−a
b a −x
2
2
)
2
i x ng nhau qua Ox nên
O
x
C
a
πb2
x3
4πab2
dx = 2 ( a − x ) dx = 2 a 2 x − =
( vtt)
3 −a
3
a −a
a
πb2
a
∫
2
2
231
Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương
2
2
2
2
2
y
y
a
b. (E): x 2 + 2 = 1 ⇔ x 2 = 1 − 2 ⇔ x 2 = 2 ( b 2 − y 2 )
a
b
a
b
b
y
B
⇔ AB : x = a b 2 − y2
b
BC : x = −a b 2 − y 2
b
O
Do các cung AB, BC
b
∫(
Vy = 2π
0
a b2 − y2
b
A
C
x
i x ng nhau qua Oy nên
2
) dy =
2πa 2
b2
b
y3
2πa 2 2
4πa 2 b
( b − y ) dy = 2 b y − =
( vtt)
3 0
3
b
0
b
∫
2
2
{
}
Bài 10. Cho S: ( P1 ) : y = 4 − x 2 ; ( P2 ) : y = x 2 + 2 . Tính Vx khi S quay quanh Ox
y
Gi i
4
( P1 ) ∩ ( P2 ) : 4 − x 2 = x 2 + 2 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = ±1
(P2 )
3
1
2
2 2
2
⇒ V = 2π ( 4 − x ) − ( x + 2) dx
∫
0
2
x
2
= 24π ∫ (1 − x ) dx = 24π x −
0
(P1 )
1
= 16π ( ®vtt )
3 0
1
3
O
2
1
1
2
x
Bài 11. Tính th tích kh i trịn xoay t o nên khi cho hình trịn tâm I(2, 0) bán
kính R = 1 quay quanh tr c Oy.
y
Gi i
Phương trình (I, R): (x − 2)2 + y2 = 1
C
2
2
2
⇔ ( x − 2) = 1 − y ⇔ x = 2 ± 1 − y
A
1
O
I
2
B
3 x
⇒ CA : x = 2 − 1 − y 2 ; BC : x = 2 + 1 − y 2
1
⇒ Vy = 2π 2 + 1 − y 2
∫(
2
) − (2 −
1− y
2
1
) dy = 16π∫
2
0
2
1 − y dy
0
π2
t y = sint ⇒ dy = costdt ⇒ Vy = 16π
∫
π2
2
1 − sin t cos t dt = 16π
0
π2
1
= 8π ∫ (1 + cos 2t ) dt = 8π t + sin 2t
0
232
2
0
π2
0
∫ cos
= 4π
2
( ®vtt )
2
t dt
ng d ng tích phân tính di n tích, th tích
2
Bài 12. Cho S: {( P ) : y = 2x ; ( D ) : y = 2x + 4} .
y
Tính Vx khi S quay quanh Ox
8
Gi i
( C ) ∩ ( D ) : 2x 2 = 2x + 4 ⇔ x 2 − x + 2 = 0 ⇒ x = −1 ∨ x = 2
4
2
2
4
⇒ Vx = π ( 2x + 4 ) − 4x dx
∫
2
−1
2
3π ( 2x + 4 )3 4πx 5
288
=
−
=
2
5 −1
5
-1
O
( ®vtt )
2
x
x2
27
Bài 13. Cho S: ( P1 ) : y = x2 ; ( P2 ) : y = ; ( H) : y =
27
x
Gi i
y
9
2
( P1 ) ∩ ( P2 ) : x2 =
x
⇔x =0⇒y =0
27
( P1 ) ∩ ( H) : x2 =
27
⇔ x3 = 27 ⇔ x = 3
x
( P2 ) ∩ ( H) :
x 27
= ⇔ x3 = 272 ⇔ x = 9
27 x
Nhìn vào
9
∫
∫
0
3
Vx = x 4 dx +
x
=
5
0
27 2
−
x
∫(
27 2
x4
dx −
dx
x2
27 2
0
∫
9
3
27y
3
O
6
9 x
9
x5
243
81 1 583 (
− 2
=
− ( 81 − 243) − − =
®vtt )
5
3
5 15
27 .5 3
2
) ( )
−
y
2
0
2 3
0
(P2 )
9
3
= 13y
s2
s1
b. ( P1 ) : x = y ; ( P2 ) : x = 27y ; ( H) : x =
⇒ Vy =
(H)
3
th ta có:
3
5 3
(P1 )
9
2
2
9
27
y
27
dy + y −
3
∫
(x, y ≥ 0)
( )
y
2
3
9
27
dy = 26ydy + y − y dy
0
3
∫
∫
9
1 2
81 9
+ 27 ln y − y = 117 + 27 ln 9 − 27 ln 3 − + = 81 + 27 ln 3 ( ®vtt )
2 3
2 2
233
Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương
Bài 14. Cho S: {( C) : y = x, ( D) : y = 2 − x, y = 0} . Tính Vy khi S quay quanh Oy
Gi i
y
( C) : x = y2 ( y ≥ 0) ; ( D ) : x = 2 − y
2
⇒ ( C) ∩ ( D ) : y2 = 2 − y ⇔ y2 + y − 2 = 0
(C)
1
⇔ (x − 1)(y + 2) = 0 ⇔ y = 1 ≥ 0
1
2
Vy = π ( 2 − y ) − y 4 dy
∫
O
0
2
(D)
1
5
1
y
32π
3
= π ( y − 2) −
=
5 0 15
3
x
( ®vtt )
2
2
( H ) : x − y = 1 và (D) là ti p tuy n c a (H) i qua A(2, −1) v i
Bài 15. Cho
16
4
h s góc dương. Tính th tích kh i tròn xoay t o b i mi n ph ng gi i
h n b i (H), (D) và tr c Ox khi quay quanh tr c Oy.
Gi i
y
(D)
(D) i qua A(2, −1) nên
1,5
(H)
(D): y = k(x − 2) − 1
2
O
⇔ (D): kx − y − ( 2k + 1) = 0
4
-1
A
Ta có: (D) ti p xúc (H)
2
2
2
⇔ 16k − 4 = ( 2k + 1) ⇔ 12k − 4k − 5 = 0
⇔ k=
16
5
4 5
8
3
5
1
5
8
6
16
∨ k = − (lo i) ⇒ (D): y = x − ⇔ x = y +
6
2
6
3
5
5
2
( D ) ∩ ( H ) : 4y 2 + 16 = 6 y + 16 ⇔ 4y 2 − 12y + 9 = 0 ⇔ y = 3 ; x = 5
5
5
2
32
2
3
2
2
4y3
36π
6y + 16
+ 16y −
y+ 8 d y+ 8
⇒ Vy = π ( 4y + 16) −
dy = π
3
3
25 0
5
3
0
0
32
∫(
∫
9
36π
= π + 24 −
y+8
3
2
75
( )
234
3 32
=
0
72π
25
( ®vtt )
) ( )
x
ng d ng tích phân tính di n tích, th tích
{
}
2
Bài 16. Cho S: ( C ) : y = ( x − 2 ) , ( D ) : y = 4 .
a. Tính Vx khi S quay quanh Ox b. Tính Vy khi S quay quanh Oy
y
Gi i
(P)
2
a. ( P ) ∩ ( D ) : ( x − 2 ) = 4 ⇔ x = 0, x = 4
(D)
4
4
⇒ Vx = π 16 − ( x − 2 ) dx
∫
S
0
4
( x − 2 )5
256π
= π 16x −
=
5
5
0
( ®vtt )
2
O
4
x
b. ( P ) : x − 2 = ± y ⇒ AI : x = 2 − y ; IB: x = 2 + y
4
⇒ Vy = π 2 + y
∫(
2
) − (2 − y )
2
dy
0
4
= 8π
∫
ydy =
0
16π 3 2
y
3
4
=
0
128π
3
( ®vtt )
2
2
y
y
( P1 ) : x =
Bài 17. Cho S:
( y ≤ 0 ) ; ( P2 ) : x = − + 3y ( y ≤ 2 ) ; ( D ) : x = 4
4
2
a. Tính S
b. Tính Vx khi S quay quanh Ox
y
Gi i
6
2
a.
(P2 )
2
y
y
y = 0
2
=−
+ 3y ⇔ y − 4y ⇒
4
2
y = 4
(D)
4
2
( P1 ) ∩ ( D ) :
y
= 4 ⇒ y = −4 < 0
4
( P2 ) ∩ ( D ) :
−y
y = 2
+ 3y = 4 ⇒
2
y = 4 > 2
2
2
Nhìn vào
O
4
x
S
th suy ra:
2
y2
y2
S = 4 −
dy + 4 +
− 3y dy
4
2
−4
0
0
∫
∫
0
-4
(P1 )
2
3
3
2
y
y
3y
16
4
= 4y −
−
+ 4y +
= 16 − + 8 + − 6 = 14 ( ®vdt )
12 −4
6
2 0
3
3
235
Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương
2
b. ( P1 ) : x =
y
( y ≤ 0 ) ⇔ y = −2 x
4
4
⇒ Vx = π
∫ ( −2
4
2
x ) dx = 4π x dx = 2πx
∫
0
0
2 4
0
= 32π ( ®vtt )
y
x
2
Bài 18. Cho S: ( C ) : y =
; ( P) : y = x .
3
Tính Vx khi S quay quanh Ox.
3
9
Gi i
(P)
3
(C) ∩ ( P ) : x = x 2 ⇔ x = 0
x = 3
3
O
2 2 3
4 x6
Vx = π ( x ) − x dx = π x −
dx
3
9
0
0
2
3
∫
3
∫
x
3
(C)
3
x5 x7
486
= π
−
π ( ®vtt )
=
5 63 0 35
{
}
3
Bài 19. Cho S: ( C ) : y 2 = ( 4 − x ) ; ( P ) : y 2 = 4x .
Tính Vx, Vy khi S quay quanh Ox, Oy
Gi i
y
(P)
2 2
A
( C ) ∩ ( P ) : ( 4 − x )3 = 4x
(C)
⇔ x 3 − 12x 2 + 52x − 64 = 0
S
2
⇔ ( x − 2 ) ( x − 5 ) + 7 = 0
N
2
O
4
⇔ x = 2 ⇒ y = ±2 2
( C ) ∩ Ox : ( 4 − x )3 = 0 ⇔ x = 4
B
-2 2
( P ) ∩ Ox : 4x = 0 ⇔ x = 0
3
3
OA : y = 4x ; AN : y = ( 4 − x ) ; OB : y = − 4x ; BN : y = − ( 4 − x )
Do (C), (P) nh n Ox làm tr c
2
Vx = π
∫(
4x )
2
dx + π∫ (
0
3 2
4− y
∫ (
0
236
)
( 4 − x )3
2
2
2 2
Vy = 2π
i x ng nên:
4
)
2
y4
− dy = 2π
16
2 2
∫
0
dx = 2πx
2 2
0
π
4
− (4 − x)
4
4
= 12π ( ®vtt )
2
y4
1024 2
43
23
π ( ®vtt )
16 + y − 8y − dy =
16
35
x
ng d ng tích phân tính di n tích, th tích
237
