ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY pps

,hctoỏnvụnthiminphớ,VừTrngTrớ
1

NGDNGTCHPHNTNHTHTCHVTTHTRềNXOAY
1)DNG1:

Hỡnh phng
( )
( )
:
y f x
S x a
x b a b
= ỡ
ù
=
ớ
ù
=
ợ
p
quayquanhtrcOx,to thnhvtthtrũn xoaycúthtớch :
( )
2
b
a
V f x dx
p
=
ũ

Vớd1:
Tớnh thtớch vtth trũn xoaytothnh khiquayquanh Ox hỡnhphnggii hnbi cỏcng
sau: ln , 0, 1y x x y x x e = = = =

Gii:
Tacú thờtớch vtthl:
( ) ( )
2 2
2
1 1
ln ln
e e
V x x dx x x dx
p p
= =
ũ ũ
Tatớnh tớch phõntrờnbngPPtngphn
t
( )
( )
2
3
2
2 ln
ln
3
dx
du x
u x
x

x
dv x dx
v
ỡ
=
ù
ỡ
=
ù ù
ị
ớ ớ
=
ù
ù
ợ
=
ù
ợ
pdngcụngthc tớch phõntngphn tacú:
( )
3 3
2
2 2
1
1 1
2 2
ln ln ln
3 3 3 3
e e
e

x e
V x x xdx x xdx

p p
p

ộ ự
= - = -
ờ ỳ
ở ỷ
ũ ũ
TiptcPPtngphõntacú:
t:
1
1
2 3
1
1
ln
3
dx
du
u x
x
dv x dx x
v
ỡ
=
ù
=

ỡ
ù
ị
ớ ớ
=
ợ
ù
=
ù
ợ
Vy :
3 3
2
1
1
2 ln 1
3 3 3 3
e
e
e x x
V x dx

p p

ộ ự
= - -
ờ ỳ
ở ỷ
ũ
( )

3 3 3
3
1 1
2 ln
5 3
3 3 3 9 27
e e
e x x x
V e

p p p

ộ ự
= = - - = -
ờ ỳ
ở ỷ

Vớd2:

2
3 2
:
0
y x x
S
y
ỡ
= - +
ớ
=

ợ
quayquanhtrcOx
(Dng1,nhngkhuyt x=avx=b)
Honh giaoim cath vi trchonh :
2
1
3 2 0
2
x
x x
x
=
ộ
- + =
ờ
=
ở
Vy :
( ) ( )
2 2
2
2 4 2 3 2
1 1
3 1 9 1 6 2 6V x x dx x x x x x dx
p p
= - + = + + - + -
ũ ũ
( )
2
5

4 3 2 4 3 2 2
1
1
3 11
6 11 6 1 3 1
5 2 3
x
x x x x dx x x x
p p

ổ ử
= - + - + = - + - + =
ỗ ữ
ố ứ
ũ

Bitõp:
Tớnh Vcavtthto thnh khiquaycỏchỡnh phnggii hn bi cỏcngsauõyquanh Ox
a) , 0, 1 2
x
y xe y x x = = = = b) tan 0
3
y x y x o x

p

= = = =
c)
4 4
1 sin cos , 0 ,

2
y x x y x x

p
p
= + + = = = d) , 0, 0, 1
x
y xe y x x = = = =
,hctoỏnvụnthiminphớ,VừTrngTrớ
2

2)DNG2:

Hỡnh phng
( )
( )
( )
:
y f x
y g x
S
x a
x b a b
= ỡ
ù
=
ù
ớ
=
ù

ù
=
ợ
p
(trongúúth haihm s
( ) ( )
,y f x y g x = =
nmvcựngmtphớa
i
vi trcquay ox ) quayquanhtrc Ox,to thnhvtthtrũn xoaycúthtớch :
( ) ( )
2 2
b
a
V f x g x dx
p
= -
ũ
Nutrờnkhong(ab)hai th khụngctnhau,v
( )
y f x =
nmngoi

( )
y g x = sovi trcquay Ox,
thỡ cụngthctrờntr thnh :
( ) ( )
2 2
b
a

V f x g x dx
p

ộ ự
= -
ở ỷ
ũ

Vớd1:

( )
2
2
4 6
2 6
y x x
S ox
y x x
ỡ
= - +
ù
ớ
= - - +
ù
ợ
(Dng2,khuyta,b)

Gii:
Honh giaoim cahai th
2 2

0
4 6 2 6
1
x
x x x x
x
=
ộ
- + = - - +
ờ
=
ở
Trờn on [01],tathy
( ) ( )
2 2
2 6 4 6 0,f x x x g x x x = - - + = - + f f
Doúhai th unm trờntrchonh,v
( )
y f x = nm ngoi
( )
y g x = sovi trc ox.
Vy tacú:
( ) ( )
1
2 2
2 2
0
2 6 4 6V x x x x dx
p

ộ ự
= - - + - - +
ờ ỳ
ở ỷ
ũ
Ddngtớnh c:
3V
p
=

Vớd2:

( )
2
2
1
1
2
y
x
S ox
x
y
ỡ
=
ù
ù
+
ớ
ù

=
ù
ợ

Gii:
Honh giaoim cahai th :
2
4 2
2
1
1
2 0
1
1 2
x
x
x x
x
x
= -
ộ
= + - =
ờ
=
+
ở
Trờn on
[ ]
( ) ( )
2

2
1
11 : 0
1 2
x
f x g x
x
- = =
+
f

(munbithmsnolnhntath1giỏtrbtkỡcaxtrongkhong(11), õytathx=0thỡ

( ) ( )
0 1 0 0f g = = f
)

Vytacú:
( )
2
2
1 1 1
2 4
2
2
2
1 1 1
1
1 2 4
1

x dx x
V dx dx
x
x

p p p

- - -
ổ ử
ổ ử
ổ ử
ỗ ữ
= - = -
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
+
ố ứ
ố ứ
+
ố ứ
ũ ũ ũ
*Tớnh:
1
4 5
1
1
1
1
4 20 10

x x
A dx
-
= = =
-
ũ
*Tớnh :
( )
1
2
2
1
1
dx
B
x
-
=
+
ũ
t
tanx t =
vi
2 2
t

p p

ổ ử
ẻ -

ỗ ữ
ố ứ
suyra:
2
1
cos
dx dx
x
=
1
4
x t

p

= - ị = - , 1
4
x x

p

= ị =
,hctoỏnvụnthiminphớ,VừTrngTrớ
3
Vy
( )
( )
4 4 4
2
2

2 2
4 4 4
1
cos 1 cos2
2
1 tan cos
dt
B tdt t dt
t t

p p p
p p p

- - -
= = = +
+
ũ ũ ũ
1 sin 2 1
4
2 2 4 2
4
t
t

p
p
p

ổ ử
= + = +

ỗ ữ
ố ứ
-
Vy
1 4
4 2 10 4 5
V

p p p
p p

ổ ử ổ ử
= + - = +
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ

Bitp:
Tớnh Vkhiquayhỡnhsauquanh Ox
1)
2 2
4 , 2y x y x = - = +
2)
2
,y x y x = =

3)DNG3:
Hènh phng
( )
( )
y f x

y f x
S
x a
x b
= ỡ
ù
= -
ù
ớ
=
ù
ù
=
ợ
quayquanhtrcOx.
Khiúcụngthcthtớchl:
( )
2
b
a
V f x dx
p
=
ũ

Nhnxột:Mtsngcong (ngtrũn,elip,hypebol,parabol)cúthcoinhlhpcahai
thhms

*ngtrũn :
( ) ( )

( )
( )
2
2
2 2
2
2
2
y b R x a
x a y b R
y b R x a
ộ
= + - -
ờ
- + - =
ờ
= - - -
ờ
ở
Trongúnatrờn ngconglth cahm s(1)
Nadi lth cahm s(2)
*Elip:
2 2
2 2
2 2
2 2
1
b
y a x
x y

a
b
a b
y a x
a
ộ
= -
ờ
+ =
ờ
ờ
= - -
ờ
ở

Vớd1:
Tnh thtớchvtthtrũn xoaykhiquayhỡnh phnggiihn bi ngtrũn
( )
2
2
1 1x y + - = quay
quanhtrcOx
Gii :Tacúngtrũn trờnlhpcahai th hm s
2 2
1 1 , 1 1y x y x = - - = + -
Vy ngtrũnlhỡnhphnggii hnbihai th hm strờn
2
2
1 1
:

1 1
y x
S
y x
ỡ
= - -
ù
ớ
= + -
ù
ợ
Hai th ny nmvmtphớai vi trcOx (vhỡnh )
(dng2,khuytx=a,x=b)
Honh giaoim cahai th trờnl:
2 2
1 1 1 1 1x x x - - = + - =
Vy thtớchl:
( ) ( )
1
2 2
2 2
1
1 1 1 1V x x dx
p

-
ộ ự
= + - - - -
ờ ỳ
ở ỷ

ũ
1
2
1
4 1 x dx
p

-
= -
ũ
,tatớnh tớch phõnnybngppi bin sin ,
2 2
x t t

p p

ộ ự
= ẻ -
ờ ỳ
ở ỷ

4)DNG4: Hỡnhphnggiihnbinhiuthhms.Taphõnchiahỡnhphngthnhcỏchỡnh
thangcong,tamgiỏccong (theocỏcngiquagiaoim,vuụnggúcvitrcquay) ,vtỡnhthtớch
catnghỡnhthangcong,tamgiỏccong úquayquanhtrc
,hctoỏnvụnthiminphớ,VừTrngTrớ
4

Vớd1:

( )

2
:
2
y x
S
y x
=
ỡ
ù
ớ
= -
ù
ợ
.Tớnh thtớch vtth trũn xoaykhiquayhỡnh phngtrờn
a)Quanhtrc Ox
b)QuanhtrcOy
Gii :
a)QuanhtrcOx:
Honhgiaoim cahai th (2)v(3)l:
( )
2
2
2 5 4 0 1, 4x x x x x x = - - + = = =
Trờn on
[ ]
14 ,hai th nynm trờntrchonh.(vỡ
( )
2
2 0x x - ,nờnvrasthy )(Thucdng2)
Vy :

( )
[ ]
( )
4 4
2
2 2
1 1
4
2 4 4 2 4 18
1
V x x dx x dx x x
p p p p

ộ ự
= - - = - = - =
ở ỷ
ũ ũ
b)QuayquanhtrcOy: (Vitcỏchm sdng
( )
x f y =
Hỡnh phnggiihnbi cỏcth hm s(theotrcOy):
2
2
x y
x y
x y
ỡ
=
ù
= -

ớ
ù
= +
ợ
Tunggiaoim cacỏcngtrờnl:
2 1
2
x y
y y y
x y
=
ỡ
ù
ị = - =
ớ
= -
ù
ợ
, 2 4
2
x y
y y y
x y
=
ỡ
ù
ị = + =
ớ
= +
ù

ợ
2
2 2 0
2
x y
y y y
x y
ỡ
= -
ù
ị - = + =
ớ
= +
ù
ợ
Phõnchiahỡnhphngthnh 2hỡnh (xemhỡnhv):
1 2
2
2
: , :
2
x y
y y
S S
x y
x y
ỡ
= + ỡ
= +
ù ù

ớ ớ
=
= -
ù
ù
ợ
ợ
Vy :
( ) ( ) ( )
1 4
2 2 2
2
1 2
0 1
2 2 2V V V y y dy y y dy
p p

ộ ự ộ ự
= + = + - - + + -
ờ ỳ ờ ỳ
ở ỷ ở ỷ
ũ ũ

Vớd2:
Tớnh thtớch khiquayhinhsauquanhtrcOy:
2
3 2
: 0
0
y x x

S y
x
ỡ
= - +
ù
=
ớ
ù
=
ợ
Tachuyn sanghm sdng
( )
x f y =
2 2
3 2 3 2 0y x x x x y = - + - + - = (coi õylpTbchai n x,ylthams)tacú:
( )
9 4 2 1 4y y D = - - = +
3 1 4 3 1 4
,
2 2
y y
x x
- + + +
= =
Davohỡnhvtacú:
2 2 2
0 2
1 2
1
0

4
3 1 4 3 1 4 3 1 4
2 2 2
y y y
V V V dy dy
p p

-
ộ ự
ổ ử ổ ử ổ ử
+ + - + - +
ờ ỳ
= + = - +
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ờ ỳ
ố ứ ố ứ ố ứ
ở ỷ
ũ ũ

Vớd3
Tớnh Vkhiquayhỡnh phnggii hn bi th hm s
1
1
x
y
x
-
=
+

vhaitrc taquanhtrcOy
1 1
1
1 1
x y
y yx y x x
x y
- +
= + = - =
+ -
,
2
0
1
1
1
y
V dy
y

p

-
ổ ử
+
=
ỗ ữ
-
ố ứ
ũ

,họctoánvàônthimiễnphí,VõTrọngTrí
  5

BÀITẬPLUYỆNTẬP

1)
( )
ln , 0, 1, 2y x y x x Ox = = = =
2)
( )
2
8 , 2 ,y x x Ox Oy = =
3)
( ) ( )( )
2
2 2
0x y b a a b Ox + - = £ p
4) , 0, 0, 1
x
y xe y x x = = = =
5)
( )
6 6
sin cos , 0, 0,
2
y x x y x x Ox

p

= + = = =

6)
( )
2
4 , , 2 ,y x oy y Ox Oy = =
7)
[ ]
2
3 2, , ,y x x Ox Oy Ox Oy = - - -
8)
[ ]
ln
, ,
x
y ox x e Ox
x
= =
9)
[ ]
2
3 2
, ,
3
x x
y ox oy Oy
x
- +
=
-
10)
[ ]

2, ,y x ox oy Oy = +