Bước chuyển giữa trung học phổ thông và đại học khối kĩ thuật Trường hợp khái niệm tích phân xác định

n
Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM THÀNH PHĨ HỊ CHÍ MINH

Hồng Thị Mỹ Kiều

BƯỚC CHUYỂN GIỮA TRUNG HỌC PHÔ THÔNG

VÀ ĐẠI HỌC KHỐI KĨ THUẬT: TRƯỜNG HỢP
KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Chun ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn

Mã số

: 8140111

LUẬN VĂN THẠC sĩ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. LÊ VĂN TIÉN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2021

U

□


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài “Bước chuyển giữa trung học phổ thông và đại học
khối kĩ thuật: Trường hợp khái niệm tích phân xác định” là kết quả cơng trình

nghiên cứu của cá nhân tơi, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Văn Tiến, những
trích dẫn trong luận văn cũng như các kết quả nghiên cứu từ các cơng trình nghiên

cứu của các tác giả khác đều được trích dẫn đầy đủ theo đúng quy định.
nr /

• 2

Tác già

Hồng Thị Mỹ Kiều


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đên các thây cơ bộ mơn cùa Khoa Tốn Tin đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tơi những kiến thức bổ ích về

didactic tốn đế thực hiện việc nghiên cứu. Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu

sắc đến PGS.TS. Lê Văn Tiến, người đã nhiệt tình hướng dẫn, giảng dạy, động viên
và giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này.

Và tơi cũng chân thành cảm ơn
- Phịng Sau Đại học, Khoa Tốn - Tin Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều
kiện thuận lợi cho chúng tơi được học tập, nghiên cứu trong suốt khóa học.

- Ban giám hiệu và các thầy cô, đồng nghiệp ở Trường THPT Tân Túc, huyện

Bình Chánh và Trường THPT Mạc Đĩnh Chi, quận 6, TP. Hồ Chí Minh đã tạo điều
kiện thuận lợi đế tơi hồn thành tốt khóa học của mình.
- Tập thê HS ở các lớp 12A1, 12A2, 12A3 Trường THPT Tân Túc, huyện

Bình Chánh và tập thể học sinh các lớp 12A12, 12A18 Trường THPT Mạc Đĩnh
Chi, Quận 6, TP. Hồ Chí Minh giúp đỡ tơi tiến hành thực nghiệm.
- Tất cả các bạn cùng khóa K29, những người đã cùng tôi học tập và nghiên

cứu về didactic tốn trong suốt khóa học.
Cuối cùng, tơi hết lịng biết ơn đến những người thân yêu trong gia đinh đã
r

luôn động viên tôi trong suôt quá trinh học tập.

Hồng Thị Mỹ Kiều


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục
Danh mục các từ viết tắt

MỞ ĐÀU.................................................................................................................................. 1
Chương 1. ĐIỀU TRA TRI THỨC LUẬN.................................................................... 9

1.1. Tiến trình xuất hiện của khái niệm tích phân xác định, cơ chế và hình thức

thể hiện của nó.................................................................................................................... 9

1.1.1. Giai đoạn 1: (từ cổ Hy lạp đến thế kỉ XVII - giai đoạn khái niệm tích
phân xác định nảy sinh độc lập với khái niệm đạo hàm, giới hạn)............................. 9

1.1.2. Giai đoạn 2 (từ thế kỉ 17 đến thế kỉ 18): Giai đoạn tích phân xác định
được định nghĩa tường minh, có mối quan hệ với nguyên hàm................................. 16

1.1.3. Giai đoạn 3: Từ thế kỉ 18 đến nay (giai đoạn khấi niệm tích phân được
định nghĩa tường minh và nhiều ứng dụng khác trong kĩ thuật, vật lí).................... 20

1.2. Các đối tượng liên quan đến khái niệm tích phân xác định...................................21
1.3. Nghĩa của khái niệm tích phân xác định................................................................... 23

1.4. Tiểu kết chương 1......................................................................................................... 23
Chương 2. NGHIÊN cứu so SÁNH MỐI QUAN HỆ THẺ CHÉ............................. 25
2.1. Quan hệ thể chế với khái niệm tích phân xác định trong dạy học tốn ở

trường trung học phổ thơng............................................................................................26
2.1.1. Tiến trình, cơ chế và hình thức thể hiện khái niệm tích phân xác định........ 26

2.1.2. Các tổ chức tốn học gắn với khái niệm tích phân xác định.......................... 31
2.1.3. Các đối lượng liên quan tới khái niệm tích phân xác định.............................. 41

2.1.4. Nghĩa của khái niệm tích phân xác định............................................................ 42
2.2. Quan hệ thể chế với khái niệm tích phân xác định trong dạy học toán ở

trường Đại học Bách khoa - Khối kĩ thuật.................................................................. 42
2.2.1. Tiến trình, cơ chế và hình thức thể hiện khái niệm tích phân xác định........ 42
2.2.2. Tổ chức toán học liên quan đến khái niệm tích phân xác định..................... 51

2.2.3. Các đối tượng có liên quan đến khái niệm tích phân xác định....................... 56
2.2.4. Nghĩa của khái niệm tích phân xác định............................................................ 56
2.3. Sự nối khớp và ngắt quãng giữa trung học phổ thông và Đại học khối kĩ

thuật về khái niệm tích phân xác định.......................................................................... 56
2.3.1. Tiến trình, cơ chế và hình thức thể hiện của khái niệm tích phân xác
định56

2.3.2. Các tổ chức tốn học.............................................................................................. 57
2.3.3. Đối tượng liên quan đến khái niệm tích phân xác định................................... 58
2.3.4. Nghĩa cũa khái niệm tích phân xác định............................................................58
2.4. Tiểu kết chương 2......................................................................................................... 58

Chuông 3. THỤC NGHIỆM SƯ PHẠM........................................................... 60
3.1. Đối tượng và hình thức thực nghiệm.........................................................................60
3.1.1. Đối tượng thực nghiệm và thời điểm thực nghiệm.......................................... 60
3.1.2. Hình thức thực nghiệm.......................................................................................... 60
3.1.3. Bối cảnh thực nghiệm.............................................................................................60

3.2. Nội dung thực nghiệm................................................................................................. 60
3.2.1. Các bài toán thực nghiệm đối với học sinh....................................................... 60
3.2.2. Các bài toán thực nghiệm đối với sinh viên...................................................... 63

3.3. PHÂN TÍCH TIÊN NGHIỆM.................................................................................... 65
3.3.1. Mục tiêu hướng đến cùa các bài tốn thực nghiệm.......................................... 65
3.3.2. Phân tích tiên nghiệm các bài toán thực nghiệm ở sinh viên và thực

nghiệm lần 1 ờ học sinh.................................................................................................... 65

3.3.3. Phân tích tiên nghiệm các bài toán thực nghiệm lần 2..................................... 82

3.4. PHÂN TÍCH HẬU NGHIỆM.................................................................................... 85
3.4.1. Phân tích hậu nghiệm (thực nghiệm lần

1)...................................................... 86

3.4.2. Phân tích hậu nghiệm (thực nghiệm lần

2)...................................................... 90

3.5. Tiểu kết chương 3......................................................................................................... 95
KÉT LUẬN CHUNG......................................................................................................... 96
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................... 98

PHU LUC


DANH MỤC CÁC TỪ VIÉT TẮT
Từ viết tắt

TÙ’ đầy đủ

GV

Giáo viên

HS

Hoc

• sinh

SGKC12

Sách giáo khoa giải tích 12 ban cơ bản

SGKN12

Sách giáo khoa giải tích 12 ban nâng cao

SGVC12

Sách giáo viên giải tích 12 ban cơ bản

SGVN12

Sách giáo viên giải tích 12 ban nâng cao

GTGT1

Giáo trình giải tích 1

TCTH

Tổ chức tốn hoc
•

THPT

Trung học phổ thơng

BT

Bài tốn

KNV

Kiểu nhiêm
• vu•

TPXĐ

Tích phân xác định

CL

Chiến lươc
•

TP

Tích phân

TN1

Thực nghiệm lần 1

TN2

Thực nghiệm lần 2

HSLT

Hàm số liên tuc
•


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

1.1, Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Chúng tôi bắt đầu nghiên cứu của mình với những ghi nhận sau:

Ghi nhận 1: Một trong những mục tiêu của dạy học ở bậc trung học phổ thông
(THPT) là chuẩn bị cơ sở kiến thức nền tảng cho dạy học ở bậc đại học. Đặc biệt, khái

niệm tích phân xác định (TPXĐ) được giảng dạy ở lớp 12 đồng thời cũng là đối tượng

chiếm một vị trí quan trọng trong dạy học ở bậc đại học. Do đó việc giảng dạy khái

niệm TPXĐ ở bậc THPT có ảnh hưởng đến giảng dạy khái niệm TPXĐ ở bậc Đại học.

Ghi nhận 2: Trong các bậc đại học, khái niệm TPXĐ có ứng dụng nhiều nhất
trong khối kĩ thuật và gắn với ứng dụng nghề nghiệp nhiều hơn khối ngành sư phạm.
Sự quan trọng cùa đạo hàm, tích phân khơng chỉ giới hạn trong phạm vi giải tích,
cịn nằm ở những ứng dụng rộng rãi của chúng trong nhiều lĩnh vực: Vật lí học,

kinh tế học,.... Chính vai trị đó khiến chúng tác động vào các bậc giáo dục cao

hơn ở đại học, trong đào tạo Toán học - hiển nhiên và trong cả các lĩnh vực đào

tạo nghề nghiệp khác. Việc giúp HS cuối cấp (THPT) hiểu và sử dụng được hai
khái niệm này là cần thiết cho họ trở về sau.
(Ngô Minh Đức, 2020, tr5)

Ghi nhận 3: Ở bậc THPT khái niệm TPXĐ được trình bày theo nghĩa ngun
hàm (cơng thức Newton -Leibniz), các hàm cần tính tích phân đều có ngun hàm và
liên tục. Dường như khái niệm TPXĐ được trình bày trong SGK hiện hành được sử

dụng như qui trinh tính tốn theo hiệu giá trị nguyên hàm và ý nghĩa hình học của TP

như là diện tích hình phẳng dưới đường cong.
Rasslan và Tall (2002) tiến hành kiểm tra cách hiểu của một số HS THPT về khái
niệm TP. Mặc dù các HS này được tiếp cận TP từ phương pháp tính xấp xỉ diện
tích bằng các tổng trong lớp học tốn. Thế nhưng, khơng có lời giải thích nào về

giới hạn hay tổng Riemman xuất hiện trong kết quả thực nghiệm. Thay vào đó,
các HS chỉ giải thích TP như là diện tích, hiệu hai nguyên hàm hoặc qua một ví dụ
tính tốn cụ thể. Dường như quan niệm TP theo giới hạn tổng Riemman rất khó
được xây dựng hoặc gợi ra trong nhận thức cúa người học.

Sự thiếu hụt TP theo cấu trúc tổng Riemman thậm chí cịn phổ biến với đối tượng
là sinh viên các trường đại học.

(Ngồ Minh Đức, 2020, tr 8)

2

Như vậy, ở bậc đại học, khái niệm TPXĐ được trình bày như thê nào? Có sự nơi
khớp hay ngắt quãng nào so với bậc THPT hay không?
Với những ghi nhận trên và câu hởi nêu trên, chúng tôi mong muốn thực hiện
một nghiên cứu bước chuyển giữa trung học phổ thông và đại học khối kĩ thuật

trường hợp: Khái niệm tích phân xác định cho luận văn của mình.

Đề xác định rõ hơn hướng nghiên cứu của mình, chúng tơi tiến hành tìm hiểu
những nghiên cứu về đối tượng TPXĐ có liên quan đến định nghĩa khái niệm TPXĐ.

7.2. Tổng quan về các cơng trình liên quan
Có rất nhiều tài liệu và các cơng trình nghiên cứu đã được công bố liên quan đến

khái niệm TPXĐ xoay quanh các hướng : Nghiên cứu thực hành dạy học của giáo
viên; nghiên cứu Didactic về những khó khăn chính của học sinh khi tiếp thu khái

niệm tích phân; nghiên cứu dạy học khái niệm tích phân; nghiên cứu sinh thái của
phép tính tích phân; nghiên cứu dạy học khái niệm tích phân theo quan điểm liên môn.
❖ Tác giả Trần Lương Cơng Khanh (2002) nghiên cứu “Nghiên cứu Didactic về

những khó khăn chính của học sinh khi tiếp thu khái niệm tích phân”. Tác giả đã trình

bày tiến trình lịch sử hình thành khái niệm tích phân xuất phát từ bài tốn tính diện
tích, tính thể tích. Đồng thời nghiên cứu về chuyển đổi sư phạm và hợp đồng dạy học
về khái niệm tích phân qua phân tích ba quyển SGK Giải tích 12.

- Sách “trước cải cách” được sử dụng ở các tỉnh phía Nam từ 1975 đến 1990:

Giải tích lớp 12 phô thông, nhà xuất bản giáo dục, năm 1979.

- Sách “cải cách” được sử dụng ở phần lớn ở các tỉnh phía Nam từ 1990 đến
năm 2000: Gtóz’ tích 12, Giáo sư Trần Văn Hạo chủ biên, nhà xuất bản giáo dục, năm 1997.

- Sách “chỉnh lý họp nhất” được sử dụng thống nhất trong cả nước từ năm
2000: Giải tích 12, Giáo sư Ngơ Thúc Lanh chủ biên, nhà xuất bản giáo dục, năm 2000.
❖ Tác giả Dương Văn Tú (2015) nghiên cứu “Dạy học khái niệm tích phân ở

trường Cao đẳng Sư phạm”. Tác giả đã liệt kê một số cơng trình nghiên cứu có liên

quan đến khoa học luận về khái niệm TPXĐ trong lịch sử và tóm lược lại tiến trình

xuất hiện khái niệm tích phân trong lịch sử xuất phát từ bài tốn cầu phương, cầu tích,

cầu trường1. Đồng thời phân tích, so sánh khái niệm TPXĐ của giáo trình Cao đẳng Sư

1 Theo từ điển tốn học thơng dụng: cầu phương là phép tính diện tích một hình, chẳng hạn
như diện tích của hình giới hạn bởi đường cong kín (đường trịn, elip,...) hay hình thang cong


3
phạm Việt Nam và giáo trinh Mỹ. Từ đó làm rõ đặc trưng vê môi quan hệ thê chê với

khái niệm tích phân trong thể chế dạy học tốn ở Trường Cao đẳng Sư phạm ở Việt Nam.
❖ Tác giả Phạm Lương Quý (2009) nghiên cứu “Nghiên cứu sinh thái cùa phép

tính tích phân”. Tác giả thực hiện nghiên cứu ba điều kiện sinh thái cùa phép tính tích
phân “phép tính diện tích, khái niệm hàm số hợp, phép tính đạo hàm” trong giảng dạy

tốn ở THPT. Trong đó, tác giả đặc biệt quan tâm đến mối liên hệ của phép tính diện

tích hình phắng với phép tính tích phân trong lịch sử tốn học.
❖ Tác giả Lê Thị Hồi Châu, Trần Thị Mỹ Dung (2004) nghiên cứu “Phép tính

tích phân và vi phân trong lịch sử”. Tác giả chỉ ra những bài toán gắn liền với khái
niệm TPXĐ như bài tốn cầu phương, cầu tích, cầu trường và những phương pháp giải
quyết bài tốn tính diện tích đã từng được sử dụng qua các thời kì khác nhau. Đồng

thời cũng làm rõ nghĩa của khái niệm tích phân, những điều kiện cho phép nảy sinh và
mối quan hệ giữa các khái niệm đó.
❖ Tác giả Lê Thị Hồi Châu (2004) nghiên cứu “ Khai thác lịch sử toán trong

dạy học khái niệm tích phân”. Tác giả đã trình bày những tình huống gợi lên từ lịch sử
(từ phép cầu phương của Ibn Qurra, Fermat và Pascal) đế đưa khái niệm TPXĐ vào

lóp 12 nhằm giúp học sinh hiểu rõ hơn nghĩa của khái niệm tích phân và mối quan hệ
của nó với khái niệm đạo hàm.
❖ Tác giả Trương Thị Oanh (2018) nghiên cứu “Nghiên cứu thực hành dạy học

của giáo viên về khái niệm tích phân”. Tác giả trình bày sơ lược lịch sử hình thành
khái niệm TPXĐ xuất phát từ các bài tốn tính diện tích, tính thể tích và phân tích

quan hệ thể với khái niệm TPXĐ trong chương trình SGK hiện hành, đặc biệt làm rõ

KNV được đề cập.
> Kết luận rút ra từ các cơng trình trên:

- về đặc trưng tri thức luận của đối trượng tri thức TPXĐ: Các tác giả đã
nghiên cứu khá rõ ràng. Chúng tơi có thể thừa kế chúng để phân tích các KNV cụ thể

liên quan đến khái niệm TPXĐ trong lịch sử.

a
trường gắn liền với thể tích và độ dài cung.

Tương tự cầu tích, cầu


4

- Vê đặc trưng của các quan hệ thê chê đôi với đôi tượng tri thức TPXĐ cân
dạy: Các tác giả nghiên cứu SGK “trước cải cách”, “cải cách”, “chỉnh lý hợp nhất”,
SGK giải tích 12 (cơ bản, nâng cao) theo chương trình hiện hành, giáo trình Cao đẳng

Sư phạm Việt Nam, Giáo trình Mỹ. Đặc biệt, Chúng tơi chú ý đến luận văn của
Trương Thị Oanh, vì trong luận văn chúng tơi có phân tích KNV của khái niệm TPXĐ

trong SGK hiện hành. Chúng tơi có thể chắt lọc lại nhừng nội dung cần thiết theo

hướng nghiên cứu đã chọn. Hơn nữa, chưa thấy nghiên cứu nào phân tích mối quan hệ
thế chế với khái niệm TPXĐ trong giáo trình giải tích 1 (giáo trình dành cho sinh viên
đại học - khối kĩ thuật).

- về sự nối khớp và ngắt quãng khái niệm TPXĐ giữa bậc THPT và bậc đại

học: Chưa có cơng trình nào nghiên cứu.
> Từ những ghi nhận ban đầu và các cơng trình đã nghiên cứu về đối tượng
TPXĐ nêu trên. Chúng tôi nhận thấy rằng có rất nhiều cơng trình nghiên cứu về khái

niệm TPXĐ. Đối tượng tri thức TPXĐ mà HS được truyền thụ ở THPT là yếu tố cơ sở

cho việc tiếp cận đối tượng tri thức TPXĐ ở bậc đại học. Theo Trương Thị Oanh

(2018), cỏ ba cách tiếp cận khái niệm TPXĐ trong lịch sử cần được đề cập trong giảng
dạy để người học có thể hiểu đúng và vận dụng được tích phân vào cuộc sống. Như

vậy, với câu hỏi chúng tôi đặt ra: Ở bậc THPT và bậc đại học đối tượng TPXĐ được
trình bày như thế nào? Có sự nối khớp và ngắt quãng nào về dạy học khái niệm TPXĐ
ở bậc THPT và bậc đại học hay khơng? Sự nối khớp và ngắt qng đó ảnh hưởng đến

mối quan hệ cá nhân của HS và sv như thế nào? Từ đó, Chúng tơi xác định rõ hơn đối
tượng nghiên cứu của mình với những câu hỏi đặt ra.

1.3. Lọi ích và tính cần thiết của đề tài

Kết quả nghiên cứu của luận văn có thể là tài liệu hữu ích cho giáo viên ở trường

phồ thơng và giảng viên ở trường đại học trong giảng dạy đối tượng TPXĐ, để họ có
tác động phù hợp lên mối quan hệ cá nhân của HS và sv.
2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Với hướng nghiên cứu được đặt ra, chúng tơi tìm hiểu bước chuyển giữa bậc

THPT và bậc đại học khối kĩ thuật trường hợp: Khái niệm tích phân xác định. Vì vậy,

chúng tơi cần đển cơng cụ hữu hiệu của didactic Tốn, lí thuyết tình huống và các cơ
sở lí luận khác.
2.1. Thuyết nhân học

5

Chúng tôi sử dụng công cụ của thuyết nhân học là: Phân tích tri thức luận và tổ

chức tốn học (TCTH).
Phân tích tri thức luận: Trong luận văn này, chúng tôi làm rõ lý do nảy sinh và

tồn tại đối tượng tri thức TPXĐ.

Theo Lê Thị Hoài Châu (2018), một tổ chức tri thức gồm bốn thành phần
[T/r/ớ/0]. Bộ bốn thành phần này phản ánh cấu trúc cùa một tri thức được hình
thành từ kiểu nhiệm vụ T , kỹ thuật T để giải quyết kiểu nhiệm vụ T , cơng nghệ 9 để

giải thích cho kỹ thuật V, lý thuyết 0 giải thích cho cơng nghệ 9. Khi T là một kiểu
nhiệm vụ tốn học thì người ta gọi tồ chức tri thức đó là một TCTH.
Q trình phân tích tổ chức tri thức sẽ cho thấy những nhiệm vụ cần giải quyết có

liên quan đến tri thức, những kỹ thuật cho phép giải quyết và tất cả những yếu tố
lý thuyết, cơng nghệ ấn phía sau chi phối tính hợp thức của các hoạt động đó.

Chúng hình thành lên bức tranh tồn cảnh giúp ta nhìn thấy được cuộc sống của
tri thức trong thể chế. Đối với thể chế dạy học, việc phân tích tổ chức tri thức sẽ

giúp chúng ta nhận thấy được cách mà thể chế hiếu về tri thức hay thậm chí là

cách mà thể chế muốn người học hiểu về tri thức đó.
(Ngơ Minh Đức, 2020, tr. 39)
2.2. Lí thuyết tình huống

Chúng tơi sử dụng lí thuyết này đế xây dựng các tình huống làm rõ ảnh hưởng
của mối quan hệ thể chế lên quan hệ cá nhân HS và sv với đối tượng TPXĐ.

2.5. Các cơ sở lí luận khác

Phần này được trình bày theo Lê Văn Tiến (2016)
2.3.1. Tiến trình dạy
• •/ học
• của khái niệm
• tốn học
•

a) Cơ chế hoạt động của khái niệm

R. Douady (1986) phân biệt ba dạng (hay cơ chế) hoạt động khác nhau của một

khái niệm toán học: Cơ chế “Đối tượng”, cơ chế “Công cụ ngầm ẩn”, và cơ chế “Công
cụ tường minh”.

- Cơ chế công cụ: Ta nói, một khái niệm hoạt động dưới dạng Cơng cụ khi nó
được sử dụng một cách ngầm ẩn hay rõ ràng như phương tiện để giải quyết một bài

tốn, một vấn đề. Ta nói đến Cơng cụ rõ ràng đối với các khái niệm được vận dụng bởi
chủ thể và chủ thể có thề trình bày, giải thích việc dùng chúng. Ta nói đến Cơng cụ


6
ngâm ân đôi với các khái niệm được ngâm ân bởi chú thê, và chủ thê không thê trinh

bày hay giải thích việc sử dụng này.

- Cơ chế đối tượng: Ở cấp độ tri thức khoa học, một khái niệm hoạt động dưới
dạng đối tượng, theo nghĩa một đối tượng văn hóa có vị trí trong cơ cấu tố chức rộng

hơn, đó là tri thức khoa học ở một thời điểm đà cho, được thừa nhận bởi xà hội. Chúng
là đối tượng nghiên cứu của các nhà toán học. Trong phạm vi tốn học ở trường phổ
thơng, ta hiều một khái niệm hoạt động dưới dạng đối tượng khi nó là đối tượng được

nghiên cứu (được định nghĩa, được khai thác các tính chất,...)

Các
b)

hình thức thể hiện của khái niệm

Theo Yves Chevallard (1991), một khái niệm tốn học có thể thể hiện dưới ba
hình thức sau đây:
- Khái niệm tiền tốn học (protomathématique): Khơng tên, khơng định nghĩa,
hoạt động như một cơng cụ ngầm ẩn.

- Khái niệm gần tốn (paramathématique): Có tên, khơng có định nghĩa. Chúng

là những khái niệm cơng cụ của hoạt động tốn học. Nói chung, chúng khơng phải là
đối tượng nghiên cứu của nhà tốn học.

- Khái niệm toán học: Chúng vừa là đối tượng nghiên cứu, vừa là công cụ được
vận dụng để giải quyết các vấn đề. Chúng có tên và được định nghĩa (theo nghĩa chặt
hay theo kiểu quy ước, mô tả, kiến thiết,...)
2.3.2. Các tiến trình khác nhau về dạy học khái niệm

- Tiến trình “Đối tượng —> Cơng cụ”. Theo Lê Văn Tiến (2006), hai cách tiếp

cận khái niệm này thường được vận dụng là: cách tiêp cận qui nạp và cách tiêp cận suy
diễn.

+ Các giai đoạn chủ yếu của cách tiếp cận suy diễn được sơ đồ hóa như sau:


7
+ Các giai đoạn chú yêu của cách tiêp cận qui nạp được sơ đơ hóa như sau:
•

Nghiên
cứu
các
trường hợp đơn lẻ
để:
• Phát hiện một số
thuộc tính bản chất
của khái niệm
• Hình thành (hay
điều chỉnh) biểu
tượng về khái niệm
• Phát thảo định
nghĩa khái niệm.

Khái niệm có cơ chế
r
đơi tượng

1
Trinh bày định
nghĩa chính thức của
khái niêm

__ 1l

•

Củng cố
Vận dụng

Khái niệm có cơ chê
cơng cụ tường minh

- Tiên trình “Cơng cụ —> Đơi tượng —> Cơng cụ”.
Giải các bài tốn

L

Trình bày định
nghĩa khái niêm

11
11
11
11
1
-'

ĩ

Cùng cố
Vận dụng

Khái niêm
• có cơ chế
cơng cụ ngầm ân

]
1

Khái niêm
• có cơ chế
đổi tượng

Khái niêm
• có cơ chế
cơng cụ tường minh

Chúng tôi lý thuyết này trong điều tra tri thức luận đề phân tích tiến trình xuất
hiện của khái niệm TPXĐ và trong phân tích thể chế SGK, GTGT1.

3. Đối tưựng và phạm vi nghiên cún
Đối tượng nghiên cún: Dạy học khái niệm TPXĐ ở bậc THPT và bậc đại học

khối kĩ thuật.


8

Phạm vi nghiên cứu: Đê tài giới hạn nghiên cứu bước chuyên khái niệm TPXĐ
giữa bậc THPT ở lớp 12 và bậc đại học ở trường Đại học Bách Khoa - khối kĩ thuật,

TP.HCM.

4. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu

Mục tiêu nghiên cứu: Làm rõ sự nối khớp và ngắt quãng trong dạy học khái niệm
TPXĐ ở bậc THPT và bậc đại học - khối kĩ thuật cũng như ảnh hưởng của mối quan

hệ thể chế lên quan hệ cá nhân của HS và sv.

Câu hỏi nghiên cứu

Để đạt được mục tiêu trên, chúng tôi đặt ra các câu hởi nghiên cứu sau:
1. Khái niệm tích phân xác định có những đặc trưng tri thức luận cơ bản nào?
2. Mối quan hệ của thể chế dạy học toán ở lớp 12 (II) với đối tượng tích phân

xác định có những đặc trưng cơ bản nào?
3. Mối quan hệ của thể chế dạy học toán ờ đại học Bách khoa - khối kĩ thuật

(12) với đối tượng tích phân xác định có những đặc trưng cơ bản nào?
4. Có thê ghi nhận được gì vê sự nơi khớp và ngăt quãng giữa hai môi quan hệ
ĩ

9

r

r

thê chê với đôi tượng tích phân xác định ở lớp 12 và đại học Bách khoa - khôi kĩ

thuật?

5. Quan hệ thể chế, cũng như sự nối khớp và ngắt quãng đó ảnh hưởng như thế

nào đến quan hệ cá nhân của HS và sv?
5. Phương pháp nghiên cứu

> Nghiên cứu lý thuyết: Điều tra tri thức luận.

> Nghiên cứu thực tiễn:

• Phân tích sách giáo khoa hiện hành lớp 12, giáo trình đại học Bách khoa - khối
kĩ thuật.
• Nghiên cứu thực nghiệm: Điêu tra môi quan hệ cá nhân của HS và sv.
6. Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn
A
gơm có 3 chương:

• Chương 1. Điêu tra tri thức luận
• Chương 2. Nghiên cứu so sánh mối quan hệ thể chế với khái niệm tích phân xác

định trường trung học phổ thông và trường đại học - khối kĩ thuật
• Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

9

Chương 1. ĐIỀU TRA TRI THỨC LUẬN
Mục tiêu của chương là tống hợp các cơng trình nghiên cứu đã có đế làm rõ các
đặc trưng tri thức luận của khái niệm TPXĐ, cụ thể là: Tiến trình xuất hiện của khái

niệm TPXĐ trong lịch sử, các tổ chức toán học xuất hiện, các đối tượng tốn học có

liên quan đến khái niệm TPXĐ và nghĩa của khái niệm TPXĐ.
1.1. Tiến trình xuất hiện của khái niệm tích phân xác định, cơ chế và hình thức

thể hiện của nó
Vào thời cố đại, do nhu cầu đo đạc, tính tốn trong nơng nghiệp và xây dựng đã

có các cơng thức tính diện tích một số hình đơn giản mà chúng ta dùng ngày nay như:

Cơng thức diện tích tam giác (diện tích tam giác bằng ỵ/i tích của chiều cao hạ từ đỉnh

với độ dài cạnh đối diện của đỉnh đó), diện tích hình chừ nhật (diện tích hình chữ nhật
bàng tích chiều dài nhân với chiều rộng), diện tích hình thang bàng trung bình cộng hai
cạnh đáy nhân với chiều cao giữa hai đáy,....Vấn đề được đặt ra để tìm cơ sở lí thuyết
và phương pháp tồng quát cho các bài tốn có những hình phức tạp hơn (các hình có

yếu tố cong) như các bài tốn tính diện tích, tính thể tích, tính độ dài cung. Các nhà
bác học như Democrite, Antiphone, Hippocrate de Chios, Eudoxe, Archimède,

Cavalieiri, Roberval, Kepler, Fermat, Pascal đà có kỹ thuật để giải quyết các bài tốn

đó. Qua nghiên cứu tri thức luận về khái niệm TPXĐ từ các cơng trình đã nghiên cứu.

Chúng tơi xác định các tổ chức toán học (TCTH) xuất hiện trong tiến trình lịch sử hình
thành khái niệm TPXĐ, trải qua ba giai đoạn.

1.1.1. Giai đoạn 1: (từ cố Hy lạp đến thế kỉ XVII - giai đoạn khái niệm tích phân
xác định nảy sinh độc lập với khái niệm đạo hàm, giới hạn)

Trong giai đoạn này, xuất hiện kiểu nhiệm vụ Tdt: Tính diện tích2, các kỹ thuật
giải quyết cho KNV Tdt là:

+ Kỹ thuật ttnt: Kỹ thuật thuyết nguyên tử

Cơng nghệ 0TNT: Dựa vào thuyết ngun tử2
3.

2KNV tính thể tích, tính độ dài chúng tơi khơng trình bày, do trong lịch sử các KNV này được
giải theo cùng một cách thức. Theo Lê Thị Hoài Châu (2004, tr.14) “Do trong lịch sử cả ba
bài toán đều được giải theo cùng một cách thức”
3Thuyết nguyên từ do nhà bác học cổ Hy Lạp Democrite đưa ra, mọi vật thể đều cấu thành từ
một tập họp vô hạn các nguyên tử nhở bé mà ông gọi là “đại lượng cơ sở”.


10
Chúng tơi khơng tìm thấy tài liệu hay các cơng trình đã nghiên cứu mơ tả chi

tiết các bước thực hiện cùa kỹ thuật này. Theo Lê Thị Hoài Châu (2004, tr. 14), nhà
bác học Democrite tính diện tích một số hình bằng cách chia nhỏ chúng. Quan điềm

của ơng được xem là nguồn gốc của khái niệm vô cùng bé. Chúng tơi thấy rằng, với kỹ
thuật tính diện tích ttnt xuất hiện tư tưởng hình thành khái niệm TPXĐ.
+ Kỹ thuật tvk: Kỹ thuật vét kiệt

Giả sử B là hình cần tính diện tích
Bl: Chia hình B thành dãy các hình đa giác Ak nội tiếp hình B (Ak đơn điệu

tàng, vét cạn hình B) và tính diện tích các hình đa giác Ak.
B2: Tính tổng diện tích các hình Ak, kí hiệu là A (theo ngơn ngữ ngày nay là

tìm giới hạn A).
B3: Kết luận diện tích của hình B chính là diện tích A (chứng minh A = B
bằng phản chứng)

Công nghệ 0VK: Dựa vào tiên đề Archimède “Nếu từ bất kỳ một đại lượng
nào mà bở đi một phần khơng nhở hơn một nửa của nó, rồi từ chỗ cịn lại lại bở đi một

phần khơng nhỏ hơn một nửa của nó,v.v. ... thì cuối cùng sẽ còn lại một đại lượng nhỏ

hơn bất kỳ đại lượng cùng loại nào được ấn định trước”.
Ví dụ: Bài toán cầu phương đoạn parabol: A, B là hai điểm tùy ý thuộc một
parabol. Tìm diện tích hình phẳng tạo bởi cung parabol

(AB) và đoạn thẳng AB.

c

b
Ị.

• X

• /\

viên phân: tam giác ABC,AHC,BGA,...và tính diện

tích
V
J44//C

các
ỉ*
8

ĩỉ.

tam

giác: SMỊÌC

<

+1$_
8

A4/-/C

— C_____ V___ > — X
2 bBCc •> ° \ABC 2

’

H

G

Bl: Chia hình viên phân BAc thành các đa giác nội tiếp
Ị

/B

K

E

M

F

c\

MBC ’• • •

4

_____
Ấ
„ 1 „ 1
1
,
B2: Tính tơng diện tích các tam giác u = s +-^s +-^s + ... + -Ị^ỵS (chỉ tính n số
\

hạng đâu).

\

A

Rơi thêm vào phân dư

•••

11
'
, ,
z ,
,
-.—và sử dụng tính chât
3 4n_

o
4
,
ị.ị.S' = 4 s
. Nêu sơ cạnh của đa giác nội tiêp tăng
3 4
3

' Ă 1 1 1
,
lên thì phân dư —q-S sẽ bé như mong muôn.

11

. , T
4n
B3: Chứng minh u = — s băng phương pháp phản chứng
, „ 4„
Ầ
rT 4
>
,
ỵ
+ Nếu ư >^-S, có n tam giác đê cho u > — s, điêu này mâu thuân với
3

í/=đ5-l
3
3 4"~

+ Nếu

3

4„
4 o TT
r < — 5 , nghĩa là — s - ư > 0, có tam giác thứ m có diện tích

s,„ = A-rS<^S-U .Mà s_
m 4>n-l
2

m

1 „
3 m

4„ _ ~
>
— s - ơ , dẫn đên s <ư . Điều này mâu

thuẫn, vì u là diện tích đa giác nội tiếp trong hình viên phân parabol có diện tích
s.

Kết luận u -

3

(tham khảo Nguyền Thành Long, 2004)
> Xuất hiện tư tưởng hình thành khái niệm TPXĐ trong kỹ thuật vét kiệt. Kỹ

thuật này chưa dùng đến tổng vô hạn của cấp số nhân hay phép tốn giới hạn mà thay
vào đó Archimède chứng minh tính đúng đắn của kết quả bằng phương pháp phản

chứng.

+ Kỹ thuật tch: Kỹ thuật cơ học
B1: Chia hình cần tính diện tích thành 1 số rất lớn các giải phăng mỏng song
song hoặc các lớp mỏng song song, chọn một hình phẳng đã biết tính diện tích (hình
9

_

9

.

phăng được tạo bởi các đường) và tính diện tích hình phăng đã chọn.
B2: Tính tỉ số diện tích giữa các đoạn thẳng được tạo bởi hình viên phân và

các đoạn thăng được tạo bởi hình đã chia.
B3: Kết luận
2

Cơng nghệ ớ ch'. Sử dụng “Định luật đòn bây” của Archimède
“Độ lớn của khả năng tác động lực tỷ lệ thuận với độ lớn của lực và đông thời tỉ lệ

thuận với khoảng cách từ điểm tác dụng lực tới tâm quay (cánh tay địn)”.

( />Ví dụ: Archimède giải bài tốn câu phưong

bằng kỷ thuật cơ học
Giả sử viên phân parabol ABC, với B là đỉnh

của viên phân


12
Bl: Chia viến phân ABC như sau:
+ Dựng tiếp tuyến tại B song song với AC, sao cho BD vuông góc AC

+ Dựng tiếp tuyến tại

c

sao cho cắt BD tại E

+ Dựng tiếp tuyến tại A song song với BD và cắt CE tại F
+ Kẻ CB cắt AF tại K
+ Kéo dài CB đến H sao cho CK = KH

Suy ra CH là địn bẩy có trung điểm K (theo định luật đòn bẩy của Archimède)
+ Chọn tam giác CFA đế so sánh diện tích với viên phân ABC theo Định luật

địn bẩy ta có tam giác CFA bàng 4 lần tam giác ABC

B2: Tính tỉ số diện tích giữa hai hình
+ Trong tam giác CFA, dựng MO IIED như hình vể:
. z MO CA
Giả sử EB = BD , ta co -f— = —A
PO AO

Giả sử KF = KA, MN = ON, CK chia đôi AF , ta có:
A/Ơ CA KC KH
PO ~ AD~ KN~ KN

Giả sử TG = OP (H là điểm ở giữa TG), khi đó

MO

KH

Suy ra N là trọng tâm của MO

Theo định luật đòn bẩy: MO và TG sẽ ở trạng thái cân bằng về K (hay tam giác
9

CCAđược tạo bởi đường thăng song song OP, viên phân ABC được tạo bởi
9

đường thăng song song OP.

+ Gọi diêm w là trọng tâm của tam giác CFA, tiêp tục đưa ra tỉ sô giữa tam

giác CFA: Viên phân ABC bằng

KH

= y. Do đó viên phân ABC bằng 1/3

KW

lân tam giác CFA, mà tam giác CFA băng 4 lân tam giác ABC.
B3: Suy ra viên phân ABC bằng 4/3 lần tam giác ABC.

(tham khảo Kazt, 2008, tr. 105)
> Đe giải quyết bài tốn tính diện tích viên phân parabol, Archimède vừa đưa ra
lời giải bằng kĩ thuật vét kiệt, vừa đưa ra lời giải bằng kĩ thuật cơ học. Nhờ xem xét cơ

học (chẳng hạn “cân” các đoạn thẳng tạo thành viên phân và tam giác) để giải quyết
bài toán cầu phương. Ý tưởng này thế hiện về lịch sử tích phân khơng chỉ có mối quan
hệ đến đối tượng diện tích mà cịn có mối quan hệ mật thiết với những động lực đến từ

vật lý. Tư tưởng khái niệm TPXĐ được thể hiện trong kỹ thuật cơ học là chia nhỏ các


13
hình và tính xâp xỉ diện tích các hình. Tư tưởng này hiện diện công cụ ngâm ân của

TPXĐ để giải quyết bài tốn tính diện tích.

+ Kỹ thuật TycB- Kỹ thuật vơ cùng bé
Bl: Chia hình cần tính thành các đa giác vơ cùng bé, chọn một hình đã biết
cách tính diện tích các đa giác đó (đồng nhất hình cần tính với hình đã chọn).

B2: Tính tổng diện tích các hình đã chọn
B3: Kết luận diện tích hình cần tính là tổng diện tích các hình đã chọn.

Cơng nghệ OycB'. Sử dụng khái niệm vô cùng bé, định luật Kepler.
“Đường thẳng nối mặt trời tới quỳ đạo của hành tinh quét những diện tích bằng

nhau trong những thời gian bằng nhau”

(Nguyễn Cang, 1999, tr. 136)
Ví dụ: Tính diện tích hình trịn bán kính AB của nhà bác học Kepler
B1: Chia hình trịn bán kính AB thành vơ

hạn các quạt trịn vơ cùng nhỏ mà mỗi hình có thể
coi như một tam giác cân (mỗi tam giác đều có
chiều cao AB, đỉnh của chúng là tâm A). Chọn

hình đa giác là chu vi của hình trịn băng cách kéo dài chu vi thành một đường thăng

tạo thành các tam giác vơ cùng bé có cùng đáy là chiêu cao AB và đỉnh là tâm hình

trịn.
B2: Tính tồng diện tích các tam giác vô cùng bé thu được kết quả bằng nữa

tích của bán kính và chu vi hình trịn.
B3: Xem diện tích hình trịn là tổng diện tích các tam giác vô cùng bé và thu

được kết quả diện tích hình trịn
Shình trịn

= Xs
1

R.lĩĩR = 7ĩR2 (Theo cách viết ngày nay)

tam giác =

2

> Tư tường được thế hiện trong kỹ thuật này là chia nhỏ và tính tổng vơ hạn.

Lúc này khái niệm TPXĐ hiện diện là công cụ ngầm ẩn trong kỹ thuật vô cùng bé.
+ Kỹ thuật tbkp: Kỹ thuật bất khả phân

B1: Chia hình cần tính diện tích thành các bất khả phân4.

4Theo Lế Thị Hồi Châu - Trần Thị Mỹ Dung (2004, tr. 17): “Hình phẳng được xem là tổng
vô hạn các đoạn thẳng cùng song song với một đường thẳng nào đó được chọn làm chuân.

14
(chia hình cần tính diện tích thành các hình phẳng có cùng độ dài, các hình

phẳng được chia thành các bất khả phân).
B2: Lập tỉ số độ dài của các bất khả phân
B3: Tính tỉ số diện tích của các hình phẳng và suy ra diện tích hình cần tính là
tổng diện tích các hình phẳng (tổng diện tích các bất khả phân).

Công nghệ ỡBKp‘. Sử dụng định lý Cavalieri
“Nếu hai vật thể có hai chiều cao bằng nhau; nếu hai tiết diện phẳng song song
với hai mặt phẳng đáy, cùng cách các mặt phẳng đáy tương ứng như nhau, và tỳ

số giữa hai tiết diện luôn theo một tỷ số cố định thì tỷ số giữa hai thể tích của hai
vật thể ấy là tỷ số nói trên”
(Nguyễn Cang, 1999, tr. 139)

> Kỳ thuật bất khả phân thể hiện tư tưởng của khái niệm TPXĐ: Chia nhỏ, tính

xấp xỉ, tính tổng vơ hạn. Khái niệm TPXĐ hiện diện là công cụ ngầm ẩn trong kỹ thuật
bất khả phân để giải quyết bài tốn diện tích, thể tích.

Ví dụ 1: Tính diện tích hình chữ nhật của nhà bác học Cavalieri
Bl: Giả sử hình chữ nhật F có chiều dài a, chiều rộng b. Chia hình chữ nhật

thành hai hình tam giác T và s bởi 1 đường

chéo như hình vẽ. Sau đó chia hình T, s thành

các bất khả phân như (BM JỈE , MA,...) kí

hiệu các bất khả phân là o

đ

B2: Tính tỷ số độ dài các bất khả phân : BM của hình T tương ứng với một và
chỉ một đoạn HE của hình s . Suy ra O(T) = 0(5)
Mặt khác: BA được tạo bởi đoạn
•

•

•

•

Suy ra 0(F) = O(T) +0(5) hay O(F) = 2O(F)

B3: Tỷ số diện tích của hình phẳng F là tỉ số độ dài của các bất khả phân. Vậy
theo cách viết hiện đại ab = 2 [
Jo £

hay b2 = 2Ỉ t.dt
J
Jo

Tương tự: Có thê chứng minh tât cả các hình vng của hình chữ nhật F băng 3
lần các hình vuông cùa mỗi tam giác.

Những đoạn thăng này, năm giữa hai tiêp tuyên song song với chuân, được gọi là các bât khả
phân. Chúng hồn tồn khơng có bề rộng. Vật thể được xem là tập hợp vô hạn các thiết diện

phẳng cùng song song với chuẩn. Chúng là các bất khả phân”.


15

(theo Kazt, 2008, tr. 516 -517)
Ví dụ 2: Tính diện tích hình trịn băng kỹ thuật bât khả phân

Chia diện tích hình trịn băng kỹ thuật bât khả phân
Giả sử hình trịn được phủ kín bởi những đường trịn đồng tâm có độ dài 2/rr với

r biến thiên từ 0 đến R .

+ Các đường tròn này là những bât khả phân của hình trịn
+ Tam giác có đáy 271R và chiều cao R được phủ kín bởi các đoạn thẳng có độ
dài 27ir với ĩ biến thiên từ 0 đến R. Các đoạn thẳng này là những bất khả
phân của tam giác.

Suy ra: hai hình phăng đang xét được tạo thành từ những bất khả phân có cùng độ

dài nên có cùng diện tích.
Vậy diện tích của chúng là 2tĩR.R /2 = 7rR2

(Theo Nguyễn Thành Long, 2004)
> Nhờ kỳ thuật TBKP góp phần giúp chúng ta chứng minh lại cơng thức diện tích
hình trịn.

Độc lập với Cavalieri, Roberval sử dụng kĩ thuật bất khả phân. Ông cho rằng một

số vơ hạn các đa giác sẽ phủ kín tồn thể hình phẳng đang xét.

+ Kỹ thuật ttt_td: Kỹ thuật lập tổng trên, tổng dưới
B1: Chia hình ra từng phần, mỗi phần xấp xỉ bằng các hình nội tiếp, ngoại tiếp

mà diện tích chúng là có thề tính được.
B2: Tính tống diện tích các hình xấp xỉ trên và hình xấp xỉ dưới
B3: Suy ra diện tích cần tính

+ Cơng nghệ

Dựa theo quan niệm Archimède, ơng cho răng: Diện tích

hình ban đầu nhỏ hơn tổng diện tích các hình ngoại tiếp (tổng trên) và lớn hơn tổng

diện tích các hình nội tiếp (tổng dưới).

(Theo Lê Thị Hoài Châu, Trân Thị Mỹ Dung, 2004, tr. 18)


16
> Ỡ giai đoạn 1, tư tưởng TPXĐ được hình thành qua các kỹ thuật giải quyết kiểu

nhiệm vụ tính diện tích: Chia hình đã cho thành từng phần nhỏ, xấp xỉ trên và xấp xỉ
dưới mỗi phần nhỏ và lấy tổng xấp xỉ đó. Các nhà tốn học sử dụng như cơng cụ ngầm

ẩn đề giải quyết bài tốn tính diện tích, chưa phải là đối tượng nghiên cứu. Khái niệm
hiện
diện
với hình thức tiền tốn học.
•
•

•

Đe định nghĩa tích phân, các nhà toán học ở thế kỉ XVII và XV111 khồng dùng đến
khái niệm giới hạn. Thay vào đó, họ nói “tổng của một số vơ cùng lớn những số
hạn vơ cùng nhở”. Chắng hạn, diện tích của hình thang cong là tống của một số vô

cùng lớn những diộn tích của những hình chữ nhật vơ cùng nhỏ”

(SGKC12, tr.122)

1.1.2. Giai đoạn 2 (từ thế kỉ 17 đến thế kỉ 18): Giai đoạn tích phân xác định được
định nghĩa tường minh, có mối quan hệ với nguyên hàm

Việc thiết lập mối liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm là một phát minh vĩ đại
của Newton - Leibniz.

+ Newton giả sử 5 là diện tích đã biết của một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
cùa hàm số khơng âm y = f(x), các trục tọa độ và đường thẳng X = x0, (x0 > 0).

+ Xét oS ( số gia AS của diện tích) khi x0 tăng lên một lượng vơ cùng bé o
/

Ấ

•

A

?

\

m \

r

•>

Ấ 1

• Ấ

1

• A.

OS

1

A

»

(sơ gia Ax0 của x0). Từ đó suy ra tỉ sơ biên thiên — = /(x0) (theo ngôn ngữ hiện đại
o
S'(x0) = f(x0).
+ Đảo ngược các thao tác lấy đạo hàm để xác định được diện tích 5

Độc lập với Newton, Leibniz chứng minh được Jdy = y

Từ các phương pháp đà chứng minh của Newton, Leibniz. Công thức
b

J /(x)dx = F(x)|* với F là nguyên hàm tùy ý của f nêu lên mối quan hệ giữa tích phân
a
b

và nguyên hàm. Người ta gọi J / (a')cLv là tích phân xác định.
a

❖ KNV Trp: Tính tích phân xác định

+ Kỹ thuật T^p- Tính tích phân xác định bằng cơng thức Newton Leibniz
+ Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) dưới dấu tích phân.


17

+ Tính tích phân dựa vào
a

+ Cơng nghệ

Sử dụng cơng thức Newton - Leibniz

> TPXĐ được định nghĩa tường minh theo nghĩa nguyên hàm. TPXĐ là đối
tượng nghiên cứu, hiện diện với hỉnh thức toán học.
Nhà bác học Cauchy (1789 -1857) được xem là nhà toán học lớn nhất thế kỉ thứ

XIX, người đã đặt nền mống cho sự chặt chẽ của tốn học hiện đại. Ơng đã có

định nghĩa chính xác về các khái niệm hàm số, giới hạn, liên tục. Các khái niệm

này là cơ sở để ông định nghĩa chặt chẽ khái niệm TPXĐ theo quan điểm giới
hạn: Xét hàm số /, liên tục trên [xo,x], các phần tử xỉ,x29...,xn_ĩ,xn = x của

đoạn

[xo,x]chia

đoạn

này

thành

n

đoạn

con.

Cauchy

lập

tổng

s = (Xj - x0) f (x0) + (x2 - Xj)(Xj) + ... + (X - xn_j )(xn_1). Rồi chứng minh rằng nếu

f liên tục trên đoạn [xo,x], thì độ dài của đoạn con lớn nhất tiến đến không,

giới hạn của s tồn tại và phụ thuộc vào hàm số f và các cận x0, X . Giới hạn này
là cái mà người ta gọi là TPXĐ và Cauchy kí hiệu í /(x)dx.
Jx0

Nhà bác học Riemman xây dựng một lý thuyết tích phân tổng quát hơn của
Cauchy nhàm có thể triển khai một cách chính xác các hàm số có vơ hạn điểm

gián đoạn thành chuỗi Fourier: Giả sử f là hàm số thực, xác định trên đoạn [a;b]

và một dãy số thực 0ổ^x.-x,.-! và S = ố1/(ứ + ^1^1) + Ặ/(x1+^2ố2) + ... + ố77 /(x77_1+^ỉí5;ỉ), trong đó
0 < £ị < 1. Giả sử s có giới hạn là một số A cố định khi các 3ị tiến đến 0 với mọi
8t và £ị đã chọn thì giới hạn này được gọi là giá trị của TPXĐ.

(Trần Lương Công Khanh, 2002)
> TPXĐ được định nghĩa tường minh nhờ công cụ giới hạn (độc lập với đạo

hàm). Các kỹ thuật giải quyết bài toán tính diện tích là:

+ Kĩ thuật tgh : Kĩ thuật giới hạn

Kỹ thuật về các hình nội tiếp (tống dưới) và ngoại tiếp (tổng trên) của Archimède
ở thời cố đại được hồn thiện bởi một nhà tốn học Fermat (1601 -1665). Năm

1636, Ơng tính diện tích hình viên phân xác định bởi 0(với a G I +) như sau:


18

+ Đe giải bài toán cầu phương các parabol và hyperbol, Fermat đã khai thác

các tính chất cấp số nhân :
Vxg(0;1)
lim ỳ xn
k=ữ

ta

CÓ:

1 _ r'?+1

'L

ỵy = 1 + X +.. + xn = —----- (1).
à
1-x

Từ

đó

suy

ra

1
l-x'ỉ+1
(2) và với n G Ncho trước thì lim--—— = n +1 (3)

l-x
1 -X

+ Bằng ngơn ngừ ngày nay, tư tưởng về lời giải bài toán của Fermat được

trình bày như sau:
B1: Lấy trên trục x’Ox các điểm Ai có hồnh độ Xị = aq', Vợ G (0;l)

B2: Tính diện tích ĩj và r’i cùa các hình chữ nhật AiAi-iCị-iBi, AiAi-|Bi_iDi,
tăng số điềm chia ra vơ hạn rồi sử dụng công thức (2)
B3: Cho q tiến tới 1, áp dụng công thức (3) và suy ra diện tích cần tính là

........................ . t
K kam+'
-....................
cùa chúng có thê tính được” S(ư) = —---- — (thực chât là tìm giới hạn)
m+1

(Lê Thị Hồi Châu, 2004)

Wallis (1616-1703) dựa vào kỳ thuật bất khả phân của Cavarieri để tính diện tích
giới hạn bởi đường cong y = xk, k nguyên dương. Cách tiếp cận cùa Wallis liên

quan đến việc điều tra tổng giới hạn cùa các lũy thừa thứ k của các số nguyên
dương đàu tiên. Đầu tiên ông minh họa với trường hợp k = 2

02 + l2 _ 1
12+12 “ 2

1 1

~ “H ~
3 6

02+l2+22
22+22+22

5 _J_
8_3

1
12

02+l2 +22 +32 _ 7 _ 1
32 +32 +32 +32 " 18 “ 3

1
18

o2 +12 +22 +32+42 _3_ 1
42+42 +42+42 +42 " 8 " 3

1
24

o2 +12 +22 +32 +... + H2 1
=
Tương tự, Wallis cho rằng:
3
n + n+ n +...+H

vy

y

1
. Wallis rất có thể đã
6n

sử dụng mối quan hệ Pythagore cồ đại cho tổng bình phương số nguyên

(ýì
.
i2
.
o
2
I
Q2 I
I
+ 1)
A.
1A 1
1A
O+l+2+3+... + n =------ —---------. Ong xem tỉ lệ ở bên trái là 1:3 như là
6

giá trị giới hạn của nó


19

Ví dụ:

Tính diện tích giới hạn bởi

parabol y = X2 và 0 < X < a
Bl: Chia hình cần tính thành n hình chừ

nhật có chiều rộng —
n

B2: Tính tổng diện tích các hình chữ
nhật trên và dưới, lập tỉ lệ tổng các diện

tích của các hình chữ nhật trên với diện
tích của hình chữ nhật dưới như sau:
•
•

•

Q2 +12 + 22 +32 -I-... + 7?2

n2

+ 722 + 722 + ... + 722

o2 +12 +22 +32 +... + H2 = J_

SM)aB =

B3: Ông kết luận:
$OaBC

x->0°

ĩl

+ ĩl + 72

3

+ ... + 72

Theo kí hiệu hiện đại tương đương với biêu thức

0 xdx = 1

ữ3

3

^Jl+1

Suy ra công thức tông quát:

X --—-, k là sơ ngun dương. Băng trực giác
Jo
k+\

về tính liên tục, tính giới hạn. Ồng đà khắng định kết quả trên đúng với trường

họp k âm, k phân số.

(Me Graw Hill, 2011, tr. 385)
Pascal (1623- 1662) tính diện tích hình viên phân xác định bởi Q0
+ Dựng các hình chữ nhật có chiều rộng bằng d, tính diện tích của chúng.
+ Sử dụng cơng thức tìm Tn.p mà ông đã chứng minh được bàng phương
pháp quỵ nạp T

=——- + Q (n) đơ tính tống các diên tích này. Từ đó suy ra
p+l

diện tích s cần tính (có thể bỏ qua một số số hạng khi số hình chừ nhật tăng lên vơ

hạn tức là khi d tiến tới 0).
(Lê Thị Hoài Châu, 2004)
❖ Kiểu nhiệm vụ

Ttp: Tính tích phân

+ Kỹ thuật T^p: Tính tích phân xác định bằng đỉnh nghĩa

Bl: Phân hoạch đoạn [a;b] bởi các điếm chia x0=a, xỵ=a + Ax,...,
Xị = a + iÁx

— b , với Ax =