BẢN đề mô CÔNG THỨC GIẢI NHANH TOÁN 12

ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN!

Chương Khảo Sát Hàm Số
Đạo Hàm

 x    x




 x



 1

Hàm Hợp

 u    u


 

1



 u

2 x 



 1

1
2 u

.u 

.u 

Tính Chất Đạo Hàm
 
 

 u  v   u  v    

 

 u.v   uv  vu  

 

 u  u v  vu
  
  
v2
v

 

u
 1 
   2  
u
u

1
 1 
   2  
x
 x

u
 1 
   2  
u
u

 sin x   cos x  

 sin u   u cos u  

 cos x    sin x  

 cos u   u sin u  

1
cos2 x  
1

 cot x    2  
sin x

 tan u  

ad  bc
 ax  b 
 

 
2
cx

d

  cx  d 

a     b 2
a     c b     c
x 2


d     e
d     f e    f
 ax  bx  c 
 
 2
 
2
 dx  ex  f 

 dx 2  ex  f 
2

u
cos2 u  
u
 cot u    2  
sin u

 tan x  

 

Mở Rộng

 e   e
x

 e   u e

x

u

 

 a   a x ln a

Hệ số góc tiếp tuyến: k  f   x0 

 

u

 

1
x 

 loga x  

u

 a   uau ln a

x

 ln x  

Ý Nghĩa Đạo Hàm

 ln u  
1
 
x ln a

Vận tốc tức thời: v  t   s  t 

 

u
u 

 loga u  

Gia tốc tức thời:
Cường độ tức thời:

u
 
u ln a

a t   v t 
I t   Q t 

Đồ Thị Hàm Trùng Phương
Ba Cực Trị ab  0

y

 a  0

 b  0

x

O

c0

Một Cực Trị ab  0
y

y

y

c0

A  0; c 

A 0; c

x

x

a  0

b  0

c0

O

O

x

O

A  0; c 

a  0

b  0

a  0

b  0

A 0;c

c 0

Trường Hợp Đặc Biệt
1 Cực Đại – 2 Cực Tiểu

y
O

a  0

b  0

x

2 Cực Đại – 1 Cực Tiểu

1 Cực Tiểu

y
a 0

y

O

x

1 Cực Đại


b 0
a 0

b 0

O
x

a  0

b  0

 

 

  
1

Thầy Giáo: Hồ Thức Thuận - Đặng Quang Hiếu - Bứt Phá Để Thành Công!

y
A 0; c 

O

x a  0


b  0
a  0

b  0  


ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN!

Đồ Thị Hàm Bậc Ba
Hai Cực Trị
y   0  có 2 nghiệm phân biệt hay    0

y

Khơng có cực trị
y   0  có nghiệm kép hoặc vô nghiệm hay   0
y
y

y

O

x

x

O

x

O

x

O

Đồ Thị Hàm Phân Thức
Hàm số đồng biến

Hàm số nghịch biến

y   0  ad  bc  0  

y   0  ad  bc  0

y

y

y

a
c

y

a
c

I

I

x

O

x

O
d
x
c

d
x
c

d

a
; tiệm cận ngang là  y  . 
c
c
 d a
 Đồ thị hàm số có tâm đối xứng  I   ;   
 c c

 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là  x  

Công Thức Giải Nhanh
4

Hàm số y  ax  bx 2  c có ba điểm cực trị A, B, C  ab  0 
Tam giác ABC vuông cân tại A
Tam giác ABC đều
Tam giác ABC có diện tích S ABC  S0
Tam giác có trọng tâm O
Tam giác có trực tâm O
Tam giác có độ dài cạnh BC  m0
Tam giác ABC cùng điểm O tạo thành hình thoi
Tam giác ABC có cực trị B,  C  Ox
Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục Ox
Đồ thị cắt trục Ox tại 4 điểm tạo thành cấp số cộng

b 3  8a
b 3  24 a
y

2

32a 3  S0   b5  0
b 2  6 ac
b 3  8a  4 ac  0

A

a.m02  2b  0
b 2  4 ac

b 2  8ac
100
b2 
ac
9

B

  
2

x

O

b 2  2 ac

Thầy Giáo: Hồ Thức Thuận - Đặng Quang Hiếu - Bứt Phá Để Thành Công!

C

ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN!

Biến Đổi Đồ Thị Hàm Số
Đồ thị C  : y  f  x   a

Đồ thị C  : y  f  x  a 

Tịnh tiến lên phía trên  a  đơn vị nếu  a  0.  

Tịnh tiến sang phải  a  đơn vị nếu  a  0 . 

Tịnh tiến xuống dưới  a  đơn vị nếu  a  0.  

Tịnh tiến sang trái  a  đơn vị nếu  a  0.  

C  : y  f  x  1  

C  : y  f  x  2  
y

y

y

1

1

1

O

1

C  : y  f  x 1  

y

(C)

(C')
(C)

-2

x

1

-1

1

-1

O

-1

x

2

O

x

(C')

1

O

C  : y  f  x  1  

x

-1

-3

-2

 

-2

 

 

 
Đồ thị C  : y  f x 

Đồ thị C  : y   f  x  .

Lấy đối xứng đồ thị  C   qua trục  Oy.  

Lấy đối xứng đồ thị  C   qua trục  Ox.  
y

y

2
1

2

1

O

x

1
O

1

-2

x

Đồ thị C  : y  f  x 

Đồ thị C  : y  f  x  m

+ Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy  
+ Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của  C   
+ Lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy.  
 
 
 
 
Đồ thị C  : y  f  x .


Bước 1: Tịnh tiến  C  : y  f  x  theo vectơ  v  m;0  

y

(C')

Ta được đồ thị  C1  : y  f  x  m.  
1

+) Với  m  0,  tịnh tiến  C   sang trái m  đơn vị. 

O

1

x

+) Với  m  0,  tịnh tiến  C   sang phải  m  đơn vị. 
Bước 2:  Biến  đổi  từ  C1  : y  f  x  m   thành  đồ  thị 

(C)

C  : y  f  x  m  bằng cách: 

+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox  
(C')
+ Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C). 
+ Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ  qua Ox. 
 
 
 
(C)
 
Đồ thị C  : y  u  x .v  x .

+ Giữ phần đồ thị  C1   bên phải trục  Oy  

y

+ Bỏ phần đồ thị  C1   bên trái  Oy.   
1

+ Lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua  Oy.   

O

1

x

1

 
 
 
 
 

+ Giữ nguyên phần đồ thị trên miền  u  x  0  
+ Bỏ phần đồ thị trên miền  u  x  0 của  C  . 

(C')

y

 C  : y  f  x  1  

y

x

1

O

(C)

1

x

 
 
 
 
 
 

  
3

1

y

 C   : y  f  x  1  

+ Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. 
 
 
 

 
 

O

Thầy Giáo: Hồ Thức Thuận - Đặng Quang Hiếu - Bứt Phá Để Thành Công!

O

1

x


ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN!

Chương Mũ - Logarit
Lũy Thừa
a .a  a
m

n

mn

Logarit
  log a b  a   b      a,  b  0, a  1 . 

 

m

a
1
 a m n  n  a  n  
an
a

a m 

n

n

 a m.n  

a a
m

log a 1  0

m
n

 

n
a.b  a n . b n  
n
 a 

   a
 b 
bn
n

 

log a a  1.

 

  log a bc  log a b  log a c

 

b
  log a    log a b  log a c
 c 

 

   log a b   log a b

 

  log a c 

log a a b  b

 

 

log c b
log c a

 

  log a b 

 

  log c a.log a b  log c b

 

  log a b 

 

 a logb c  c logb a

 

1
log a c

 

a log a b  b

1
log b a

 

 

 

 

 

Đồ Thị Hàm Số Mũ
a 1

0  a 1

y

y

1

A
O

A

x

O

1

x

Nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang. 
Khi  a  1  hàm số luôn đồng biến.      

Khi  0  a  1  hàm số luôn nghịch biến.      

 Đồ thị luôn đi qua điểm  A0;1.   

Đồ Thị Hàm Số Logarit
a 1

0  a 1

y

y
A

O

x

1

1
O A

x

Nhận trục tung làm đường tiệm cận đứng.  
         Khi  0  a  1  hàm số nghịch biến.                 Đồ thị ln đi qua điểm  A1;0.  

Khi  a  1  hàm số đồng biến. 

Bài Tốn Lãi Suất Ngân Hàng
Cơng Thức Giải Nhanh
Bài Tốn Lãi Kép: Sn  A 1  r   
n

Bài Toán Tiền Gửi Hàng Tháng: S n 

A1  r  .r

A: Số Tiền Gửi ; r: Lãi kép; S n là số tiền nhận được
A
n
1  r  1 1  r 
r 

A: Số Tiền Gửi Hàng Tháng ; r: Lãi kép; S n là số tiền nhận được

n

Bài Toán Trả Góp: X 

1  r  1
n

A: Số Tiền Vay; r: Lãi kép; X: Số Tiền Trả Hàng Tháng.

  
4

Thầy Giáo: Hồ Thức Thuận - Đặng Quang Hiếu - Bứt Phá Để Thành Công!


ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN!

Chương Ngun Hàm – Tích Phân
Ngun Hàm

Hàm Hợp

 dx  x  C  








 du  u  C

 1

a

S   f  x  dx  



1

u


2

 e du  e



 a dx  ln a  C  


1

 cos ax  b dx  a sin ax  b  C  

C





b x

 

b

S   f  x  dx

S   f  x dx

a

a

Diện Tích Giới Hạn Hai Đường Cong Khép Kín
b

S   f  x  g  x dx  

a u du 

a

y  f  x

y

 cos udu  sin u  C  

 sin udu   cos u  C  

1
 sin ax  b dx   a cos ax  b  C
1
 cos 2 x dx  tan x  C  
1
 sin 2 x dx   cot x  C  

a
b

 

au
C
ln a
1
1
du  
C
 
u
 1u 1

b x

a

y  f x

O

1
du  ln u  C
 
u
u

y

y  f  x

O

1
du    C
 
u

u

x

a

y

 1

a

1
dx  ln x  C
 
x
1
e ax b dx  e ax b  C
 
a
x

b

u  1
u
du

C

 
 1
 1
1 ax  b

ax

b
du


.
C



x
x dx 
C  
 1
1
1
dx    C
 
x2
x
1
1
dx  
C  
x
 1 x 1


Ứng Dụng Tích Phân
Diện Tích Giới Hạn Đường Cong Với Trục Hồnh

1
du  tan u  C
 
cos 2 u

1
du   cot u  C  
sin 2 u

y  g x

y

y  f  x

y  g  x

O

a

b

x

a

O

b

x

b
b

S    f  x  g  x dx

S    g  x  f  x dx

a

a

Thể Tích Vật Thể
b

V   S ( x)dx
a

Lý thuyết nguyên hàm:



f  x  dx  F  x  F   x   f  x 

Cơng thức tính tích phân:
b


a

b

b

f  x  dx  F  x   F b  F a 
a


a

O

a

b

b

x

x

f   x dx  f  x  f b  f a 
 
a

S  x

Thể Tích Khối Trịn Xoay 
y

Ngun hàm, tích phân từng phần:

 udv  uv   vdu  

O

b b
udv

uv
 vdu  
a
a a

y

y  f  x

a

b

x

y  f  x

y  g  x

a

O

b

x

b

b

V     f  x  dx
2

b

V    f 2 ( x)  g 2 ( x) dx

a

a

Phương Pháp Đổi Biến Số

Mẹo Đặt Phương Pháp Từng Phần

Mẹo Đổi Biến


Dạng 1: u  x   t  u  x 
Dạng 2:

m

u  x  t  u  x  

1
Dạng 3:  f ln x .  t  ln x
x

Dạng 4:  e

u  x

 t  u  x

Dạng 5:  f e   t  e  
x

x

Dạng 6:  f sin x .cos x  t  sin x

Dạng 1:

 P  x.e

Dạng 7:  f cos x .sin x  t  cos x  
Dạng 8:  f  tan x .

1
 t  tan x
cos 2 x

Dạng 9:  f cot x .

1
 t  cot  
sin 2 x

Dạng 10:  f u  x  t  u  x   

f  x


u  P  x 
dx  

f  x dx


dv  e



u  P  x

sin f  x 



sin f  x 
P  x . 

dx  

dv  

 cos f  x


 cos f  x 



Dạng 2:



Dạng 3:

 P  x. f   x dx  dv  f   x dx

u  P  x



Dạng 4:

u  ln f  x 


 P  x.ln f  x dx  dv  P  x dx


  
5

Thầy Giáo: Hồ Thức Thuận - Đặng Quang Hiếu - Bứt Phá Để Thành Công!


ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN!

Chương Số Phức
 Khái niệm số phức
+ Số phức (dạng đại số):  z  a  bi;   a, b    .  
Trong đó:  a  là phần thực,  b  là phần ảo,  i  là đơn vị ảo,  i 2  1.  
+ Tập hợp số phức kí hiệu:   . 
+  z  là số thực  z  a  Phần ảo của  z  bằng  0 b  0 . 
+  z  là số ảo (hay còn gọi là thuần ảo)  z  bi  Phần thực bằng  0 a  0 . 
 Phép cộng và phép trừ số phức
Hai số phức  z1  a  bi   a,  b     và  z2  c  di   c,  d     . Khi đó:  z1  z2  a  c   b  d  i  
 Phép nhân số phức
+ Cho hai số phức   z1  a  bi   a,  b     và  z2  c  di   c,  d    .  
Khi đó:  z1 z2  a  bi c  di    ac – bd   ad  bc  i . 
+ Với mọi số thực  k  và mọi số phức z  a  bi   a,  b    .  Ta có:  k .z  k .a  bi   ka  kbi.  
 Số phức liên hợp
+ Số phức liên hợp của  z  a  bi   a,  b     là  z  a  bi .  +  z  là số thực  z  z ;  z  là số ảo   z  z . 
 Chia hai số phức
Số phức nghịch đảo của  z  khác  0  là số z1 

1
z
z  z .z



. Phép chia hai số phức  z   và  z  0  là 
. 
z z.z
z
z. z

 Biểu diễn hình học số phức
Số phức  z  a  bi   a,  b     được biểu diễn bởi điểm  M a; b   

hay bởi  u  a; b  trong mặt phẳng phức với hệ tọa độ  Oxy . 
 Môđun của số phức

Độ dài của vectơ  OM   được gọi là môđun của số phức z  và kí hiệu là  z .  

Vậy  z  a  bi  OM  a 2  b 2  zz  và  z  z  

y
b

M  a; b 

O

a

y
b

M  a; b 

x

 Hai số phức bằng nhau.
a x
O
Hai số phức  z1  a  bi   a,  b     và  z2  c  di   c,  d     bằng nhau khi phần thực và phần ảo của chúng tương đương bằng nhau. 
a  c

Khi đó ta viết  z1  z2  a  bi  c  di  
. 


b  d

a  0
Lưu ý: Với  z1  0  
. 


b  0
 Giải phương trình số phức.
Cho phương trình bậc hai  az 2  bz  c  0, a, b, c  , a  0 .  


b


z1  z2  



a  ; Lưu ý:  z 2  z 2  z  z 2  2 z z  
Định lý Viet:  
 1 2
1
2
1 2

c

z1 z2 


a



Xét hệ số:    b2  4ac  của phương trình.  
+ Khi    0  phương trình có một nghiệm thực  z  

b
. 
2a

+ Khi    0  phương trình có hai nghiệm thực phân biệt z1,2 
+ Khi    0  phương trình có hai nghiệm phức  z1,2 

 
b  

. 
2a

b  i 
. 
2a

  
6

Thầy Giáo: Hồ Thức Thuận - Đặng Quang Hiếu - Bứt Phá Để Thành Công!


ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN!

Chương Hình Khơng Gian Cổ Điển
ABC vng tại A, AH  BC
BC 2  AB 2  AC 2
1
AM  BC
2

1
1
1


AH 2 AB 2 AC 2

A

A

AG 

H M
1
1
 AB. AC  AH .BC
2
2

    AC
sin    

         
BC

2
AM
3

A

C

S ABCD  AH .BC

B

 

x 3
AH 
2

    

2
x 3
AH 
3
3

 

B

H

    SABC

SABC
C

M

AB. AC.BC

 prnoi  tiep 

4 Rngoai  tiep

 

p  p  a  p  b  p  c 

a
b
c
        
Rngoai  tiep 


 2sin C

2sin 
A 2sin B
 
 
Hình vng
Hình chữ nhật

ABC vng cân tại A

C

D

abc
2

p

Hình thang
A

C

D

D

  
C

 
 AB.BC.sin B

A

 

1
AC.BD
2
 AB2 .sin A  

C

S ABC 

S ABCD 

 

 

B

D

I

 

x2 3

4

R  AG 

A

D

H

S ABC

Hình thoi

B

B

 

C

H

AC
AB
tan  
cot  
AB
AC

Hình bình hành

G

G

AB 2  BH .BC

AB
cos  
BC

AB 2  AC 2 BC 2

2
4
1
1
 AH .BC  AB. AC.sin A
2
2

AM 2 

B

C

B

       
 

BC 2  AB 2  AC 2  2 AB. AC.cos 
A

A

AH 2  BH .CH

G

S   
ABC

Tam giác thường

ABC đều cạnh x

1
AB. AC
2

A

 

A

B

B

 

S ABCD  AB.BC

S ABCD  AB 2  

 

2

C

H

 AB  DC  AH  
S ABCD 

 

2

2

AC  AB  BC  

AC  BD  AB 2  

BC  AB 2  

2

 

 
Xác định chiều cao

Đường tròn
 
 

 
 
 

Chiều Cao Vng Góc Đáy
S

Mặt Bên Vng Góc Đáy
S

SA   ABC 

S

 SAB    ABCD 

 SH  AB

Chu  vi  2 R

S R

D

A

C

A

A

C'

A'

 SAC    ABCD 

 SBD    ABCD 

 SAC    SBD   SO

R

O

Lăng trụ đứng

Hai Mặt Phẳng Vng Góc Đáy

B'

D

A

C

H

2

O
B

 

B

 

C

B

C

 

 

B

Kiến Thức Về Góc
Các cạnh bên tạo góc bằng nhau

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng!



Góc Cạnh Bên Với Mặt Đáy


 
SD
; ABCD  SD
; HD  SDH

 

Góc Cạnh Bên Với Mặt Đứng


 
CS
; SBH   CS
; ES  CSE





 

Chiều cao: SO   ABC  với O là

Góc Chiều Cao Với Mặt Bên


 

HS
; SCD  HS
; IS  HSI





 



tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
S

S

S

S

α

A

A

D

A

B

C

 

A

H

E

H

D

K

D

H

B

B

C

O

C



  

P;Q  a
;b




Góc Mặt Bên Với Mặt Đáy

 





SCD; ABCD  SI
; HI  SIH


B
 
Các mặt bên tạo góc bằng nhau

Góc Mặt Bên Với mặt Đứng



 





SCD;SDH   CK
; IK  CKI


Chiều cao: SH   ABC  với H là
tâm đường trịn nội tiếp đáy.
S

S

S

P

M

 

 

Góc giữa mặt phẳng với mặt phẳng!

Góc Giữa Hai Mặt Phẳng

C

I

Q

K
a

b

A

A

D

D

I
H

H

F

A
I

C
H

K

I
B

B

C

C

  
7

Thầy Giáo: Hồ Thức Thuận - Đặng Quang Hiếu - Bứt Phá Để Thành Công!

B

 


ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN!

Hình Chóp Đều Hoặc Các Cạnh Bên Bằng Nhau
Hình chóp đều S . ABC , tứ diện đều

Hình chóp tứ giác đều S . ABC

Các cạnh bên bằng nhau

Đáy là tam giác đều.
Chiều cao đi qua trọng tâm tam giác.

Đáy là hình vng.
Chiều cao đi qua tâm O

Chiều cao đi qua tâm đáy.
S

S

S

h

h

B
A

A

D

C

A

H

O

H
B

 

C

C

B

Tâm đường tròn ngoại tiếp thường gặp.
Tam giác đều

Tam giác vng

Hình vng

Hình chữ nhật

Trọng Tâm

Trung điểm cạnh huyền

Tâm O

Tâm O

A

B

B

C

B

C

O

I

O

O

C

B

C

A

R

x 3
R  AO 
3

BC
2

D

A

R

D

A

AC x 2

2
2

R

AC BD


2
2

Xác Định Chiều Cao
Chiều cao là chiều cao của mặt bên

Chiều cao là giao tuyến hai mặt phẳng

S

S

h
A

D

A

H

D
B

C

O

 

B

C

  
8

Thầy Giáo: Hồ Thức Thuận - Đặng Quang Hiếu - Bứt Phá Để Thành Công!


ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN!

Khoảng Cách
Cơng Thức Chuyển Khoảng Cách Về Chân Đường Cao
Đường Thẳng Song Song Mặt Phẳng
AB //  P 
 d  A,  P   d  B,  P 
A

Đường Thẳng Cắt Mặt Phẳng
AB   P   I  d  A,  P  AI
 
     

d  B ,  P  BI

B

A

B
A
K
I

H

P
H

K

I

P

H

K

P

B

ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN!

Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Mặt Phẳng
Từ Một Điểm Đến Mặt Đứng

Từ Chân Đường Cao Đến Mặt Bên

S

S

K
A

A

D

D
H

H

K

I

B

B

C

C

Bước 1: Kẻ  CK  HD   

Bước 1: Kẻ  HI  CD,    I  AB ; Kẻ   HK  SI ,  K  SI   

Bước 2: d C ,  SHD   CK

Bước 2: d  H ,  SCD   HK 

SH .HI
SH 2  HI 2

 

ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN!

Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Chéo Nhau
Đường Vng Góc Chung

Phương Pháp Kẻ Song Song

a

M

a

B
A

b
H

P

b

P

Bước 1: Dựng mặt phẳng   P   chứa  b  và vng góc với  a tại A.

Bước 1: Dựng mặt phẳng   P   chứa  b  và song song với  a . 

Bước 2: Trong   P   dựng  AB  b tại  B .

Bước 2: d  a, b    d a,  P   d  M ;  P     M  a   

Bước 3: Đoạn AB  là đoạn vng góc chung. d a, b  AB

Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P  .

  
9

Thầy Giáo: Hồ Thức Thuận - Đặng Quang Hiếu - Bứt Phá Để Thành Công!


ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN!

Khối Đa Diện – Thể Tích Khối Đa Diện
Khối Chóp

Khối Lăng Trụ

Khối Hộp Chữ Nhật

A'

S

C'

A'

B

C
S

C'

A

C

D

a

D

a

c

H

H

C'
A

b

A

D'

a

B'

a

B'

h

A'

D'

B'

h

Khối Lập Phương

S

C

B

C

B
B

A

1
V  .h.S
3

V  h.S

V  a.b.c

V  a3

AC  a 3

 

Cơng Thức Giải Nhanh Thể Tích
Hình Chóp Tam Giác Đều S . ABC
S

S

S

b

b

b

a

a

α

C

A

C

A

a

C

A

α

H

a

H

a

I
a

I
a

B

B

VS . ABC 

a 2 3b 2  a 2
 
12

Đặc biệt  b  a  VS . ABC 

I
a

B

VS . ABC 

a3 2
12

H

a

a 3 tan 
24

VS . ABC 

a 3 tan 
12

Hình Chóp Tứ Giác Đều S. ABCD
S

S

S

b
b
b

b

a

A

D

a

D

a

a

VS . ABCD 

B

C

a 2 4b 2  2a 2
 

6

Đặc biệt  b  a  VS . ABCD 

a3 2
6

a

VS . ABCD 

C

a 3 tan 
6

C

a

VS . ABCD 

a 3 2 tan 
6

  
10

a

O

a

O

B

B

D

a

α

a

O

a

A α

a

A

Thầy Giáo: Hồ Thức Thuận - Đặng Quang Hiếu - Bứt Phá Để Thành Công!

ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN!

Cơng Thức Tỉ Số Thể Tích
C'

A'

S

S
A'

D'

B'

M

B'

A'

C'

D'

Q

M

C'

A'

P

B'
C

A

P

N

N

A

C'

A

D

D

A

B'

C
B

C

B

C

B

B

VA ' B 'C ' D '.MNPQ

VS . ABC  SA SB  SC 

.
.
VS . ABC
SA SB SC

VA ' B ' C '.MNP 1  A ' M B ' N C ' P 
 



VA ' B 'C '. ABC

3  AA '
BB ' CC ' 

VA ' B 'C ' D '. ABCD

1  A M C P 

 

2  AA C C 

1  B N D Q 

                      

2  BB  D D 

VS . ABC D a  b  c  d

VS . ABCD
4abcd

Với
SA
SB
SC
SD
a
;b 
;c 

;d 
SA
SB
SC 
SD
ac bd

ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN! 

Khối Đa Diện Đều
Loại

Khối đa diện đều

3;3  

Tứ diện đều 

Hình

Đỉnh

Cạnh

Mặt

4 

6 

4 

8 

 
12 

6 

6 

12 

8 

20 

30 

12 

12 

30 

20 

 
4;3  

Khối lập phương 
 

3;4  

Bát diện đều 
 

5;3  

Mười hai mặt đều 
 

3;5  

Hai mươi mặt đều 
 

 
  
11

Thầy Giáo: Hồ Thức Thuận - Đặng Quang Hiếu - Bứt Phá Để Thành Công!


ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN!

Chương Khối Trịn Xoay


Đường sinh:    R  h



Diện tích đáy (hình trịn):  Sđáy   R 2 .



Diện tích xung quanh:  Sxq   R .     



Diện tích tồn phần:  Stp  S xq  S đáy   R   R 2 .    



1
Thể tích của khối nón:  V   R 2 h .  
3

2

2

2

Nón Cụt

S

r

O'

α

 

h

l

1
Thể tích khối nón cụt:  V   h R 2  r 2  Rr .  
3



A

B

R

O

R

O'
M

h

h

Diện tích xung quanh: S xq  2 Rh

Diện tích mặt cầu: 

Diện tích đáy: Sđáy   R 2

S  4 R 2  
Thể tích khối cầu:
4
V   R3  
3

A

Diện tích tồn phần: Stp  2 Rh  2 R 2

R

B

O

M

Thể tích khối trụ:  V   R2 h      

R
A



Diện tích xung quanh:  Sxq     R  r  .

M

A'

R

O

h

O
M'

ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN!

Hình nón, hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp.
Hình nón ngoại tiếp

Hình trụ ngoại tiếp

S

Hình nón nội tiếp

O'

A'

Hình trụ nội tiếp
D

S

D'
C'

C

O

A

B

B'

D
D'

D
A

I

A

D

C

I

C

M

B

 

A

C

O

C'

O'

A'

 

B

 

B'

B

 
AC
R
; h  AA; l  AA  
2

AC
R
; h  SI ; l  SA  
2

R  IM 

AD
; h  SI ; l  SM  
2

R

AD

; h  AA; l  AA  
2

ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN!
 

Thiết diện cắt bởi mặt phẳng
Thiết Diện Qua Trục

Thiết Diện Qua Đỉnh

O

S

Thiết Diện Qua Trục

Thiết Diện Song Song Trục
C

O'

B

O'
C

B

h

l

h

h

K

B

D

O

r

B

C

I

I

A

AB
R
; h  OI ; l  OA  

2

A

O
A

R

h  AB; R  OA 

AD
 
2

d  O;  P    OI  

  
12

I
A

d  O;  P    OK
  
SAB  ;  OAB   SIO


O

D

Thầy Giáo: Hồ Thức Thuận - Đặng Quang Hiếu - Bứt Phá Để Thành Công!


ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN!

Cơng Thức Giải Nhanh Mặt Cầu Ngoại Tiếp Khối Chóp
Chung đường kính.

Cạnh bên vng góc đáy.
D'
K

A'

C'
B'

O

D
A

C

I
B

R  OA 

R

AC
2

a 2   2 Rd 

2

2
a : Chiều Cao; Rd : Bán Kính Đáy

Chiều cao đi qua tâm đáy.

Mặt bên vng góc đáy.

S

S

d

K

O

G

O

A
H

D
B

A

D

I

C

I

C

B

AB 2
4
R1 : Bán Kính Đáy; R2 : Bán Kính Mặt Bên
AB : Giao tuyến

SA2
R
.
2SI

SA : Cạnh Bên ; SI : Chiều Cao

R  R12  R22 

Tâm đường tròn ngoại tiếp thường gặp.
Tam giác đều

Tam giác vng

Hình vng

Hình chữ nhật

Trọng Tâm

Trung điểm cạnh huyền

Tâm O

Tâm O

A

B

B

C

B

C

O

I

O

O

C

B

x 3
R  AO 
3

C

A

R

BC
2

D

A

R

AC x 2

2
2

D

A

R

  
13

Thầy Giáo: Hồ Thức Thuận - Đặng Quang Hiếu - Bứt Phá Để Thành Công!

AC BD

2
2


ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN!

Vị Trí Tương Đối Giữa Mặt Cầu Và Mặt Phẳng
d  R 

d  R 

O

A

O

A

d  R 

B

R

d

R

d

d

R

B

O

r

H

α

A

α

H

H

α

Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu. 

Mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết 
diện là đường trịn
R2  r2  d 2  

Mặt cầu và mặt phẳng khơng có
điểm chung. 

 

Vị Trí Tương Đối Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng
 

  IH  R  

 

IH  R  

 

 

IH  R  

 

O
O

A

O

B

R

R

d

R d

A
H

M
d

B

I

H

  cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt. 
2

 AB 
R  d 
  
 2 

  tiếp xúc với mặt cầu. 

2

  không cắt mặt cầu. 

2

Mỗi Liên Hệ Giữa Các Khối
Khối Trụ Nội Tiếp Khối Cầu

Khối Nón Nội Tiếp Khối Cầu

Khối Nón Tiếp Khối Trụ

S

O'

K
P

R

h
O

R

R

d
Q

A

r

h
O
d

l

h

I

A

r

H

B
A

O

r

2

d

h
h
R2     r 2

2
2

d  h  R R2  d 2  r2

hn  ht l 2  h 2  r 2

ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN!
  
14

Thầy Giáo: Hồ Thức Thuận - Đặng Quang Hiếu - Bứt Phá Để Thành Công!

B


ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN!

Chương Hình Học Tọa Độ Oxyz
 Tọa độ và tính chất của vectơ





Vectơ u   x; y; z   u  xi  y j  zk .   


Tính chất: Cho  u   x1 ; y1 ; z1  ,  v   x2 ; y2 ; z2 .  
 

 

 
 ku  kx1 ; k  y1 ; kz1 .    u  v   x1  x2 ; y1  y2 ; z1  z2 .        


z


i  1;0;0
   

 
  
 j  0;1;0
 
k  0; 0;1



x1  kx2




x
y
 z





u  cùng phương với  v  k   : u  kv   y1  ky2  1  1  1

x
y
z2
2
2



 z1  kz2

xi

y

i

x

Tích có hướng của 2 vectơ:
  y z z x x y 
u , v    1 1 , 1 1 , 1 1 
 y2 z2 z2 x2 x2 y2 
 

Ba điểm A, B, C thẳng hàng   AB, AC   0.  



  
  
u , v , w  đồng phẳng    u , v .w  0.  

B

1    
AB, AC  .

2 
1   
  AB, AC  . AD .

6

Diện tích tam giác ABC: SABC 

A

G

B

yj
j

 x1  x2  





 y1  y2  .




 z1  z2
  
 
 Tích vơ hướng của 2 vectơ là:  u .v  u . v cos u , v .  
 


u .v  x1 .x2  y1 . y2  z1 .z2 .  Suy ra  u  v  u .v  0  x1 .x2  y1 . y2  z1 .z2  0.


 Độ dài vectơ: u  x 2  y 2  z 2 ; AB  AB  x 2  y 2  z 2       
M

M
u
k
O

 
 Hai vectơ bằng nhau  u  v 

 x  xB y A  y B z A  z B 
Nếu M là trung điểm của AB thì:  M  A

;
;
  A
 2
2
2 
 Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC: 
 x  xB  xC y A  yB  yC z A  z B  zC 
G  A
;
;
.


3
3
3

zk

Thể tích tứ diện: VABCD
C

Phương Trình Mặt Phẳng
 Lập phương trình mặt phẳng.

Mặt phẳng  P  đi qua điểm M 0  x0 ;  y0 ;  z0  và nhận vectơ n   A; B; C  làm vectơ pháp tuyến có dạng:


n   A; B; C

A  x – x0   B  y – y0   C  z – z0   0   

 
Phương trình tổng quát của mặt phẳng   P  là: Ax  By  Cz  D  0 .  
x y z
Phương trình mặt phẳng đoạn chắn:     1
a b c
 Phương trình mặt phẳng đặc biệt:
Mặt phẳng
Mặt phẳng  Oxy   

P

M  x0 ; y0 ; z0 

Phương trình
z  0 

Điểm Đặc Biệt
M  Oxy   M  xM ; yM ;0  

Mặt phẳng  Oxz   

y  0 

M  Oyz   M 0; yM ; zM 

Mặt phẳng  Oyz   

x0 

M  Oxz   M  xM ;0; zM 

Phương Trình Đường Thẳng
 Phương trình đường thẳng

Cho đường thẳng  đi qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  và có một vectơ chỉ phương là u  a; b; c .



x  x0  at



Phương trình tham số của đường thẳng  là: 
 y  y0  bt t là tham số




 z  z0  ct

x  x0
y  y0
z  z0


 Phương trình chính tắc của đường thẳng  là:
a

b
c
 Phương trình đường thẳng đặc biệt:
Trục Oy
Trục Ox
x  t


x0







Phương trình:   y  0  
Phương trình: 
y  t  







z  0

z  0


ud
M

Trục Oz
x  0



Phương trình:  
y  0  




z  t

  
15

Thầy Giáo: Hồ Thức Thuận - Đặng Quang Hiếu - Bứt Phá Để Thành Công!

 
 


ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN!

Phương Trình Mặt Cầu
 Phương trình mặt cầu

Cho mặt cầu   S   có tâm  I a; b; c  và bán kính  R .  
Khi đó  S  có phương trình chính tắc là:   x  a    y  b   z  c  R 2  

 

2

2

2

Phương tình tổng quát của mặt cầu là:  x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0  
A

R

Khi đó, mặt cầu   S   có tâm  I a; b; c  và bán kính R  a  b  c  d
2

Diện tích mặt cầu: S  4 R 2 . 



2

2

B

O

M

4
+    Thể tích khối cầu: V   R 3 . 
3

 

Cơng Thức Góc
Góc gữa hai vectơ

Góc gữa hai mặt phẳng


b


a.b
cos     
a b


n Q 


n P 


a

P

 
n P  .n Q 
cos     
n P  n Q 

x1 x2  y1 y 2  z1 z2
2
1

2
1

Q

2
1

x y z

2
2

2
2

x y z

2
2

Góc giữa hai đường thẳng

A. A  B.B  C.C 
A2  B 2  C 2 A2  B2  C 2

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
d

d2


u2
d1


n P 


u1

I
P

 
u1.u2
cos     
u1 u2


u.n
sin     
u n

x1.x2  y1. y2  z1.z2
x12  y12  z12 x22  y22  z22

x. A  y.B  z.C
x 2  y 2  z 2 A2  B 2  C 2

Công Thức Khoảng Cách
Khoảng Cách Từ 1 Điểm Đến Mặt Phẳng

Khoảng Cách Từ 1 Điểm Đến Đường Thẳng

A

Khoảng Cách Hai Đường Thẳng Chéo Nhau

M

M1
d1

d

d
d

H

H
P

d  A;  P   

Ax0  By0  Cz0  D
A2  B 2  C 2


 MA, ud 


d M;d  

ud

M2

d2

  

u1 , u2 .M1M 2
d  d1 ; d 2  
 
u1 , u2 

ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN!

  
16

Thầy Giáo: Hồ Thức Thuận - Đặng Quang Hiếu - Bứt Phá Để Thành Công!


ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN!

Cơng Thức Lượng Giác Cần Nhớ
1. Cơng thức lượng giác cơ b n nên nhớ
sin 2   cos 2   1

sin 3   cos3   (sin   cos  )(1  sin  cos  )

1

,    k , k 
2
cos 
2
1
1  cot 2  
,   k , k 
sin 2 

sin 3   cos3   (sin   cos  )(1  sin  cos  )

1  tan 2  

tan  .cot   1,   k



2

,k 

sin 4   cos 4   1  2sin 2  cos 2 
sin 4   cos 4   sin 2   cos 2    cos 2
sin 6   cos6   1  3sin 2  cos 2 
sin 6   cos6    cos 2 (1  sin 2  cos 2  )

2. Giá tr lượng giác c a cung có liên quan đ c bi t
Cung bù nhau:  và   
Cung đối nhau:  và 

Cung hơn kém  :  và   

cos( )  cos 

sin(   )  sin 

sin(   )   sin 

sin( )   sin 

cos(   )   cos 

cos(   )   cos 

tan( )   tan 

tan(   )   tan 

tan(   )  tan 

cot( )   cot 

cot(   )   cot 

cot(   )  cot 

Cung phụ nhau:  và


2



Cung hơn kém



sin     cos 
2




:  và  

2
2



cos     sin 
2



tan     cot 
2




sin      cos 
2



cos       sin 
2



tan       cot 
2




cot     tan 
2




cot       tan 
2


Đường trịn lượng giác

3. Cơng thức lượng giác
Công thức cộng
cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b

sin 2  2sin  cos 

cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b
sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b

cos 2  cos 2   sin 2   2 cos 2   1  1  2sin 2 
2 tan 
tan 2 
1  tan 2 
Cần
nhớcông
công thức

thức
sin 3  3sin   4sin 3 
Cần
nhớ
cộng
cho
chắc
chắn.
cộng cho chắc chắn.
cos 3  4 cos3   3cos 
công thức cộng ta
TừT công
thức cộng ta
3
có
th
suy ra cơng thức
Bí quyết có thể suy
3 tan   tan 
cịnra
lại.những
tan 3 
cơng thức cịn lại.
1  3 tan 2 

sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b
tan a  tan b
1  tan a tan b
tan a  tan b
tan(a  b) 

1  tan a tan b
tan(a  b) 

17

Công thức nhân đôi, nhân ba

Thầy Giáo: Hồ Thức Thuận - Đặng Quang Hiếu - Bứt Phá Để Thành Công!


ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN!

Cơng thức biến tích thành tổng

Cơng thức hạ bậc
1  cos 2
3cos   cos 3
; cos3  
2
4
1  cos 2
3sin   sin 3
sin 2  
; sin 3  
2
4
1  cos 2
tan 2  
1  cos 2
cos 2  

1
cos(a  b)  cos(a  b)
2
1
sin a sin b   cos(a  b)  cos(a  b) 
2
1
sin a cos b  sin(a  b)  sin(a  b) 
2
cos a cos b 

Cơng thức biến đổi tổng thành tích
cos   cos   2 cos

 

cos

 

T a độ đi m M (cos  ; sin  ) trên đường tròn lượng giác

2
2
 
 
cos   cos   2sin
sin
2

2
 
 
sin   sin   2sin
cos
2
2
 
 
sin   sin   2 cos
sin
2
2



sin   cos   2 sin(  )
4



 2 cos(  )
4



sin   cos   2 sin(  )
4



  2 cos(  )
4

D u c a giá tr lượng giác
“Nh t c , nh sin, tam tan, tứ cos”

sin
Góc
HSLG
sin
cos
tan
cot

18

(I)

(II)

(III)

(IV)

+
+
+
+

+
–
–
–

–
–
+
+

–
+
–
–

(II)

(I)

(III) (IV)

Thầy Giáo: Hồ Thức Thuận - Đặng Quang Hiếu - Bứt Phá Để Thành Công!

cos


ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN!

Cấp Số Nhân – Cấp Số Cộng
 Cấp số cộng:

 u1  a

Dãy số  un   được xác định bởi  
,  n   *   gọi là cấp số cộng;  d  gọi là công sai. 


un 1  un  d



Số hạng thứ n được cho bởi công thức:  un  u1  (n 1)d . 



Ba số hạng  uk , uk 1 , uk 2  là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng   uk 1 

1
uk  uk 2  . 
2

n
n
 Tổng n số hạng đầu tiên S n được xác định bởi công thức: Sn  u1  u2  ...  un  u1  un    2u1  n 1 d  .
2
2
 Cấp số nhân:
 u1  a
Dãy số  un   được xác định bởi  
,  n  *   gọi là cấp số nhân;  q  gọi là công bội. 
un 1  un .q



Số hạng thứ n được cho bởi công thức:  un  u1q n1 . 



Ba số hạng  uk , uk 1 , uk 2  là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng   uk21  uk .uk  2 . 

 Tổng  n  số hạng đầu tiên  S n  được xác định bởi công thức : Sn  u1  u2  ...  un  u1

q n 1
.
q 1

Tổ Hợp - Nhị Thức Newton





 Hoán vị: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt  n  1, n   * . 
Mỗi cách sắp xếp n phần tử của X theo một thứ tự nào đó được gọi là một hốn vị của n phần tử.  
Số các hốn vị của n phần tử được ký hiệu là  Pn : Pn  n !  
 Tổ hợp: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt và số nguyên k với  1  k  n . Mỗi cách chọn ra k  phần tử 
của X được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. 
Ank
n!

Số các tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là  C :  C 

 
k ! n  k ! k !
k
n

k
n

Quy ước: Cn0  1 ;  An0  1  
Tính chất cơ bản:  C nk  C nn k   

 

C nk  C nk 1  C nk 11  

 Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1  k  n) theo một thứ tự 
nào đó được gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:  Ank 

n!
 
(n  k )!

 Nhị thức Newton: Với mọi nN và với mọi cặp số a,b ta có:   (a  b)n 

n

 Cnk ank bk

 

k 0

Tính chất:
- Số các số hạng của khai triển bằng: n + 1 
- Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n 
- Số hạng tổng qt (thứ k + 1) có dạng: Tk+1 =  Cnk a n  k b k     k  0;1;2;...; n   
Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau:  Cnk  Cnn  k
  
19

Thầy Giáo: Hồ Thức Thuận - Đặng Quang Hiếu - Bứt Phá Để Thành Công!