olympic toán các nước tập 1(1997-1998)- đề thi và lời giải-nguyễn hữu điển

Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n
OLYMPIC TO
´
AN C
´
AC NU
,
´
O
,
C
1998 – 1999
57 Ð
`
Ê THI V
`
A L
`
O
,
I GI
,
AI

(T
.
âp 1)
NH
`
A XU
´
ÂT B
,
AN GI
´
AO D
.
UC
2
L
`
o
,
i n
´
oi
¯
dâ
`
u
Ðê
,
th
,

u
,
g
´
oi l
.
ênh phông ch
˜
u
,
tôi biên so
.
an m
.
ôt sô
´
¯
dê
`
to
´
an thi Olympic, m
`
a c
´
ac h
.
oc
tr
`

o c
,
ua tôi
¯
d
˜
a l
`
am b
`
ai t
.
âp khi h
.
oc t
.
âp L
A
T
E
X. Ðê
,
ph
.
u v
.
u c
´
ac b
.

an ham h
.
oc to
´
an tôi
thu th
.
âp v
`
a gom l
.
ai th
`
anh c
´
ac s
´
ach
¯
di
.
ên t
,
u
,
, c
´
ac b
.
an c

´
o thê
,
tham kh
,
ao. M
˜
ôi t
.
âp tôi s
˜
e
gom kho
,
ang 50 b
`
ai v
´
o
,
i l
`
o
,
i gi
,
ai.
Râ
´
t nhiê

`
u b
`
ai to
´
an d
.
ich không
¯
du
,
.
o
,
c chuâ
,
n, nhiê
`
u
¯
diê
,
m không ho
`
an to
`
an ch
´
ınh
x

´
ac v
.
ây mong b
.
an
¯
d
.
oc t
.
u
,
ng
˜
âm ngh
˜
ı v
`
a t
`
ım hiê
,
u lâ
´
y. Nhu
,
ng
¯
dây l

`
a nguô
`
n t
`
ai li
.
êu
tiê
´
ng Vi
.
êt vê
`
ch
,
u
¯
dê
`
n
`
ay, tôi
¯
d
˜
a c
´
o xem qua v
`

a ngu
,
`
o
,
i d
.
ich l
`
a chuyên vê
`
ng
`
anh To
´
an
phô
,
thông. B
.
an c
´
o thê
,
tham kh
,
ao l
.
ai trong [1],[2].
Râ

´
t nhiê
`
u
¯
do
.
an v
`
ı m
´
o
,
i h
.
oc TeX nên câ
´
u tr
´
uc v
`
a bô
´
tr
´
ı c
`
on xâ
´
u, tôi không c

´
o th
`
o
,
i
gian s
,
u
,
a l
.
ai, mong c
´
ac b
.
an thông c
,
am. Cuô
´
n s
´
ach n
`
ay c
´
o c
´
ach không cho sao ch
´

ep
ch
˜
u
,
Vi
.
êt, c
´
ac b
.
an th
,
u
,
xem nh
´
e.
H
`
a N
.
ôi, ng
`
ay 20 th
´
ang 9 n
˘
am 2013
Nguy

˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n
51
GD-05
89/176-05 M
˜
a sô
´
: 8I092M5
M
.
uc l
.
uc
L
`
o
,
i n
´
oi
¯
dâ
`

u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
M
.
uc l
.
uc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chu
,
o
,
ng 1. Olympic To
´
an Bulgari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chu
,
o
,
ng 2. Ðê

`
thi Olympic To
´
an Canada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Chu
,
o
,
ng 3. Ðê
`
thi olympic to
´
an Trung Quô
´
c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1. Ðê
`
b

`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Chu
,
o
,
ng 4. Ðê
`
thi Olympic To
´
an Hungary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Chu
,
o
,
ng 5. Ðê
`
thi olympic to
´
an India. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Chu
,
o
,
ng 6. Ðê
`
thi olympic to
´
an Iran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
T
`
ai li
.
êu tham kh
,
ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4
CHU
,
O
,
NG 1
Ð
`
Ê THI OLYMPIC TO
´
AN BULGARI

1.1. Ðê
`
b
`
ai
B
`
ai 1.1. T
`
ım sô
´
t
.
u
,
nhiên n nh
,
o nhâ
´
t (n ≥ 3), sao cho :
¯
dô
´
i v
´
o
,
i bâ
´
t k

`
y m
`
au trong 2
m
`
au s
´
˘
ac c
,
ua n
¯
diê
,
m th
,
˘
ang riêng bi
.
êt A
1
, A
2
, , A
n
tô
`
n t
.

ai ba
¯
diê
,
m A
i
, A
j
, A
2 j−i
, v
´
o
,
i
1 ≤ i < 2 j − i ≤ n
¯
du
,
.
o
,
c tô c
`
ung m
.
ôt m
`
au s
´

˘
ac.
B
`
ai 1.2. Cho t
´
u
,
gi
´
ac lô
`
i ABCD, c
´
o AD = CD v
`
a

DAB =

ABC < 90
0
. Ðu
,
`
o
,
ng th
,
˘

ang
qua D v
`
a trung
¯
diê
,
m c
,
ua BC c
´
˘
at
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang AB t
.
ai
¯
diê
,
m E. Ch
´

u
,
ng minh r
`
˘
ang:

BEC =

DAC.
B
`
ai 1.3. Cho R
+
l
`
a t
.
âp h
.
o
,
p c
´
ac sô
´
th
.
u
,

c du
,
o
,
ng. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang không tô
`
n t
.
ai h
`
am
sô
´
f : R
+
→R
+
sao cho:
( f (x))
2
≥ f (x + y)( f (x) + y). V
´
o

,
i m
.
oi x, y ∈ R
+
.
B
`
ai 1.4. Cho h
`
am sô
´
f (x) = x
3
−3x+1. T
´
ınh sô
´
nghi
.
êm th
.
u
,
c kh
´
ac nhau c
,
ua phu
,

o
,
ng
tr
`
ınh f ( f (x)) = 0.
B
`
ai 1.5. Cho ng
˜
u gi
´
ac lô
`
i ABCDE n
.
ôi tiê
´
p
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on b
´
an k

´
ınh R. B
´
an k
´
ınh c
,
ua
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on n
.
ôi tiê
´
p ∆XYZ
¯
du
,
.
o
,
c k
´
ı hi

.
êu l
`
a r
XYZ
. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang:
1. cos

CAB + cos

ABC + cos

BCA = 1 +
r
ABC
R
.
2. Nê
´
u r
ABC
= r
AED

v
`
a r
ABD
= r
AEC
, th
`
ı ∆ABC v
`
a ∆AED l
`
a
¯
dô
`
ng d
.
ang.
B
`
ai 1.6. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang phu
,

o
,
ng tr
`
ınh:
x
2
y
2
= z
2
(z
2
− x
2
− y
2
)
không c
´
o nghi
.
êm nguyên du
,
o
,
ng.
B
`
ai 1.7. Cho n l

`
a m
.
ôt sô
´
nguyên du
,
o
,
ng. T
`
ım sô
´
nguyên du
,
o
,
ng k sao cho tô
`
n t
.
ai
k0 − 1 chu
˜
ôi c
´
o
¯
d
.

ô d
`
ai 2n + 2, v
´
o
,
i bâ
´
t k
`
y 0 − 1 chu
˜
ôi c
´
o
¯
d
.
ô d
`
ai 2n + 2 m
.
ôt trong
nh
˜
u
,
ng sô
´
¯

du
,
.
o
,
c
¯
du
,
a ra trong
´
ıt nhâ
´
t n + 2 v
.
i tr
´
ı.
6 Chu
,
o
,
ng 1. Olympic To
´
an Bulgari
B
`
ai 1.8. C
´
ac

¯
da th
´
u
,
c P
n
(x, y) (v
´
o
,
i n = 1, 2, )
¯
du
,
.
o
,
c x
´
ac
¯
d
.
inh b
,
o
,
i P
1

(x, y) = 1 v
`
a
P
n+1
(x, y) = (x + y − 1)(y + 1)P
n
(x, y + 2) + (y − y
2
)P
n
(x, y).
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang: P
n
(x, y) = P
n
(y, x) v
´
o
,
i m
.
oi n v

`
a v
´
o
,
i m
.
oi x,y.
B
`
ai 1.9. Trên hai bên c
,
ua m
.
ôt ∆ABC không t
`
u
¯
du
,
.
o
,
c xây d
.
u
,
ng bên ngo
`
ai m

.
ôt h
`
ınh
vuông, c
´
o n
¯
diê
,
m v
`
a m
¯
diê
,
m (m, n > 5) c
´
o c
´
ac c
.
anh t
.
ao th
`
anh m
.
ôt tam gi
´

ac
¯
dê
`
u.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang v
´
o
,
i m = n = 6, th
`
ı c
´
o thê
,
t
`
ım
¯
du
,
.
o

,
c c
´
ac g
´
oc c
,
ua tam gi
´
ac ∆ABC.
B
`
ai 1.10. Cho c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c a
1
, , a
n
kh
´
ac 0. Ch
´
u
,

ng minh r
`
˘
ang phu
,
o
,
ng tr
`
ınh:
√
1 + a
1
x + +
√
1 + a
n
x=n.
C
´
o nhiê
`
u nhâ
´
t m
.
ôt nghi
.
êm th
.

u
,
c kh
´
ac không.
1.2. L
`
o
,
i gi
,
ai
L
`
o
,
i gi
,
ai 1.1. Câu tr
,
a l
`
o
,
i l
`
a 9 Ta g
.
oi 3
¯

diê
,
m nhu
,
trong câu h
,
oi th
`
anh m
.
ôt b
.
ô ba. Biê
,
u
th
.
i m
`
au s
´
˘
ac c
,
ua
¯
diê
,
m A
i

b
`
˘
ang c
i
, v
`
a
¯
dê
,
cho c
i
= r nê
´
u A
i
l
`
a m
`
au
¯
d
,
o, c
i
= b nê
´
u A

i
l
`
a
m
`
au xanh. Tru
,
´
o
,
c hê
´
t ch
´
ung ta ch
.
on m
.
ôt m
`
au c
,
ua 8
¯
diê
,
m m
`
a không ch

´
u
,
a b
.
ô ba trên
(c
1
, c
2
, c
3
, c
4
, c
5
, c
6
, c
7
, c
8
) = (r, b, r, b, b, r, b, r). Ta nh
.
ân thâ
´
y r
`
˘
ang nê

´
u n ≥ 9. Khi
¯
d
´
o
c
´
o
´
ıt nhâ
´
t m
.
ôt b
.
ô ba t
´
u
,
c l
`
a tô
`
n t
.
ai m
.
ôt chu
˜

ôi sô
´
h
.
oc i
1
, i
2
, i
3
sao cho c
i
1
= c
i
2
= c
i
3
.
Gi
,
a s
,
u
,
ngu
,
.
o

,
c l
.
ai không c
´
o b
.
ô ba nhu
,
v
.
ây , khi
¯
d
´
o trong A
1
, A
2
, , A
9
c
´
o
´
ıt nhâ
´
t 5
trong sô
´

ch
´
ung c
`
ung m
`
au
L
`
o
,
i gi
,
ai 1.2. G
.
oi M l
`
a trung
¯
diê
,
m c
,
ua BC, v
`
a
¯
d
.
˘

at:

DCA =

DAC = x v
`
a

CAB = y. Ta c
´
o:

CBA = x + y,

ACB = 180
0
− x − 2y,

DCB = 180
0
− 2y.
´
Ap d
.
ung
¯
d
.
inh l
´

ı h
`
am sin v
`
ao hai tam gi
´
ac BEM v
`
a ADE, ta c
´
o:
MB
ME
=
sin

MEB
sin

EBM
=
sin

MEB
sin

EAD
=
AD
ED

.
Do MB=MC v
`
a AD=CD,
MC
ME
=
CD
ED
.
´
Ap d
.
ung
¯
d
.
inh l
´
ı h
`
am sin cho tam gi
´
ac CEM
v
`
a tam gi
´
ac CDE, ta c
´

o:
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 7
sin

CEM
sin

BCE
=
MC
ME
=
CD
ED
=
sin

CED
sin

DCE
=

sin

CEM
sin(180
0
−

DCE)
. Do
¯
d
´
o:

BCE = 180
0
−

DCE = 180
0
−

DCB −

BCE = 2y −

BCE, v
´
o
,

i ch
´
u
´
y r
`
˘
ang

BCE = y.
Do
¯
d
´
o:

CEB =

CBA −

BCE = x =

DAC (
¯
dpcm)
L
`
o
,
i gi

,
ai 1.3. Gi
,
a s
,
u
,
tô
`
n t
.
ai h
`
am f . Khi
¯
d
´
o, ta c
´
o:
f (x + y) ≤
( f (x))
2
f (x) + y
< f (x)
Do
¯
d
´
o f l

`
a m
.
ôt h
`
am gi
,
am, f ph
,
ai c
´
o m
.
ôt v
`
ai
¯
diê
,
m bâ
´
t
¯
d
.
ông. Gi
,
a s
,
u

,
r
`
˘
ang f (a) = a,
bây gi
`
o
,
ta thay x b
,
o
,
i a. Khi
¯
d
´
o ta c
´
o:
f (x) ≤
a
2
a + y
. Ðiê
`
u n
`
ay c
´

o ngh
˜
ıa l
`
a tô
`
n t
.
ai b, sao cho v
´
o
,
i m
.
oi x ≥ b th
`
ı f (x) < 1. Ta
thâ
´
y r
`
˘
ang, nê
´
u ta thay y b
,
o
,
i f (x), th
`

ı ta c
´
o f (x) ≥ 2 f (x + f (x)). Bây gi
`
o
,
ta thay x
b
,
o
,
i b, ta c
´
o:
1 > f (b) ≥ 2 f (b + f (b)) ≥ 2 f (b + 1).
C
´
o ngh
˜
ıa l
`
a: f (b + 1) <
1
2
. Thay b
,
o
,
i b + 1 ta c
´

o:
1
2
> f (b) ≥ 2 f (b + 1 + f (b + 1)) > 2 f (b + 1 +
1
2
).
C
´
o ngh
˜
ıa l
`
a: f (b + 1 +
1
2
) <
1
4
.
C
´
u
,
tiê
´
p t
.
uc nhu
,

v
.
ây, ta c
´
o:
f (b + Σ
n−1
i=0
(
1
2
i
)) <
1
2
n
.
Nhu
,
v
.
ây, v
´
o
,
i m
˜
ôi  ∈ (0, 1), ta c
´
o thê

,
t
`
ım thâ
´
y m
.
ôt δ ∈ (0, 2) th
,
oa m
˜
an f (b + x) < 
v
´
o
,
i m
.
oi x < 2 − δ. Ðiê
`
u n
`
ay c
´
o ngh
˜
ıa l
`
a h
`

am f (x) không tô
`
n t
.
ai v
´
o
,
i x ≥ b + 2.
V
.
ây ta c
´
o
¯
diê
`
u ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh.
L
`
o
,
i gi
,

ai 1.4. Câu tr
,
a l
`
o
,
i l
`
a 7. Th
.
ât v
.
ây, ta c
´
o f (x) = x
3
−3x + 1 nên f

(x) = 3x
2
−3
8 Chu
,
o
,
ng 1. Olympic To
´
an Bulgari
, f


(x) = 0 khi x = 1 ho
.
˘
ac x = −1. Khi
¯
d
´
o f (1) = −1 v
`
a f (−1) = 3. Nhu
,
ng
f (−2) = −1, f (0) = 1, f (2) = 3. Do
¯
d
´
o, c
´
ac gi
´
a tr
.
i c
,
ua x
¯
dê
,
f (x) = 0 n
`

˘
am trong
c
´
ac kho
,
ang (−2, 1), (0, 1), v
`
a (1, 2). Nê
´
u ch
´
ung ta
¯
dê
´
m sô
´
lâ
`
n f thông qua ho
`
an to
`
an
m
˜
ôi kho
,
ang ta s

˜
e c
´
o câu tr
,
a l
`
o
,
i. Th
.
ât v
.
ây, f
¯
di qua (−2, 1) m
.
ôt lâ
`
n (Khi x < −2), n
´
o
¯
di qua (0, 1) ba lâ
`
n ( khi −2 < x < −1, 0 < x < 1 v
`
a 1 < x < 2), v
`
a n

´
o
¯
di qua (1, 2)
¯
d
´
ung ba lâ
`
n. Do
¯
d
´
o phu
,
o
,
ng tr
`
ınh f ( f (x)) = 0 c
´
o
¯
d
´
ung 7 nghi
.
êm th
.
u

,
c phân bi
.
êt.
L
`
o
,
i gi
,
ai 1.5. 1. G
.
oi
¯
diê
,
m O v
`
a I lâ
`
n lu
,
.
o
,
t l
`
a tâm c
,
ua

¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on ngo
.
ai tiê
´
p v
`
a n
.
ôi
tiê
´
p c
,
ua ∆ABC .
Ð
.
˘
at

CAB = α,

ABC = β,


BCA = γ. G
.
oi AI c
´
˘
at
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on tâm O
,
o
,
F, g
.
oi O n
`
˘
am
trong

AFC. Khi
¯
d

´
o:
OF = R, FI = FC = 2R sin
α
2
,
v
`
a

OFI = β +
α
2
− 90
0
.
´
Ap d
.
ung
¯
d
.
inh l
´
ı h
`
am cos cho ∆OFI ta c
´
o:

OI
2
= R
2
+ 4R
2
sin
2
α
2
− 4R
2
sin
2
α
2
sin(β +
α
2
).
= R
2
(4 sin
2
α
2
+ 1 − 4 sin
α
2
sin(β +

α
2
)).
= R
2
(2 − 2 cos α + 1 + 2[cos(α + β) − cosβ]).
= R
2
(3 − 2 cos α − 2 cos β − cosγ).
Nhu
,
ng OI
2
= R
2
− 2Rr
ABC
(Theo công th
´
u
,
c Euler), do
¯
d
´
o
cos α + cos β + cos γ = 1 +
r
ABC
R

.
Hay ch
´
ung ta c
´
o:
cos

CAB + cos

ABC + cos

BCA = 1 +
r
ABC
R
(
¯
dpcm).
2. G
.
oi 2a, 2b, 2c, 2d, 2e lâ
`
n lu
,
.
o
,
t l
`

a sô
´
¯
do c
,
ua c
´
ac cung AB, BC, CD, DE, EA. T
`
u
,
câu
(1) ta c
´
o:
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 9
cos a − cos(a + b) + cos b = cos d + cos e − cos(d + e)
cos a + cos(c + b) + cos(d + e) = cos e + cos(c + d) + cos(a + b).
Tr
`
u
,

hai vê
´
c
,
ua
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c, ta c
´
o:
cos b + cos(c + d) = cos d + cos(b + c).
⇐⇒ 2 cos
b + c + d
2
cos
b − c − d
2
= 2 cos
b + c + d
2
cos
d − b − c
2
⇐⇒ cos

b − c − d
2
= cos
d − b − c
2
⇐⇒ b = d. Thay kê
´
t qu
,
a n
`
ay v
`
ao
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
¯
dâ
`
u, ta c
´
o:
cos a − cos(a + b) + cos b = cos d + cos e − cos(d + e).

⇐⇒ cos a − cos(a + b) + cos b = cos b + cos e − cos(b + e).
⇐⇒ cos a + cos(b + e) = cos e + cos(a + b).
⇐⇒ 2 cos
a + b + e
2
cos
a − b − e
2
= 2 cos
a + b + e
2
cos
e − a − b
2
⇐⇒ cos
a − b − e
2
= cos
e − a − b
2
⇐⇒ a = e.
Khi
¯
d
´
o a = e, b = d. Do v
.
ây ∆ABC v
`
a ∆AED l

`
a
¯
dô
`
ng d
.
ang (
¯
dpcm)
L
`
o
,
i gi
,
ai 1.6. Tru
,
´
o
,
c hê
´
t ta ch
´
u
,
ng minh bô
,
¯

dê
`
sau:
Bô
,
¯
dê
`
1: Phu
,
o
,
ng tr
`
ınh s
4
− t
4
= u
2
(1)
Không c
´
o nghi
.
êm nguyên du
,
o
,
ng.

Th
.
ât vây: Ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng minh gi
´
an tiê
´
p. Gi
,
a s
,
u
,
tô
`
n t
.
ai m
.
ôt t
.
âp S không r
˜
ông
c

´
ac sô
´
nguyên , v
´
o
,
i a ∈ S , khi
¯
d
´
o tô
`
n t
.
ai sô
´
t
.
u
,
nhiên b v
`
a c nhu
,
v
.
ây sao cho
a
4

− b
4
= c
2
, v
´
o
,
i a l
`
a gi
´
a tr
.
i nh
,
o nhâ
´
t. V
`
ı v
.
ây U
,
CLN (a, b, c) = U
,
CLN (a, b) =
U
,
CLN (b, c) = U

,
CLN (c, a) = 1. Ch
´
ung ta x
´
et c
´
ac tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p sau
¯
dây:
V
´
o
,
i c t
`
uy
´
y. Khi
¯
d

´
o v
´
o
,
i a v
`
a b l
`
a sô
´
l
,
e v
`
a a
2
+ b
2
≡ 2(mod4), khi U
,
CLN(a, b)=1,
4
c
2
.
V
`
a:
10 Chu

,
o
,
ng 1. Olympic To
´
an Bulgari
(a
2
+ b
2
)(a
2
− b
2
) = c
2
, UCLN(a
2
+ b
2
, a
2
− b
2
) = 2. Cho ta: x =

a
2
+ b
2

2
v
`
a
y =

a
2
− b
2
2
. V
´
o
,
i x v
`
a y l
`
a c
´
ac sô
´
nguyên, ta c
´
ox
4
− y
4
= (ab)

2
. Khi a> b, x<a.
Do
¯
d
´
o vi ph
.
am v
´
o
,
i gi
,
a thiê
´
t c
,
ua ch
´
ung ta a l
`
a gi
´
a tr
.
i nh
,
o nhâ
´

t
L
`
o
,
i gi
,
ai 1.7. Câu tr
,
a l
`
o
,
i l
`
a k = 4.
L
`
o
,
i gi
,
ai 1.8. Ta x
´
et c
´
ac gi
´
a tr
.

i c
,
ua n, v
´
o
,
i n = 1 ta c
´
o: P
1
(x, y) = 1.
V
´
o
,
i n = 2 ta c
´
o: P
2
(x, y) = xy + x + y − 1.
V
`
ı v
.
ây, ta x
´
et v
´
o
,

i n > 1. Gi
,
a s
,
u
,
kê
´
t qu
,
a luôn
¯
d
´
ung v
´
o
,
i P
n−1
(x, y) v
`
a P
n
(x, y). Ta c
´
o:
P
n+1
(x, y) = (x + y − 1)(y + 1)P

n
(x, y + 2) + (y − y
2
)P
n
(x, y).
= (x + y − 1)(y + 1)P
n
(y + 2, x) + (y − y
2
)P
n
(y, x).
Ch
´
u
´
y r
`
˘
ang:
(x + y − 1)(y + 1)P
n
(y + 2, x) = S
n−1
(x, y) + (x + y − 1)(y + 1)(x − x
2
)P
n
(y + 2, x)

. Do
¯
d
´
o:
S
n−1
(x, y) = [(x + y)
2
− 1](y + 1)(x + 1)P
n−1
(y + 2, x + 2)
Khi
¯
d
´
o:
P
n−1
(x, y) = P
n−1
(y, x), S
n−1
(x, y) = S
n−1
(y, x). Ta luôn ch
´
u
´
y r

`
˘
ang:
(y − y
2
)P
n
(y, x) = (y − y
2
)[(x + y − 1)(x + 1)P
n−1
(y + 2, x) + (x − x
2
)P
n−1
(y, x)]
= (y − y
2
)(x + y − 1)(x + 1)P
n−1
(y, x + 2) + T
n−1
(x, y)
Khi
¯
d
´
o: T
n−1
(x, y) = (y − y

2
)(x − x
2
)P
n−1
(y, x).
Khi :P
n−1
(x, y) = P
n−1
(y, x), T
n−1
(y, x) = T
n−1
(y, x). Cho ta:
U
n−1
(x, y) = (x + y −1)[(y + 1)(x − x
2
)P
n−1
(y + 2, x) + (x + 1)(y − y
2
)P
n−1
(y, x + 2)]
Nguy
˜
ên H
˜

u
,
u Ðiê
,
n, 11
Khi P
n−1
(x, y) = P
n−1
(y, x), U
n−1
(x, y) = U
n−1
(y, x). Do v
.
ây:
P
n+1
(x, y) = S
n−1
(x, y) + T
n−1
(x, y) + U
n−1
(x, y) = P
n+1
(y, x).
Do v
.
ây: P

n
(x, y) = P
n
(y, x) v
´
o
,
i m
.
oi n v
`
a v
´
o
,
i m
.
oi x,y.(
¯
dpcm)
L
`
o
,
i gi
,
ai 1.9. Câu tr
,
a l
`

o
,
i l
`
a tam gi
´
ac
¯
d
´
o c
´
o c
´
ac sô
´
¯
do lâ
`
n lu
,
.
o
,
t l
`
a 90
0
, 45
0

, 45
0
L
`
o
,
i gi
,
ai 1.10. Tru
,
´
o
,
c hê
´
t ta nh
.
ân thâ
´
y h
`
am sô
´
f
i
(x) =
√
1 + a
i
x l

`
a m
.
ôt h
`
am l
˜
om. Do
¯
d
´
o h
`
am sô
´
f (x) =
√
1 + a
1
x + +
√
1 + a
n
x c
˜
ung l
`
a m
.
ôt h

`
am l
˜
om. Khi
¯
d
´
o f

(x)
tô
`
n t
.
ai, c
´
o thê
,
c
´
o nhiê
`
u nhâ
´
t m
.
ôt
¯
diê
,

m trên
¯
du
,
`
o
,
ng cong y = f (x) v
´
o
,
i
¯
d
.
ao h
`
am b
`
˘
ang
0. Gi
,
a s
,
u
,
c
´
o nhiê

`
u ho
,
n m
.
ôt. Khi
¯
d
´
o x = 0 c
˜
ung l
`
a m
.
ôt nghi
.
êm gô
´
c, ch
´
ung ta c
´
o 3
nghi
.
êm gô
´
c th
.

u
,
c s
.
u
,
x
1
< x
2
< x
3
. Khi
¯
d
´
o,
´
ap d
.
ung
¯
d
.
inh l
´
y gi
´
a tr
.

i trung b
`
ınh cho
h
`
am sô
´
f (x) trên c
´
ac kho
,
ang [x
1
, x
2
] v
`
a [x
2
, x
3
] , ch
´
ung ta c
´
o thê
,
thâ
´
y c

´
o 2
¯
diê
,
m
phân bi
.
êt trên
¯
du
,
`
o
,
ng cong v
´
o
,
i
¯
d
.
ao h
`
am b
`
˘
ang 0 (mâu thu
˜

ân). V
.
ây gi
,
a s
,
u
,
c
,
ua ch
´
ung
ta l
`
a sai, do
¯
d
´
o c
´
o nhiê
`
u nhâ
´
t m
.
ôt nghi
.
êm th

.
u
,
c kh
´
ac 0 c
,
ua phu
,
o
,
ng tr
`
ınh f (x)=n
CHU
,
O
,
NG 2
Ð
`
Ê THI OLYMPIC TO
´
AN CANADA
2.1. Ðê
`
b
`
ai
B

`
ai 2.1. X
´
ac
¯
d
.
inh c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c l
`
a nghi
.
êm c
,
ua phu
,
o
,
ng tr
`
ınh:

a

2

+

a
3

+

a
5

= a.
B
`
ai 2.2. T
`
ım tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c x th

,
oa m
˜
an
x = (x −
1
x
)
1
2
+ (1 −
1
x
)
1
2
.
B
`
ai 2.3. Gi
,
a s
,
u
,
n l
`
a m
.
ôt sô

´
t
.
u
,
nhiên th
,
oa m
˜
an n ≥ 2. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
1
n + 1
(1 +
1
3
+··· +
1
2n − 1
) >
1
n
(1 +
1

2
+
1
4
···+
1
2n
).
B
`
ai 2.4. Cho ABC l
`
a m
.
ôt tam gi
´
ac v
´
o
,
i

BAC = 40
o
v
`
a

ABC = 60
o

. V
´
o
,
i D v
`
a E l
`
a
c
´
ac
¯
diê
,
m n
`
˘
am trên hai c
.
anh AC v
`
a AB tu
,
o
,
ng
´
u
,

ng, khi
¯
d
´
o

CBD = 40
o
v
`
a

BCE = 70
o
.
C
´
o BD v
`
a CE c
´
˘
at nhau t
.
ai F. Ch
´
u
,
ng t
,

o r
`
˘
ang
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang AF vuông g
´
oc v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o
,
ng
th
,
˘

ang BC.
B
`
ai 2.5. Cho m l
`
a m
.
ôt sô
´
nguyên du
,
o
,
ng. X
´
ac
¯
d
.
inh tr
`
ınh t
.
u
,
{a
n
}
n≥0
b

,
o
,
i a
o
= 0, a
1
= m
v
`
a a
n+1
= m
2
a
n
− a
n−1
v
´
o
,
i n ≥ 1.
Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘

ang m
.
ôt c
.
˘
ap c
´
o th
´
u
,
t
.
u
,
(a, b) c
´
ac sô
´
nguyên không âm, v
´
o
,
i a ≤ b l
`
a m
.
ôt
nghi
.

êm c
,
ua phu
,
o
,
ng tr
`
ınh :
a
2
+ b
2
ab + 1
= m
2
nê
´
u v
`
a ch
,
ı nê
´
u (a, b) = (a
n
, a
n+1
) v
´

o
,
i sô
´
n ≥ 0.
2.2. L
`
o
,
i gi
,
ai
L
`
o
,
i gi
,
ai 2.1. C
´
o 30 nghi
.
êm. Khi

a
2

,

a

3

v
`
a

a
5

l
`
a c
´
ac sô
´
nguyên, do
¯
d
´
o l
`
a a. Bây
gi
`
o
,
viê
´
t a = 30p + q cho sô
´

nguyên p v
`
a q, 0 ≤ q < 30.
Sau
¯
d
´
o
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 13

a
2

+

a
3

+

a
5


= a
⇐⇒ 31p +

q
2

+

q
3

+

q
5

= 30p + q
⇐⇒ p = q −

q
2

−

q
3

−


q
5

.
Nhu
,
v
.
ây,
¯
dô
´
i v
´
o
,
i m
˜
ôi gi
´
a tr
.
i c
,
ua q, c
´
o ch
´
ınh l
`

a m
.
ôt gi
´
a tr
.
i c
,
ua p (v
`
a m
.
ôt gi
´
a tr
.
i
c
,
ua a)
¯
d
´
ap
´
u
,
ng c
´
ac phu

,
o
,
ng tr
`
ınh. Kê
,
t
`
u
,
khi q c
´
o thê
,
b
`
˘
ang bâ
´
t k
`
y ba mu
,
o
,
i gi
´
a tr
.

i, c
´
o
¯
d
´
ung 30 nghi
.
êm, nhu
,
yêu câ
`
u .
L
`
o
,
i gi
,
ai 2.2. C
´
ach 1: x =
1 +
√
5
2
l
`
a nghi
.

êm duy nhâ
´
t. Cô l
.
âp

1 −
1
x
v
`
a b
`
ınh
phu
,
o
,
ng ta c
´
o
x
2
− 2
√
x
3
− x + x −
1
x

= 1 −
1
x
. Cô l
.
âp 2
√
x
3
− x v
`
a b
`
ınh phu
,
o
,
ng m
.
ôt lâ
`
n n
˜
u
,
a,
ch
´
ung ta
¯

du
,
.
o
,
c
x
4
+ 2x
3
− x
2
− 2x + 1 = 4x
3
− 4x
x
4
− 2x
3
− x
2
+ 2x + 1 = 0
(x − 2)(x − 1)x(x + 1) + 1 = 0.
Phu
,
o
,
ng tr
`
ınh n

`
ay l
`
a
¯
dô
´
i x
´
u
,
ng v
´
o
,
i x =
1
2
, v
`
ı v
.
ây ch
´
ung tôi th
.
u
,
c hi
.

ên vi
.
êc thay thê
´
u = x −
1
2
, x = u +
1
2
¯
dê
,
c
´
o
¯
du
,
.
o
,
c u
4
−
5
2
u
2
= (u

2
−
5
4
)
2
= 0.
V
`
ı v
.
ây u = ±
√
5
2
v
`
a x =
1 ±
√
5
2
. Kiê
,
m tra c
´
ac phu
,
o
,

ng tr
`
ınh ban
¯
dâ
`
u c
,
ua ch
´
ung tôi,
ch
,
ı x =
1 +
√
5
2
l
`
a nghi
.
êm th
´
ıch h
.
o
,
p.
C

´
ach 2: T
`
u
,
phu
,
o
,
ng tr
`
ınh ban
¯
dâ
`
u, ch
´
ung tôi c
´
o x > 0 v
`
a 1 >
1
x
, do
¯
d
´
o x > 1.
Bây gi

`
o
,
cô l
.
âp

1 −
1
x
v
`
a b
`
ınh phu
,
o
,
ng nhu
,
trong c
´
ach gi
,
ai 1, ch
´
ung tôi c
´
o
¯

du
,
.
o
,
c
(x
2
− 1) − 2

x(x
2
− 1) + x = 0
(
√
x
2
− 1 −
√
x)
2
= 0.
Phu
,
o
,
ng tr
`
ınh cuô
´

i c
`
ung c
´
o thê
,
¯
du
,
.
o
,
c gi
,
ai quyê
´
t m
.
ôt c
´
ach d
˜
ê d
`
ang .
14 Chu
,
o
,
ng 2. Ðê

`
thi Olympic To
´
an Canada
L
`
o
,
i gi
,
ai 2.3. Ch
´
ung tôi ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang
n(1 +
1
3
+ · · · +
1
2n − 1
) > (n + 1)(1 +
1
2
+

1
4
· · · +
1
2n
)
b
`
˘
ang quy n
.
ap. Ðô
´
i v
´
o
,
i n = 2,
8
3
>
9
4
. Gi
,
a s
,
u
,
gi

,
a thiê
´
t quy n
.
ap l
`
a
¯
d
´
ung
¯
dô
´
i v
´
o
,
i k ≥ 2,
t
´
u
,
c l
`
a ch
´
ung ta c
´

o k(1 +
1
3
+ ···+
1
2k − 1
) > (k + 1)(1 +
1
2
+
1
4
···+
1
2k
). Bây gi
`
o
,
v
´
o
,
i
n = k + 1. Lu
,
u
´
y r
`

˘
ang :
(1 +
1
3
+ · · · +
1
2k − 1
) +
k + 1
2k + 1
= (
1
2
+
1
3
+ · · · +
1
2k − 1
) +
1
2
+
k + 1
2k + 1
> (
1
2
+

1
4
+ · · · +
1
2k
) +
1
2
+
k + 1
2k + 1
> (
1
2
+
1
4
+ · · · +
1
2k
) +
k + 1
2k + 2
+
1
2k + 2
> (
1
2
+

1
4
+ · · · +
1
2k
) +
k + 2
2k + 2
Phu
,
o
,
ng ph
´
ap quy n
.
ap
¯
du
,
.
o
,
c ho
`
an th
`
anh l
`
a

(k + 1)(1 +
1
3
+ · · · +
1
2k − 1
+
1
2k + 1
)
= k(1 +
1
3
+ · · · +
1
2k − 1
) + (1 +
1
3
+ · · · +
1
2k − 1
) +
k + 1
2k + 1
> k(1 +
1
3
+ · · · +
1

2k − 1
) + (
1
2
+
1
4
+ · · · +
1
2k
) +
k + 2
2k + 2
> (k + 2)(
1
2
+
1
4
+ · · · +
1
2k + 2
).
L
`
o
,
i gi
,
ai 2.4. Lu

,
u
´
y r
`
˘
ang

ABD = 20
o
,

BCA = 80
o
v
`
a

ACE = 10
o
.
Lâ
´
y G l
`
a chân
¯
du
,
`

o
,
ng cao k
,
e t
`
u
,
A t
´
o
,
i BC. Th
`
ı

BAG = 90
o
−

ABC = 30
o
v
`
a

CAG = 90
o
−


BCA = 10
o
. Bây gi
`
o
,
,
sin

BAGsin

ACEsin

CBD
sin

CAGsin

BCE sin

ABD
=
sin30
o
sin10
o
sin40
o
sin10
o

sin70
o
sin20
o
=
1
2
(sin10
o
)(2sin20
o
cos20
o
)
sin10
o
sin20
o
cos20
o
= 1.
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 15

Sau
¯
d
´
o, b
`
˘
ang h
`
ınh th
´
u
,
c lu
,
.
o
,
ng gi
´
ac c
,
ua
¯
d
.
inh l
´
y Ceva AG, BG v
`

a CE l
`
a
¯
dô
`
ng quy.
Do
¯
d
´
o F n
`
˘
am trên AG
¯
dê
,
AF vuông g
´
oc v
´
o
,
i
¯
du
,
`
o

,
ng th
,
˘
ang BC, nhu
,
mong muô
´
n.
L
`
o
,
i gi
,
ai 2.5. Nê
´
u hu
,
´
o
,
ng yêu câ
`
u l
`
o
,
i gi
,

ai c
´
o thê
,
d
˜
ê d
`
ang ch
´
u
,
ng minh b
`
˘
ang quy n
.
ap
theo n, ch
´
ung tôi ch
,
ı ra ch
,
ı ra
¯
diê
`
u mâu thu
˜

ân. Gi
,
a s
,
u
,
, ngu
,
.
o
,
c l
.
ai, r
`
˘
ang c
´
o tô
`
n t
.
ai
c
.
˘
ap
¯
d
´

ap
´
u
,
ng c
´
ac phu
,
o
,
ng tr
`
ınh nhu
,
ng không ph
,
ai c
,
ua c
´
ac h
`
ınh th
´
u
,
c
¯
du
,

.
o
,
c mô t
,
a; cho
(a, b) l
`
a m
.
ôt c
.
˘
ap v
´
o
,
i sô
´
tô
,
ng tô
´
i thiê
,
u a + b. Ch
´
ung tôi ch
,
ı ra (c, a) = (m

2
a − b, a) l
`
a
m
.
ôt c
.
˘
ap nhu
,
v
.
ây, nhu
,
ng v
´
o
,
i tô
,
ng nh
,
o ho
,
n c + a d
˜
ân
¯
dê

´
n mâu thu
˜
ân.
(a) a = 0. Th
`
ı (a, b) = (0, m) = (a
o
, a
1
) m
.
ôt mâu thu
˜
ân.
(b) a = m. Th
`
ı (a, b) = (m, m
3
) = (a
1
, a
2
) m
.
ôt mâu thu
˜
ân.
(c) a = 1. Th
`

ı b ≥ a = 1 v
`
a (b + 1)|(b
2
+ 1); nhu
,
ng (b + 1)|(b
2
+ 1) do
¯
d
´
o (b + 1)|[(b
2
+ 1) − (b
2
− 1)] = 2. Ch
´
ung tôi c
´
o b = 1, do
¯
d
´
o m = 1 v
`
a
(a, b) = (1, 1) = (a
1
, a

2
),m
.
ôt mâu thu
˜
ân.
(d) 2 ≤ a < m Viê
´
t
a
2
+ b
2
ab + 1
= m
2
hay b
2
− m
2
ab + a
2
− m
2
= 0,
Biê
´
t r
`
˘

ang t = b th
`
ı phu
,
o
,
ng tr
`
ınh trên tr
,
o
,
th
`
anh: t
2
− 2m
2
at + a
2
− m
2
= 0.
Do
¯
d
´
o m
4
a

2
+ 4m
2
− 4a
2
phân bi
.
êt c
,
ua phu
,
o
,
ng tr
`
ınh ph
,
ai l
`
a m
.
ôt h
`
ınh vuông ho
`
an
h
,
ao. Nhu
,

ng
(m
2
a + 1)
2
= m
4
a
2
+ 2m
2
a + 1
> m
4
a
2
+ 4m
2
− 4a
2
> (m
2
a)
2
v
´
o
,
i 2 ≤ a < m V
`

ı v
.
ây, không phân bi
.
êt c
´
o thê
,
l
`
a m
.
ôt h
`
ınh vuông ho
`
an h
,
ao, m
.
ôt
mâu thu
˜
ân.
(e) a > m ho
,
n n
˜
u
,

a t = b l
`
a gô
´
c (1). Râ
´
t d
˜
ê d
`
ang
¯
dê
,
kiê
,
m tra xem t = m
2
a−b = c
c
˜
ung th
,
oa m
˜
an phu
,
o
,
ng tr

`
ınh.Ch
´
ung tôi c
´
o bc = a
2
− m
2
> 0 t
`
u
,
b ≥ 0, c > 0. T
`
u
,
a > 0 v
`
a c > 0, ac + 1 > 0, ch
´
ung tôi c
´
o
c
2
+ a
2
ac + 1
= m

2
.
T
`
u
,
c > 0, b ≥ a v
`
a bc = a
2
− m
2
< a
2
ch
´
ung ta c
´
o c < a. Do
¯
d
´
o (c, a) l
`
a m
.
ôt c
.
˘
ap .

Ngo
`
ai ra, n
´
o không thê
,
c
´
o d
.
ang (a
n
, a
n+1
) ho
.
˘
ac d
.
ang kh
´
ac
(a, b) = (a
n+1
, m
2
a
n+1
− a
n

) = (a
n+1
, a
n+2
).
16 Chu
,
o
,
ng 2. Ðê
`
thi Olympic To
´
an Canada
Nhu
,
ng sau
¯
d
´
o, c + a < a + a ≤ b + a, nhu
,
mong muô
´
n.
T
`
u
,
nh

˜
u
,
ng
¯
diê
`
u trên, ch
´
ung ta thâ
´
y r
`
˘
ang gi
,
a
¯
d
.
inh c
,
ua ch
´
ung tôi l
`
a sai. Do
¯
d
´

o m
˜
ôi c
.
˘
ap
¯
d
´
ap
´
u
,
ng c
´
ac phu
,
o
,
ng tr
`
ınh ban
¯
dâ
`
u ph
,
ai c
´
o c

´
ac h
`
ınh th
´
u
,
c mô t
,
a.
CHU
,
O
,
NG 3
Ð
`
Ê THI OLYMPIC TO
´
AN TRUNG QU
´
ÔC
3.1. Ðê
`
b
`
ai
B
`
ai 3.1. Cho ABC l

`
a tam gi
´
ac không t
`
u v
´
o
,
i AB > AC v
`
a

B = 45
o
;
Cho O v
`
a I l
`
a tâm
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on ngo

.
ai tiê
´
p v
`
a n
.
ôi ti
.
êp c
,
ua tam gi
´
ac ABC. Gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang
√
2OI = AB − AC. X
´
ac
¯
d
.

inh tâ
´
t c
,
a c
´
ac gi
´
a tr
.
i c
´
o thê
,
c
´
o c
,
ua sin

BAC.
B
`
ai 3.2. Cho n, n > 1 l
`
a m
.
ôt sô
´
nguyên du

,
o
,
ng. X
´
ac
¯
d
.
inh nê
´
u c
´
o tô
`
n t
.
ai 2n sô
´
nguyên
kh
´
ac bi
.
êt t
`
u
,
ng
¯

dôi m
.
ôt a
1
, a
2
,···, a
n
, b
1
, b
2
,···, b
n
cho thâ
´
y
(a) a
1
+ a
2
+··· + a
n
= b
1
+ b
2
+··· + b
n
;

(b) n + 1 >
n

i=1
a
i
− b
i
a
i
+ b
i
> n − 1 −
1
1998
.
B
`
ai 3.3. Ðô
´
i v
´
o
,
i m
.
ôt b
.
ô U, cho |U| biê
,

u th
.
i sô
´
phâ
`
n t
,
u
,
trong U. M
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p U
¯
du
,
.
o
,
c
g
.
oi l
`

a nguyên th
,
uy nê
´
u tâ
´
t c
,
a c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
c
,
ua n
´
o l
`
a sô
´
nguyên du
,
o
,
ng v
`

a c
´
o m
.
ôt phâ
`
n
t
,
u
,
u ∈ U th
,
oa m
˜
an UCLN(u, u

) = 1 v
´
o
,
i m
.
oi u

∈ U, u

 u. M
.
ôt t

.
âp h
.
o
,
p U
¯
du
,
.
o
,
c
g
.
oi l
`
a không - nguyên th
,
uy nê
´
u tâ
´
t c
,
a c
´
ac phâ
`
n t

,
u
,
c
,
ua n
´
o l
`
a sô
´
nguyên du
,
o
,
ng v
`
a
c
´
o m
.
ôt phâ
`
n t
,
u
,
u ∈ U th
,

oa m
˜
an UCLN(u, u

) > 1 v
´
o
,
i m
.
oi u

∈ U. H
˜
ay
¯
dê
,
thiê
´
t l
.
âp
S = 1, 2, , 98. X
´
ac
¯
d
.
inh gi

´
a tr
.
i tô
´
i thiê
,
u l
`
a sô
´
nguyên du
,
o
,
ng n r
`
˘
ang,
¯
dô
´
i v
´
o
,
i bâ
´
t k
`

y
t
.
âp h
.
o
,
p con T ⊂ S v
´
o
,
i |T | = n n
´
o luôn luôn c
´
o thê
,
t
`
ım thâ
´
y m
.
ôt t
.
âp h
.
o
,
p con T

10
⊂ T
nhu
,
v
.
ây m
`
a T
10
= 10 v
`
a cho bâ
´
t k
`
y phân v
`
ung A v
`
a B c
,
ua T
10
v
´
o
,
i |A| = |B| = 5 m
.

ôt
trong sô
´
¯
d
´
o l
`
a nguyên th
,
uy v
`
a kh
´
ac l
`
a không nguyên th
,
uy.
B
`
ai 3.4. X
´
ac
¯
d
.
inh tâ
´
t c

,
a c
´
ac sô
´
nguyên du
,
o
,
ng n ≥ 3, sao cho 2
2000
chia hê
´
t cho
1 + C
1
n
+ C
2
n
+ C
3
n
·
B
`
ai 3.5. Cho D l
`
a m
.

ôt
¯
diê
,
m bên trong tam gi
´
ac ABC th
,
oa m
˜
an
DA · DB · AB + DB · DC · BC + DC · DA ·CA = AB · BC · CA.
X
´
ac
¯
d
.
inh v
.
i tr
´
ı h
`
ınh h
.
oc c
,
ua
¯

diê
,
m D.
18 Chu
,
o
,
ng 3. Ðê
`
thi olympic to
´
an Trung Quô
´
c
B
`
ai 3.6. Cho n, n ≥ 2 l
`
a m
.
ôt sô
´
nguyên
du
,
o
,
ng. G
.
oi x

1
, x
2
, . . . , x
n
l
`
a c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c th
,
oa m
˜
an
n

i=1
x
2
i
+
n−1

i=1

x
i
x
i+1
= 1
V
´
o
,
i m
.
ôt sô
´
nguyên k, 1 ≤ k ≤ n, x
´
ac
¯
d
.
inh gi
´
a tr
.
i l
´
o
,
n nhâ
´
t c

,
ua |x
k
|.
3.2. L
`
o
,
i gi
,
ai
L
`
o
,
i gi
,
ai 3.1. C
´
ach 1. Ð
.
˘
at
a = BC, b = CA, c = AB,
α =

CBA, β =

ABC, γ =


BCA,
v
`
a
¯
d
.
˘
at R v
`
a r tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng l
`
a b
´
an k
´
ınh
¯
du
,
`
o

,
ng tr
`
on ngo
.
ai tiê
´
p v
`
a b
´
an k
´
ınh
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on
n
.
ôi tiê
´
p tam gi
´
ac ABC.

´
Ap d
.
ung
¯
d
.
inh l
´
y Sin cho tam gi
´
ac ABC, ta c
´
o:
a = 2Rsinα, b = 2Rsinβ, c = 2Rsinγ,
Khi β = 45
o
, sinβ =
√
2
2
, tan
β
2
=
√
2 − 1, v
`
a
sinγ = sin(135

o
− α) =
√
2(sinα + cosα)
2
. (3.1)
Do
¯
d
´
o
r =
c + a − b
2
tan
β
2
= R(
√
2 − 1)(sinα + sinγ − sinβ).
T
`
u
,
công th
´
u
,
c Euler OI
2

= R(R − 2r), ch
´
ung ta c
´
o
OI
2
= R
2
[1 − 2(sinα + sinγ − sinβ)(sqrt2 − 1). (3.2)
Khi
√
2OI = AB − AC,
OI
2
=
(c − b)
2
2
= 2R
2
(sinγ − sinβ)
2
T
`
u
,
(1) v
`
a (2) ch

´
ung ta
¯
du
,
.
o
,
c
2(sinγ − sinβ)
2
= 1 − 2(sinα + sinγ − sinβ)(
√
2 − 1)
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 19
⇐⇒ 1 − 2(sinγ − sinβ)
2
= 2(sinα + sinγ − sinβ)(
√
2 − 1)
⇐⇒ 1 − 2sin
2

γ + 2
√
2sinγ − 1
= 2(sinα + sinγ)(
√
2 − 1) − (2 −
√
2)
⇐⇒ −(sinα + cosα)
2
+ 2(sinα + cosα)
= (2
√
2 − 2)sinα + (2 −
√
2)(sinα+) − (2 −
√
2)
⇐⇒ −1 − 2sinαcosα
= (
√
2 − 2)sinα −
√
2cosα − (2 −
√
2)
⇐⇒ 2sinαcosα − (2 −
√
2)sinα −
√

2cosα + (
√
2 − 1) = 0
⇐⇒ (
√
2)sinα − 1)(
√
2cosα −
√
2 + 1) = 0
T
`
u
,
¯
d
´
o sinα =
√
2
2
ho
.
˘
ac cosα = 1 −
√
2
2
,
sinα =

√
1 − cos
2
α =

4
√
2 − 2
2
.
C
´
ach 2
I
c
, I
a
, I
b
l
`
a chân
¯
du
,
`
o
,
ng vuông g
´

oc k
,
e t
`
u
,
I t
´
o
,
i AB, BC, CA tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng. G
.
oi D l
`
a
chân
¯
du
,
`
o
,

ng vuông g
´
oc t
`
u
,
O tu
,
´
o
,
BC. Do
¯
d
´
o OD l
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng trung tr
.
u
,
c c
,

ua BC v
`
a
BD = CD
T
`
u
,
tiê
´
p tuyê
´
n b
`
˘
ang nhau, ch
´
ung tôi c
´
o AI
c
= AI
b
, BI
a
= BI
c
, CI
a
= CI

b
. Ch
´
ung tôi
c
´
o
√
2OI = c − b
= (AI
c
+ I
c
B) − (AI
b
+ I
b
C) = I
c
B − I
b
C
= BI
a
− I
a
C.
Khi c > b ,D n
`
˘

am tren BI
a
. Ch
´
ung tôi c
´
o BI
a
= BD + DI
a
, I
a
C = CD − DI
a
.V
.
ây
√
2OI = 2DI
a
t
´
u
,
c l
`
a OI =
√
2DI
a

. Do
¯
d
´
o
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang OI v
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng th
,
˘
ang DI
a
t
.

ao
th
`
anh m
.
ôt g
´
oc 45
o
trong
¯
d
´
o h
`
am
´
y r
`
˘
ang m
.
ôt trong hai OI⊥AB ho
.
˘
ac OIAB.
(a) OI⊥AB Th
`
ı , OI l
`

a
¯
du
,
`
o
,
ng trung tr
.
u
,
c c
,
ua AB. Do
¯
d
´
o AC = BC, α = β = 45
o
v
`
a sinα =
√
2
2
.
(b) OIAB. Gi
,
a s
,

u
,
E l
`
a chân vuông g
´
oc t
`
u
,
O xuô
´
ng BC. V
`
ı v
.
ây

AOE =

C = γ.
Rcos

AOE = Rcosγ = OE = II
c
= r.
20 Chu
,
o
,

ng 3. Ðê
`
thi olympic to
´
an Trung Quô
´
c
Khi
r = 4Rsin
α
2
sin
β
2
sin
γ
2
,
Ch
´
ung tôi c
´
o
cosγ = 4sin
α
2
sin
β
2
sin

γ
2
= 2sin
β
2
(sin
α
2
sin
γ
2
)
= 2sin
β
2
(−cos
α + γ
2
+ cos
α + γ
2
)
= 2sin
β
2
(−sin
β
2
+ cos
α − γ

2
)
= −2sin
2
β
2
+ 2sin
β
2
cos
α − γ
2
= cosβ − 1 + sin
α + β − γ
2
+ sin
β + γ − α
2
= cosβ − 1 + sin(90
o
− γ) + sin(90
o
− α)
= cosβ − 1 + cosγ + cosα,
Ðê
,
´
y r
`
˘

ang
cosα = 1 − cosβ = 1 −
√
2
2
v
`
a sinα =
√
1 − cos
2
α =

4
√
2 − 2
2
.
L
`
o
,
i gi
,
ai 3.2. Câu tr
,
a l
`
o
,

i l
`
a c
´
o. Ðâ
`
u tiên ch
´
ung ta ch
´
u
,
ng minh bô
,
¯
dê
`
sau
¯
dây.
Bô
,
¯
dê
`
3.1. Nê
´
u a
1
, a

2
,···, a
n
, b
1
, b
2
,···, b
n
l
`
a 2n sô
´
nguyên kh
´
ac bi
.
êt t
`
u
,
ng
¯
dôi m
.
ôt
m
`
a
a

1
+ a
2
+··· + a
n
= b
1
+ b
2
+··· + b
n
th
`
ı
n − 1 >
n

i=1
a
i
− b
i
a
i
+ b
i
.
Ch
´
u

,
ng minh. T
`
u
,
c
´
ac
¯
diê
`
u ki
.
ên nhâ
´
t
¯
d
.
inh, ch
´
ung ta biê
´
t r
`
˘
ang c
´
o tô
`

n t
.
ai i
1
, 1 ≤ i
1
≤ n
m
`
a b
i
1
> a
i
1
. V
`
ı v
.
ây
2b
i
1
a
i
1
+ b
i
1
> 1 v

`
a
n

i=1
a
i
− b
i
a
i
+ b
i
=
n

i=1
(1 −
2b
i
a
i
+ b
i
) = n −
n

i=1
(1 −
2b

i
a
i
+ b
i
) < n −1. (3.3)
nhu
,
yêu câ
`
u. 
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 21
Ch
´
u
,
ng minh
¯
dê
`
b
`

ai. Cho N l
`
a m
.
ôt sô
´
nguyên du
,
o
,
ng. V
´
o
,
i i = 1, 2,···n − 1, cho
a
i
= N(2i − 1), b
i
= 2i. T
`
u
,
(a) ch
´
ung tôi c
´
o:
n


i=1
a
i
= −(n − 1)N + 2N.
(n − 1)n
2
+ a
n
= 2.
(n − 1)n
2
+ b
n
=
n

i=1
b
i
Ðê
´
n
¯
dây b
n
= a
n
+ (n − 1)[N(n − 1) − n v
´
o

,
i a
n
v
˜
ân chu
,
a
¯
du
,
.
o
,
c x
´
ac
¯
d
.
inh. T
`
u
,
bô
,
¯
dê
`
,

ch
´
ung ta ch
,
ı câ
`
n ch
´
u
,
ng minh bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c th
´
u
,
hai trong (b). Nhu
,
ng (3) ng
.
u

´
y r
`
˘
ang
n − 1 >
n

i=1
a
i
− b
i
a
i
+ b
i
= n −
2a
n
+ 2(n − 1)[N(n − 1) − n
2a
n
+ (n − 1)[N(n − 1) − n
−
n−1

i=1
4i
2i + N(2i − 1)

.
Sô
´
lu
,
.
o
,
ng n
`
ay tiê
´
p c
.
ân n − 1 nhu
,
N −→ +∞ v
`
a
a
n
N
−→ +∞ (ch
,
˘
ang h
.
an, cho a
n
= n

2
.
) Do
¯
d
´
o
¯
dô
´
i v
´
o
,
i
¯
dô
´
i v
´
o
,
i bâ
´
t k
`
y ε > 0 (
,
o
,

¯
dây ε =
1
1998
,) ch
´
ung ta c
´
o thê
,
t
`
ım thâ
´
y sô
´
¯
d
,
u l
´
o
,
n N v
`
a a
n
nhu
,
v

.
ây m
`
a a
i
, b
i
, l
`
a tâ
´
t c
,
a nh
˜
u
,
ng kh
´
ac bi
.
êt
n

i=1
a
i
=
n


i=1
b
i
v
`
a
n − 1 >
n

i=1
a
i
− b
i
a
i
+ b
i
> n − 1 − ε

L
`
o
,
i gi
,
ai 3.3. Câu tr
,
a l
`

o
,
i l
`
a n = 1. Cho T ⊂ S . Ch
´
ung ta n
´
oi T l
`
a tô
´
t nê
´
u c
´
o tô
`
n
t
.
ai T
10
⊂ T Ð
´
ap
´
u
,
ng

¯
diê
`
u ki
.
ên (a) v
`
a (b). Bây gi
`
o
,
ch
´
ung ta h
˜
ay |T | = 50. Ch
´
ung
tôi kh
,
˘
ang
¯
d
.
inh r
`
˘
ang tâ
´

t c
,
a c
´
ac T nhu
,
v
.
ây l
`
a tô
´
t. H
˜
ay
¯
dê
,
E(T ) l
`
a sô
´
lu
,
.
o
,
ng
th
.

âm ch
´
ı c
,
a yê
´
u tô
´
trong T v
`
a O(T ) l
`
a sô
´
c
´
ac phâ
`
n t
,
u
,
l
,
e trong T. Ch
´
ung tôi c
´
o
E(T ) + O(T) = |T | = 50. Ðô

´
i v
´
o
,
i m
.
ôt sô
´
l
,
e x ∈ S cho f (x) biê
,
u th
.
i sô
´
lu
,
.
o
,
ng y c
´
ac
sô
´
ch
˜
˘

an trong S nhu
,
v
.
ây m
`
a UCLN(x, y) > 1. Ch
´
ung tôi thiê
´
t l
.
âp c
´
ac s
.
u
,
ki
.
ên sau
v
`
a bô
,
¯
dê
`
.
(1) 1 ∈ S v

`
a v
`
ai sô
´
nguyên tô
´
¯
dâ
`
u tiên l
,
e trong S
l
`
a3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59.
(2) C
´
o 16 sô
´
l
,
e, 3, 9, 15, , 93, trong S v
´
o
,
i c
´
ac u
,

´
o
,
c sô
´
nguyên tô
´
nh
,
o nhâ
´
t 3.
22 Chu
,
o
,
ng 3. Ðê
`
thi olympic to
´
an Trung Quô
´
c
(3) C
´
o 7 sô
´
l
,
e, 5, 25, 35, 55, 65, 85, 95, trong S v

´
o
,
i c
´
ac u
,
´
o
,
c sô
´
nguyên tô
´
nh
,
o nhâ
´
t
5.
(4) C
´
o 4 sô
´
l
,
e, 7, 49, 77, 91, trong S v
´
o
,

i c
´
ac u
,
´
o
,
c sô
´
nguyên tô
´
nh
,
o nhâ
´
t 7.
(5) C
´
o 1 sô
´
l
,
e trong S v
´
o
,
i c
´
ac u
,

´
o
,
c sô
´
nguyên tô
´
nh
,
o nhâ
´
t p, cho tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
nguyên tô
´
11 ≤ p ≤ 97.
Bô
,
¯
dê
`
3.2. Nê
´
u c

´
o m
.
ôt sô
´
l
,
e x ∈ T nhu
,
v
.
ây m
`
a
f (x) ≤ E(T ) − 9
th
`
ı T l
`
a tô
´
t.
Ch
´
u
,
ng minh. T
`
u
,

E(T ) − 9 ≥ f (x) c
´
o 9 sô
´
ch
˜
˘
an t
1
, t
2
, . . . , t
9
∈ T, nhu
,
v
.
ây m
`
a
UCLN(x, t
i
) = 1 . Ch
´
ung ta
¯
d
.
inh ngh
˜

ıa T
10
= x, t
1
, . . . , t
9
. Do
¯
d
´
o T l
`
a tô
´
t.

Ch
´
u
,
ng minh
¯
dê
`
b
`
ai. Kê
,
t
`

u
,
khi c
´
o ch
,
ı c
´
o 49 sô
´
ch
˜
˘
an trong T v
`
a |T | = 50, luôn
luôn c
´
o m
.
ôt sô
´
l
,
e x ∈ T. Cho p l
`
a sô
´
nguyên tô
´

nh
,
o nhâ
´
t c
,
ua x.Bây gi
`
o
,
ch
´
ung tôi
xem x
´
et c
´
ac tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p sau
¯
dây theo c
´

ac gi
´
a tr
.
i c
,
ua E(T ).
(a) E(T ) ≥ 31. Kê
,
t
`
u
,
khi x c
´
o thê
,
c
´
o nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a hai yê
´
u tô
´
kh

´
ac bi
.
êt ch
´
ınh,
f (x) ≤ f (15) =

98
6

+

98
10

−

98
30

= 22.
Do
¯
d
´
o E(T ) − 9 ≥ 22 ≥ f (x). T
`
u
,

bô
,
¯
dê
`
, T l
`
a tô
´
t.
(b) 30 ≥ E(T ) ≥ 21. Th
`
ı O(T ) = 50 − E(T ) ≥ 20. Khi,
1 + 16 = 17 < 20,
t
`
u
,
(1) v
`
a (2) ch
´
ung tôi tiê
´
p t
.
uc c
´
o thê
,

gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang p ≥ 5 v
`
a x  35, 55,
Do
¯
d
´
o
f (x) ≤ f (65) =

98
10

+

98
26

= 12.
Do
¯

d
´
o E(T ) − 9 ≥ 22 ≥ f (x). T
`
u
,
bô
,
¯
dê
`
, T l
`
a tô
´
t.
(c) 20 ≥ E(T ) ≥ 12. Th
`
ı O(T ) = 50 − E(T ) ≥ 30. Khi,
1 + 16 + 7 + 4 = 28 = 30 −2 ≤ O(T ) − 2,
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, 23
t

`
u
,
(1) v
`
a (5) ch
´
ung tôi tiê
´
p t
.
uc c
´
o thê
,
gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang p ≥ 13. Do
¯
d
´
o
f (x) ≤ f (13) =


98
26

= 3 = 12 − 9 ≤ E(T ) − 9.
Theo bô
,
¯
dê
`
T l
`
a tô
´
t.
(d) 11 ≥ E(T ) ≥ 10. Th
`
ı O(T ) = 50 − E(T ) ≥ 39. Khi,
1 + 16 + 7 + 4 = 28 = 39 −11 ≤ O(T ) − 11,
t
`
u
,
(1) v
`
a (5) ch
´
ung tôi tiê
´
p t

.
uc c
´
o thê
,
gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang x = p ≥ 47. Do
¯
d
´
o,
f (x) ≤ f (47) =

98
94

= 1 = 10 − 9 ≤ E(T ) − 9.
T
`
u
,
bô

,
¯
dê
`
T l
`
a tô
´
t.
(e) E(T ) = 9. Th
`
ı O(T ) = 41. Khi,
1 + 16 + 7 + 4 = 28 = 41 −13 = O(T ) − 13,
t
`
u
,
(1) v
`
a (5) ch
´
ung tôi tiê
´
p t
.
uc c
´
o thê
,
gi

,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang x = p ≥ 59 Do
¯
d
´
o
f (x) ≤ f (59) = 0 = E(T ) − 9.
T
`
u
,
bô
,
¯
dê
`
T l
`
a tô
´
t.
(f) E(T ) ≤ 8. Th
`

ı O(T ) = 50 − E(T ) ≥ 42. Khi,
1 + 16 + 7 + 4 = 28 = 42 −14 = O(T ) − 14,
t
`
u
,
(1) v
`
a (5) ch
´
ung tôi tiê
´
p t
.
uc c
´
o thê
,
gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang x = p ≥ 61. Khi O(T ) ≤ 49, c
´
o

nhiê
`
u nhâ
´
t l
`
a 7 sô
´
l
,
e không trong T . Trong sô
´

98
6

+ 1 = 16, sô
´
l
,
e trong S l
`
a chia
hê
´
t cho 3. c
´
o
´
ıt nhâ

´
t l
`
a 16 − 7 = 9 trong sô
´
sô
´
trong T. G
.
oi t
1
, t
2
, . . . , t
9
l
`
a 9 sô
´
nhu
,
v
.
ây. Sau
¯
d
´
o, ch
´
ung tôi c

´
o thê
,
cho T
10
= x, t
1
, t
2
, . . . , t
9
v
`
a do
¯
d
´
o T l
`
a tô
´
t.
V
`
ı v
.
ây, tâ
´
t c
,

a T v
´
o
,
i |T | = 50 l
`
a tô
´
t. Tuy nhiên, t
.
âp h
.
o
,
p con c
,
ua 49 con sô
´
th
.
âm
ch
´
ı l
`
a không tô
´
t. Do
¯
d

´
o n = 50.

24 Chu
,
o
,
ng 3. Ðê
`
thi olympic to
´
an Trung Quô
´
c
L
`
o
,
i gi
,
ai 3.4. C
´
ac nghi
.
êm n = 3, 7, 23. Kê
,
t
`
u
,

2 l
`
a sô
´
nguyên tô
´
1 + C
1
n
+ C
2
n
+ C
3
n
=
2
k
.
¯
dô
´
i v
´
o
,
i m
.
ôt sô
´

nguyên du
,
o
,
ng k ≤ 2000. Ch
´
ung tôi c
´
o 1 + C
1
n
+ C
2
n
+ C
3
n
=
(n + 1)(n
2
− n + 6)
6
t
´
u
,
c l
`
a (n + 1)(n
2

−n + 6) = 3 ×2
k+1
. Cho m = n + 1, sau
¯
d
´
o m ≥ 4
v
`
a m(m
2
− 3m + 8) = 3 × 2
k+1
.
Ch
´
ung tôi xem x
´
et hai tru
,
`
o
,
ng h
.
o
,
p sau.
(a) m = 2
s

. Khi m ≥ 4, s ≥ 2. Ch
´
ung tôi c
´
o 2
2s
−3x2
s
+ 8 = m
2
−3m + 8 = 3×2
t
¯
dô
´
i v
´
o
,
i m
.
ôt sô
´
nguyên du
,
o
,
ng t. Nê
´
u s ≥ 4 th

`
ı 8 ≡ 3 × 2
t
(mod16) =⇒ 2
t
= 8 =⇒
m
2
− 3m + 8 = 24 =⇒ m(m − 3) = 16
¯
d
´
o l
`
a không thê
,
. V
`
ı v
.
ây, m
.
ôt trong hai
s = 3, m = 8, t = 4, n = 7, ho
.
˘
ac s = 2, m = 4, t = 2, n = 3.
(b) m = 3×2
s
. Khi m ≥ 4, m > 1. v

`
a u ≥ 4. Ch
´
ung tôi c
´
o 9×2
2u
−9×2
u
+8 = m
2
−
3m + 8 = 2
v
,
¯
dô
´
i v
´
o
,
i m
.
ôt sô
´
nguyên du
,
o
,

ng v. N
´
o râ
´
t d
˜
ê d
`
ang
¯
dê
,
kiê
,
m tra m
`
a không
c
´
o gi
,
ai ph
´
ap cho v khi u = 1, 2. Nê
´
u u ≥ 4, ch
´
ung tôi c
´
o 8 ≡ 2

v
(mod16) =⇒ v = 3
v
`
a m(m − 3) = 0,
¯
d
´
o l
`
a không thê
,
. V
`
ı v
.
ây, u = 3, m = 3 × 2
3
= 24, v = 9, n = 23.
L
`
o
,
i gi
,
ai 3.5.
Bô
,
¯
dê

`
3.3. Cho D l
`
a m
.
ôt
¯
diê
,
m bên trong tam gi
´
acABC.Ch
´
ung tôi c
´
o
AD · DB · AB + DB · DC · BC + DC · DA ·CA ≥ AB · BC · CA; (4)
¯
d
,
˘ang th
´
u
,
c x
,
ay ra khi v
`
a ch
,

ı khi D l
`
a tr
.
u
,
c tâm c
,
ua ABC.
R
˜
o r
`
ang l
`
a bô
,
¯
dê
`
c
´
o ch
´
u
,
a kê
´
t qu
,

a ch
´
ınh c
,
ua ch
´
ung tôi.Ch
´
ung tôi s
˜
e ch
´
u
,
ng minh
bô
,
¯
dê
`
theo hai c
´
ach.
Ch
´
u
,
ng minh. C
´
ach 1

Cho E v
`
a F l
`
a
¯
diê
,
m nhu
,
v
.
ây m
`
a BCDE v
`
a BCAF l
`
a hai h
`
ınh
b
`
ınh h
`
anh. V
`
ı v
.
ây EDAF c

˜
ung l
`
a m
.
ôt h
`
ınh b
`
ınh h
`
anh.Ch
´
ung tôi c
´
o
AF = ED = BC, EF = AD, EB = CD, BF = AC.
´
Ap d
.
ung
¯
d
.
inh l
´
y Ptolemy cho t
´
u
,

gi
´
ac ABEF v
`
a AEBD, ch
´
ung tôi c
´
o
AB · AD + BC · CD = AB · EF + AF · BE
≥ AE · BF = AE · AC;
BD · AE + AD ·CD = BD · AE + AD · BE
≥ AB · ED = AB · BC.
Bây gi
`
o
,
ch
´
ung tôi c
´
o
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,

n, 25
DA · DB · AB + DB · DC · BC + DC · DA ·CA
= DB(AB · AD + BC · CD) + DC · DA ·CA
≥ DB · AE · AC + DC · DA · CA
≥ AC(BD · AE + AD ·CD)
≥ AC · AB · BC.
Dâ
´
u b
`
˘
ang x
,
ay ra khi v
`
a ch
,
ı khi c
,
a hai ABEF v
`
a AEBD l
`
a tuâ
`
n ho
`
an, c
´
o ng

.
u
´
y r
`
˘
ang
AEFBD v
`
a AFED l
`
a tuâ
`
n ho
`
an. Kê
,
t
`
u
,
khi AFED l
`
a m
.
ôt h
`
ınh b
`
ınh h

`
anh, AFED
l
`
a m
.
ôt h
`
ınh ch
˜
u
,
nh
.
ât v
`
a AD⊥ED. Kê
,
t
`
u
,
khi BCDE l
`
a m
.
ôt h
`
ınh b
`

ınh h
`
anh, ch
´
ung
tôi c
´
o ED  BC v
`
a AD⊥BC. Kê
,
t
`
u
,
khi AEBD l
`
a tuâ
`
n ho
`
an,

ABE =

ADE, m
`
a ng
.
u

´
y r
`
˘
ang BE⊥AB.Kê
,
t
`
u
,
khi BCDE l
`
a m
.
ôt h
`
ınh b
`
ınh h
`
anh, ch
´
ung tôi c
´
o CD  EB v
`
a
CD⊥AB. Do
¯
d

´
o D l
`
a tr
.
u
,
c tâm c
,
ua ABC.
C
´
ach 2
Cho D l
`
a gô
´
c t
.
oa
¯
d
.
ô trong m
.
˘
at ph
,
˘
ang

¯
dê
,
c
´
ac t
.
oa
¯
d
.
ô c
,
ua c
´
ac
¯
diê
,
m A, B, C l
`
a u, v, w
ch
´
ung tôi viê
´
t (4) nhu
,
|uv(u − v)| + |vw(v − w)| + |wu(w − u)| ge|(u −v)(v − w)(w − u)|. (5)
Nhu

,
ng n
´
o râ
´
t d
˜
ê d
`
ang
¯
dê
,
kiê
,
m tra xem
uv(u − v) + vw(v − w) + wu(w − u) = −(u − v)(v −w)(w − u), (6)
trong n
´
o ng
.
u
´
y (5) v
`
a do
¯
d
´
o c

´
o (4). Bây gi
`
o
,
ch
´
ung ta ch
,
ı câ
`
n x
´
ac
¯
d
.
inh khi
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c
x
,
ay ra. Ð

.
˘
at
z
1
=
uv
(u − w)(v − w)
, z
2
=
vw
(v − u)(w − u)
, z
3
=
wu
(w − v)(u − v)
Ch
´
ung ta c
´
o thê
,
viê
´
t l
.
ai (5) v
`

a (6) nhu
,
|z
1
| + |z
2
| + |z
3
| ≥ 1
z
1
+ z
2
+ z
3
= 1.
B
`
ınh
¯
d
,
˘
ang gi
˜
u
,
nê
´
u v

`
a ch
,
ı nê
´
u z
1
, z
2
, z
3
l
`
a tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c du
,
o
,
ng

Gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang z
1
, z
2
, z
3
l
`
a tâ
´
t c
,
a c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c du

,
o
,
ng. Kê
,
t
`
u
,
khi
−
z
1
z
2
z
3
= (
v
w − u
)
2
, −
z
2
z
3
z
1
= (

w
u − v
)
2
, −
z
3
z
1
z
2
= (
u
v − w
)
2
,
ch
´
ung ta biê
´
t r
`
˘
ang
u
v − w
v
`
a

v
w − u
l
`
a nh
˜
u
,
ng con sô
´
tu
,
,
o
,
ng tu
,
.
o
,
ng thuâ
`
n t
´
uy, do
¯
d
´
o
AD⊥BC v

`
a BD⊥AC v
`
a D l
`
a tr
.
u
,
c tâm c
,
ua tam gi
´
ac ABC.
Gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang D l
`
a tr
.
u
,
c tâm c

,
ua tam gi
´
ac ABC. Khi tam gi
´
ac nh
.
on, D l
`
a
¯
diê
,
m
bên trong tam gi
´
ac. V
`
ı v
.
ây c
´
o m
.
ôt sô
´
sô
´
du
,

o
,
ng r
1
, r
2
, r
3
th
,
oa m
˜
an