Bất đẳng thức Cosi

TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN 10

CHỦ ĐỀ 4.

BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƢƠNG TRÌNH

 PHẦN 01 BẤT ĐẲNG THỨC
 A. LÝ THUYẾT - PHƢƠNG PHÁP:
I – ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
1. Khái niệm bất đẳng thức
Các mệnh đề dạng '' a

b '' hoặc '' a

b '' được gọi là bất đẳng thức.

2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tƣơng đƣơng
Nếu mệnh đề '' a b c d '' đúng thì ta nói bất đẳng thức c d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a b và cũng
viết là a b c d.
Nếu bất đẳng thức a b là hệ quả của bất đẳng thức c d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và
viết là a b c d.

3. Tính chất của bất đẳng thức
Như vậy để chứng minh bất đẳng thức a b ta chỉ cần chứng minh a b 0. Tổng quát hơn, khi so sánh hai số, hai biểu
thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau
Tính chất
Tên gọi
Điều kiện
Nội dung
Cộng hai vế của bất đẳng thức với một
a b a c b c

số
c 0
a b ac bc
Nhân hai vế của bất đẳng thức với một
số
c 0
a b ac bc
Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều
a b và c d
a c b d

a

0, c

0

n
n
a

và a
0

0

a

b và c

a

b

a2 n

a

b

2n

a

b

a

b

a

d

ac

1

b2 n

a

1

b

b
3

Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều
Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một
lũy thừa

2n

a
3

bd

Khai căn hai vế của một bất đẳng thức

b

Chú ý
Ta còn gặp các mệnh đề dạng a b hoặc a b. Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là bất đẳng thức. Để phân biệt, ta gọi
chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng a b hoặc a b là các bất đẳng thức ngặt. Các tính
chất nêu trong bảng trên cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt.

II– BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN (BẤT ĐẲNG

THỨC CƠ-SI)
1. Bất đẳng thức Cơ-si
Định lí
Trung bình nhân của hai số khơng âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng
a b
ab
,
a, b 0.
1
2
a b
Đẳng thức ab
xảy ra khi và chỉ khi a b.
2

2. Các hệ quả
Hệ quả 1
Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.
1
a
2,
a 0.
a
Hệ quả 2
Nếu x , y cùng dương và có tổng khơng đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x
Hệ quả 3
Nếu x , y cùng dương và có tích khơng đổi thì tổng x

y.

y nhỏ nhất khi và chỉ khi x

(1)

y.


TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN 10
III – BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Điều kiện

Nội dung

x
a

0, x
x

a

a

x

a

0

x

a

b

x, x

x
x

a

a hoặc x

a

b

a

a

b

 B. BÀI TẬP MẪU:
- Dạng 1: Sử dụng bất đẳng thức Cơ-si
3
với x  0 .
x
3

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của g  x   x 
với x  1 .
x 1
3
1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của h  x   x 
với x   .
2x 1
2
3
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của p  x   x 
với x  2 .
4x  7

Ví dụ 1: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của f  x   x 

Lời giải
a) Do x  0 nên ta có f  x   x 

3
3
 2 x.  2 3 .
x
x

3
 x  3 (thỏa mãn điều kiện x  0 ).
x
Vậy, f  x  đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 3 khi x  3 .
Đẳng thức xảy ra khi x 

b) Do x  1 nên ta có g  x   x  1 

3
1  2
x 1

 x  1 .

3
 1  2 3 1.
x 1

3
 x  1  3 (thỏa mãn).
x 1
3
6
6
 2h  x   2 x 
 2x  1 
1.
c) Ta có h  x   x 
2x 1
2x 1
2x 1
1
6
1  2 6 1
Do x   nên ta có 2h  x   2  2 x  1 .

2x 1
2
2 6 1
.
 h  x 
2
6
6 1
x
Đẳng thức xảy ra khi 2 x  1 
(thỏa mãn).
2x 1
2
2 6 1
6 1
Vậy, h  x  đạt giá trị nhỏ nhất bằng
khi x 
.
2
2
3
12
 4 p  x   4x 
d) p  x   x 
4x  7
4x  7
4
12
71
 4 p  x    4x  7 

  4x  7  7 .
75
4 x  7 75
Từ giả thiết ta có 4 x  7  15 . Do đó
Đẳng thức xảy ra khi x  1 

(2)


TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN 10
4
12
71
44
11
 .15  7 
 p  x  .
 4x  7.
75
4 x  7 75
5
5
12
4
  4x  7 
Đẳng thức xảy ra khi  75
4 x  7  x  2 (thỏa mãn).
 x  2
4 p  x  2

Vậy p  x  đạt giá trị nhỏ nhất bằng

11
khi x  2
5

- Dạng 2: Sử dụng biến đổi tƣơng đƣơng hoặc các bất đẳng thức đã biết
Để tìm giá trị lớn nhất (tương tự đối với giá trị nhỏ nhất) của biểu thức f, ta có thể trình bày lời giải như sau:
- Bước 1: Chứng minh với mọi giá trị của biến số thỏa mãn điều kiện T đều xảy ra bất đẳng thức f  M ,
trong đó M là một hằng số khơng phụ thuộc vào các biến của f.
- Bước 2: Chứng minh hoặc chỉ ra tồn tại bộ giá trị của biến (không nhất thiết phải tìm ra tất cả) thỏa mãn
điều kiện T sao cho f  M .
- Bước 3: Kết luận max f  M .

3x  1
trên đoạn  1;3 .
x2
x2
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g  x  
trên đoạn  1; 2 .
2 x2  1

Ví dụ 1: a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x  

Lời giải

3 x  2  7
7
. ĐKXĐ: x  2
 3

x2
x2
7
8
7
7
7
  7  
 .
Với mọi x   1;3 , ta có: 1  x  2  5  
1 x2 5
x2
5
8
Do đó 4  f  x   , x   1;3 .
5
8
Ta có f  x   4  x  1  1;3 ; f  x    x  3  1;3 .
5
8
Vậy max f  x   f  1  4 và min f  x   f  3  .
 1;3
1;3
5
2
b) Với x   1; 2 thì x   0; 4 .

a) Ta có f  x  

x2

1  2 x  1  1 1 1
1
 .
  . 2
Ta có
.
2
2
2x 1 2
2x 1
2 2 2x 1
2

Với mọi x thuộc đoạn  1; 2 thì 1  2 x 2  1  9  1 

1
2x 1



1
9

1
1 1
1
4
 0  . 2
 .
2x 1

9
2 2 2x 1 9
2
Do đó 0  g  x   , x   1; 2 .
3
2
Mặt khác g  x   0  x  0   1; 2 ; g  x    x  2   1; 2 .
3
2
Vậy max g  x   g  2   và min g  x   g  0   0
1;2
1;2
3
 1  

1

2

2

(3)


TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN 10

 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?

A.

a
c

b
d

a c

b d.

B.

a
c

b
d

a c

C.

a
c

b
d

a d

b c.

D.

a
c

b
d

0
0

b d.

a c

b d.

Câu 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây sai?

A.
C.

a
a

b
c

b

a

c
2

a
a

B.

.

b
c

a c

b a.

D. a b c a c
Câu 3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
a

b

a c

A.

a
c

b
d

C.

0
0

a
c

b c.

ac

bd.

b
d

ac

bd.

B.

a
c

b
d

D.

a
c

b
d

ac

b.

bd.

ac

bd.

Câu 4. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?

A.

a

b

ac

C.

c

a

b

B.

bc.
ac

D.

bc.

a
c

 

b
0

 ac

a

b

ac

bc.

0
0

a
b

bc.

Câu 5. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?

A.

0
0

a
c

C.

a
c

b
d

b
d
a
c

a
c

b
.
d

B.

a
c

b
d

0
0

a

c

b
.
d

b
.
d

a
c

D.

b
d

d
.
c

Câu 6. Nếu a 2c b 2c thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A.

3a

3b.

B.

a2

C.

b2 .

2a

D.

2b.

1
a

1
.
b

Câu 7. Nếu a b a và b a b thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A.

ab

0.

Câu 8. Nếu 0 a

A.

1
a

B. b a.
C. a b 0.
D.
1 thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
B.

a.

a

1
.
a

C.

a

D.

a.

a

a3

0

và

b

0.

a2 .

Câu 9. Cho hai số thực dương a, b. Bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A.

a2
a

4

1

1
.
2

B.

ab

ab 1

Câu 10. Cho a, b 0 và x

1
.
2

1 a
, y
1 a a2

C.

a2 1
a2 2

1 b
.
1 b b2

1
.
2

D. Tất cả đều đúng.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

x

y.

B.

C.

x

y.

D. Không so sánh được.

x

y.

Câu 11. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x

A.

m

1 2 2.

B.

m

1 2 2.

C.

m

1

Câu 12. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x

2

x

x

x

m

2.

B.

m

1.

C.

m

với
D.

2.
2

x

A.

1

2

5
.
2

5

x

m

1.

1

2.

.

4

D. Không tồn tại
(4)

m.


TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN 10
x2

Câu 13. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x

A.

m

0.

B.

m

1.

C.

m

m

4.

B.

m

18.

C.

m

x

m

2.

B.

m

4.

C.

m

m

2.

B.

m

4.

C.

m

4
x

m

1
.
2

B.

m

7
.
2

C.

m

1
x

m

2.

B.

m

4.

C.

m

m

4.

B.

m

6.

C.

m

2

x
32
4 x 2

4.

2x 3 4
x

6.

x

M

0.

B.

M

24.

C.

M

M

0.

B.

M

1
.
2

C.

M

6x

M

1

.
4

B.

M

1
.
2

C.

M

x
x

M

0.

B.

M

1
.
4

C.

M

16.

với

x

2.

D.

m

8.

với

x

0.

D.

m

10.

với

với

4

1.

x

Câu 23. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x

A.

m

D.
2

x
1
.
2

1

2

x

D.

D.

1.

m

2, M

3.

m

2, M

3 2.

Câu 25. Tìm giá trị nhỏ nhất m

A.
C.

m

0; M

4 5.

m

2; M

2 5.

Câu 26. Tìm giá trị nhỏ nhất m

A.

m

3.

B.

m

10.

19
.
2

m

với

M

x

x

D.

M

với

x

D.

M

m

2 3.

(5)

D.

m

1 3
; .
2 2

x

30.

1.

M

B. m 3, M 3 2.
D. m 3, M 3.
và lớn nhất M của hàm số f x
B. m 2; M 4.
D. m 0; M 2 2 2.
7 2x
3x
của hàm số f x
C.

1.

0.

2.
0.
2.
0.

1.

Câu 24. Tìm giá trị nhỏ nhất m và lớn nhất M của hàm số f x

A.
C.

0.

8.

0

x

0.

x

m

3 5 2x

x 1
x

x

6.

1

với

với

27.

2.

m

với

D.

Câu 22. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x

A.

3

13
.
2

Câu 21. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x

A.

4

x

Câu 20. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x

A.

1 x

8.

Câu 19. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x

A.

1

1.

với

D.

Câu 18. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x

A.

x
1 x

6.

Câu 17. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x

A.

8

D.

16.

Câu 16. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x

A.

2 x

x

m

x

Câu 15. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x

A.

với

D.

2.

Câu 14. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x

A.

2x 2
x 1

x

2 x

4.
87
.
3

3

4

6

x.

8

x.

TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN 10
Câu 27. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x

A.

B. M
Câu 28. Cho hai số thực x ,
A. 0;3 .
Câu 29. Cho hai số thực x ,
A.

M

0;

1.

1
3

.

B.

2.

thỏa mãn

y

thỏa mãn

y

1;1

.

C.
x

2

A.

2

.

B. 1 .

y

2 2.
2

B.

0;2

x2

y2

C.

1
;1
3

Câu 30. Cho hai số thực x , y thỏa mãn x
3

M

x

y

3

xy

.
xy

8

x2 .

D. M 4.
3 . Tập giá trị của biểu thức
C. 2;2 .D. 2;2 .
1 . Tập giá trị của biểu thức

.

D.
4 xy

C. 8 .

(6)

2.

1;

1
3

là:

S

x

y

P

xy

là:

.

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
D. 3 2 .

S

x

y

là: