Slide Toán cao cấp ứng dụng trong kinh tế và kinh doanh 2

GIỚI HẠN
HÀM SỐ

ThS. Trần Thị Nắng


Đặt vấn đề
Một nhà quản lý đã xác định được khi x% máy móc của cơng ty được sử dụng thì hàm
chi phí C (nghìn dollars) cho việc vận hành là

8 x 2 − 636 x − 320
C ( x) = 2
x − 68 x − 960

C ( 80 ) = ?

Cơng ty duy trì chế độ bảo trì ln phiên để đảm bảo ln ln có xấp xỉ 80% máy
được sử dụng. Chi phí mà nhà quản lý này ước tính được sẽ là bao nhiêu khi máy
móc vận hành đúng chế độ trên?

2


ĐỊNH NGHĨA: Giới hạn của hàm số f(x), khi x dần đến a, bằng
L nếu giá trị của f(x) có thể gần L một cách tùy ý khi lấy giá trị
của x đủ gần a (x ≠ a), và viết:

lim f ( x ) = L

x →a

x −1
lim
x →1 x − 1

3


ĐỊNH NGHĨA: Giới hạn của hàm số f(x), khi x dần đến a, bằng
L nếu giá trị của f(x) có thể gần L một cách tùy ý khi lấy giá trị
của x đủ gần a (x ≠ a), và viết:

lim f ( x ) = L

x →a

f (1)

không tồn tại

lim f ( x ) =
x →1

1
2

Lưu ý: không cần quan tâm
đến giá trị của hàm số tại
điểm cần tính giới hạn
4

x −1
x →1 x 2 − 1

Dự đoán giá trị của lim

x −1
 lim 2
= 0.5
x →1 x − 1

5


sin x
x →0 x

Dự đoán giá trị của lim

sin x
 lim
=1
x →0 x

Dự đoán sai

6


Định nghĩa chính xác giới hạn của hàm số

ĐỊNH NGHĨA:
tồn tại số
sao cho:
Nếu

 Với mỗi số

v

thì

7


GIỚI HẠN MỘT PHÍA

lim f ( x ) = L

x →a

−

lim f ( x ) = L

x →a +

GIỚI HẠN BÊN TRÁI

GIỚI HẠN BÊN PHẢI

(x dần về a và x < a)

(x dần về a và x > a)

8


Ví dụ10:
1 Cho đồ thị hàm số g. Dựa vào đó xác định các giá
Câu
trị sau (nếu tồn tại)

9


GIỚI HẠN TẠI VÔ CÙNG

x→

−  x

lim f ( x) = L
x →

lim f ( x) = L

x →−

10

Ví
dụ11:
2 Tìm các giới hạn vơ cùng, giới hạn tại vơ cùng
Câu
của hàm số có đồ thị như sau

11


LUẬT TÍNH GIỚI HẠN Giả sử tồn tại
R
và c là một hằng số thì:
1

,

2
3
4
5
12


6
7

8
9

[Nếu n chẵn, ta giả sử

]

10
[Nếu n chẵn, ta giả sử

]
13


Một số cơng thức giới hạn đặc biệt
• lim ( log a x ) = −, lim ( log a x ) = , ( a  1)
x→0

x→

lim ( log a x ) = , lim ( log a x ) = −, (0  a  1)
x→0

x→

• lim e = , lim e = 0

sin x
• lim
=1
x→0
x

1
• lim n = 0
x→ x

0, khi − 1  q  1
• lim q = 
x→+
+, khi q  1

x

x→

x

x→−

x

14


Qui tắc L’Hospital

15


CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

Cho hai hàm số u(x) và v(x):

(Cu ) = Cu (C = const )
(u  v) = u   v 

(uv) = u v + vu


u v − vu
u
  =
2
v
v
16


CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

C  = 0 ( C = const )
n −1
n
( x ) = nx
1
(ln x) =
x
1
(log a x) =
x ln a
x
x


(e ) = e

(u ) = nu . ( u )’
1
(ln u ) = . ( u )’
u
1
(log a u ) =
. ( u )’
u ln a

(a ) = a x ln a

(a ) = a ln a. ( u )’

x

Cho hàm số u(x):
n −1

n

(e ) = e . ( u )’
u

u

u

u

17


CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

Cho hàm số u(x):

(sin x) = cos x
(cos x) = − sin x
1
2

(tan x) =
= sec x
2
cos x
−1
2
(cot x) = 2 = − csc x
sin x
(sec x) = sec x tan x

(sin u ) = ( u )’.cos u
(cos u ) = − ( u )’.sin u
1
2

(tan u ) =

. ( u )’ = ( u )’ sec u
2
cos u
−1
2

. ( u )’ = − ( u )’.csc u
(cot u ) =
2
sin u
(sec u ) = ( u )’ sec u tan u

(csc x) = − csc x cot x

(csc u ) = − ( u )’ csc u cot u
18


1/ y = x 5 − 4 x 3 + 2 x − 3
x4 2 3 4 2
1
2 / y = − x + x −1+
2 3
5
x
2 6
1
4
3/ y = − x + x − 3 + x + 5 x
3

x
4 / y = ( x − 5x
7

)

2 3

5 / y = ( x 2 + 1)( 5 − 3 x 2 )
6 / y = 2 − 5x + x2
x −1
7/ y =
5x − 2
x2 + 2x + 3
8/ y =
3 − 4x
19


Qui tắc L’Hospital
Cho f, g là các hàm khả vi.
lim f ( x ) = 0
 x →a
Giả sử 
hoặc
g ( x) = 0
lim
x →a

lim f ( x ) = 

 x →a

g ( x ) = 
lim
x →a

thì

f ( x)
f ’( x )
lim
= lim
x →a g ( x )
x → a g’ ( x )
a có thể là 
20


CÁC DẠNG BẤT ĐỊNH
Áp dụng quy tắc L’Hospital
Ví dụ 3: Tính
a ) lim−
x →

sin x
1 − cos x

b) lim

x →2

x + 2 − 2x
x −1 − 3 − x

21


CÁC DẠNG BẤT ĐỊNH
Áp dụng quy tắc L’Hospital
Ví dụ 4: Tính

lim

2 x 2 − 3x + 4

x →− 1 + 2 x − 4 x 2

22


CÁC DẠNG BẤT ĐỊNH
Chuyển về dạng

Ví dụ 5: Tính lim+ x ln x

0

hoặc rồi áp dụng quy tắc L’Hospital
0


f ( x)
f ( x) g ( x) =
1
g ( x)

x →0

23


CÁC DẠNG BẤT ĐỊNH
Dạng  −  : Chuyển về dạng
L’Hospital

hoặc

rồi áp dụng quy tắc

1 
 2
lim
−
Ví dụ 6: Tính


x →1  x 2 − 1 x − 1 





1 
2
1 
2
x +1
 2
lim  2
−
= lim 
−
−
 = lim 


x →1  x − 1 x − 1  x →1 ( x − 1)( x + 1)
x →1 ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1)
x
−
1




 1 − x  L ' Hospital
 −1  −1
= lim  2
= lim   =

x →1  x − 1 
x →1  2 x 

2

24


CÁC DẠNG BẤT ĐỊNH


Dạng 0 ,  , 1 : Chuyển về dạng 0. bằng cách
0

0

lim  f ( x ) 
x →a

g( x)

= lim e

ln  f ( x ) 

x →a

g ( x)

= lim e
x →a

g ( x ) ln  f ( x ) 

=e

lim g ( x ) ln  f ( x ) 

x→a

Ví dụ 7: Tính lim+ x x
x →0
x

lim+ x = lim e
+

x →0

( )

ln x x

x →0

( )

ln x
• lim+ ln x x  = lim+  x.ln ( x )  = lim+
 x →0
x →0 
x →0 1
x

1
L ' Hospital
=
lim+ x = lim+ ( − x ) = 0
1 x →0
x →0
− 2
x

 lim+ x x = lim+ e0 = 1
x →0

x →0

25