Tài liệu ôn tập môn Toán cao cấp ứng dụng trong kinh tế và kinh doanh 2 (có hướng dẫn bấm máy tính))

Chương 1: Hàm số và giới hạn
Bảng biến đổi lũy thừa:
x m x n = x m+ n

( )
xm

n

n

= x m .n

x=x

1

n

xm
= x m−n
n
x
1
= x−n
n
x
n

xm = x

m

n

1/ Hàm tuyến tính y = mx + b
Dạng 1: Cho cơng thức tìm Hệ số góc, giao trục Ox, Oy, MXĐ, MGT, biến thiên.
Hệ số góc là: m
Giao điểm với trục Ox: Cho y=0 giải ra được x=x0. Suy ra giao điểm với trục Ox là (x0; 0)
Giao điểm với trục Oy: Cho x=0 giải ra được y=y0. Suy ra giao điểm với trục Oy là (0; y0)
Miền xác định của hàm tuyến tính là R.
Miền giá trị của hàm tuyến tính là R.
Biến thiên:
+hệ số góc m>0: Hàm số đồng biến trên R (hàm số tăng)
+ hệ số góc m<0: Hàm số nghịch biến trên R (hàm số giảm)
Ví dụ:
Cho hàm tuyến tính y = −0,2 x + 4 . (Cho hàm chi phí là một mơ hình tuyến tính có dạng là
y=mx+b. Hàm giá bán theo số lượng là một mô hình tuyến tính có dạng là ….)
+Hệ số góc của hàm số là: -0,2
+Giao điểm với trục Ox: Cho y = 0  −0,2 x + 4 = 0  x = 20 . Suy ra giao điểm với trục Ox
là (20; 0)
+Giao điểm với trục Oy: Cho x=0 => y=4. Suy ra giao điểm với trục Oy là (0; 4)
+Hệ số góc m=-0,2<0 nên hàm số giảm.
Dạng 2: Xây dựng cơng thức hàm tuyến tính
Cho bài tốn thực tế, u cầu xây dựng mơ hình hàm tuyến tính.
Ví dụ:
Bộ phân quản lý của một công ty sản xuất hàng nội thất đã xác định được tổng chi phí để sản xuất 100 cái
ghế mỗi ngày là 2200$ và tổng chi phí để sản xuất 300 cái ghế mỗi ngày là 4800$. Giả sử tổng chi phí là
hàm tuyến tính theo số lượng cái ghế được sản xuất. Công thức của hàm tổng chi phí C theo số lượng x cái
ghế được sản xuất là:

a.C = -13x + 2330 (đô la)
b.C = 20x + 200 (đô la)
c.C = 13x + 900 (đô la)
d.C = -20x + 3500 (đơ la

Tóm tắt:
C=mx+b (do giả thiết là hàm tuyến tính)
Khi x=100 thì C=2200$
Khi x=300 thì C=4800$
Giải.
Lập hệ phương trình để tìm m và b.

m.100 + b = 2200 m = 13


m
.300
+
b
=
4800

b = 900
Suy ra C=13x+900 => Phương án C đúng
Dạng 3: Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua 2 điểm A ( x1, y1 ) và B ( x2 , y2 )
Hệ số góc: m =

y2 − y1
x2 − x1

2/ Hàm mũ và Logarit
Công thức hàm mũ: y = a ( b ) .
x

Cho trước x, yêu cầu tìm y.
Cho trước y, yêu cầu tìm x. (logarit)
Ví dụ 1:
Dân số ở Tulsa năm 2000 là 382872 người. Từ năm 2000, dân số Tulsa giảm với tỉ lệ
2.6% một năm. Khi đó, mơ hình dân số ở Tulsa theo thời gian t năm kể từ năm 2000
(năm 2000 ứng với t = 0) là:
P(t) = 382872 (1 – 2.6%)t.
Dân số của Tulsa vào năm 2018 là bao nhiêu người?
A. 271844 người
B. 294200 người
C. 238295 người
D. 220187 người
Giải.


P(t) = 382872(1-2,6%)t.
Dân số năm 2018, nghĩa là hỏi P.
Vì năm 2000 ứng với t = 0 nên năm 2018 ứng với t = 18.
Tìm P(18) = 382872(1-2,6%)18  238295 người
Chọn phương án C.
Ví dụ 2:
Dân số ở thành phố A năm 2000 là 178238 người. Từ năm 2000, dân số thành phố A
tăng với tỉ lệ 2.2% một năm. Khi đó, mơ hình dân số ở thành phố theo thời gian t
năm kể từ năm 2000 (năm 2000 ứng với t = 0) là:
P(t) = 178238 (1 + 2.2%)t.

Sau ít nhất bao nhiêu năm kể từ năm 2000 thì dân số thành phố A gấp đôi dân số
năm 2000?
A. 30 năm
B. 33 năm
C. 31 năm
D. 32 năm
Giải.
Yêu cầu tìm t để dân số P gấp đôi dân số năm 2000.
Cho P(t) = 2*178238
178238 (1 + 2,2% ) = 2 *178238
t

 178238 (1 + 2,2% ) − 2 *178238 = 0
t

Shift CALC

Ra được t = 31,852  32 năm.
Chọn phương án D.
3/ Lãi kép
Công thức:


Ví dụ 1: Giả sử một người gửi 6000$ vào ngân hàng, được hưởng lãi suất 7%/năm. Nếu
người đó gửi theo hình thức lãi kép, ghép lãi hàng quý thì sau 4 năm, số tiền cả gốc lẫn lãi có
trong tài khoản là:
A. 7919.58$
B. 8254$
C. 7770.71$
D. 4545.7$

Tóm tắt
P = 6000$
r = 7%/năm
t = 4 năm
m = 4 (ghép lãi mỗi quý nghĩa là một năm được lấy lãi 4 lần)
Số tiền cả gốc lẫn lãi có trong tài khoản là: A (đề bài hỏi)
Giải:

r

A = P 1 + 
 m

mt

 7% 
= 6000 1 +

4 


44

= 7919,58$

Chọn phương án A.
Ví dụ 2: Bạn muốn có 6000$ để mua một chiếc ô tô sau 4 năm. Bây giờ, bạn nên gửi ngân
hàng bao nhiêu để đạt được mục tiêu trên? Biết rằng lãi suất của ngân hàng là 6.5%/năm và
bạn dự định gửi theo hình thức lãi kép với kỳ hạn ghép lãi là mỗi hai tháng.
A. 4632.78$

B. 4545.7$
C. 4361.52$
D. 7770.71$
Tóm tắt


A = 6000$ (số tiền muốn có trong tương lai)
t = 4 năm
r = 6.5%/năm
m = 6 lần/năm (ghép lãi mỗi 2 tháng nghĩa là một năm có 6 lần ghép lãi)
Hỏi Bây giờ, bạn nên gửi ngân hàng bao nhiêu (Hỏi P = ?)
Giải.
mt

r

 6,5% 
A = P 1 +   6000 = P 1 +

6 
 m

6000
P=
= 4632,78$
64
 6,5% 
1 +

6 



64

Chọn phương án A.
4/ Hàm bậc hai
Lý thuyết:

h=−

b
2a

−b
. Thay x0 vào công thức của hàm số
2a

+ Khi a>0, hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x0 =

y = f ( x ) ta có được giá trị nhỏ nhất là f ( x0 ) .

+ Khi a>0, hàm số có giá trị lớn nhất tại x0 =

−b
. Thay x0 vào công thức của hàm số
2a

y = f ( x ) ta có được giá trị lớn nhất là f ( x0 ) .

Ví dụ 1: Cho hàm doanh thu: R(x) = x(75 – 3x). Giá trị của x để doanh thu đạt tối đa là:

A. x = 12,5


B. x = 25
C. x = 0
D. x = 15
Giải.

R ( x ) = x ( 75 − 3x ) = −3x 2 + 75 x (hàm bậc 2)
Cách 1: Sử dụng máy tính (nếu được)
Máy casio 570 VN PLus
Mode 5, chọn 3 (giải phương trình bậc 2). Nhập các hệ số trước x2, trước x và hệ số tự do
(nếu số hạng nào khơng có thì hệ số là 0).
Bấm dấu ‘=’ cho đến khi xuất hiện x_value maximum (hoặc minimum) (với bài này là
x_value maximum do đề bài hỏi doanh thu tối đa).
Ra được, x_value maximum là 12,5.
Như vậy giá trị của x để doanh thu đạt tối đa là 12,5.
Doanh thu tối đa là: y_value maximum là 468,75$
Cách 2 (Nếu bấm máy không được)

R ( x ) = x ( 75 − 3x ) = −3x 2 + 75 x
a là hệ số trước x2, b là hệ số trước x.
Hệ số trước x2 là -3<0 nên hàm số có giá trị lớn nhất.
x_value maximum = -b/2a =

−75
= 12,5 .
2 ( −3)

Thay x này vào công thức của hàm số R(x), ta ra được y_value maximum.

Ví dụ 2: Vào mùa hè, Hạ thường làm và bán những chuỗi hạt ở bãi biển. Hè vừa rồi cô bán
mỗi chuỗi với giá 60 nghìn đồng và bán được trung bình 32 chuỗi mỗi ngày. Khi thử tăng giá
mỗi chuối hạt lên 5 nghìn đồng, cơ nhận thấy sức mua giảm đi 4 chuỗi mỗi ngày. Biết chi phí
cho vật liệu làm mỗi chuỗi là 40 nghìn đồng. Từ dữ liệu trên, ta có được hàm giá P và hàm chi
phí C theo số lượng x chuỗi hạt lần lượt là:
P(x) = ̶ 1.25x + 100, C(x) = 40x. Vậy lợi nhuận tối đa là:
A. 720 nghìn đồng
B. 240 nghìn đồng
C. 1680 nghìn đồng
D. 640 nghìn đồng
Giải.
Tìm lợi nhuận max.


Trước hết cần xây dựng hàm lợi nhuận:

 ( x ) = R − C = P.x − C
= ( −1,25 x + 100 ) x − 40 x
= −1,25 x 2 + 100 x − 40 x
= −1,25 x 2 + 60 x

( Day la ham bac 2)

Thực hiện bấm máy như bài trên ra được x_value maximum = 24.
Như vậy giá trị của x để lợi nhuận tối đa là x=24.
Lợi nhuận tối đa là y_value maximum = 720 (nghìn đồng)
Chọn phương án A.
5/ Phân tích hịa vốn
Lý thuyết: Hòa vốn khi lợi nhuận bằng 0 (hay khi doanh thu bằng chi phí)
Ví dụ: Vào mùa hè, Hạ thường làm và bán những chuỗi hạt ở bãi biển. Hè vừa rồi cơ bán mỗi

chuỗi với giá 60 nghìn đồng và bán được trung bình 32 chuỗi mỗi ngày. Khi thử tăng giá mỗi
chuối hạt lên 5 nghìn đồng, cô nhận thấy sức mua giảm đi 4 chuỗi mỗi ngày. Biết chi phí cho
vật liệu làm mỗi chuỗi là 40 nghìn đồng. Từ dữ liệu trên, ta có được hàm giá P và hàm chi phí
C theo số lượng x chuỗi hạt lần lượt là: P(x) = ̶ 1.25x + 100, C(x) = 40x. Hạ cần bán được bao
nhiêu chuỗi hạt để hòa vốn?
A. 48 chuỗi
B. 24 chuỗi
C. 36 chuỗi
D. 60 chuỗi
Giải.
Đề bài cho P(x) = ̶ 1.25x + 100, C(x) = 40x
Hòa vốn khi R = C  P.x = C  ( −1,25 x + 100 ) x = 40 x
 −1, 25 x 2 + 60 x = 0

Bấm máy giải phương trình bậc 2 ra được nghiệm x1 = 48 và x2 = 0.
Như vậy để hịa vốn cần bán được 48 chuỗi.

6/ Tìm miền xác định của hàm số
Trong công thức của hàm số có:
+Căn bậc chẵn: đặt điều kiện cho phần trong căn 0.
(Ví dụ: y = x + 1, dieu kien : x + 1  0 )


+Mẫu số: đặt điều kiện cho mẫu khác 0.
(Ví dụ: y =

2x + 1
, dieu kien : x − 3  0 )
x−3

+Logarit: log a P ( x ) , dieu kien : P ( x )  0 .
Nếu hàm số khơng cần đặt điều kiện (ví dụ: y = x3 , y = −2 x 4 + 3x − 1 , ….) thì miền xác định
của hàm số là R.
7/ Hàm xác định trên từng miền
Cho sẵn công thức của hàm số và yêu cầu tính giá trị của hàm số tại x0.
Ví dụ 1:
 x2 − 4 x + 3
, x  1 (1)

Cho hàm số f ( x ) =  x3 − 1
. Giá trị của f ( −2 ) , f (1) , f ( 3) là:
3 x − 2,
x  1 (2)


Giải.
Tính f(-2) bằng cách thế x=-2 vào cơng thức (2) (vì x=-2 <1 nên x=-2 thuộc miền (2)).
f ( −2 ) = 3 ( −2 ) − 2 = −8

Tính f(1) bằng cách thế x=1 vào cơng thức (2).
f(1) = 3*1-2=1
Tính f(3) bằng cách thế x=3 vào cơng thức (1) (vì x=3>1)
f(3) = 0.

Ví dụ 2:
Một cơng ty viễn thơng đã đưa ra cơng thức tính chi phí C (đơ la) cho x (phút) gọi thoại là:

35,0  x  400

C ( x ) = 35 + 0.1( x − 400 ) ,400  x  600


95 + 0.2 ( x − 600 ) ,600  x
Chi phí ứng với 350 phút gọi là:
A. 35$
B. 30$
C. 70$
D. 45$


Giải.
350 phút nghĩa là x=350, thuộc vào miền 0  x  400 .
Suy ra chi phí C = 35$
b) Chi phí ứng với 510 phút gọi là:
x=510 thuộc vào miền 400  x  600
Suy ra chi phí là C = 35+0,1(x-400) = 35+0,1(510-400) = 46$

8/ Hàm hợp
Cho các hàm số f và g, yêu cầu tìm hàm hợp fog, gof.
Ví dụ:
Cho hàm số f ( x ) = x và g ( x ) = e x .

( )
f )( x ) = g ( f ( x ) ) = g ( x ) = e

Hàm hợp ( f g )( x ) = f ( g ( x ) ) = f e x = e x
Hàm hợp ( g

x

9/ Tìm giới hạn, giới hạn trái, giới hạn phải

Ta sẽ sử dụng máy tính để tính giới hạn. Các bạn đọc kỹ ví dụ sau để biết cách làm.
Ví dụ:
 x2 − 4 x + 3
, x  1 (1)

Cho hàm số f ( x ) =  x3 − 1
.
3 x − 2,
x  1 (2)


+ Yêu cầu tìm lim+ f ( x ) (khi x tiến tới 1+ nghĩa là x>1, do đó thay f(x) bằng cơng thức (1)
x →1

để tìm giới hạn bên phải).
x2 − 4 x + 3
2
lim+ f ( x ) = lim+
=
−
x→1
x→1
3
x3 − 1

(bam may voi x = 1,0001  1)

+ Và lim− f ( x ) (khi x tiến tới 1- nghĩa là x<1, do đó thay f(x) bằng cơng thức (2) để tìm giới
x →1

hạn bên trái). lim− f ( x ) = lim− ( 3 x − 2 ) = 1 .
x→1

x→1

2
+ Vì lim+ f ( x ) = −  lim− f ( x ) = 1 nên hàm số KHƠNG có giới hạn tại x=1 hay nói cách
x→1
3 x→1
khác lim f ( x ) khơng tồn tại.
x→1


10/ Liên tục
Dạng 2: Định m để hàm số liên tục tại x0.
Công thức: Hàm số y = f ( x ) liên tục tại x0 khi và chỉ khi lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( x0 ) .
x→ x0

x→ x0

 x2 − 4 x + 3
, x 1

Ví dụ: f ( x ) =  x3 − 1
. Định m để hàm số liên tục tại 1.
3 x − m,
x 1


Giải:

+f(1) = 3*1-m = 3-m
x2 − 4 x + 3
2
+ lim+ f ( x ) = lim+
= −0,6656  − (bấm máy CALC với x=1,001)
3
x→1
x→1
3
x −1

Để hàm số liên tục thì 3-m = -2/3 =>m=11/3


Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng
Bảng biến đổi lũy thừa:
x m x n = x m+ n

( )
xm

n

Bảng đạo hàm:

n

= x m .n

x=x

1

n

xm
= x m−n
n
x
1
= x−n
n
x
n

xm = x

m

n


1/ Cho bài tốn thực tế, tìm tốc độ thay đổi
Ví dụ 1: Biết tổng doanh số bán hàng sau t tháng tính từ thời điểm hiện tại là 𝑆(𝑡) = √𝑡 + 2
(đơn vị là triệu dollar).
Hàm tốc độ thay đổi của tổng doanh số bán hàng theo thời gian là:
S '(t ) =

1
(triệu đơ la/ tháng)

t

Ví dụ 2: Cho hàm chi phí là C ( x ) = 0.1x 2 + 3x + 10 . Công thức của hàm chi phí biên là:
A. MC ( x ) = 0.2 x + 3
B. MC ( x ) =

0.2 x + 3
x

0.1x 2 + 3x + 10
C. MC ( x ) =
x

(

D. MC ( x ) = x 0.1x 2 + 3x + 10

)

Giải.
Hàm chi phí biên là MC ( x ) = C ' ( x ) (tương tự cho doanh thu R và lợi nhuận  )
MC ( x ) = 0, 2 x + 3

Ví dụ 3: Một nhà thống kê đã sử dụng dữ liệu từ Cục điều tra dân số Hoa Kỳ để xây dựng
mô hình:
𝑆(𝑡) = 11 ln 𝑡 + 29
trong đó S(t) là số th bao truyền hình cáp (tính bằng triệu) trong năm t (t = 0 tương ứng với
năm 1980). Tốc độ thay đổi của số lượng thuê bao truyền hình cáp năm 2020 là bao nhiêu?
Giải.
Tốc độ thay đổi là S’(t)

Năm 1980 ứng với t=0
Năm 2020 ứng với t=40
Đề bài yêu cầu tìm S’(40) = 0,275 triệu/năm
2/ Tìm đạo hàm cấp 1, cấp 2
Ví dụ:
Cho hàm số y = xe x .

( )

Đạo hàm cấp 1 là: y ' = x ' e x + x e x ' = e x + xe x


(

)

Đạo hàm cấp 2 là: y " = e x + xe x ' = e x + e x + xe x = 2e x + xe x
3/ Đạo hàm ẩn
Dạng 1: Tìm đạo hàm ẩn
Ví dụ:
Cho y là hàm ẩn theo biến x (nghĩa là y=f(x)) thỏa mãn:
2 x3/2 + 3 y1/3 − xy 2 = 4 . Hãy tìm

dy
.
dx

Giải:
Cách 1:
Đạo hàm 2 vế theo biến x. Khi đó cần lưu ý 3 điều như sau:

1/ Nếu trong số hạng chỉ có x thì cứ lấy đạo hàm theo biến x.
2/ Nếu trong số hạng chỉ có y thì cứ lấy đạo hàm bình thường, sau đó nhân thêm y’
/

u
3/ Nếu trong số hạng có cả x và y thì phải áp dụng cơng thức đạo hàm của (uv)’ hoặc   .
v

Trong ví dụ trên ta có 4 số hạng:
+ Số hạng thứ nhất là 2x3/2 , chỉ có x trong đó nên ta lấy đạo hàm bình thường ra được
3
2 x3/2 ' = 2. .x1/2 = 3 x1/2
2

(

)

+ Số hạng thứ hai là 3y1/3 , chỉ có y trong đó nên ta cứ lấy đạo hàm rồi nhân thêm y’.

(3 y ) ' = 3. 13 y
1/3

−2/3

. y ' = y −2/3 y '

+ Số hạng thứ ba là − xy 2 , có cả x và y do đó ta áp dụng cơng thức đạo hàm (uv)’ như sau:

( − xy ) ' = ( − x ) ' y

2

2

( )

+ (−x) y2 '

= −1. y 2 + ( − x ) .( 2 y. y ')
= − y 2 − 2 xy. y '

+ Số hạng thứ tư là 4, đạo hàm hằng số ra bằng 0.
Do đó, khi lấy đạo hàm 2 vế theo biến x ta được:


 3x1/2 + y −2/3 y '− y 2 − 2 xyy ' = 0
 y −2/3 y '− 2 xyy ' = −3x1/2 + y 2

(

)

 y ' y −2/3 − 2 xy = y 2 − 3x1/2
 y' =

y 2 − 3 x1/2
y −2/3 − 2 xy

Cách 2 (Dùng hàm nhiều biến)
2 x3/2 + 3 y1/3 − xy 2 = 4

1/ Chuyển hết các số hạng trong công thức đề bài cho về bên trái.
2 x3/2 + 3 y1/3 − xy 2 = 4  2 x3/2 + 3 y1/3 − xy 2 − 4 = 0

2/ Đặt vế trái là F(x;y)

F ( x; y ) = 2 x3/2 + 3 y1/3 − xy 2 − 4
3/ Tìm đạo hàm riêng Fx ( x; y ) và Fy ( x; y ) .

Fx ( x; y ) = 3x1/2 − y 2
Fy ( x; y ) = y −2/3 − 2 xy

4/ Suy ra đạo hàm y ' =

dy − Fx ( x; y )
=
dx Fy ( x; y )

(

1/2
2
− Fx ( x; y ) − 3x − y
y' =
= −2/3
Fy ( x; y )
y
− 2 xy

)

Dạng 2: Tìm đạo hàm ẩn tại điểm M(x0, y0)
Ví dụ:
Cho y là hàm ẩn theo biến x (nghĩa là y = f(x), y>0) được cho bởi công thức
dy
y 3 − 5 y = 5 x 2 + 7 . Giá trị của
tại điểm (1;3) là:
dx
Giải:
Lấy đạo hàm 2 vế theo biến x, ta có:
3 y 2 y '− 5. y ' = 10 x

(

)

 y ' 3 y 2 − 5 = 10 x
 y' =

10 x
3y2 − 5


Thay x = 1 và y = 3 vào công thức của y’ ta ra được giá trị của y’ tại điểm (1;3) là:
10  1
10 5
=
= .
2
22

11
3 ( 3) − 5
Dạng 3: Tìm đạo hàm tại a bằng phương pháp Logarit hóa
Tất cả các hàm số có dạng y = f ( x ) , muốn tìm đạo hàm tại a, ta chỉ cần nhập vơ máy tính là
được.
Ví dụ:
ln x −1
Cho hàm số y = x ( ) , x>1. Đạo hàm của hàm số tại 2 là:

A. ln2
B. ln3
C.

ln 3
2

D.

ln 2
2

Giải.

Bấm máy shift và dấu tích phân, rồi nhập hàm số vào
x=2.

, tại

Ta ra được số là 0,693147
Trong 4 phương án đề bài cho thì ln2 ra được giá trị giống với số trên.

Do đó, phương án đúng là A.
4/ Vi phân
Dạng 1: Tìm cơng thức tổng quát của vi phân dy
Cho hàm số y = f ( x ) , công thức của vi phân dy là: dy = f ' ( x ) dx
Ví dụ: Cho hàm số y = 3x + 1 . Công thức của vi phân dy = y’.dx, suy ra dy =
Dạng 2: Tìm vi phân dy khi biết x0 và dx
Ví dụ: Cho hàm số y = 25 − 3x . Giá trị của vi phân dy khi x=3, dx = 0.08 là:
Giải:

3
dx
2 3x + 1


Ta có: dy = f ' ( x ) dx . Trong bài này cho sẵn x=3 và dx = 0.08.
Suy ra dy = f ’(3).(0,08)
Do đó ta cần tìm f ' ( 3) . Bằng cách bấm máy tìm đạo hàm tại x=3, ta ra được
f ' ( 3) = −0.375

Thay vào cơng thức ta có được: dy = −0.375  0.08 = −0.03 .
5/ Tìm cực đại địa phương, cực tiểu địa phương
Cho hàm số y = f ( x ) .
 f ' ( a ) = 0
Nếu 
, hàm số đạt cực tiểu địa phương tại a.
f
"
a

0

(
)


 f '(b ) = 0
Nếu 
, hàm số đạt cực đại địa phương tại b.
f
"
b

0
(
)



6/ Tìm cực đại tuyệt đối, cực tiểu tuyệt đối
Ví dụ:
Cho hàm số y=x3-6x2+5. Xét trên đoạn [-1;5], phát biểu nào sau đây đúng?
A. Hàm số có giá trị cực tiểu tuyệt đối là -27 và khơng có giá trị cực đại tuyệt đối
B. Hàm số có giá trị cực tiểu tuyệt đối là -27 tại x=4
C. Hàm số có giá trị cực đại tuyệt đối là 5 và khơng có giá trị cực tiểu tuyệt đối
D. Hàm số có giá trị cực đại tuyệt đối là 5 tại x=1
Bấm mode 7, nhập hàm số f(x) vào, start là -1, end là 5, step là 0,5.
Sau đó dựa vào giá trị f(x) tính được mà ta có giá trị lớn nhất là 5, tại x=0 và giá trị nhỏ nhất
là -27 tại x=4.
Do đó phương án đúng là B.
Để quay lại tính tốn bình thường thì chọn mode 1.
8/ Bài tốn tối ưu thực tế (tìm max hoặc min)

Chi phí tối thiểu, doanh thu tối đa hoặc lợi nhuận tối đa
Đọc lại chương 1, phần hàm số bậc 2 đề làm câu này.


ÔN TẬP CHƯƠNG 3_TÍCH PHÂN
Bảng nguyên hàm
 kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx

 kdx = kx + C

 ( f ( x )  g ( x ) ) dx =  f ( x ) dx   g ( x ) dx

n+1
ax + b )
(
 ( ax + b ) dx = a ( n + 1) + C , n  −1
− n+1
ax + b )
1
(
 ( ax + b )n dx = a ( −n + 1) + C, n  1

x n+1
x
dx
=
+ C , n  −1

n +1

n

n

1
x − n+1
dx
=
+ C, n  1
 xn
−n + 1

ln ax + b
1
dx
=
+C
 ax + b
a
eax+b
ax +b
 e dx = a + C

1
 x dx = ln x + C

 e dx = e
x

*  xdx

n

x

bien doi luy thua

*  x dx
n

m

+C

=

x

bien doi luy thua

=

(Tương tự cho



n

1

lay nguyen ham x n

n

x

=

dx
m

x
1

1

n +1

lay nguyen ham x n
n

=

dx

 n ( ax + b )

ax + bdx,

n +1

x

m

n

m

+C

n +1

n +1

+C

dx )

Lưu ý quan trọng:
Lấy nguyên hàm cần làm đúng theo công thức trong bảng ngun hàm. Nếu khơng đúng
dạng như trong cơng thức thì cần phải thu gọn hoặc dùng cách khác để tìm nguyên hàm
chẳng hạn như phương pháp thế, phương pháp nguyên hàm từng phần.
1/ Tìm ngun hàm
Ví dụ 1: (Bảng ngun hàm)

(

)

2 x6
x −1/2+1
−

+ 2x + C
6
−1 / 2 + 1
1
= x 6 − 2 x1/2 + 2 x + C
3

2 x5 − x −1/2 + 2 dx =

x −2
−2
 2 x dx = 2 −2 + C = − x + C
−3

1

1

 3 x4 dx =  x4/3 dx =  x
e

2−0.4 x

−4/3

dx

lay nguyen ham

=

e2−0.4 x
5
dx =
+ C = − e2−0.4 x + C
−0.4
2

x −1/3
+ C = −3x −1/3 + C
−1/ 3


Bài tập rèn luyện:
1

1)   x 2 − 3x +  dx
x

a

−1

2x 3 + 5x 2 − 1
4) 
dx
2x
b

3)  (1 − x ) ( 3x + 5 ) dx

2

1

 3

5)   2 − 5x + m  dx
x


(

7)  e

2x + 4

−e

2−5x

x + x +1
dx
3
x

2) 

6)  ( 4x − 7 )

2016

dx

0

) dx

8)  1 − 2 xdx
a

b

9) 
0

b

1
3

( x + 1)

2

10) 

dx

0

3

( 2 x + 1)

3

dx

Giải.

1
x3
x2
 2
1)   x − 3x +  dx = − 3 + ln x + C
x
3
2

6)  ( 4x − 7 )

2016

2017
2017
4x − 7)
4x − 7)
(
(
dx =

+C =
+C
4 ( 2017 )
8068

Ví dụ 2: (Phương pháp thế)
ln x
1
u2
ln 2 x
dx . Đặt u = ln x  du = dx . Suy ra I =  udu =
+C =
+C
a) I = 
x
x
2
2

b) J =  x x 2 + 1dx . Đặt u = x2 + 1  u 2 = x2 + 1  2udu = 2 xdx  udu = xdx .

u3
Suy ra J =  u.udu =  u du = + C =
3
2

(

x +1
2

3

Bài tập rèn luyện:
x2
1)  3 dx
x +1
t

3) 
e

2) 

x2
x +1
3

dx

1
dx
x ln x

Ví dụ 3: (Phương pháp tích phân từng phần)

) +C.
3



u = x
du = dx
a) I =  xe x dx . Đặt 
.


x
x
dv
=
e
dx
v
=
e





Suy ra I = uv −  vdu = xe x −  e x dx = xe x − e x + C

1

du
=
dx


u = ln x
x
b) I =  x ln xdx . Đặt 

2
dv
=
xdx

v = x

2
x2
x2 1
x2
1
x2
1 x2
Suy ra J = uv −  vdu = ln x − 
dx = ln x −  xdx = ln x − . + C
2
2 x
2
2
2
2 2

x2
x2
= ln x − + C

2
4
Ví dụ 4: (Tìm ngun hàm và hằng số C)
Cho hàm số y = f ( x ) = 2 x + 1 . Hãy tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) biết F(0)=3.
Giải:
Trước hết, ta tìm:
F ( x ) =  f ( x ) dx =  2 x + 1dx

bien doi luy thua

=

 ( 2 x + 1)

1/2

lay nguyen ham cua ( ax +b )n

=

dx

( 2 x + 1)3/2 + C
3
.2
2

3/2
2 x + 1)
(

=
+C

3

Vì F(0) = 3 nên ta thay x=0 vào F(x) rồi cho nó bằng 3 để tìm C.
Ta có:

( 2  0 + 1)3/2 + C = 3  1 + C = 3  C = 8
3

3

Vậy nguyên hàm cần tìm là: F ( x )

3

3/2
2 x + 1)
(
8
=
+

3

3

2/ Tìm ngun hàm (bài tốn thực tế)
Cho hàm biên Mf(x)=f’(x), u cầu tìm hàm ban đầu f(x).

Ta có: f ( x ) =  Mf ( x ) dx
Ví dụ:


Doanh thu hàng tháng của một cửa hàng ở thời điểm hiện tại là $12000. Tuy nhiên, doanh
thu này được dự đoán sẽ thay đổi với tỉ lệ là R ' ( x ) = −32 x3/5 đô la mỗi tháng, sau x tháng kể
từ thời điểm hiện tại. Tìm công thức thể hiện doanh thu sau x tháng kể từ thời điểm hiện tại.
Giải:
Cho tốc độ thay đổi của doanh thu nghĩa là cho đạo hàm R’(x) của doanh thu.
Do đó muốn tìm doanh thu ta sẽ lấy ngun hàm của R’(x).
x8/5
+ C = −20 x8/5 + C .
Doanh thu: R =  R ' ( x ) dx =  −32 x dx = −32.
8/5
3/5

Doanh thu ở thời điểm hiện tại là 12000$ nghĩa là R(0) = 12000$. (thời điểm hiện tại ứng với
x=0)
Do đó ta có: 12000 = −20 ( 0 )

8/5

+ C  C = 12000

Do đó, cơng thức của hàm doanh thu là: R ( x ) = −20 x8/5 + 12000 đô la.
Bài tập làm thêm
Bài 1. Dựa trên các số liệu sản xuất và dữ liệu địa chất, ban giám đốc của một cơng ty dầu
mỏ đã ước tính tỉ lệ thay đổi của lượng dầu bơm được từ một khu vực sản xuất trong t năm
180
− 6, 0  t  40 nghìn thùng mỗi năm.

tính từ khi bắt đầu bơm là R ( t ) =
2t + 1
Q(t) là số lượng thùng dầu bơm được trong t năm đầu tiên.
a/ Tìm cơng thức của Q(t) biết Q(0) = 0.
b/ Có bao nhiêu thùng dầu bơm được trong 10 năm đầu tiên?
Bài 2. Tìm các hàm từ hàm biên của chúng:
a. Cho MR = 1000 − Q . Tìm R(Q) biết R(0)=0.

1
b. Cho MC = Q + 3 . Tìm C (Q) biết chi phí cố định là 100 (nghĩa là C(0) = 100).
2
c. Cho M  = 3Q + 700 và nếu chỉ bán được 60 đơn vị hàng hóa thì bị lỗ 7500 đơn vị tiền tệ
(nghĩa là  ( 60 ) = −7500 ). Tìm  (Q) .
Giải.
a. Để tìm hàm R ta sẽ lấy nguyên hàm của hàm MR.

Q2
R ( Q ) =  MRdQ =  (1000 − Q ) dQ = 1000Q −
+K.
2

02
Vì R(0)=0 nên ta có 0 = 1000  0 − + K  K = 0
2


Q2
Suy ra hàm doanh thu là R ( Q ) = 1000Q −
2
3/ Tìm tích phân xác định

Định lý cơ bản thứ 2 của giải tích:
b

 f ( x ) dx = F (b ) − F ( a ) với F(x) là nguyên hàm của f(x).
a

b

Hoặc  F ' ( x ) dx = F ( b ) − F ( a )
a

Ví dụ 1: (cận là số cụ thể)
e

Giá trị của tích phân

ln x + 1
dx là:
x
1



A. e-1
B. 3
C. e2-1
D. 3/2
Giải:

Dùng máy tính để tính tích phân trên

Do đó chọn phương án D.
Ví dụ 2: (cận có chứa tham số)
m

Giá trị của I =  ( 8 − 2 x )

−5/3

dx, 0  m  4 là:

0

A. I =

10
5
(8 − 2m )−8/3 −
3
384

B. I = −
C. I =

10
5
(8 − 2m )−8/3 +
3
384

−3

3
(8 − 2m )−2/3 +
4
16

ta ra được kết quả là: 3/2


D. I =

3
3
(8 − 2m )−2/3 −
4
16

Giải:
Cho m là số nằm trong khoảng từ 0 đến 4 (do đề bài cho điều kiện của m, nếu khơng cho thì
ta chọn tùy ý).
2

Chọn m=2. Sử dụng máy tính tính tích phân I =  ( 8 − 2 x )

−5/3

dx . Ta ra được I = 0,1101376.

0

Thay m=2 vào các phương án, ta ra được:

Phương án A: 0,06966
Phương án B: -0,06966
Phương án C: -0,1101376
Phương án D: 0,1101376
Do đó, ta chọn phương án D.
4/ Tìm tích phân xác định (bài tốn thực tế)
Ví dụ 1: Một nhà sản xuất đã ước tính được tốc độ thay đổi của lợi nhuận P ứng với mức sản
lượng x sản phẩm là P ' ( x ) = 100x−1/2 − 0,4 x (đô la/sản phẩm). Biết nhà sản xuất được lợi
nhuận là 520 đô la khi mức sản lượng là 16 sản phẩm. Lợi nhuận ứng với mức sản lượng 25
sản phẩm là:
a. 126,2 đô la
b. 393,8 đô la
c. 646,2 đô la
d. 1166,2 đô la
Giải.
Lợi nhuận ở mức 16 sản phẩm là P(16).
Lợi nhuận ở mức 25 sản phẩm là P(25).
Ta có chênh lệch lợi nhuận ở mức 25 sản phẩm so với lợi nhuận ở mức 16 sản phẩm là:
P ( 25) − P (16 ) =

25

 P '( x ) dx (Định lý cơ bản thứ 2 của giải tích)

16


25

=

 (100 x

−1/2

)

− 0,4 x dx ( Bam may )

16

= 126,2
Mà P(16) = 520 đơ la (đề bài cho)
Do đó P ( 25) = P (16 ) +

25

 P '( x ) dx = 520 + 126,2 = 646,2 đô la.

16

Chọn phương án C.
Ví dụ 2: Sau t tháng, số lượng người lần đầu đăng kí trên kênh youtube của một giáo viên
dạy tiếng Anh tăng với tốc độ là N ' ( t ) = 60t + 231t1/2 + 145 người mỗi tháng. Nếu số người
đăng kí hiện tại là 27000 người thì số người lần đầu đăng kí sau 12 tháng nữa là bao nhiêu?
a. 12462 người
b. 14538 người
c. 41538 người
d. 39462 người
Giải.

Số người đăng ký hiện tại là N(0). Đề bài hỏi số người đăng ký sau 12 tháng nữa nghĩa là hỏi
N(12).
Áp dụng giống ví dụ 1, ta có:
12

N (12 ) − N ( 0 ) =  N ' ( t ) dt
0
12

 N (12 ) = N ( 0 ) +  N ' ( t ) dt
0
12

= 27000 +

 ( 60t + 231t
0

= 27000 + 12462
= 39462
Chọn phương án D.
Bài tập làm thêm:

1/2

)

+ 145 dt

120
+ 12
t2
con/phút, sau t phút tính từ thời điểm hiện tại. Số lượng vi khuẩn tăng thêm bao nhiều từ sau
phút thứ 60 cho tới sau phút thứ 120?

Bài 1. Số lượng vi khuẩn trong một mẩu bánh mì tăng với tốc độ là P’ ( t ) = 40t +

Bài 2. Người ta ước tính được rằng, sau t tháng tính từ thời điểm hiện tại, dân số của thành
phố A sẽ tăng với tốc độ là P’ ( t ) = 1000 + 5t 3 người mỗi tháng. Sau 8 tháng kể từ thời điểm
1

hiện tại, dân số của thành phố A sẽ tăng thêm bao nhiêu người?
Bài 3. Doanh thu biên khi bán x đơn vị sản phẩm là 12 − 0.0004x (dollar trên mỗi đơn vị sản
phẩm). Tìm doanh thu khi bán 5000 đơn vị sản phẩm đầu tiên.
Bài 4. Tốc độ gia tăng tổng tài sản của một công ty là f (t ) = 9000 1 + 2t (dollar/năm).
Tính tổng tài sản của cơng ty sau bốn năm hoạt động biết rằng tài sản ban đầu của công ty là
10000 dollar.
5/ Định lý cơ bản thứ 1 của giải tích
x

Cơng thức: g ( x ) =  f ( t ) dt (Hàm f(t) thỏa mãn các điều kiện trong định lý)
a

Khi đó, g ' ( x ) = f ( x )
Công thức 2: g ( x ) =

u( x )

 f ( t ) dt .

a

Khi đó, g ' ( x ) = f ( u ( x ) ).u ' ( x )
Ví dụ:
x

Cho hàm số g ( x ) =  t 2 ln tdt với x>e. Đạo hàm g’(x) là:
e

Ta có f ( t ) = t 2 ln t .
Do đó g ' ( x ) = f ( x ) = x2 ln x
Ví dụ 2:
dg
= g ' ( x ) biết g ( x ) =
Tìm
dx

ex

1

 t 2 − 1 dt .
2

Giải.
Hàm g(x) có dạng g ( x ) =

u( x )

 f ( t ) dt với u(x) = ex.

a


Do đó, Ta có

( )

ex
g ' ( x ) = f ( u ( x ) ) .u ' ( x ) =
e ' = 2x
2
x
e −1
e
−1
1

( )

x

1
t −1
u ( x) = ex
f (t ) =

2

Ví dụ 3:
x

(

)

Cho g ( x ) =  t 2 + 3 dt . Giá trị của g(4) là:
2
4

(

)

g ( 4 ) =  t 2 + 3 dt =
2

74
3

6/ Tích phân suy rộng loại 1
Dạng 1: Xét sự hội tụ của tích phân và tính giá trị.
Lý thuyết:



a

t

f ( x ) dx = lim   f ( x ) dx 


t → 
a


b



−

b

f ( x ) dx = lim   f ( x ) dx 

t →− 
t


Tích phân hội tụ khi các giới hạn hữu hạn (nghĩa là các giới hạn tiến về một số cụ thể)
Ngược lại, ta nói tích phân phân kỳ.


dx
. Phát biểu nào sau đây đúng?
5
x
1

Ví dụ: Cho tích phân I = 

a. Tích phân hội tụ và giá trị của tích phân là I = 1
b. Tích phân phân kỳ
c. Tích phân hội tụ và giá trị của tích phân là I = 1/4
d. Tích phân hội tụ và giá trị của tích phân là I = 1/2
Giải:
Đầu tiên, sử dụng máy tính, tính tích phân I với cận trên là 99.