Sáng kiến hình học oxy hình học 10

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi: - Hội đồng Sáng kiến Trường THPT Lê Q Đơn
- Hội đồng Sáng kiến ngành GD&ĐT tỉnh Bình Phước
Tơi ghi tên dưới đây:

Số

Họ và tên

TT

Ngày tháng

Nơi cơng

Chức

Trình độ

Tỷ lệ

năm sinh

tác

danh

chun

(%)

mơn

đóng
góp

1

…

…

Trường …

Giáo

Đại học

100%

viên
Là tác giả đề nghị xét cơng nhận sáng kiến: “Một số dạng toán thường gặp
về phương trình đường thẳng trong hình học Oxy ”
1. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: ……
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học.
3. Ngày sáng kiến được áp dụng dùng thử: 27/03/2020
4. Mô tả bản chất sáng kiến:
a) Thực trạng

Hình học Oxy phần phương trình đường thẳng là bài tốn khơng khó, nhưng
nhiều học sinh khơng biết bắt đầu từ đâu, phải làm cách nào, khơng biết vẽ hình như
thế nào và phải dùng công thức nào để giải bài toán.
Trong vài năm trở lại đây việc đổi mới phương pháp, hình thức dạy học và kiểm
tra, đánh giá theo định hướng phát triển năng lực học sinh đã được triển khai. Hầu hết
giáo viên hiện nay đã được trang bị lí luận về các phương pháp và kỹ thuật dạy học
1


tích cực trong q trình đào tạo tại các trường đại học sư phạm cũng như quá trình bồi
dưỡng tập huấn hàng năm của sở giáo dục. Bộ Giáo dục và Đào tạo đã biên soạn tài
liệu tập huấn về “Phương pháp và kỹ thuật tổ chức hoạt động học theo nhóm và hướng
dẫn học sinh tự học ” phương pháp mới này ngày càng được áp dụng rộng rãi và sự
thành cơng của tiết dạy là học sinh có hiểu bài hay khơng?Có biết vận dụng kiến thức
hay khơng? Muốn vậy phải phát triển tốt khả năng tư duy, tự học tự nghiên cứu, tính
sáng tạo, tính khoa học – hiện đại, cơ bản, tính thực tiễn, giáo dục kỹ thuật tổng hợp,
tính hệ thống trong giáo án của mỗi giáo viên.
b) Vấn đề nghiên cứu
Trong chương trình trung học phổ thơng, hình học Oxy phần phương trình đường
thẳng là một phần học khơng mấy khó đối với học sinh, trong các kỳ thi học sinh giỏi,
kỳ thi Olympic 19/5 ln có một bài về hình học Oxy. Nhưng một số học sinh thường
bỏ hoặc làm sai bài toán này. Để giải quyết bài toán này học sinh phải đọc thật kỹ đề
bài từ đó xác định giả thuyết bài tốn, vẽ hình rồi tiến hành giải bài tốn. Chính vì thế
tơi quyết định chọn đề tài “Một số dạng tốn thường gặp về phương trình đường
thẳng ”, do chưa có nhiều kinh nghiệm nên đề tài cịn nhiều hạn chế, hy vọng đề tài là
tài liệu bổ ích cho giáo viên và học sinh tham khảo, giúp các em học sinh có thể tự học
để bồi dưỡng thêm kiến thức về hình hình học Oxy, để các em học sinh tự tin bước vào
các kỳ thi cuối kỳ 2 lớp 10, kỳ thi học sinh giỏi 12, kỳ thi Olympic 19/5 đối với học
sinh khối 10 và khối 11.
c) Các kiến thức cơ bản

A. Hệ trục tọa độ
1) Hệ trục tọa độ

Hệ trục tọa độ vng góc gồm 2 trục tọa độ Ox và Oy vng góc nhau. Vectơ

r r
đơn vị trên Ox là , vectơ đơn vị trên Oy là . Ký hiệu Oxy hoặc (O; i ; j ).
2


 Điểm O gọi là gốc tọa độ; trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục

tung.
 Khi một mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ, ta gọi mặt phẳng đó là mặt

phẳng tọa độ.
2) Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ

r r
r r r
r
j
j
Đối với hệ trục (O; i ; ), nếu a =x i +y thì cặp số (x;y) là toạ độ của a .
r
r
a
a
Ký hiệu = (x ; y) hoặc (x ; y)
r

r
a
b
Nhận xét: (hai vectơ bằng nhau) Cho = (x ; y), = (x’;y’)
r r
a =b
3) Một số tính chất

r
r
a
b
Cho = (x ; y), = (x’;y’). Khi đó:
r r
a
1) ± b = (x ± x’; y ± y’)
r
a
2) k =(kx ; ky) với ∀ k∈
r
r
3) m a + n b =(mx+nx’ ; my+ny’)
r r r

r

r

4) a // b ≠ 0 ⇔ có số k thỏa a =k b ⇔

⇔

4) Tọa độ của một điểm đối với hệ trục tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ
điểm M. Như vậy, cặp số (x ; y) là tọa độ của M ⇔

được gọi là tọa độ của
=(x ; y)

Khi đó, ta viết M(x ; y) hoặc M(x ; y)
 x gọi là hoành độ điểm M, y gọi là tung độ điểm M

3


M(x ; y)⇔



x=
5) Tọa độ vectơ

⇔

=(x;y)

; y=

khi biết tọa độ hai điểm M, N

uuuu
r
Cho M(xM ; yM) và N(xN ; yN) ta có : MN = (xM – xN ; yM – yN)
6) Tọa độ trung điểm

Nếu P(

) là trung điểm của đoạn thẳng MN thì:

7) Tọa độ trọng tâm tan giác ABC
Nếu A(xA;yA), B(xB;yB), C(xC;yC). Khi đó tọa độ trọng tâm G(xG;yG) được tính theo

cơng thức:
B. Tích vơ hướng của hai vectơ
1) Định nghĩa: Tích vơ hướng của hai véctơ a và b là một số, kí hiệu là a . b , được
xác định bởi:

a.b = a b cos(a, b)

 Bình phương vơ hướng

4


Chú ý:


. = | |.| |  cùng hướng



. = - | |.| |  ngược hướng

2) Các tính chất: Cho ∀ a b c ; ∀ k ∈R
a . b = b. a
( Tính giao hốn)
 a . b = 0 <=> a ⊥ b
 (k a ) b = k ( a b )


a ( b ± c ) = a b ± a c (Tính chất phân phối đối với phép cộng và trừ )



)2= | |2

 (

+ | |2

2

( + )( - ) = | |2 - | |2



3) Cơng thức hình chiếu
Tích vơ hướng của hai véctơ
chiếu

của véctơ

và

bằng tích vố hướng của véctơ

trên đường thẳng chứa véctơ

. =

4) Biểu thức toạ độ của tích vơ hướng
→

→

Cho a = (x, y) , b = (x', y') ; M(xM, yM), N(xN, yN) ta có
→



→

a . b = x.x' + y.y'
→

x2 + y2

 |a | =

xx '+ yy '

→

→

 Cos ( a , b ) =
→

x 2 + y 2 . x '2 + y '2

→

 a ⊥b

⇔ xx' + yy' = 0
→

 MN = | MN | =

( xM _ x N ) 2 + ( y M _ y N ) 2

C. Hệ thức lượng trong tam giác

5

.

với hình


1) Định lý cosin trong tam giác

Với mọi tam giác ABC với AB=c, BC=a, AC=b. Khi đó ta có :
(1) a2 = b2+ c2 - 2bcCosA
(2) b2 = a2 + c2 - 2acCosB
(3) c2 = a2 + b2 - 2abCosC
2) Định lý sin trong tam giác
Trong tam giác ABC với AB=c, AC=b, AB=a, R là bán kính đường trong ngoại

tiếp tam giác ABC ta có:
hay (1) a=2RsinA (2) b= 2RsinB

(3) c= 2RsinC

3) Định lý trung tuyến

(1)

(2)

(3)
4) Các cơng thức tính diện tích
Cho tam giác ABC thì diện tích

(1)

(2)

=

được tính theo một trong các công thức sau:

=

=

=

6


(3)

=

(Với R là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC)

(4)

= pr (Với

là nửa chu vi, r là bán kính đường trịn nội tiếp

tam giác ABC)

(5)

=

(Với

là nửa chu vi)

D. Phương trình đường thẳng
1) Véctơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ

được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu

và giá của

song song hoặc trùng với d.
Nhận xét:
 Vectơ k

cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d (k 0). Do đó d có vơ

số vectơ chỉ phương.
 Một đường thẳng được xđ nếu biết vectơ chỉ phương và một điểm trên đường
thẳng đó.

d

2) Phương trình tham số của đường thẳng

7


Phương trình tham số của đường thẳng d qua điểm M 0(x0;y0) và có véctơ chỉ

phương

=(u1;u2) là:

( t là tham số)

3) Hệ số góc của đường thẳng
Đường thẳng d có véctơ chỉ phương

=(u1;u2), u1≠0. Khi đó hệ số góc k của

đường thẳng d là k =
 Phương trình đường thẳng d qua M0(x0;y0) và có hệ số góc k là y− y0 = k(x− x0)

Chú ý: Nếu d có hệ số góc k thì d có một véctơ chỉ phương là

=(1;k)

4) Véctơ pháp tuyến của đường thẳng
Vectơ

được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d nếu

và giá của

nằm trên đường vng góc với d ( ⊥d).
Nhận xét:
 Vectơ k

cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d (k 0). Do đó d có vơ số

vectơ pháp tuyến.

 Một đường thẳng được xác định nếu biết vectơ pháp tuyến và một điểm trên

đường thẳng đó.
5) Phương trình tổng qt của đường thẳng
Phương trình tổng qt của dường thẳng d có dạng: ax+by+c=0 (a2+b2≠0)
Dó đó đường thẳng d có véctơ pháp tuyến là

=(a;b)

 Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua M0(x0,y0) có vectơ pháp tuyến

=(a;b) là: a(x−x0)+b(y−y0)= 0
 Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A(xA;yA), B(xB;yB) là:
8


Ta tìm vectơ chỉ phương

⇒ Vectơ pháp tuyến

điểm A và có vectơ pháp tuyến

⇒ Phương trình tổng qt đi qua

.

Nhận xét:
 Tọa độ của hai véctơ chỉ phương và véctơ pháp tuyến của một đường thẳng là

đổi chỗ cho nhau và đổi dấu ở một vị trí (hồnh độ hoặc tung độ).

 Nếu đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là

=(a ; b) thì d có vectơ chỉ phương

là =(−b ; a) hoặc =(b ;− a)
 Cách chuyển từ phương trình tổng quát sang phương trình tham số:
Đặt x= t, từ phương trình tổng quát ⇒ y theo t
 Cách chuyển từ phương trình tham số sang phương trình tổng quát

Từ phương trình của x⇒ t= , thế t vào y ⇒ Phương trình tổng quát.
Các dạng đặc biệt:




Đường thẳng by+c=0 song song hoặc trùng trục Ox.
Đường thẳng ax+c=0 song song hoặc trùng trục Oy.
Đường thẳng ax+by=0 di qua góc tọa độ.



Đường thẳng đi qua A(a;0), B(0;b) có phương trình

(a≠0, b≠0) gọi

là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.
6) Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1 , ∆2 có phương trình tổng qt

 Số điểm chung của hai đường thẳng chính là số nghiệm của hệ

 Nếu a2≠0,b2≠0, c2≠0 thì

(1) ∆1 cắt ∆2 ⇔
9

và


(2) ∆1 // ∆2 ⇔
(3) ∆1 ≡ ∆2 ⇔
7) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ có pt tổng quát là ax+by+c= 0 và một điểm M 0(x0;y0). Khi

đó khoảng cách từ M0 đến ∆ được xác định:
 Nếu M0 thuộc ∆ thì d(M0,∆ )=0

8) Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1 , ∆2 có phương trình tổng qt

 Khi đó, góc ϕ giữa hai đường thẳng (00 ≤ ϕ ≤ 900) được tính theo cơng thức

Chú ý:
 Khi hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau ta quy ước góc giữa chúng là

00
 ∆1 ⊥ ∆2⇔k1.k2= -1 (⇔

⇔a1.a2+b1.b2= 0)

9) Phương trình đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1 , ∆2 có phương trình tổng qt

10


 Khi đó phương trình đường phân giác có dạng:

 Phương trình đường phân giác góc nhọn, góc tùĐặt

và

Pt đường phân giác

Pt đường phân giác

góc nhọn

góc tù

−

t1=t2

t1= −t2

+

t1= −t2

t1=t2

=a1.a2+b1.b2

(phương trình đường phân giác của góc tù lấy theo dấu của

)

Chú ý:
 Hai đường thẳng song song thì có cùng vectơ pháp tuyến (cùng vectơ chỉ

phương).
 Hai đường thẳng vng góc thì vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là
vectơ chỉ phương của đường thẳng kia và ngược lại.
E. Phương trình đường trịn
1) Phương trình đường trịn (C) có tâm và bán kính cho trước:
Đường trịn tâm I(a,b) và bán kính R có dạng:

(x-a)2 + (y-b)2 = R2

 Đặc biệt : Nếu trịn tâm O(0;0) , bán kính R có dạng: x2 + y2 = R2

Nhận xét:
 Phương trình đường trịn còn viết được dưới dạng: x2 +y2−2ax−2by+c=0

với c=a2+b2-R2
11


 Ngược lại, phương trình x2 +y2−2ax−2by+c=0 được gọi là phương trình

đtrịn (C) khi và chỉ khi a 2+b2−c>0. Khi đó (C) có tâm I(a;b) và bán
kính R=
2) Điều kiện để đường thẳng ∆ : ax+by+c=0 tiến xúc với đường trịn (C) là

3) Phương trình tiếp tuyến của đường trịn
Cho M(x0; y0) thuộc đường trịn (C) tâm I(a;b). Phương trình tiếp tuyến của
(C) tại M(x0;y0) có dạng:
 Cách 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua M và có vectơ pháp tuyến

. Đặt A=x0− a ;B =y0− b
 Khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: (x0− a)(x− x0)+(y0− b)(y− y0)= 0
hay A(x−x0)+B(y−y0)= 0
Bước 1: Xác định tâm I ⇒ vecto pháp tuyến
Bước 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua M và có vtpt
 Cách 2:
 Nếu (C): (x-a)2 + (y-b)2 = R2 thì phương trình tiếp tuyến có dạng:
(x0−a)(x−x0) + (y0−b)(y−y0) = R2
 Nếu (C): x2 +y2−2ax−2by+c=0 thì phương trình tiếp tuyến có dạng:

x0x+y0y− a(x0+x)− b(y0+y) + c= 0
d) Các dạng tốn thường gặp về phương trình đường thẳng trong hình học
Oxy
Dạng 1: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng

 Định nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ

là vectơ chỉ phương của đường thẳng

song song hoặc trùng với

.
12

nếu

và giá của


Trường hợp 1: Nếu đường thẳng

đi qua hai điểm A và B

B

A

 Vì

và

có giá là đường thẳng AB và BA mà đường thẳng AB và BA

trùng với đường thẳng

nên đường thẳng

nhận

hoặc

làm vectơ chỉ

phương của đường thẳng

Trường hợp 2: Nếu đường thẳng

có vectơ pháp tuyến

n

u

 Vì đường thẳng

có vectơ pháp tuyến

Vì vậy nếu đường thẳng
Trường hợp 3: Nếu đường thẳng

phương là

mà

biết
có hệ số góc là k thì đường thẳng

sao cho

Trường hợp 4: Nếu đường thẳng

song song với đường thẳng d

13

có vectơ chỉ


ud
d

Vì

mà giá vectơ chỉ phương của đường thẳng d lại song song với đường thẳng
nên

Trường hợp 5: Nếu đường thẳng

vuông góc với đường thẳng d

nd

d

Vì

mà giá vectơ pháp tuyến của đường thẳng d lại song song hoặc trùng với

đường thẳng

nên

Ví dụ 1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng

Trường hợp 6: Nếu đường thẳng

a) Đường thẳng

biết

có phương trình tham số là

đi qua hai điểm A(3;-5) và B(-2;4)

thì xác định được ngày vectơ chỉ phương

b) Đường thẳng

có vectơ pháp tuyến

c) Đường thẳng

có hệ số góc

d) Đường thẳng

song song với đường thẳng

e) Đường thẳng

vng với đường thẳng
14

f) Đường thẳng

có phương trình tham số


Giải
 Phân tích
 Học sinh áp dụng các trường hợp trên để vận dụng đi tìm vectơ chỉ phương.

Lời giải:
a) Vì đường thẳng

đi qua hai điểm A và B nên

b) Vì đường thẳng

có vectơ pháp tuyến

c) Vì đường thẳng

có hệ số góc

d) Đường thẳng

song song với đường thẳng

Vì
vng với đường thẳng

Ta có
Vì

f) Đường thẳng

làm vectơ chỉ phương

hoặc

Ta có

e) Đường thẳng

nhận

có phương trình tham số

15


Nhận xét
-

Câu a ta có thể chọn vectơ chỉ phương
Một đường thẳng ln có vơ số vectơ chỉ phương do đó câu c ta có
thể chọn vectơ chỉ phương

khác sao cho thỏa điều kiện

 Bài tập tự luyện

Câu 1. Đường thẳng
đường thẳng

đi qua hai điểm M(1;-3) và N(4;2). Vectơ chỉ phương của

là vectơ nào sau?

A.

B.

Câu 2. Đường thẳng
thẳng

C.

D.

có vectơ pháp tuyến

. Vectơ chỉ phương của đường

là vectơ nào sau?
B.

A.

Câu 3. Đường thẳng

C.
có hệ số góc

D.
. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

là

vectơ nào sau?
B.

A.
Câu 4. Đường thẳng

C.
song song với đường thẳng

phương của đường thẳng
A.
Câu 5. Đường thẳng

C.

của đường thẳng

D.

vng góc với đường thẳng

phương của đường thẳng

. Vectơ chỉ

là vectơ nào sau?

B.

Câu 6. Đường thẳng

. Vectơ chỉ

là vectơ nào sau?

B.

A.

D.

C.

có phương trình tham số

là vectơ nào sau?
16

D.

. Vectơ chỉ phương


A.

B.

C.

D.

Dạng 2: Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng

 Định nghĩa vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Vectơ

là vectơ pháp tuyến của đường thẳng

góc với vectơ chỉ phương của
Trường hợp 1: Nếu đường thẳng

nếu

và

vng

.

có vectơ chỉ phương

n

u

 Vì đường thẳng

có vectơ chỉ phương

mà

Vì vậy nếu biết
Trường hợp 2: Nếu đường thẳng

Trường hợp 3: Nếu đường thẳng

có hệ số góc là k thì

đi qua hai điểm A và B

B

A

 Vì

và

sao cho

có giá là đường thẳng AB và BA mà đường thẳng AB và BA

trùng với đường thẳng

nên đường thẳng

phương

17

nhận

hoặc

làm vectơ chỉ


Trường hợp 4: Nếu đường thẳng

song song với đường thẳng d

u

nd

d

Vì
Trường hợp 5: Nếu đường thẳng

vng góc với đường thẳng d

u

ud
d

Ví dụ 1. Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng
a) Đường thẳng

biết

đi qua hai điểm A(2;-5) và B(1;4)

Vì

b) Đường
có vectơ
phương
Trường
hợp 6:thẳng
Nếu đường
thẳng chỉcó
phương trình tổng qt :
thì vectơ có
pháp
của đường thẳng
c) Đường thẳng
hệtuyến
số góc

d) Đường thẳng

song song với đường thẳng

e) Đường thẳng

vng với đường thẳng
18

f) Đường thẳng

có phương trình tổng quát:

là


Giải
 Phân tích
 Học sinh vận dụng các trường hợp trên để tìm vectơ pháp tuyến của đường

thẳng.
Lời giải:
a) Vì đường thẳng

đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng

nhận

làm vectơ

chỉ phương của đường thẳng
(hoặc

)

b) Vì đường thẳng

có vectơ chỉ phương

(hoặc

)

c) Vì đường thẳng

có hệ số góc

(hoặc

)

d) Đường thẳng

song song với đường thẳng

Ta có
Vì
e) Đường thẳng

vng với đường thẳng

Ta có
Vì
f) Đường thẳng
Vì

có phương trình tổng qt:

có phương trình tổng quát:
19


 Bài tập tự luyện

Câu 1. Đường thẳng
đường thẳng
A.

đi qua hai điểm M(1;-3) và N(4;2). Vectơ pháp tuyến của
là vectơ nào sau?
B.

Câu 2. Đường thẳng
thẳng

C.

D.

có vectơ pháp tuyến

. Vectơ pháp tuyến của đường

là vectơ nào sau?
B.

A.
Câu 3. Đường thẳng

C.
có hệ số góc

D.
. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

là

vectơ nào sau?
B.

A.
Câu 4. Đường thẳng

C.
song song với đường thẳng d:

của đường thẳng

Câu 5. Đường thẳng

C.

Câu 6. Đường thẳng

. Vectơ pháp tuyến

là vectơ nào sau?

B.

C.

D.

có phương trình tổng qt:

của đường thẳng

. Vectơ pháp tuyến

là vectơ nào sau?

B.

A.

D.

vng góc với đường thẳng d:

của đường thẳng
A.

. Vectơ pháp tuyến

là vectơ nào sau?

B.

A.

D.

C.

D.

Dạng 3: Phương trình tham số của đường thẳng



Để viết phương trình tham số của đường thẳng ta cần xác định hai yếu tố sau:
Yếu tố thứ nhất: Một điểm đi qua
20




Yếu tố thứ hai: Một vectơ chỉ phương

Phương trình tham số của đường thẳng

Ví dụ 1. Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường
hợp sau:
a) d đi qua điểm M(2;1) và có vectơ chỉ phương
b) d đi qua điểm M(-2;3) và có vectơ pháp tuyến
c) d đi qua điểm M(4;1) và có hệ số góc bằng 5
d) d đi qua điểm M(1;3) và song song với đường thẳng

e) d đi qua điểm M(-2;4) và vng góc với đường thẳng

Giải
 Phân tích
 Để viết phương trình tham số của đường thẳng d, cần tìm đủ hai yếu tố là một

điểm đi qua và một vectơ chỉ phương.
 Vận dụng lý thuyết được nêu ở trên học sinh đi tìm yếu tố nào cịn thiếu để viết
phương trình tham số của đường thẳng d.
 Sau khi có đủ hai yếu tố là điểm đi qua và vectơ chỉ phương học sinh thay vào

phương trình tham số:

thì ta được phương trình tham số của

đườngt hẳng d.
Lời giải:
21

a) d đi qua điểm M(2;1) và có vectơ chỉ phương

Phương trình tham số của đường thẳng d:
b) d đi qua điểm M(-2;3) và có vectơ pháp tuyến

Phương trình tham số của đường thẳng d:
c) d đi qua điểm M(4;1) và có hệ số góc bằng 5

Phương trình tham số của đường thẳng d:
d) d đi qua điểm M(1;3) và song song với đường thẳng
Ta có

Phương trình tham số của đường thẳng d:

22


e) d đi qua điểm M(-2;4) và vng góc với đường thẳng

Ta có

Phương trình tham số của đường thẳng d:
Bài tập tự luyện
Câu 1. Đường thẳng

đi qua điểm N(2;1) và có vectơ chỉ phương

Phương trình tham số của đường thẳng
A.

B.

Câu 2. Đường thẳng

là
C.

D.

đi qua điểm N(3;4) và có vectơ pháp tuyến

Phương trình tham số của đường thẳng

.

.

là

A.
B.
C.
D.
Câu 3. Đường thẳng đi qua điểm N(-1;2) và có hệ số góc bằng 2. Phương trình
tham số của đường thẳng

là

A.
B.

C.
D.
Câu 4. Đường thẳng đi qua điểm N(-5;2) và song song với đường thẳng

. Phương trình tham số của đường thẳng

là

A.
B.
C.
D.
Câu 5. Đường thẳng đi qua điểm N(1;2) và vng góc với đường thẳng
. Phương trình tham số của đường thẳng
23

là


A.

B.

C.

D.

Dạng 4: Phương trình tổng quát của đường thẳng





Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng cần xác định hai yếu tố sau:
Yếu tố thứ nhất: Một điểm đi qua
Yếu tố thứ hai: Một vectơ pháp tuyến

Phương trình tổng quát của đường thẳng
(Trong đó a, b là tọa độ của vectơ pháp tuyến

cịn

,

là tọa độ điểm đi

qua M)
• Chú ý:

 Nếu
 Nếu
Ví dụ 1. Lập phương trình tổng qt của đường thẳng d trong mỗi
trường hợp sau:
a) d đi qua điểm M(2;1) và có vectơ chỉ phương
b) d đi qua điểm M(-2;3) và có vectơ pháp tuyến
c) d đi qua điểm M(4;1) và có hệ số góc bằng 5
d) d đi qua điểm M(1;3) và song song với đường thẳng

e) d đi qua điểm M(-2;4) và vng góc với đường thẳng
24

Giải
 Phân tích
 Để viết phương trình tổng qt của đường thẳng d, cần tìm đủ hai yếu tố là

một điểm đi qua và một vectơ pháp tuyến.
 Vận dụng lý thuyết được nêu ở trên học sinh đi tìm yếu tố nào cịn thiếu để viết
phương trình tổng qt của đường thẳng d.
 Sau khi có đủ hai yếu tố là điểm đi qua và vectơ pháp tuyến học sinh thay vào
phương trình

thì ta được phương trình tổng quát của

đường thẳng d.
Lời giải:
a) d đi qua điểm M(2;1) và có vectơ chỉ phương

Phương trình tổng qt của đường thẳng d:

b) d đi qua điểm M(-2;3) và có vectơ pháp tuyến

Phương trình tổng quát của đường thẳng d:

25