Luận văn:Về một biến của modun hữa hạn sinh trên vành địa phương potx

Bộ giáo dục và đào tạo
Tr-ờng Đại học Quy nhơn
Trần Ngọc Anh
Về một bất biến của môđun
hữu hạn sinh trên vành địa ph-ơng
Luận văn thạc sỹ toán học
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.05
Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Đức Minh
Quy nhơn, năm 2008
1
Mục Lục
Bảng các kí hiệu 1
Mở đầu 2
Ch-ơng 1. Kiến thức chuẩn bị 5
1.1
Lý thuyết về sự phân tích nguyên sơ 5
1.2 Lý thuyết bội 7
1.3 Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng 9
1.4 Lý thuyết kiểu đa thức 12
Ch-ơng 2. Lọc chiều và hệ tham số tốt 14
2.1 Hệ tham số tốt 14
2.2 Đặc tr-ng của môđun Cohen - Macaulay dãy qua hệ tham số tốt .22
2.3 Lọc chiều của môđun địa ph-ơng hoá 31
Ch-ơng 3. Bất biến p
F
(M) 34
3.1 Sự tồn tại của bất biến p
F
(M) 34
3.2 Liên hệ giữa bất biến p

F
(M) và quỹ tích các điểm không Cohen-
Macaulay dãy
42
Kết luận của luận văn 46
Tài liệu tham khảo 47
2
bảng các kí hiệu
Ann(M): linh hoá tử của R-môđun M.
dimM: số chiều của R-môđun M.
Ext
i
R
(N,M ): hàm tử mở rộng thứ i của các R-môđun M,N.
H
i
m
((M): môđun đối đồng điều địa ph-ơng thứ i của R-môđun M ứng với iđêan
cực đại m.
(M): độ dài của R-môđun M.
Supp(M): tập hợp các iđêan nguyên tố của vành R sao cho M
p
=0.
3
Mở đầu
Cho (R, m) là vành địa ph-ơng giao hoán Noether, M là R-môđun hữu hạn
sinh có chiều
d và x =(x
1
, , x

d
) là hệ tham số của M, kí hiệu n =(n
1
, , n
d
) là
bộ
d-số nguyên d-ơng. Xét hiệu
I
M
(n,x)=(M/(x
n
1
1
, , x
n
d
d
)M) n
1
n
d
e(x
1
, , x
d
; M),
nh- một hàm theo n. Trong tài liệu [5], Nguyễn Tự C-ờng đã chứng minh rằng
hàm này không là một đa thức trong tr-ờng hợp tổng quát nh-ng nó bị chặn trên
bởi một đa thức và bậc nhỏ nhất của tất cả các đa thức chặn trên hàm

I
M
(n,x)
không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số x. Bất biến này gọi là kiểu đa thức
của
M, kí hiệu là p(M) và bất biến này đúng bằng chiều của quỹ tích không
Cohen - Macaulay khi
R là th-ơng của một vành Cohen - Macaulay.
Xét lọc hữu hạn các môđun con của
M là F : M
0
M
1
M
t
= M sao
cho
dimM
0
< dimM
1
< < dimM
t
= dimM. Một lọc nh- vậy gọi là thoả mãn
điều kiện chiều. Cho
x =(x
1
, , x
d
) là một hệ tham số của M. Khi đó x đ-ợc

gọi là một hệ tham số tốt t-ơng ứng với lọc
F nếu
M
i
(x
d
i
+1
, , x
d
)M =0với i =0, 1, , t 1 và d
i
= dimM
i
.
Đặt
I
F,M
(x(n)) = (M/(x
n
1
1
, , x
n
d
d
)M)
t

i=0

n
1
n
d
i
e(x
1
, , x
d
i
; M
i
),
ở đây e(x
1
, , x
d
i
; M
i
) là bội Serre của M
i
ứng với hệ (x
1
, , x
d
i
) và x =(x
1
, , x

d
)
là một hệ tham số tốt của M t-ơng ứng với lọc F. Câu hỏi đặt ra là các kết quả
trên có còn đúng cho hàm
I
F,M
(x(n)).
Mục đích của luận văn này là trình bày một số kết quả trong
[7] và [9] liên
quan đến bất biến
p
F
(M) ( đ-ợc định nghĩa là bậc nhỏ nhất của tất cả các đa
thức theo
n chặn trên hàm I
F,M
(x(n)) ). Bên cạnh việc đ-a ra nhiều chứng minh
chi tiết cho các kết quả đã có trong
[7] và [9], chúng tôi cũng tìm đ-ợc một kết
quả mới ch-a đ-ợc đề cập đến trong hai bài báo nói trên.
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn gồm 3
ch-ơng:
4
Ch-ơng 1 kiến thức chuẩn bị
Ch-ơng này chúng tôi nhắc lại khái niệm và một số tính chất cơ bản về
lý thuyết phân tích nguyên sơ, lý thuyết bội, môđun Cohen - Macaulay, môđun
Cohen - Macaulay suy rộng và lý thuyết kiểu đa thức.
Ch-ơng 2 lọc chiều và hệ tham số tốt
Lọc chiều và hệ tham số tốt là một công cụ rất quan trọng để nghiên cứu
bất biến

p
F
(M) do đó chúng tôi dành ch-ơng này để trình bày một số kết quả
về lọc chiều và hệ tham số tốt, chỉ ra đặc tr-ng của môđun Cohen-Macaulay
dãy qua hệ tham số tốt và trình bày một số kết quả về lọc chiều của môđun địa
ph-ơng hoá sẽ đ-ợc sử dụng rất nhiều trong ch-ơng 3.
Ch-ơng 3 bất biến
p
F
(M)
Nội dung chính của ch-ơng này là chúng tôi chứng minh hàm I
F,M
(x(n))
bị chặn trên bởi một đa thức và bậc nhỏ nhất của tất cả các đa thức chặn trên hàm
I
F,M
(x(n)) không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số tốt x của M t-ơng ứng
với lọc
F, chỉ ra mối liên hệ giữa bất biến p
F
(M) với môđun Cohen - Macaulay
dãy và môđun Cohen - Macaulay suy rộng dãy. Hơn nữa bất biến này đúng bằng
chiều của quỹ tích không Cohen - Macaulay dãy khi
R là th-ơng của một vành
Cohen - Macaulay và
F là lọc chiều của M.
Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng và làm việc nghiêm túc, nh-ng chắc
chắn luận văn sẽ còn những hạn chế, thiếu sót nhất định. Tác giả rất mong nhận
đ-ợc sự góp ý, bổ sung của quý thầy, cô giáo và ng-ời đọc.
Quy Nhơn, tháng 03 năm 2008.

Tác giả
5
Ch-ơng 1
kiến thức chuẩn bị
1.1 Lý thuyết về sự phân tích nguyên sơ
Trong mục này chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cần thiết về sự phân
tích nguyên sơ của các môđun con của một môđun theo [14, ch-ơng 3].
Định nghĩa
1.1.1. Cho R là một vành giao hoán và M là một R - môđun. Một
iđêan nguyên tố p đ-ợc gọi là một iđêan nguyên tố liên kết với M nếu tồn tại
x M và x =0sao cho p = Ann(x).
Tập các iđêan nguyên tố liên kết với
M đ-ợc kí hiệu là Ass
R
(M) hay
Ass(M). Hơn nữa Ass( M)= nếu và chỉ nếu M =0. Đặc biệt nếu M là hữu
hạn sinh và R là một vành giao hoán Noether thì Ass(M) là hữu hạn.
Định nghĩa
1.1.2. i) Một R - môđun M đ-ợc gọi là đối nguyên sơ nếu có duy
nhất một iđêan nguyên tố liên kết.
ii) Môđun con N của M đ-ợc gọi là một môđun con nguyên sơ của M nếu
M/N là đối nguyên sơ. Nếu Ass
R
(M/N)={p}, thì N đ-ợc gọi là p - nguyên sơ.
Bổ đề
1.1.3. Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng:
(1) R- môđun M là đối nguyên sơ ;
(2) M =0và nếu a R là -ớc của không của M thì với mỗi x M tồn tại
một số nguyên d-ơng n sao cho a
n

x =0.
Chú ý
1.1.4. Khi M = R/q với q Ass(M) thì điều kiện (2) t-ơng đ-ơng với
mọi -ớc của không của vành R/q là luỹ linh.
6
Mệnh đề 1.1.5. Nếu M là -R môđun là đối nguyên sơ hữu hạn sinh với AssM =
{p} thì Ann (M) là iđêan p- nguyên sơ của R.
Định nghĩa
1.1.6. Cho N là một môđun con của M. Một sự phân tích nguyên
sơ của N là một phân tích
N = Q
1
ãããQ
r
thành giao hữu hạn các môđun con nguyên sơ Q
i
của M. Sự phân tích nguyên
sơ này đ-ợc gọi là sự phân tích rút gọn nếu không thể bỏ một Q
i
và các iđêan
nguyên tố liên kết của M/Q
i
(1 i r) đôi một khác nhau.
Dễ thấy rằng mọi sự phân tích nguyên sơ của môđun con
N của M đều có thể
quy về một sự phân tích nguyên sơ rút gọn.
Mệnh đề
1.1.7. Nếu N = Q
1
ãããQ

r
là một phân tích nguyên sơ rút gọn của
môđun con N và Q
i
là p
i
-nguyên sơ thì
Ass(M/N)={p
1
, ããã , p
r
}.
Định lý 1.1.8. Cho R là vành Noether và M là một R-môđun. Khi đó với mỗi
p Ass(M) ta có thể chọn một môđun p- nguyên sơ Q(p) sao cho
0=
pAssM
Q(p).
Hệ quả 1.1.9. Nếu M là một R - môđun hữu hạn sinh thì mọi môđun con của
M đều có một sự phân tích nguyên sơ.
Mệnh đề
1.1.10. ( theo [15, 3.13]) Cho I là một iđêan của R, đặt A = {p
AssM : p I}. Nếu 0=
pAssM
Q(p) là một phân tích nguyên sơ rút gọn của
môđun con 0 của M và Q(p) là p-nguyên sơ thì
H
0
I
(M)=

p /A
Q(p).
7
1.2 Lý thuyết bội
Trong mục này chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cơ bản về bội theo
Northcott (theo
[17, ch-ơng 7]).
Định nghĩa
1.2.1. Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa ph-ơng với
iđêan cực đại m và M là một R-môđun hữu hạn sinh với dimM = d. Một hệ các
phần tử x =(x
1
, , x
t
) của R sao cho
R

M/(x
)M

< + đ-ợc gọi là một hệ
bội của M. ở đây nếu t =0thì ta hiểu điều kiện trên có nghĩa là
R
(M) < +.
Khi đó ký hiệu bội e(x; M) của M đối với hệ bội x đ-ợc định nghĩa quy nạp theo
t nh- sau.
Giả sử t =0, tức là
R
(M) < +, khi đó ta đặt e(; M)=
R

(M).
Với t>0, đặt (0 :
M
x
1
)={m M | mx
1
=0}.Vì
R

M/(x
)M

< + nên
ta dễ dàng suy ra rằng (x
2
, , x
t
) là một hệ bội của (0 :
M
x
1
) và M/x
1
M. áp
dụng giả thiết quy nạp thì e(x
2
, , x
t
; M/x

1
M) và e(x
2
, , x
t
;0 :
M
x
1
) đã đ-ợc xác
định, khi đó ta định nghĩa
e(x; M)=e(x
2
, , x
t
; M/x
1
M) e(x
2
, , x
t
;0 :
M
x
1
).
Một hệ các phần tử (x
1
, , x
d

) của m đ-ợc gọi là một hệ tham số của M
nếu (x
1
, , x
d
) là một hệ bội của M.
D-ới đây là một số tính chất cơ bản của số bội e(x; M) .
Định lý
1.2.2. Giả sử 0 M N P 0 là một dãy khớp ngắn các
R-môđun Noether và x =(x
1
, , x
t
) là hệ bội trên M, N và P . Khi đó
e(x; N)=e(x; M)+e(x; P ).
Mệnh đề 1.2.3. Cho x =(x
1
, , x
t
) là một hệ bội của M. Nếu {i
1
,i
2
, , i
t
} là
một hoán vị của {1, 2, , t} thì e(x
1
,x
2

, , x
t
; M)=e(x
i
1
,x
i
2
, , x
i
t
; M).
8
Mệnh đề 1.2.4. Cho x =(x
1
, , x
t
) là một hệ bội của M. Nếu có một giá trị i
sao cho x
n
i
M =0, với n là một số nguyên d-ơng nào đó thì e(x; M)=0.
Mệnh đề
1.2.5. Cho x =(x
1
, , x
t
) là một hệ bội của M. Khi đó
0 e(x; M)
R

M/(x
)M

.
Mệnh đề
1.2.6. Cho x =(x
1
, , x
t
) là một hệ bội của M. Khi đó với n
1
,n
2
, , n
t
là các số nguyên d-ơng tuỳ ý ta có
e(x
n
1
1
,x
n
2
2
, , x
n
t
t
; M)=n

1
.n
2
n
t
e(x
1
, , x
t
; M).
Mệnh đề 1.2.7. Cho x =(x
1
, , x
t
) là một hệ bội của M. Khi đó e(x; M)=0
khi t>dim M.
Định lý
1.2.8. Cho x =(x
1
, , x
t
) và y =(y
1
, , y
t
) là các hệ bội của M. Giả
sử xM yM. Khi đó e(y; M) e(x; M).
Định lý
1.2.9. (Công thức giới hạn của Lech) Cho x =(x
1

, , x
t
) là một hệ bội
của M. Khi đó
lim
min(n
i
)
(M/(x
n
1
1
,x
n
2
2
, , x
n
t
t
)M)
n
1
.n
2
n
t
= e(x; M).
Công thức sau đây của Auslander - Buchsbaum th-ờng đ-ợc sử dụng trong
các chứng minh của ch-ơng tiếp theo.

Định lý
1.2.10. ( theo [1, 4.2] ) Cho x =(x
1
, , x
t
) là một hệ bội của M. Khi đó

R
(M/(x
1
, ããã ,x
t
)M) e(x; M)=
=
t

i=1
e(x
i+1
, ããã ,x
t
;(x
1
, ããã ,x
i1
)M : x
i
/(x
1
, ããã ,x

i1
)M).
9
1.3 Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-
Macaulay suy rộng
Tr-ớc hết chúng tôi nhắc lại khái niệm dãy chính quy (theo [14, ch-ơng 6]).
Định nghĩa
1.3.1. Cho R là một vành giao hoán, M là một R-môđun và a
1
, , a
r
là các phần tử thuộc R. Ta ký hiệu (a) là iđêan (a
1
, , a
r
) và aM là môđun con
r

i=1
a
i
M =(a)M. Ta nói a
1
, , a
r
là M- dãy chính quy (hay M-dãy) nếu các điều
kiện sau đ-ợc thoả :
(1) Với mỗi 1 i r, a
i
không là -ớc của không của M/(a

1
, , a
i1
)M .
(2) aM = M.
Khi tất cả các phần tử a
1
, , a
r
thuộc về một iđêan I của R, ta nói rằng
a
1
, , a
r
là một M-dãy trong I. Hơn nữa nếu không tồn tại b I sao cho
a
1
, , a
r
,b là M-dãy thì a
1
, , a
r
đ-ợc gọi là một M-dãy cực đại trong I.
Bổ đề
1.3.2. Giả sử a
1
, , a
r
là M- dãy và a

1
m
1
+ + a
r
m
r
=0,m
i
M, i =
1, , r. Khi đó m
i
aM với mọi i =1, , r.
Định lý
1.3.3. Nếu (a
1
, , a
r
) là một M-dãy thì (a
n
1
1
, , a
n
r
r
) là một M-dãy với
mọi số nguyên d-ơng n
1
, , n

r
.
Định lý 1.3.4. Cho R là một vành Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh và
I là một iđêan sao cho IM = M. Với mọi số nguyên d-ơng n ta có các mệnh đề
sau là t-ơng đ-ơng:
i) Ext
i
R
(N,M )=0với mọi i<nvà với mọi R-môđun hữu hạn sinh N mà
Supp(N) V (I);
ii) Ext
i
R
(R/I, M)=0với mọi i<n;
10
iii) Tồn tại R-môđun hữu hạn sinh N với Supp(N) V (I) sao cho Ext
i
R
(N,M )=
0 với mọi i<n;
iv) Tồn tại một
M-dãy a
1
, , a
n
trong I có độ dài n.
Từ Định lý trên ta thấy khi
M là R-môđun hữu hạn sinh thì hai M-dãy cực
đại bất kỳ trong I đều có cùng độ dài.
Định nghĩa

1.3.5. Cho R là một vành giao hoán Noether, M là một môđun hữu
hạn sinh và I là một iđêan của R sao cho IM = M. Khi đó độ dài của các
M-dãy cực đại trong I đ-ợc gọi là I-độ sâu của M và ký hiệu là depth
I
(M).
Khi (R, m) là một vành địa ph-ơng ta ký hiệu depth(M) hay depth
R
(M) thay cho
depth
m
(M) và gọi là độ sâu của M.
Định lý
1.3.6. Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa ph-ơng và M =0
là một môđun hữu hạn sinh. Khi đó
depth(M) dim(R/p) với mọi p Ass(M).
Bổ đề
1.3.7. Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa ph-ơng, M là một
môđun hữu hạn sinh và (a
1
, , a
r
) là một M-dãy. Khi đó
dimM/(a
1
, , a
r
)M = dimM r.
Tiếp theo chúng tôi trình bày khái niệm môđun Cohen-Macaulay theo
[14, ch-ơng 6].
Định nghĩa

1.3.8. Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa ph-ơng và
M là một môđun hữu hạn sinh. Một R-môđun M đ-ợc gọi là môđun Cohen-
Macaulay nếu
M =0hoặc dimM = depthM.
Vành R đ-ợc gọi là vành Cohen-Macaulay nếu nó là một R-môđun Cohen-
Macaulay.
11
Định lý 1.3.9. Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa ph-ơng và M là
một R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó
i) Nếu
M là môđun Cohen-Macaulay và p Ass(M) thì depthM = dimR/p;
ii) Nếu
(a
1
, , a
r
) là một M-dãy trong m và M

= M/aM thì M là môđun
Cohen-Macaulay khi và chỉ khi M

là môđun Cohen-Macaulay;
iii) Nếu
M là môđun Cohen-Macaulay thì với mọi p Spec(R) thì M
p
là R
p
-
môđun Cohen-Macaulay và nếu M
p

=0thì depth
p
M = depth
R
p
M
p
.
Định lý
1.3.10. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh với dimM = d và (R, m)
là một vành giao hoán Noether địa ph-ơng. Khi đó các điều kiện sau là t-ơng
đ-ơng:
i)
M là môđun Cohen-Macaulay;
ii) Tồn tại một iđêan tham số
p của M sao cho e(p; M)=
R
(M/pM);
iii)
e(p; M)=
R
(M/pM) với mọi iđêan tham số p của M;
iv) Tồn tại một hệ tham số của
M là M-dãy;
v) Mọi hệ tham số của
M đều là M-dãy;
vi)
H
i
m

(M)=0 với i =0, , d 1.
Định nghĩa
1.3.11. (theo [8]) Môđun M đ-ợc gọi là môđun Cohen-Macaulay
suy rộng nếu
I(M) = sup
x
{(M/(x
1
, ããã ,x
d
)M) e(x; M)} < +
trong đó x chạy trên tất cả các hệ tham số của M.
12
1.4 Lý thuyết kiểu đa thức
Trong mục này chúng tôi trình bày lại các kết quả có liên đến kiểu đa thức
của một môđun theo
[5].
Ký hiệu (R, m) là vành địa ph-ơng giao hoán Noether và M là R-môđun
hữu hạn sinh có chiều d. Cho x =(x
1
, , x
d
) là một hệ tham số của M và
n =(n
1
, , n
d
) là một bộ d số nguyên d-ơng. Xét hiệu
I
M

(n; x)=(M/(x
n
1
1
, , x
n
d
d
)M) n
1
n
d
e(x; M).
nh- một hàm theo n, ở đây e(x; M) là bội Serre của M ứng với hệ (x
1
, , x
d
).
Bổ đề 1.4.1. Cho x =(x
1
, , x
d
) là một hệ tham số của M. Khi đó
(M/(x(n))M) n
1
n
d
(M/(x)M)
với mọi số nguyên d-ơng n
1

, , n
d
.
Đặt
I
M
(x)=I
M
(n; x) khi n
1
= = n
d
=1. Bổ đề cho ta hệ quả sau.
Hệ quả
1.4.2. I
M
(n; x) n
1
n
d
I
M
(x).
Hệ quả 1.4.2 nói lên rằng nếu hàm
I
M
(n; x) không phải là một đa thức thì
ít nhất hàm đó cũng bị chặn trên bởi một đa thức n
1
n

d
I
M
(x). Định lý sau đây
khái quát tính chất trên.
Định lý
1.4.3. Bậc nhỏ nhất của các đa thức theo n chặn trên hàm số I
M
(n; x)
không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số x.
Định nghĩa
1.4.4. Bậc nhỏ nhất của các đa thức theo n chặn trên hàm số I
M
(n; x)
là một bất biến của M. Bất biến này gọi là kiểu đa thức của M và kí hiệu là
p(M).
Chú ý
1.4.5. (i) Nếu xem bậc của đa thức 0 là thì khi đó
M là môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu p(M)=.
13
M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu p(M) 0.
(ii) Nếu M không là môđun Cohen-Macaulay thì ta có bất đẳng thức
0 p(M) dim M 1.
Định nghĩa 1.4.6 . Một phần hệ tham số x
1
, , x
j
của M đ-ợc gọi là dãy thu gọn
nếu điều kiện sau đ-ợc thoả mãn: x
j

/ p với mọi p Ass(M/(x
1
, , x
i1
)M) với
dim(R/p) d i, i =1, , j.
Đặt
r(M)=inf{k/ mọi phần của một hệ tham số có (d k 1) phần tử đều
là một dãy thu gọn của M}.
Kí hiệu nCM(M) là quỹ tích không Cohen - Macaulay tức là
nCM(M)={p SuppM : M
p
không Cohen - Macaulay }.
Định lý
1.4.7. Giả sử R là vành th-ơng của một vành Cohen - Macaulay và k
là một số nguyên d-ơng. Khi đó các điều kiện sau đây là t-ơng đ-ơng:
i)
p(M) k;
ii) Một phần của một tham số có
(d k 1) phần tử là dãy thu gọn;
iii) Với mọi iđêan nguyên tố
p SuppM sao cho dim R/p >k, ta có M
p
là
Cohen - Macaulay và dimM
p
+ dim(R/p)=d;
iv) Với mọi iđêan nguyên tố
p SuppM sao cho dimR/p = k +1, ta có M
p

là
Cohen - Macaulay và dimM
p
+ dim(R/p)=d.
Hệ quả
1.4.8. Giả sử R là vành th-ơng của một vành Cohen - Macaulay và M
là đẳng chiều. Khi đó p(M)=r(M)=dimnCM(M).
14
Ch-ơng 2
Lọc chiều và hệ tham số tốt
Nh- sẽ trình bày trong ch-ơng 3 thì bất biến p
F
(M) có liên quan có liên
quan chặt chẽ đến lọc chiều và hệ tham số tốt, mặt khác lọc chiều và hệ tham
số tốt cũng là một công cụ mới hữu hiệu để nghiên cứu cấu trúc của các môđun.
Do đó chúng tôi dành ch-ơng này để trình bày lại một số kết quả về lọc chiều
và hệ tham số tốt, chỉ ra đặc tr-ng của môđun Cohen-Macaulay dãy qua hệ tham
số tốt và trình bày một số kết quả về lọc chiều của môđun địa ph-ơng hoá sẽ
đ-ợc sử dụng rất nhiều trong ch-ơng tiếp theo.
Từ đây ta ký hiệu
(R, m) là vành địa ph-ơng giao hoán Noether và M là
R-môđun hữu hạn sinh có chiều d.
2.1 Hệ tham số tốt
Trong mục này, chúng tôi trình bày cụ thể những kết quả về hệ tham số tốt
theo [7], [9],và[12].
Định nghĩa
2.1.1. (theo [9, 2.1]) (i) Ta nói rằng một lọc các môđun con của M
F : M
0
M

1
M
t
= M
thoả mãn điều kiện chiều nếu dimM
i1
< dimM
i
với i =1, 2, , t.
(ii) Một lọc D : D
0
D
1
D
t
= M đ-ợc gọi là lọc chiều của M nếu
(1) D
0
= H
0
m
(M) là môđun đối đồng điều thứ không của M ứng với iđêan
cực đại m.
(2) D
i1
là môđun con lớn nhất của D
i
mà dimD
i1
< dimD

i
với i =
t, t 1, , 1.
15
Vì tính Noether của M nên mệnh đề sau sẽ cho ta thấy lọc chiều của M
luôn tồn tại và duy nhất.
Mệnh đề
2.1.2. (theo [18, 2.2]) Cho D : D
0
D
1
D
t
= M là lọc chiều
của M với dimD
i
= d
i
và

pAssM
N(p)=0là phân tích nguyên sơ rút gọn của
môđun con không của M, khi đó D
i
=

dim R/pd
i+1
N(p).
Chứng minh. Đặt

a
i
=

pAssM,dimR/pd
i
p.
Nếu {p Ass(M) | dimR/p d
i
} = thì đặt a
i
= R.
Theo Mệnh đề 1.1.10 thì H
0
a
i
(M)=

dim R/pd
i+1
N(p).
Ta có SuppH
0
a
i
(M)=Supp(M) V (a
i
), từ đó suy ra D
i
H

0
a
i
(M) vì mọi phần tử
của D
i
đều thuộc linh hoá tử của một iđêan có chiều nhỏ hơn hoặc bằng d
i
.
Theo tính cực đại của D
i
ta suy ra D
i
= H
0
a
i
(M).
Vậy D
i
= H
0
a
i
(M)=

dim R/pd
i+1
N(p).
Hệ quả 2.1.3. (theo [18, 2.3]) Cho D : D

0
D
1
D
t
= M là lọc chiều của
M. Khi đó
AssD
i
= {p AssM | dimR/p d
i
} ;
AssM/D
i
= {p AssM | dimR/p >d
i
} ;
AssD
i
/D
i1
= {p AssM | dimR/p = d
i
} với mọi 0 i t.
Chứng minh. Ta biết Ass
H
0
a
i
(M)={p AssM | p V (a

i
)}. Do đó từ Mệnh đề
2.1.2 ta suy ra AssD
i
= {p AssM | dimR/p d
i
} .
Vì AssM/D
i
= AssM\V (a
i
) nên AssM/D
i
= {p AssM | dimR/p >d
i
} .
Từ dãy khớp ngắn 0 D
i1
D
i
D
i
/D
i1
0 ta có
AssD
i
AssD
i1
AssD

i
/D
i1
.
Hơn nữa vì D
i
/D
i1
M/D
i1
nên ta dễ suy ra đ-ợc
AssD
i
/D
i1
= {p AssM | dimR/p = d
i
} với 1 i t.
16
Lọc chiều cũng thoả mãn điều kiện chiều. Trong ch-ơng này ta luôn ký
hiệu lọc chiều bởi
D : D
0
D
1
D
t
= M.
Định nghĩa
2.1.4. (theo [9, 2.3]) Cho F : M

0
M
1
M
t
= M là một lọc
thoả mãn điều kiện chiều và đặt
d
i
= dimM
i
. Một hệ tham số x =(x
1
, , x
d
)
đ-ợc gọi là một hệ tham số tốt t-ơng ứng với lọc F nếu M
i
(x
d
i
+1
, , x
d
)M =0
với i =1, 2, , t 1. Một hệ tham số tốt t-ơng ứng với lọc chiều đ-ợc gọi là một
hệ tham số tốt của M.
Nhận xét
2.1.5. Cho N là môđun con của M. Từ định nghĩa lọc chiều tồn tại
môđun D

i
sao cho N D
i
và dimN = dimD
i
. Vì vậy, nếu M
0
M
1

M

t
= M là một lọc thoả mãn điều kiện chiều thì tồn tại 0 i
0
<i
1
< <i
t

sao cho M
j
D
i
j
và dimM
j
= dimD
i
j

. Do đó, một hệ tham số tốt cũng là một
hệ tham số tốt t-ơng ứng với lọc bất kỳ thoả mãn điều kiện chiều.
Bổ đề
2.1.6. (theo [7, 2.4]) Hệ tham số tốt của M luôn tồn tại.
Chứng minh. Giả sử
D là lọc chiều của M với d
i
= dim D
i
.
Cho

pAssM
N(p)=0là phân tích nguyên sơ rút gọn của môđun con không của
M, khi đó D
i
=

dim R/pd
i+1
N(p). Đặt N
i
=

dim R/pd
i
N(p).
Khi đó D
i
N

i
=0và
dim(M/N
i
)=dim (R/Ann(M/N
i
)) = dim(R/Ann(D
i
)) = d
i
.
Theo Định lý tránh nguyên tố tồn tại một hệ tham số x =(x
1
, , x
d
) sao cho
x
d
i
+1
, , x
d
Ann(M/N
i
). Vì vậy (x
d
i
+1
, , x
d

)M D
i
N
i
D
i
do đó M
i

(x
d
i
+1
, , x
d
)M =0, tức là x =(x
1
, , x
d
) là một hệ tham số tốt của M.
Bổ đề 2.1.7. (theo [9, 2.4]) Nếu một hệ tham số x =(x
1
, , x
d
) là một hệ tham
số tốt t-ơng ứng với lọc F thì (x
n
1
1
, , x

n
d
d
) cũng là một hệ tham số tốt t-ơng ứng
với lọc F với bất kỳ các số nguyên d-ơng n
1
, , n
d
.
17
Chứng minh. Giả sử x =(x
1
, , x
d
) là một hệ tham số tốt t-ơng ứng với lọc F.
Vì (x
n
1
1
, , x
n
d
d
)M (x
1
, , x
d
)M nên (x
n
1

1
, , x
n
d
d
) là một hệ tham số của M và
M
i
(x
n
1
1
, , x
n
d
d
)M =0. Do đó (x
n
1
1
, , x
n
d
d
) cũng là một hệ tham số tốt t-ơng
ứng với lọc F.
Bổ đề 2.1.8. (theo [9, 2.4]) Nếu x là một hệ tham số tốt của M thì x
j

pAssD
i
p với
mọi j>dimD
i
. Ng-ợc lại, nếu x là một hệ tham số của M sao cho x
j


pAssD
i
p
với mọi j>dimD
i
thì (x
s
1
, , x
s
d
) là một hệ tham số tốt của M với s đủ lớn.
Chứng minh. Theo Hệ quả 2.1.3 thì Ass
D
i
= {p AssM |dimR/p d
i
}.
Cho

pAss(M)

N(p)=0là phân tích nguyên sơ rút gọn của môđun con không
của M, đặt N
i
=

dim R/pd
i
N(p).Vìx là một hệ tham số tốt của M nên x
j

Ann(M/N
i
).Mà N(p) là p-môđun nguyên sơ nên dễ suy ra rằng x
j


pAssD
i
p.
Ng-ợc lại, giả sử x
j

dim R/pd
i
p, với mọi j>dimD
i
. Khi đó với mỗi j>dimD
i
và x
j

p, tồn tại n
j
sao cho x
n
j
j
Ann(M/N (p)).
Đặt s = max
j>dim D
i
n
j
, khi đó x
s
j
Ann(M/N (p)), với mọi j>dimD
i
.
Do đó D
i
( x
s
d
i
+1
, , x
s
d
)M =0. Vậy (x
s

1
, , x
s
d
) là một hệ tham số tốt của M.
Định nghĩa 2.1.9. (theo [9, 2.2]) Một R-môđun M đ-ợc gọi là một môđun Cohen-
Macaulay dãy nếu mỗi th-ơng D
i
/D
i1
của lọc chiều D là Cohen-Macaulay với
i =1, 2, , t.
Bổ đề
2.1.10. (theo [12, 2.1]) Nếu x =(x
1
, , x
d
) là một hệ tham số tốt t-ơng ứng
với lọc chiều D của M thì D
i
=0:
M
x
j
với mọi d
i
<j d
i+1
, i =0, 1, , t 1,
và vì vậy ta có

0:
M
x
1
0:
M
x
2
0:
M
x
d
.
Chứng minh. Vì
D
i
(x
d
i
+1
, , x
d
)M =0nên D
i
0:
M
x
j
với mọi j d
i

+1.
Ta cần chứng minh 0:
M
x
j
D
i
với mọi d
i
<j d
i+1
.
18
Thật vậy, giả sử 0:
M
x
j
D
i
. Gọi s là số nguyên lớn nhất sao cho 0:
M
x
j
D
s1
.
Khi đó t s>ivà 0:
M
x
j

=0:
D
s
x
j
.
Vì d
s
d
i+1
j nên x
j
là phần tử tham số của D
s
và vì vậy dim 0 :
M
x
j
<d
s
.
Do đó 0:
M
x
j
D
s1
theo tính cực đại của D
s1
. Điều này mâu thuẫn với cách

chọn s. Vì vậy D
i
=0:
M
x
j
.
Bổ đề 2.1.11. (theo [12, 2.2]) Cho N là môđun con của M sao cho dim N<dim M
và M/N là môđun Cohen - Macaulay. Nếu x
1
, , x
i
, 1 i d là một phần của
hệ tham số của M thì
(x
1
, , x
i
)M N =(x
1
, , x
i
)N.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng qui nạp theo
i.
Tr-ờng hợp i =1là hiển nhiên. Giả sử i>1. Lấy a (x
1
, , x
i
)M N.

Ta viết a = x
1
a
1
+ + x
i
a
i
với a
j
M, j =1, , i.Vìa N nên a
i

(N +(x
1
, , x
i1
)M):
M
x
i
. Mặt khác theo Định lý 1.3.10 vì dãy x
1
, , x
i
là
M/N-chính quy nên
(N +(x
1
, , x

i1
)M):
M
x
i
= N +(x
1
, , x
i1
)M
và ta có a
i
(N +(x
1
, , x
i1
)M).
Khi đó a
i
= x
1
b
1
+ + x
i1
b
i1
+ c với b
j
M, j =1, , i 1 và c N. Do đó

theo giả thiết quy nạp ta có
a x
i
c (x
1
, , x
i1
)M N =(x
1
, , x
i1
)N .
Vậy a (x
1
, , x
i
)N.
Hệ quả 2.1.12. (theo [12, 2.3]) Nếu x =(x
1
, , x
d
) là một hệ tham số tốt của
môđun Cohen - Macaulay dãy M thì
(x
1
, , x
d
)M D
i
=(x

1
, , x
d
i
)D
i
với mọi i =1, , t 1.
19
Cho F : M
0
M
1
M
t
= M là một lọc các môđun con của M thoả
mãn điều kiện chiều với d
i
= dim M
i
và x =(x
1
, , x
d
) là một hệ tham số tốt
t-ơng ứng với F. Khi đó (x
1
, , x
d
i
) là một hệ tham số của M

i
. Xét hiệu
I
F,M
(x)=(M/(x
1
, , x
d
)M
t

i=0
e(x
1
, , x
d
i
; M
i
)
với e(x
1
, , x
d
i
; M
i
) là bội Serre và đặt e(x
1
, , x

d
0
; M
0
)=(M
0
) nếu dim M
0
=0.
Bổ đề
2.1.13. Cho F là một lọc thoả mãn điều kiện chiều và x =(x
1
, , x
d
) là
một hệ tham số tốt t-ơng ứng với F. Khi đó lọc F/x
d
F :
(M
0
+ x
d
M)/x
d
M (M
1
+ x
d
M)/x
d

M (M
s
+ x
d
M)/x
d
M M/x
d
M
với s = t 1 nếu d
t1
<d1 và s = t 2 nếu d
t1
= d 1 cũng là lọc thoả mãn
điều kiện chiều. Hơn nữa hệ x

=(x
1
, , x
d1
) là một hệ tham số tốt t-ơng ứng
với lọc F/x
d
F.
Chứng minh. Vì
M
i
x
d
M =0nên ( M

i
+ x
d
M)/x
d
M

=
M
i
với i s, do đó lọc
F/x
d
F thoả điều kiện chiều và dễ chứng minh rằng
(M
i
+ x
d
M)/x
d
M (x
d
i
+1
, , x
d1
)M/x
d
M =0,
với mọi i s. Vậy x

là một hệ tham số tốt t-ơng ứng với lọc F/x
d
F.
Bổ đề 2.1.14. (theo [7, 2.6]) Cho F là một lọc thoả mãn điều kiện chiều và
x =(x
1
, , x
d
) là một hệ tham số tốt t-ơng ứng với F. Khi đó I
F,M
(x) 0.
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.1.13 thì lọc F/x
d
F thoả điều kiện chiều và x

=
(x
1
, , x
d1
) là một hệ tham số tốt t-ơng ứng với lọc F/x
d
F.
Khi đó ta có
I
F/x
d
F,M/x
d

M
(x

)=(M/xM) e(x

; M/x
d
M)
s

i=0
e(x
1
, , x
d
i
; M
i
)
= (M/x
M)e(x

;0:
M
x
d
)e(x; M)
s

i=0

e(x
1
, , x
d
i
; M
i
).
Nếu
d
t1
<d 1 thì I
F,M
(x) I
F/x
d
F,M/x
d
M
(x

)=e(x

;0:
M
x
d
) 0.
20
Nếu d

t1
= d 1 thì vì M
t1
x
d
M =0nên M
t1
0:
M
x
d
.
Do đó I
F,M
(x) I
F/x
d
F,M/x
d
M
(x

)=e(x

;0:
M
x
d
) e(x

; M
t1
) 0.
Vì vậy trong mọi tr-ờng hợp ta đều có I
F,M
(x) I
F/x
d
F,M/x
d
M
(x

) và Bổ đề đ-ợc
chứng minh bằng quy nạp theo d.
Hệ quả 2.1.15. (theo [7, 2.7]) Cho F là một lọc thoả mãn điều kiện chiều và
x =(x
1
, , x
d
) là một hệ tham số tốt t-ơng ứng với F. Khi đó
I
F,M
(x) I
F/x
d
F,M/x
d
M
(x

1
, , x
d1
).
Hệ quả 2.1.16. (theo [7, 2.8]) Cho F là một lọc thoả mãn điều kiện chiều và
x =(x
1
, , x
d
) là một hệ tham số tốt t-ơng ứng với F. Khi đó
e(x
1
, , x
r
; M/(x
r+1
, , x
d
)M)

d
i
r
e(x
1
, , x
d
i
; M
i

)
với mọi r =1, 2, , d.
Chứng minh. Theo công thức Lech và Bổ đề 2.1.14 ta có
e(x
1
, , x
r
; M/(x
r+1
, , x
d
)M)=lim
n
1
n
r
(M/(x
n
1
, , x
n
r
,x
r+1
, , x
d
)M)
lim
n
1

n
r
t

i=0
e(x
n
1
, , x
n
r
,x
r+1
, , x
d
i
; M
i
)
=

d
i
r
e(x
1
, , x
d
i
; M

i
).
Đặt x(n)=(x
n
1
1
, , x
n
d
d
) với mọi bộ d số nguyên d-ơng n =(n
1
, , n
d
) và
xem hiệu I
F,M
(x(n)) nh- một hàm theo n =(n
1
, , n
d
).
Mệnh đề
2.1.17. (theo [7, 2.9]) Cho F là một lọc thoả mãn điều kiện chiều và
x =(x
1
, , x
d
) là một hệ tham số tốt t-ơng ứng với F. Khi đó hàm I
F,M

(x(n))
không giảm, tức là I
F,M
(x(n)) I
F,M
(x(m)) với mọi n
i
m
i
, i =1, , d.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh hàm
I
F,M
(x
1
, , x
r1
,x
n
r
,x
r+1
, , x
d
) là
không giảm theo
n với mỗi r {1, 2, , d}.
21
Đặt x(n)=(x
1

, , x
r1
,x
n
r
,x
r+1
, , x
d
). Khi đó
I
F,M
(x(n + 1)) I
F,M
(x(n)) =
= (M/(x
(n + 1))M) (M/(x(n))M)

d
i
r
e(x
1
, , x
d
i
; M
i
).
Ta có

(1 + n)e(x
r
; M/(x
1
, , x
r1
,x
r+1
, , x
d
)M)=
= e(x
n+1
r
; M/(x
1
, , x
r1
,x
r+1
, , x
d
)M)
= (M/(x( n + 1))M)

(0 : x
n+1
r
)
M/(x

1
, ,x
r1
,x
r+1
, ,x
d
)M

.
ne(x
r
; M/(x
1
, , x
r1
,x
r+1
, , x
d
)M)=
= (M/(x( n)) M)

(0 : x
n
r
)
M/(x
1
, ,x

r1
,x
r+1
, ,x
d
)M

.
Mà ((0 : x
n+1
r
)
M/(x
1
, ,x
r1
,x
r+1
, ,x
d
)M
) ((0 : x
n
r
)
M/(x
1
, ,x
r1
,x

r+1
, ,x
d
)M
) 0 nên
e(x
r
; M/(x
1
, , x
r1
,x
r+1
, , x
d
)M) (M/(x( n + 1))M) (M/(x(n))M).
Suy ra
I
F,M
(x(n + 1)) I
F,M
(x(n))
e(x
r
; M/(x
1
, , x
r1
,x
r+1

, , x
d
)M)

d
i
r
e(x
1
, , x
d
i
; M
i
).
áp dụng công thức Lech ta có
e(x
r
; M/(x
1
, , x
r1
,x
r+1
, , x
d
) = lim
n
1
n

(M/(x
1
, , x
r1
,x
n
r
,x
r+1
, , x
d
)M)
lim
n
1
n
r
(M/(x
n
1
, , x
n
r
,x
r+1
, , x
d
)M)
= e(x
1

, , x
r
; M/(x
r+1
, , x
d
)M).
Theo Hệ quả 2.1.16 ta có e(x
1
, , x
r
; M/(x
r+1
, , x
d
)M)

d
i
r
e(x
1
, , x
d
i
; M
i
).
Vậy I
F,M

(x(n + 1)) I
F,M
(x(n)).
22
2.2 Đặc tr-ng của môđun Cohen - Macaulay
dãy qua hệ tham số tốt
Tr-ớc tiên chúng tôi nhắc lại khái niệm và một số tính chất của dd-dãy
trong [6].
Định nghĩa
2.2.1. (theo [6, 3.1]) Cho x =(x
1
, , x
s
) là một dãy các phần tử của
m. Khi đó x đ-ợc gọi là một d-dãy của R-môđun M nếu
(x
1
, , x
i1
)M : x
j
=(x
1
, , x
i1
)M : x
i
x
j
với mọi i =1, , s và với mọi j i.

Định nghĩa
2.2.2. (theo [6, 3.2]) Một dãy (x
1
, ããã ,x
s
) đ-ợc gọi là dd - dãy của
M nếu với mọi số nguyên d-ơng n
1
, ããã ,n
s
và i =1, 2, ããã,s, dãy (x
n
1
1
, ããã ,x
n
i
i
)
là một d - dãy của môđun M/(x
n
i+1
i+1
, ããã ,x
n
s
s
)M.
Bổ đề 2.2.3. (theo [6, 3.6]) Cho x là hệ tham số của M. Khi đó x là dd-dãy của
M nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên a

0
,a
1
, ããã ,a
d
sao cho
(M/x(n)M)=
d

i=0
a
i
n
1
ãããn
i
với mọi số nguyên d-ơng n
1
, ããã ,n
d
. Trong đó,
a
i
= e(x
1
, ããã ,x
i
;(x
i+2
, ããã ,x

d
)M : x
i+1
/(x
i+2
, ããã ,x
d
)M).
Mệnh đề 2.2.4. ( theo [6, 1.5]) Cho M là một môđun Cohen - Macaulay dãy và
x là một hệ tham số của M. Khi đó x là một hệ tham số tốt nếu và chỉ nếu
I
D,M
(x(n)) = 0 với mọi số nguyên d-ơng n
1
, ããã ,n
d
. Khi đó, x là một dd- dãy.
Tiếp theo chúng tôi trình bày đặc tr-ng của môđun Cohen - Macaulay dãy
qua hệ tham số tốt trong
[7].
Bổ đề
2.2.5. ( theo [7, 3.5]) Cho x =(x
1
, , x
d
) là một hệ tham số của M và
D : D
0
D
1

D
t
= M là lọc chiều của M với dim D
i
= d
i
. Giả sử x là
23
một dd - dãy của M. Khi đó D
i
=0:
M
x
d
i
+1
với i =0, 1, ããã ,t1 và x là một
hệ tham số tốt của M.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bổ đề bằng quy nạp theo
d. Tr-ờng hợp d =1
là hiển nhiên đúng. Giả sử rằng d>1. Theo [6, 6.3] vì x là một dd - dãy nên
D
t1
=0:
M
x
d
, vì vậy D
i
x

d
M D
t1
x
d
M =0với mọi i =0, ããã ,t 1. Giả
sử hoặc d
t1
<d1 hoặc i<t1.Vì(D
i
+ x
n
d
d
M)/x
n
d
d
M D
i
/x
n
d
d
M D
i
= D
i
nên dim(D
i

+ x
n
d
d
M)/x
n
d
d
M = d
i
với mọi n
d
1.
Theo Nhận xét 2.1.5, tồn tại một R-môđun D trong lọc chiều của M/x
n
d
d
M sao cho
(D
i
+ x
n
d
d
M)/x
n
d
d
M D và dim D = d
i

. Vì hệ tham số x

=(x
1
, ããã ,x
d1
) cũng
là một dd - dãy của môđun M/x
n
d
d
M và dim D = d
i
nên theo giả thiết quy nạp
thì D =(0:x
d
i
+1
)
M/x
n
d
d
M
. Từ đây suy ra (D
i
+ x
n
d
d

M)/x
n
d
d
M (0 : x
d
i
+1
)
M/x
n
d
d
M
,
do đó D
i
+ x
n
d
d
M x
n
d
d
M : x
d
i
+1
với mọi n

d
1.
áp dụng Định lý giao Krull ta có
D
i


n
d
(D
i
+ x
n
d
d
M)

n
d
(x
n
d
d
M : x
d
i
+1
)=0:
M
x

d
i
+1
.
Hơn nữa, vì x là một d-dãy nên (x
d
i
+1
, ããã ,x
d
)(0 :
M
x
d
i
+1
)=0.
Suy ra dim(0 :
M
x
d
i
+1
)=dimR/Ann(0 :
M
x
d
i
+1
) dim R/(x

d
i
+1
, , x
d
)=d
i
.
Nh- vậy D
i
0:
M
x
d
i
+1
và dim(0 :
M
x
d
i
+1
) d
i
, do tính cực đại của D
i
ta có
D
i
=0:

M
x
d
i
+1
.
Hơn nữa, cũng theo giả thiết quy nạp ta có x

là một hệ tham số tốt của M/x
d
M.
Khi đó x

là một hệ tham số tốt t-ơng ứng với lọc
D/x
d
D :(D
0
+ x
d
M)/x
d
M (D
1
+ x
d
M)/x
d
M (D
s

+ x
d
M)/x
d
M M/x
d
M
trong đó s = t 1 nếu d
t1
<d 1 và s = t 2 nếu d
t1
= d 1. Vì vậy
(D
i
+ x
d
M) (x
d
i
+1
, ããã ,x
d1
,x
d
)M = x
d
M với mọi i =0, ããã,s. Ta đã biết
D
t1
=0:

M
x
d
nếu d
t1
= d 1. Do đó
D
i
( x
d
i
+1
, ããã ,x
d1
,x
d
)M D
i
x
d
M =0
với mọi i =0, 1, ããã ,t 1 và x là một hệ tham số tốt của M.
24
Bổ đề 2.2.6. (theo [7, 3.6]) Cho (x
1
, ããã ,x
s
) là một d - dãy của M. Khi đó với
i =1, ããã,s ta có
0:

M
x
i
(x
1
, ããã ,x
s
)M =0:
M
x
i
( x
1
, ããã ,x
i1
)M.
Đặc biệt, 0:
M
x
2
( x
1
, ããã ,x
s
)M = x
1
(0 :
M
x
2

).
Chứng minh. Tr-ờng hợp i = s, ta cần chứng minh rằng
0:
M
x
s
( x
1
, ããã ,x
s
)M 0:
M
x
s
( x
1
, ããã ,x
s1
)M.
Với a 0:
M
x
s
(x
1
, ããã ,x
s
)M, ta có ax
s
=0và a = x

1
a
1
+ ããã+ x
s
a
s
, trong
đó a
1
, ããã ,a
s
M. Khi đó, vì x
s
x
1
a
1
+ ããã+ x
2
s
a
s
=0và x là một d-dãy nên
a
s
(x
1
, ããã ,x
s1

)M : x
2
s
=(x
1
, ããã ,x
s1
)M : x
s
và vì thế x
s
a
s
(x
1
, ããã ,x
s1
)M.
Vậy a 0:
M
x
s
(x
1
, ããã ,x
s1
)M.
Tr-ờng hợp i<sđ-ợc chứng minh bằng quy nạp giảm. Giả sử
0:
M

x
i+1
( x
1
, ããã ,x
s
)M =0:
M
x
i+1
( x
1
, ããã ,x
i
)M.
Vì x là d-dãy nên 0:
M
x
i
0:
M
x
i+1
và ta có
0:
M
x
i
( x
1

, ããã ,x
s
)M =0:
M
x
i
( x
1
, ããã ,x
i
)M.
Hơn nữa vì (x
1
, ããã ,x
i
) cũng là một d-dãy nên từ chứng minh cho tr-ờng hợp
i = s ở trên ta có 0:
M
x
i
( x
1
, ããã ,x
i
)M =0:
M
x
i
(x
1

, ããã ,x
i1
)M.
Vậy 0:
M
x
i
( x
1
, ããã ,x
s
)M =0:
M
x
i
( x
1
, ããã ,x
i1
)M.
Bổ đề 2.2.7. (theo [7, 3.7]) Cho D : D
0
D
1
ãããD
t
= M là lọc chiều của M
và F : M
0
M

1
ãããM
t

= M là một lọc thỏa mãn điều kiện chiều. Giả sử
x là một hệ tham số tốt t-ơng ứng với F và I
F,M
(x(n)) = 0 với mọi số nguyên
d-ơng n
1
, ããã ,n
d
. Khi đó I
D,M
(x(n)) = 0,t = t

và dimM
i
= dim D
i
= d
i
. Hơn
nữa, ta có D
i
+ x
1
M = x
1
M : x

d
i
+1
với i =1, ããã,t 1.
Chứng minh. Vì I
F,M
(x(n)) = 0 nên theo Bổ đề 2.2.3 thì x là dd - dãy , do đó x
là hệ tham số tốt của M theo Bổ đề 2.2.5. Từ Nhận xét 2.1.5, ta có I
F,M
(x(n))
I
D,M
(x(n)) với mọi số nguyên d-ơng n
1
, ããã ,n
d
. Vì vậy I
D,M
(x(n)) = 0,t= t

và