MỘT SỐ QUỸ TÍCH CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ KIỀU NGA
MỘT SỐ QUỸ TÍCH
CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH
TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Nghệ An - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ KIỀU NGA
MỘT SỐ QUỸ TÍCH
CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH
TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 62.46.01.04
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn
TS. Nguyễn Thị Hồng Loan
Nghệ An - 2014
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các
kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả
khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và
chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Tác giả
Nguyễn Thị Kiều Nga
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới cô giáo kính yêu của tôi
- PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn. Cô đã tận tình dìu dắt tôi từ những

bước chập chững đầu tiên trên con đường nghiên cứu khoa học. Với tất
cả niềm say mê khoa học và tâm huyết của người thầy, cô không chỉ dạy
tôi về tri thức toán học mà còn dạy tôi phương pháp nghiên cứu, cách
phát hiện và giải quyết vấn đề. Hơn nữa, cô còn luôn quan tâm, động
viên và giúp đỡ tôi những lúc tôi gặp khó khăn trong cuộc sống. Tôi thấy
mình thật may mắn khi được làm khoa học dưới sự hướng dẫn của cô.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn thứ
hai của tôi - TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Cô đã luôn quan tâm, nhắc
nhở và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tôi học tập, nghiên
cứu. Có những lúc khó khăn trong cuộc sống đã làm tôi nản chí, lúc đó
cô như người chị kịp thời động viên, khích lệ giúp tôi vượt qua mọi khó
khăn.
Tôi xin trân trọng cám ơn GS. TSKH. Nguyễn Tự Cường. Thầy
là người đầu tiên đưa tôi đến với Đại số giao hoán và tận tình dạy dỗ
tôi từ khi tôi còn là học viên cao học. Như một người cha, thầy vẫn luôn
quan tâm và giúp đỡ tôi trong học tập và trong cuộc sống.
Tôi xin trân trọng cám ơn Ban giám hiệu, Khoa đào tạo Sau đại
học, Khoa Toán- Trường Đại học Vinh đã tạo mọi điều kiện cho tôi học
tập.
Tôi xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm
Hà Nội 2 đã cho tôi cơ hội được đi học tập và nghiên cứu. Đặc biệt, tôi
xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo
và đồng nghiệp trong Tổ Đại số - Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
đã quan tâm động viên và và giúp đỡ nhiều mặt trong thời gian tôi làm
nghiên cứu sinh.
Tôi vô cùng biết ơn cô Tạ Thị Phương Hòa đã luôn giành cho tôi
những tình cảm trìu mến. Tôi xin cám ơn các anh chị em trong nhóm
xêmina Đại số trường Đại học Thái Nguyên về những trao đổi khoa học
và chia sẻ trong cuộc sống. Xin cám ơn em Trần Đỗ Minh Châu và em
Trần Nguyên An đã dành cho tôi những tình cảm quý báu.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân trong gia
đình của mình. Những người luôn động viên chia sẻ khó khăn và luôn
mong mỏi tôi thành công. Tôi xin cám ơn Chồng và hai Con trai yêu
quí, những người đã chấp nhận mọi khó khăn, gánh vác toàn bộ công
việc cho tôi để tôi yên tâm học tập. Đó là nguồn động viên rất lớn, giúp
tôi vượt qua khó khăn để tôi có thể hoàn thành luận án này.
Nguyễn Thị Kiều Nga
5
Mục lục
Mở đầu 7
1 Kiến thức chuẩn bị 21
1.1 Tính catenary của vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Biểu diễn thứ cấp của môđun Artin . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay
suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Quỹ tích không Cohen-Macaulay 33
2.1 Quỹ tích không Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Liên hệ với tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn 41
2.3 Chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay . . . . . . . . 47
3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng 54
3.1 Giá suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng . . . . . . . . 60
4 Một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay 73
4.1 Quỹ tích giả Cohen-Macaulay và quỹ tích giả Cohen-
Macaulay suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2 Liên hệ với môđun chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Kết luận và kiến nghị 92
Các công trình liên quan đến luận án 93
Tài liệu tham khảo 93

6
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Cho (R , m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực
đại duy nhất m. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull
dim M = d. Ta luôn có depth M  dim M. Nếu depth M = dim M
thì ta nói M là môđun Cohen-Macaulay. Lớp vành và môđun Cohen-
Macaulay đóng vai trò trung tâm trong Đại số giao hoán và có ứng dụng
trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như Đại số đồng điều, Tổ
hợp và Hình học đại số.
Nhiều mở rộng của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay đã được
giới thiệu và quan tâm nghiên cứu. Hai mở rộng đầu tiên là lớp vành
(môđun) Buchsbaum và lớp vành (môđun) Cohen-Macaulay suy rộng.
Với mọi hệ tham số x của M, đặt I(x; M) = (M/xM) − e(x; M), trong
đó e(x; M) là số bội của M ứng với hệ tham số x. Ta luôn có I(x; M)  0
với mọi hệ tham số x của M và M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu
I(x; M) = 0 với một (hoặc với mọi) hệ tham số x của M. Vì thế, năm
1965, D. A. Buchsbaum [7] đã đưa ra giả thuyết rằng I(x; M) là một
hằng số không phụ thuộc vào hệ tham số x của M. Năm 1973, W. Vogel
và J. St¨uckrad [54] đã xây dựng hàng loạt ví dụ chứng tỏ giả thuyết
của D. A. Buchsbaum là không đúng, đồng thời họ nghiên cứu lớp vành
và môđun thỏa mãn điều kiện trong giả thuyết của D. A. Buchsbaum.
Các môđun này được gọi là môđun Buchsbaum. Sau đó N. T. Cường, P.
Schenzel và N. V. Trung [50] đã giới thiệu và nghiên cứu lớp môđun M
thỏa mãn điều kiện sup I(x; M) < ∞, trong đó cận trên lấy theo mọi hệ
tham số x của M, và họ gọi chúng là môđun Cohen-Macaulay suy rộng.
Ngày nay, khái niệm môđun Buchsbaum và môđun Cohen-Macaulay suy
7
rộng đã trở nên rất quen biết trong Đại số giao hoán.
Hai mở rộng tiếp theo dựa vào tính chất không trộn lẫn của môđun

Cohen-Macaulay. Ta biết rằng nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì
dim R/p = d với mọi p ∈ Ass
R
M. Khi nghiên cứu cho trường hợp
môđun trộn lẫn, R. P. Stanley [47] đã giới thiệu khái niệm môđun Cohen-
Macaulay dãy cho các môđun phân bậc, sau đó được P. Schenzel [45], N.
T. Cường và L. T. Nhàn [19] định nghĩa cho môđun hữu hạn sinh trên
vành địa phương. Mở rộng khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng
cho trường hợp môđun trộn lẫn, N. T. Cường và L. T. Nhàn [19] đã giới
thiệu khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy.
Hai mở rộng khác của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay là lớp
vành (môđun) giả Cohen-Macaulay và lớp vành (môđun) giả Cohen-
Macaulay suy rộng. Cho x = (x
1
, . . . , x
d
) là hệ tham số của M. Đặt
Q
M
(x) =

t>0
((x
t+1
1
, . . . , x
t+1
d
)M :
M

x
t
1
. . . x
t
d
).
Khi đó Q
M
(x) là môđun con của M và xM ⊆ Q
M
(x). R. Hartshorne
[27] đã chỉ ra rằng, nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì xM = Q
M
(x)
với một (hoặc với mọi) hệ tham số x của M, tức là
J(x; M) = e(x; M) − 

M/Q
M
(x)

= 0.
Hơn nữa, nếu M là Cohen-Macaulay suy rộng thì sup J(x; M) < ∞,
trong đó cận trên lấy theo các hệ tham số x của M (xem [16]). Vì thế,
năm 2003, N. T. Cường và L. T. Nhàn [19] đã nghiên cứu lớp môđun M
thỏa mãn điều kiện J(x; M) = 0 với một (hoặc với mọi) hệ tham số x
của M. Họ gọi lớp môđun này là môđun giả Cohen-Macaulay. Đồng thời
N. T. Cường và L. T. Nhàn [19] cũng nghiên cứu lớp môđun M với tính
chất sup J(x; M) < ∞ trong đó cận trên lấy theo tập tất cả các hệ tham

số x của M và họ gọi chúng là môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng.
8
Tóm lại, cùng với lớp môđun Cohen-Macaulay, các lớp môđun
Buchsbaum, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun Cohen-Macaulay
dãy, môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, môđun giả Cohen-Macaulay
và môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng đã trở thành những lớp môđun
được quan tâm trong Đại số giao hoán và cấu trúc của chúng đã được
biết đến thông qua các công trình [12], [13], [19], [24], [25], [45], [46], [47],
[48], [49],[50], [53] Tuy nhiên, nghiên cứu các quỹ tích liên quan đến
tính Cohen-Macaulay là một hướng nghiên cứu thời sự cần được quan
tâm của Đại số giao hoán.
Các nghiên cứu trước đây về quỹ tích không Cohen-Macaulay
chỉ tập trung chủ yếu về tính chất đóng theo tôpô Zariski (xem R.
Hartshorne [28], P. Schenzel [53]) hoặc về chiều của quỹ tích (xem [10],
[11]) khi vành cơ sở R "tốt”, chẳng hạn khi R là thương của một vành
Gorenstein địa phương. Trong luận án này, chúng tôi quan tâm đến vấn
đề mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay với vành cơ sở tùy ý, đồng
thời nghiên cứu tính chất của quỹ tích này trong mối quan hệ với tính
catenary, catenary phổ dụng, tính không trộn lẫn của vành, các điều
kiện Serre của môđun và tính Cohen-Macaulay của các thớ hình thức.
Chúng tôi cũng đặt vấn đề nghiên cứu một số quỹ tích liên quan đến tính
Cohen-Macaulay như quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích
không Cohen-Macaulay dãy, quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng
dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay và quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy
rộng.
Với các lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án
của mình là: "Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa
phương Noether ".
9
2. Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận án là mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay và
một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay như quỹ tích không
Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy và quỹ
tích không Cohen-Macaulay suy rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay
và quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng. Đồng thời chứng minh một
số kết quả mới về các quỹ tích này trong mối quan hệ với tính catenary,
tính catenary phổ dụng, các điều kiện Serre, tính Cohen-Macaulay của
các thớ hình thức, chiều của các môđun đối đồng điều địa phương và
kiểu đa thức.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là một số quỹ tích của môđun
hữu hạn sinh trên vành giao hoán địa phương Noether liên quan đến
tính Cohen-Macaulay.
4. Phạm vi nghiên cứu
Lĩnh vực nghiên cứu của luận án là Đại số giao hoán. Luận án
tập trung nghiên cứu về môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán địa
phương Noether.
5. Phương pháp nghiên cứu
Về mặt kỹ thuật, chúng tôi sử dụng các tập giả giá giới thiệu bởi
M. Brodmann và R. Y. Sharp [5], đồng thời đưa ra khái niệm giá suy
rộng để mô tả các quỹ tích. Ngoài ra, chúng tôi sử dụng một số lý thuyết
quan trọng của Đại số giao hoán để nghiên cứu như lý thuyết đối đồng
điều địa phương, lý thuyết phân tích nguyên sơ, lý thuyết biểu diễn thứ
cấp, kiểu đa thức
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Các kết quả của luận án làm phong phú hướng nghiên cứu về
các quỹ tích của môđun hữu hạn sinh, đồng thời làm rõ thêm cấu
10
trúc một số lớp môđun đang được quan tâm trong Đại số giao hoán
như môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun

Cohen-Macaulay dãy, môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, môđun giả
Cohen-Macaulay, môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng.
7. Tổng quan và cấu trúc luận án
7.1. Tổng quan luận án
Cho (R , m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực
đại duy nhất m. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh có chiều d. Với I là
iđêan của R, kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I.
Ký hiệu

R và

M tương ứng là đầy đủ theo tôpô m-adic của R và M.
Quỹ tích không Cohen-Macaulay của M, ký hiệu nCM(M), là tập các
iđêan nguyên tố p sao cho M
p
không Cohen-Macaulay. Quỹ tích không
Cohen-Macaulay đã được R. Hartshorne [28] đề cập đến vào năm 1966.
Giả sử R là thương của vành Gorenstein địa phương, R. Hartshorne [28]
đã chỉ ra rằng quỹ tích này là tập đóng theo tôpô Zariski. Tính đóng của
quỹ tích không Cohen-Macaulay cũng được chỉ ra bởi P. Schenzel [53].
Chú ý rằng khi quỹ tích không Cohen-Macaulay là tập đóng thì chiều
của nó được định nghĩa. Một số kết quả về chiều của quỹ tích không
Cohen-Macaulay trong mối quan hệ với kiểu đa thức và chiều của các
môđun đối đồng điều địa phương đã được chứng minh bởi N. T. Cường
[10], [11].
Cho đến nay việc nghiên cứu quỹ tích không Cohen-Macaulay chỉ
tập trung vào tính đóng hoặc tính toán chiều của nó mà chưa quan tâm
đến vấn đề mô tả quỹ tích này. Một số quỹ tích khác của môđun hữu
hạn sinh liên quan đến tính Cohen-Macaulay còn chưa được nghiên cứu.
Trong luận án này, chúng tôi quan tâm đến vấn đề mô tả quỹ tích không

Cohen-Macaulay, quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích
không Cohen-Macaulay dãy và không Cohen-Macaulay suy rộng dãy,
11
quỹ tích giả Cohen-Macaulay và giả Cohen-Macaulay suy rộng. Đồng
thời chúng tôi nghiên cứu các quỹ tích này trong mối quan hệ với tính
catenary, tính catenary phổ dụng, điều kiện Serre, chiều của môđun đối
đồng điều địa phương và kiểu đa thức.
Kết quả đầu tiên của luận án là đưa ra một số công thức tính
quỹ tích không Cohen-Macaulay và chiều của nó. Chúng tôi mô tả quỹ
tích không Cohen-Macaulay qua các tập giả giá giới thiệu bởi M. Brod-
mann và R. Y. Sharp [5]. Nhắc lại rằng giả giá thứ i của M, kí hiệu là
Psupp
i
R
(M), được cho bởi công thức
Psupp
i
R
(M) = {p ∈ Spec(R) | H
i−dim(R/p)
pR
p
(M
p
) = 0}.
Khi đó, quỹ tích không Cohen-Macaulay được mô tả trong Định lý 2.1.5
và Hệ quả 2.1.6. Ở đây, chúng tôi phát biểu gộp lại như sau:
Định lý 2.1.5. nCM(M) =

0i<jd

(Psupp
i
R
(M) ∩ Psupp
j
R
(M)). Hơn
nữa, nếu R là catenary và M đẳng chiều thì
nCM(M) =
d−1

i=0
Psupp
i
R
(M).
Tiếp theo, chúng tôi xét mối quan hệ giữa quỹ tích không Cohen-
Macaulay với các môđun đối đồng điều địa phương và tính không trộn
lẫn của các vành R/p với p ∈ Supp
R
(M). Theo M. Nagata [36], môđun
M được gọi là không trộn lẫn nếu dim(

R/

p) = d với mọi

p ∈ Ass

R


M.
Với mỗi số nguyên i, đặt a
i
(M) = Ann
R
H
i
m
(M). Đặt
a(M) = a
0
(M)a
1
(M) . . . a
d−1
(M).
Định lý 2.2.1. Đặt T (M) =

0i<jd
Var(a
i
(M) + a
j
(M)). Khi đó các
khẳng định sau là đúng.
12
(i) Nếu vành R/ Ann
R
M là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là

Cohen-Macaulay thì nCM(M) = T (M). Trong trường hợp này, nCM(M)
là tập con đóng của Spec(R) theo tôpô Zariski.
(ii) Nếu nCM(M) = T(M) thì vành R/ Ann
R
M là catenary phổ dụng
và R/p là không trộn lẫn với mọi p ∈ min Ass
R
M.
Năm 1980, M. Nagata [37] đã đưa ra câu hỏi: Giả sử (R, m) là
miền nguyên địa phương Noether không trộn lẫn. Cho p ∈ Spec(R).
Khi đó R/p có là vành không trộn lẫn? Năm 1983, M. Brodmann và
C. Rotthaus [4] đã xây dựng một miền nguyên địa phương, Noether
(R, m) có chiều 3 thỏa mãn điều kiện

R là miền nguyên và tồn tại p ∈
Spec(R), dim(R/p) = 2 và

R/p

R có iđêan nguyên tố nhúng. Ví dụ này là
câu trả lời phủ định cho câu hỏi của M. Nagata. Với kết quả sau, chúng
tôi đưa ra một tiêu chuẩn về tính không trộn lẫn của vành R/p với
p ∈ Supp
R
(M) trong mối quan hệ với quỹ tích không Cohen-Macaulay
và điều kiện Serre của M. Nhắc lại rằng, cho r > 0 là một số nguyên.
Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện Serre (S
r
) nếu
depth(M

p
) ≥ min{r, dim(M
p
)} với mọi p ∈ Supp
R
(M).
Chú ý rằng môđun M thỏa mãn điều kiện Serre (S
1
) nếu và chỉ nếu
Ass
R
M = min Ass
R
M.
Định lý 2.2.3. Cho r  1 là số nguyên. Giả sử M đẳng chiều và M
thỏa mãn điều kiện Serre (S
r
). Nếu nCM(M) = Var(a(M)) thì R/p
không trộn lẫn với mọi p ∈ Supp
R
(M) thỏa mãn dim(R/p)  d − r.
Khái niệm kiểu đa thức của M, kí hiệu là p(M), được giới thiệu bởi
N. T. Cường [11] nhằm nghiên cứu cấu trúc của các môđun hữu hạn sinh
trên vành Noether. Nếu ta kí hiệu bậc của đa thức không là −1 thì M là
Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu p(M) = −1 và M là Cohen-Macaulay
suy rộng nếu và chỉ nếu p(M)  0. Trong [10], [11], N. T. Cường đã
13
nghiên cứu chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay của M trong mối
quan hệ với chiều của các môđun đối đồng điều địa phương H
i

m
(M) và
kiểu đa thức p(M) của M. Ông đã chỉ ra rằng, trong trường hợp tổng
quát,
dim(R/a(M))  p(M)  dim nCM(M).
Khi R là thương của một vành Gorenstein địa phương thì ta có đẳng
thức p(M) = dim(R/a(M)) và nếu thêm điều kiện M đẳng chiều thì
p(M) = dim nCM(M). Điều này chứng tỏ khi p(M) càng lớn thì tính
chất của M càng xa hơn tính Cohen-Macaulay. Trong luận án này, chúng
tôi mở rộng các kết quả trên cho trường hợp vành R là catenary phổ
dụng với mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay và xét trong trường hợp
môđun M bất kì, không nhất thiết đẳng chiều.
Định lý 2.3.4. Ký hiệu U
M
(0) là môđun con lớn nhất của M có chiều
bé hơn d. Khi đó
dim(R/a(M)) ≥ p(M) ≥ max

dim nCM(M), dim U
M
(0)

.
Các đẳng thức xảy ra với mọi môđun M khi và chỉ khi R là catenary phổ
dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay.
Kết quả thứ hai của luận án là mô tả quỹ tích không Cohen-
Macaulay suy rộng và xét tính đóng của nó. Như chúng ta đã biết, môđun
Cohen-Macaulay suy rộng là mở rộng của môđun Cohen-Macaulay và
cấu trúc của nó được nghiên cứu bởi các nhà toán học N. T. Cường,
N. V. Trung, P. Schenzel, J. St¨uckrad, W. Vogel và nhiều tác giả khác

trên thế giới. Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu quỹ tích không
Cohen-Macaulay suy rộng của môđun hữu hạn sinh M. Quỹ tích không
Cohen-Macaulay suy rộng của M, kí hiệu nGCM(M), là tập hợp các
iđêan nguyên tố p sao cho M
p
không là môđun Cohen-Macaulay suy
rộng. Chú ý rằng tính Cohen-Macaulay được đặc trưng bởi tính triệt
14
tiêu của môđun đối đồng điều địa phương. Vì thế chúng tôi đã sử dụng
các tập giả giá để mô tả thành công quỹ tích không Cohen-Macaulay
của M (xem Định lý 2.1.5). Chúng ta đã biết rằng M là môđun Cohen-
Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu (H
i
m
(M)) < ∞ với mọi i < d. Do đó,
chúng tôi thấy rằng phải có một tập tương tự như tập giả giá để mô tả
quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng. Vì thế, chúng tôi giới thiệu
khái niệm giá suy rộng. Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Giá suy rộng thứ i
của M, ký hiệu là Lsupp
i
R
(M), được cho bởi công thức
Lsupp
i
R
(M) = {p ∈ Spec(R) | 
R
p

H

i−dim(R/p)
pR
p
(M
p
)

= ∞}.
Chúng tôi nghiên cứu giá suy rộng trong mối quan hệ với giả giá,
tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương,
dịch chuyển qua đầy đủ m-adic và qua địa phương hóa. Sử dụng giá suy
rộng, chúng tôi miêu tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng như
sau:
Định lý 3.2.2. nGCM(M) =

1i<jd
(Lsupp
i
R
(M) ∩ Lsupp
j
R
(M)). Hơn
nữa, nếu M là đẳng chiều và R là catenary thì
nGCM(M) =

1i<d
Lsupp
i
R

(M).
Rõ ràng quỹ tích không Cohen-Macaulay của M chứa quỹ tích
không Cohen-Macaulay suy rộng. Trong trường hợp vành R là catenary
phổ dụng với mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay, M đẳng chiều và M
không là môđun Cohen-Macaulay suy rộng, chúng tôi chỉ ra mối quan
hệ giữa nCM(M) và nGCM(M) trong Hệ quả 3.2.3 như sau:
nGCM(M) = nCM(M) \ min nCM(M).
Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng nGCM(M) của M rất
ít khi là tập con đóng của Spec(R) theo tôpô Zariski. Chúng tôi chỉ ra
15
rằng, với điều kiện vành R là catenary phổ dụng với mọi thớ hình thức
là Cohen-Macaulay và môđun M đẳng chiều thì nGCM(M) đóng khi và
chỉ khi p(M)  1 (Mệnh đề 3.2.4).
Kết quả thứ ba của luận án là mô tả một số quỹ tích khác như quỹ
tích không Cohen-Macaulay dãy, quỹ tích không Cohen-Macaulay suy
rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay, quỹ tích giả Cohen-Macaulay
suy rộng và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc. Công
cụ chính để chúng tôi nghiên cứu các quỹ tích này là các giả giá, giá
suy rộng và lọc chiều của môđun. Nhắc lại rằng khái niệm lọc chiều của
môđun được giới thiệu đầu tiên bởi P. Schenzel trong [45] và được N. T.
Cường, Đ. T. Cường [12] điều chỉnh lại đôi chút để thuận tiện hơn cho
việc sử dụng. Trong luận án này, chúng tôi sử dụng định nghĩa lọc chiều
của N. T. Cường và Đ. T. Cường [12]. Một lọc các môđun con
H
0
m
(M) = M
0
⊂ M
1

⊂ . . . ⊂ M
k
= M
của M được gọi là lọc chiều của M nếu M
i
là môđun con lớn nhất của
M
i+1
có chiều bé hơn dim M
i
, với mọi i = 0, . . . , k − 1. Chú ý rằng
lọc chiều của một môđun luôn tồn tại và xác định duy nhất. Chúng
tôi mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy (quỹ tích không Cohen-
Macaulay suy rộng dãy) qua quỹ tích không Cohen-Macaulay (quỹ tích
không Cohen-Macaulay suy rộng) của các môđun thương trong lọc chiều
của M (Mệnh đề 3.2.9, Mệnh đề 3.2.12). Chúng tôi chỉ ra rằng, với một
số điều kiện về chiều của các iđêan nguyên tố liên kết của M, quỹ tích giả
Cohen-Macaulay (quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng) của M chính
là phần bù của quỹ tích không Cohen-Macaulay của M/U
M
(0) (phần bù
của quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của M/U
M
(0)), với U
M
(0)
là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d. Trong trường hợp tổng
quát, chúng tôi đưa ra mối liên hệ giữa quỹ tích giả Cohen-Macaulay
16
(quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng) với phần bù của hợp của các

quỹ tích không Cohen-Macaulay (quỹ tích không Cohen-Macaulay suy
rộng) của các môđun thương của lọc chiều của M.
Kí hiệu pCM(M) là quỹ tích giả Cohen-Macaulay của M, tức là
pCM(M) là tập hợp các iđêan nguyên tố p sao cho M
p
là môđun giả
Cohen-Macaulay. Đặt nPCM(M) = Spec(R) \ pCM(M). Chú ý rằng
nếu d < 2 thì nPCM(M) = ∅. Khi d  2 ta có kết quả sau.
Định lý 4.1.4. Giả sử R là thương của vành Gorenstein địa phương.
Khi đó các khẳng định sau là đúng.
(i) Cho d  2. Nếu dim(R/p) = d hoặc dim(R/p)  2 với mọi p ∈
Ass
R
M thì
nPCM(M) = nCM(M/U
M
(0)) =

0<i<d
Var

Ann
R
H
i
m
(M/U
M
(0))


.
Đặc biệt, nếu d  3 thì pCM(M) là mở theo tôpô Zariski.
(ii) Giả sử H
0
m
(M) = M
0
⊂ M
1
⊂ . . . ⊂ M
t
= M là lọc chiều của M.
Đặt dim M
i
= d
i
với mọi i = 1, . . . , t. Khi đó
nPCM(M) ⊆
t

i=1
nCM(M
i
/M
i−1
) =

i=1, ,t
r=1, ,d
i

−1
Var

Ann
R
H
r
m
(M
i
/M
i−1
)

.
Chúng tôi chỉ ra ví dụ chứng tỏ rằng với mọi d  4, tồn tại môđun
hữu hạn sinh M chiều d trên vành địa phương Noether (R, m) sao cho
pCM(M) không ổn định với phép tổng quát hóa. Vì thế pCM(M) không
là tập mở của Spec(R) theo tôpô Zariski (Ví dụ 4.1.5). Nhắc lại rằng
một tập con T của Spec(R) được gọi là ổn định với phép tổng quát hóa
nếu với mọi p, q ∈ Spec(R), p ⊂ q mà q ∈ T thì p ∈ T .
Quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng của M, kí hiệu pGCM(M),
là tập hợp các iđêan nguyên tố p sao cho M
p
là môđun giả Cohen-
17
Macaulay suy rộng. Đặt nPGCM(M) = Spec(R) \ pGCM(M). Chú ý
rằng nếu d < 3 thì nPGCM(M) = ∅. Khi d  3 ta có kết quả sau.
Định lý 4.1.10. Giả sử R là thương của vành Gorenstein địa phương.
Khi đó các khẳng định sau là đúng.

(i) Cho d  3. Nếu dim R/p = d hoặc dim R/p  3 với mọi p ∈ Ass
R
M
thì
nPGCM(M) = nGCM(M/U
M
(0)) =

1i<d
Lsupp
i
R
(M/U
M
(0)).
Đặc biệt, nếu d  4 thì pGCM(M) là ổn định với phép tổng quát hóa.
(ii) Giả sử H
0
m
(M) = M
0
⊂ M
1
⊂ . . . ⊂ M
t
= M là lọc chiều của M.
Đặt d
i
= dim M
i

. Khi đó
nPGCM(M) ⊆

1it
nGCM(M
i
/M
i−1
) =

i=1, ,t
r=1, ,d
i
−1
Lsupp
r
R
(M
i
/M
i−1
).
Chúng tôi cũng đưa ra ví dụ chứng tỏ rằng với mọi d  5, tồn tại
môđun hữu hạn sinh M có chiều d trên vành địa phương Noether (R, m)
sao cho pGCM(M) không ổn định với phép tổng quát hóa. Vì thế nó
không là tập mở của Spec(R) theo tôpô Zariski (Ví dụ 4.1.11). Phần cuối
của luận án là một số kết quả về quỹ tích không Cohen-Macaulay và
quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của môđun chính tắc K(M)
của M (Mệnh đề 4.2.2).
7.2. Cấu trúc luận án

Ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án
được chia làm 4 chương. Chương 1 nhắc lại một số kiến thức cơ sở như
biểu diễn thứ cấp của môđun Artin, tính catenary của vành, môđun đối
đồng điều địa phương, môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay suy
rộng.
18
Chương 2 trình bày về quỹ tích không Cohen-Macaulay dựa theo
bài báo [20] và một phần bài báo [39]. Mục 2.1 mô tả quỹ tích không
Cohen-Macaulay qua các tập giả giá và đưa ra một số kết quả về tính
đóng của quỹ tích không Cohen-Macaulay (Định lý 2.1.5). Mục 2.2 đưa
ra mối quan hệ của quỹ tích không Cohen-Macaulay với tính catenary
của vành R/ Ann
R
M, điều kiện Serre của M và tính không trộn lẫn của
các vành địa phương R/p với các iđêan nguyên tố p ∈ Supp
R
(M) (Định
lý 2.2.1, Định lý 2.2.3). Mục 2.3 đưa ra mối quan hệ giữa chiều của quỹ
tích không Cohen-Macaulay, kiểu đa thức và chiều của các môđun đối
đồng địa phương (Định lý 2.3.4).
Chương 3 trình bày về quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng
dựa theo bài báo [39]. Mục 3.1 giới thiệu giá suy rộng và nghiên cứu
một số tính chất của giá suy rộng trong mối quan hệ với tập giả giá, tập
iđêan nguyên tố gắn kết, chuyển dịch giá suy rộng qua đầy đủ m-adic
và qua địa phương hóa. Mục 3.2 là phần chính của chương, miêu tả quỹ
tích không Cohen-Macaulay suy rộng qua giá suy rộng (Định lý 3.2.2).
Chúng tôi cũng đưa ra đặc trưng tính đóng của giá suy rộng và quỹ tích
không Cohen-Macaulay suy rộng (Mệnh đề 3.2.4). Cuối chương, chúng
tôi mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy (tương ứng không Cohen-
Macaulay suy rộng dãy) qua quỹ tích không Cohen-Macaulay (tương ứng

không Cohen-Macaulay suy rộng) của các môđun thương trong lọc chiều
của M (Mệnh đề 3.2.9, Mệnh đề 3.2.12).
Chương 4 trình bày một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-
Macaulay như quỹ tích giả Cohen-Macaulay, quỹ tích giả Cohen-Macaulay
suy rộng và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc. Chương
này được viết dựa theo bài báo [41]. Mục 4.1 mô tả quỹ tích giả Cohen-
Macaulay và quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng (Định lý 4.1.4, Định
lý 4.1.10). Chúng tôi cũng đưa ra các ví dụ chứng tỏ rằng quỹ tích giả
19
Cohen-Macaulay không mở theo tôpô Zariski khi d  4 (Ví dụ 4.1.5) và
quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng không mở (thậm chí không ổn
định với phép tổng quát hóa) khi d  5 (Ví dụ 4.1.11). Mục 4.3 đưa ra
một số kết quả về quỹ tích không Cohen-Macaulay và quỹ tích không
Cohen-Macaulay suy rộng của môđun chính tắc K(M) (Mệnh đề 4.2.2).
Cuối cùng, Mệnh đề 4.2.6 đưa ra một mô tả về quỹ tích không Cohen-
Macaulay suy rộng chính tắc của M.
20
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức đã biết về
tập iđêan nguyên tố gắn kết, tính catenary của vành, môđun đối đồng
điều địa phương, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy
rộng nhằm thuận tiện cho việc theo dõi kết quả trong các chương sau.
Trong suốt chương này, luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether, M
là R-môđun hữu hạn sinh, A là R-môđun Artin và N là một R-môđun
(không nhất thiết hữu hạn sinh hay Artin).
1.1 Tính catenary của vành
Trong tiết này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và một số
kết quả về tính catenary của vành sẽ được dùng trong luận án.
Định nghĩa 1.1.1. Cho q ⊂ p là các iđêan nguyên tố của R. Một dãy

các iđêan nguyên tố q = p
0
⊂ p
1
⊂ . . . ⊂ p
n
= p sao cho p
i
= p
i+1
, với
mọi i = 0, . . . , n − 1, được gọi là một dãy các iđêan nguyên tố bão hòa
giữa p và q nếu với mọi 0 ≤ i ≤ n − 1 không tồn tại iđêan nguyên tố
q nào thỏa mãn p
i
⊂ q ⊂ p
i+1
và p
i
= q = p
i+1
. Khi đó n được gọi là
độ dài của dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa p và q. Ta nói vành R là
catenary nếu với mọi cặp iđêan nguyên tố q ⊂ p của R luôn tồn tại một
dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa q và p và mọi dãy iđêan nguyên tố
21
bão hòa giữa q và p đều có chung độ dài.
Chú ý rằng nếu R là vành địa phương Noether thì dim R < ∞.
Do đó với mọi cặp iđêan nguyên tố q ⊂ p của R luôn tồn tại một dãy
iđêan nguyên tố bão hòa giữa q và p. Trong trường hợp này vành R là

catenary khi và chỉ khi mọi dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa q và p đều
có chung độ dài.
Lớp vành catenary đầu tiên được chỉ ra bởi W. Krull năm 1937
(xem [51]). Ông chứng minh rằng nếu K là một trường thì mọi K-đại số
hữu hạn sinh đều là vành catenary. Đặc biệt, vành đa thức trên trường
K là catenary. Năm 1946, I. Cohen [8] đã chứng minh rằng mọi vành
địa phương đầy đủ là catenary. Sau đó, M. Nagata [37] đã chứng tỏ rằng
mọi miền nguyên, địa phương tựa không trộn lẫn là catenary. Nếu R là
vành catenary thì R
p
là catenary với mọi p ∈ Spec(R). Hơn nữa, vành
thương của vành catenary là catenary. Vì thế hầu hết các vành được biết
đến trong Hình học đại số đều là catenary.
Sau đây là một số đặc trưng của vành catenary thường được sử
dụng trong luận án.
Mệnh đề 1.1.2. (Xem [41]) Cho (R, m) là vành địa phương Noether.
Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
(i) R là catenary.
(ii) dim R/q = dim R/p + ht p/q với mọi q ⊆ p, p, q ∈ Spec(R).
Với mọi iđêan nguyên tố p của R ta luôn có bất đẳng thức
ht p + dim R/p ≤ dim R.
Nếu R là miền nguyên địa phương catenary thì đẳng thức xảy ra, tức
là ht p + dim R/p = dim R. Do đó năm 1954, I. S. Cohen [9] đã đưa ra
câu hỏi liệu một miền nguyên địa phương R thỏa mãn công thức chiều
22
ht p + dim R/p = dim R với mọi iđêan nguyên tố p của R có là miền
catenary? Câu trả lời khẳng định được R. J. Ratliff đưa ra năm 1972.
Mệnh đề 1.1.3. [42, Định lý 2.2] Một miền nguyên địa phương Noether
R là catenary khi và chỉ khi với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có
ht p + dim R/p = dim R.

Hơn nữa, năm 1977, S. McAdam và R. J. Ratliff đã mở rộng kết
quả trên cho các vành địa phương đẳng chiều. Nhắc lại rằng vành R
được gọi là đẳng chiều nếu dim R/p = dim R với mọi iđêan nguyên tố
tối thiểu p của R.
Định lý 1.1.4. (Xem [35]) Giả sử R là vành địa phương Noether đẳng
chiều. Khi đó R là catenary khi và chỉ khi với mỗi iđêan nguyên tố p của
R ta có ht p + dim R/p = dim R.
Một loại đặc biệt của vành catenary là vành catenary phổ dụng
được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.1.5. (Xem [33]) Vành R được gọi là vành catenary phổ
dụng nếu mỗi R-đại số hữu hạn sinh là catenary.
Giả sử S là R-đại số hữu hạn sinh. Khi đó tồn tại a
1
, . . . , a
t
∈ S
sao cho S = R[a
1
, . . . , a
t
]. Do đó S đẳng cấu với một vành thương của
vành đa thức R[x
1
, . . . , x
t
]. Vì vành thương của vành catenary là vành
catenary nên vành R là catenary phổ dụng khi và chỉ khi mọi vành đa
thức hữu hạn biến trên R là catenary.
Sau đây là một số đặc trưng của vành catenary phổ dụng. Trước
hết, chúng ta nhắc lại khái niệm vành tựa không trộn lẫn và vành trộn

lẫn theo thuật ngữ của M. Nagata [36].
23
Định nghĩa 1.1.6. Vành R được gọi là tựa không trộn lẫn nếu vành
đầy đủ m-adic

R của R là đẳng chiều, tức dim

R/

p = dim

R với mọi

p ∈ min Ass

R. Vành R được gọi là không trộn lẫn nếu dim

R/

p = dim

R
với mọi

p ∈ Ass

R.
Định lý 1.1.7. [33, Định lý 31.6] Giả sử vành R là tựa không trộn lẫn.
Khi đó
(i) R là catenary phổ dụng.

(ii) R
p
là tựa không trộn lẫn với mọi p ∈ Spec(R).
(iii) Nếu I là iđêan của R thì R/I là đẳng chiều khi và chỉ khi R/I là
tựa không trộn lẫn.
Kết quả sau cho chúng ta điều kiện để một vành là catenary phổ
dụng.
Định lý 1.1.8. [33, Định lý 31.7] Các điều kiện sau là tương đương:
(i) R là catenary phổ dụng.
(ii) Vành đa thức một biến R[x] là catenary.
(iii) R/p là tựa không trộn lẫn với mọi p ∈ Spec(R).
Chú ý rằng mọi vành có chiều nhỏ hơn hoặc bằng 2 là catenary.
Nếu dim R ≤ 1 thì dim R[x] ≤ 2, do đó R[x] là catenary. Vì vậy, nếu
dim R ≤ 1 thì R là catenary phổ dụng.
1.2 Môđun đối đồng điều địa phương
Lý thuyết đối đồng điều địa phương được giới thiệu đầu tiên bởi
A. Grothendieck vào những năm 1960 (xem [26]), sau đó được quan tâm
nghiên cứu bởi rất nhiều nhà toán trên thế giới như R. Hartshorne, M.
Brodmann, J. Rotman, C. Huneke Lý thuyết đối đồng điều địa phương
đã có những ứng dụng to lớn trong nhiều lĩnh vực của toán học. Ngày
24
nay nó trở thành công cụ không thể thiếu trong Đại số giao hoán, Hình
học Giải tích, Hình học Đại số Trong tiết này, chúng tôi nhắc lại định
nghĩa và một số tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều địa
phương như tính chất độc lập với vành cơ sở, tính Artin, tính triệt tiêu
và không triệt tiêu Trước tiên, chúng tôi giới thiệu khái niệm hàm tử
I-xoắn.
Định nghĩa 1.2.1. (Xem [4, Định nghĩa 1.1.1]) Cho I là iđêan của R.
Với mỗi R-môđun N, đặt Γ
I

(N) =

n≥0
(0 :
N
I
n
). Nếu f : N → N

là
đồng cấu các R-môđun thì f(Γ
I
(N)) ⊆ Γ
I
(N

)). Do đó ta có đồng cấu
Γ
I
(f) : Γ
I
(N) → Γ
I
(N

) được xác định bởi Γ
I
(f)(x) = f(x). Khi đó
Γ
I

(−) là một hàm tử hiệp biến, khớp trái và nó được gọi là hàm tử
I-xoắn.
Từ đó ta có định nghĩa môđun đối đồng điều địa phương như sau.
Định nghĩa 1.2.2. (Xem [4, Định nghĩa 1.2.1]) Với mỗi số nguyên i ≥ 0,
hàm tử dẫn xuất phải thứ i của Γ
I
(−) được gọi là hàm tử đối đồng điều
địa phương thứ i đối với I và được kí hiệu là H
i
I
(−). Kết quả của tác
động H
i
I
(−) vào R-môđun N được kí hiệu là H
i
I
(N) và được gọi là môđun
đối đồng điều địa phương thứ i của N với giá I.
Sau đây là một số tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều
địa phương thường được dùng trong các chứng minh về sau của luận
án. Định lý sau đây chỉ ra rằng môđun đối đồng điều địa phương không
phụ thuộc vào vành cơ sở (xem [4, Định lý 4.2.1]). Chú ý rằng, nếu
f : R → R

là một đồng cấu vành và N

là R

-môđun thì N


có cấu trúc
R-môđun cảm sinh bởi f, trong đó phép nhân vô hướng của phần tử
r ∈ R với phần tử m

∈ N

là f(r)m

.
25