tóm tắt luận án một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương noether

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ KIỀU NGA
MỘT SỐ QUỸ TÍCH
CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH
TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 62.46.01.04
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Nghệ An - 2014
Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn - ĐHKH Thái Nguyên
TS. Nguyễn Thị Hồng Loan - Đại học Vinh
Phản biện 1: GS. TSKH. Ngô Việt Trung - Viện Toán học
Phản biện 2: PGS. TS. Đàm Văn Nhỉ - ĐHSP Hà Nội
Phản biện 3: TS. Trần Nguyên An - ĐHSP Thái Nguyên
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường
họp tại Trường Đại học Vinh, Số 182, Lê Duẩn, Tp. Vinh, Nghệ
An, vào hồi giờ ngày tháng năm
Có thể tìm hiểu Luận án tại:
- Thư viện quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin - Thư viện Nguyễn Thúc Hào,
Trường Đại học Vinh
1
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Cho R, m là vành giao hoán, địa phương, Noether với
iđêan cực đại duy nhất m. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh
với chiều Krull dim M d. Ta luôn có depth M dim M. Nếu
depth M dim M thì ta nói M là môđun Cohen-Macaulay. Lớp

vành và môđun Cohen-Macaulay đóng vai trò trung tâm trong
Đại số giao hoán và có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau
của Toán học như Đại số đồng điều, Tổ hợp và Hình học đại số.
Nhiều mở rộng của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay
đã được giới thiệu và quan tâm nghiên cứu. Hai mở rộng đầu tiên
là lớp vành (môđun) Buchsbaum và lớp vành (môđun) Cohen-
Macaulay suy rộng. Với mọi hệ tham số x của M , đặt I x; M
 M xM e x; M , trong đó e x; M là số bội của M ứng với
hệ tham số x. Ta luôn có I x; M 0 với mọi hệ tham số x của
M và M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu I x; M 0 với một
(hoặc với mọi) hệ tham số x của M . Vì thế, năm 1965, D. A.
Buchsbaum đã đưa ra giả thuyết rằng I x; M là một hằng số
không phụ thuộc vào hệ tham số x của M. Năm 1973, W. Vogel
và J. Stuckrad đã xây dựng hàng loạt ví dụ chứng tỏ giả thuyết
của D. A. Buchsbaum là không đúng, đồng thời họ nghiên cứu
lớp vành và môđun thỏa mãn điều kiện trong giả thuyết của D.
A. Buchsbaum. Các môđun này được gọi là môđun Buchsbaum.
Sau đó, năm 1978, N. T. Cường, P. Schenzel và N. V. Trung
đã giới thiệu và nghiên cứu lớp môđun M thỏa mãn điều kiện
sup I x; M , trong đó cận trên lấy theo mọi hệ tham số x của
M, và họ gọi chúng là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Ngày
nay, khái niệm môđun Buchsbaum và môđun Cohen-Macaulay
suy rộng đã trở nên rất quen biết trong Đại số giao hoán.
2
Hai mở rộng tiếp theo dựa vào tính chất không trộn lẫn
của môđun Cohen-Macaulay. Ta biết rằng nếu M là môđun
Cohen-Macaulay thì dim R p d với mọi p Ass
R
M. Khi
nghiên cứu cho trường hợp môđun trộn lẫn, R. P. Stanley đã

giới thiệu khái niệm môđun Cohen-Macaulay dãy cho các môđun
phân bậc, sau đó được P. Schenzel, N. T. Cường và L. T. Nhàn
định nghĩa cho môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương. Mở
rộng khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng cho trường hợp
môđun trộn lẫn, N. T. Cường và L. T. Nhàn đã giới thiệu khái
niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy.
Hai mở rộng khác của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay
là lớp vành (môđun) giả Cohen-Macaulay và lớp vành (môđun)
giả Cohen-Macaulay suy rộng. Cho x x
1
, . . . , x
d
là hệ tham
số của M. Đặt
Q
M
x
t 0
x
t 1
1
, . . . , x
t 1
d
M :
M
x
t
1
. . . x

t
d
.
Khi đó Q
M
x là môđun con của M và xM Q
M
x . Năm 1966,
R. Hartshorne đã chỉ ra rằng, nếu M là môđun Cohen-Macaulay
thì xM Q
M
x với một (hoặc với mọi) hệ tham số x của M ,
tức là
J x; M e x; M  M Q
M
x 0.
Hơn nữa, nếu M là Cohen-Macaulay suy rộng thì sup J x; M
, trong đó cận trên lấy theo các hệ tham số x của M. Vì thế,
năm 2003, N. T. Cường và L. T. Nhàn đã nghiên cứu lớp môđun
M thỏa mãn điều kiện J x; M 0 với một (hoặc với mọi) hệ
tham số x của M. Họ gọi lớp môđun này là môđun giả Cohen-
Macaulay. Đồng thời N. T. Cường và L. T. Nhàn cũng nghiên
cứu lớp môđun M với tính chất sup J x; M trong đó cận
trên lấy theo tập tất cả các hệ tham số x của M và họ gọi chúng
là môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng.
Tóm lại, cùng với lớp môđun Cohen-Macaulay, các lớp
môđun Buchsbaum, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun
3
Cohen-Macaulay dãy và môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy,
môđun giả Cohen-Macaulay và môđun giả Cohen-Macaulay suy

rộng đã trở thành những lớp môđun được quan tâm trong Đại
số giao hoán. Tuy nhiên, nghiên cứu các quỹ tích liên quan đến
tính Cohen-Macaulay là một hướng nghiên cứu thời sự cần được
quan tâm của Đại số giao hoán.
Các nghiên cứu trước đây về quỹ tích không Cohen-
Macaulay chỉ tập trung chủ yếu về tính chất đóng theo tôpô
Zariski hoặc về chiều của quỹ tích khi vành cơ sở R "tốt”, chẳng
hạn khi R là thương của một vành Gorenstein địa phương. Trong
luận án này, chúng tôi quan tâm đến vấn đề mô tả quỹ tích
không Cohen-Macaulay với vành cơ sở tùy ý, đồng thời nghiên
cứu tính chất của quỹ tích này trong mối quan hệ với tính cate-
nary, catenary phổ dụng, tính không trộn lẫn của vành, các điều
kiện Serre của môđun và tính Cohen-Macaulay của các thớ hình
thức. Chúng tôi cũng đặt vấn đề nghiên cứu một số quỹ tích
liên quan đến tính Cohen-Macaulay như quỹ tích không Cohen-
Macaulay suy rộng, quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy, quỹ
tích không Cohen-Macaulay suy rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-
Macaulay và quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng.
Với các lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho
luận án của mình là: "Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh
trên vành địa phương Noether ".
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận án là mô tả quỹ tích không Cohen-
Macaulay và một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay
như quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích không
Cohen-Macaulay dãy và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy
rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay và quỹ tích giả Cohen-
Macaulay suy rộng. Đồng thời chứng minh một số kết quả mới
về các quỹ tích này trong mối quan hệ với tính catenary, tính
catenary phổ dụng, các điều kiện Serre, tính Cohen-Macaulay

4
của các thớ hình thức, chiều của các môđun đối đồng điều địa
phương và kiểu đa thức.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là một số quỹ tích của
môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán địa phương Noether
liên quan đến tính Cohen-Macaulay.
4. Phạm vi nghiên cứu
Lĩnh vực nghiên cứu của luận án là Đại số giao hoán.
Luận án tập trung nghiên cứu về môđun hữu hạn sinh trên vành
giao hoán địa phương Noether.
5. Phương pháp nghiên cứu
Về mặt kỹ thuật, chúng tôi sử dụng các tập giả giá giới
thiệu bởi M. Brodmann và R. Y. Sharp đồng thời đưa ra khái
niệm giá suy rộng để mô tả các quỹ tích. Ngoài ra, chúng tôi sử
dụng một số lý thuyết quan trọng của Đại số giao hoán để nghiên
cứu như lý thuyết đối đồng điều địa phương, lý thuyết biểu diễn
thứ cấp, kiểu đa thức
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Các kết quả của luận án làm phong phú hướng nghiên cứu
về các quỹ tích của môđun hữu hạn sinh, đồng thời làm rõ thêm
cấu trúc một số lớp môđun đang được quan tâm trong Đại số
giao hoán như môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay
suy rộng, môđun Cohen-Macaulay dãy, môđun Cohen-Macaulay
suy rộng dãy, môđun giả Cohen-Macaulay, môđun giả Cohen-
Macaulay suy rộng.
7. Tổng quan và cấu trúc luận án
Trong luận án, chúng tôi quan tâm đến vấn đề mô tả quỹ
tích không Cohen-Macaulay, quỹ tích không Cohen-Macaulay
suy rộng, quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy và không Cohen-

Macaulay suy rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay và giả
5
Cohen-Macaulay suy rộng. Đồng thời chúng tôi nghiên cứu các
quỹ tích này trong mối quan hệ với tính catenary, tính catenary
phổ dụng, điều kiện Serre, chiều của môđun đối đồng điều địa
phương và kiểu đa thức.
Kết quả đầu tiên của luận án là đưa ra một số công thức
tính quỹ tích không Cohen-Macaulay và chiều của nó. Chúng tôi
mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay nCM M của M qua các
tập giả giá giới thiệu bởi M. Brodmann và R. Y. Sharp (Định
lý 2.1.5). Tiếp theo, chúng tôi xét mối quan hệ giữa quỹ tích
không Cohen-Macaulay với các môđun đối đồng điều địa phương
(Định lý 2.2.1) và tính không trộn lẫn của các vành R p với
p Supp
R
M (Định lý 2.2.3).
Khái niệm kiểu đa thức của M , kí hiệu là p M , được
giới thiệu bởi N. T. Cường nhằm nghiên cứu cấu trúc của các
môđun hữu hạn sinh trên vành Noether. Nếu ta kí hiệu bậc của
đa thức không là 1 thì M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu
p M 1 và M là Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu
p M 0. N. T. Cường đã nghiên cứu chiều của quỹ tích không
Cohen-Macaulay của M trong mối quan hệ với chiều của các
môđun đối đồng điều địa phương H
i
m
M và kiểu đa thức p M
của M. Ông đã chỉ ra rằng, trong trường hợp tổng quát,
dim R a M p M dim nCM M ,
trong đó a M a

0
M . . . a
d 1
M , với a
i
M Ann
R
H
i
m
M .
Khi R là thương của một vành Gorenstein địa phương thì ta có
đẳng thức p M dim R a M và nếu thêm điều kiện M đẳng
chiều thì p M dim nCM M . Điều này chứng tỏ khi p M
càng lớn thì tính chất của M càng xa hơn tính Cohen-Macaulay.
Trong luận án này, chúng tôi mở rộng các kết quả trên cho trường
hợp vành R là catenary phổ dụng với mọi thớ hình thức là Cohen-
Macaulay và xét trong trường hợp môđun M bất kì, không nhất
thiết đẳng chiều (Định lý 2.3.4).
6
Kết quả thứ hai của luận án là mô tả quỹ tích không
Cohen-Macaulay suy rộng và xét tính đóng của nó. Chú ý rằng
tính Cohen-Macaulay được đặc trưng bởi tính triệt tiêu của
môđun đối đồng điều địa phương. Vì thế chúng tôi đã sử dụng các
tập giả giá để mô tả thành công quỹ tích không Cohen-Macaulay
của M (xem Định lý 2.1.5). Chúng ta đã biết rằng M là môđun
Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu  H
i
m
M với

mọi i d. Do đó, chúng tôi thấy rằng phải có một tập tương
tự như tập giả giá để mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay
suy rộng. Vì thế, chúng tôi giới thiệu khái niệm giá suy rộng và
nghiên cứu giá suy rộng trong mối quan hệ với giả giá, tập các
iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương,
dịch chuyển qua đầy đủ m-adic và qua địa phương hóa. Sử dụng
giá suy rộng, chúng tôi miêu tả quỹ tích không Cohen-Macaulay
suy rộng (Định lý 3.2.2). Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy
rộng nGCM M của M rất ít khi là tập con đóng của Spec R
theo tôpô Zariski. Chúng tôi chỉ ra rằng, với điều kiện vành R là
catenary phổ dụng với mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay
và môđun M đẳng chiều thì nGCM M đóng khi và chỉ khi
p M 1 (Mệnh đề 3.2.4).
Kết quả thứ ba của luận án là mô tả một số quỹ tích khác
như quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy, quỹ tích không Cohen-
Macaulay suy rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay, quỹ tích
giả Cohen-Macaulay suy rộng và quỹ tích không Cohen-Macaulay
suy rộng chính tắc. Công cụ chính để chúng tôi nghiên cứu các
quỹ tích này là các giả giá, giá suy rộng và lọc chiều của môđun.
Chúng tôi mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy (quỹ tích
không Cohen-Macaulay suy rộng dãy) qua quỹ tích không Cohen-
Macaulay (quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng) của các
môđun thương trong lọc chiều của M (Mệnh đề 3.2.9, Mệnh đề
3.2.12). Chúng tôi chỉ ra rằng, với một số điều kiện về chiều của
các iđêan nguyên tố liên kết của M, quỹ tích giả Cohen-Macaulay
(quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng) của M chính là phần
7
bù của quỹ tích không Cohen-Macaulay của M U
M
0 (phần bù

của quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của M U
M
0 , với
U
M
0 là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d. Trong
trường hợp tổng quát, chúng tôi đưa ra mối liên hệ giữa quỹ tích
giả Cohen-Macaulay (quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng) với
phần bù của hợp của các quỹ tích không Cohen-Macaulay (quỹ
tích không Cohen-Macaulay suy rộng) của các môđun thương của
lọc chiều của M (Định lý 4.1.4, Định lý 4.1.10). Phần cuối của
luận án là một số kết quả về quỹ tích không Cohen-Macaulay và
quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của môđun chính tắc
K M của M (Mệnh đề 4.2.2).
Về cấu trúc, ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham
khảo, luận án được chia làm 4 chương. Chương 1 nhắc lại một
số kiến thức cơ sở nhằm thuận tiện cho việc theo dõi các kết
quả trong các chương sau. Chương 2 trình bày về quỹ tích không
Cohen-Macaulay. Chương 3 trình bày về quỹ tích không Cohen-
Macaulay suy rộng. Chương 4 trình bày một số quỹ tích liên quan
đến tính Cohen-Macaulay như quỹ tích giả Cohen-Macaulay, quỹ
tích giả Cohen-Macaulay suy rộng và quỹ tích không Cohen-
Macaulay suy rộng chính tắc.
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức
cơ sở nhằm thuận tiện cho việc theo dõi các kết quả trong các
chương sau.
Mục 1.1 nhắc lại khái niệm và một số kết quả về tính
catenary của vành.

Mục 1.2 dành để giới thiệu sơ lược lý thuyết đối đồng
điều địa phương. Nhắc lại một số tính chất cơ bản của môđun
đối đồng điều địa phương như Định lý độc lập đối với vành cơ sở,
8
Định lý chuyển cơ sở phẳng, Định lý triệt tiêu của Grothendieck
và tính Artin của một số môđun đối đồng điều địa phương.
Mục 1.3 nhắc lại khái niệm và một số kết quả về biểu
diễn thứ cấp của môđun Artin.
Trong Mục 1.4, chúng tôi nhắc lại khái niệm và một số
kết quả về môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay
suy rộng.
Chương 2
QUĨ TÍCH KHÔNG COHEN-MACAULAY
Trong chương này, ta luôn giả thiết R, m là vành địa
phương Noether và M là một R-môđun hữu hạn sinh với chiều
Krull dim M d. Với mỗi iđêan I của R, ký hiệu Var I là tập
các iđêan nguyên tố của R chứa I.
Lớp môđun Cohen-Macaulay là lớp môđun đóng vai trò
trung tâm trong Đại số giao hoán và có ứng dụng trong nhiều
lĩnh vực khác nhau của Toán học như Đại số đồng điều, Hình học
đại số và Tổ hợp. Nhắc lại rằng M là môđun Cohen-Macaulay
nếu depth M dim M. Quỹ tích không Cohen-Macaulay của M,
kí hiệu nCM M , là tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố p sao cho
M
p
không là Cohen-Macaulay. Quỹ tích không Cohen-Macaulay
đã được nghiên cứu bởi một số nhà toán học như R. Hartshorne,
P. Schenzel, N. T. Cường khi vành cơ sở là thương của một vành
Gorenstein.
Mục tiêu của chương này là sử dụng các tập giả giá định

nghĩa bởi M. Brodmann và R. Y. Sharp để mô tả quỹ tích không
Cohen-Macaulay trong trường hợp tổng quát (khi R là vành địa
phương Noether tùy ý), đồng thời nghiên cứu quỹ tích không
Cohen-Macaulay trong mối quan hệ với tính catenary, tính không
trộn lẫn của vành, điều kiện Serre đối với môđun. Phần cuối của
9
chương dành cho việc nghiên cứu chiều của quỹ tích không Cohen-
Macaulay.
2.1 Quỹ tích không Cohen-Macaulay
Trong tiết này chúng tôi mô tả quỹ tích không Cohen-
Macaulay của môđun hữu hạn sinh qua các tập giả giá và xét
tính đóng của nó. Trước hết, chúng ta nhắc lại khái niệm giả giá
và giả chiều của một môđun hữu hạn sinh được định nghĩa bởi
M. Brodmann và R. Y. Sharp.
Định nghĩa 2.1.1. (i) Cho i 0 là một số nguyên. Giả giá thứ
i của M, kí hiệu là Psupp
i
R
M , được cho bởi công thức
Psupp
i
R
M p Spec R H
i dim R p
pR
p
M
p
0 .
(ii) Giả chiều thứ i của M , kí hiệu là psd

i
M , được xác định bởi
psd
i
M max dim R p p Psupp
i
R
M .
Kết quả chính thứ nhất của Chương là đưa ra công thức
mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay qua các tập giả giá.
Định lý 2.1.5. Giả sử p Supp
R
M . Khi đó các khẳng định
sau là đúng.
(i) Tồn tại j d sao cho p Psupp
j
R
M và
depth M
p
k dim R p , dim M
p
t dim R p ,
trong đó k min
i d
i p Psupp
i
R
M và t max
i d

i p
Psupp
i
R
M .
(ii) nCM M
0 i j d
Psupp
i
R
M Psupp
j
R
M .
(iii) Giả sử s là một số nguyên và s d. Khi đó
i s
Psupp
i
R
M p Supp
R
M depth M
p
dim R p s .
10
(iv) Nếu p
i d
Psupp
i
R

M thì M
p
là môđun Cohen-Macaulay
có chiều d dim R p .
Từ Định lý 2.1.5, chúng ta có công thức sau đây mô tả
quỹ tích không Cohen-Macaulay trong trường hợp M đẳng chiều.
Hệ quả 2.1.6. Giả sử M đẳng chiều và vành R Ann
R
M là
catenary. Khi đó Psupp
i
R
M đóng với i 0, 1, d và
nCM M
d 1
i 0
Psupp
i
R
M .
2.2 Liên hệ với tính catenary phổ dụng và tính không
trộn lẫn
Mục tiêu của chúng tôi trong tiết này là nghiên cứu quỹ
tích không Cohen-Macaulay trong mối quan hệ với tính catenary
của vành R Ann
R
M và tính không trộn lẫn của các vành địa
phương R p với các iđêan nguyên tố p Supp
R
M .

Với mỗi số nguyên i, đặt a
i
M Ann
R
H
i
m
M . Đặt
a M a
0
M a
1
M . . . a
d 1
M .
Định lý 2.2.1. Đặt T M
0 i j d
Var a
i
M a
j
M . Khi
đó các khẳng định sau là đúng.
(i) Nếu vành R Ann
R
M là catenary phổ dụng và mọi thớ hình
thức là Cohen-Macaulay thì nCM M T M .
(ii) Nếu nCM M T M thì vành R Ann
R
M là catenary phổ

dụng và R p là không trộn lẫn với mọi p min Ass
R
M.
Cho r 0 là một số nguyên. Nhắc lại rằng môđun M
được gọi là thỏa mãn điều kiện Serre S
r
nếu
depth M
p
min r, dim M
p
với mọi p Supp
R
M .
11
Định lý sau đưa ra một tiêu chuẩn về tính không trộn lẫn
của vành R p với p Supp
R
M .
Định lý 2.2.3. Cho r 1 là số nguyên. Giả sử M đẳng chiều và
M thỏa mãn điều kiện Serre S
r
. Nếu nCM M Var a M thì
R p không trộn lẫn với mọi p Supp
R
M thỏa mãn dim R p
d r.
2.3 Chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay
Trước hết, chúng tôi nhắc lại khái niệm kiểu đa thức được
giới thiệu bởi N. T. Cường. Cho x x

1
, . . . , x
d
là một hệ tham
số của M và n n
1
, . . . , n
d
là một bộ d số nguyên dương. Đặt
I
M,x
n :  M x
n
1
1
, . . . , x
n
d
d
M n
1
. . . n
d
e x; M .
Nhìn chung I
M,x
n không phải là đa thức khi n
1
, . . . , n
d

0.
Tuy nhiên, I
M,x
n luôn nhận giá trị không âm và bị chặn trên
bởi các đa thức, chẳng hạn n
1
n
d
I x; M . Chú ý rằng, bậc bé
nhất của tất cả các đa thức theo n chặn trên hàm I
M,x
n không
phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số x. Điều này dẫn đến định
nghĩa sau đây.
Định nghĩa 2.3.1. Bậc bé nhất của tất cả đa thức chặn trên
hàm I
M,x
n là một bất biến của M (không phụ thuộc vào việc
chọn hệ tham số x). Bất biến này được gọi là kiểu đa thức của
M và ký hiệu là p M .
N. T. Cường đã nghiên cứu chiều của quỹ tích không
Cohen-Macaulay của M trong mối quan hệ với chiều của các
môđun đối đồng điều địa phương H
i
m
M và kiểu đa thức p M
của M. Ông đã chỉ ra rằng, trong trường hợp tổng quát,
dim R a M p M dim nCM M .
Khi R là thương của một vành Gorenstein địa phương thì ta có
đẳng thức p M dim R a M và nếu thêm điều kiện M đẳng

12
chiều thì p M dim nCM M . Kết quả sau của chúng tôi mở
rộng các mối quan hệ trên trong trường hợp vành R là catenary
phổ dụng với mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay và môđun M
bất kỳ (không nhất thiết đẳng chiều). Ký hiệu U
M
0 là môđun
con lớn nhất của M có chiều bé hơn d.
Định lý 2.3.4. Ta luôn có
dim R a M p M max dim nCM M , dim U
M
0 .
Các đẳng thức xảy ra với mọi môđun M khi và chỉ khi R là
catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay.
Kết luận Chương 2
Trong chương này, chúng tôi đã thu được các kết quả sau đây.
- Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay qua các tập giả giá.
- Nghiên cứu mối quan hệ của quỹ tích không Cohen-Macaulay
với tính catenary của vành, các điều kiện Serre trên M và tính
không trộn lẫn của vành R p với p Supp
R
M .
- Mở rộng một số kết quả đã biết về chiều của quỹ tích không
Cohen-Macaulay.
Chương 3
QUĨ TÍCH KHÔNG COHEN-MACAULAY
SUY RỘNG
Trong suốt chương này, ta luôn xét R, m là vành giao
hoán, địa phương, Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh với
chiều Krull dim M d. Lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng

được N. T. Cường- P. Schenzel- N. V. Trung giới thiệu và nghiên
cứu là mở rộng của lớp môđun Cohen-Macaulay. Cấu trúc của
môđun Cohen-Macaulay suy rộng đã được làm rõ thông qua địa
phương hóa, đầy đủ hóa, lí thuyết môđun đối đồng điều địa
13
phương, lí thuyết bội. Mục tiêu của chương này là nghiên cứu
quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của môđun hữu hạn
sinh. Để nghiên cứu quỹ tích này, trước hết chúng tôi giới thiệu
khái niệm giá suy rộng và nghiên cứu một số tính chất của nó.
Tiếp theo chúng tôi miêu tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy
rộng qua các giá suy rộng và xét tính đóng của quỹ tích. Sử dụng
các kết quả về quỹ tích không Cohen-Macaulay trong Chương 2
và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng trong Chương này,
chúng tôi miêu tả quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy và quỹ
tích không Cohen-Macaulay suy rộng dãy.
3.1 Giá suy rộng
Trong tiết này, chúng tôi giới thiệu và nghiên cứu một
số tính chất của giá suy rộng trong mối liên hệ với giả giá, tính
catenary của vành, chuyển qua đầy đủ m-adic và địa phương hóa.
Định nghĩa 3.1.1. Cho i 0 là một số nguyên. Giá suy rộng
thứ i của M, ký hiệu là Lsupp
i
R
M , được cho bởi công thức
Lsupp
i
R
M p Spec R 
R
p

H
i dim R p
pR
p
M
p
.
Sau đây là mối quan hệ giữa giá suy rộng và giả giá.
Bổ đề 3.1.2. Nếu R là catenary thì
Psupp
i
R
M min Psupp
i
R
M Lsupp
i
R
M .
Đặc biệt Lsupp
i
R
M ổn định với phép đặc biệt hóa.
Kết quả sau cho ta mối quan hệ giữa giá suy rộng với các
tập giả giá và tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối
đồng điều địa phương H
i
m
M .
Bổ đề 3.1.3. Cho i 0 là một số nguyên. Khi đó

Lsupp
i
R
M Psupp
i
R
M min Att
R
H
i
m
M .
14
Hơn nữa, nếu R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là
Cohen-Macaulay thì
Psupp
i
R
M min Psupp
i
R
M Lsupp
i
R
M
Psupp
i
R
M min Att
R

H
i
m
M .
Năm 2011, T. N. An đã chứng minh rằng nếu R là catenary
phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay thì
Psupp
i
R
M P R P Psupp
i
R
M .
Kết quả tương tự không đúng đối với giá suy rộng. Tuy nhiên
chúng ta có bao hàm thức sau đây.
Bổ đề 3.1.4. Nếu R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức
là Cohen-Macaulay thì
Lsupp
i
R
M P R P Lsupp
i
R
M .
Mệnh đề sau cho ta mối liên hệ giữa giá suy rộng của M
và giá suy rộng của địa phương hóa của nó.
Mệnh đề 3.1.6. Giả sử R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình
thức là Cohen-Macaulay. Khi đó với mọi p Supp
R
M ta có

Lsupp
i dim R p
R
p
M
p
qR
p
q Lsupp
i
R
M , q p .
3.2 Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng
Trong tiết này, chúng tôi sử dụng các giá suy rộng để
miêu tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng và nghiên cứu
tính đóng của nó trong mối quan hệ với kiểu đa thức. Sử dụng
các kết quả của quỹ tích không Cohen-Macaulay và quỹ tích
không Cohen-Macaulay suy rộng, chúng tôi miêu tả quỹ tích
không Cohen-Macaulay dãy và quỹ tích không Cohen-Macaulay
suy rộng dãy.
15
Định nghĩa 3.2.1. Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng
của M, kí hiệu nGCM M , là tập tất cả các iđêan nguyên tố
p Supp
R
M sao cho M
p
không là môđun Cohen-Macaulay suy
rộng.
Định lý sau đây là kết quả chính của Chương.

Định lý 3.2.2. nGCM M
1 i j d
Lsupp
i
R
M Lsupp
j
R
M .
Hơn nữa, nếu M là đẳng chiều và R là catenary thì
nGCM M
1 i d
Lsupp
i
R
M .
Kết quả sau cho chúng ta đặc trưng tính đóng của
Lsupp
i
R
M và nGCM M .
Mệnh đề 3.2.4. Giả sử R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình
thức của R là Cohen-Macaulay. Khi đó
(i) Lsupp
i
R
M đóng khi và chỉ khi Lsupp
i
R
M m .

(ii) Nếu p M 1 thì nGCM M đóng.
(iii) Nếu nGCM M đóng và M đẳng chiều thì p M 1.
Dựa vào các kết quả về quỹ tích không Cohen-Macaulay
trong Chương 2 và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng
vừa trình bày ở trên. Chúng tôi mô tả quỹ tích không Cohen-
Macaulay dãy và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng dãy.
Trước hết, chúng tôi nhắc lại các khái niệm lọc Cohen-Macaulay
và môđun Cohen-Macaulay dãy.
Định nghĩa 3.2.6.(i) Một lọc H
0
m
M N
0
. . . N
k
M
các môđun con của M được gọi là lọc Cohen-Macaulay nếu mỗi
môđun thương N
i 1
N
i
là Cohen-Macaulay và dim N
i 1
N
i
dim N
i 2
N
i 1
, với mọi i 0, . . . , k 1.

(ii) M là môđun Cohen-Macaulay dãy nếu M có lọc Cohen-
Macaulay.
16
Khái niệm lọc chiều của môđun được giới thiệu đầu tiên
bởi P. Schenzel và được N. T. Cường, Đ. T. Cường điều chỉnh lại
đôi chút để thuận tiện hơn cho việc sử dụng. Sau đây chúng tôi
nhắc lại khái niệm lọc chiều theo N. T. Cường, Đ. T. Cường.
Định nghĩa 3.2.7. Một lọc H
0
m
M M
0
M
1
. . . M
k
M các môđun con của M được gọi là lọc chiều của M nếu M
i
là
môđun con lớn nhất của M
i 1
có chiều bé hơn dim M
i
, với mọi
i 0, . . . , k 1.
Định nghĩa 3.2.8. Quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy của M,
ký hiệu nSCM M , là tập hợp gồm tất cả các iđêan nguyên tố
p Supp
R
M sao cho M

p
không là môđun Cohen-Macaulay
dãy.
Quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy và chiều của nó đã
được nghiên cứu bởi N. T. Cường, D. T. Cường and H. L. Trường
thông qua một loại hệ tham số đặc biệt gọi là hệ tham số tốt. Ở
đây, chúng tôi sử dụng các tập giả giá để mô tả quỹ tích không
Cohen-Macaulay dãy.
Mệnh đề 3.2.9. Cho H
0
m
M M
0
. . . M
t
M là lọc
chiều của M. Đặt dim M
i
d
i
và L
i
M
i
M
i 1
với mọi i
1, . . . , t.
(i) Nếu R là catenary thì
nSCM M

t
i 1
nCM L
i
t
i 1
d
i
1
r 1
Psupp
r
R
L
i
.
(ii) Nếu R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của nó là
Cohen-Macaulay thì
nSCM M
t
i 1
d
i
1
r 1
Var Ann
R
H
r
m

L
i
.
Trong trường hợp này, nSCM M là tập con đóng của Spec R .
Hơn nữa, dim nSCM M max
i 1, ,t
p L
i
.
17
Phần còn lại của tiết này là mô tả quỹ tích không Cohen-
Macaulay suy rộng dãy của môđun hữu hạn sinh. Trước hết chúng
tôi nhắc lại khái niệm lọc Cohen-Macaulay suy rộng và môđun
Cohen-Macaulay suy rộng dãy được giới thiệu bởi N. T. Cường
và L. T. Nhàn.
Định nghĩa 3.2.10.(i) Một lọc H
0
m
M N
0
. . . N
k
M
các môđun con của M được gọi là lọc Cohen-Macaulay suy rộng
nếu mỗi môđun thương N
i 1
N
i
là Cohen-Macaulay suy rộng và
dim N

i 1
N
i
dim N
i 2
N
i 1
, với mọi i 0, . . . , k 1.
(ii) M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy nếu M có lọc
Cohen-Macaulay suy rộng.
Định nghĩa 3.2.11. Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng
dãy của M , ký hiệu nSGCM M , là tập hợp tất cả các iđêan
nguyên tố p Supp
R
M sao cho M
p
không là môđun Cohen-
Macaulay suy rộng dãy.
Mệnh đề 3.2.12. Cho H
0
m
M M
0
. . . M
t
M là
lọc chiều của M. Đặt dim M
i
d
i

và L
i
M
i
M
i 1
với i
1, . . . , t. Nếu R là catenary thì nSGCM M
t
i 1
nGCM L
i
t
i 1
d
i
1
r 1
Lsupp
r
R
L
i
.
Kết luận Chương 3
Trong chương này, chúng tôi đã thu được những kết quả sau.
- Đưa ra khái niệm giá suy rộng và chứng minh một số tính chất
của giá suy rộng.
- Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng qua giá suy
rộng.

- Nghiên cứu tính đóng của quỹ tích không Cohen-Macaulay.
- Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy và quỹ tích không
Cohen-Macaulay suy rộng dãy.
18
Chương 4
MỘT SỐ QUĨ TÍCH LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH
COHEN-MACAULAY
Trong suốt chương này, chúng tôi luôn giả thiết R, m là
vành giao hoán, địa phương, Noether và M là R-môđun hữu hạn
sinh với chiều Krull dim M d. Lớp môđun giả Cohen-Macaulay
và giả Cohen-Macaulay suy rộng được giới thiệu bởi N. T. Cường
và L. T. Nhàn tương ứng là mở rộng của các lớp môđun Cohen-
Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Trong chương
này chúng tôi nghiên quỹ tích giả Cohen-Macaulay và quỹ tích
giả Cohen-Macaulay suy rộng. Chúng tôi quan tâm đến vấn đề
mô tả các quỹ tích trên qua quỹ tích không Cohen-Macaulay
và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của một môđun
thương tương ứng. Đồng thời chúng tôi cũng đưa ra một số kết
quả liên quan đến quỹ tích không Cohen-Macaulay và quỹ tích
không Cohen-Macaulay suy rộng của môđun chính tắc K M
của M.
4.1 Quỹ tích giả Cohen-Macaulay và quỹ tích giả
Cohen-Macaulay suy rộng
Mục tiêu của chúng tôi trong tiết này là sử dụng các
tập giả giá và giá suy rộng để nghiên cứu quỹ tích giả Cohen-
Macaulay và quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng. Trước hết,
chúng tôi nhắc lại khái niệm môđun giả Cohen-Macaulay được
giới thiệu bởi N. T. Cường và L. T. Nhàn.
Cho x x
1

, . . . , x
d
là một hệ tham số của môđun M.
Đặt
Q
M
x
t 0
x
t 1
1
, . . . , x
t 1
d
M :
M
x
t
1
. . . x
t
d
.
Khi đó Q
M
x là một môđun con của M. Cho n n
1
, . . . , n
d
là

một bộ gồm d số nguyên dương. Ký hiệu x
n x
n
1
1
, . . . , x
n
d
d
.
19
Khi đó x n cũng là một hệ tham số của M . Đặt
J
M,x
n : n
1
. . . n
d
e x; M  M Q
M
x n .
Năm 2003, N. T. Cường, M. Morales and L. T. Nhàn đã chứng
tỏ rằng nhìn chung hàm J
M,x
n không phải là đa thức theo n
khi n 0. Tuy nhiên, J
M,x
n luôn có giá trị không âm và nó
bị chặn trên bởi các đa thức. Năm 2000, N. T. Cường và N. Đ.
Minh trong đã chỉ ra rằng bậc bé nhất của tất cả các đa thức

theo n chặn trên hàm J
M,x
n không phụ thuộc vào cách chọn
hệ tham số x và bậc bé nhất này ký hiệu là pf M .
Định nghĩa 4.1.1. M gọi là môđun giả Cohen-Macaulay nếu
pf M .
Rõ ràng, nếu dim M 1 thì M là giả Cohen-Macaulay.
Theo R. Hartshorne, nếu x là M-dãy thì xM Q
M
x . Do đó,
nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì
J
M
x e x; M  M Q
M
x e x; M  M xM 0.
Vì thế M là giả Cohen-Macaulay.
Định nghĩa 4.1.3. Quỹ tích giả Cohen-Macaulay của môđun
M, ký hiệu pCM M , là tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố p
sao cho M
p
là môđun giả Cohen-Macaulay.
Kí hiệu U
M
0 là môđun con lớn nhất của M có chiều
bé hơn d. Đặt nPCM M Spec R pCM M . Chú ý rằng nếu
d 1 thì pCM M Spec R . Định lý sau đây là một trong
những kết quả chính của tiết này, mô tả quỹ tích giả Cohen-
Macaulay của M.
Định lý 4.1.4. Cho d 2. Giả sử R là thương của vành Goren-

stein địa phương. Khi đó các khẳng định sau là đúng.
(i) Nếu dim R p d hoặc dim R p 2 với mọi p Ass
R
M
thì
nPCM M nCM M U
M
0
0 i d
Var Ann
R
H
i
m
M U
M
0 .
20
Đặc biệt, nếu d 3 thì pCM M là tập mở.
(ii) Giả sử H
0
m
M M
0
M
1
. . . M
t
M là lọc chiều của
M. Đặt dim M

i
d
i
với mọi i 1, . . . , t. Khi đó nPCM M
i 1, ,t
nCM M
i
M
i 1
i 1, ,t
r 1, ,d
i
1
Var Ann
R
H
r
m
M
i
M
i 1
.
Phần cuối của tiết này dành để mô tả quỹ tích giả Cohen-
Macaulay suy rộng của các môđun hữu hạn sinh. Trước hết,
chúng tôi nhắc lại khái niệm của môđun giả Cohen-Macaulay
suy rộng.
Định nghĩa 4.1.7. M gọi là môđun giả Cohen-Macaulay suy
rộng nếu pf M 0
Cho M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Khi đó R.

Y. Sharp và M. A. Hamieh đã chứng minh rằng J
M,x
n
d 1
i 1
d 1
i 1
 H
i
m
M với n 0. Do đó nếu M là môđun Cohen-
Macaulay suy rộng thì M là giả Cohen-Macaulay suy rộng. Năm
2000, N. T. Cường- N. Đ. Minh chứng minh rằng nếu M là R-
môđun hữu hạn sinh chiều d 1 thì pf M d 2. Vì thế, nếu
dim M 2 thì M là giả Cohen-Macaulay suy rộng.
Định nghĩa 4.1.9. Quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng của
M, ký hiệu pGCM M , là tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố p
sao cho M
p
là môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng.
Đặt nPGCM M Spec R pGCM M . Chú ý rằng nếu
d 2 thì pGCM M Spec R . Kết quả sau cho ta sự mô tả
quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng của M.
Định lý 4.1.10. Cho d 3. Giả sử R là thương của một vành
Gorenstein địa phương . Khi đó các khẳng định sau là đúng.
(i) Nếu dim R p d hoặc dim R p 3 với mọi p Ass
R
M
thì
nPGCM M nGCM M U

M
0
1 i d
Lsupp
i
R
M U
M
0 .
21
Đặc biệt, nếu d 4 thì pGCM M ổn định với phép tổng quát
hóa.
(ii) Cho H
0
m
M M
0
. . . M
t
M là lọc chiều của M. Đặt
d
i
dim M
i
. Khi đó nPGCM M
1 i t
nGCM M
i
M
i 1

i 1, ,t
r 1, ,d
i
1
Lsupp
r
R
M
i
M
i 1
.
4.2 Liên hệ với môđun chính tắc
Trong toàn bộ tiết này, ta luôn giả thiết R là thương
của vành Gorenstein địa phương R , m có chiều n. Trong tiết
này chúng tôi đưa ra một số kết quả về quỹ tích không Cohen-
Macaulay và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của môđun
chính tắc K M của M . Trước hết, chúng tôi nhắc lại khái niệm
môđun chính tắc được giới thiệu bởi P. Schenzel.
Định nghĩa 4.2.1.Với mọi số nguyên i 0, ký hiệu K
i
M là R-
môđun Ext
n i
R
M, R . Môđun K
i
M được gọi là môđun khuyết
thứ i của M và K M : K
d

M được gọi là môđun chính tắc
của M.
Chú ý rằng nếu M là môđun Cohen-Macaulay (tương ứng
môđun Cohen-Macaulay suy rộng) thì K M là môđun Cohen-
Macaulay (tương ứng môđun Cohen-Macaulay suy rộng).
Mệnh đề sau cho ta mối quan hệ giữa quỹ tích không
Cohen-Macaulay (tương ứng quỹ tích không Cohen-Macaulay suy
rộng) của K M và quỹ tích không Cohen-Macaulay (tương ứng
quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng) của M.
Mệnh đề 4.2.2. Các khẳng định sau là đúng.
(i) nCM K M nCM M .
(ii) nGCM K M nGCM M .
Hệ quả 4.2.3. p K M p M .
22
Phần cuối của tiết này dành để miêu tả quỹ tích không
Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc. Nhắc lại rằng khái niệm
môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc được giới thiệu bởi N.
T. H. Loan và L. T. Nhàn. M được gọi là môđun Cohen-Macaulay
suy rộng chính tắc nếu môđun K M là Cohen-Macaulay suy
rộng.
Định nghĩa 4.2.5. Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng
chính tắc của M , ký hiệu nGCMC M , là tập hợp tất cả các
iđêan nguyên tố p sao cho M
p
không là môđun Cohen-Macaulay
suy rộng chính tắc.
Mệnh đề 4.2.6. (i) Nếu dim R q d hoặc dim R q 4 với
mọi q min Ass
R
M thì

nGCMC M nGCM K M
1 i d
Lsupp
i
R
K M .
Đặc biệt, nếu dim M 5 thì nGCMC M ổn định với phép đặc
biệt hóa.
(ii) Cho H
0
m
M M
0
. . . M
t
M là lọc chiều của M. Đặt
d
k
dim M
k
. Khi đó nGCMC M
k 1, ,t
nGCM K M
k
k 1, ,t
i 1, ,d
k
1
Lsupp
i

R
K M
k
.
Kết luận chương 4
Trong chương này chúng tôi đã thu được các kết quả sau.
- Mô tả quỹ tích giả Cohen-Macaulay, quỹ tích giả Cohen-Macaulay
suy rộng và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc.
- Đưa ra một vài kết quả về quỹ tích không Cohen-Macaulay và
quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của môđun chính tắc
K M của môđun M .
23
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Trong luận án này chúng tôi đã thu được những kết quả sau.
- Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay thông qua các tập giả
giá và đưa ra mối quan hệ giữa quỹ tích không Cohen-Macaulay
với tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn của vành.
- Mở rộng một số kết quả về chiều của quỹ tích không Cohen-
Macaulay.
- Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng thông qua các
giá suy rộng và đặc trưng tính đóng của quỹ tích không Cohen-
Macaulay suy rộng.
- Mô tả một số quĩ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay như
quỹ tích giả Cohen-Macaulay, quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy
rộng và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc. Đồng
thời đưa ra một số kết quả về quỹ tích không Cohen-Macaulay
và không Cohen-Macaulay suy rộng của môđun chính tắc K M
của M.
2. Kiến nghị

Trong thời gian tới, chúng tôi dự định nghiên cứu các vấn đề sau:
- Nghiên cứu một số quỹ tích như quỹ tích không Cohen-Macaulay,
quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích giả Cohen-
Macaulay, quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng cho trường hợp
môđun phân bậc trên vành phân bậc.
- Nghiên cứu quỹ tích không Cohen-Macaulay chiều lớn hơn s.
- Dựa vào các kết quả đã biết về quỹ tích để nghiên cứu cấu trúc
của vành và môđun.
- Nghiên cứu tính chất ổn định của quỹ tích liên quan đến đối
đồng điều địa phương phân bậc.