vấn đề 1: mệnh đề toán học

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (536.42 KB, 12 trang )

Chuyên đề: mệnh đề – tập hợp
Vấn đề 1: Mệnh đề
A. lý thuyết
I. MỆNH ĐỀ
1. Mệnh đề:
❖ Mệnh đề là một khẳng định hoặc là đúng hoặc là sai và không thể vừa đúng vừa sai.
❖ Một câu khẳng định đúng gọi là một mệnh đề đúng. Một câu khẳng định sai gọi là một mệnh đề sai.
❖ Câu không phải là câu khẳng định hoặc câu khẳng định mà khơng có tính đúng – sai thì khơng phải là
mệnh đề
• Ví dụ:
o “2 + 3 = 5” là mệnh đề đúng.
o “ 2 là số hữu tỉ” là mệnh đề sai.
o “Mệt q!” khơng phải là mệnh đề.
• Ví dụ:
o A: “6 là một số nguyên tố” là 1 mệnh đề sai
o B: “ Chúng ta hãy đi dạo phố nhé” không là một mệnh đề
o C: “ Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180o là tứ giác nội tiếp” là 1 mệnh đề đúng.
2. Mệnh đề chứa biến
❖ Là một câu trong đó có chứa một hay nhiều biến thay đổi.
❖ Mệnh đề chứa biến không phải là một mệnh đề nhưng khi ta gán cho biến giá trị cụ thể nào đó thì ta có
được 1 mệnh đề đúng hay sai
• Ví dụ: Cho khẳng định “2 + n = 5”. Khi thay mỗi giá trị cụ thể của n vào khẳng định trên thì ta được
một mệnh đề. Khẳng định có đặc điểm như thế được gọi là mệnh đề chứa biến.
• Ví dụ : Với mệnh đề chứa biến A(x): “ x2 – 4x – 5 = 0” ta gán x = -1 thì được mệnh đề đúng, nhưng
gán x = 0 thì có 1 mệnh đề sai
• Ví dụ: Xét câu sau: P(x) = “x là số nguyên tố” với x  N
P(x) khơng phải là mệnh đề vì ta chưa thể xác định nó đúng hay sai. Tuy nhiên nếu ta thay x bằng một giá
trị cụ thể trong N thì ta được một mệnh đề. Chẳng hạn P(3) là mệnh đề đúng, còn P(4) là mệnh đề sai.
3. Phủ định của một mệnh đề
❖ Phủ định của mệnh đề P ký hiệu: P là một mệnh đề thoả mãn tính chất nếu P đúng thì P sai, cịn nếu P
sai thì P đúng.

• Ví dụ: P: “3 là số ngun tố”.
P : “3 khơng là số ngun tố”.
• Ví dụ: A : “8< 9” có mệnh đề phủ định là: A : “8  9”
A là 1 mệnh đề đúng, A : là 1 mệnh đề sai
4. Mệnh đề kéo theo
❖ Mệnh đề “Nếu P thì Q” gọi là mệnh đề kéo theo
• Ký hiệu P  Q.
❖ Mệnh đề P  Q chỉ sai khi P đúng đồng thời Q sai.
• Ví dụ: Bạn Chăm học kém nên Chăm lên lớp. Trên thực tế "Chăm không học kém"  P là mệnh đề
sai, và "Chăm lên lớp" là đúng  Q đúng. Xét cả P  Q, ĐÚNG.
• Ví dụ: "3 là số chẵn nên 3 chia hết cho 1", mệnh đề này đúng vì thực tế 3 chia hết cho 1 thật
• Ví dụ: “ Nếu 8< 9 thì 4 là 1 số nguyên tố” là 1 mệnh đề sai (dạng Đ  S)
❖ Trong mệnh đề P  Q thì
P: gọi là giả thiết (hay P là điều kiện đủ để có Q).
Q: gọi là kết luận (hay Q là điều kiện cần để có P).
• Ví dụ: Cho x là số nguyên dương; P(x) : “ x chia hết cho 6’; Q(x):” x chia hết cho 3”
Ta có:
• Mệnh đề kéo theo P(x)  Q(x) là mệnh đề đúng.
• Ví dụ: Phát biểu định lí trên dung ngơn ngữ điều kiện cần:
“2 tam giác có điện tích bằng nhau là điều kiện cần để chúng bằng nhau” hoặc phát biểu là:
“Điều kiện cần để 2 tam giác bằng nhau là 2 tam giác đó diện tích bằng nhau”

5. Mệnh đề đảo – Hai mệnh đề tương đương
❖ Mệnh đề đảo của mệnh đề P  Q là mệnh đề Q  P.
• Chú ý: Mệnh đề đảo của một đề đúng chưa hẵn là một mệnh đề đúng.
• Ví dụ 2: “Nếu tứ giác ABCD là 1 hình chữ nhật thì AB ⊥ AD” mệnh đề đúng
Mệnh đề đảo là: “ Nếu tứ giác ABCD có AB ⊥ AD thì ABCD là 1 hình chữ nhật” mệnh đề sai
❖ Nếu hai mệnh đề P  Q và Q  P đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương nhau.
• Ký hiệu P  Q.

• Ví dụ: “8 < 9 khi và chỉ khi 5 là một số nguyên tố”: mệnh đề đúng
❖ Cách phát biểu khác: + P khi và chỉ khi Q.
+ P là điều kiện cần và đủ để có Q.
+ Q là điều kiện cần và đủ để có P.
6. Ký hiệu , 
: đọc là với mọi
: đọc là tồn tại
• Ví dụ 1: x  , x 2  0: đúng n  , n2 – 3n + 1 = 0: sai
• Ví dụ 2:
• Thêm x R và mệnh đề chứa biến: “x2 – 4x – 5 = 0” ta được : “x R, x2 – 4x – 5 = 0” là 1 mệnh
đề đúng (vì x = - 1 làm cho mệnh đề đúng)
• Thêm x  R vào mệnh đề chứa biến: “ x2 – 4x – 5 = 0” ta được: “xR, x2 – 4x – 5 = 0” là 1
mệnh đề sai (vì x = -1 làm cho x2 – 4x – 5 ≠0)
7. Phủ đỉnh của mệnh đề với mọi, tồn tại
❖ Mệnh đề P: x  D, T(x) có mệnh đề phủ định là x  D, T(x)
❖ Mệnh đề P: x  D, T(x) có mệnh đề phủ định là x  D, T(x)
• Lưu ý:
o Phủ định của “a < b” là “a  b”
o Phủ định của “a = b” là “a  b”
o Phủ định của “a > b” là “a  b”
o Phủ định của “a  b” là “.................”
• Ví dụ:
• Phủ định của mệnh đề: “x R, x2 – 4x – 5 = 0” là mệnh đề: “xR, x2 – 4x – 5 ≠ 0”
• Phủ định của mệnh đề: “xR, x2 – 4x – 5 = 0” Là mệnh đề: “x R, x2 – 4x – 5 ≠ 0”
• Ví dụ: P: n  , n < 0. Tìm mệnh đề phủ định của P
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

Vấn đề 2: Áp dụng mệnh đề vào phép suy luận tốn học
A. lý thuyết
1. Trong tốn học định lí là một mệnh đề đúng
❖ Nhiều định lí được phát biểu dưới dạng “x  X, P(x)  Q(x)”
❖ Ta nói : A là giả thiết, B là kết luận hay nói cách khác:
❖ A là điều kiện đủ để có B hoặc nói B là một điều kiện cần để có A
• Ví dụ: A: “2 tam giác bằng nhau“, B: “2 tam giác có điện tích bằng nhau”
Định lý A  B : “ Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có điện tích bằng nhau”
2. Chứng minh phản chứng định lí “x  X, P(x)  Q(x)” gồm 2 bước sau:
❖ Giả sử tồn tại xo thỏa P(xo) đúng và Q(xo) sai
❖ Dùng suy luận và các kiến thức toán học để đi đến mâu thuẫn
3. Cho định lí “x  X, P(x)  Q(x)”. Khi đó
❖ P(x) là điều kiện đủ để có Q(x)
❖ Q(x) là điều kiện cần để có P(x)
4. Cho định lí “x  X, P(x)  Q(x)” (1)
❖ Nếu mệnh đề đảo “x  X, Q(x)  P(x)” (2) đúng được gọi là định lí đảo của (1). Lúc đó (1) được gọi
định lí thuận
❖ (1) và (2) ta có “x  X, P(x)  Q(x)” Gọi là P(x) là điều kiện cần và đủ có Q(x)
• Ví dụ: Phát biểu mệnh đề đảo của định lý trên: “Nếu 2 tam giác có điện tích bằng nhau thì chúng bằng
nhau”
(Mệnh đề đảo này sau sai nên định lý A  B khơng có định lý đảo)

 THỰC HÀNH
1. XÁC DỊNH MỆNH ĐỀ _ TÍNH ĐÚNG, SAI CỦA MỆNH ĐỀ
❖ Ví dụ 1: Xét xem các câu sau có mệnh đề hay khơng? Nếu có hãy xét tính đúng sai.
1. 2 là một số dương
2. Việt Nam là 1 nước thuộc Châu âu phải không?

3. Phương trình: x2 + 5x + 6 = 0 vơ nghiệm
4. x + 4 là 1 số âm
5. Nếu 14 là số chẵn thì 14 chia hết cho 4
6. Một tam giác là cân khi và chỉ khi nó có 2 cạnh bằng nhau
7. 5 < 3  7 là 1 số ngun tố
Giải:
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
❖ Ví dụ 2: Tìm mệnh đề đảo của mệnh đề “ Nếu 2 góc đối đỉnh thì chúng bằng nhau”
Mệnh đề đảo này đúng hay sai? Vì sao?
Giải:
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
❖ Ví dụ 3: Cho mệnh đề: A: “xN, x2 + 5x + 6 không là một số nguên tố”
B: “x R, x2 + x + 1  0”
Viết mệnh đề phủ định của A, B và xét tính đúng, sai của mệnh đề: A, A , B, B

Giải:
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
2. DÙNG KHÁI NIỆM: ĐIỀU KIỆN CẦN, DIỀU KIỆN CẦN ĐỦ ĐỂ GIẢI TỐN
Trước hết sử dụng điều kiện cần tìm ra các tham số thích hợp, sau đó lần lượt thay các giá trị tham số vừa
tìm được vào bài ốn để thực hiện điều kiện đủ, từ đó suy ra kết qua của bài tốn.
Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x4 – 4mx2 + m2 – 1 = 0 có nghiệm duy nhất.
Giải:
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
3.CHỨNG MINH BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG
Chứng minh A  B bằng cách : Giả sử B sai (kết hợp với A khi cần)  mâu thuẫn
Ví dụ 5: Cho x là số tự nhiên. Chứng minh rằng: nếu x2 : 3 thì x : 3

29. Số 4 không là nghiệm của pt: x2 – 5x + 4 = 0.
16. Ở đây là nơi nào?
30. Cấm hút thuốc lá nơi công cộng!
17. Hãy đi nhanh lên!
31. Chúng ta hãy đi xem ca nhạc nhé
18. Bây giờ là mấy giờ?
32. Tổng các góc trong tam giác bằng 180o
4
19. 2 – 1 là số nguyên tố.
33. Phương trình x2 + x – 1 = 0 vơ nghiệm
20. Hôm qua trời không mưa
34. Nếu AB2 + AC2 = BC2 thì ABC vng
21. Bạn có mệt lắm khơng?
35. 2 có phải làm số ngun tố khơng?
22. 16 khơng là số nguyên tố
36. Phương trình x2 + 3x + 5 = 0 có nghiệm.
23. Năm 2002 là năm nhuận
37. Phương trình 3x – 4 = 0 có nghiệm duy nhất.
24.
Số
7
là
số
chính
phương
38. Nếu phương trình bậc hai có  < 0 thì nó vơ nghiệm
10. 2 – 6 > 0
25.
Năm
2007

là
năm
nhuận
39. Phương trình mx2 + 2x – 1 = 0 có nghiệm duy nhất
11. 5 là số chẵn
26. Các em có cố gắng không?
khi và chỉ khi m = -1
12. 5 là số vô tỉ
27. (8 < 1)  (15 + 33 < 20)
13. 16 chia 3 dư 1
14. 5 + 7 + 4 = 15 28. Hình thoi là hình bình hành.
Bài 3. Trong các câu sau, câu nào là 1 mệnh đề, câu nào là mệnh đề có chứa biến:
1. 2 + 3 = 6
9. Việt Nam gia nhập WTO năm 2007.
5. 2 là số vô tỉ 7. 5 là một số nguyên.
2. 2 + x > 3
10. Phương trình x2 + 2x + 7 = 0 có nghiệm.
2
6. 3 là số vô tỉ.
3. x – y = 1
8. Hôm nay trời đẹp quá!
4. 2 + x < 5
Bài 4. Cho mệnh đề chứa biến P(x): “x = x-1”. Xác định tính đúng – sai của các mệnh đề sau:
a) P( 0)
b) P(1)
c) P(2)
d) P(-1)
e) x  Z, P(x)
f) x  Z, P(x)
2

Bài 5. Cho mệnh đề chứa biến P(n): “n +3 chia hết cho hai” với n là số nguyên. Xét các mệnh đề P(5) và
P(2) đúng hay sai .
Bài 6. Tìm 2 giá trị thực của x để từ mỗi câu sau ta được 1 mệnh đề đúng và 1 mệnh đề sai:
1. x2 < x
3. x2 > 0
1
4. x >
2. x = 5x
x
Bài 7. Trong các phát biểu sau, cho biết phát biểu nào là mệnh đề và nếu là mệnh đề thì đúng hay sai, phủ
định lại các mệnh đề đó:
1
1. -5  N
17. 5 − 2 =
2. 4.5 = 20
5+ 3
3. 2 + x < 5
18. 210 – 1 chia hết cho 11
2
4. 3 > 1.74
3 − 12 là số hữu tỷ
19.
5. 3 là số vơ tỉ
20. Phương trình x2 – 3x + 2 = 0 có nghiệm
6. 7 là số ngun tố
21. Phương trình x2 + x + 1 = 0 có nghiệm
7. 372 chia hết cho 3
x2 − 9
8. 693 chia hết cho 3
22. x = 3 là 1 nghiệm của pt

=0
9. 1367 chia hết cho 9
x −3
10. Năm 2000 là năm nhuận
23. Phương trình x2 + 2x + 7 = 0 có nghiệm
11. Có vơ số số ngun tố
24. Phương trình 2x2 – 3x +1 = 0 có nghiệm .
5
25. Việt Nam gia nhập WTO năm 2007
12.
là một số nguyên
26. Phương trình x + 3 = 0 có 1 nghiệm
2
27. Bình phương của 1 số luôn luôn là số dương
13. Hôm nay trời đẹp quá!
28. Hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau
14. Việt Nam thuộc Châu Á
29. Hôm nay bạn đã làm hết bài tập rồi phải không?
15. Chúng ta đi nhanh lên nào!
30. Tổng các góc trong một tam giác bằng 180o hay khơng?
16. Số 4489 là số chính phương.
1. x + 3 = 5
2. 4 + x = 5
3. 18 + x = 6
4. x + y < 21
5. 3 + 4 = 8
6. x là số lẻ
7. x + y > 4
8. 9 – x = 3
9. 28 + 8 = 39.

(

)

Lê Tôn Hiệp

Đại số 10

Bài 8. Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định xem mệnh đề phủ định đó đúng hay sai.
1. D= “25>34”
14. Nhà toán học Cauchy là người ý.
2. 1 < x < 3
15. Có một số thực bằng số đối của nó.
16. “Phương trình x2 – x – 4 = 0 vô nghiệm”
3. x  - 2 hay x  4
17. Tất cả các chất khí đều khơng dẫn điện.
4. x < 2 hay x > 1.
18. Một năm có tối đa 52 ngày chủ nhật.
5. x  0 hay x > 1
2
19. Mọi hình chữ nhật đều là hình bình hành.
6. x + 3  3; x  R.
20. Có một tam giác cân không là tam giác đều.
7. “6 là số nguyên tố”
21. Hà nội là thành phố lớn nhất của Việt Nam.
8. Có vơ số số ngun tố.
22. x  R,f(x) > 0 suy ra f(x)  0 vô nghiệm.
9. A= “27 là một số nguyên tố”

23. Mọi số tự nhiên đều không chia hết cho 2 và 3
10. B= “91 chia hết cho 2”
24. Có ít nhất một học sinh lớp 10A học yếu hay kém.
11. C= “84 là bội của 3 và 2”
2
25. Phương trình: x2 + 1 = 0 vô nghiệm và pt : x + 3 = 0 có nghiệm.
12. “nN; n – 1 là số lẻ”
26. Giải thưởng cao nhất về toán học trên thế giới là giải nobel.
13. 9801 là số chính phương.
Bài 9. Hãy xem xét các mệnh đề sau đúng hay sai và hãy phủ định chúng
1. x  , x2  2x
2. x  , (x2 + x)  2
3. x  , x2 – x – 1 = 0
2
Bài 10. Cho mệnh đề chứa biến P (n): “ n – 1 4 “ với n là số nguyên. Xét xem mỗi mệnh đề P (5) và P (2)

dúng hay sai?

Bài 11. Cho mệnh đề chứa biến P(x): “x > x2” , xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a. P(1)
c. x  N: P(x)
1
b. P  
d. x  N: P(x)
3
Bài 12. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng:
1. Có một ABC vng hoặc cân
2. Mọi hình chữ nhật đều là hình bình hành.
3. các đường chéo của một hình chữ nhật thì bằng nhau.
4. Có một tam giác cân khơng là tam giác đều.

5. Có một số thực bằng số đối của nó.
6. Có những tứ giác khơng có đường trịn ngoại tiếp
Bài 13. Tìm chân trị các mệnh đề:
1. (2 + 3 = 5)  ( 22  0)
15. (1 > 2 )  ( < 3)
 11 7 
  (42 < 0)
8. 
2
2. ( = 10)  1 < 2
16. (2 = 10 )  (4 < 0)
 3 2
2
3. ( = 10 )  ( 1 > 2 )
17. ( > 3)  (1 < 2)
9. ( 2 là số vô tỷ)  ( 32 < 0)
18. (2 = 10 )  ( > 3)
4. ( 2 > 3 )  (3 < )
10.  < 5  2< 4
19. 27 < 4  3. 27 < 3. 4
5. ( 2 > 3 )  (2 < 10)
11. –  < -2  2< 4
6. (5.12 > 4.6) (2 < 10)

12. (1 < 2 )  (2 = 10)

20. (1 < 13 – 71)  ( > 3)

 2 + 1


7. (4 > )  
 3
 2


13. ( 2 > 1)  ( > 3)
14. (1 > 2 )  ( >3)

21.

23 < 5  ( -4). 23 < ( -4) .5
22. x  N: x2 + x + 4 là số nguyên tố.

Bài 14.
a. Định x để các mệnh đề chứa biến sau đúng. x=3  x > 2.
b. Mệnh đề chứa biến sau có đúng với mọi x khơng: x=3 x2= 9 .
Bài 15. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm “điều kiện đủ”
1. Nếu tứ giác T là một hình thang cân thì nó có hai cạnh bên bằng nhau.
2. Nếu a và b là hai vectơ cùng hướng thì chúng cùng phương .
3. Nếu một số tự nhiên chia hết cho 9 thì nó chia hết cho 3
4. Nếu a < 0 và b < 0 thì ab > 0
5. Nếu tứ giác T là hình bình hành thì nó có hai cạnh đối bằng nhau.
6. Nếu 2 đường thẳng phân biệt cùng vuông gố vơí đường thẳng thứ 3 thì chúng song song nhau.
7. Nếu ABC cân và có góc 60o thì nó là tam gíac đều.
8. nếu a và b là hai số hữu tỉ thì a + b cũng là số hữu tỉ
9. Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.
10. Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì nó chia hết cho 2.

: 0906662816

7

Đại số 10

Lê Tôn Hiệp

11. Trong một mặt phẳng , nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với đường thẳng thứ ba thì hai

đường thẳng ấy song song với nhau.
12. Nếu trong mặt phảng, hai đường thảng cùng vng góc với đường thẳng thứ 3 thì 2 đường đó song

song với nhau
13. Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau
14. Nếu số ngun dương a tận cùng là 5 thì chia hết cho 5
15. Nếu tứ giác là hình thoi thì 2 đường chéo vng góc với nhau
Bài 16. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm “điều kiện cần”:
1. Nếu tứ giác T là hình vng thì nó có hai đường chéo vng góc.
2. Nếu tứ giác ABCD là hình vng thì 4 cạnh bằng nhau
3. Nếu tứ giác T là hình thoi thì nó có một đường chéo vng góc.
4. Nếu hai góc ở vị trí so le trong thì hai góc đó bằng nhau.
5. Nếu a chia hết cho m và b khơng chia hết cho m thì a + b không chia hết cho m.
6. Nếu a > 1 và b > 1 thì a + b > 2.
7. nếu một số tự nhiên chia hết cho 15 thì nó chia hết cho 5
8. Nêú số ngun n có chữ số tận cùng bằng 0 thì nó chia hết cho 5.
9. Nếu a = b thì a2 = b2.
10. Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau.
11. Nếu tg ABc vng tại A thì BC2 = AB2 + AC2

1

1
1
=
+
2
2
AH
AB
AC2
13. Nếu trong mặt phẳng, hai đường chéo cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì hai đường thẳng đó
song song với nhau
14. Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có cac góc tương ứng bằng nhau
15. Số nguyên dương a chia hết cho 24 thì chia hết cho 4 và 6
Bài 17. Phát biểu các mệnh đề sau bằng các thuật ngữ “điều kiện cần”,”điều kiện đủ”
1. Nếu a = b thì a2 = b2.
2. Nếu a + b > 0 thì 1 trong 2 số a và b > 0.
3. 2 tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau.
4. Số nguyên dương chia hết cho 6 thì chia hết cho 3
5. Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có cùng diện tích
6. Một hình thang có 2 đường chéo bằng nhau là hình thang cân
7. Số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5.
Bài 18. Cho số thực x. Xét các mệnh đề: P : “x2 = 1” ; Q : “x =1”
a. Phát biểu mệnh đề P  Q và mệnh đề đảo của nó.
b. Xét tính đúng sai của 2 mệnh đề trên.
c. Chỉ ra 1 giá trị của x mà mệnh đề P  Q sai.
d. Hãy chỉ ra một giá trị của x làm cho mệnh đề Q  P sai.
Bài 19. Viết mệnh đề đảo của các mệnh đề sau. Các mệnh đề đảo này đúng hay sai, vì sao
a. B: Nếu  > 0 thì tam thức bậc hai có nghiệm
b. C: Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau
c. A: ABC vng tại A  ABC có tổng 2 góc B và C bằng 90o

d. D: Phương trình: ax2 + bx + c = 0 có a và c trái dâu thì nó có nghiệm
Bài 20. Cho tam giác ABC. Phát biểu mệnh đề đảo của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng.
a. Nếu AB = BC = CA thì ABC là tam giác đều
b. Nếu AB > BC thì ABC là tam giác đều
c. Nếu AB2 = AC2 + BC2 thì ABC là một tam giác vuông
Bài 21. Phát biểu mệnh đề P  Q và xét tính đúng sai của nó và phát biểu mệnh đề đảo:
a. P: “ 3 > 5” và Q : “7 > 10”
b. P: “-3 < - 2" và Q: “(-3)2 < (-2)2".
c. P: “x2 = 9" và Q: “x = 3". (với x là số thực).
d. P: “36 chia hết cho 7”. và Q: “36 chia hết cho 18”.
e. P: “x là một số hữu tỉ” và Q: “x2 là một số hữu tỉ”.
f. P: “x là một số nguyên” và Q: “x - 5 là một số nguyên”.
g. P: “ABCD là hình chữ nhật” và Q: “AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”
12. Nếu tg abc vng tại A, có AH là đuờng cao thì :

8

: 0906662816

Lê Tôn Hiệp

Đại số 10
o

h. P: “Tam giác ABC là tam giác vng cân tại A” và Q: “Góc B = 45 ”
i. P: “Tam giác ABC vuông tại A” và Q: “Trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC”.
j. P: “tam giác ABC vuông tại A và tam giác DEF vuông tại D” và Q: “tam giác ABC đồng dạng với tam

giác DEF”.

Bài 22. Cho các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng:
1. Nếu a = b thì a.c = b.c
2. Nếu a > b thì a2 > b2
3. Nếu số nguyên chia hết cho 10 thì chia hết cho 5 và 2
4. Nếu tứ giác ABCD là hình thang cân thì 2 góc đối bù nhau
5. A: “Một số tự nhiên tận cùng là 6 thì số đó chia hết cho 2”
6. B: “Tam giác cân có 1 góc = 60o là tam giác đều”
7. C: “Nếu tích 3 số là số dương thì cả 3 số đó đều là số dương”
8. D: “Hình thoi có 1 góc vng thì là hình vng”
Bài 23. Thế nào là 2 mệnh đề tương đương? Cho ví dụ. Thế nào là mệnh đề đảo? Cho ví dụ.
Bài 24. Hãy cho biết mệnh đề nào sau đây đúng :
a. “x2 – 4x + 3 =0  x = 3 ”
b. “x2 – 4x + 3 = 0  x = 2 ”
c. “x = 3

 x2 – 4x +3 = 0 ”

d. “x2 – 4x +3 = 0  x = 1”
Bài 25. Cho x là số thực. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
a. “ x  4  x   12 ”

x  2”
c. “ x  4  -2  x  2”
d. “ x2  4  x  -2 hay x  2 ”
b. “ x2  4
2

Bài 26. Biết (A  B) đúng (AB): sai

Tìm chân trị:

a) B  A
b) A và B
c) A  B
Bài 27. Biết (AB) sai; (A  B) đúng. Tìm chân trị của A.
Bài 28. Cho A  B ( Đ) , (A  B) ( S) . Tìm chân trị của BA , A , B .
Bài 29. Phát biểu mệnh đề P  Q bằng 2 cách và xét tính đúng sai của nó
a. P: “ABCD là hình bình hành” và Q: “AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”
b. P: “9 là số nguyên tố” và Q: “92 + 1 là số nguyên tố”
Bài 30. Cho các mệnh đề sau
a. P: “Hình thoi ABCD có 2 đường chéo AC vng góc với BD”
b. Q: “Tam giác cân có 1 góc = 60o là tam giác đều”
c. R: “13 chia hết cho 2 nên 13 chia hết cho 10”
- Xét tính đúng sai của các mệnh đề và phát biểu mệnh đề đảo
- Biểu diễn các mệnh đề trên dưới dạng A  B
Bài 31. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AI. Xét hai mệnh đề sau:
P: “Tam giác ABC vuông tại A”
Q: “Trung tuyến AI bằng nửa cạnh BC”
a. Phát biểu mệnh đề P  Q và cho biết mệnh đề này đúng hay sai.
b. Phát biểu mệnh đề P  Q và cho biết mệnh đề này đúng hay sai.
Bài 32. Xét hai mệnh đề sau:
P: “120 chia hết cho 6 và chia hết cho 8”;
Q: “120 chia hết cho 6,8”
a. Phát biểu mệnh đề P  Q và cho biết mệnh đề này đúng hay sai.
b. Phát biểu mệnh đề P  Q và cho biết mệnh đề này đúng hay sai.
Bài 33. Xét các mệnh đề :
A: “ Số có tận cùng bằng 0 thì chia hết cho 2.”
B: “ Tam giác cân có hai đường trung tuyến bằng nhau . ”
C: “ Nếu a và b chia hết cho c thì a+b chia hết cho c ”
: 0906662816

9

Đại số 10

Lê Tôn Hiệp

D: “ Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau. ”
a. Phát biểu mệnh đề đảo của của các mệnh đề trên và xét tính đúng, sai của chúng.
b. Phát biểu các mệnh đề trên, sử dụng khái niệm “điều kiện đủ” .
c. Phát biểu các mệnh đề trên , sử dụng khái niêm “điều kiện cần”.
Bài 34. Cho mệnh đề: “Nếu a và b là hai số hữu tỉ thì tổng a + b cũng là số hữu tỉ” . Mệnh đề nào sau đây là
mệnh đề tương ứng với mệnh đề đó ?
a. Điều kiện cần để tổng a+b là số hữu là cả hai số a và b đều là số hữu tỉ.
b. Điều cần để tổng a + b là số hữu tỉ là cả hai số a và b đều là số hữu tỉ .
c. Điều kiện cần để cả hai số a và b hữu tỉ là tổng spố a + b là số hữu tỉ .
d. Tất cả các câu trên đều sai .
Bài 35. Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau đây để được mệnh đề đúng:
1. Để tứ giác T là một hình chữ nhật, điều kiện cần và đủ là nó có hai đường chéo bằng nhau.
2. Để d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, điều kiện cần và đủ là d vng góc với AB.
3. Để một số tự nhiên chia hết cho 4 thì điều kiện đủ là nó chia hết cho 2.
4. Để ab chia hết cho 2 thì điều kiện cần là một trong hai số a và b phải chia hết cho 2.
Bài 36. Phát biểu mệnh đề A  B và A  B của các cặp mệnh đề sau và xét tính đúng sai
1. A: “Tứ giác T là hình bình hành” và B: “Hai cạnh đối diện bằng nhau”
2. A: “Tứ giác ABCD là hình vng” và B: “Tứ giác có 3 góc vng”
3. A: “x > y” và B: “x2 > y2” (Với x y là số thực)
4. A: “Điểm M cách đều 2 cạnh của góc xOy” và B: “Điểm M nằm trên đường phân giác góc xOy”
Bài 37. Xác định tính đúng sai của mệnh đề A, B và tìm phủ định của nó:
A: “xR: x3 > x2”
B: “xN : x chia hết cho x + 1”

Bài 38. Gọi X là tập hợp tất cả các học sinh ở lớp em. Xét mệnh đề chứa biến P(x):”x tự học ở nhà ít nhất 4
giờ trong một ngày”. Hãy phát biểu các mệnh đề sau bằng các câu thông thường:
a) x  X, P(x)
b) x X, P(x)
c) x  X, P(x)
d) x X, P(x)
Bài 39. Tìm mệnh đề chứa biến trong các câu sau và dùng thêm các ký hiệu ,  để có được mệnh đề đúng
1. x(x - 1) > 0
2. x + 1  2 x
3. xR, x(2 - x) < 0
4. Nếu x = 2 thì x(x - 4) + 2 ≠ 0
5. Tam giác có 3 cạnh bằng nhau là tam giác đều
6. Tam giác vng có trung tuyến bằng nữa cạnh huyền
Bài 40. Cho mệnh đề A : “x N, (n3 - mn) không là bội của 3”. Viết mệnh đề phủ định của mệnh đề A,
mệnh đề phủ định này đúng hay sai, vì sao?
Bài 41. Phát biểu thành lời các mệnh đề x: P(x) và x : P(x) và xét tính đúng sai của chúng:
a. P(x) : “x2 < 0”
1
b. P(x) : “ > x + 1”
x
x2 − 4
= x + 2”
c. P(x) : “
x−2
d. P(x) : “x2 – 3x +2 > 0”
Bài 42. Dùng kí hiệu ,  để viết các mệnh đề sau và lập mệnh đề phủ định cho các mệnh đề đó:
1. Hơm nay trong lớp có ít nhất một học sinh không làm bài tập.
2. Tất cả các số tự nhiên đều chia hết cho 2
3. Với mọi số thực x thì x2 > x.
4. Tồn tại số thực x sao cho x2 + 1 < 0

5. Có ít nhất một số tự nhiên n sao cho n < 1.
6. Với mọi số nguyên dương n thì n2 + n + 1 là số nguyên tố.
7. Có 1 số ngun khơng chia hết cho chính nó.
8. Mọi số thực cộng với 0 đều bằng chính nó.
9. Có một số hữu tỷ nhỏ hơn nghịch đảo của nó.
10. Mọi số thực nhân với 1 đều bằng chính nó.
10

: 0906662816

Lê Tôn Hiệp

Đại số 10

11. Mọi số tự nhiên đều lớn hơn số đối của nó.
12. Nếu một số tự nhiên có bình phương chia hết cho 9 thì nó cũng chia hết cho 9.
Bài 43. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm “điều kiện cần và đủ”:
5. Để tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
6. Để tứ giác ABCD là hình bình hành.
7. Nếu a ≠ - 2 và b ≠ 3 thì ab – 3a + 2b ≠ 6
8. Nếu x là số nguyên và x2 lẻ thì x cũng là số lẻ.
9. Nếu a + b > 0 thì một trong hai số phải lớn hơn 0.
10. Nếu a2 + b2 ≠ 0 thì một trong hai số a và b phải khác 0
11. Nếu x là số nguyên và x2chia hết cho 3 thì x cũng chia hết cho 3.
12. “một tứ giác nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ khi tổng 2 góc đối diện của nó là 180o
13. Một tam giác khơng phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc trong nhỏ hơn 60o
14. Nếu tích hai số ngun a.b chia hết cho 7 thì a hoặc b phải chia hết cho 7.
15. Một số có tổng chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và ngược lại.
16. Một hình bình hành có các đường chéo vng góc là một hình thoi và ngược lại.

17. Phương trình bậc hai có hai nghiệm chỉ khi biêủ thức của nó dương.
Bài 44. Cho P(n): “n là số chẵn” và Q(n): “7n + 4 là số chẵn”

a.Phát biểu và chứng minh định lý “n  , P(n)  Q(n)”
b.Phát biểu và chứng minh định lý đảo của định lý trên
c.Phát biểu gộp 2 định lý trên bằng 2 cách.
Bài tập nâng cao
Bài 45. Hãy phát biểu và chứng minh các định lý sau đây
a.n  , n2  2  n  2
b.n  , n2  3  n  3
c.n  , n2  6  n  6
Bài 46. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau, nêu rõ lý do và lập mệnh đề phủ định cho các mệnh đề dưới

đây
a.r  , 4r2 – 1 = 0
b.n  , (n2 + 1)  8
c.x  , x2 + x + 1 > 0
d.n  *,(1 + 2 + … + n) 11
Bài 47. Dùng phương pháp chứng minh phản chứng để chứng minh :

2 là số vô tỉ
2. 3 là một số vô tỉ
3. Với n là số nguyên dương, nếu n2 chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3
4. Chứng minh rằng 2 là số vô tỷ
5. Với n là số nguyên dương, nếu n2 là số lẻ thì n là số lẻ
6. “nếu 1 số tự nhiên chia hết cho 3 và 4 thì chia hết cho 12 “
7. “một tam giác vng thì có trung tuyến tương ứng bằng nửa cạnh huyền “
8. “ hai tam giác đồng dạng và có 1 cạnh bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau”
9. “Nếu 1 số tự nhiên n khơng chia hết cho 3 thì n2 chia 3 dư 1”
10. Nếu n là số tự nhiên và n2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5.

11. Nếu n2 không chia hết cho 3 thì n cũng khơng chia hết cho 3.
12. Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn.
13. Nếu A2 + B2 = 0 thì (A = 0 và B = 0)
14. Nếu hai đường thẳng phân biệt d1 và d2 cùng song song với đường thẳng d3 thì d1 // d2
15. Nếu a,b chia hết cho 7 thì a chia hết cho 7 hay b chia hết cho 7.
16. Nếu a,b là 2 số dương thì a+b  2 ab .
1.

: 0906662816

11

Đại số 10

Lê Tôn Hiệp

17. Trong 1 tứ giác lồi phải có ít nhất 1 góc khơng nhọn (lớn hơn hay bằng góc vng) và có ít nhất 1 góc

khơng tù (nhỏ hơn hay bằng góc vng).

18. Nếu x,y  R và x  -1 và y  -1 thì x + y + xy  -1.
19. Nếu a + b < 2 thì 1 trong 2 số a và b phải hơn 1.
20. Cho n  N, nếu 5n + 4 là số lẻ thì n là số lẻ.
Bài 48. Chứng minh các định lý sau:
1. Nếu n là số tự nhiên chẵn thì n2 là số tự nhiên chẵn.
2. Nếu n2 là số tự nhiên thì n là số tự nhiên chẵn.
3. Nếu n2 chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3, với n là số tự nhiên.
4. Nếu x ≠ 1 hay y ≠ 1 thì

x 2 + y2 − 2x − 2y + 2  0 .

a + b  2 ab .
2
2
2
6. Nếu a, b, c khơng đồng thời bằng nhau thì: a + b + c  ab + bc + ca .
5. Nếu a  0 và b  0 thì

12

: 0906662816

vấn đề 1: mệnh đề toán học

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về