Khảo sát một số phương trình đạo hàm riêng cấp không nguyên

BỘ CƠNG THƯƠNG
ĐẠI HỌC CƠNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC
KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
NGHIÊN CỨU KHOA HỌCCẤP TRƯỜNG

Tên đề tài: Khảo sát một số phương trình đạo hàm riêng cấp khơng
ngun
Mã số đề tài: 21/1CB03
Chủ nhiệm đề tài: TS. Võ Thị Thanh Hà
Đơn vị thực hiện: Khoa Khoa học cơ bản

Tp. Hồ Chí Minh, ........…


LỜI CÁM ƠN
Trong quá trình thực hiện đề tài “Khảo sát một số phương trình đạo hàm riêng cấp khơng
ngun”, chúng tơi đã nhận được sự quan tâm, khích lệ từ phía lãnh đạo Khoa Khoa học cơ
bản và Ban Giám hiệu Trường Đại học Công nghiệp TPHCM. Hơn nữa, đề tài này có thể
thực hiện được là nhờ sự hỗ trợ về mặt kinh phí từ phía trường Đại học Công nghiệp
TPHCM.
Chúng tôi xin được gửi lời cám ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Ban Giám hiệu trường Đại
học Công nghiệp TPHCM, lãnh đạo Khoa Khoa học cơ bản, các phản biện đã giúp đỡ
chúng tơi hồn thành đề tài nghiên cứu này.

1


PHẦN I. THƠNG TIN CHUNG
I. Thơng tin tổng qt

1.1. Tên đề tài: Khảo sát một số phương trình đạo hàm riêng cấp không nguyên
1.2. Mã số: 21/1CB03
1.3. Danh sách chủ trì, thành viên tham gia thực hiện đề tài
TT

Họ và tên
(học hàm, học vị)

Đơn vị cơng tác

Vai trị thực hiện đề tài

1

TS. Võ Thị Thanh Hà

Khoa Khoa học cơ bản

Chủ nhiệm đề tài

2

ThS. Hồ Duy Bình

Đại học Thủ Dầu Một

Thành viên chính

1.4. Đơn vị chủ trì: Khoa Khoa học cơ bản
1.5. Thời gian thực hiện: 12 tháng

1.5.1. Theo hợp đồng: từ tháng 03 năm 2021 đến tháng 03 năm 2022
1.5.2. Gia hạn (nếu có): đến tháng….. năm…..
1.5.3. Thực hiện thực tế: từ tháng 03 năm 2021 đến tháng 03 năm 2022
1.6. Những thay đổi so với thuyết minh ban đầu (nếu có):
(Về mục tiêu, nội dung, phương pháp, kết quả nghiên cứu và tổ chức thực hiện; Nguyên nhân;
Ý kiến của Cơ quan quản lý)
1.7. Tổng kinh phí được phê duyệt của đề tài: 55 triệu đồng.
II. Kết quả nghiên cứu
1. Đặt vấn đề
a)

Tình hình nghiên cứu quốc tế

Trong những năm gần đây, rất nhiều bài tốn đã khơng thể mơ hình hố được bằng các
phương trình vi phân đạo hàm riêng với đạo hàm cấp nguyên như phương trình elliptic,
parabolic hay hyperbolic. Việc mơ hình hố các bài tốn như vậy dẫn đến khái niệm đạo
hàm cấp không nguyên. Những thập kỷ gần đây là giai đoạn các bài tốn với đạo hàm cấp
khơng ngun phát triển mạnh mẽ và ứng dụng sâu rộng vào rất nhiều lĩnh vực khoa học với
số lượng lớn các bài báo, sách chuyên khảo của nhiều nhà toán học trên thế giới như S.G.
Samko, A.A. Kilbas, O.I. Marichev [41,50], R. Gorenflo, Y. Luchko [3,4,5,5], K.S. Miller,
Bertram Ross [7,8], I. Podlubny [9], R. Hilfer [10], K. Diethelm [11], ...
[1] S.G. Samko, A. A. Kilbas and Oleg I. Marichev; Fractional integrals and derivatives,
Theory and Applications, Gordon and Breach Science, Naukai Tekhnika, Minsk (1987).
[2] K.S. Miller, S.G. Samko, Completely monotonic functions, Integral Transforms Spec.
Funct, 12 (2001), 389–402.
[3] R. Gorenflo, F. Mainardi, Fractional calculus: Integral and differential equations of
fractional order, in: A. Carpinteri, F. Mainardi (Eds.), Fractals and Fractional Calculus in
Continuum Mechanics, Springer-Verlag, New York, (1997), 223–276.
[4] Y. Luchko, Maximum principle for the generalized time-fractional diffusion
equation, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 351(2009), 218-223.

[5] Y. Luchko, Some uniqueness and existence results for the initial–boundary value
2


problems for the generalized time-fractional diffusion equation, Comput. Math. Appl, 59
(2010), 1766–1772.
[6] F. Mainardi, Y. Luchko and G. Pagnini The fundamental solution of the space-time
fractional diusion equation, Fract. Calc. Appl. Anal, 4 (2001), 153-192.[7] K.S. Miller and
B. Ross; An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations, Jon
Wiley and Sons, New York (1993).
[8] K.S. Miller, S.G. Samko, Completely monotonic functions, Integral Transforms Spec.
Funct, 12 (2001), 389–402.
[9] I. Podlubny; Fractional differential equations, Academic Press, London, 1999.
[10] R. Hilfer; Fractional calculus in Physics, World Scientific, Singapore (2000).
[11] Kai Diethelm; The analysis of fractional differential equations, Springer, Berlin, 2010.
b) Tình hình nghiên cứu trong nước
Ở Việt Nam hiện nay, có các cơng trình về lĩnh vực phương trình vi phân với đạo hàm cấp
khơng ngun. Chẳng hạn nhóm nghiên cứu của GS. Nguyễn Đình Cơng và PGS. Đồn
Thái Sơn (Viện Tốn Học) với các cơng trình như [1,2,3], nhóm nghiên cứu của PGS Trần
Đình Kế (Đại Học Sư Phạm Hà Nội) với các cơng trình [4,5,6].
[1] N.D. Cong, D.T. Son, S. Siegmund, H.T. Tuan, An instability theorem for nonlinear
fractional differential systems. Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series B, 22 (
2017), 3079 - 3090.
[2] N.D. Cong, H.T. Tuan, Existence, Uniqueness and exponential boundedness of global
solutions to delay fractional differential equations, Mediterranean Journal of Mathematics,
14 (2017).
[3] N. D. Cong, H. T. Tuan, Generation of nonlocal fractional dynamical systems by
fractional differential equations. Journal of Integral Equations and Applications, 29 (2017),
1-24,
[4] T.D. Ke, D. Lan, Fixed point approach for weakly asymptotic stability of fractional

differential inclusions involving impulsive effects. J. Fixed Point Theory Appl, 19 (2017),
2185-2208.
[5] T.D. Ke, V. T. Tran, Finite-time attractivity for semilinear fractional differential
equations. Results Math, 73 (2018), 7 – 19.
[6] J. Kemppainen, J. Siljander, V. Vergara, R. Zacher, Decay estimates for time-fractional
and other non-local in time subdiffusion equations in , Mathematische Annalen, 366
(2016), 941–979.
c)

Đánh giá kết quả các cơng trình nghiên cứu đã công bố (ưu, khuyết, những tồn tại…)

Các công trên chưa khảo sát tính chỉnh của bài tốn ngược thời gian. Cũng như sự tồn tại
nghiệm và tính chính quy hóa cho bài tốn thuận. Đó là động lực để chúng tơi thực hiện đề
tài này
d) Tính cấp thiết tiến hành nghiên cứu (tính mới, tính khoa học)
Đây là hướng nghiên cứu mới mẻ, có nhiều tiềm năng và thu hút được sự quan tâm lớn từ
các nhà toán học. Ở đề tài này, chúng tôi khảo sát một số bài tốn cho các phương trình với
đạo hàm cấp khơng nguyên như phương trình Rayleigh-Stokes, phương trình khuếch tán, …
cho trường hợp tất định hoặc trường hợp ngẫu nhiên.
3


2. Mục tiêu
Mục tiêu tổng qt.

a)
•
•
•

Khảo sát tính tồn tại, duy nhất nghiệm và tính chính quy hóa của nghiệm cho các bài toán
phi tuyến trong cả hai trường hợp tất định và ngẫu nhiên.
Chỉ ra tính khơng chỉnh và xây dựng nghiệm chỉnh hóa cho các bài tốn ngược thời gian.
Nghiên cứu các phương pháp số để minh họa cụ thể cho các đánh giá sai số và tốc độ hội tụ
của nghiệm chỉnh hóa.

b) Mục tiêu cụ thể.
Đối với cả hai loại bài toán tất định và ngẫu nhiên, chúng tơi hướng đến các nội dung như
sau:
•
•

•

•

Sử dụng định lý điểm bất động Banach để thiết lập sự tồn tại, duy nhất nghiệm của bài tốn
trên khơng gian nghiệm thích hợp.
Sử dụng các tính chất của các hàm Gamma, hàm Beta, hàm Mittag-Leffler để đánh giá các
toán tử nghiệm, kết hợp với việc sử dụng các phép nhúng trong các khơng gian Sobolev, để
thiết lập tính chính quy hóa của nghiệm trên các khơng gian khác nhau.
Đưa ra ví dụ minh họa cụ thể để chỉ ra tính khơng chỉnh cho nghiệm của các bài tốn ngược
thời gian. Sau đó, sử dụng các phương pháp chỉnh hóa thích hợp như phương pháp chặt cụt,
phương pháp Quasi-reversibility, phương pháp lọc, … để xây dựng nghiệm chỉnh hóa.
Sau khi đưa ra các đánh giá hội tụ của nghiệm chỉnh hóa, chúng tơi sử dụng các ví dụ số cụ
thể để minh họa cho các kết quả này.

3. Phương pháp nghiên cứu
Nội dung 1: Thiết lập công thức nghiệm

- Cách tiếp cận: Lý thuyết
- Phương pháp nghiên cứu, kỹ thuật sử dụng: Sử dụng khải triển chuỗi Fourier trong không
gian Hilbert
Nội dung 2: Khảo sát tính chất nghiệm

- Cách tiếp cận: Lý thuyết
- Phương pháp nghiên cứu, kỹ thuật sử dụng: Sử dụng định lý điểm bất động Banach để
thiết lập sự tồn tại, duy nhất nghiệm
Nội dung 3: Thiết lập tính chính quy/Thiết lập nghiệm xấp xỉ

- Cách tiếp cận: Lý thuyết
- Phương pháp nghiên cứu, kỹ thuật sử dụng: Chỉ ra tính khơng chỉnh và xây dựng nghiệm
chỉnh hóa cho các bài toán ngược thời gian. Đối với bài tốn thuận, chúng tơi sử dụng các
tính chất của các hàm Gamma, hàm Beta, hàm Mittag-Leffler để đánh giá các toán tử
4


nghiệm, kết hợp với việc sử dụng các phép nhúng trong các khơng gian Sobolev, để thiết lập
tính chính quy hóa của nghiệm trên các khơng gian khác nhau.
Nội dung 4: Viết báo

- Cách tiếp cận: Lý thuyết
- Phương pháp nghiên cứu, kỹ thuật sử dụng: Lý thuyết
4. Tổng kết về kết quả nghiên cứu
Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch
tán với đạo hàm cấp khơng ngun Conformable. Bằng Phương pháp Fractional Tikhonov,
chúng tơi thiết lập nghiệm chỉnh hóa và đánh giá sự hội tụ cho hai trường hợp chọn tham số
hậu nghiệm và tiên nghiệm. Hơn nữa, phương pháp chặt cụt cũng được xét đến.
5. Đánh giá các kết quả đã đạt được và kết luận
Đề tài là ý tưởng mới khơng trùng lặp với cơng trình nào đã cơng bố trong và ngồi nước.

Sản phẩm của đề tài là 1 bài báo thuộc danh mục Scopus (Q3).
6. Tóm tắt kết quả (tiếng Việt và tiếng Anh)
Trong đề tài này, chúng tơi nghiên cứu bài tốn xác định hàm nguồn cho phương trình
khuếch tán với đạo hàm conformable:
(𝛾)

𝐶𝑜𝐷𝑡 𝑢 − ∆𝑢 = 𝛷(𝑡)ℱ(𝑥),

𝑥 𝜖 𝛺,

trong đó 0 < 𝛾 < 1, (𝑥, 𝑡) 𝜖 𝛺 × (0, 𝑇).
Chúng tôi khảo sát các nội dung sau:
➢ Đánh giá sai số giữa nghiệm và nghiệm chỉnh hóa dưới cách chọn tham số chỉnh hóa
tiên nghiệm.
➢ Đánh giá sai số giữa nghiệm và nghiệm chỉnh hóa dưới cách chọn tham số chỉnh hóa
hậu nghiệm.
➢ Thiết lập nghiệm chỉnh hóa và đánh giá sai số trong

.

In this report, we study inverse source for diffusion equation with conformable derivative:
(𝛾)

𝐶𝑜𝐷𝑡 𝑢 − ∆𝑢 = 𝛷(𝑡)ℱ(𝑥),

𝑥 𝜖 𝛺,

where 0 < 𝛾 < 1, (𝑥, 𝑡) 𝜖 𝛺 × (0, 𝑇).
We survey the following issues
➢ The error estimate between the sought solution and the regularized solution under a

priori parameter choice rule.
➢ The error estimate between the sought solution and the regularized solution under a
posteriori parameter choice rule.
➢ Regularization and

estimate by Truncation method.
5


III. Sản phẩm đề tài, công bố và kết quả đào tạo
3.1. Kết quả nghiên cứu ( sản phẩm dạng 1,2,3)

TT
1
Ghi chú:

Tên sản phẩm
Bài báo Scopus

Yêu cầu khoa học hoặc/và chỉ tiêu
kinh tế - kỹ thuật
Đăng ký

Đạt được

01

01

- Các ấn phẩm khoa học (bài báo, báo cáo KH, sách chuyên khảo…) chỉ được chấp nhận

nếu có ghi nhận địa chỉ và cảm ơn trường ĐH Công Nghiệp Tp. HCM đã cấp kính phí thực
hiện nghiên cứu theo đúng quy định.
- Các ấn phẩm (bản photo) đính kèm trong phần phụ lục minh chứng ở cuối báo cáo.
(đối với ấn phẩm là sách, giáo trình cần có bản photo trang bìa, trang chính và trang cuối kèm
thơng tin quyết định và số hiệu xuất bản)
3.2. Kết quả đào tạo
Thời gian
Tên đề tài
TT Họ và tên
thực hiện đề tài
Tên chuyên đề nếu là NCS
Đã bảo vệ
Tên luận văn nếu là Cao học
Nghiên cứu sinh
Học viên cao học
Sinh viên Đại học
Ghi chú:
- Kèm bản photo trang bìa chuyên đề nghiên cứu sinh/ luận văn/ khóa luận và bằng/giấy
chứng nhận nghiên cứu sinh/thạc sỹ nếu học viên đã bảo vệ thành công luận án/ luận
văn;( thể hiện tại phần cuối trong báo cáo khoa học)
IV. Tình hình sử dụng kinh phí
T
T
A
1
2
3
B

Nội dung chi

Chi phí trực tiếp
Thù lao chủ nhiệm đề tài
Th khốn chun mơn
Văn phịng phẩm
Chi phí gián tiếp
Tổng số

Kinh phí
được duyệt
(triệu đồng)
55.000.000
34.910.700
19.861.700
227.600
0
55.000.000

Kinh phí
thực hiện
(triệu đồng)
55.000.000
34.910.700
19.861.700
227.600
0
55.000.000

Ghi
chú

V. Kiến nghị ( về phát triển các kết quả nghiên cứu của đề tài)

6


VI. Phụ lục sản phẩm ( liệt kê minh chứng các sản phẩm nêu ở Phần III)
1. Hợp đồng thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học
2. Thuyết minh đề tài đã được phê duyệt
3. Quyết định nghiệm thu
4. Hồ sơ nghiệm thu (biên bản họp, phiếu đánh giá, bảng tổng hợp điểm, bản giải trình,
phiếu phản biện)
5. Sản phẩm nghiên cứu (bài báo)

Chủ nhiệm đề tài

Tp. HCM, ngày ........ tháng........ năm .......
Phòng QLKH&HTQT
Khoa Khoa học cơ bản
Trưởng khoa

7


PHẦN II. BÁO CÁO CHI TIẾT ĐỀ TÀI
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

Khảo sát một số Phương trình đạo hàm riêng
Cấp khơng nguyên

Võ Thị Thanh Hà

Ngày 18 tháng 04 năm 2022


Chương 1
Giới thiệu bài tốn
Trong đề tài này, chúng tơi nghiên cứu bài tốn xác định hàm nguồn cho phương
trình khuếch tán với đạo hàm cấp không nguyên Conformable:
(γ)

CoDt u − ∆u = Φ(t)F ( x ), trong đó 0 < γ < 1, ( x, t) ∈ Ω × (0, T ).
Chúng tôi khảo sát các nội dung cụ thể sau:
• Đánh giá sai số giữa nghiệm và nghiệm chỉnh hóa dưới cách chọn tham số
chỉnh hóa tiên nghiệm.
• Đánh giá sai số giữa nghiệm và nghiệm chỉnh hóa dưới cách chọn tham số
chỉnh hóa hậu nghiệm.
• Thiết lập nghiệm chỉnh hóa và đánh giá sai số trong L p .
Xét bài toán
(γ)

CoDt u( x, t) − ∆u( x, t) = Φ(t)F ( x ), x ∈ Ω,

(1.1)

u( x, t)| x∈∂Ω = 0, t ∈ (0, T ),

(1.2)

u( x, 0) = u0 ( x ), x ∈ Ω,

(1.3)

u( x, T ) = ℓ( x ), x ∈ Ω,

(1.4)

với các ràng buộc

điều kiện đầu

và điều kiện cuối

(γ)

Hàm u = u( x, t) biểu thị cho mật độ của chất tại vị trí x và thời điểm t. CoDt là
ký hiệu của đạo hàm Conformable theo biến thời gian với cấp đạo hàm γ ∈ (0, 1)
1


(xem Khalil [1]). Với hàm G : [0, ∞) → R cho trước thì đạo hàm Conformable với
cấp γ ∈ (0, 1] được định nghĩa bởi
G (t + ρt1−γ ) − G (t)
,
ρ →0
ρ

(γ)

CoDt G (t) = lim

(1.5)

(γ)

với mọi t > 0. Với (0, t0 ), t0 > 0 và giới hạn limt→t+ CoDt G (t) tồn tại thì
0

(γ)

(γ)

CoDt G (t0 ) = lim CoDt G (t).
t→t0+

Các phương trình vi phân đạo hàm cấp khơng ngun với bài tốn ngược xuất hiện
trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật khác nhau [2, 3, 4, 5, 6]. Có nhiều loại đạo
hàm cấp phân số: Riemann-Liouville, Caputo, Conformable, Grunwald-Letnikov,
. . . (xem [7, 8] và các tài liệu tham khảo trong đó). Trong bài tốn xác định hàm
nguồn (1.1), theo định nghĩa của Hadamard [11] bài toán này được gọi là bài tốn
chỉnh nếu thỏa 3 tính chất: tính tồn tại, tính duy nhất và tính ổn định của nghiệm.
Nếu khơng thỏa 1 trong 3 tính chất trên thì bài tốn được gọi là không chỉnh. Theo
kinh nghiệm nghiên cứu của chúng tơi, tính ổn định của nghiệm sẽ bị vi phạm. Vì
vậy để giải quyết vấn đề này cần đưa ra phương pháp chỉnh hóa. Ở đây chú ý rằng
ta không biết các dữ liệu đầu vào Φ, ℓ mà ta chỉ có các dữ liệu xấp xỉ Φϵ , ℓϵ thỏa

∥ℓ − ℓϵ ∥L2 (Ω) + ∥Φ − Φϵ ∥L∞ (0,T ) ≤ ϵ.

(1.6)

trong đó ϵ > 0 là sai số. Có nhiều kết quả nghiên cứu cho bài tốn tìm hàm
nguồn của các phương trình khuếch tán. Trong những thập kỷ qua đã nhiều kỹ

thuật chỉnh hóa được đề xuất cho bài tốn xác định hàm nguồn, có thể kể đến:
phương pháp Quasi-Reversibility (xem [12]), phương pháp Quasi-Boundary Value
(xem [13]), phương pháp lặp Landweber (xem [14, 15]), phương pháp Fractional
Landweber (xem [16]), phương pháp chỉnh hóa Tikhonov (xem [17]) phương pháp
chặt cụt Fourier truncation (xem [18]). Mục tiêu của đề tài này là thiết lập hàm nguồn
F ( x ) của bài toán (1.1) bằng phương pháp Fractional Tikhonov. Phương pháp này
được giới thiệu bởi Daniel Gerth và nhóm nghiên cứu của ơng (xem [19]). Phương
pháp Quasi-Boundary Value và phương pháp Tikhonov cổ điển là trường hợp đặc
biệt của phương pháp Fractional Tikhonov (xem [20]).


Chương 2
Một số kết quả sơ bộ
2.1

Một số không gian hàm

Định nghĩa 2.1. Ký hiệu ⟨·⟩ là tích trong khơng gian L2 (Ω) và ∥ · ∥ X là chuẩn trong
không gian Banach. Không gian Banach L p (0, T; X ), 1 ≤ p ≤ ∞ được định nghĩa là tập
hợp tất các hàm số thực đo được u : (0, T ) → X
T

∥u∥L p (0,T;X ) =

1
p

u(t)

p

dt

< ∞, với 1 ≤ p < ∞,

0

và

∥u∥L∞ (0,T;X ) = ess sup ∥u(t)∥ X , với p = ∞.
t∈(0,T )

Đầu tiên chúng tơi giới thiệu một vài tính chất của trị riêng của tốn tử ∆, xem
[21]. Ta có đẳng thức sau
∆e j ( x ) = −λ j e j ( x ), x ∈ Ω; e j = 0, x ∈ ∂Ω, j ∈ N,
trong đó λ j

∞
j =1

là bộ trị riêng của ∆ thỏa
0 < λ1 ≤ λ2 ≤ . . . ≤ λ j ≤ . . . ,

và lim j→∞ λ j = ∞. Với mỗi σ ≥ 0, ta cũng xác định không gian
∞

H m ( Ω ) = u ∈ L2 ( Ω ) :

∑ λ2m
j

u, e j

2

j =1

khi đó H m (Ω) là không gian Hilbert với chuẩn
∞

∥ u ∥H m ( Ω ) =

∑

j =1

3

2
λ2m
j |( u, e j )|

1
2

.

< +∞ ,

2.2 Công thức của hàm nguồn F
Φ
,
Bổ đề 2.1. Giả sử Φ, Φ là các hằng số dương sao cho Φ ≤ Φ ≤ Φ. Giả sử chọn ϵ ∈ 0,
4
ta có
Φ
≤ Φ ϵ ( t ) ≤ B | Φ |, | Φ | .
4

(2.1)

Chứng minh. Chứng minh bổ đề này có trong [20].
Bổ đề 2.2. Những điều sau là đúng:
2d
d
< s ≤ 0, p ≥
,
4
d − 4s
d
2d
D(As ) → L p (Ω), nếu − 0 < s ≤ , p ≤
·
4
d − 4s

L p (Ω) → D(As ), nếu −

2.2

(2.2)

Công thức của hàm nguồn F

Trong mục này, chúng tơi giới thiệu nghiệm mild của bài tốn giá trị đầu sau

γ

CoDt u( x, t) − ∆u( x, t) = Φ(t)F ( x ), x ∈ Ω.
u( x, t) = 0,
x ∈ ∂Ω, t ∈ (0, T ],


u( x, 0) = u0 ( x ),
x ∈ Ω.

(2.3)

Dùng phương pháp tách biến để tìm nghiệm của (2.3). Giả sử rằng u có biểu diễn
chuỗi Fourier như sau
∞

u( x, t) =

∑ u j ( t )e j ( x ),

with u j (t) = u(·, t), e j (·) .

(2.4)

j =1

Từ (2.4), ta có
∞

u j (t) =

∑

exp − λ j tγ γ−1 u0,j

j =1
t

ςγ−1 exp − λ j tγ − ςγ γ−1 Φ(ς)dς e j ( x ).

+ F (·), e j (·)

(2.5)

0

Đặt t = T và u0,j = 0, ta nhận được
T

∞

ℓ j (x) = u j (T ) =

∑

j =1

ςγ−1 exp − λ j ( T γ − ςγ )γ−1 Φ(ς)dς e j ( x ).

F (·), e j (·)
0

(2.6)

4


2.3 Tính khơng chỉnh của bài tốn tìm hàm nguồn
Từ (2.6), ta có
∞

∑

F (x) =

j =1

ℓ(·), ej (·)
T

·

ςγ−1 exp − λ j ( T γ − ςγ )γ−1 Φ(ς)dς

0

nghĩa là
∞

∑

F (x) =

j =1

ℓ(·), ej (·) ej (x)
T

·

(2.7)

ςγ−1 exp − λ j ( T γ − ςγ )γ−1 Φ(ς)dς

0

2.3

Tính khơng chỉnh của bài tốn tìm hàm nguồn

Định lý 2.1. Bài tốn xác định hàm nguồn trên là không chỉnh.
Chứng minh. Ta xác định tốn tử tuyến tính L : L2 (Ω) → L2 (Ω) như sau:
T

∞

LF ( x ) =

∑

ςγ−1 exp − λ j ( T γ − ςγ )γ−1 Φ(ς)dς

j =1

=

F (·), e j (·) e j ( x )

0

(2.8)

k ( x, ξ )F (ξ )dξ,
Ω

trong đó
T

∞

k( x, ξ ) =

∑

ςγ−1 exp − λ j ( T γ − ςγ )γ−1 Φ(ς)dς e j ( x )e j (ξ ).

j =1

0

Vì k ( x, ξ ) = k(ξ, x ), nên L là toán tử tự liên hợp. Tiếp theo ta chứng minh tính
compact của nó. Giả sử ta xác định L N như sau
T

N

L N F (x) =

∑

j =1

ςγ−1 exp − λ j ( T γ − ςγ )γ−1 Φ(ς)dς

F (·), e j (·) e j ( x ). (2.9)

0

Dễ dàng kiểm tra được rằng L N là một tốn tử bị chặn, hữu hạn chiều. Khi đó, từ
(2.8) và (2.9), ta có:

L N F − LF

2
L2 ( Ω )

T

∞

=

∑

ςγ−1 exp − λ j ( T γ − ςγ )γ−1 Φ(ς)dς

j = N +1

≤Φ

2

2

2

F (·), e j (·)

0

∞

T

∑

j = N +1

ςγ−1 exp − λ j ( T γ − ςγ )γ−1 dς

2

F (·), e j (·)

0

Vγ2

(2.10)
5

2

.


2.3 Tính khơng chỉnh của bài tốn tìm hàm nguồn
Xét tích phân
Tγ

ςγ−1 exp − λ j ( T γ − ςγ )γ−1 dς,

Vγ =

0

bằng cách đặt
1
Vγ =
γ

ςγ

= ω, và sử dụng phương pháp đổi biến, ta có

Tγ

exp − λ j ( T γ − ςγ )γ−1 dς ≤
0

1
1 − exp − λ j T γ γ−1
λj

≤

1
· (2.11)
λj

Kết hợp (2.10) và (2.11), ta có

L N F − LF

2
L2 ( Ω )

≤Φ

2

∞

1
2
j = N +1 λ j

∑

F (·), e j (·)

2

(2.12)

.

Nghĩa là

L N F − LF

L2 ( Ω )

≤

Φ
∥F ∥L2 (Ω) .
λN

Do đó, ∥L N − L∥L2 (Ω) → 0 trong L (L2 (Ω); L2 (Ω)) khi N → ∞. Vậy L là 1 toán tử
compact. Tiếp theo, các giá trị kỳ dị cho tốn tử tuyến tính compact tự liên hợp L là
T

ςγ−1 exp − λ j ( T γ − ςγ )γ−1 Φ(ς)dς,

Λj =

(2.13)

0

và trong không gian L2 (Ω), các vector riêng e j là một cơ sở trực chuẩn của nó. Từ
(2.8), bài tốn xác định hàm nguồn (1.1) có thể viết lại dưới dạng phương trình tốn
tử

LF ( x ) = ℓ( x ),

(2.14)

và theo Kirsch ([11]), ta kết luận bài tốn là khơng chỉnh. Bằng cách chọn
e (·)
ℓk (·) = √k ·
λk
Hàm nguồn tương ứng với nó là

F k (x) =

∞

∑

j =1

ℓk (·), e j (·) e j ( x )
T

ςγ−1 exp − λ j ( T γ − ςγ )γ−1 Φ(ς)dς

0

=

ek ( x )
T

√
λk

ςγ−1 exp

− λk

0

6

(Tγ

·
− ς γ ) γ −1

Φ(ς)dς


2.4 Điều kiện ổn định của hàm nguồn
Nếu dữ liệu cuối ℓ = 0 thì F = 0, ℓ và ℓk được ước lượng:

∥ℓk − ℓ∥L2 (Ω) =

ek (·)
√
λk

1
1
= √ , suy ra lim ∥ℓk − ℓ∥L2 (Ω) = lim √ = 0.
k→+∞
k→+∞
λk
λk
(2.15)

L2 ( Ω )

Đánh giá sai số giữa F k và F được thực hiện
k

F −F

L2 ( Ω )

L2 ( Ω )

0
T

√

−1

ς

Φ λk

Từ đó, ta nhận được

F −F

−1

ςγ−1 exp − λk ( T γ − ςγ )γ−1 Φ(ς)dς

1
√

≥

k

T

1
=√
λk

γ −1

exp − λk ( T − ς )γ
γ

γ

−1

=

dς

0

√

λk
· (2.16)

Φ

√

λk
≥
, suy ra
Φ

k

F −F

lim

k→+∞

L2 ( Ω )

> lim

k→+∞

λk
= +∞.
Φ
(2.17)

Kết hợp (2.15) và (2.17), ta kết luận bài toán xác định hàm nguồn là không chỉnh.

2.4

Điều kiện ổn định của hàm nguồn

Định lý 2.2. Giả sử M > 0, s > 0 và giả thiết rằng ∥F ∥H m (Ω) ≤ M, ta có
m

m +1
∥F ∥L2 (Ω) ≤ C (m, M)∥ℓ∥L
,
(Ω)

(2.18)

2

trong đó
γ −1

C (m, M) = |Φ| 1 − exp(−λ1 T γ

− mm+1

)

1

M m +1 .

(2.19)

Chứng minh. Sử dụng bất đẳng thức Holder,
từ õy, ngn gn ta ký hiu,
ă
T

1 exp j ( T γ − ςγ )γ−1 Φ(ς)dς,

S(λ j , γ, Φ) =
0

ta có

∥F ∥2L2 (Ω) =

∞

∑

j =1
∞

≤

∑

j =1
∞

≤

∑

j =1

ℓ(·), e j (·)
S(λ j , γ, Φ)

∞

2

=

∑

2

1
m +1

2m+2

F (·), e j (·)

2

S(λ j , γ, Φ)

2m

1
m +1

ℓ(·), e j (·)

∞

∑

ℓ(·), e j (·)

2

2m
m +1

2
m
m +1

j =1
2m

m +1
∥ℓ∥L
.
(Ω)
2

7

2
m +1

S(λ j , γ, Φ)

j =1

ℓ(·), e j (·)
S(λ j , γ, Φ)

ℓ(·), e j (·)

(2.20)


2.4 Điều kiện ổn định của hàm nguồn
Từ (2.20), ta có

S(λ j , γ, Φ)

2m

≥ |Φ|2m S(λ j , γ)

2m

≥ |Φ|2m |λ j |−2m 1 − exp − λ j T γ γ−1

2m

,

(2.21)

·

(2.22)

và bất đẳng thức trên dẫn tới

F (·), e j (·)

2

S(λ j , γ, Φ)

2m

∞

∑

j =1

≤

2

∞

λ2m
F (·), e j (·)
j

j =1

|Φ|2m 1 − exp(−λ1 T γ γ−1 )

∑

2m

Kết hợp (2.21) và (2.22), ta có

∥F ∥2L2 (Ω)

γ −1

≤ |Φ| 1 − exp(−λ1 T γ
2m
m +1

≤ [C (m, M)]2 ∥ℓ∥L

2 (Ω)

.

8

)

− m2m
+1

2

2m

m +1
m +1
∥F ∥H
m ( Ω ) ∥ℓ∥L ( Ω )
2

(2.23)


Chương 3
Phương pháp Fractional Tikhonov
Theo phân tích giá trị kỳ dị cho toán tử compact tự liên hợp K như trong (2.8). Nếu
dữ liệu đo của ℓ là ℓϵ với sai số ϵ thỏa∥ℓ − ℓϵ ∥L2 (Ω) ≤ ϵ thì ta có thể biểu diễn
nghiệm chỉnh hóa như sau:
∞

F βϵ(ϵ) ( x )

=

∑

j =1

S(λ j , γ, Φϵ )

2ξ

[ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φϵ )

∞

F β(ϵ) ( x ) =

2ξ −1

∑

j =1

S(λ j , γ, Φ)
β(ϵ)

2

2ξ −1

+ S(λ j , γ, Φ)

2ξ

1
≤ ξ ≤ 1,
2

ℓ ϵ ( x ), e j ( x ) e j ( x ),

ℓ(·), e j (·) e j ( x ),

1
≤ ξ ≤ 1,
2

(3.1)

(3.2)

và β(ϵ) là tham số chỉnh hóa.
Trường hợp 1: Nếu ξ = 21 thì phương pháp Fractional Tikhonov được gọi là phương
pháp Quasi-Boundary Value.
Trường hợp 2: Khi ξ = 1, nó là phương pháp Tikhonov cổ điển.

3.1

Chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm

Từ đây về sau, ước lượng cho F (·) − F βϵ(ϵ) (·)

L2 ( Ω )

được thiết lập bởi định lý sau

đây của chúng tôi và chỉ ra tốc độ hội tụ khi lựa chọn phù hợp cho tham số chỉnh
hóa. Để làm được điều này, ta cần bổ đề sau
Bổ đề 3.1. Với hằng số z ≥ λ1 và
G1 (z) =

1
2

≤ ξ ≤ 1, ta có
1
z
− 2ξ
≤
B
(
ξ,
A
)
β
.
A2ξ + βz2ξ

trong đó B(ξ, A) độc lập với β, z.
9

(3.3)

3.1 Chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm
1
< ξ < 1, từ (3.3), giải phương trình G1′ (z) = 0, ta có z0 =
2
−1 −1
A(2ξ − 1) 2ξ β 2ξ . Thay z0 vào phương trình (3.3), ta thấy rằng

Chứng minh. Với

G1 (z) ≤ G1 (z0 ) ≤ B(ξ, A) β

A1−2ξ (2ξ − 1)
trong đó B(ξ, A) =
2ξ

1
− 2ξ

Bổ đề 3.2. Giả sử hằng số z ≥ λ1 và 21 ≤ ξ ≤ 1, ta có

(2ξ )−1 (2ξ − m) 2ξ2ξ−m A−m m 2ξm β mξ ,
2
2ξ
−
m
β z
G2 (z) = 2ξ
≤
 A2ξ λm−2ξ −1 β2 ,

A + β2 z2ξ

1
− 2ξ

·

(3.4)

0 < m < 2ξ,
m ≥ 2ξ.
(3.5)

1

Chứng minh. Chứng minh bổ đề trên có trong [22].
Định lý 3.1. Giả sử F thỏa (2.20) và sai số quan sát thỏa điều kiện (1.6). Khi đó ta có ước
lượng sau:
ϵ
M

• Nếu 0 < m < 2ξ, bằng cách chọn β(ϵ) =

F (·) − F βϵ(ϵ) (·)
• Nếu m ≥ 2ξ, bằng cách chọn β(ϵ) =

F (·) − F βϵ(ϵ) (·)

ξ
m +2

thì
m

L2 ( Ω )

ξ
ξ +1

ϵ
M

(3.6)

có bậc hội tụ ϵ m+2 .

thì
ξ

(3.7)

có bậc hội tụ ϵ ξ +2 .

L2 ( Ω )

Chứng minh. Theo bất đẳng thức tam giác, ta có

F (·) − F βϵ(ϵ) (·)

L2 ( Ω )

≤ F β(ϵ) (·) − F βϵ(ϵ) (·)

L2 ( Ω )

+ F (·) − F β(ϵ) (·)

A1 :=Q1 +Q2

L2 ( Ω )

.

A2

(3.8)
trong đó
∞

Q1 =

∑

j =1
∞

Q2 =

∑

2ξ −1

[ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φϵ )
S(λ j , γ, Φϵ )

∑

j =1

2ξ

ℓϵ ( x ) − ℓ( x ), e j ( x ) e j ( x ),

2ξ −1

j=1 [ β ( ϵ )]2 + S( λ j , γ, Φϵ )
∞

A2 =

S(λ j , γ, Φϵ )

S(λ j , γ, Φ)

2ξ

−

β(ϵ)

2ξ −1

[ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φ)

2ξ

S(λ j , γ, Φ)

−

2

+ S(λ j , γ, Φ)

1
S(λ j , γ, Φ)
10

2ξ −1
2ξ

ℓ(·), e j (·) e j ( x ),

ℓ(·), e j (·) e j ( x ).

(3.9)


3.1 Chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm
Một cách tự nhiên ta có các bước sau.

Bước 1: Ta nhận được ước lượng cho ∥Q1 ∥L2 (Ω) , bởi vì ước lượng (2.11),và
T

D(λ j , T, γ)Φϵ (ς)dς ≥
0

Φ 1 − exp(−λ1 T γ γ−1 )
.
4
λj

Từ đây, để ngắn gọn ta ký hiệu
Φ
1 − exp − λ1 T γ γ−1
4

= A(Φ, λ1 , T, γ).

Từ (3.1), ta có
B(|Φ|,|Φ|)
λj

∞

∥Q1 ∥L2 (Ω) ≤

∑

A(Φ, λ1 , T, γ)
j =1

[ β(ϵ)]2 +
λj
∞

≤

2ξ −1

B(|Φ|, |Φ|)

∑

2ξ
j=1 [ β ( ϵ )]2 λ j

2ξ −1

2ξ

λj

+ A(Φ, λ1 , T, γ)
2ξ −1

≤ ϵ B(|Φ|, |Φ|)

ℓϵ (·) − ℓ(·), e j (·) e j ( x )

2ξ

ℓϵ (·) − ℓ(·), e j (·) e j ( x )

2ξ
sup λ j [ β(ϵ)]2 λ j
j ∈N

+ A(Φ, λ1 , T, γ)

2ξ

−1

. (3.10)

Áp dụng bổ đề 3.1, ta được
1

∥Q1 ∥L2 (Ω) ≤ ϵ [ β(ϵ)]− ξ

B(|Φ|, |Φ|)

2ξ −1

B ξ, A(Φ, λ1 , T, γ)

.

(3.11)

Bước 2: Tiếp theo, Q2 được ước lượng

L1
∞

Q2 =

∑

j =1

[ β(ϵ)]2 S(λ j , γ, Φϵ − Φ)
[ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φϵ )

2ξ

2ξ −1

[ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φ)

ℓ(·), e j (·) e j ( x )

2ξ

L2
∞

+∑

j =1

S(λ j , γ, Φϵ )

2ξ

S(λ j , γ, Φ)

2ξ

[ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φϵ )

S(λ j , γ, Φϵ )
2ξ

−1

− S(λ j , γ, Φ)

[ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φ)

2ξ

−1

ℓ(·), e j (·) e j ( x ) .
(3.12)

11


3.1 Chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm
Từ (3.12), ta có ước lượng cho L1

∞

∥L1 ∥L2 (Ω) ≤

≤

≤

L2 ( Ω )

và L2

L2 ( Ω )

[ β(ϵ)]2 S(λ j , γ, Φϵ − Φ)

∑

j =1

[ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φϵ )
2ξ −1
∞
L∞ (0,T )
2ξ −1
j =1

Φϵ − Φ
Φ

∑

2ξ

2ξ −1

S(λ j , γ, Φ)

2ξ −1

ℓ(·), e j (·) e j ( x )
S(λ j , γ, Φ)

ℓ(·), e j (·) e j ( x )
S(λ j , γ, Φ)

2ξ −1
L∞ (0,T )
∥F ∥L2 (Ω) .
2ξ −1

Φϵ − Φ
Φ

(3.13)

Và
∞

∥L2 ∥L2 (Ω) ≤

∑

S(λ j , γ, Φϵ )

2ξ −1

S(λ j , γ, Φϵ − Φ) ℓ(·), e j (·) e j ( x )
2ξ
S(λ j , γ, Φ)
[ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φϵ )

j =1
∞

S(λ j , γ, Φϵ − Φ) ℓ(·), e j (·) e j ( x )
≤∑
S(λ j , γ, Φϵ )
S(λ j , γ, Φ)
j =1
≤
≤

4∥Φϵ − Φ∥L∞ (0,T )
Φ
4∥ Φ ϵ

∞

∑

j =1

ℓ(·), e j (·) e j ( x )
S(λ j , γ, Φ)

− Φ∥L∞ (0,T )
∥F ∥L2 (Ω) .
Φ

(3.14)

Kết hợp (3.12) với (3.14), ta có

∥Q2 ∥L2 (Ω) ≤

2ξ −1
L∞ (0,T )
∥F ∥L2 (Ω)
2ξ −1

Φϵ − Φ
Φ

≤ 2∥Φϵ − Φ∥L∞ (0,T ) max

12

+

4∥Φϵ − Φ∥L∞ (0,T )
Φ

∥F ∥L2 (Ω)

1
4
,
∥F ∥L2 (Ω) .
2ξ
−
1
Φ
|Φ|

(3.15)


3.1 Chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm
Bước 3: Tiếp theo, ta cần ước lượng ∥A2 ∥L2 (Ω) ,
2
A2 L ( Ω ) ≤
2

∞

2ξ −1

S(λ j , γ, Φ)

∑

[ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φ)

j =1
∞

≤

∑

S(λ j , γ, Φ)

∞

2

[ β(ϵ)]2

+ S(λ j , γ, Φ)

[ β(ϵ)]4

∑

2ξ

2m
[ β(ϵ)]4 λ−
j

∞

∑

≤ sup G2 (λ j )

2

j ∈N

∞

∑

2

F

j ∈N

2ξ

S(λ j , γ, Φ)

2

,

2

S(λ j , γ, Φ)

λ2m
ℓ(·), e j (·)
j

j =1

= sup G2 (λ j )

S(λ j , γ, Φ)

2

2

λ2m
ℓ(·), e j (·)
j

[ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φ)

j =1

ℓ(·), e j (·)

2ξ

ℓ(·), e j (·)

[ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φ)

j =1

≤

ℓ(·), e j (·)

[ β(ϵ)]2

j =1

≤

2ξ

2

1
−
S(λ j , γ, Φ)

2

2

2

2

2
.
H m (Ω)

(3.16)

Vì vậy, G2 (λ j ) được ước lượng
G2 (λ j ) =

m
[ β(ϵ)]2 λ−
j

[ β(ϵ)]2 + S(λ j , γ, Φ)

2ξ

≤

−m
[ β(ϵ)]2 λ2ξ
j

[ β(ϵ)]2 λ2ξ
j + A ( Φ, λ1 , T, γ )

2ξ

·

(3.17)

Theo bổ đề 3.2, thay A bởi A(Φ, λ1 , T, γ), G2 (λ j ) thỏa ràng buộc sau

(2ξ )−1 (2ξ − m) 2ξ2ξ−m A−m m 2ξm [ β(ϵ)] mξ ,
0 < m < 2ξ,
G2 (λ j ) ≤
 A2ξ λm−2ξ −1 [ β(ϵ)]2 ,
m ≥ 2ξ.

(3.18)

1

Kết hợp (3.16) và (3.18), ta kết luận

(2ξ )−1 (2ξ − m) 2ξ2ξ−m A−m m 2ξm M[ β(ϵ)] mξ ,
∥A2 ∥L2 (Ω) ≤
 A2ξ λm−2ξ −1 M[ β(ϵ)]2 ,

0 < m < 2ξ,

1

(3.19)

m ≥ 2ξ.

Tiếp theo, kết hợp 3 bước trên, ta có

F (·) − F βϵ(ϵ) (·)

1

L2 ( Ω )

≤ ϵ [ β(ϵ)]− ξ

B(|Φ|, |Φ|)

2ξ −1

B ξ, A(Φ, λ1 , T, γ)

1
4
+ 2∥Φϵ − Φ∥L∞ (0,T ) max
∥F ∥L2 (Ω)
,
2ξ
−
1
Φ
|Φ|

(2ξ )−1 (2ξ − m) 2ξ2ξ−m | A(Φ, λ , T, γ)|−m m 2ξm M[ β(ϵ)] mξ ,
1
+
 | A(Φ, λ , T, γ)|2ξ λm−2ξ −1 M[ β(ϵ)]2 ,

1

1

13

0 < m < 2ξ,
m ≥ 2ξ.
(3.20)


3.2 Chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm
Chọn tham số chỉnh hóa β(ϵ) như sau:


ϵ



 M
β(ϵ) =


ϵ



M

ξ

m +2

0 < m < 2ξ,

,

(3.21)

ξ
ξ +1

m ≥ 2ξ.

,

Từ việc lựa chọn β như công thức (3.21), ta nhận được
Trường hợp 1: Nếu 0 < m ≤ 2ξ thì

F (·) − F βϵ(ϵ) (·)

m

L2 ( Ω )

2

+ 2ϵ m+2 max

1

1

B(|Φ|, |Φ|)

≤ ϵ m +2 ϵ m +2 M m +2

2ξ −1

B ξ, A(Φ, λ1 , T, γ)

4
1
∥F ∥L2 (Ω)
,
2ξ
−
1
Φ
|Φ|

m +1

+ M m+2 (2ξ )−1 (2ξ − m)

2ξ −m
2ξ

m

| A(Φ, λ1 , T, γ)|−m m 2ξ

.

(3.22)

Trường hợp 2: Nếu m > 2ξ thì

F (·) − F βϵ(ϵ) (·)

1

ξ

L2 ( Ω )

≤ ϵ ξ +1 M ξ +1
1

+ 2ϵ ξ +1 max

B(|Φ|, |Φ|)

B ξ, A(Φ, λ1 , T, γ)

1
4
∥F ∥L2 (Ω)
,
|Φ|2ξ −1 Φ

+ | A(Φ, λ1 , T, γ)|2ξ

3.2

2ξ −1

−1

ξ

1− ξ

ϵ ξ +1 M ξ +1 .

(3.23)

Chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm

Trong mục này, chúng tơi nghiên cứu cách chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm theo
quy tắc của Morozov (bạn đọc có thể xem trong [7]).

S(λ j , γ, Φ)
β2
trong đó

2ξ

+ S(λ j , γ, Φ)

2ξ

ℓϵ (·) − ℓϵ (·)

= δϵ,
L2 ( Ω )

1
≤ ξ ≤ 1, δ > 1.
2

14

(3.24)


3.2 Chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm
Bổ đề 3.3. Giả sử λ j > λ1 > 0 và

1
≤ ξ < 1, G3 (λ j ) được xác định bởi
2

2ξ −(m+1)

G3 (λ j ) =

Φβ2 λ j

m +1

2ξ

β2 λ j + 4A(Φ, λ1 , T, γ)

m +1
m +1
Φ(2ξ − m − 1)
m+1
2ξ


β ξ , 0 < m < 2ξ − 1,
(3.25)
≤ 2ξ |4A(Φ, λ1 , T, γ)|m+1 2ξ − m − 1


−
1
(
m
+
1
)−
2ξ
Φ |4A(Φ, λ1 , T, γ)|2ξ λ1
β2 ,
m ≥ 2ξ − 1.

Chứng minh. Chứng minh bổ đề trên có trong [22].
Bổ đề 3.4. Giả thiết rằng

∞

β2

∑

K( β) =

2

β2 + S(λ j , γ, Φ)

j =1

ϵ

ℓ (·), e j (·)

2ξ

2

1
2

(3.26)

.

Nếu 0 < δϵ < ∥ℓϵ ∥L2 (Ω) , thì ta có các kết quả sau:

(a) K( β) là hàm liên tục;
(b) K( β) → 0 khi β → 0;
(c) K( β) → ∥ℓϵ ∥L2 (Ω) khi β → ∞;
(d) K( β) là hàm tăng chặt.
Bổ đề 3.5. Giả sử β là nghiệm của (3.24), ta có kết quả sau

1
1
2ξ

1
Φ
(
2ξ
−
m
−
1
)
m
+
1
m
+
1

1 2( m +1)




2

2ξ − m − 1
ξ |4A(Φ, λ1 , T, γ)|m+1



1

1
( δ 2 − 2 ) 2( m +1)
≤
1

1
 1
1
βξ

(m+1)−2ξ − 2ξ

4ξ ( Φ ) 2ξ |4A ( Φ, λ , T, γ )|2ξ λ

8
1

1
M 2ξ1



,

1

ϵ
(δ2 − 2) 4ξ

M
ϵ

1
m +1

, 0 < m < 2ξ − 1,

m ≥ 2ξ − 1.
(3.27)

Chứng minh. Bước 1: Ta có
∞

δ2 ϵ2 ≤ 2 ∑

2

β2

j =1

β2 + S(λ j , γ, Φ)

∞

m
β2 λ −
S(λ j , γ, Φ)
j

+2∑

j =1

β2 + S(λ j , γ, Φ)
∞

≤ 2ϵ + 2 ∑ H j
2

j =1

2m
2 λj

ℓϵ (·) − ℓ(·), ei (·)

2ξ
2

λ2m
ℓ(·), ei (·)

j

S(λ j , γ, Φ)

2ξ

ℓ(·), e j (·)

S(λ j , γ, Φ)
15

2

2

2

·

(3.28)


3.2 Chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm
Từ các bất đẳng thức trên, ta có thể thấy rằng

Hj =

2ξ −(m+1)

β2 S(λ j , γ, Φ)

β2

+ S(λ j , γ, Φ)

2ξ

λm
j

≤

Φβ2 λ j
2ξ
β2 λ j

+ 4A(Φ, λ1 , T, γ)

2ξ

·

(3.29)

Từ (3.29), sử dụng bổ đề 3.3, ta có

m +1
m +1
Φ(2ξ − m − 1)
m+1
2ξ



β ξ , 0 < m < 2ξ − 1,
H j ≤ 2ξ |4A(Φ, λ1 , T, γ)|m+1 2ξ − m − 1


(m+1)−2ξ −1 2
β ,
m ≥ 2ξ − 1.
Φ |4A(Φ, λ1 , T, γ)|2ξ λ1

(3.30)

Vì (3.30), nên ta có

2
m +1

m +1
Φ
(
2ξ
−
m
−
1
)
m+1

ξ

2 2 ξ


, 0 < m < 2ξ − 1,
M
β
2ξ − m − 1
2ξ |4A(Φ, λ1 , T, γ)|m+1
δ2 ϵ2 ≤ 2ϵ2 + 2



 2Φ 2 |4A(Φ, λ , T, γ)|2ξ λ(m+1)−2ξ −2 M2 β4 ,
m ≥ 2ξ − 1.
1
1
(3.31)
Từ (3.31), ta dễ dàng thấy rằng

2
m +1

m +1
Φ
(
2ξ
−
m
−
1

)
m+1

ξ
2 2 ξ


M
β
, 0 < m < 2ξ − 1,
2ξ − m − 1
2ξ |4A(Φ, λ1 , T, γ)|m+1
δ2 − 2 ϵ2 ≤ 2



 2Φ 2 |4A(Φ, λ , T, γ)|2ξ λ(m+1)−2ξ −2 M2 β4 ,
m ≥ 2ξ − 1.
1
1
(3.32)
Vì vậy,

1
1

1 2(m1+1)
Φ(2ξ − m − 1)
m +1


m +1
2ξ

(
)

2ξ −m−1

2

ξ |4A(Φ, λ1 , T, γ)|m+1



1

2 − 2 ) 2( m +1)
1
(
δ
≤
1
1

1
1

βξ
(m+1)−2ξ − 2ξ


4ξ ( Φ ) 2ξ |4A ( Φ, λ , T, γ )|2ξ λ

8

1
1
M




1

ϵ
(δ2 − 2) 4ξ

1
m +1

M
ϵ
1
2ξ

, 0 < m < 2ξ − 1,

m ≥ 2ξ − 1.

,

(3.33)
Ước lượng của F (·) − F βϵ(ϵ) (·)

L2 ( Ω )

được thiết lập bởi định lý sau.

Định lý 3.2. Giả sử điều kiện ổn định của hàm nguồn, giả định về sai số dữ liệu đầu vào
(1.6) thỏa và tồn tại δ > 1 sao cho 0 < δϵ < ∥ℓϵ ∥L2 (Ω) . Ta thu được các đánh giá sau
• Nếu 0 < m < 2ξ − 1, thì

F (·) − F βϵ(ϵ) (·)

m

L2 ( Ω )

16

có bậc hội tụ ϵ m+1 .

(3.34)