KHBD TOÁN 10 CTST hệ bất PHƯƠNG TRÌNH bậc NHẤT HAI ẩn

Trường: Tổ: Toán – Tin

Họ và tên giáo viên:
NGUYỄN THỤC QUYÊN

Chủ đề/bài học: HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Mơn: Tốn. Lớp: 10
Thời lượng: 02 tiết
I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức:
−
−

Khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Miền nghiệm của bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

2. Về năng lực:
Năng lực chung:
Năng lực tự chủ và tự học: Chủ động, tích cực thực hiện các hoạt động, nhiệm vụ được giao. Nhận ra và
tự điều chỉnh được những sai sót, hạn chế của bản thân trong lúc thực hiện nhiệm vụ khi được giáo viên và bạn
bè góp ý
Năng lực Tốn học: Năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mơ hình hố tốn học; năng lực sử
dụng cơng cụ, phương tiện học toán
Biểu hiện cụ thể:
−

Nhận biết được hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

−

Nhận biết được nhiệm và tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

−

Biểu diễn được miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ.

−

Nhận biết ý nghĩa của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn thơng qua các ví dụ thực tiễn.

−

Vận dụng được kiến thức về bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào giải quyết
bài tốn thực tiễn.

−

Giải được bài tốn thực tế đưa về tìm cực trị của biểu thức

F = ax + by

trên một miền đa giác.

3. Về phẩm chất:
Trách nhiệm: Có ý thức xây dựng và thực hiện nhiệm vụ học tập được giao. Tích cực tham gia các hoạt
động nhóm.
II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
1. Chuẩn bị của giáo viên
- Giấy A5, bảng phụ, bảng nhóm, phiếu học tập
- File trình chiếu
- Thước kẻ

2. Chuẩn bị của học sinh
- Đồ dùng học tập: bút, vở, thước kẻ, máy tính
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC


Hoạt động 1. Mở đầu (15 phút)
Mục tiêu: Xác định được vấn đề cần giải quyết (cần phải có kiến thức mới để nhận biết số đo của một góc
nhọn trong tam giác vuông mà không cần dùng thước đo góc)
Tổ chức thực hiện
Giao nhiệm vụ học tập
GV yêu cầu HS thực hiện nhiệm vụ:
d : y = −x − 2
d ' : y = x +1
Hai đường thẳng
và
chia
mặt phẳng toạ độ thành bốn miền khác nhau (khơng
d
d'
tính hai đường thẳng
và
như hình bên. Để kí
hiệu một trong bốn miền đó, người ta đã tạo nhãn:
y < −x − 2

y < x +1

Nội dung

y < x +1

y < −x − 2

Hãy đặt nhãn này vào miền phù hợp?

Thực hiện nhiệm vụ
HS thực hiện nhiệm vụ được giao. GV quan sát, hỗ trợ
HS (cách dùng cơng cụ học tốn) khi cần thiết.
Báo cáo, thảo luận
GV cho 03 HS (2 sai; 1 đúng) báo cáo và trình bày kết
quả cá nhân.
Kết luận, nhận định
GV nhận xét, kết luận kết quả như Sản phẩm.

- Phương pháp đánh giá: vấn đáp, hoạt động nhóm
- Cơng cụ đánh giá: câu hỏi
Sản phẩm:
-

Hình vẽ của học sinh, xác định đúng yêu cầu đưa ra
Hoạt động 2. Hình thành khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (15 phút)

Mục tiêu: Học sinh có cơ hội trải nghiệm, thảo luận về tình huống phát sinh hệ bất phương trình bậc nhất hai


ẩn
Tổ chức thực hiện
Giao nhiệm vụ học tập
GV trình chiếu hoạt động khám phá và yêu cầu
học sinh thực hiện theo u cầu bài tốn

Nhiệm vụ 1: Một người nơng dân dự định quy
hoạch x sào đất trồng cà tím và y sào đất trồng
cà chua. Biết rằng người đó chỉ có tối đa 9 triệu
đồng để mua hạt giống và giá tiền hạt giống cho
mỗi sào đất trồng cà tím là 200 000 đồng, mỗi
sào đất trồng cà chua là 100 000 đồng.
a) Viết các bất phương trình mơ tả các điều kiện
ràng buộc đối với x, y.
b) Cặp số nào sau đây thoả mãn đồng thời tất cả
các bất phương trình nêu trên?
(20; 40), (40; 20), (-30; 10).
Nhiệm vụ 2: Tìm hệ bất phương trình bậc nhất
hai ẩn trong các hệ sau
3 x + y − 1 ≤ 0
a) 
2 x − y + 2 ≥ 0
5 x + y − 9 = 0
b) 
4 x − 7 y + 3 = 0
 y −1 < 0
c) 
x + 2 ≥ 0
x + y − 3 ≤ 0
 −2 x + y + 3 ≥ 0

d)
x ≥ 0
 y ≥ 0
Thực hiện nhiệm vụ
HS thực hiện 02 nhiệm vụ được giao trong Nội

dung.
GV quan sát, hỗ trợ HS khi cần thiết.
Báo cáo, thảo luận
Mỗi nhóm treo bảng nhóm và trình bày kết quả
của nhóm.
Nếu lớp giỏi: GV cho HS tự đưa ví dụ mơ tả
Kết luận, nhận định

Nội dung
Nhiệm vụ 1.
a) Viết các bất phương trình mơ tả các điều kiện ràng

buộc đối với x, y.

0, 2 x + 0,1y − 9 ≤ 0

x ≥ 0
y ≥ 0

b) (20; 40)

Nhiệm vụ 2.
HS thực hiện yêu cầu bài toán đặt ra
Các hệ a), c), d) là các hệ bất phương trình bậc nhất hai
ẩn.
Hệ b) khơng phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì
hệ này chỉ gồm các phương trình.
I. Định nghĩa
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay
nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y. Mỗi nghiệm

chung của tất cả các bất phương trình đó được gọi là một
nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp các điểm (x 0, y0) có
toạ độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
được gọi là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.


- GV nhận xét, đưa ra kết luận bên.
- GV hướng dẫn các nhóm sử dụng Bảng kiểm để
đánh giá Phiếu học tập của các nhóm khác.

- GV rút ra định nghĩa hệ bất phương trình bậc
nhất hai ẩn trên bảng như Nội dung bên

- Phương pháp đánh giá: đánh giá qua hồ sơ học tập
- Công cụ đánh giá: dùng Bảng kiểm đánh giá Phiếu học tập của các nhóm.
Sản phẩm:
-

Nội dung trình bày trong tập của HS

-

Phiếu học tập của học sinh

Hoạt động 3. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ( 25 ph)
Mục tiêu: Giúp HS nhận biết các tìm điểm thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình từ đó hình thành cách
biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Tổ chức thực hiện
Giao nhiệm vụ

Nhiệm vụ 1

Nội dung
Nhiệm vụ 1:
HS thực hiện nhiệm vụ : Miền không gạch chéo trong Hình 1
là miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

GV trình chiếu nhiệm vụ
Cho hệ bất phương trình:
x + y − 3 ≤ 0

 −2 x + y + 3 ≥ 0
Miền nào trong Hình 1 biểu diễn phần giao
các miền nghiệm của hai bất phương trình
trong hệ đã cho?

Cách biểu diễn miền nghiệm
Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất
hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ Oxy, ta thực hiện như sau:
− Trên cùng mặt phẳng toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của
mỗi bất phương trình của hệ.
− Phần giao của các miền nghiệm là miền nghiệm của hệ
bất phương trình.
Nhiệm vụ 2
HS thực hiện nhiệm vụ 2 theo hướng dẫn
Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi phương trình trên mặt


phẳng Oxy.
Miền khơng gạch chéo (kể cả bờ) trong Hình 2 là phần giao

của hai miền nghiệm của hai bất phương trình và cũng là
phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
- Sau khi thực hiện nhiệm vụ 1, GV hướng

dẫn HS thực hiện nhiệm vụ 2 theo nhóm
Nhiệm vụ 2:
Biểu diễn miền nghiệm của hệ:
2 x − y − 3 ≤ 0

2 x − y + 2 ≤ 0
Thực hiện nhiệm vụ
HS thực hiện lần lượt nhiệm vụ theo sự
hướng dẫn của GV. GV quan sát và hỗ trợ
HS (nếu có).
Báo cáo, thảo luận
GV chọn 2 HS (1 HS có bài làm chưa chính
xác, 1 HS có bài làm chính xác) lên thuyết
trình bài làm cá nhân. Các HS cịn lại quan
sát phần trình bày của bạn và đặt câu hỏi
thắc mắc sau phần trình bày của bạn mình.
Kết luận, nhận định
- GV nhận xét và kết luận.
- GV hướng dẫn các nhóm sử dụng Bảng
kiểm để đánh giá Phiếu học tập của các
nhóm khác.
- GV rút ra các biểu diễn miền nghiệm của
hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn như nội
dung bên

- Phương pháp đánh giá: quan sát, vấn đáp, đánh giá qua sản phẩm học tập

- Công cụ đánh giá: Bảng kiểm, sản phẩm học tập
Sản phẩm:
-

Kết quả của HS thông qua các nhiệm vụ GV giao.

-

Phiếu học tập của học sinh

-

Bài thuyết trình của học sinh

Hoạt động 4. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức

F = ax + by

trên một miền đa giác


(15ph)
Mục tiêu:
Giúp HS có cơ hội trải nghiệm, thảo luận để giải quyết vấn đề thực tiễn có thể đưa về bài tốn tìm cực trị của
F = ax + by
biểu thức
trên một miền đa giác.
Tổ chức thực hiện

Nội dung

GV hướng dẫn HS từng bước
Giao nhiệm vụ
x; y
Điều
kiện
cho
?
- GV chiếu slide : Bác Năm dự định trồng
- Diện tích ràng buộc?
ngơ và đậu xanh trên một mảnh đất có
x; y
diện tích 8 ha. Nếu trồng 1 ha ngơ thì cần - Điều kiện cho số ngày công liên quan
?
20 ngày cơng và thu được 40 triệu đồng. - Từ đó ta có hệ như thế nào?
Nếu trồng 1 ha đậu xanh thì cần 30 ngày
Oxy
cơng và thu được 50 triệu đồng. Bác Năm - Biểu diễm trên hệ trục tọa độ
cần trồng bao nhiêu hecta cho mỗi loại - Xác định các đỉnh, biểu thức liên quan để số tiền lớn nhất?
cây để thu được nhiều tiền nhất? Biết HS thực hiện theo nhóm yêu cầu của GV
rằng, bác Năm chỉ có thể sử dụng khơng Giải :
x; y
q 180 ngày công cho việc trồng ngô và
Gọi
lần lượt là số hecta đất trồng ngô và số hecta đất
đậu xanh.
trồng đậu xanh.
x; y
Thực hiện nhiệm vụ.
Ta có các điều kiện ràng buộc đối với
như sau:

- HS thực hiện nhiệm vụ
x ≥ 0; y ≥ 0
− Hiển nhiên
.
- GV quan sát và hỗ trợ các nhóm.
x+ y ≤8
8
−
Diện
tích
canh
tác
khơng
vượt
q
ha
nên
Báo cáo, thảo luận.
180
− Số ngày công sử dụng không vượt quá
nên
- Sau mỗi nhiệm vụ, GV mời đại diện một
nhóm trình bày kết quả, các nhóm khác
20 x + 30 y ≤ 180
.
nhận xét và góp ý, tập trung vào các nội
dung: hình vẽ có minh họa đúng tình
huống thực tế, các yếu tố hình học có mơ Từ đó, ta có hệ bất phương trình mơ tả các điều kiện ràng
buộc:
tả đúng đối tượng trong yêu cầu bài toán

đặt ra, phương án giải quyết có hợp lý
x + y ≤ 8
chưa, có thể đưa ra giải pháp tốt hơn,
 20 x + 30 y ≤ 180

nhận định của nhóm trình bày đã chính

xác chưa.
x ≥ 0
 y ≥ 0
Kết luận, nhận định.
- Sau mỗi nhiệm vụ, GV nhận xét về kết Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất
quả, quá trình thảo luận và thuyết trình phương trình này trên hệ trục toạ độ
OABC
của HS. Cho điểm cộng cá nhân và điểm Oxy
,
ta
được
miền
tứ
giác
nhóm HS.
(Hình 4).
- Các nhóm HS cịn lại trao đổi Bảng
Toạ độ các đỉnh của tứ giác đó là:
nhóm, đánh giá bài làm của nhau dựa vào O ( 0; 0 ) ; A ( 0; 6 ) ; B ( 6; 2 ) ; C ( 8; 0 )
các tiêu chí mà GV hướng dẫn trên bảng.
Gọi F là số tiền (đơn vị: triệu đồng) bác
- Từ đó đưa ra nhận xét như nội dung bên

F = 40 x + 50 y

Năm thu được, ta có:
.
x; y
Ta phải tìm
thoả mãn hệ bất phương trình sao cho F đạt
giá trị lớn nhất, nghĩa là tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
F = 40 x + 50 y
OABC
trên miền tứ giác
.
Tính các giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của đa giác, ta có:
Tại O(0; 0): F = 40.0 +50.0 = 0;
Tại A(0; 6): F = 40.0 + 50.6 = 300;
Tại B(6; 2): F = 40.6 + 50.2 = 340;
Tại C(8; 0): F = 40.8 + 50.0 = 320.
F đạt giá trị lớn nhất bằng 340 tại B(6; 2).
Vậy để thu được nhiều tiền nhất, bác Năm cần trồng 6 ha ngô
và 2 ha đậu xanh.
Nhận xét
Hệ bất phương trình giúp ta mơ tả được nhiều bài tốn thực
tế để tìm ra cách giải quyết tối ưu. Chúng thường được đưa
về bài tốn tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất
(GTNN) của biểu thức F = ax + by trên một miền đa giác.
Người ta chứng minh được F đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ
nhất tại một trong các đỉnh của đa giác.

- Phương pháp đánh giá: vấn đáp, đánh giá qua sản phẩm học tập

- Công cụ đánh giá: Câu hỏi, sản phẩm học tập
Sản phẩm:
-

Kết quả tính tốn của HS

-

Phần trình bày trên bảng nhóm

-

Bài thuyết trình của học sinh
Hoạt động 5. Luyện tập và củng cố (15ph)

Mục tiêu:
- Cũng cố lại khái niệm và các biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên hệ trục
Oxy
tọa độ
.
- Tính được các bài tốn thực tế để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Tổ chức thực hiện
Giao nhiệm vụ
GV phát phiếu học tập cho HS và yêu cầu
thực hiện bài tập 1 và 2 như Nội dung.
Thực hiện nhiệm vụ.
HS thực hiện 02 bài tập trên Phiếu học
tập như trong Nội dung (thời lượng 8

Nội dung

Bài tập 1. Biểu diễn miền nghiệm của
hệ bất phương trình:
Giải
Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi
bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.
Miền không gạch chéo (miền tứ giác
OABC, bao gồm cả các cạnh) trong


phút). GV quan sát và hỗ trợ HS (nếu có).
Báo cáo, thảo luận.
GV chọn 2 HS (1 HS có bài làm chưa
chính xác, 1 HS có bài làm chính xác) lên
thuyết trình bài làm cá nhân. Các HS cịn
lại quan sát phần trình bày của bạn và đặt
câu hỏi thắc mắc sau phần trình bày của
bạn mình.

Hình 3 là phần giao của các miền nghiệm và cũng
là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương
trình đã cho.
Chú ý: Miền mặt phẳng toạ độ bao gồm một đa
giác lồi và phần nằm bên trong đa giác đó được
gọi là một miền đa giác. Chẳng hạn, ta có miền
nghiệm của hệ bất phương trình trong Ví dụ 3 là
miền tứ giác OABC.

Bài tập 2.
Một
người dùng ba loại nguyên liệu A, B, C để

Kết luận, nhận định.
sản xuất ra hai loại sản phẩm P và Q. Để sản xuất
GV nhận xét và kết luận. Sau đó, hướng
1 kg mỗi loại sản phẩm P hoặc Q phải dùng một
dẫn HS đánh giá bài làm của bạn ngồi
số kilôgam nguyên liệu khác nhau. Tổng số
chung bàn thông qua Bảng kiểm.
kilôgam nguyên liệu mỗi loại mà người đó có và
số kilơgam từng loại ngun liệu cần thiết để sản
GV cho HS đổi chéo phiếu học tập cho
xuất ra 1 kg sản phẩm mỗi loại được cho trong
nhau để chấm và nhận xét.
bảng sau:
Số kilôgam từng loại ngun liệu cần để sản
Số kilơgam ngun liệu đang
có
P
10
2
4

0

12

2

Biết 1 kg sản phẩm P có lợi nhuận 3 triệu đồng và
1 kg sản phẩm Q có lợi nhuận 5 triệu đồng. Hãy
lập phương án sản xuất hai loại sản phẩm trên sao

cho có lãi cao nhất.
Giải
Gọi x là số kilôgam
sản phẩm P, y là số
kilôgam sản phẩm
Q cần sản xuất. Ta
có hệ bất phương
trình:
Biểu diễn miền
nghiệm của hệ bất
phương trình trên
hệ trục toạ độ Oxy,
ta được như Hình 5.
Miền nghiệm là
miền ngũ giác OCBAD (Hình 5) với các đỉnh:
O(0; 0); C(0; 2); B(2; 2); A(4; 1); D(5; 0).
Gọi F là số tiền lãi (đơn vị: triệu đồng) thu được,


ta có: F = 3x + 5y.
Tính giá trị của F tại các đỉnh của ngũ giác:
Tại O(0; 0): F = 3.0 + 5.0 = 0;
Tại C(0; 2): F = 3.0 + 5.2 = 10;
Tại B(2; 2): F = 3.2 + 5.2 = 16;
Tại A(4, 1): F = 3.4 + 5.1 = 17;
Tại D(5; 0): F = 3.5 + 5.0 = 15.
F đạt giá trị lớn nhất bằng 17 tại A(4; 1).
Vậy người đó cần sản xuất 4 kg sản phẩm P và 1
kg sản phẩm Q để có lãi cao nhất là 17 triệu đồng.
- Phương pháp đánh giá: quan sát, vấn đáp, đánh giá qua sản phẩm học tập

- Công cụ đánh giá: Bảng kiểm, sản phẩm học tập
Sản phẩm:
-

Kết quả tính tốn của HS

-

Phiếu học tập của học sinh

-

Bài thuyết trình của học sinh

Hướng dẫn, giao nhiệm vụ tự học ở nhà (5ph).
Nội dung:
-

HS thực hiện tiếp các phần chưa thực hiện kịp ở lớp.
GV dặn dò ôn tập khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và giao một số bài tập về nhà.