SKKN vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bài toán kinh tế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT XUÂN HÒA

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến:
VẬN DỤNG HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN KINH TẾ

Tác giả sáng kiến : NGUYỄN THU THÙY
Mã sáng kiến

: 37.52.04

VĨNH PHÚC, 2020

1


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG CỦA SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Mục tiêu của giáo dục hiện nay là đào tạo ra một nguồn nhân lực có trình
độ cao để phục vụ đất nước nên các kiến thức học của học sinh ở nhà trường cần
được gắn liền với thực tế cuộc sống. Chính vì vậy, Bộ Giáo Dục và Đào tạo
đang tiến hành lộ trình đổi mới đồng bộ phương pháp dạy học và kiểm tra đánh
giá ở các trường phổ thông theo định hướng phát triển năng lực của học sinh
trên tinh thần Nghị quyết 29 – NQ/TƯ về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và
đào tạo. Dạy học theo đinh hướng phát triển năng lực học sinh, đòi hỏi phải tăng
cường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức vào giải quyết các vấn đề thực tiễn.

Trong thực tiễn dạy học ở trường THPT nhìn chung mới chỉ tập trung rèn
luyện cho học sinh vận dụng kiến thức toán học ở trong nội bộ môn toán là chủ
yếu còn việc vận dụng kiến thức toán học vào đời sống thực tiễn chưa được chú
ý đúng mức và thường xuyên. Những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với
đời sống lao động sản xuất được trình bày một cách hạn chế trong chương trình
toán phổ thông.
Nhằm giúp học sinh biết vận dụng kiến thức đã học để giải quyết trực
tiếp một số vấn đề trong cuộc sống và tăng cường thực hành gắn với thực tiễn
làm cho toán học không trừu tượng khô khan và nhàm chán, tôi chọn đề tài : “
Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bài toán kinh tế ” cho
học sinh lớp 10 Trường THPT Xuân Hòa.
Với đề tài này tôi hy vọng phần nào giúp cho học sinh thấy toán học có rất
nhiều ứng dụng trong cuộc sống xung quanh ta, cũng như các môn khác để từ đó
học sinh lĩnh hội, khắc sâu tri thức một cách dễ dàng hơn.
2. Tên sáng kiến: Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bài
toán kinh tế.

2


3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Nguyễn Thu Thùy
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Xuân Hòa.
- Số điện thoại: 0976442776
- Email:
4. Chủ đầu tư tao ra sáng kiến: Nguyễn Thu Thùy.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Đề tài: “ Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bài toán kinh tế
” Trang bị cho học sinh kiến thức, kỹ năng biết vận dụng các bài toán có nội
dung thực tiễn vào dạy học môn toán lớp 10 – Trung học phổ thông. Biết vận

dụng thực tế cuộc sống vào trong dạy học toán. Góp phần nâng cao tính thực tế,
chất lượng dạy học môn toán ở trường Trung học phổ thông.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:
+Trong giảng dạy chính khóa: tháng 01/ 2020 lớp 10A2, 10A7 trường THPT
Xuân Hòa.
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1 Về nội dung của sáng kiến:
Kiến thức cơ bản của bài học này không nhiều. Đối với học sinh, việc giải
hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là không khó. Các em chỉ cần biết cách dựng
đường thẳng ax+ by+c =0 và xác định dấu của mỗi miền theo hướng dẫn trong
sách giáo khoa là giải được. Tuy nhiên, học sinh chưa biết cách khai thác kiến
thức cơ bản của bài học để vận dụng vào việc tìm ra những ứng dụng của nó. Vì
vậy khi gặp bài toán kinh tế các em gặp khó khăn trong việc tìm ra cách giải.
Đứng trước một bài toán kinh tế học sinh thường lúng túng không biết
gắn bài toán đó vào kiến thức đã học ? Với tình hình ấy để giúp học sinh định
3


hướng tốt hơn trong quá trình giải bài toán kinh tế, giáo viên cần tạo cho học
sinh thói quen xem xét bài toán dưới cách đặt biến và từ đó tìm ra mối quan hệ
ràng buộc các biến. Sau đây là nội dung chi tiết.

4


A. LÝ THUYẾT

I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
x, y

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
ax + by ≤ c ( 1)

trong đó

a, b, c

có dạng tổng quát là

( ax + by < c;

là những số thực đã cho,

a

ax + by ≥ c; ax + by > c )

và

b

không đồng thời bằng

0, x

và

y

là các ẩn số.

II. BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
HAI ẨN
Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc
nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử
dụng phương pháp biểu diễn hình học.
Trong mặt phẳng tọa độ
bất phương trình

( 1)

Oxy ,

tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của

được gọi là miền nghiệm của nó.

Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu
diễn miền nghiệm) của bất phương trình
phương trình

ax + by ≥ c

ax + by ≤ c

như sau (tương tự cho bất

)
Oxy ,



Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ


gốc tọa độ

Bước 2. Lấy một điểm
O

vẽ đường thẳng

M 0 ( x0 ; y0 )

không thuộc

).
ax0 + by0



Bước 3. Tính



Bước 4. Kết luận.

và so sánh

5

ax0 + by0

với

c.

∆

∆ ax + by = c.

:

(ta thường lấy


Nếu

ax0 + by0 < c

∆

thì nửa mặt phẳng bờ

chứa

M0

là miền nghiệm của

ax0 + by0 ≤ c.

Nếu

ax0 + by0 > c

thì nửa mặt phẳng bờ

∆

khơng chứa

M0

là miền nghiệm

ax0 + by0 ≤ c.

của

Chú ý:
Miền nghiệm của bất phương trình
ax + by = c

ax0 + by0 ≤ c

là miền nghiệm của bất phương trình

bỏ đi đường thẳng

ax0 + by0 < c.

III. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
•

Tương tự hệ bất phương trình một ẩn.
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc

nhất hai ẩn

x, y

mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung

đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập
nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
•

Cách giải

- Với mỗi bất phương trình của hệ, ta xác đònh miền
nghiệm của chúng trên cùng một hệ trục toạ độ.
- Miền còn lại không bò gạch chính là miền nghiệm
của hệ đã cho.
IV. ÁP DỤNG VÀO BÀI TỐN KINH TẾ
Giải một số bài tốn kinh tế thường dẫn đến việc xét những hệ bất phương
trình bậc nhất hai ẩn và giải chúng. Loại bài tốn này được nghiên cứu trong
một ngành tốn học có tên gọi là Quy hoạch tuyến tính.
B. BÀI TẬP

6


Dạng 1: Các bài toán liên bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ 1. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình

2x + y ≤ 3

.

Lời giải

Vẽ đường thẳng
Lấy gốc tọa độ
có

2.0 + 0 < 3

∆ : 2 x + y = 3.

O ( 0;0 ) ,

ta thấy

O∉∆

nên nửa mặt phẳng bờ

chứa gốc tọa độ

O

và
∆

là miền nghiệm của

bất phương trình đã cho (miền không bị
tô đậm trong hình).
Ví dụ 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình
Lời giải

Trước hết, ta vẽ đường thẳng

( d ) : −3x + y + 2 = 0.

7

−3 x + y + 2 ≤ 0

.


Ta thấy

( 0 ; 0)

không là nghiệm của bất phương trình.

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ
Ví dụ 3. Biểu

diễn

hình

học

x + 3 + 2(2 y + 5) < 2(1 − x)

tập

( d)

nghiệm

không chứa điểm
của

bất

( 0 ; 0) .

phương

trình

.
Lời giải

Đầu tiên, thu gọn bất phương trình đề bài đã cho về thành
3x + 4 y + 11 < 0.

Ta vẽ đường thẳng
Ta thấy

( 0 ; 0)

( d ) : 3x + 4 y + 11 = 0.

không là nghiệm của bất phương trình.

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng (không kể bờ
điểm

( d)

) không chứa

( 0 ; 0) .

Ví dụ 4. Biểu

diễn

hình

( 1+ 3 ) x − ( 1− 3 ) y ≥ 2

học

tập

nghiệm

.
Lời giải

8

của

bất

phương

trình


Trước hết, ta vẽ đường thẳng
Ta thấy

( 0 ; 0)

( d ) : (1+

) (

)

3 x − 1 − 3 y = 2.

không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

( d)
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ

không chứa điểm

( 0 ; 0) .

Dạng 2: Các bài toán liên hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ 5. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình
Lời giải

Vẽ các đường thẳng

9

3 x + y ≤ 6
x + y ≤ 4

.

x
≥
0


 y ≥ 0


d1 : 3x + y = 6
d2 : x + y = 4

( Oy )
( Ox )

d2 : x = 0
d2 : y = 0

Vì điểm

M 0 ( 1;1)

có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ

trên nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ
chứa điểm
cạnh

M 0.

( d1 ) , ( d 2 ) , ( d3 ) , ( d 4 )
OCIA

Miền không bị tô đậm (hình tứ giác

AI , IC , CO, OA

kể cả bốn

) trong hình vẽ là miền nghiệm của hệ đã cho.

Ví dụ 6. Tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình
Lời giải
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

( d1 ) : x − 3 y = 0

( d2 ) : x + 2 y = −3

( d3 ) : x + y = 2

10

x − 3y < 0

 x + 2 y > −3
y + x < 2


.

không


Ta thấy
điểm

( −1 ; 0)

( −1 ; 0 )

là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa

thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi

gạch bỏ miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của
hệ.
Dạng 3: Các bài toán kinh tế, bài toán tối ưu

T ( x, y) = ax + by

Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

với

( x; y)

nghiệm đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước.
Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Kết quả
thường được miền nghiệm
Bước 2: Tính giá trị của

S

F

là đa giác.
( x; y)

tương ứng với

là tọa độ của các đỉnh của đa

giác.
Bước 3: Kết luận:
·
·

Giá trị lớn nhất của
Giá trị nhỏ nhất của

F
F

là số lớn nhất trong các giá trị tìm được.
là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được.

Để bắt đầu với các bài toán thực tế. Tôi cho học sinh làm ví dụ đơn giản
như sau:
Ví dụ 7 : Người ta dự dịnh dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 12kg
chát A và 1kg chất B . Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá 4 triệu đồng, có thể
chiết xuất 8kg chất A và 0,25kg chất B. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại II giá 3 triệu
đồng, có thể chiết xuất được 4kg chất A và 0,75 kg chất B. Hỏi phải dùng bao
nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu mỗi loại là ít nhất,
biết rằng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 4 tấn
nguyên liệu loại I và không quá 3 tấn nguyên liệu loại II ?

11


Giải
- Phân tích giả thuyết của bài tốn : Từ hai ngun liệu chiết xuất ít nhất 12kg
chất A và 1 kg chất B.
Mỗi tấn ngun liệu loại I có giá 4 triệu đồng

8 kg chất A
•

0,25 kg chất B

Mỗi tấn ngun liệu loại II có giá 3 triệu đồng

4kg chất A

0,75kg chất B

Tìm x tấn ngun liệu loại I và y tấn ngun liệu loại II thỏa mãn u cầu
bài tốn
0 ≤ x ≤ 4
0 ≤ y ≤ 3


2 x + y ≥ 3

- Tìm x và y thỏa mãn : x + 3y ≥ 4 Sao cho T(x; y) = 4x + 3y

có giá trị nhỏ nhất.

Giáo viên chỉ ra cho học sinh thấy bài tốn trên dẫn đến hai bài tốn nhỏ
Bài tốn 1 : Xác đònh tập hợp (S) các điểm có tọa
độ (x;y) thỏa mãn :

0 ≤ x ≤ 4
0 ≤ y ≤ 3


2 x + y ≥ 3
x + 3y ≥ 4

12


y
5

4

3

A

D(4,3)

(0,3)

2

1

O

(1,1)

B

1

2

3

C

(4,0)
4

x
5

Miền nghiệm (S) của hệ là miền tứ giác ABCD kể cả biên
Bài tốn 2 : Trong tập hợp (S), tìm điểm (x; y) sao cho
T(x; y) = 4x + 3y có giá trò nhỏ nhất.
Ta có : A(0; 3), B(1; 1), C(4; 0), D(4; 3)
Thế tọa độ các điểm trên vào T(x; y) :
T(0; 3) = 9
T(1; 1) = 7
T(4; 0) = 16
T(4; 3) = 25

Vậy T(x; y) nhỏ nhất là 7 tại B(1;1)
Vậy phải dùng 1 tấn ngun liệu loại 1 và 1 tấn ngun liệu loại II
thì chi phí mua ngun liệu là ít nhất
Ví dụ 8 : Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24g
hương liệu, 9 lít nước và 210g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha
chế 1 lít nước cam cần 30g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu; pha chế 1 lít
nước táo cần 10g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận
được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha
chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để được số điểm thưởng là lớn nhất?
(Đề Dự Bị THPT Quốc Gia Năm 2015)
Giải

13


Đối với những bài toán như thế này, ta phải đọc thật kỹ, xem đề bài yêu
cầu làm gì và chuyển bài toán đó về những mô hình toán học mà mình đã học?
Ở đây, yêu cầu đề bài: “cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại”. Như
vậy, ta gọi ẩn x, y tương ứng là số lít nước trái cây tương ứng mỗi loại. Mà mỗi
lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng thì x lít nước cam nhận được 60xđiểm
thưởng; mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng thì y lít nước táo nhận được
80y điểm thưởng. Khi đó ta có số điểm thưởng nhận được sau khi pha chế được
x, ylít nước trái cây mỗi loại là 60x + 80y . Ở đây tính số điểm thưởng ta dùng
quy tắc TAM XUẤT để tính, tương tự với các dữ kiện bài toán khác ta cũng
dùng quy tắc này và ta có lời giải bài này như sau:
Gọi x, y lần lượt là số lít nước cam và táo của mỗi đội pha chế

(x, y≥ 0)

.

Khi đó số điểm thưởng nhận được của mỗi đội chơi là F=60x + 80y.
Để pha chế x lít nước cam cần 30x(g) đường ,x lít nước và x(g) hương
liệu. Để pha chế y lít nước cam cần 10y(g) đường ,y lít nước và 4y(g)
hương liệu.
Do đó, ta có:
Số gam đường cần dùng là: 30x + 10y
Số lít nước cần dùng là: x + y
Số gam hương liệu cần dùng là: x + 4y .
Vì trong cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9lít nước
và 210g đường nên x,y thỏa mãn hệ bất phương trình:
30 x + 10 y ≤ 210
3 x + y ≤ 21
x+ y≤ 9
x+ y≤ 9


⇔

 x + 4 y ≤ 24
 x + 4 y ≤ 24
 x, y ≥ 0
 x, y ≥ 0

(*)

Khi đó bài toán trở thành :
Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm
F=60x + 80y lớn nhất.

14

(x = x0 ; y = y0 )

sao cho


Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M(x;y) thỏa
mãn (*). Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là ngũ giác OABCD
kể cả miền trong của tam giác (như hình vẽ).
y
6

D

(0,6)

C
(4,5)

4

B

(6,3)

2

A
O

1

2

3

4

5

6

(7,0)
7

x
8

Biểu thức F=60x + 80y đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác
OABCD.
Tại các đỉnh

O(0;0), A(7;0), B(6;3), C(4;5), D(0;6)

. Ta thấy F đạt giá trị lớn

nhất tại x = 4, y = 5. Khi đó F = 640.
Vậy cần pha chế 4 lít nước cam và 5 lít nước táo thì số điểm thưởng lớn
nhất là 640.

Nhận xét: Bài trên tôi phân tích khá chi tiết, vì vậy những bài sau tôi chỉ
đưa ra lời giải và không phân tích nữa. Bởi vì cách giải cũng giống nhau, chỉ cần
bạn hiểu là có thể lập được mô hình Toán học. Từ đó có thể giải được bài toán
giống như trên.
Ví dụ 9 : Một gia đình cần ít nhất 900g chất prôtein và 400g chất lipit trong thức
ăn mỗi ngày. Biết rằng thịt bò chứa 80% prôtein và 20% lipit. Thịt lợn chứa 60%
prôtein và 40% lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1600g thịt bò
và 1100g thịt lợn, giá tiền 1kg thịt bò là 45 nghìn đồng, 1kg thịt lợn là 35 nghìn
đồng. Hỏi gia đình đó phải mua bao nhiêu kg thịt mỗi loại để chi phí ít nhất?
Giải
15


Giả sử gia đình đó mua x (kg) thịt bò và y (kg) thịt lợn

(x, y≥ 0)

. Khi đó

chi phí mua x (kg) thịt bò và y (kg) thịt lợn là T = 45x + 35y (nghìn đồng).
Theo giả thuyết, x và y thỏa mã điều kiện

x ≤ 1,6; y ≤ 1,1

.

Khi đó lượng prôtêin có được là 80% x + 60%y và lượng lipit có được là
20%x + 40%y.
Vì gia đình đó cần ít nhất 0,9kg chất prôtêin và 0,4kg chất lipit trong thức
≥

ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là 80%x + 60%y 0,9
≥

≥

≥

và 20%x +40%y 0,4 hay 4x + 3y 4,5 và x + 2y 2

Vậy x,y thỏa mãn hệ bất phương trình:

0 ≤ x ≤ 1, 6
0 ≤ y ≤ 1,1


 4 x + 3 y ≥ 4,5
 x + 2 y ≥ 2

(*)

Khi đó bài toán trở thành :
Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm

(x = x0 ; y = y0 )

sao

cho
T= 45x + 35y nhỏ nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M(x;y) thỏa
mãn (*) .
Miền nghiệm của hệ (*) là miền bên trong của tứ giác lồi ABCD và cả biên
(như hình vẽ)

16


y

D
A (1.6,1.1)

(0.3,1.1)

1

C
(0.6,0.7)

0.5

B
(1.6,0.2)

x

O

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

T đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD.
A(1, 6 ;1,1), B(1, 6 ;0, 2), C(0, 6 ;0,7), D(0,3 ;1).

Ta có:
Kiểm tra được x=0,6 ; y=0,7 thì T = 51,5 (nghìn đồng) là nhỏ nhất.
Vậy gia đình đó mua 0,6kg thịt bò và 0,7kg thịt lợn thì chi phí là ít nhất. Cụ thể
là phải chi phí 51,5 nghìn đồng.
Ví dụ 10 : Một nhà khoa học nghiên cứu về tác động phối hợp của vitamin A và
vitamin B đối với cơ thể con người. Kết quả như sau: Một người mỗi ngày có
thể tiếp nhận được không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị
vitamin B. Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B.
Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị vitamin B không

ít hơn

1
2

số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A.

Giá của 1 đơn vị vitamin A là 9 đồng, giá 1 đơn vị vitamin B là 7,5 đồng. Tìm
phương án dùng 2 loại vitamin A và B thỏa mãn các điều kiện trên để số tiền
phải trả là ít nhất.
Giải
(x, y≥ 0)

Gọi x, y lần lượt là số đơn vị vitamin A và B dùng mỗi ngày

17

.


Vì giá của 1 đơn vị vitamin A là 9 đồng, giá 1 đơn vị vitamin B là 7,5 đồng nên
C = 9 x + 7,5 y

số tiền cần phải trả là

.

0 ≤ x ≤ 600
0 ≤ y ≤ 500


400 ≤ x + y ≤ 100

 1 x < y ≤ 3x
 2

Theo giả thuyết ta có:

(*)

Khi đó bài toán trở thành :
Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm
cho

C = 9 x + 7,5 y

(x = x0 ; y = y0 )

sao

nhỏ nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M(x;y) thỏa
mãn (*) .
y

F

500

E (500,500)

(500/3,500)

400

D(600,400)
C

A

300

(100,300)

(600,300)

200

B
(800/3,400/3)

100

x

O

100

200

300

400

500

600

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là ngũ giác ABCDEF kể cả
miền trong của tứ giác nhưng bỏ đi cạnh BC với :

 800 400 
 500

A(100;300), B
;
;500 ÷
÷,C(600;300), D(600;400), E(500;500), F 
3 
 3
 3

Biểu thức

C = 9 x + 7,5 y

đạt giá trị nhỏ nhất nhất tại một trong các đỉnh A, D, E,

F của ngũ giác ABCDE.

Khi đó, ta thấy C đạt giá trị lớn nhất tại x = 100, y = 300.Khi đó C = 3150.
18


Vậy phương án tốt nhất là dùng 100 đơn vị vitamin A và 300 đơn vị vitamin B.
Chi phí mỗi ngày là 3150 đồng.
Ví dụ 11 : Có 3 nhóm máy A, B, C dùng để sản suất ra hai loại sản phẩm I và II.
Để sản suất ra một đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc
các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cần
thiết để sản suất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho tương ứng
bảng sau:
Nhóm

Số máy trong
mỗi nhóm

A
B
C

Số máy trong từng nhóm để sản suất
ra một đơn vị sản phẩm
Loại I

Loại II

2
0
2

2
2
4

10
4
12

Mỗi đơn vị sản phẩm loại I lãi 3 nghìn đồng, một đơn vị sản phẩm loại II
lãi 5 nghìn đồng. Hãy lập phương án để việc sản suất hai sản phẩm trên có lãi
cao nhất.
Giải
(x, y≥ 0)

Gọi x, y lần lượt là số đơn vị sản phẩm thuộc loại I và II

. Khi đó tổng

số tiền lãi của x đơn vị sản phẩm loại I và y đơn vị sản phẩm loại II là
L = 3000x+ 5000y

Theo gia thuyết, ta có:

2 x + 2 y ≤ 10
x+ y≤ 5
2 y ≤ 4
y≤ 2


⇔


2 x + 4 y ≤ 12
x+ 2y≤ 6
 x, y ≥ 0
 x, y ≥ 0

Khi đó bài toán trở thành :

19

(*)


Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm

(x = x0 ; y = y0 )

sao

cho L = 3000x + 5000y lớn nhất.
Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M(x;y) thỏa
mãn (*) . Miền nghiệm của hệ (*) là miền bên trong của ngũ giác lồi OABCD
và cả biên (như hình vẽ).
y
2

(0,2)

C (2,2)

D

1.5

1

B (4,1)

0.5

x

A
O

1

2

3

4

(5,0)
5

L đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác OABCD. Ta có
O(0;0), A(5;0), B(4;1), C(2; 2), D(0; 2)

. Kiểm tra được x = 4; y = 1 thì L = 17000

đồng là lớn nhất.
Vậy kế hoạch tốt nhất là sản suất 4 đơn vị sản phẩm loại I và 1 đơn vị sản phẩm
loại II thì tổng số tiền lời là lớn nhất cụ thể là 17000 đồng.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Chi phí về nhiên liệu của một tàu được chia làm hai phần. Trong đó phần
thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 ngàn đồng/giờ. Phần thứ hai
tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi v=10km/ h thì phần thứ hai bằng 30
ngàn đồng/giờ. Hãy xác định vận tốc của tàu để tổng chi phí nhiên liệu trên 1km
là nhỏ nhất?
Bài 2. Từ một khúc gỗ hình trụ, cần xẻ thành một chiếc xà có tiết diện ngang là
hình vuông và 4 miếng phụ như hình vẽ. Hãy xác định kích thước của các miếng
phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là nhỏ nhất?
20


Bài 3. Một hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích 8a. Nếu trồng đậu thì
cần 20 công và thu 3000000 đồng trên mỗi diện tích a, nếu trồng cà thì cần 30
công và thu 4000000 đồng trên mỗi diện tích a. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên
mỗi diện tích bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số công không quá
180?
Bài 4. Một xưởng sản suất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần 2kg
nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần
4 kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30000 đồng. Xưởng có 200kg
nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. Nên sản suất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để
mức lời lớn nhất?
Bài 5. Một máy cán thép có thể sản suất hai sản phẩm thép tấm và thép cuộn với
công suất cho mỗi loại là (nếu chỉ sản xuất một sản phẩm): thép tấm là
250 tấn/giờ, thép cuộn là 150 tấn/giờ. Lợi nhuận bán sản phẩm là: thép tấm là 25
USD/tấn, thép cuộn là 30 USD/tấn. Theo tiếp thị, một tuần chỉ tiêu thụ được tối

đa 5000 tấn thép tấm và 3500 tấn thép cuộn. Biết rằng máy làm việc 40 giờ một
tuần. Cần sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu trong một tuần để có lợi nhuận
cao nhất.
Bài 6. Một công ty điện tử sản xuất hai kiểu radio trên hai dây chuyền độc lập.
Công suất của dây chuyền một là 45 radio/ngày và dây chuyền hai là 70
radio/ngày. Để sản xuất một chiếc radio kiểu một cần 12 linh kiện điện tử E, và
một chiếc radio kiểu hai cần 9 linh kiện này. Số linh kiện này được cung cấp mỗi
ngày không quá 1000. Tiền lãi khi bán một chiếc radio kiểu 1 là 250.000 (đồng)

21


và kiểu hai là 180.000 (đồng). Hãy lập kế hoạch sản xuất cho lãi nhiều nhất
trong ngày.
Bài 7. Một hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích
đậu thì cần

20

công và thu

công và thu

4.000.000

3.000.000

đồng trên

100

đồng trên

100

800

m2. Nếu trồng

m2 nếu trồng cà thì cần

30

m2 . Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện

tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số công không quá

180

.

Bài 8. Bạn An kinh doanh hai mặt hàng handmade là vòng tay và vòng đeo cổ.
Mỗi vòng tay làm trong 4 giờ, bán được 40 ngàn đồng. Mỗi vòng đeo cổ làm
trong 6 giờ, bán được 80 ngàn đồng. Mỗi tuần bạn An bán được không quá 15
vòng tay và 4 vòng đeo cổ. Tính số giờ tối thiểu trong tuần An cần dùng để bán
được ít nhất 400 ngàn đồng?
Bài 9. Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất
loại sản phẩm
II

bán lãi

400

làm việc trong
phẩm

II

I

và

II

I

. Mỗi sản phẩm

bán lãi

500

nghìn đồng, mỗi sản phẩm

nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm
3

giờ, Bình phải làm việc trong

thì Chiến phải làm việc trong

2

1

I

thì Chiến phải

giờ. Để sản xuất được một sản

giờ, Bình phải làm việc trong

6

giờ.

Một người không thể làm được đồng thời hai sản phẩm. Biết rằng trong một
tháng Chiến không thể làm việc quá
220

180

giờ và Bình không thể làm việc quá

giờ. Tính số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng.

Bài 10. Một gia đình cần ít nhất

900

đơn vị protein và

thức ăn mỗi ngày. Mỗi kiogam thịt bò chứa

22

800

400

đơn vị lipit trong

đơn vị protein và

200

đơn vị


lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa

600

đơn vị protein và

1, 6

gia đình này chỉ mua nhiều nhất

160

thịt bò là

400

đơn vị lipit. Biết rằng

1,1

kg thịt bò và

nghìn đồng, một kg thịt lợn là

110

kg thịt lợn. Giá tiền một kg
x y

nghìn đồng. Gọi

, lần lượt là

x y

số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Tìm

,

để tổng số tiền họ

phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn?
Bài 11. Một hộ nông dân định trồng dứa và củ đậu trên diện tích
tích mỗi

ha

8ha

. Trên diện

, nếu trồng dứa thì cần 20 công và thu 3 triệu đồng, nếu trồng củ đậu

thì cần 30 công và thu 4 triệu đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích
là bao nhiêu

ha

để thu được nhiều tiền nhất, biết rằng tổng số công không quá

180.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 g
hương liệu, 9 lít nước và 210 g đường để pha chế nước cam và nước táo.
● Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1 g hương liệu;
● Để pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu.
Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80
điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được
số điểm thưởng cao nhất?
A.

C.

5
4

lít nước cam và
lít nước cam và

4

5

lít nước táo.

B.

lít nước táo.

D.

6
4

lít nước cam và
lít nước cam và

5
6

lít nước táo.

lít nước táo.

Câu 2. Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm
● Mỗi kg sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời
40 nghìn;
● Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời
23


30 nghìn.
Xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản
phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất?
A.
C.

30
30

kg loại I và
kg loại I và

40
20

kg loại II.

B.

kg loại II.

D.

20

kg loại I và

25

kg loại I và

40
45

kg loại II.
kg loại II.

Câu 3. Một nhà khoa học đã nghiên cứu về tác động phối hợp của hai loại
Vitamin

A

và

B

đã thu được kết quả như sau: Trong một ngày, mỗi người cần từ

400 đến 1000 đơn vị Vitamin cả
A

vị vitamin

A

lẫn

B

và có thể tiếp nhận không quá 600 đơn

và không quá 500 đơn vị vitamin

B

. Do tác động phối hợp của hai

loại vitamin trên nên mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin
hơn một nửa số đơn vị vitamin
A

A

B

không ít

và không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin

. Tính số đơn vị vitamin mỗi loại ở trên để một người dùng mỗi ngày sao cho

chi phí rẻ nhất, biết rằng mỗi đơn vị vitamin
vitamin

B

A

có giá 9 đồng và mỗi đơn vị

có giá 7,5 đồng.

A.
B.
C.
D.

600
600
500
100

đơn vị Vitamin
đơn vị Vitamin
đơn vị Vitamin
đơn vị Vitamin

A 400

,

A 300

,

A 500

,

A 300

,

đơn vị Vitamin
đơn vị Vitamin
đơn vị Vitamin
đơn vị Vitamin

B.
B.
B.
B.

Câu 4. Công ty Bao bì Dược cần sản xuất 3 loại hộp giấy: đựng thuốc B 1, đựng
cao Sao vàng và đựng "Quy sâm đại bổ hoàn". Để sản xuất các loại hộp này,
công ty dùng các tấm bìa có kích thước giống nhau. Mỗi tấm bìa có hai cách cắt
khác nhau.
24


•

•

Cách thứ nhất cắt được 3 hộp B1, một hộp cao Sao vàng và 6 hộp Quy sâm.
Cách thứ hai cắt được 2 hộp B1, 3 hộp cao Sao vàng và 1 hộp Quy sâm. Theo

kế hoạch, số hộp Quy sâm phải có là 900 hộp, số hộp B 1 tối thiểu là 900 hộp, số
hộp cao sao vàng tối thiểu là 1000 hộp. Cần phương án sao cho tổng số tấm bìa
phải dùng là ít nhất?
A. Cắt theo cách một

x−2<0
150

B. Cắt theo cách một
C. Cắt theo cách một
D. Cắt theo cách một

50

tấm, cắt theo cách hai
100

tấm, cắt theo cách hai
tấm, cắt theo cách hai

100

300

300

tấm.
tấm.

200

tấm, cắt theo cách hai

tấm.

tấm.

Câu 5. Một nhà máy sản xuất, sử dụng ba loại máy đặc chủng để sản xuất sản
phẩm
phẩm

A
A

và sản phẩm
lãi

giờ và máy

4

B

trong một chu trình sản xuất. Để sản xuất một tấn sản

triệu đồng người ta sử dụng máy

III

trong

3

giờ. Biết rằng máy

không quá

23

trong

1

giờ, máy

giờ. Để sản xuất ra một tấn sản phẩm

đồng người ta sử dụng máy
2

I

I

I

trong

6

giờ, máy

II

trong

chỉ hoạt động không quá

giờ và máy

III

hoạt động không quá

36

27

3

B

II

lãi được

giờ và máy

B. Sản xuất

C. Sản xuất

9
7

tấn sản phẩm
tấn sản phẩm

10
3

A
A

tấn sản phẩm

A

25

3

và

tấn sản phẩm

49
9

III

triệu
trong

giờ. Hãy lập kế hoạch sản

và không sản xuất sản phẩm
và

3

2

giờ, máy hai hoạt động

xuất cho nhà máy để tiền lãi được nhiều nhất.
A. Sản xuất

trong

B.

tấn sản phẩm

B.

B.