Phương pháp Dạy học TOÁN - Lê xuân trường potx

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
(Giáo trình dùng cho sinh viên
Đại học, Cao
đ
ẳng )
NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÊ XUÂN TRƯỜNG
LỚP CĐSTOAN11
Phương pháp
Dạy học
TOÁN
Giáo trình dùng cho sinh viên Đại học, Cao
đ
ẳng
( In lần thứ 1)
NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC
711/GD-01/4415/307-00 Mã số: 8L711I9
1
L
ỜI NÓI Đ
ẦU
Cu
ốn sách “Phương pháp dạy học đại cương môn Toán” được biên soạn dựa
trên chương tr
ình khung giáo dục Đại học Khối ngành Cao đẳng sư phạm, được ban
hành theo Quy
ết định của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và đào tạo kí ngày 10/6/2004. Nội
dung cu
ốn sách
bao g

ồm những tri thức căn bản về lĩnh vực phương pháp dạy học
toán: t
ừ giới thiệu đại cương về bộ môn tới mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy
h
ọc môn toán ở cấp THCS. Nội dung cuốn sách này đã được Tác giả biên soạn dưới
d
ạng bài giảng điện tử và đã đư
ợc thẩm định để đ
ưa vào trang Web của Bộ Giáo dục
và đào tạo năm 2007 đã có rất nhiều bạn đọc truy cập và sử dụng như một tài liệu học
tập chính thống. Nay tác giả biên soạn lại dưới dạng bản in nhằm đáp ứng tốt hơn nữa
nhu cầu học tập của sinh viên ngành Toán hệ Cao đẳng sư phạm và hệ liên thông đại
h
ọc
Toán trong giai đo
ạn học tập theo hệ thống tín chỉ. Với phương châm biên soạn
tăng cư
ờng thêm nhiều ví dụ chi tiết, những ví dụ này đã được tác giả chắt lọc lại từ
nh
ững năm tháng dạy học và nghiên cứu bộ m
ôn này. Hy v
ọng rằng bài giảng sẽ đáp
ứng tốt cho vấn đề tự học của sinh vi
ên trong giai đoạn hiện nay.
Trong quá trình biên so
ạn không thể tránh khỏi những sai sót, rất mong bạn đọc
góp ý đ
ể sách được hoàn thiện hơn.
Ngày 6 tháng 3 năm 2013
Tác giả

Lê Xuân Trư
ờng
2
Chương 1
B
Ộ MÔN PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN
M
ục tiêu của chương
H
ọc xong chương này người học cần đạt được các mục tiêu sau đây:
- Phân bi
ệt được phương pháp dạy học môn toá
n như m
ột lĩnh vực nghiên cứu với
môn h
ọc cùng tên trong đào tạo bồi dưỡng giáo viên;
- Hi
ểu quá trìng dạy học môn toán với tính cách là đối tượng của lĩnh vực nghiên
c
ứu PPDH toán;
- Hi
ểu các nhiệm vụ của môn học PPDH môn toán trong đào tạo bồi dưỡng gi
áo
viên, qua đó th
ấy rõ vai trò quan trọng và trách nhiệm nặng nề của người giáo viên
toán trong nhà trư
ờng phổ thông;
- Hi
ểu tính khoa học v
à các phương pháp nghiên cứu của lĩnh vực nghiên cứu của

lĩnh vực nghiên cứu PPDH môn toán, biết những khoa học có liên quan đến lĩnh vực
này;
- Sẵn sàng chuẩn bị học giáo trình như một yếu tố quan trọng để bồi dưỡng, rèn
luy
ện khả n
ăng nghi
ệp vụ
c
ủa người giáo viên toán.
I. Đối t
ượng và Nhiệm vụ
1.1. Đ
ối tượng
c
ủa Phương pháp dạy học môn Toá
n
1.1.1. Quá trình d
ạy họ
c môn Toán
Phương pháp d
ạy học ( PPDH ) Toán học nghiên cứu quá trình dạy học môn Toán.
Nó phân bi
ệt với Giáo dục học ở chỗ trong khi Giáo dục học nghiên cứu quá trình giáo
d
ục nói chung thì PPDH Toán học nghiên cứu một bộ phận của quá trình này, cụ thể l
à
quá trình d
ạy học môn Toán. Ở đây thuật ngữ dạy học được hiểu theo nghĩa rộng : nó
không ch
ỉ có nghĩa l

à dạy cho học sinh chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kỹ năng kỹ xảo,
phát tri
ển năng lực m
à còn bao hàm cả việc hình thành thế giới quan, nhân sinh quan,
ph
ẩm chất đạo đức, khả năng thẩm mĩ v.v Hiểu nh
ư thế vẫn không lẫn lộn dạy học
v
ới giáo dục
. . S
ự khác nhau l
à ở dạng hoạt động để thực hiện mục
tiêu. Trong d
ạy học
d
ạng hoạt động l
à tổ chức, điều khiển hoạt động học tập của trò, còn giáo dục lại có
ngh
ĩ
a r
ộng h
ơn, nó còn bao gồm những dạng hoạt động khác nữa để đạt được mục
đích, chẳng hạn hoạt động đoàn thể, công tác phụ huynh học sinh.
Tóm lại, đối tượng dạy học của PPDH Toán học là quá trình dạy học môn Toán, về
thực chất là quá trình giáo dục thông qua việc dạy học môn Toán.
Để hiểu rõ hơn nữa về chuyên ngành khoa học PPDH môn Toán,
ta hãy phân tích
đối tượng của nó .
1.1.2. H
ệ thống dạy học tối thiểu

Quá trình d
ạy học môn Toán diễn ra trong hệ thống dạy học. Theo lý thuyết t
ình
hu
ống th
ì hệ t
h
ống dạy học tối thiểu
g
ồm: Ng
ười học, thầy giáo, tri thức và
môi trư
ờng(H
ình 1)
Trong sơ đ
ồ các chữ viết tắt có nghĩa
như sau:
HS: H
ọc sinh
GV: Giáo viên
TT: Tri th
ức
MT: Môi trư
ờng
Hình 1
3
Sơ đ
ồ này biểu thị những tương tá
c gi
ữa thầy giáo

– h
ọc sinh
– môi trư
ờng đối với tri
th
ức trong hệ thống dạy học.
a. Tri th
ức
Trong lý lu
ận dạy học tri thức được xét theo ba cấp độ: Tri thức khoa học, tri thức
chương tr
ình và tri thức dạy học.
- Tri th
ức khoa học: Ở cấp độ các nhà khoa
h
ọc, người ta nói tới tri thức khoa học.
Đó là đ
ối tượng của nhận thức. Hoạt động khoa học liên hệ với lịch sử cá nhân của nhà
nghiên c
ứu. Để thông báo một tri thức, nhà nghiên cứu thường xóa bỏ lịch sử cuảa tri
th
ức đó, không nêu lại tình huống cụ thể, t
ức l
à đã phi hoàn cảnh hóa; đồng thời bỏ
qua nh
ững tìm tòi, dự đoán sai lầm của cá nhân mình, tức là phi cá nhân hóa. Nhà
nghiên c
ứu chỉ thể hiện tri thức đúng đắn mà cuối cùng đã đạt được, dưới một dạng
t
ổng quát nhất có thể đ

ược, theo quy tắc diễn đạt hi
ện h
ành trong c
ộng đồng các nhà
khoa học.
- Tri thức chương trình: Tri thức khoa học còn phải được sàng lọc, định mức độ
yêu cầu và cách thức diễn đạt cho phù hợp với mục tiêu và điều kiện của xã hội để
đ
ảm bảo sự tương hợp của hệ thống dạy học với môi tr
ư
ờng cuả nó thì mới trở thành
tri th
ức chương trình. Công việc này chịu sự tác động của những cộng đồng xã hội;
nh
ững nhà nghiên cứu chương trình, những nhà giáo dục, những nhà Toán học, giáo
viên và ph
ụ huynh học sinh. Tri thức chương trình là đối tượng d
ạy học, l
à mục tiêu
d
ạy của thầy và mục tiêu học của trò.
- Tri th
ức dạy học
:
Ở cấp độ dạy học. ta nói tới tri thức dạy học. Để đạt được mục
tiêu d
ạy học, thầy giáo phải tổ chức lại tri t
h
ức quy định trong chương trình, sách giáo
khoa và bi

ến thành tri th
ức dạy học theo khả năng s
ư phạm của mình, với những ràng
bu
ộc của lớp, ph
ù hợp với trình độ học sinh và những điều kiện học tập khác.
S
ự chuyển hóa s
ư phạm gồm hai khâu: Chuyển tri thức khoa học thành tri thức
chương tr
ình và tri th
ức chương trình thành
tri th
ức dạy học, trong đó ng
ười thầy thực
hi
ện chủ yếu l
à khâu thứ hai.
b. Th
ầy giáo
Trong quá trình d
ạy học, chức năng của thầy l
à dạy, chức năng này được thể hiện ở
các vai trò dưới đây:
- Thiết kế: Là lập kế hoạch, chuẩn bị quá trình dạy học về mặt mụ c tiêu, nội dung,
phương pháp, phương tiện và hình thức tổ chức.
- Ủy thác: không phải bắt buộc học trò học tập theo ý thầy một cách khiên cưỡng
mà bi
ến ý đồ dạy của thầy thành nhiệm vụ học tập tự nguyện, tự giác của trò, là
chuy

ển giao cho trò không phải
nh
ững tri thức dưới dạng có sẵn mà là những tình
hu
ống để tr
ò học tập trong hoạt động và bằng hoạt động.
Mu
ốn ủy thác thầy giáo l
àm công việc ngược lại
v
ới nh
à nghiên cứu: Hoàn cảnh hóa
l
ại v
à cá nhân hóa tri thức quy định trong chương trình để chuyển hóa
tri th
ức ch
ương
trình thành ki
ến thức của học sinh.
- Đi
ều khiển
( k
ể cả điều khiển về mặt tâm lý
): bao g
ồm sự động vi
ên, trợ giúp và
đánh giá.
- Th
ể thức hóa:

Là xác nh
ận những kiến thức mới phát hiện, đồng nhất hóa những
ki
ến thức ri
êng lẻ mang màu sắc
cá th
ể của từng học sinh th
ành tri thức khoa học của
xã h
ội(phi cá nhân hóa và phi hoàn cảnh hóa).
c. H
ọc trò
Là ch
ủ thể trong quá trình học tập, chủ thể này hoạt
đ
ộng một cách tự giác, tích
c
ực, chủ động và sáng tạo. Chức năng của trò là học thông qua t
ương tác v
ới môi
trư
ờng. Trong sự tương tác này, người học khi thì vận dụng khi thì điều chỉnh những
4
Th
ầy
giáo
H
ọc
trò
N

ội
dung
ò
H
ọc
D
ạy
tri th
ức sẵn có cho phù hợp với sự biến đổi của môi trường để thực hiện nhiệm vụ nhận
th
ức.
d. Môi trư
ờng
- Môi trư
ờng kiến thức
: liên quan đ
ến kiến thức
c
ũ được trò huy động để lĩnh hội
ki
ến thức mới và kể cả kiến thức mới vừa được xây dựng trong quá trình dạy học.
- Môi trư
ờng vật liệu
: Liên quan đ
ến những phương tiện và dụng cụ học tập, cơ sở
v
ật chất.
- Môi trư
ờng xã hội
: Liên quan đ

ến tập thể học sin
h đư
ợc tổ chức để dạy và học
ki
ến thức.
1.1.3. Ho
ạt động giao lưu của thầy
và trò trong quá trình d
ạy học
C
ũng như các môn khác, quá trình dạy học môn Toán
bao g
ồm việc dạy và việc
h
ọc đ
ược thực hiện về căn bản bởi hoạt động của hai loại nhân vật
: th
ầy v
à
trò. T
ừ hai
loại nhân vật này nảy sinh nhiều mối quan hệ: quan hệ giữa thầy với cá nhân trò, giữa
thầy với tập thể trò, giữa cá nhân trò với cá nhân trò và giữa cá nhân trò với tập thể trò.
Do đó, có sự giao lưu trong các mối quan hệ đó. Cùng với hoạt động, giao lưu cũng là
thành ph
ần của việc dạy và việc học.
Tri th
ức cần dạy(đối với giáo viên), cần học
(đ
ối với học sinh) được đưa vào chương trình

thành n
ội dung dạy học.
Như v
ậy, q
uá trình d
ạy học bao gồm việc dạy
(ho
ạt động và giao lưu của thầy) và v
i
ệc học
(ho
ạt động và giao lưu của trò) mà đối tượng
chi
ếm lĩnh của việc học là nội dung môn học,
còn b
ản thân việc học lại l
à đối tượng điều
khi
ển của việc dạy .
Quan h
ệ giữa việc dạy, việc học v
à nội
dung d
ạy học có thể
đư
ợc biểu diễn d
ưới
d
ạng s
ơ

đ
ồ
(Hình 2) Hình 2
1.1.4. Các y
ếu tố xá
c đ
ịnh quá tr
ình dạy học
Trong quá trình dạy học, nội dung nằm trong mối liên hệ hữu cơ giữa ba thành
phần cơ bản : mục tiêu - nội dung - phương pháp.
- Mục tiêu dạy học: là hình thành cho học sinh kiểu nhân cách mà xã hội đòi hỏi.
- Nội dung dạy học: trong trường hợp này là môn Toán.
- Phương pháp d
ạy học
: là cách th
ức hoạt động và giao lưu của thầy để gây nên
nh
ững hoạt động và giao lưu của trò nhằm đạt được các mục
tiêu d
ạ
y h
ọc.
Các y
ếu tố xác định quá tr
ình dạy học
tác đ
ộng lẫn nhau, quy định lẫn nhau, trong
đó m
ục
tiêu gi

ữ vai tr
ò chủ đạo. Chẳng hạn, nếu một trong những mục
tiêu đ
ặt ra l
à
không ch
ỉ dạy cho học sinh kiến tạo đ
ược một số tri thức Toán học mà còn phải làm
cho h
ọ nắm đ
ược một số phương thức tư duy và hoạt động đặc trưng cho khoa học này
đ
ể vận dụng v
ào đời sống, thì nội dung môn toán phải bao gồm cả những tri thức về
nh
ững ph
ương thức tư duy và hoạt động đó như : định nghĩa, chứng minh, v.v và
ph
ải sử dụn
g c
ả ph
ương pháp khuyến khích hoạt động độc lập của người học như :
hư
ớng dẫn học sinh tự đọc sách, y
êu cầu học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề
. Nói
m
ục
tiêu gi
ữ vai trò chủ đạo không có nghĩa các thành phần khác hoàn toàn thụ động.

Th
ật ra mối liên hệ
gi
ữa ba thành phần này rất biện chứng. Trong điều kiện nào đó
phương pháp d
ạy học có thể tác động tích cực trở lại mục
tiêu và n
ội dung. Ví dụ việc
s
ử dụng máy tính bỏ túi như phương tiện dạy học trong nhà trường có tác dụng điều
ch
ỉnh mục
tiêu d
ạy học số
h
ọc: không yêu cầu kỹ năng tính t
oán không máy tính trên
5
nh
ững số liệu quá cồng kềnh. Đồng thời việc này cũng làm thay đổi nội dung đưa thêm
ph
ần dạy học máy tính bỏ túi vào môn Toán .
1.2. Nhi
ệm vụ của
Phương pháp d
ạy học môn Toán
1.2.1. Nhi
ệm vụ của lĩn
h v
ực nghiên cứu PPDH Toán

T
ừ sự phân tích quá trình dạy học, ta thấy nhiệm vụ tổng quát của PPDH Toán học
là nghiên c
ứu những mối liên hệ có tính quy luật giữa các thành phần của quá trình
d
ạy học môn Toán, trước hết là giữa mục
tiêu, n
ội dung và phương
pháp d
ạy học,
nh
ằm nâng cao hiệu quả của việc dạy học môn Toán theo các mục
tiêu đ
ặt ra.
Thu
ật ngữ "PPDH" có thể gây cho nhiều ng
ười một ấn tượng sai lầm cho rằng
chuyên ngành khoa h
ọc n
ày chỉ nghiên cứu phương pháp dạy học một cách cô lập.
Th
ật ra, khôn
g th
ể có ph
ương pháp tách rời mục
tiêu, không th
ể có ph
ương pháp thoát
ly n
ội dung, không thể có ph

ương pháp mà không tính tới các thành phần khác nhau
c
ủa quá trình dạy học .
L
ĩnh vực nghiên cứu
PPDH Toán h
ọc phải giải đáp các câu hỏi:
- Dạy học Toán để làm gì ? (tức là phải làm rõ mục tiêu dạy học môn Toán)
- Dạy học những gì trong khoa học Toán học? (tức là phải xác định rõ nội dung
môn Toán trong nhà trường phổ thông);
- D
ạy học môn Toán nh
ư thế nào?(tức là phải nghiên cứu những nguyên tắc,
phương pháp, hình th
ức tổ chức, ph
ương tiện dạy học
môn Toán, có th
ể nói chung l
à
phương pháp theo ngh
ĩa rộng).
Do đó chuyên ngành khoa h
ọc PPDH Toán học có những nhiệm vụ c
ơ bản sau đây:
a. Xác định mục tiêu môn Toán
Có thể nghiên cứu giải đáp những câu hỏi như :
- Cần trang bị cho thế hệ trẻ Việt Nam một học vấn Toán học như thế nào để đáp
ứng y
êu cầu công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước, yêu cầu của nền kinh tế tri thức?
- Yêu c

ầu nhiệm vụ môn Toán ở mỗi cấp, mỗi lớp, mỗi loại tr
ường như thế nào ?
- Yêu c
ầ
u, nhi
ệm vụ của môn Toán về một số ph
ương diện như phát triển
tư duy,
hình thành thái
đ
ộ như thế nào?
b. Xác định nội dung môn Toán
Sau đây là một số ví dụ về một số vấn đề đã được nghiên cứu để xác định nội dung
môn Toán qua những thời kì lịch sử khác n hau :
- Nh
ững yếu tố đại số nào cần được đưa vào cấp I ở Việt Nam?
(Đ
ỗ Đình Hoan,
1989)
- Nh
ững yếu tố thống kê mô tả nào cần được đưa vào trường phổ thông cơ sở?(Trần
Ki
ều 1988)
- N
ội dung môn Toán cần đ
ược thay đổi như thế nào trong điều kiện đưa Tin
h
ọc
vào trư
ờng

Ph
ổ thông?
- Đ
ể đ
áp
ứng
yêu c
ầu công nghiệp hoá, hiện đại hoá, nội dung ch
ương trình và sách
giáo khoa môn Toán trư
ờng trung học c
ơ sở nước ta cần dựa trên những căn cứ nào?
c. Nghiên c
ứu phương pháp dạy học trong môn Toán
Có th
ể nghiên c
ứu giải đáp những câu hỏi nh
ư :
- C
ần đổi mới PPDH Toán học theo định hướng nào?
- Làm th
ế nào để dạy tự học trong quá trình dạy học?
- S
ử dụng trắc nghiệm trong dạy học môn Toán nh
ư thế nào?
- Xây d
ựng v
à sử dụng phòng học bộ môn Toán như thế nào?
- S
ử dụng máy tính điện tử nh

ư công cụ dạy học trong môn Toán
như th
ế n
ào?
6
- Giáo d
ục duy vật biện chứng thông qua môn Toán như thế nào?
- Hình thành nh
ững biểu tượng hình học không gian trong môn toán ở trường tiểu
h
ọc như thế nào?
- D
ạy học phương trìn
h và b
ất phương trình như thế nào?
- Th
ực hiện dạy học phân hoá nội tại như thế nào để có thể phát hiện và bồi dưỡng
h
ọc sinh giỏi toán?
Trong th
ực tế người ta không nghiên cứu một cách cô lập mục
tiêu, n
ội dung hoặc
phương pháp (ho
ặc điều kiện) dạy học
mà thư
ờng xem xét các yếu tố trong mối liên hệ
h
ữu cơ với nhau. Chẳng hạn, những câu hỏi đặt ra khi xác định mục
tiêu môn Toán

như
ở
m
ục a)
th
ực ra là yêu cầu nghiên cứu những mối liên hệ giữa nội dung với mục
tiêu và phương pháp d
ạy họ
c. C
ũng tương tự như
v
ậy đối với các câu hỏi đặt ra khi
xác đ
ịnh nội dung môn Toán (nh
ư ở
m
ục b)
ho
ặc ph
ương pháp dạy học trong môn
Toán (như ở c).
Ngay trong một công trình nghiên cứu, ví dụ để đưa một số yếu tố thống kê vào
nhà trường phổ thông cơ sở, người ta cần nghiên c ứu giải đáp các câu hỏi sau (Trần
Ki
ều 1988, tr.6) :
- Đưa th
ống kê mô tả vào nhà trường phổ thông cơ sở để làm gì? (Nghiên cứu mục
tiêu trong m
ối liên hệ với nội dung, phương pháp và điều
ki

ện
d
ạy học).
- Nh
ững yếu tố nào của thống kê mô tả cần thiết
và có th
ể đưa vào trường phổ
thông cơ s
ở ? (Nghiên cứu nội dung trong mối liên hệ với mục
tiêu, phương pháp và
đi
ều kiện dạy
h
ọc).
- Cách th
ức dạy các yếu tố thống kê mô tả dự kiến đưa vào trường phổ thông cơ sở
như th
ế nào?(Nghiên cứu phương pháp trong
m
ối liên hệ với mục
tiêu và n
ội dung dạy
h
ọc).
Trên đây là các nhi
ệm vụ của PPDH Toán với t
ư cách là một
l
ĩnh vực nghi
ên cứu

.
M
ột vấn đề đặt ra l
à với tư cách là một môn học trong nhà trường Sư phạm, bộ môn
PPDH môn Toán có nh
ững nhiệm vụ g
ì?
1.2.2. Nhi
ệm
v
ụ của bộ môn PPDH Toán trong nhà trường Sư phạm
Trong nhà trư
ờng Sư phạm, bộ môn PPDH Toán có các nhiệm vụ sau :
a. Trang b
ị những tri thức c
ơ bản về day học môn Toán
C
ần truyền thụ cho giáo sinh trước hết là các tri thức sau :
- Nh
ững hiểu biết đại
cương v
ề PPDH
môn Toán v
ới tư cách
v
ừa
là m
ột
l
ĩnh vực

nghiên c
ứu vừa
là m
ột môn học trong nhà trường Sư phạm: đối tượng, nhiệm vụ,
phương pháp nghiên c
ứu của nó và quan hệ của nó với những lĩnh vực khoa học khác .
- Nh
ững tri thức cơ bản về mục
tiêu, n
ội
dung, các nguyên t
ắc và phương pháp dạy
h
ọc
môn Toán. Đ
ặc biệt người thầy giáo cần nắm vững chương trình và sách giáo khoa
Toán
ở trường phổ thông, kể cả các cấp mà mình không trực tiếp giảng dạy.
- Nh
ững tri thức cụ thể về việc lập kế hoạch dạy học, chu
ẩn bị v
à tiến hành từng
ti
ết lên lớp.
- Nh
ững tri thức về sử dụng những yếu tố lịch sử phục vụ
d
ạy học môn Toán
.
c. Rèn luy

ện những kỹ năng c
ơ bản
v
ề dạy học
môn Toán
C
ần rèn luyện cho giáo sinh trườc hết là các kỹ năng :
- Tìm hi
ểu chương trình, sác
h giáo khoa, sách giáo viên và các sách tham kh
ảo.
- Tìm hi
ểu đối tượng học sinh những lớp mà mình chịu trách nhiệm giảng dạy .
- L
ập kế hoạch dạy học, chuẩn bị từng tiết lên lớp.
- Ti
ến hành một giờ dạy Toán, thực hiện kiểm tra đánh giá học sinh.
7
- Ti
ến hành các hoạt động ngoại kh
óa Toán h
ọc, bồi dưỡng học sinh giỏi và giúp
đ
ỡ học sinh kém.
- Th
ực hiện công tác chủ nhiệm, công tác đoàn thể và công tác phụ huynh hỗ tr
ợ
cho vi
ệc dạy học môn Toán .
d. B

ồi dưỡng tình cảm nghề nghiệp, phẩm chất đạo đức
c
ủa người thầy giáo
d
ạy
môn
Toán.
Thông qua bộ môn PPDH Toán, cần làm cho giáo sinh thấy rõ vai trò, vị trí của các
tri th
ức và kỹ năng Toán học
, cái hay, cái khó và tính ch
ất sáng tạo của việc dạy học
môn Toán, t
ừ đó nâng cao ý thức trách nhiệm và tình
c
ảm nghề nghiệp. Đồng thời
c
ũng rèn luyện cho giáo sinh những phẩm chất đạo đức cần thiết của người thầy giáo
d
ạy môn
Toán như: kiên trì, v
ượt khó, cẩn thận, chính xác, tính kế hoạch, thói quen tự
ki
ểm tra v.v
e. Phát tri
ển năng lực tự đ
ào tạo, tự nghi
ên c
ứu về PPDH
môn Toán

Năng l
ực n
ày thể hiện trước hết ở các
k
ỹ
năng:
- Kết hợp quá trình đào tạo với quá trình tự đào tạo, tăng cường yếu tố tự học, tự
đào đào t
ạo trong học tập và rèn luyện , làm cho giáo sinh có khả năng tự học tập và tự
nghiên c
ứu.
- Vi
ết v
à bảo vệ thành công những bài tập lớn và luận văn tốt nghiệp về đề tài
PPDH môn Toán.
Vi
ệc phát triển năng lực tự học, tự đ
ào tạo, tự nghiên cứu làm cho giáo sinh khi trở
thành giáo viên s
ẽ có các khả năng :
- T
ự thích ứng với sự thay đổi ch
ươn
g trình và sách giáo khoa môn Toán (mà s
ự
thay đ
ổi n
ày đương nhiên diễn ra sau từng thời gian
nh
ất định.

- Vi
ết sáng kiến kinh nghiệm.
- Ti
ến hành nghiên cứu những đề tài dạy học về môn Toán nói riêng, về khoa học
giáo d
ục nói chung, góp phần phát triển
chuyên ngành PPDH Toán h
ọc và nền KHGD
Vi
ệt Nam.
II. Tính khoa học và những khoa học có liên quan
2.1. Tính khoa h
ọc
Ngay t
ừ đầu cuốn sác, ta đã
coi PPDH môn Toán là m
ột chuyên ngành khoa học.
Trong m
ục này, tính
khoa h
ọc của
chuyên ngành này s
ẽ được lí gi
ải một cách có
căn c
ứ.
Tính khoa h
ọc của chuyên ngành PPDH Toán học cần được đặt ra và giải quyết
m
ột cách tổng quát trong phạm vi các khoa học

giáo d
ục.
Đ
ặc tr
ưng của một khoa học là nó khái quát thực tiễn, phát hiện những mối liên hệ
có tính quy luật để giúp con người nhận thức và cải tạo môi trường tự nhiên và xã hội. .
Khoa h
ọc giáo dục nói chung và PPDH Toán học nói riêng có đặc trưng cơ bản đó.
Như ta đ
ã biết,
Khoa h
ọc giáo dục nghiên cứu các bộ phận và các phương diện
khác nhau c
ủa quá trình giáo d
ục. Cũng nh
ư mọi
hi
ện tượng, mọi quá trình khách
quan, quá trình giáo d
ục có tính quy luật.
Nó ch
ịu tác động của những quy luật phản
ánh nh
ững mối liên hệ tất yếu, phổ biến, bên trong và bản chất. Khoa học giáo dục
không d
ừng ở chỗ thu thập những kinh nghi
ệm vụn vặt, t
ường thuật những hiện tượng
riêng l
ẻ thấy được do quan sát hoặc thực nghiệm mà còn phải đi sâu phát hiện tính quy

lu
ật của các hiện tượng đó đằng sau những cái ngẫu nhiên, đa dạng, thậm chí bất
thư
ờng. Ta có thể liệt kê một số quy luật mà ngườ
i ta đ
ã nhận thức được
.
- Quy lu
ật về tính quy định xã hội đối với quá trình dạy học
;
- Quy lu
ật thống nhất biện chứng giữa dạy và học
;
8
- Quy lu
ật thống nhất biện chứng giữa nội dung và phương pháp
d
ạy học v.v. . .
D
ựa vào các quy luật như thế ta mới
có th
ể giải thích những
trư
ờng hợp thành công
hay th
ất bại, chẳng hạn làm sáng tỏ vì sao một đường lối giáo dục nào đó mang lại
nh
ững thành tựu to lớn, một kiểu nhà trường nào đó thành công tốt đẹp, một phương
pháp d
ạy học nào đó đạt hiệu quả cao.

D
ựa và
o các quy lu
ật như thế ta mới có thể dự báo tức là nhìn trước một cách khoa
h
ọc, thu lượm các thông tin vượt lên trước về đối tượng nghiên cứu, xây dựng những
gi
ả thuyết khoa học về đối tượng này.
D
ựa vào các quy luật như thế mới có thể xây dựng, cải tạo
nh
ững quá trình giáo
d
ục nhằm đạt hiệu quả ngày càng cao
.
V
ận dụng những quy luật chung của khoa học giáo dục vào môn Toán và căn cứ
vào đ
ặc điểm bộ môn, ng
ười ta cũng đi đến nhận thức
nh
ững mối li
ên hệ có tính quy
luật trong quá trình dạy học môn Toán, chẳng hạn như:
- Phát triển tư duy thuật giải là một điều kiện để rèn luyện kĩ năng tính toán.
- Chú trọng đúng mức cả hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp là một điều kiện
đ
ảm bảo chất lượng dạy học phương trình.
D
ựa vào những mối liên hệ có tính quy

lu
ật như thế, người ta tổ chức quá trình dạy
h
ọc môn Toán một cách có kết quả.
Tuy nhiên tính khoa h
ọc
c
ủa PPDH
môn Toán nói riêng và c
ủa khoa học giáo dục
nói chung hi
ện nay nhiều người còn chưa thấy rõ, thậm chí còn hoài nghi. Sỡ dĩ như
v
ậy chủ yếu là v
ì nh
ững lí do
sau đây:
- Th
ứ nhất
, nh
ững quy luật của quá trình giáo dục có tính chất là quy luật xã hội
nên chúng phát huy tác d
ụng thông qua hoạt động hướng đích
và t
ự giác của con người
Ch
ẳng hạn, một mối li
ên hệ có tính quy luật là mục đích dạy học
toán quy đ
ịnh nội

dung d
ạy học toán. Tuy nhi
ên, như vậy không có nghĩa là cứ đề ra mục đích dạy học
toán thì m
ặc nhi
ên có một nội dung thích hợp. Việc đề ra nội dung thích hợp phải do
ho
ạt động h
ướng đíchvà tự giác của con người, cụ thể là những người làm
chương
trình.
- Th
ứ hai,
quá trình giáo d
ục phụ thuộc v
ào rất nhiều yếu tố mà nhiều khi ta không
thể nào dự tính hết . Những yếu tố nêu trong một quy luật giáo dục chỉ là một số trong
các yếu tố tác động và nói chung trong thực tế không thể cô lập khỏi cá c yếu tố khác.
Các yếu tố khác vẫn có ảnh hưởng đến kết quả giáo dục, có khi che mờ tác động của
yếu tố nêu trong quy luật, làm cho quy luật thể hiện không rõ ràng. Cho nên trong khi
kh
ẳng định sự tồn tại của các quy luật giáo dục, ta không nên nghĩ rằng c
húng th
ể hiện
chính xác như các đ
ịnh lý Toán học, như các quy luật tự nhiên. Tính khoa học của giáo
d
ục học v
à PPDH Toán học cần được hiểu theo cách như vậy.
- Th

ứ ba,
phát hi
ện đầy đủ các quy luật của quá tr
ình giáo dục là việc vô cùng khó
khăn, đ
ã và
đ
ang đư
ợc giải quyết nh
ưng chưa
tri
ệt để. Hiện nay ng
ười ta chưa đưa ra
đư
ợc một hệ thống ho
àn chỉnh các quy luật của quá trình này.
Đó là m
ột việc m
à khoa
h
ọc giáo dục c
òn phải tiếp tục để có thể phản ánh quá trình giáo dục một các đầy đủ và
tr
ọn vẹn. PPD
H Toán h
ọc l
à một chuyên ngành khoa học đang trên đường phát triển,
tính khoa h
ọc của nó c
òn bị hạn chế. Nói như vậy để thấy rõ trình độ của nó, để góp

ph
ần ho
àn thiện nó chứ không phải phủ định giá trị của nó. Thực ra tuy trình độ phát
tri
ển của nó còn hạ
n ch
ế, nhưng nó đã góp phần nhất định vào việc nâng cao chất
lư
ợng dạy học môn Toán. Không thể hình dung việc soạn chương trình, sách giáo khoa
và sách giáo viên s
ẽ dẫn đến kết quả như thế nào nếu không có những công trình
nghiên c
ứu về PPDH bộ môn. Nghiên
c
ứu bản thân khoa học Toán học, nghiên cứu
Tâm lý h
ọc là điều kiện cần nhưng chưa phải là đủ.
Ph
ải nghiên cứu trên lãnh vực
9
PPDH b
ộ môn nữa thì mới có thể cho ra đời những thế hệ chương trình, sách giáo
khoa và sách giáo viên t
ốt, đạt được những yêu c
ầu m
à chúng ta mong muốn đòi hỏi.
2.2. Nh
ững khoa học có liên quan
Những hiện tượng và những quá trình khác nhau trong tự nhiên và xã hội có những
m

ối liên hệ mật thiết với nhau, có tác động qua lại với nhau. Điều này cũng được phản
ánh trong quan h
ệ giữ
a PPDH v
ới những khoa học khác, trước hết là với các khoa học
sau đây:
a. Tri
ết học duy vật biện chứng
Tri
ết học duy vật biện chứng thể hiện các quy luật chung nhất của sự phát triển tự
nhiên, xã h
ội v
à tư duy con người. Nó là cơ sở phương pháp luận của m
ọi khoa học,
trong đó có PPDH Toán h
ọc. Nó giúp ta hiểu đ
ược đối tượng và phương pháp của
khoa h
ọc Toán học một cách đúng đắn v
à sâu sắc, giúp hình thành thế giới quan duy
v
ật biện chứng ở thế hệ trẻ. Nó cung cấp cho ta phương pháp nghiên cứu đúng đắn:
xem xét các hi
ện tượng giáo dục trong quá trình phát triển và trong mối liên hệ phụ
thu
ộc lẫn nhau, trong sự mâu thuẫn thống nhất, phát hiện những sự biến đổi số lượng
d
ẫn tới những biến đổi chất lượng v.v
b. Toán h
ọc

D
ĩ nhiên PPDH
môn Toán có liên h
ệ ch
ặt chẽ với khoa học Toán học. Toán học có
đ
ối tượng và phương pháp của nó. Nó đang phát triển như vũ bão, ngày càng thâm
nh
ập vào các lĩnh vực khoa học và công nghệ và đời sống. PPDH Toán học phải phản
ánh vào nhà trư
ờng những tri thức và phương pháp phổ t
hông, cơ b
ản nhất trong
nh
ững thành tựu Toán học của nhân loại, sắp xếp chúng thành một hệ thống đảm bảo
tinh khoa h
ọc, tính tư tưởng , tính thực tiễn và tính sư phạm, phù hợp với điều kiện,
hoàn c
ảnh của đất n
ước, đáp ứng được yêu cầu của cách mạng khoa h
ọc công nghệ
ngày nay.
c. Giáo dục học
PPDH môn Toán phải dựa vào những thành tựu của Giáo dục học. Quá trình dạy
h
ọc môn Toán là một bộ phận của quá trình giáo dục nói chung. PPDH Toán học phải
v
ận dụng những kết quả nghiên cứu
Giáo d
ục ở nước ta v

a trên th
ế giới vào việc xác
đ
ịnh mục tiêu, yêu cầu môn Toán
trong toàn b
ộ hệ thống giáo dục, quy định nội dung
và phương pháp d
ạy học môn đó cho phù hợp với sự phát triển hiện nay của khoa học
giáo d
ục.
d. Tâm lí h
ọc
“Tâm lí h
ọc là khoa học về các sự k
i
ện, tính qui luật và các cơ chế của tâm lí, như
là cái quy đ
ịnh sự phản ánh tích cực của con người đối với hiện thực khách quan và
đi
ều chỉnh hành vi con người. Tâm lí học nghiên cứu các quá trình , các trạng thái và
các ph
ẩm chất tâm lí muôn màu muôn vẻ,
là nh
ững cái được hình thành trong quá trình
phát tri
ển của con ng
ười, quá trình giáo dục con người và quá trình tác động của con
ngư
ời với môi tr
ường xung quanh"

. PPDH môn Toán ph
ải dựa v
ào những thành tựu
c
ủa
Tâm lí h
ọc, đặc biệt l
à
Tâm lí h
ọc phát triể
n, Tâm lí h
ọc s
ư phạm và Tâm lí học tư
duy đ
ể xác định mục đích, y
êu cầu, nội dung và phương pháp dạy học từng lớp từng
cấp.
e. Logic h
ọc
Tính logic là b
ắt buộc đối với mọi khoa học. Dựa vào L
ogic h
ọc, người ta trình bày
nh
ững khái niệm một cách chính
xác, nh
ững lập luận một cách có căn cứ. Trong
PPDH môn Toán, đi
ều đó lại càng cần thiết vì chuyên ngành này liên hệ với một khoa
h

ọc đ
ược xây dựng một cách chặt chẽ như Toán học .
10
g. Tin h
ọc
PPDH Toán c
ũng liên hệ mật thiết với Tin học, bởi vì Tin học,
nói r
ộng ra cũng là
Công ngh
ệ Thông tin và Truyền thông, với tư cách là một mũi nhọn khoa học công
ngh
ệ của thời đại, đang gây nên những biến đổi sâu sắc trong giáo dục Toán học, đặc
bi
ệt là về phương pháp dạy học.
h. Nh
ững khoa học khác
Ngoài các khoa học kể trên, PPDH Toán học còn liên hệ với nhiều lĩnh vực khoa
h
ọc khác nữa, chẳng hạn với Lí thuyết xác suất, Thống kê Toán học để phân tích đánh
giá s
ố liệu quan sát, thực nghiệm, với Lí thuyết hệ thống để xem xét quá trình dạy học
m
ột cách khoa học dưới
nh
ững góc độ khác nhau, để hiện đại hoá phương pháp và
công c
ụ nghiên cứu.
Nh
ững mối liên hệ trê

n có th
ể biểu diễn bằng sơ đồ (Hình 3
)
Hình 3
Qua sơ đ
ồ trên ta thấy Triết học duy vật biện chứng vừa có mối liên hệ trực tiếp
v
ừa có mối liên hệ gián tiếp
v
ới PPDH
môn Toán.
Ch
ẳng hạn, xuất phát từ luận điểm Triết học
“Th
ực tiễn là nguồn gốc của nhận
th
ức, là tiêu chuẩn của chân lý”
, có th
ể trực tiếp r
út ra m
ột yêu cầu có tính nguyên tắc
trong d
ạy học môn Toán là
“Lí lu
ận liên hệ với thực tiễn”
.
M
ặt khác, có thể nêu một ví dụ về mối liên hệ gián tiếp của Triết học duy vật biện
ch
ứng với PPDH Toán học thông qua một khoa học khác, chẳng hạn thông qua To

án
h
ọc. Theo phép biện chứng duy vật, người ta cần xem xét những hiện tượng, sự vật
trong tr
ạng thái động v
à trong mối liên quan mật thiết với nhau. Từ đó trong Toán học
có khái ni
ệm h
àm mà tầm quan trọng của nó dẫn tới một tư tưởng chủ đạo trong dạy
h
ọc m
ôn Toán, đó là: “Đ
ảm bảo vị trí trung tâm của khái niệm h
àm trong toàn bộ
Chương tr
ình môn toán
ở nhà trường phổ thông
”.
III. Phương pháp nghiên cứu
3.1. Cơ sở phương pháp luận
Do khái quát nh
ững sự kiện từ tất cả các khoa học và trên cơ sở đó phát hiện
ra
nh
ững quy luật phát triển của tự nhiên, xã hội và tư duy, phép biện chứng duy vật là cơ
s
ở phương pháp luận cho mọi lĩnh vực khoa học, trong đó có PPDH Toán học. Nó
quy
ết định những quan điểm xuất phát, chiến lược nghiên cứu, quyết định việc lựa
ch

ọn ph
ương pháp nghiên c
ứu và giải thích kết quả. Những tư tưởng cơ bản của
11
phương pháp duy v
ật biện chứng cần được thể hiện trong nghiên cứu PPDH Toán học
là :
- Xem xét nh
ững quá trình và hiện tượng trong mối quan hệ nhiều mặt và tác động
qua l
ại giữa chúng
;
- Xem xét nh
ững quá trình và hiện tượng trong sự vận động, và phát triển, vạch ra
nh
ững bước chuyển hoá từ sự biến đổi về lượng sang biến đổi về chất;
- Phát hi
ện những mâu thuẫn nội tại và sự đấu tranh giữa những mặt đối lập để tìm
ra nh
ững động lực đ
ể phát triển;
- Th
ừa nhận thực tiễn như nguồn gốc của nhận thức và tiêu chuẩn của chân lí.
Ch
ẳng hạn, muốn nghiên cứu việc phát triển năng lực khái quát hoá cho học sinh
thông qua môn toán, ta không xem xét năng l
ực này một cách cô lập, trái lại phải
nghiên c
ứu nó trong mối li
ên hệ chặt chẽ với những năng lực trí tuệ khác như phân

tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, trừu tượng hoá, với những đặc điểm nhân cách
khác nữa như kiến thức, phẩm chất v.v Đồng thời cần nghiên cứu năng lực này trong
quá trình vận động, phát triển từ thấp đến cao.
3.2. Nh
ững phương pháp nghiên cứu cụ thể
Các phương pháp thư
ờng dùng trong nghiên cứu khoa học giáo dục nói chung và
phương pháp d
ạy học môn Toán nói ri
êng là: nghiên cứu lí luận, quan sát
đi
ều tra,
t
ổng kết kinh n
ghi
ệm và thực nghiệm
giáo d
ục.
a. Nghiên c
ứu lí luận
Trong nghiên c
ứu lí luận
ngư
ời ta dựa v
ào tài liệu sẵn có, những thành tựu của
nhân lo
ại tr
ên những lĩnh vực khác nhau như Tâm lí học, Giáo dục học, Toán học,
nh
ững văn kiện của Đảng v

à Nhà nước để v
ận dụng v
ào PPDH
môn Toán.
Ngư
ời ta cũng nghi
ên cứu cả những kết quả của bản thân chuyên ngành PPDH Toán
h
ọc để kế thừa những cái hay, ph
ê phán và gạt bỏ những cái dở, bổ sung và hoàn chỉnh
nh
ững nhận thức đ
ã đạt được.
Những hình thức thường được dùng trong nghiên cứu lí luận là: phân tích tài liệu lí
luận, so sánh quốc tế và phân tích tiên nghiệm.
Việc phân tích tài liệu lí luận giúp ta chọn đề tài, đề ra mục đích nghiên cứu, hình
thành gi
ả thuyết khoa học, xác định tư tưởng chủ đạo và đánh giá sự kiệ
n. Khi nghiên
c
ứu lí luận, ta cần phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát để tìm ra
ý m
ới
. Cái m
ới ở
đây có th
ể l
à một lí thuyết hoàn toàn mới, nhưng cũng là cái mới đan kết với những cái
c
ũ, có thể l

à một sự tổng hợp những nét riêng lẻ đã chứa trong cái c
ũ, s
àng l
ọc cái mới
trong cái c
ũ, n
êu bật cái bản chất từ những cái cũ.
So sánh qu
ốc tế
giúp ta l
ựa chọn, xây dựng ph
ương án tác động giáo dục trên cơ sở
đánh giá, so sánh tài li
ệu, cách l
àm của những nước
khác nhau.
Phân tích tiên nghi
ệm
thư
ờng dựa v
à
o nh
ững yếu tố lịch sử, những cách tiếp cận
khác nhau c
ủa một lí thuyết, những cách định nghĩa khác nhau của một khái niệm, để
d
ự kiến những quan niệm có thể có của học sinh về một tri thức Toán học. Nó cũng
đư
ợc dùng để kiểm nghiệm một hiện tượng, một q
uá trình có th

ỏa mãn những tiêu
chu
ẩn, yêu cầu, điều kiện đặt ra hay không.
b. Quan sát

Đi
ều tra
Quan sát  Đi
ều tra
đư
ợc sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu giáo dục. Đó là những
phương pháp tri giác có m
ục đích một hiện t
ượng giáo dục nào đó để thu
lư
ợm những
tài li
ệu, số liệu, sự kiện cụ thể đặc tr
ưng cho quá trình diễn biến của hiện tượng.
Đi
ều
tra gi
ống
quan sát
ở chỗ c
ùng dựa vào và khai thác những hiện tượng có sẵn, không
12
Li
ệt k
ê sự kiện

Mô tả quá trình
Tư
ớc bỏ những yếu tố ngẫu
nhiên làm bôc l
ộ cái bản chất
Phát hi
ện mối liên hệ nhân quả
Dùng lý luận soi sáng
Dùng th
ực tế kiểm nghiệm
ch
ủ động gây nên những tác động sư phạm, nhưng quan sát thiên về xuất phát
t
ừ
nh
ững dấu
hi
ệu
bên ngoài, còn
điều tra cóthể khai thác những thông tin sâu kín từ
bên
trong, ch
ẳng hạn cho làm những bài kiểm tra rồi đánh giá.
Quan sát  đi
ều tra giúp ta theo d
õi hiện tượng giáo dục theo trình tự thời gian, phát
hi
ện những biến đổi
s
ố l

ượng, chất lượng gây ra do tác động giáo dục. Nó giúp ta thấy
đư
ợc những vấn đề thời sự cấp bách đ
òi hỏi phải nghiên cứu hoặc góp phần giải quyết
nhi
ệm vụ nghi
ên cứu.
Quan sát  đi
ều tra thực tiễn sư phạm, chẳng hạn thăm lớp, dự giờ sẽ giúp ta nhận
th
ức được thực trạng dạy học Toán, phát hiện những vấn đề thời sự cấp bách cần
nghiên c
ứu, giúp ta thu được những tài liệu sinh động và bổ ích cho nhiệm vụ nghiên
c
ứu.
Theo m
ối quan hệ giữa đối t
ượng quan sát
 đi
ều tra với ng
ười nghiên cứu thì có
các d
ạ
ng quan sát  đi
ều tra trực tiếp, gián tiếp, công khai, kín đáo. Theo dấu hiệu về
th
ời gian th
ì có quan sát
 đi
ều tra li

ên tục, gián đoạn .
Quan sát đi
ều tra cần có
m
ục đíc
h c
ụ thể (chẳng hạn để thấy đ
ược hoạt động tích
c
ực của học sinh tro
ng gi
ờ học),
có n
ội dung cụ thể(chẳng hạn việc gây dựng động cơ
và hư
ớng đích
c
ủa giáo viên, số lượng học sinh giơ tay xin phát biểu, số lượng câu hỏi,
ch
ất lượng câu trả lời của học sinh thể hiện sự suy nghĩ sâu sắc hay hời hợt, sự tập
trung chú ý thể hiện qua hướng nhìn và cử chỉ,. . .)và có tiêu chuẩn đánh giá cụ
thể(chẳng hạn một giờ như thế nào được đánh giá là hoạt động rất tích cực, khá tích
c
ực, kém tích cực).
c. T
ổng kết kinh nghiệm
T
ổng kết kinh nghiệm
, th
ực chất l

à đánh giá
và khái quát kinh nghi
ệm, từ đó
phát hi
ện ra
nh
ững vấn đề cần nghi
ên cứu hoặc khám phá ra
nh
ững mối li
ên hệ có tính qui luật của những
hi
ện t
ượng giáo dục.
Nh
ững kinh nghiệm cần được đặc biệt chú ý là
kinh nghi
ệm
tiên ti
ến, kinh nghiệm thành công
và kinh nghi
ệm lặp lại nhiều lần.
T
ổng k
ết kinh nghiệm không ch
ỉ đơn giản là
trình bày l
ại những công việc đã làm và những
k
ết quả đã đạt được. Là một phương pháp

nghiên c
ứu khoa học, nó phải được tiến hành
theo m
ột quy trình nghiêm túc
Ph
ần cuố
i c
ủa sơ đồ cho thấy rõ mối liên hệ gi
ữa
t
ổng kết kinh nghiệm với nghiên cứu lí luận và
thực nghiệm giáo dục.
Hình 4
Tổng kết kinh nghiệm phải có lí luận soi sáng thì mới có thể thoát khỏi những sự
ki
ện lộn xộn, những kinh nghiệm vụn vặt có tính không phổ biến, mới loại bỏ được
nh
ững yếu tố
ng
ẫu nhiên, đi sâu vào bản chất của sự vật, hiện tượng, đạt tới những
kinh nghi
ệm có giá tr
ị khoa học. Ch
ỉ khi đó tổng kết kinh nghiệm mới thật sự là một
phương pháp nghiên c
ứ
u khoa h
ọc.
13
d. Thực nghiệm giáo dục

Th
ực nghiệm giáo dục
cho phép ta t
ạo nên
nh
ững tác động sư pham, từ đó xác định
và đánh giá k
ết quả của những tác động đó. Đặc trưng của thực nghiệm giáo dục là
không di
ễn ra một cách tự phát mà là dưới sự điều khiển của nhà nghiên cứu. Nhà
nghiên c
ứu tổ chức quá trình giáo dục một cách có ý thức
, có m
ục đích, có kế hoạch,
t
ự giác thiết lập v
à thay đổi những điều kiện thực nghiệm cho phù hợp với ý đồ nghiên
c
ứu của m
ình.
Trong nh
ững điều kiện nhất định, thực nghiệm giáo dục cho phép ta khẳng định
ho
ặc bác bỏ một giả thuyết khoa học đ
ã đề ra.
Trong th
ực nghiệm giáo dục, ta cần giải thích kết quả, l
àm rõ nguyên nhân bằng lí
lu
ận hoặc bằng sự phân tích quá tr

ình
th
ực nghiệm.
Th
ực nghiệm giáo dục l
à một phương pháp nghiên cứu rất có
hi
ệu lực
, song th
ực
hi
ện nó rất công phu, vì thế ta không nên
l
ạm dụng nó. Khi nghiên cứu một hiện tương
giáo d
ục, trước hết có thể dùng phương pháp không đòi hỏi quá nhiều công sức, ví dụ
như nghiên cứu lí luận, quan sát, tổng kết kinh nghiệm. Chỉ ở những chỗ phương pháp
này chưa đủ sức thuyết phục, chỉ ở một số khâu mấu chốt, ta mới dùng thực nghiệm
giáo dục.
Thông thư
ờng những ph
ương pháp nghiên cứu được sử dụng kết hợp với nhau.
Ch
ẳng hạn, qua nghi
ên cứu lí luận, quan sát, tổng kết kinh nghiệm, người ta đề xuất
m
ột giả thuyết khoa học rồi đem thực nghiệm giáo dụ
c đ
ể kiểm nghiệm. Sau đó lại
dùng lí lu

ận để phân tích kết quả, xác định nguy
ên nhân và khái quát hoá những điều
đ
ã
đạt được.
Câu h
ỏi v
à
Bài t
ập
Chương 1
CÂU H
ỎI NGẮN
1. Phân bi
ệt đối tượng của giáo dục học, của PPDH môn Toán và của Toán học?
2. Tên gọi “Ph
ương pháp giảng dạy môn toán” có thích hợp với bộ môn này không?
Vì sao?
3. Tri th
ức khoa học, tri thức ch
ương trình, tri thức dạy học khác nhau như thế nào?
4. Phân tích m
ối li
ên hệ giữa các yếu tố xác định quá trình dạy học?
5. Hãy trình bày nh
ững
nhi
ệm vụ của bộ môn PPDH toán với t
ư cách là lĩnh vực
nghiên cứu?

6. Cho các ví dụ minh họa mối liên quan giữa PPDH môn toán với các khoa học khác?
7. Nghiên cứu lý luận có động nghĩa với đọc sách hay không?
8. Ch
ỉ tường thuật lại công việc đã làm có phải
là t
ổng kết kinh nghiệm hay không?
CÂU H
ỎI TỔNG HỢP
1. Có ngư
ời nói PPDH toán không phải là một khoa học. Anh (chị) hãy phát biểu ý
ki
ến của mình về nhận xét trên?
2. Hãy phân tích nh
ững nhiệm vụ của bộ môn PPDH toán với tư cách là môn học
trong nhà trư
ờng Sư phạm?
CH
Ủ ĐỀ X
ÊMINA (nâng cao)
Ch
ủ đề 1: Mối quan hệ giữa học tập v
à nghiên cứu PPDH toán của sinh viên ngành
toán trong các trư
ờng s
ư phạm?
Ch
ủ đề 2: Tại sao có thể nói quá tr
ình nghiên cứu khoa học PPDH toán, các nhà
NCKH ph
ải phối hợp nhiều p

hương pháp khác nhau?
BÀI T
ẬP TRẮC NGHIỆM
Tr
ắc nghiệm 1:
Hãy
đánh d
ấu (×) vào ô phù hợp với đáp án mà anh (chị) lựa chọn
:
14
Câu h
ỏi
Đúng
Sai
1. N
ắm vững tri thức khoa học là điều kiện cần và đủ để dạy tốt.
2. N
ắm vững tri thức khoa học l
à điều ki
ện cần nh
ưng chưa đ
ủ để
d
ạy tốt.
3. Đ
ể dạy tốt, nắm vững tri thức khoa học là điều kiện đủ nhưng
không ph
ải là điều kiện cần.
4. Th
ầy giáo cần dạy nguyên dạng tri thức khoa học.

5. Th
ầy giáo cần dạy nguy
ên dạng tri thức chương trình.
6. Việc dạy có tác động điều khiển đối với việc học.
7. D
ạy là HĐ của thầy tác động lên nội dung môn học.
8. M
ục ti
êu dạy học là điều mà học sinh muốn đạt.
9. M
ục ti
êu dạy học tác động tới PPDH chứ không phải PPDH tác
đ
ộng tới mục ti
êu môn học.
10. Đối t
ượng của PPDH Toán là quá trình dạy học toán.
11. Phương pháp quan sát sư ph
ạm và phương pháp thực nghiệm
giáo d
ục là một.
12. Sau khi hư
ớng dẫn học sinh để họ tự t
ìm ra kiến
th
ức, giáo
viên c
ần thể thức hóa kiến thức đó.
Trắc nghiệm 2: Chọn một đáp án đúng trong các phương án sau đây:
1. Trong 3 yếu tố xác định quá trình dạy học: Mục tiêu, nội dung, phương pháp thì:

a) Phương pháp giữ vai trò chủ đạo.
b) Nội dung giữ vai trò chủ đạo.
c) M
ục ti
êu giữ vai trò chủ đạo.
d) Không có y
ếu tố n
ào gi
ữ vai tr
ò chủ đạo.
2. Ngư
ời ta sử dụng các dấu hiệu n
ào để phân biệt các lĩnh vực khoa học khác nhau:
a) Đ
ối t
ượng nghiên cứu
b) Phương pháp nghiên c
ứu
c) H
ệ thống các khái niệm, phạm tr
ù của chuyên ngành
d) T
ất cả các dấu hiệu tr
ên.
BÀI T
ẬP R
ÈN
K
Ĩ NĂNG
1. Hãy l

ập phiếu điều tra giờ tự học tại nhà của sinh viên ngành toán hệ CĐSP.
2. Xác đ
ịnh mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu cho đề tài sau: “Tìm hiểu kĩ
năng gi
ải bài toán bằng cách lập phương trình bậc nhất của học sinh lớp 8 trường
THCS”
15
Chương 2
M
ỤC TIÊU
D
ẠY HỌC MÔN TOÁN
M
ục ti
êu của chương
H
ọc xong ch
ương này người học cần đạt đ
ư
ợc
các m
ục ti
êu sau đây
- Hi
ểu đ
ược căn cứ để xác định mục tiêu môn toán, xác định đ
ư
ợc
m
ục ti

êu này về
m
ặt tri thức va kỹ năng, t
ư duy và th
ái đ
ộ;
- Bi
ết phân tích các mục ti
êu thành phần này và hiểu mối liên hệ mật thiết giữa các
thành ph
ần đó.
I. Những căn cứ giúp cho việc xác định mục tiêu dạy học môn Toán
1.1. M
ục tiêu giáo dục
c
ủa trường phổ thông Việt Nam
Nói một cách tổng quát, mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là
hình thành những cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới phát triển toàn diện
phù hợp với yêu cầu và điều kiện, hoàn cảnh của đất nước Việt Nam.
Lu
ật giáo dục nước ta quy định
m
ục tiêu giáo dục phổ thô
ng và c
ụ thể hóa cho cấp
THCS như sau:
"1. M
ục ti
êu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo
đ

ức , trí tuệ, thẩm mỹ v
à các kỹ năng cơ bản
, phát tri
ển năng lực cá nhân, tính năng
đ
ộng v
à tính sáng tạo,
hình thành nhân cách con ngư
ời Việt Nam x
ã hội chủ nghĩa, xây
d
ựng t
ư cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lênhoặc đi
vào cu
ộc sống lao động, tham gia xây dựng v
à bảo vệ Tổ quốc "
…………………………………………………………………………………………
“ 3. Giáo d
ục THCS nhằm giúp học sinh c
ủng cố v
à phát triển những kết quả của giáo
d
ục tiểu học; có học vấn phổ thông ở trình độ cơ sở và những hiểu biết ban đầu về kỹ
thu
ật và hướng nghiệp để tiếp tục học trung học phổ thông, trung cấp, học nghề hoặc
đi vào cu
ộc sống lao động. . .”(Luật giáo d
ục 2005, ch
ương II, mục 2, điều 27)
Môn Toán c

ũng như mọi môn học, xuất phát từ đặc điểm vị trí của mình, phối hợp
cùng các môn khác và các ho
ạt động khác nhau trong nhà trường, góp phần thực hiện
m
ục tiêu nêu trên.
1.2. Đ
ặc điểm môn Toán
1.2.1. Tính tr
ừ
u tư
ợng cao độ v
à tính thực tiễn phổ dụng
a. Tính tr
ừu tượng cao độ
Tính tr
ừu t
ượng của Toán học và của môn Toán trong nhà trường được quy định do
chính đ
ối t
ượng
và phương pháp c
ủa Toán học quy định
, th
ể hiện ở hai định nghĩa
sau:.
- Toán h
ọc l
à khoa
h
ọc nghi

ên cứu về quan hệ số lượng, hình dạng và lôgic trong
th
ế giới khách quan.
- Toán h
ọc l
à khoa học nghiên cứu về cấu trúc số lượng mà người ta có thể trang bị
cho m
ột tập hợp bằng một hệ ti
ên đề
.
Như v
ậy, những quan hệ số l
ượng được hiểu theo một ng
h
ĩa rất tổng quát v
à rất trừu
tư
ợng. Chúng có thể diễn tả cả quan hệ lôgic và quan hệ hình dạng không chỉ trong
không gian th
ực tế ba chiều mà cả trong những không gian trừu tượng khác nữa như
không gian có số chiều là n hoặc vô hạn, không gian mà phần tử là những hàm liên tục
v.v Quan hệ số lượng không chỉ bó hẹp trong phạm vi các tập hợp số mà được hiểu
như nh
ững phép toán và những tính chất của chúng trên những tập hợp các phần tử là
nh
ững đối t
ượng loại tuỳ ý như ma trận, tập hợp, mệnh đề, phép biến h
ình
Đương nhiên tính ch
ất trừu t

ượng không phải chỉ có trong Toán học mà là đặc điểm
c
ủa mọi khoa học. Nh
ưng trong Toán học, cái trừu tượng tách ra khỏi mọi chất liệu
16
c
ủa đối tượng, chỉ giữ lại những quan hệ số lượng dưới dạng cấu trúc mà thôi. Như
vậy, Toán h
ọc có tính chất trừu tượng cao độ
.
b. Tính th
ực tiễn phổ dụng
Tính tr
ừu tượng c
ao đ
ộ chỉ che lấp chứ không hề làm mất tính thực tiễn của Toán
h
ọc. Toán học có nguồn gốc thực tiễn. Số học ra đời trước hết do nhu cầu đếm. Hình
h
ọc phát sinh do sự
c
ần thiết phải đo ruộng đất bên bờ sông Nin (Ai Cập) sau những
tr
ận lụt hàn
g năm. Tính tr
ừu tượng cao độ làm cho Toán học có
tính th
ực tiễn phổ
d
ụng

, có th
ể ứng dụng được
trong nhi
ều lĩnh vực rất khác nhau của đời sống thực tế.
Ch
ẳng hạn những tri thức về
tương quan t
ỉ lệ thuận biểu thị bởi công thức y = ax có
th
ể được ứng dụng vào hình học, điện học, hoá học v.v vì mố
i tương quan này ph
ản
ánh nh
ững mối liện hệ trên các lĩnh vực đó, chẳng hạn :
- Di
ện tích S của một tam giác với một cạnh a cho tr
ước
t
ỉ lệ thuận với đ
ường cao
tương
ứng với cạnh đó :
haS .
2
1

- Quãng
đư
ờng S đi được trong một chuyển động đều với vận tốc cho trước v tỉ lệ
thu

ận với thời gian t : S = v.t
- Hi
ệu điện thế
U t
ỉ lệ thuận với d
òng điện I khi điện t
r
ở R
không đ
ổi: U
= I.R
- Phân t
ử gam M của một chất khí tỉ lệ thuận với tỉ khối d của chất khí đó đối với
không khí : M = 29d.
Nh
ững kết quả nghi
ên cứu về nhóm có thể đem ứng dụng cho những đối tượng có
b
ản chất rất khác nhau : số , véct
ơ, ma trận, ph
ép d
ời h
ình,
Do tính tr
ừu tượng cao độ mà Toán học có tính thực tiễn phổ dụng, có thể ứng
d
ụng vào rất nhiều ngành khoa học : Vật lý học, hoá học, Ngôn ngữ học, Thiên văn
h
ọc, Địa lý, Sinh học, Tâm lí học v.v và trở thành một công cụ có hiệu lực của
các

ngành đó.
1.2.2. Tính logic và tính thực nghiệm của Toán học
a. Tính Logic
Khi xây d
ựng Toán học, người ta dùng suy diễn lôgic, cụ thể là dùng phuơng
pháp
tiên đ
ề
. Theo phương pháp đó ngư
ời ta dùng khái niệm nguyên thuỷ (tức là các đối
tư
ợng nguyên
th
ủy và quan hệ nguyên th
ủy) và các tiên đ
ề rồi dùng các qui tắc
logic
đ
ể định nghĩa các khái niệm khác và chứng minh các mệnh đề khác.
Khi trình bày môn Toán trong nhà tr
ư
ờng phổ thông, do đặc điểm lứa tuổi và yêu
c
ầu của từng bậc học, cấp học, nói chun
g là vì lí do sư ph
ạm,
ngư
ời ta có phần châm
chước, nhân nhượng về tính lôgic: Mô tả(không định nghĩa) một số khái niệm không
ph

ải là nguyên th
ủy, th
ừa nhận (không chứng minh) một số mệnh đề không phải là tiên
đ
ề hoặc chấp nhận một số chứng minh chưa thật
ch
ặt chẽ. Tuy nhiên,
nhìn chung giáo
trình toán ph
ổ thông cũng vẫn mang tính lôgic,
h
ệ thống: T
ri th
ức trước chuẩn bị cho
tri th
ức sau, tri thức sau dựa vào tri thức trước, tất cả như những mắt xích liên kết với
nhau m
ột cách
ch
ặt chẽ
.
b. Tính th
ực nghiệm
Toán h
ọc có thể xét theo hai phương diện. Nếu chỉ trình bày lại những kết quả
Toán h
ọc đã đạt được thì nó là môt khoa học suy diễn và tính l
ogic n
ổi bật lên. Nhưng
n

ếu nhìn Toán học trong quá trình hình thành và phát triển, trong quá trình tìm tòi và
phát minh, thì trong phu
ơng pháp của nó vẫn có tìm tòi dự đoán, vẫn có
" th
ực
nghi
ệm
" và " quy n
ạp
". Như v
ậy sự thống nhất giữa suy đoán và suy diễn là một đặc
đi
ểm
c
ủ
a tư duy Toán h
ọc. Phải chú ý cả hai phương diện đó mới có thể ướng dẫn học
sinh h
ọc Toán, mớ
i khai thác đ
ầy đủ tiềm năng môn
Toán đ
ể thực hiện mục
tiêu giáo
d
ục to
àn diện.
17
1.3. V
ị trí môn Toán

trong nhà trư
ờng phổ thông
1.3.1. Môn Toán là môn học công cụ
Đ
ặc điểm của môn Toán quyết định vị trí của môn Toán trong nh
à trường phổ
thông. Ta đ
ã phâ
n tích và th
ấy Toán học có tính trừu t
ượng cao độ, do đó có tính thực
ti
ễn phổ dụng. Với tính thực tiễn phổ dụng v
à phương thức của Toán học xâm nhập
đu7o5c vào nhi
ều khoa học khác v
à vào thực tiễn. Người ta dùng ngôn ngữ
c
ủa Toán
h
ọc để diễn tả nhiều sự k
i
ện ở các lĩnh vực rất khác nhau, và việc toán học hóa tình
hu
ống(xây dựng mô hình Toán học) là một một phương pháp nghiên cứu khoa học
hi
ệu quả. Trong nhà trường, các tri thức và phương pháp Toán học giúp học sinh học
t
ốt các môn học khác và càng lên lớp
trên, tính công c

ụ của môn Toán trong việc học
các môn h
ọc khác càng trở nên rõ ràng. Trong đời sống hàng ngày, các kỹ năng tính
toán, v
ẽ hình, đọc và vẽ biểu đồ, đo đạc, ước lượng, kỹ năng sử dụng các dụng cụ toán
h
ọc, máy tính điện tử là điều cần có để t
i
ến hành hoạt động của người lao động trong
th
ời kỳ công nghiệp hóa, hiện đại hóa.
1.3.2. Môn Toán có ti
ềm năng phát triển năng lực trí tuệ và h
ình thành các ph
ẩm chất
trí tu
ệ
Là môn h
ọc mang sẵn trong nó chẳng những phương pháp quy nạp thực nghiệm mà
c
ả
phương pháp suy di
ễn logic, môn Toán tạo cơ hội cho người học rèn luyện khả
năng suy đoán và tư
ởng tượng. Học toán gắn liện với việc thực hiện các phép suy luận
logic và các phép suy luận có lý, các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, trừu tượng
hóa, khái quát hóa, và vì tư duy không tách rời ngôn ngữ nên học Toán có điều kiện
rèn luyện ngôn ngữ chính xác và trong sáng. Đó là những thành phần cốt yếu của năng
l
ực trí tuệ và là cơ sở để hình thành các phẩm chất trí tuệ: Linh hoạt, độc lập, sáng tạo.

1.3.3. Môn Toán có ti
ềm năng phát triển phẩm chất đạo
đức cho học sinh
Ở tr
ên ta đã nói đến tiềm lực của môn Toán trong việc đào tạo con người về mặt tri
th
ức và năng lực trí tuệ. Nhưng con người ngoài những yếu tố nêu trên còn có một đời
s
ống tư tưởng, tình cả
m, nguy
ện vọng, sở thích, hứng thú, tính tình riêng. Đó là những
thành ph
ần của nhân cách. Việc đào tạo một con người phát triển toàn diện và việc
nh
ận thức được tác động ngược lại của phẩm chất đạo đức vào tri thức và trí tuệ khiến
ta r
ất quan tâm đến vấn
đ
ề giáo dục tư tưởng, đạo dức cho học sinh. Về mặt này, môn
Toán c
ũng dồi dào tiềm lực. Môn Toán có điều kiện hình thành cho học sinh thế giới
quan khoa h
ọc
: Toán h
ọc ra đời từ nhu cầu thực tiễn và quay về phục vụ thực tiễn. Tri
th
ức v
à phương pháp Toán h
ọc l
à nh

ững minh họa sinh động quan điểm biện chứng và
các quy lu
ật của nó. Học Toán tạo điều kiện h
ình thành và hoàn thiện dần những nét
nhân cách: Say mê và có hoài b
ảo trong học tập, mong muốn đ
ược đóng góp phần
mình cho s
ự nghiệp chung của đất n
ước, ý
chí vư
ợt khó, bảo vệ chân lý, cảm nhận
được cái đẹp, trung thực, tự tin, khiêm tốn . . . biết tự đánh giá mình, tự rèn luyện để
đạt đến một nhân cách hoàn thiện.
1.2. Xác đ
ịnh và phân tích các mục
tiêu d
ạy học môn Toán
Từ việc phân tích mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông, phân tích đặc điểm
và vai trò c
ủa môn Toán
, chúng ta đi t
ới việc xác định các mục tiêu của việc dạy học
môn Toán trong nhà trư
ờng: Môn Toán thông qua đặc điểm của bộ môn mình, phối
h
ợp với các bô môn khác và các hoạt động nhằm gó
p ph
ần đào tạo nên những con
ngư

ời có tri thức và có kỹ năng vận dụng tri thức, có phẩm chất trí tuệ và phẩm chất
đ
ạo đức. V
ì vậy các mục tiêu dạy học môn Toán được đặt ra là:
- Cung c
ấp cho học sinh
nh
ững
tri th
ức, kĩ năng
, phương pháp Toán h
ọc phổ thông
cơ b
ản, thiết thực.
18
- Góp ph
ần quan trọng vào việc p
hát tri
ển năng lực trí tuệ
, hình thành kh
ả năng suy
lu
ận đặc trưng cuảa Toán học cần thiết cho đời sống.
- Góp ph
ần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao động khoa học,
bi
ết hợp tác la
o đ
ộng, có ý chí và thói quen tự học thường xuyên.
T

ất cả các mục tiêu trên tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học đại học, cao đẳng, Trung
h
ọc chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động theo hướng phân ban.
Các m
ục tiêu này là những yêu cầu cần
đ
ạt về các mặt: Tri thức và kỹ năng;
tư duy;
thái đ
ộ.
Sau đây ta đi sâu phân tich t
ừng mục tiêu thành phần và mối liên hệ giữa các mục
tiêu đó.
1.2.1. Làm cho học sinh nắm vững tri thức và có kĩ năng thực hành Toán học
a. Cần tạo điều kiện cho học sinh ki
ến tạo
nh
ững dạng
tri th
ức
khác nhau
Người ta thường phân biệt bốn dạng tri thức: Tri thức sự vật;Tri thức phương pháp;
Tri thức chuẩn; Tri thức giá trị.
- Tri thức sự vật (Tri thức nội dung): Là tri thức được khái quát hóa trên cơ sở các
s
ự kiện,
các hi
ện tượng của thế giới khác quan. T
rong môn Toán là tri th
ức về một

khái ni
ệm, một sự kiện toán học
, đư
ợc trình bày trực diện trong mỗi nội dung định
ngh
ĩa, định lý, cũng có khi là một yếu tố lịch sử, một ứng dụng Toán học.
- Tri th
ức phương pháp
: Là tri th
ức mang ý nghĩa công cụ hay là phưong tiện để
ti
ến hành các hoạt động toán học
nh
ằm mục đích, phát hiện, tìm tòi, lĩnh hội tri thức
n
ội dung.
Có hai lo
ại tri thức phương pháp: Tri thức phương pháp thuộc loại thuật Toán
( thu
ật toán Ơclit
, thu
ật toán giải phương trình bậc hai…); Tri thức phương pháp thuộc
lo
ại t
ìm đoán
(phân tích, t
ổng hợp, khái quát hóa, trừu t
ượng hóa…)
Làm cho h
ọc sinh nắm vững tri thức nội dung v

à tri thức phương pháp là điều hết
s
ức cần thiết trong dạy học môn Toán.
C
ả hai loại tri thức n
ày cần phải được coi trọng
như nhau.
Ví d
ụ:
Khi d
ạy định lý “ Tổng ba góc trong một tam
giác b
ằng
0
180
”, ta đ
ã dạy cho học sinh một tri thức
n
ội dung, đó chính là nội dung của định lý này. Có
m
ột tri thức phương ph
áp thu
ộc loại tìm đoán đó là
v
ị
êc kẽ đường thẳng xy qua A song song với BC.
(vẽ th
êm đư
ờng phụ, đặt ẩn phụ) là một tri thức
phương pháp trong giải toán nói chung.

Hình 5
- Tri th
ức chuẩn
: Thư
ờng liên quan tới những chuẩn mực nhất định, chẳng
h
ạn về
nh
ững đơn vị đo lường, quyước về làm tròn những giá trị gần đúng
- Tri th
ức giá trị
: Có n
ội dung là những mệnh đề đánh giá, chẳng hạn
"Toán h
ọc có
vai trò quan tr
ọng trong khoa học và công nghệ cũng như trong đời sống", " khái quát
hoá là m
ột
ho
ạt động trí tuệ cần thiết cho mọi khoa học".
b. Cần r
èn luyện cho học sinh những
k
ĩ năng
trên nh
ững bình diện khác nhau
Th
ế nào là kỹ năng thực hành toán học
?

- K
ỹ năng:
Là kh
ả năng thực hiện có kết quả một hành động nào đó theo một mục
tiêu trong nh
ững điều kiện nhất định.
Tri th
ức thuộc phạm vi hiểu biết, kỹ năng thuộc phạm vi hành động. Không phải cư
có tri th
ức là có kỹ năng tương ứng mà phải cần rèn luyện kỹ năng(học sinh có thể nhớ
công th
ức giải phương trình bậc hai, nhưng chưa phải là lập t
ức giải đúng ph
ương trình
b
ậc hai cho tr
ước.
A
B
C
y
x
19
Tri th
ức(biết)

luy
ện tập

k

ỹ năng
(bi
ết làm).
N
ội dung của sự luyện tập này rất phong phú
. Do s
ự trừu tượng hóa trong toán học
di
ễn ra trên nhiều cấp độ
nên c
ần rè
n luy
ện cho học sinh những kỹ năng trên những
bình di
ện khác nhau:
- K
ỹ năng vận dụng tri thức toán trong nội bộ môn toán
- K
ĩ năng vận dụng tri thức Toán học vào những môn học khác ;
- K
ĩ năng vận dụng Toán học vào đời sống .
K
ĩ năng trên bình diện th
ứ nhất l
à một sự thể hiện mức độ thông hiểu tri thức Toán
h
ọc. Không thể hình dung một người hiểu những tri thức Toán học mà lại không biết
vận dụng chúng để làm toán.
Kĩ năng trên bình diện thứ hai thể hiện vai trò của công cụ Toán học đối với những
môn học khác, điều này cũng thể hiện mối liên hệ liên môn giữa các môn học trong

nhà trường và đòi hỏi người giáo viên Toán cần có quan điểm tích hợp trong việc dạy
h
ọc bộ môn.
K
ĩ năng trên bình diện thứ ba là một mục tiêu quan trọng của môn Toán. Nó cũng
cho h
ọc sinh thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và đời sống.
1.2.2. Làm cho h
ọc sinh phát triển năng lực trí tuệ
1.2.2.1. Rèn luy
ện các thao tác tư duy
a)Phân tích và t
ổng hợp
-Phân tích: Là dùng trí óc chia cái toàn th
ể ra thành từng phần hoặc tách ra từng
thu
ộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể đó.
-T
ổng hợp:
Là dùng trí óc h
ợp các phần của cái toàn thể hoặc kết hợp lại những cái
thu
ộc tính, những khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể đó.
Phân tích và t
ổng hợp có mối li
ên hệ chặt ch
ẽ với nhau đó l
à hai m
ặt của một quá
trình th

ống nhất.
Trong m
ọi khâu của quá tr
ình học tập toán năng lực phân tích và tổng hợp toán là
các khâu quan tr
ọng của quá tr
ình dạy học toán nó giúp học sinh nắm vững và vận
dụng một cách sáng tạo.
Khi học khái niệm thì học sinh phải biết phân tích tính chất đặc trưng của khái
niệm, nhìn thấy các mối liên hệ giữa khái niệm đó với khái niệm khác.
Ví d
ụ:
Khi h
ọc sinh khái niệm về số nguyên tố:
M
ột số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có
ư
ớc là 1 vá chính nó thì là số nguyên tố
.
Phân tích tính ch
ất đ8c5 trưng: Số nguyên tố
: số tự nhi
ên > 1
ch
ỉ có ước là 1 và chính nó.
+ Khi h
ọc định lý học sinh phải biết phân tích giả th
i
ết và kết luận của định lý
+ Khi phân tích xong h

ọc sinh phải thấy đ
ư
ợc sự li
ên hệ giữa giả th
i
ết
và k
ết luận,
th
ấy đ
ược mối liên hệ giữa định lý này và định lý khác(tổng hợp).
+ Khi gi
ải b
ài toán trước tiên học sinh phải biết nhìn một cách tổng hợp xem bài
toán thu
ộc loại g
ì. Phải phân tích cái đã cho và cái phải tìm để
đ
ể t
ìm ra mối liên hệ
c
ủa cái đ
ã cho và cái cần tìm.
Đ
ặc biệt
: Trong ch
ứng minh định lý v
à giải toán thì các thao tác phân tích và tổng
h
ợp th

ường gắn bó khăng khít với nhau, có khi ta dùng phân tích để tìm tòi lời giải bài
toán. Còn t
ổng hợp
trình bày l
ời
gi
ải b
ài toán.
Ví d
ụ
: Hai đ
ịa điểm AB cách nhau 130
km. M
ột người đi xe ôtô từ A đến B với
vận tốc 50 Km/h đi được 2,5 giờ thì người ấy xuống đi bộ với vận tốc 4 Km/h. Hỏi
người ấy đi bộ trong thời gian bao lâu ?
Sơ đồ phân tích và tổng hợp
S
t
là đo
ạn
đư
ờng tổng cộng ;
20
S
x
là đo
ạn đường đi xe;
S
b

là đ
ọan đường đi bộ;
v
x
v
ận tốc đi xe;
v
b
v
ận tốc đi bộ.
SĐPT t
b
= S
b
: v
b
S
b
=S
t
- S
x
v
b
= 4 km/h
S
t
=130 km S
x
=v

x
.t
x
v
x
=50 Km t
x
=2,5 km
SĐTH
Có hai lo
ại phân tích:
- Phân tích đi lên (gi
ật lùi)
:
n
AAAX  
21
Mu
ốn chứng minh X ta phải chứng minh A
1
, mu
ốn chứng minh A
1
ta ph
ải chứng
minh A
2
. . . mu
ốn chứng minh A
n-1

ta ph
ải chứng mnh A
n
. Vì A
n
đúng nên X đúng
( theo quy t
ắc suy luận bắc cầu)
Chú ý: - N
ếu A
n
đúng nên X đúng, c
òn n
ếu A
n
sai thì ch
ưa k
ết luận gì về X Cho
nên phép phân tích này đ
ể
tìm
đư
ờng lối chứng minh.
Ví dụ: Chứng minh
, 0; 0
2
a b
ab a b

  

2
a b
ab



2a b ab 

2 2
2 4a ab b ab  

2
( ) 0a b 
(luôn đúng)
Ví d
ụ
: Khi ch
ứng minh định lý “
V
ới hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai
đư
ờng tròn bằng nhau:
a) Hai cung b
ằng nhau căng hai dây bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
b) Hai dây b
ằng nhau căng hai dây bằng nhau.(Lớp 9
– T2)
Ta có thể dùnh sơ đồ phân tích đi lên để tìmđường lối chứng minh.
AB = CD


OAB = OCD

DOCBOA
ˆˆ


DCBA


O
D
C
A
B
21
- Phân tích đi xu
ống:
n
AAAAX  
321
T
ừ X suy ra A
1
t
ừ A
1
suy ra A
2
. . . t
ừ A

n-1
suy ra A
n
.
N
ếu
A
n
đúng ta chưa k
ết luận gì về X, ( có tác dụng tìm đường lối chứng minh. Nếu
A
n
sai k
ết luận X sai, trong trường hợp này phép phân tích có tác dụng bác bỏ.(
phương pháp này thư
ờng d
ùng trong toán dựng hình để tìm cách dựng)
b)So sánh
Là xác đ
ịnh sự gi
ống nhau v
à khác nhau gi
ữa các sự vật hiện tượng. Muốn so sánh
hai s
ự vật, hiện t
ượng thì ta phải phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính, đối chiếu các
d
ấu hiệu các thuộc tính với nhau rồi tổng hợp lại xem hai sự vật,hiện t
ượng đó có gì
gi

ống nhau v
à khác
nhau .
Ví d
ụ:
Tìm
ƯCLN, BCNN(L
ớp 6)
Tìm BCNNc
ủa hai số
- Phân tích các s
ố ra thừa số nguyên tố
- L
ấy tích tất cả các thừa số chung và
riêng
- M
ỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất
Tìm
ƯCLN của hai số
- Phân tích các s
ố ra thừa số nguyên tố
- L
ấy tích các t
h
ừa số chung
- M
ỗi thừa số chung lấy số mũ bé nhất
có trong phân tích
Tác dụng của so sánh:
- Giúp cho h

ọc sinh hiểu sâu và đúng
- Th
ấy được mối liên hệ giữa các sự vật hiện tượng
- Giúp cho vi
ệc tiến hành thao tác tương tự sau này.
Bi
ện pháp
thực hiện:
- T
ập cho học sinh so sánh các khái niệm, các định lý, các quy tắc để thấy cái hay,
cái m
ới và các trường hợp cần dùng.
- C
ần luyện tâp cho học sinh so sánh bằng sự vật nhìn bề ngoài có thể khác nhau
nhưng th
ực chất là giống nhau hoặc có thể là
m
ột.
Ví d
ụ:
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
(1)
(a – b)
2
= a

2
– 2ab + b
2
(2)
(1) và (2) có th
ể suy ra đ
ược lẫn nhau, biết cái này có thể suy ra cái kia.
- C
ần luyện tập cho học sinh so sánh các sự vật hiện t
ượng theo nhiều khía cạnh
khác nhau. Nhìn khía cánh này chúng có th
ể khác nhau nh
ưng khía cạnh khac chúng
có thể giống nhau
Ví dụ: Tính hai tổng sau đây:
1
2
1 1 1 1
2 2.3 3.4 9.10
3 3 3 3
4 4.7 7.10 19.22
S
S
    
    


Nhìn b
ề ngoài khác nhau nhưng giống nhau cùng phương pháp giải .
Ví d

ụ:
Hãy so sánh n
ội dung hai định lý
sau
Đ
ịnh
lý 1) Trong m
ột tứ giác nội tíếp tổng các góc đối diện bằng hai vuông
Đ
ịnh lý
2) Trong m
ột tứ giác ngoại tiếp tổng các cạnh đối diện bằng nhau.
Ta nh
ận thấy:
Ở định lý 1: 2 góc đ
ối diện luôn luôn không đ
ổi v
à b
ằng hai vuông
Ở định lý 2: tổng độ dài hai cạnh đối là khác nhau nhưng ta luôn có tổng các cạnh
đối diện là bằng nhau.
22
Phát bi
ểu lại : Trong tứ giác nội tiếp tổng hai góc đối diện bằng hai vuông
; T
ổng
hai góc đ
ối diện bằng nhau
.
c) Khái quát hoá

Khái quát hoá là dùng trí óc tách ra cái chung trong các đ
ối tượng, sự kiện hoặc
hi
ện tượng.
Mu
ốn khái quát hoá, thường phải so sánh nhiều đối tượng,hiện tượng, sự kiện với
nhau. Nhưng c
ũng có khi chỉ từ một đối tượng ta cũng có thể khái quát hoá một tính
ch
ất, một phương pháp nào đó.
Tác d
ụng
c
ủa k
hái quát hóa:
Giúp con ngư
ời có một cái nhìn bao quát, thấy được cái chung trong nhiều cái riêng
l
ẻ, rút ra cái chung để vận dụng rộng hơn.
Đây là m
ột con đ
ường phát minh sáng tạo và kiểm chứng giả thuyết. Giả thuyết rút
ra từ cái khái quát hoá có thể đúng, có thể sai vì vậy cần phải chứng minh.
Biện pháp rèn luyện:
Tập cho học sinh khái quát hoá từ nhiều đối tượng ,sự kiện. Muốn vậy thì cần phải
so sánh, phân tích đ
ể rút ra cái chung.
Ví d
ụ
: 5 chia h

ết cho 5
15 chia h
ết cho 5
25 chia h
ết cho 5
Khái quát hoá: “nh
ững số tận cùng bằng 5 thì chia hết cho 5”
Ví d
ụ
: 3 là s
ố nguyên tố
13 là s
ố nguyên tố
23 là s
ố nguyên tố
Khái quát hoá “nh
ững số tận c
ùng là 3 thì là số nguyên tố
“sai”
Chú ý: Có nh
ững cái khái quát hóa đúng cũng có những cái khái quá
t hoá sai.
Đ
ể
giúp h
ọc sinh khái quát h
óa đúng: c
ần
hư
ớng

đ
ể học sinh
xu
ất
phát t
ừ bản chất
s
ự vật hiện t
ượng để khái quát hoá.
Ví d
ụ:
Gi
ả thuyết G
ôn Bách: 4 = 2+2; 6 = 3+3; 8 = 5+3
10 = 3+7 = 5+5
12 = 5+7 = 3+9
14 = 3+11 = 7+7
16 = 5+11 = 8+8
Khái quát hoá 1: Mọi số chẳn ≥ 4 đều có thể viết thành tổng hai số nguyên tố
Khái quát hoá 2: M
ọi số ch
ẳn > 4 b
ằng tổng hai số lẻ (tầm thuờng)
- Có đôi khi ch
ỉ dùng một sự kiện hiện tượng để khái quát hoá.
Ví d
ụ:
Đếm số tam giác của các h
ình sau
. Dùng m

ột sự k
i
ện số đoạn thẳng để khái
quát hóa.