Khảo sát quá trình nén Hong - Mandel của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha.Khảo sát quá trình nén Hong - Mandel của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM BÁCH KHOA
KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH NÉN HONG-MANDEL
CỦA TRẠNG THÁI CHỒNG CHẤT HAI
TRẠNG THÁI KẾT HỢP VUÔNG PHA
CHUYÊN NGÀNH: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số: 60 44 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
Người hướng dẫn khoa học
TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC
Huế, năm 2010
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu
và kết quả nghiên cứu nêu trong Luận văn là trung thực, được các đồng
tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một
công trình nghiên cứu nào khác.
Huế, tháng 9 năm 2010
Tác giả Luận văn
Phạm Bách Khoa
ii
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS. Trương Minh
Đức, người đã giúp đỡ tôi rất nhiều về tài liệu và hướng dẫn tận tình
trong suốt thời gian thực hiện Luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo giảng dạy, Khoa
Vật lý, Phòng Sau Đại học - Trường Đại học Sư phạm Huế đã tận tình
giúp đỡ tôi, đã giảng dạy tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua.

Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Tổ Vật lý - Công nghệ và Trường THPT
Sơn Mỹ đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong quá trình học
tập.
Tôi xin gởi lời cảm ơn đến tất cả những người thân và bạn bè, đặc
biệt là bố, mẹ, vợ, con đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
học tập và thực hiện Luận văn.
Huế, tháng 9 năm 2010
Tác giả Luận văn
Phạm Bách Khoa
iii
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa i
Lời cam đoan ii
Lời cảm ơn iii
Danh sách các hình vẽ 5
MỞ ĐẦU 6
Chương 1 - CÁC KIẾN THỨC TỔNG QUAN 10
1.1 Các trạng thái kết hợp 10
1.1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp
vuông pha 13
1.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Trạng thái nén 16
1.4 Các kiểu nén bậc cao 17
1.4.1 Nén kiểu Hong-Mandel . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Nén kiểu Hillery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1

Chương 2 -TÍNH CHẤT NÉN - TÍNH PHẢN KẾT CHÙM -
TÍNH THỐNG KÊ SUB-POISSON CỦA TRẠNG THÁI
CHỒNG CHẤT HAI TRẠNG THÁI KẾT HỢP VUÔNG
PHA 21
2.1 Khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát 21
2.1.1 Bậc k =4n 23
2.1.2 Bậc k =4n +1 23
2.1.3 Bậc k =4n +2 25
2.1.4 Bậc k =4n +3 27
2.2 Khảo sát tính thống kê sub-Poisson bậc cao tổng
quát 30
2.2.1 Bậc 4n − 1 và 4n 31
2.2.2 Bậc 4n +1 33
2.2.3 Bậc 4n +2 35
2.3 Khảo sát tính chất phản kết chùm bậc cao tổng
quát 37
Chương 3 -KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH NÉN HONG-MANDEL
CỦA TRẠNG THÁI CHỒNG CHẤT HAI TRẠNG THÁI
KẾT HỢP VUÔNG PHA 39
3.1 Khảo sát 39
3.1.1 Nén bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.2 Nén bậc 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2
3.1.3 Nén bậc 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.4 Nén bậc 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 So sánh quá trình nén Hillery và quá trình nén
Hong-Mandel của trạng chồng chất hai trạng thái
kết hợp vuông pha 53
KẾT LUẬN 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO 58

PHỤ LỤC P.1
3
DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ
2.1 Hệ số nén S
4n+1
là hàm của |α|
2
và n khi φ =0 24
2.2 Hệ số nén S
4n+1
là hàm của |α|
2
và n khi (a) φ = π/2 và
(b) φ =3π/2. 25
2.3 Hệ số nén S
4n+2
là hàm của |α|
2
và n khi φ =0 26
2.4 Hệ số nén S
4n+2
là hàm của |α|
2
và n khi (a) φ = π/2 và
(b) φ =3π/2. 27
2.5 Hệ số nén S
4n+3
là hàm của |α|
2
và n khi φ =0 28

2.6 Hệ số nén S
4n+3
là hàm của |α|
2
và n khi (a) φ = π/2 và
(b) φ =3π/2. 29
2.7 Tham số P
4n
là hàm của |α|
2
và n khi φ =0 32
2.8 Tham số P
4n
là hàm của |α|
2
và n khi (a) φ = π/2 và (b)
φ = π. 32
2.9 Tham số P
4n+2
là hàm của |α|
2
và n khi φ =0 33
2.10 Tham số P
4n+2
là hàm của |α|
2
và n khi (a) φ = π/2 và
(b) φ = π 34
2.11 Tham số P
4n+3

là hàm của |α|
2
và n khi φ =0 35
2.12 Tham số P
4n+3
là hàm của |α|
2
và n khi (a) φ = π/2 và
(b) φ = π 36
4
3.1 Hệ số nén Hong-Mandel bậc 2 là hàm của |α|
2
với các
giá trị φ khác nhau: φ =0(đường chấm chấm), φ = π/2
(đường gạch gạch), φ =3π/2 (đường nét liền). . . . . . . 42
3.2 Hệ số nén Hong-Mandel bậc 4 là hàm của |α|
2
với các
giá trị φ khác nhau: φ =0(đường chấm chấm), φ = π/2
(đường gạch gạch), φ =3π/2 (đường nét liền). . . . . . . 45
3.3 Hệ số nén Hong-Mandel bậc 6 là hàm của |α|
2
với các
giá trị φ khác nhau: φ =0(đường chấm chấm), φ = π/2
(đường gạch gạch), φ =3π/2 (đường nét liền). . . . . . . 48
3.4 Hệ số nén Hong-Mandel bậc 8 là hàm của |α|
2
với các
giá trị φ khác nhau: φ =0(đường chấm chấm), φ = π/2
(đường gạch gạch), φ =3π/2 (đường nét liền) . . . . . 53

3.5 Hệ số nén S
k
kiểu Hillery bậc 1,2,3,4 (a) và hệ số nén S
N
kiểu Hong-Mandel bậc 2,4,6,8 (b) là hàm của |α|
2
khi φ =0.54
5
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Việc nghiên cứu các trạng thái phi cổ điển có ý nghĩa rất quan
trọng trong việc tăng độ chính xác của các phép đo và làm cơ sở để
nghiên cứu và áp dụng vào các lĩnh vực như: lý thuyết chất rắn, quang
lượng tử, thông tin lượng tử [13] và máy tính lượng tử. Do đó, các tính
chất phi cổ điển của các trạng thái cho trước rất được các nhà khoa học
quan tâm. Các trạng thái phi cổ điển này xuất phát điểm từ trạng thái
kết hợp. Năm 1963, Glauber [7] và Sudarshan [14] đã đưa ra khái niệm
trạng thái kết hợp khi nghiên cứu tính chất của chùm sáng laser. Trạng
thái kết hợp là trạng thái cổ điển do trong biểu diễn Glauber-Sudarshan
[7], [8], [14], hàm phân bố xác suất P tương ứng với trạng thái này là
hàm Delta. Trạng thái kết hợp tuân theo phân bố Poisson, là phân bố
mà phương sai của một đại lượng bằng trung bình số hạt của chúng. Nếu
phương sai của một đại lượng nhỏ hơn trung bình số hạt của chúng thì
hàm phân bố ứng với trạng thái đó là sub-Poisson. Các trạng thái tuân
theo thống kê sub-Poisson là các trạng thái phi cổ điển do hàm phân bố
xác suất P ứng với trạng thái đó là âm. Một tính chất nữa thuộc tính
chất phi cổ điển đó là tính chất phản kết chùm (anti-bunching). Nếu
một trạng thái có tính chất phi cổ điển thì sẽ thể hiện rất rõ tính chất
phản kết chùm hoặc tính thống kê sub-Poisson.
Vào đầu thập niên 80 của thế kỷ 20, Hestrom [9], Hillery [10] và

Mandel [12] đã đưa ra khái niệm trạng thái phi cổ điển trong đó trạng
6
thái phi cổ điển được nhắc đến đầu tiên là trạng thái nén. Trong trạng
thái nén, các thăng giáng lượng tử được giảm xuống dưới mức thăng
giáng mà trạng thái kết hợp cho phép. Khi trạng thái nén được khám
phá nó mở ra một phương cách để vượt qua giới hạn lượng tử chuẩn suy
ra từ hệ thức bất định. Năm 2007, Ran Zeng, Muhammad Ashfaq và
Shutian Liu [13] đã đưa ra một trạng thái phi cổ điển mới đó là trạng
thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ,
|Ψ =
N
√
2
(|α + e
iΦ
|iα),
trong đó N là hệ số chuẩn hóa. Ngoài ra Ran Zeng, Muhammad Ashfaq
và Shutian Liu [13] đã khảo sát một số tính chất phi cổ điển của trạng
thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ nhưng chỉ dừng
lại ở bậc thấp như hiệu ứng nén bậc một, tính thống kê sub-Poisson bậc
một và tính chất phản kết chùm bậc một. Năm 2009, tác giả Nguyễn
Thị Bích Ngân [3] đã khảo sát một số tính chất phi cổ điển của trạng
thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ với các bậc
cao hơn như hiệu ứng nén Hillery từ bậc hai đến bậc tám, tính thống
kê sub-Poisson và tính chất phản kết chùm bậc hai đến bậc mười. Tính
đến thời điểm hiện tại, trong các bài báo và các tài liệu mà chúng tôi
cập nhật được, chưa có tác giả nào đề cập đến việc khảo sát quá trình
nén Hillery tổng quát, tính thống kê sub-Poisson tổng quát, tính chất
phản kết chùm tổng quát và quá trình nén Hong-Mandel của trạng thái
chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha. Vì vậy, trong Luận

văn này tôi sẽ khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát, tính thống kê
sub-Poisson tổng quát, tính chất phản kết chùm tổng quát và quá trình
nén Hong- Mandel của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp
7
vuông pha |Ψ, rồi sau đó chúng tôi so sánh tính chất nén Hillery và
Hong-Mandel của trạng thái này. Đó chính là lý do tôi chọn đề tài "
Khảo sát quá trình nén Hong- Mandel của trạng thái chồng chất hai
trạng thái kết hợp vuông pha" để nghiên cứu.
2. Mục tiêu của đề tài
Khảo sát các tính chất của quá trình nén Hillery tổng quát và quá
trình nén Hong-Mandel của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp
vuông pha.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát, tính thống kê sub-
Poisson bậc cao tổng quát, tính chất phản kết chùm bậc cao tổng quát
của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha.
- Khảo sát quá trình nén Hong-Mandel bậc 2, bậc 4, bậc 6, bậc 8
của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha.
4. Phạm vi nghiên cứu
Trong Luận văn này chỉ khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát
tính thống kê sub-Poisson bậc cao tổng quát, tính chất phản kết chùm
bậc cao tổng quát và quá trình nén Hong-Mandel của trạng thái chồng
chất hai trạng thái kết hợp vuông pha với các bậc N =2, 4, 6, 8.
8
5. Phương pháp nghiên cứu
Để nghiên cứu đề tài này chúng tôi sử dụng một số phương pháp
cơ bản như sau:
- Phân tích, tổng hợp tài liệu
- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử
- Vận dụng các kiến thức đã học để tính toán đưa ra các biểu thức

cụ thể, vẽ đồ thị và tính số.
6. Bố cục luận văn
Ngoài mục lục và tài liệu tham khảo, Luận văn được chia làm ba
phần: mở đầu, nội dung và kết luận. Phần mở đầu nêu rõ lý do chọn đề
tài, mục tiêu, nhiệm vụ, phương pháp và phạm vi nghiên cứu. Phần nội
dung chia làm ba chương, trong đó chương 1 trình bày các kiến thức tổng
quan; chương 2 khảo sát quá trình nén Hillery, tính chất phản kết chùm,
tính thống kê sub-Poisson tổng quát của trạng thái chồng chất hai trạng
thái kết hợp vuông pha; chương 3 khảo sát quá trình nén Hong-Mandel
của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha. Phần kết
luận nêu lên kết quả đạt được của Luận văn.
9
CHƯƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC TỔNG QUAN
Để đảm bảo tính logic và dễ hiểu, trước khi trình bày về trạng thái
chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha và tính chất phi cổ
điển của chúng, chúng ta nhắc lại một cách khái quát trạng thái kết
hợp. Trạng thái kết hợp, kí hiệu |α, được Glauber [7] và Sudarshan [14]
đưa ra lần đầu tiên vào năm 1963 khi dùng trạng thái này để mô tả
tính chất của chùm sáng laser. Sau đó chúng ta sẽ đề cập đến trạng thái
chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha, kí hiệu |Ψ và một
số tính chất phi cổ điển (như tính chất nén, tính thống kê sub-Poisson
và tính chất phản kết chùm) của nó nhưng chỉ ở bậc nhỏ đã được Ran
Zeng, Muhammad Ashfaq và Shutian Liu [13] đưa ra năm 2007 và tác
giả Nguyễn Thị Bích Ngân [3] phát triển thêm vào năm 2009.
1.1 Các trạng thái kết hợp
1.1.1 Khái niệm
Năm 1963, Glauber [7] và Sudarshan [14] đưa ra khái niệm trạng
thái kết hợp |α khi khảo sát tính chất của chùm sáng laser- chùm sáng
có độ đơn sắc cao và cường độ lớn. Tính chất đặc biệt của chùm laser là

tính kết hợp, cường độ càng cao thì tính kết hợp càng lớn. Vì thế, trạng
thái dùng để mô tả nó có tên là trạng thái kết hợp.
10
Ta có toán tử sinh hạt a
+
và hủy hạt a tuân theo hệ thức giao hoán
[a, a
+
]=1, (1.1)
[a, a]=[a
+
, a
+
]=0, (1.2)
và toán tử số hạt n = a
+
a.
Trạng thái kết hợp |α được định nghĩa là trạng thái riêng của toán tử
hủy boson a. Do đó |α thỏa mãn phương trình
a|α = α|α, (1.3)
trong đó α là một số phức bất kỳ trong không gian phức. Khi khai triển
thông qua các trạng thái Fock | n thì trạng thái kết hợp |α được biểu
diễn dưới dạng
|α =
∞

n=0
C
n
|n, (1.4)

trong đó |n là trạng thái Fock. Thay (1.4) vào (1.3), ta được biểu thức
của trạng thái kết hợp biểu diễn theo hệ cơ sở của các trạng thái Fock
|α = C
0
∞

n=0
α
n
√
n!
|n, (1.5)
với C
0
là hệ số chuẩn hóa.
1.1.2 Tính chất
Trạng thái kết hợp có một số tính chất sau
Tính chất 1: Các trạng thái kết hợp đã được chuẩn hóa, nghĩa là
α|α =1. (1.6)
Từ biểu thức (1.6), ta thu được hệ số chuẩn hóa C
0
của trạng thái kết
hợp | α
C
0
= exp(−
1
2
|α|
2

). (1.7)
11
Thay (1.7) vào (1.6), ta được biểu thức của trạng thái kết hợp đã chuẩn
hóa khai triển theo hệ cơ sở của trạng thái Fock |n có dạng như sau
|α = exp(−
1
2
|α|
2
)
∞

n=0
α
n
√
n!
|n. (1.8)
Tính chất 2: Các trạng thái kết hợp không trực giao với nhau,
nghĩa là
α|β=0. (1.9)
Tính chất 3: Phân bố số hạt ở trạng thái |α tuân theo phân bố
Poisson (là phân bố mà số hạt trung bình và phương sai của toán tử số
hạt bằng nhau).
Ta có số hạt trung bình ở trạng thái kết hợp |α
n = α|n|α = α|a
+
a|α = |α|
2
. (1.10)

Phương sai của toán tử số hạt trong trạng thái kết hợp |α
(n)
2
 = α|(n)
2
|α = α|n
2
|α−α|n|α
2
= |α|
2
. (1.11)
Từ (1.10) và (1.11), ta thấy số hạt trung bình và phương sai của toán
tử số hạt trong trạng thái kết hợp bằng nhau, nghĩa là
n = (n)
2
. (1.12)
Từ (1.12) chứng tỏ rằng trạng thái kết hợp tuân theo phân bố Poisson.
Ta tính xác suất tìm hạt ở trạng thái kết hợp |α
p(n)=n|αα|n
= exp(−|α|
2
)
∞

m=0
α
m
√
m!

n| m
∞

m=0
(α
∗
)
m
√
m!
m| n
= exp(−|α|
2
)
|α|
2n
n!
,
(1.13)
12
trong đó p(n)=exp(−|α|
2
)
|α|
2n
n!
là hàm phân bố Poisson. Hàm phân bố
Poisson mô tả rất tốt các tính chất của chùm sáng laser và là hàm phân
bố tương ứng với giới hạn lượng tử chuẩn. Vì vậy, trạng thái kết hợp là
trạng thái cổ điển.

Tính chất 4: Hệ tất cả các trạng thái kết hợp |α là một hệ đủ,
nghĩa là
1
π

|αα|d
2
α =1. (1.14)
Tính chất 5: Trạng thái kết hợp |α là trạng thái có độ bất định
cực tiểu, nghĩa là
(x)
2
(p)
2
=
1
4
. (1.15)
Đây là tính chất quan trọng nhất của trạng thái kết hợp |α, nó gợi cho
ta nghĩ đến khả năng tồn tại của các trạng thái có độ bất định nhỏ hơn
giới hạn lượng tử chuẩn. Những trạng thái này không thể là trạng thái
cổ điển. Vì vậy, có thể xem chúng là một lớp các trạng thái phi cổ điển.
Tiếp theo chúng ta sẽ nghiên cứu đến trạng thái chồng chất của hai
trạng thái kết hợp vuông pha và tính chất của nó.
1.2 Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết
hợp vuông pha
1.2.1 Khái niệm
Ran Zeng, Muhammad Ashfaq và Shutian Liu [13] đã đưa ra một
trạng thái phi cổ điển mới đó là trạng thái chồng chất của hai trạng thái
kết hợp vuông pha vào năm 2007. Trạng thái chồng chất của hai trạng

13
thái kết hợp vuông pha có dạng như sau
|Ψ =
N
√
2
(|α + e
iφ
|iα), (1.16)
trong đó trạng thái kết hợp |α biểu diễn theo hệ cơ sở của các trạng
thái Fock |n có dạng như sau
|α = exp(−
1
2
|α|
2
)
∞

n=0
α
n
√
n!
|n, (1.17)
và trạng thái kết hợp |iα biểu diễn theo hệ cơ sở của các trạng thái
Fock |n có dạng như sau
|iα = exp(−
1
2

|α|
2
)
∞

n=0
(iα)
n
√
n!
|n. (1.18)
Thay (1.17) và (1.18) vào (1.16) ta thu được biểu thức của trạng
thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha khai triển theo hệ
cơ sở của các trạng thái Fock |n có dạng như sau
|Ψ =
N
√
2
exp(−
1
2
|α|
2
)
∞

n=0
α
n
+ e

iφ
(iα)
n
√
n!
|n, (1.19)
với N là hệ số chuẩn hóa.
1.2.2 Tính chất
Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha có một số
tính chất sau
Tính chất 1: Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp
vuông pha đã được chuẩn hóa, nghĩa là [3]
Ψ|Ψ =1. (1.20)
14
Từ biểu thức (1.20), ta thu được hệ số chuẩn hóa N của trạng thái chồng
chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha
N =[1+e
−|α|
2
cos(φ + |α|
2
)]
−
1
2
. (1.21)
Thay (1.21) vào (1.19) ta có biểu thức của trạng thái chồng chất của hai
trạng thái kết hợp vuông pha đã chuẩn hóa khai triển theo hệ cơ sở của
các trạng thái Fock |n có dạng như sau
|Ψ =

[1 + e
−|α|
2
cos(φ + |α|
2
)]
−
1
2
√
2
e
−
|α|
2
2
∞

n=0
α
n
+ e
iφ
(iα)
n
√
n!
|n. (1.22)
Tính chất 2: Các trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp
vuông pha không trực giao với nhau, nghĩa là [3]

Ψ|Ψ

=0. (1.23)
Tính chất 3: Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp
vuông pha là trạng thái riêng của bình phương toán tử hủy boson a
2
,
nghĩa là [3]
a
2
|Ψ = α
2
|Ψ. (1.24)
Tính chất 4: Phân giải đơn vị của trạng thái chồng chất của hai
trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ được viết như sau [3]

dµ(α)|ΨΨ| =1. (1.25)
với α là số phức bất kỳ trong không gian phức nên ta chọn α = |α|e
iϕ
và hàm µ(α) được xác định theo biểu thức [3]

|α
0
|
0
2πµ

(α)N
2
d|α|α

2n+1
exp(−|α|
2
)[1 + cos(φ +
nπ
2
)=n!. (1.26)
Như vậy, nếu tồn tại hàm µ(α) sao cho nó thỏa mãn điều kiện (1.26) với
mọi n thì có thể khai triển một hàm bất kỳ dưới dạng các trạng thái
15
chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha, nghĩa là khi đó các
trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha lập thành
một hệ đủ.
Tính chất 5: Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp
vuông pha |Ψ tuân theo tính thống kê sub-Poisson bậc một và tính
chất phản kết chùm bậc một đến bậc chín [3], [13].
Tính chất 6: Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp
vuông pha | Ψ có hiệu ứng nén bậc một [13] và bậc hai, bậc ba, bậc
năm, bậc sáu, bậc bảy [3].
1.3 Trạng thái nén
Xuất phát từ hệ thức bất định cho 2 đại lượng vật lý A,B không đo được
đồng thời trong trạng thái |ϕ nào đó
VAVB≥
1
4
|ϕ|[
ˆ
A,
ˆ
B]|ϕ|

2
. (1.27)
Nếu |ϕ = |α là trạng thái kết hợp của hai đại lượng A,B thì hệ thức
bất định của chúng đạt đến độ bất định tối thiểu
VAVB=
1
4
|ϕ|[
ˆ
A,
ˆ
B]|ϕ|
2
, (1.28)
đồng thời có thể chứng minh được rằng phương sai của A cũng bằng
phương sai của B và bằng một giá trị gọi là giới hạn lượng tử chuẩn
VA= VB =
1
4
|ϕ|[
ˆ
A,
ˆ
B]|ϕ|, (1.29)
Một trạng thái vật lý |ϕ của trường hạt boson cho hai đại lượng A,B
mà trong đó VA(hoặc VB) bé hơn giá trị giới hạn lượng tử chuẩn sao
16
cho nguyên lý bất định không bị vi phạm thì trạng thái |ϕ gọi là trạng
thái nén đối với đại lượng A(hoặc B). Trường hợp đặc biệt nếu trạng
thái nén của A(hoặc B) còn thỏa mãn điều kiện (VA)(VB) bằng độ bất

định tối thiểu thì nó được gọi là trạng thái nén lý tưởng.
1.4 Các kiểu nén bậc cao
1.4.1 Nén kiểu Hong-Mandel
Các trạng thái nén đơn mode bậc cao được đưa ra bởi Hong và
Mandel vào năm 1985 [11] và được gọi là kiểu nén Hong-Mandel.
Cho hai toán tử biên độ trực giao có giao hoán tử
[
ˆ
X
a
(ϕ),
ˆ
X
a
(ϕ + π/2)] = 2iC, C : số thực bất kỳ. (1.30)
Hong-Mandel đã sử dụng đồng nhất thức Campb ell-Bake-Hausdorff

exp(∆
ˆ
X
a
(ϕ)x)

=

: exp(∆
ˆ
X
a
(ϕ)x):


exp(
1
2
x
2
C), (1.31)
trong đó : : ký hiệu N-tích. Khai triển các hàm mũ trong (1.31) dưới
dạng chuỗi theo x và đồng nhất hai vế, ta có:
V
N
X
a
(ϕ) ≡

(∆
ˆ
X
a
(ϕ))
2N

=
N−1

j=0
(2N)
2j
C
j

j!2
j

:(∆
ˆ
X
a
(ϕ))
2(N−j)
:

+(2N−1)!!C
N
, (1.32)
trong đó
N
(j)
≡N(N−1) (N−j + 1); (2N−1)!! ≡
(2N)!
N!2
N
. (1.33)
Ở trạng thái kết hợp, tất cả các số hạng

:(∆
ˆ
X
a
(ϕ)x)
2(N−j)

:

=0nên
V
N
X
a
(ϕ)=(2N−1)!!C
N
, (1.34)
17
và do đó điều kiện để có nén bậc N kiểu Hong-Mandel là
V
N
X
a
(ϕ) < (2N−1)!!C
N
. (1.35)
Từ đây ta kết hợp với (1.31) để có biểu thức thứ hai cho điều kiện nén
bậc N kiểu Hong-Mandel
N−1

j=0
(2N)
2j
C
j
j!2
j


:(∆
ˆ
X
a
(ϕ))
2(N−j)
:

< 0. (1.36)
Tham số nén kiểu Hong - Mandel được định nghĩa như sau
S
N
=
(∆X
a
(ϕ))
N
−(N−1)!!C
N/2
(N−1)!!C
N/2
. (1.37)
Hay
S
N
=

N−1
j=0

(N)
2j
j!

C
2

j
:(∆
ˆ
X
a
(ϕ))
N−2j
:
(N−1)!!C
N/2
. (1.38)
Rõ ràng là hiệu ứng nén theo
ˆ
X
a
(ϕ) xuất hiện khi ta có −1 ≤ S
N
< 0
và nén đạt cực đại khi S
N
= −1. Tương tự như vậy đối với
ˆ
X

a
(ϕ +π/2).
1.4.2 Nén kiểu Hillery
Hiệu ứng nén bậc cao kiểu Hillery, đầu tiên được giới thiệu bởi
Hillery và sau đó được các nhiều tác giả khác phát triển thêm. Bây giờ,
ta xét toán tử biên độ lũy thừa k có dạng

Q
k
(ϕ)=
1
2
(a
k
e
−ikϕ
+ a
+k
e
ikϕ
), (1.39)
trong đó: a và a
+
tương ứng là toán tử hủy và sinh hạt đối với trường
boson, k là bậc của hiệu ứng nén (hiệu ứng nén bậc một khi k =1), và
ϕ là một góc bất kỳ trong mặt phẳng phức. Một trạng thái được gọi là
nén Hillery bậc cao nếu thỏa mãn bất đẳng thức
(∆

Q

k
(ϕ))
2
 <
1
4
F
k
, (1.40)
18
trong đó [15]
F
k
 = [a
k
, a
+k
]
=
k

q=1
k!k
(q)
(k − q)!q !
(a
+
)
k−q
a

k−q
,
(1.41)
với k
(q)
= k(k − 1) (k − q +1).
Sau đó ta khai triển phương sai như sau [15]
(∆

Q
k
(ϕ))
2
 =
1
4
F
k
 + :(∆

Q
k
(ϕ))
2
:, (1.42)
trong đó [15]
:(∆

Q
k

(ϕ))
2
: =
1
2
{a
+k
a
k
+[e
−2ikϕ
a
2k
]−2([e
−ikϕ
a
k
])
2
}, (1.43)
với : : là kí hiệu N-tích.
Kết hợp bất phương trình (1.40) và phương trình (1.42), chúng ta nhận
thấy rằng trạng thái sẽ nén nếu :(∆

Q
k
(ϕ))
2
: < 0 . Để thuận tiện,
chúng ta đưa ra hệ số nén Hillery bậc cao

S
k
=
4:(∆

Q
k
(ϕ))
2
:
F
k

=
2{a
+k
a
k
 + [e
−2ikϕ
a
2k
] − 2([e
−ikϕ
a
k
])
2
}


k
q=1
k!k
(q)
(k−q)!q!
(a
+
)
k−q
a
k−q

.
(1.44)
Vậy, điều kiện nén Hillery bậc cao của một trạng thái nào đó là hệ
số nén S
k
phải nằm trong khoảng −1 ≤ S
k
< 0 và trạng thái là nén lý
tưởng nếu S
k
= −1.
Tóm lại, trong chương này chúng tôi đã đưa ra được dạng của trạng
thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha. Xuất phát từ
trạng thái kết hợp với các tính chất của nó đặc biệt lưu tâm đến tính
chất 5 là tính chất nêu lên trạng thái kết hợp là trạng thái có độ bất
định cực tiểu. Từ trạng thái này, chúng tôi xây dựng trạng thái chồng
chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |α và |iα. Trạng thái này
19

là trạng thái riêng của bình phương toán tử hủy. Trạng thái này còn là
trạng thái phi cổ điển mà tính chất phi cổ điển của chúng thể hiện ở
tính chất nén, tính thống kê sub-Poisson và tính chất phản kết chùm.
Trong chương này đã đề cập đến một số tính chất phi cổ điển (tính chất
nén, tính thống kê sub-Poisson và tính chất phản kết chùm) của trạng
thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha nhưng chỉ ở bậc
nhỏ. Chúng tôi cũng đề cập đến khái niệm trạng thái nén và các kiểu
nén bậc cao. Đây là những kiến thức làm cơ sở để tổng quát tính chất
nén Hillery, tổng quát tính thống kê sub-Poisson bậc cao và tính chất
phản kết chùm bậc cao của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết
hợp vuông pha trong chương 2 và khảo sát quá trình nén Hong-Mandel
của trạng thái này trong chương 3.
20
CHƯƠNG 2
TÍNH CHẤT NÉN - TÍNH THỐNG KÊ
SUB-POISSON - TÍNH PHẢN KẾT
CHÙM CỦA TRẠNG THÁI CHỒNG
CHẤT HAI TRẠNG THÁI
KẾT HỢP VUÔNG PHA
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày tính chất nén Hilery tổng
quát của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha.
Logic trình bày là đi từ tổng quát bậc k, sau đó suy ra tính chất từ bậc
một đến bậc 4 (nhằm so sánh với nghiên cứu của Ran Zeng, Muhammad
Ashfaq và Shutian Liu [13] và luận văn của Nguyễn Thị Bích Ngân [3]).
Sau đó chúng tôi trình bày tính phản kết chùm, tính thống kê sub-Poisson
tổng quát của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha .
2.1 Khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát
Năm 2009, tác giả Nguyễn Thị Bích Ngân đã khảo sát quá trình nén
Hillery của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha
nhưng mới chỉ dừng lại từ bậc hai đến bậc tám. Trong mục này, chúng

tôi sẽ khảo sát quá trình nén Hillery của trạng thái chồng chất của hai
trạng thái kết hợp vuông pha với bất kỳ bậc nén nào. Theo [3], ta có hệ
số nén Hillery bậc cao của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết
hợp vuông pha khi k chẵn và k lẽ như sau:
21
Khi k chẵn thì
S
k
=
|α|
2k

k
q=1
k!k
(q)
(k−q)!q!
(a
+
)
k−q
a
k−q
[1 + e
−|α|
2
cos(φ + |α|
2
)]
2

×{[2 + e
−|α|
2
(2(−i)
k
cos(φ + |α|
2
)
− ((−i)
k
− i
k
)e
i(φ+|α|
2
)
)][1 + e
−|α|
2
cos(φ + |α|
2
)]
+ [(1 + i
2k
)(1 + e
−|α|
2
cos(φ + |α|
2
))cos(2kϕ)

− (1 − i
2k
)e
−|α|
2
sin(φ + |α|
2
)sin(2kϕ)][1 + e
−|α|
2
cos(φ + |α|
2
)]
− [(1 + i
k
)(1 + e
−|α|
2
cos(φ + |α|
2
))cos(kϕ)
− (1 − i
k
)e
−|α|
2
sin(φ + |α|
2
)sin(kϕ)]
2

}.
(2.1)
Khi k lẽ thì
S
k
=
|α|
2k

k
q=1
k!k
(q)
(k−q)!q!
(a
+
)
k−q
a
k−q
[1 + e
−|α|
2
cos(φ + |α|
2
)]
2
×

[2 + e

−|α|
2
(2(−i)
k
cos(φ + |α|
2
)
− ((−i)
k
− i
k
)e
i(φ+|α|
2
)
)][1 + e
−|α|
2
cos(φ + |α|
2
)]
+ [(1 + i
2k
)(1 + e
−|α|
2
cos(φ + |α|
2
))cos(2kϕ)
− (1 − i

2k
)e
−|α|
2
sin(φ + |α|
2
)sin(2kϕ)][1 + e
−|α|
2
cos(φ + |α|
2
)]
− [(1 + e
−|α|
2
cos(φ + |α|
2
)+i
(k+1)
e
−|α|
2
sin(φ + |α|
2
))cos(kϕ)
− (i
(k+1)
(1 + e
−|α|
2

cos(φ + |α|
2
)) + e
−|α|
2
sin(φ + |α|
2
))sin(kϕ)]
2

,
(2.2)
trong đó [3]
(a
+
)
k−q
a
k−q
 =
N
2
2
|α|
2(k−q)

2+e
−|α|
2


2(−i)
k−q
cos(φ + |α|
2
)
− ((−i)
k−q
− i
k−q
)e
i(φ+|α|
2
)


.
(2.3)
Khi dùng hai biểu thức (2.1), (2.2) để khảo sát các hiệu ứng nén Hillery
với các giá trị cụ thể của k thì sẽ gặp nhiều khó khăn vì sự tính toán giải
22