Bài tập lớn ứng dụng thực tế công thức hình học môn Giải tích 2 đề tài KHỐI VẬT THỂ ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI MẶT TRỤ VÀ CÁC MẶT PHẲNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

KHỐI VẬT THỂ ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI MẶT TRỤ
VÀ CÁC MẶT PHẲNG
Bài tập lớn ứng dụng thực tế cơng thức hình học
mơn Giải tích 2

GVHD: Huỳnh Thị Vu
SV thực hiện: Lê Phạm Hữu – 2113635
Lê Khánh Huy – 2110197
Trần Đỗ Trọng Huy – 2113542
Trần Quốc Huy – 2113555

Tp. Hồ Chí Minh, Tháng 05/2022


Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

Mục lục
I

LỜI CẢM ƠN

2

II GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI

2

III BẢNG PHÂN CƠNG NHĨM

3

IV CƠ
1
2
3
4
5
6

SỞ LÝ THUYẾT
Mặt trụ trong không gian [1] . .
Mặt phẳng trong khơng gian [2]
Tích phân kép [3] . . . . . . . .
Tích phân bội ba [4] . . . . . .
Tích phân đường loại 1 [5] . . .
Tích phân mặt [6] . . . . . . . .

V BÀI TẬP ÁP DỤNG
1
Bài tập 1: . . . . . . . . . .
2
Bài tập 2: . . . . . . . . . .
3
Bài tập 3: . . . . . . . . . .
4
Bài tập 4: . . . . . . . . . .
5
Bài tập 5: . . . . . . . . . .

6
Bài tập tính thể tích vật thể

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

4
4
5
5
5
6
6

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

. . . . . . .

. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
hình xoắn: .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

7
. 7
. 8
. 9
. 11
. 14
. 16

VI Tổng kết

19

VIITài liệu tham khảo

20

Đề bài tập lớn mơn Giải tích 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022

Trang 1/20


Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

I

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá trình hình thành ý tưởng, lên kế hoạch và tiến hành thực hiện đề tài
bài tập lớn, nhóm chúng em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm giúp đỡ tận tình từ các
thầy cơ, ban bè thơng qua những bài giảng và các nguồn tài liệu tham khảo. Bên cạnh
đó, nhóm cũng muốn gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến cô Huỳnh Thị Vu – giảng viên
hướng dẫn cho đề tài này và cũng là những người ln sẵn sàng giải đáp các thắc mắc,
qua đó góp phần giúp tiến độ thực hiện của nhóm được duy trì đúng với kế hoạch được
vạch ra từ trước. Sự tin tưởng và tận tâm của cơ chính là nguồn động lực to lớn thúc
đấy các thành viên làm việc chăm chỉ, hiệu quả, đóng góp để xây dựng nên một bản báo
cáo hồn thiện. Đó cũng chính là kết quả cuối cùng mà nhóm chúng em mong muốn đạt
được.

II

GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI

Chúng ta đều biết rằng Giải tích 2 là một môn học vô cùng quan trọng bởi vai trị
to lớn cũng như tính ứng dụng cao của nó trong thực tế. Đây là mơn học được sử dụng
trong hầu hết các ngành khoa học và lĩnh vực kỹ thuật, vì nó cho phép cơng thức hóa
các hiện tượng, sự vật, mơ hình diễn ra xung quanh con người và tính tốn, giải quyết
chúng một cách chính xác . Như vậy, có thể thấy, việc dành thời gian cho Giải tích 2 này
là vơ cùng cần thiết, đó là cách giúp chúng xây dựng cho bản thân một nền tảng kiến

thức vững chắc về các môn khoa học ứng dụng và cũng là tiền đề để thích nghi, học tốt
những mơn cịn lại.
Bài báo cáo này là phần trình bày của nhóm 7 – lớp L19 với đề tài tìm hiểu và giải
quyết các câu hỏi về khối vật thể giới hạn bởi mặt trụ và các mặt phẳng.

Đề bài tập lớn mơn Giải tích 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022

Trang 2/20


Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

III

BẢNG PHÂN CƠNG NHÓM

MSSV

Họ và tên

2113635

Lê Phạm Hữu

2110197

Lê Khánh Huy

2113542

Trần Đỗ Trọng Huy

2113555

Trần Quốc Huy

Cơng việc hồn thành
Viết phần mở đầu và cơ sở lý thuyết đề tài; viết
phương trinh, vẽ hình dẫn chứng các bài tập 1, 2, 3, 5;
tham gia tính thể tích vật thể xoắn ốc theo yêu cầu đề;
thuyết trình bài tập 4, 5
Tham gia viết cơ sở lý thuyết; viết phương trình,
vẽ hình, dẫn chứng, tính thể tích, diện tích bài tập 4;
trình bày Latex; tham gia tính thể tích vật thể xoắn ốc
theo yêu cầu đề; thuyết trình bài tập 6
Tham gia viết cơ sở lý thuyết; tính thể tích, diện
tích các bài tập 1, 2, 3, 5; tham gia tính thể tích
vật thể xoắn ốc theo yêu cầu đề; kiểm tra và chỉnh sửa
đề tài; thuyết trình phần mở đầu và kết luận đề tài
Tham gia viết cơ sở lý thuyết; tính thể tích, diện
tích các bài tập 1, 2, 3, 5; tham gia tính thể tích
vật thể xoắn ốc theo yêu cầu đề; kiểm tra và chỉnh sửa
đề tài; thuyết trình bài tập 1, 2, 3

Đề bài tập lớn mơn Giải tích 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022

Trang 3/20


Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

IV
1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Mặt trụ trong không gian [1]

Mặt trụ là mặt tạo bởi một đường thẳng l giữ nguyên phương và di chuyển sao cho
ln ln song song với chính nó, tựa trên một đường cong ω khơng đồng phẳng với l.
2

• Mặt trụ eliptic: xa2 +

x2
b2

2

• Mặt trụ trịn xoay: xa2 +

=1

x2
a2

=1

• Mặt trụ parabolic:x2 + 2ay = 1

2

• Mặt trụ hyperbolic: xa2 −

x2
b2

=1

Đề bài tập lớn mơn Giải tích 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022

Trang 4/20


Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

2

Mặt phẳng trong khơng gian [2]

Mặt phẳng là một đối tượng của tốn học, mặt phẳng khơng có bề dày và khơng có
giới hạn.
Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dựng mơ hình, dùng hình bình hành (đối với một số
mặt phẳng đơn giản) và ghi tên của mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn.
Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng các chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hi Lạp đặt trong
dấu ngoặc.

3

Tích phân kép [3]

Cho hàm f(x,y) xác định trong miền đóng, bị chặn D. Chia miền D thành n mảnh rời
nhau D1 , D2 , . . . , Dn có diện tích lần lượt là △S1 , △S2 , . . . , △Sn .Trong mỗi mảnhDi , lấy
tùy ý một điểm Mi (xi , yi ). Lập tổng (gọi là tổng tích phân của hàm f(x,y)).

n

Sn =

f (xi , yi )△Si
i=1

Gọi d(Di ) là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm trong Di . Nếu tồn tại giới hạn:

lim Sn =

x→+∞

lim
maxd(Di )→0

Sn = S

Giới hạn trên hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn điểm
Mi (xi , yi ), thì hàm f(x,y) gọi là khả tích trên miền D, và S gọi là tích phân kép của hàm
f(x,y) trên miền D, ký hiệu:
f (x, y)dS
C

4

Tích phân bội ba [4]

Cho hàm số f(x,y,z) xác định trong miền đóng, giới nội Ω của không gian Oxyz. Chia
miền Ω thành n miền nhỏ có thể tích là △v1 , . . . , △Vn . Lấy tùy ý một điểm Mi (xi , yi , zi )
trong miền nhỏ thứ i. Lấy tổng:

Đề bài tập lớn mơn Giải tích 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022

Trang 5/20


Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

n

In =

f (xi , yi , zi )△Vi
i=1

Nếu giới hạn
lim In =

x→+∞

lim
maxd(Di )→0

In = I

hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia miền Ω và Mi , thì f(x,y,z) gọi là khả tích trên
miền Ω, và I gọi là tích phân bội ba của hàm f trên Ω, ký hiệu:
f (x, y, z)dV =

f (x, y, z)dxdydz [4]

Ω

5

Ω

Tích phân đường loại 1 [5]

Cho hàm số f(M) xác định trên cung AB. Chia cung AB thành n phần tùy ý bởi các
điểm A = A0 < A1 ... < An . Đặt △li là độ dài cung Ai Ai − 1 và trên cung Ai Ai − 1 lấy
điểm tùy ý Mi . Lập tổng:
n

Sn =

f (Mi )△li
i=1

Nếu Sn có giới hạn hữu hạn khi n → ∞ sao cho max{△li } → 0 và i không phụ thuộc
vào cách chia các cung Ai Ai−1 và cách chọn các Mi , thì S được chọn gọi là tích phân
đường loại 1 của f(M) trên cung AB ký hiệu là:

f (M )dl = lim

n→+∞

AB

6

f (Mi )△li =
i=1→+n

f (x, y, z)dl = lim

n→+∞

AB

f (x, y, z)△li
i=1→+n

Tích phân mặt [6]
• Trong tốn học, tích phân mặt là một tích phân xác định được tích trên một bề
mặt (có thể là tập hợp các đường cong trong khơng gian); nó có thể được xem là
một tích phân kép của từng tích phân đường.
• Để tính tốn cụ thể một tích phân mặt, chúng ta cần tham số hóa S bằng cách biểu
diễn S trong một hệ tọa độ cong, giống như kinh độ và vĩ độ trên một mặt cầu.
• Đối với mặt phẳng đã có hàm f(x,y) cho trước ta xem như đã có kinh độ và vĩ độ
chỉ cần áp dụng cơng thức tính. Khi đó, diện tích mặt cong z=f(x,y), có hình chiếu
xuống mặt phẳng Oxy là D được tính theo cơng thức.
1 + (fx′ )2 + (fy′ )2

S=

D

Đề bài tập lớn mơn Giải tích 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022

Trang 6/20


Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

V

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Dựng mơ hình vật thể bằng miền giới hạn được cho ở mỗi đề (phương trình cụ thể tự
cho). Có thể sử dụng: Matlab hoặc Geogebra , . . . Trên thực tế thì mơ hình nào sẽ tương
đồng với khối vật thể được dựng ở trên.

1

Bài tập 1:

a) Mô hình:
• Mặt trụ: x2 + y 2 = 1
• Mặt phẳng: z = 0

Hình 1: Hình ảnh vật thể 1 trong khơng gian:
b) Các hình ảnh trong thực tế:
Hình trụ trịn rất phổ biến trong thực tế vì có cấu trúc chắc chắn chịu được áp lực
lớn, những vật dụng hình trụ cũng rất dễ cằm nắm nên được ứng dụng trên nhiều lĩnh
vực

Hình 1: Hình ảnh vật thể 1 trong thực tế:
Đề bài tập lớn mơn Giải tích 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022

Trang 7/20


Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

c) Tính thể tích của khối vật thể:
Với x2 + y 2 = 1. Ta có x = r cos φ; y = r sin φ;
D = (r, φ) : 0 ≤ r ≤ 1; 0 ≤ φ ≤ 2π
2φ 1

2φ

3

V =

1

dzdrdφ =
0

0

0

3rdr dφ = 3π (Đơn vị thể tích)

0

0

d) Tính diện tích của các bề mặt bao quanh vật thể:
• Diện tích đáy:
Sday = 2.π.R = 2.π.12 = 2π
• Diện tích xung quanh:
Sxq = 2.π.r.h = 2π.1.3 = 6π
• Diện tích tồn phần:
S = 2Sday + Sxq = 2.2π + 6π = 10π

2

Bài tập 2:

a) Mơ hình:
• Mặt trụ: x2 + 30y = 0
• Mặt phẳng: y = −5; y = 5; x = 3; x = −3

Hình 3: Hình ảnh vật thể 2 trong khơng gian:
b) Các hình ảnh tương đồng thực tế:
Đối với mơ hình này thì trong thực tế ta có các ứng dụng:
• Mái vịm
Đề bài tập lớn mơn Giải tích 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022

Trang 8/20


Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

• Cầu
• Rada
• ...v.v

Hình 4: Hình ảnh vật thể 2 trong thực tế:
c) Tính thể tích của các vật thể:
Với x2 + 30y = 0
2
Ta có D = (x, y) : −3 ≤ x ≤ 3; −5 ≤ y ≤ − x30 ; z = 0; z = 9
2

x
3 − 30 9

V =

1323
(Đơn vị thể tích)
5

dzdxdy =
−3 −5

0

d) Tính diện tích của các bề mặt bao quanh vật thể:
9

S = Ldz =

dl
D

3

3

dz = 9

dx

1+

x2
dx = 54, 36 (Đơn vị diện tích)
225

−3

0

Bài tập 3:

a) Mơ hình:
• Mặt trụ:

x2
9

+

y2
4

=1

• Mặt phẳng: z = 3; z = 0

Đề bài tập lớn mơn Giải tích 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022

Trang 9/20


Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

Hình 5: Hình ảnh vật thể 3 trong khơng gian:
b) Các hình ảnh tương đồng trong thực tế:
Mơ hình trong thực tế được sử dụng trong các vật dụng hằng ngày như gương,
bàn ghế, đồ hộp,...

Hình 6: Hình ảnh vật thể 3 trong thực tế:
c) Tính thể tích của các vật thể:
2

Với: x9 +

x2
4

=1

(x, y) : −3 ≤ x ≤ 3; −2 1 −

Ta có: D =

2
3

V =

1−

x2
9

dx
−3
−2

3

dy
x2
1−
9

x2
x2
≤y ≤2 1−

9
9

dz = 18π (Đơn vị thể tích)
0

d) Tính diện tích của các bề mặt bao quanh vật thể:

Đề bài tập lớn mơn Giải tích 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022

Trang 10/20


Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

• Diện tích đáy:
dSday

Sday =

2π

3
=
2

2

dφ
0

D

rdr
0

= 23 .2.π. 12 .4 = 6π (Đơn vị diện tích)
• Diện tích xung quanh:
2π

Sxq =

dx
dt

dSxq =
D

2

+

dy
dt

0

3

2

dt

dz = 47, 6 (Đơn vị diện tích)
0

• Diện tích tồn phần:
S = 2Sday + Sxq = 12π + 47, 6 (Đơn vị diện tích)

4

Bài tập 4:

a) Mơ hình:
• Mặt trụ: x2 + y 2 = 2y
• Mặt phẳng: z = 12 − 0.5x; z = 3 + 51 xy

Hình 7: Hình ảnh vật thể trong không gian:

Đề bài tập lớn môn Giải tích 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022

Trang 11/20


Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

b) Các hình ảnh trong thực tế:
Trong cuộc kháng chiến chống Mỹ cứu nước để tránh bị máy bay địch phát hiện
hoạt động nấu ăn trên cao và ở gần anh hùng nuôi qn Hồng Cầm đã phát mình ra
bếp cùng tên ơng. Cấu tạo bếp gồm phần bếp và phần ống khói với phần ống khói được

cấu tạo gồm nhiều ống khác nhau tản khói trong khơng khí. Mơ hình trên là hình ảnh
của một ống khói của bếp Hồng Cầm nhơ lên phần lỏm giữa hai mơ đất, đầu được cắt
xiên.

Hình 8: Hình ảnh cấu tạo bếp Hồng Cầm
c) Tính thể tích của vật thể:
Miền Ω được giới hạn bởi mặt trên z = 12 − 12 , mặt dưới z = 3 + 15 xy và mặt
xung quanh là hình trụ với phương trình x2 + y 2 = 2y. Theo cơng thức tính tích phân
bội ba, ta có:

Đề bài tập lớn mơn Giải tích 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022

Trang 12/20


Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

3+0.2xy

V =

(12 − 0.5x) − (3 + 0.3xy) dxdy với

dz dxdy =
D

12−0.5x

D=

D

2y − y 2 ≤ x ≤

(x, y) : 0 ≤ y ≤ 2; −

2y − y 2

Bằng phép đổi biến x = rcosφ, y = rsinφ, chúng ta chuyển miền D sang hệ tọa độ
trụ. Khi đó:
(r, φ) : 0 ≤ r ≤ 2sinφ; 0 ≤ φ ≤ π

D=

Như vậy,
2sinφ

π

1
1
(12 − .r.cosφ − 3 − .r2 .cosφ(1 + sinφ) rdr
2
5

V =
0

dφ

0
π

1
12. .4.sin2 φ −
2

=

1
1
cosφ. .(2sinφ)3
2
3

1
− 3. .(2sinφ)2
2

−

1
cosφ(1 +
5

0

1
sinφ). .(2sinφ)4 dφ
4

π

4
4
18.sin2 φ − .cosφ.sin3 φ − cosφ(1 + sinφ)sin4 φ dφ = 9π (Đơn vị thể tích)
3
5

=
0

d) Tính diện tích của các bề mặt bao quanh vật thể:
* Diện tích của mặt phẳng biên dưới (C1):
• Giao của mặt trụ x2 + y 2 = 2y và mặt phẳng z = 3 + 51 xy
• Miền D là hình chiếu của mặt cong z = 3 + 15 xy trên mặt phẳng Oxy nẳm trong
mặt trụ x2 + y 2 = 2y. Ta có:
D=

S(C1) =

1+

2y − y 2 ≤ x ≤

(x, y) : 0 ≤ y ≤ 2; −

1
y
5

2

1
x
5

+

2y − y 2

2

dxdy

√D

2y−y 2

2

=

1+
0

−

√

1

y
5

2

+

1
x
5

2

dx dy =

4π
3
− (Đơn vị diện tích)
3
π

2y−y 2

*Diện tích của mặt trụ bao quanh vật thể (C2):
• Giao của mặt trụ x2 + y 2 = 2y và hai mặt phẳng z = 12 − 12 x, z = 3 + 15 xy
• Theo cơng thức tính tích phân đường loại 1, ta tham số hóa như sau:
Đề bài tập lớn mơn Giải tích 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022

Trang 13/20

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

x = cos(t); y = sin(t) với 0 ≤ t ≤ 2π
2π

12 − 12 cos(t) − 3 − 15 cos(t) 1 + sin(t)

S(C2) =

sin2 (t) + cos2 (t) dt = 18π (Đơn

0

vị diện tích)

5

Bài tập 5:

a) Mơ hình:
• Mặt trụ:

x = cos(φ)(1 − sin(φ))
y = sin(φ)(1 − sin(φ))

0 < φ < 2π

• Mặt phẳng: z1 = 0; z2 = 2 + y

Hình 9: Hình ảnh vật thể 5 trong khơng gian:
b) Các hình ảnh trong thực tế:
Trong một dịp lễ hội, người ta dự định làm bức tường hoa hình trái tim và trồng
hoa hồng đỏ dọc phần cung màu đỏ, kết hoa thành hồng vàng dọc bức tường vàng . Vật
thể còn dùng làm mẫu trang trí như vương miệng.
Đề bài tập lớn mơn Giải tích 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022

Trang 14/20


Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

Hình 10: Hình ảnh vật thể 5 trong thực tế:
c) Thể tích của vật thể:
Miền Ω được giới hạn bởi mặt trên z1 0; z2 = 2 + y và mặt xung quanh là hình trụ với
x = cos(φ)(1 − sin(φ))
phương trình trong tọa độ cực
0 < φ < 2π
y = sin(φ)(1 − sin(φ))
02+y dz dxdy

Theo cơng thức tích phân bội ba, ta có:
D

Do đề cho hệ phương trình trong hệ tọa độ cực nên ta có:
D = {(r, φ) : 0 ≤ r ≤ 1 − sin(φ); 0 ≤ φ ≤ 2π}
2pi

1−sin(φ)

π

1
1 − sin(φ)
2

2 + sin(φ)(1 − sin(φ)) rdr dφ =

Như vậy: I =
0

0

2

2+

0

9
sin(φ)(1 − sin(φ)) dφ = π (Đơn vị thể tích)
8
d) Diện tích các bề mặt bao quanh vật thể:
• Độ dài viền dưới của vật thể:
Trong tọa độ cực vật thể được xác định bởi hệ phương trình:

x = cos(φ)(1 − sin(φ))
y = sin(φ)(1 − sin(φ))

0 < φ < 2π Nên ta có: r = 1 − sin(φ)

Theo cơng thức tính tích phân đường loại 1 dùng để tính chiều dài hình chiếu của đường
cong trên mặt phẳng Oxy ta có:
2π

2π

LC =

r′ (φ)2 + r(φ)2 dφ =

dl =
C

0

[cos(φ)2 ] + [1 + sin(φ)]2 φ = 8 (Đơn vị diện
0

tích)
• Diện tích của vật thể:
Đề bài tập lớn mơn Giải tích 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022

Trang 15/20


Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

Trong tọa độ cực vật thể được xác định bởi hệ phương trình:

x = cos(φ)(1 − sin(φ))

y = sin(φ)(1 − sin(φ))

0 < φ < 2π và hai mặt phẳng z1 = 0; z2 = 2 + y
Nên ta có: r = 1 − sin(φ). Theo cơng thức tính tích phân đường loại 1 dùng để tính diện
tích hình trụ giới hạn bởi đường cong và mặt phẳng (giao giữa mặt phẳngz2 = 2 + y và
hình trụ là một đường cong)
2π

f (x, y)dl =

SC =
C

f (φ)

r′ (φ)2 + r(φ)2 dφ

0

2π

2 + [1 − sin(φ)]sin(φ)

=

[cos(φ)2 ] + [1 + sin(φ)]2 φ = 9, 6 (Đơn vị diện tích)

0

6

Bài tập tính thể tích vật thể hình xoắn:

a) Mơ hình và đoạn code Matlab:
Qua q trình tìm tịi, nghiên cứu, tham khảo các tài liệu nhóm chúng em giả sử
phương trình của hình xoắn như sau:


x = (1 − u)(3 + cos(v))cos(4πu);
y = (1 − u)(3 + cos(v))sin(4πu); với 0 ≤ u ≤ 1; 0 ≤ v ≤ 2π


z = 3u + (1 − u)sin(v);
Matlab là một phần mềm tốn học cung cấp mơi trường tính tốn số và lập trình,
khơng chỉ quen thuộc với thuộc với việc lập trình giải các bài tốn, matlab cịn là một
cơng cụ vẽ hình học hiệu quả, trực quan. Nhận thấy được sự tiện dụng và khả năng thể
hiện hình học tuyệt vời của matlab nhóm chúng em quyết định chọn matlab để vẽ hình
vật thể theo yêu cầu.

Hình 11: Đoạn code Matlab
Đề bài tập lớn mơn Giải tích 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022

Trang 16/20


Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

Hình 12: Hình ảnh vật thể trong khơng gian:
b) Các hình ảnh trong thực tế:
Trong một cơng viên trị chơi nước người ta muốn thiết kế một cái ống trượt nước

hình vịng uốn lượn tương tự như một con rắn cuộn mình, trước khi thi cơng các kỹ sư đã
mơ phỏng hình ảnh của máng trượt, hình ảnh của mơ phỏng tương tự như mơ hình trên.

Hình 13: Hình ảnh con rắn cuộn mình:

Đề bài tập lớn mơn Giải tích 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022

Trang 17/20


Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

Hình 14: Máng trượt nước ở cơng viên giải trí Six Flags Hurricane Harbor :
c) Thể tích của vật thể:
Cũng như việc vẽ mơ hình, chúng em cũng lựa chọn Matlab là cơng cụ để tính
thể tích của vật thể.

Hình 15: Đoạn code Matlab tính thể tích vật thể:

Vậy thể tích cần tính của vật thể là: V = 3π 2 (Đơn vị thể tích)

Đề bài tập lớn mơn Giải tích 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022

Trang 18/20


Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

VI

Tổng kết

Với sự phân công kỹ lưỡng, cố gắng chuẩn bị sớm nhất có thể nên nhóm đã có thời
gian tìm tịi, sáng tạo và hạn chế tối đa các lỗi có thể mắc phải trong bài tập lớn này. Và
cuối cùng, nhóm đã hoàn thành đề tài được giao.
Qua bài tập lớn này nhóm chúng em đã rút ra được những kỹ năng, kinh nghiệm bổ
ích:
• Ứng dụng được các cơng thức tốn học đặc biệt là các cơng thức tích phân trong
việc tính thể tích, diện tích các mơ hình vật thể.
• Hiểu biết hơn những hình ảnh của mơ hình trong thực tế đời sống.
• Giúp nâng cao hứng thú với mơn học.
• Trau dồi kỹ năng làm việc nhóm.
• Nâng cao tinh thần trách nhiệm và thắt chặt tình đồn kết giữa các thành viên
trong nhóm.
• Tập luyện được nhiều kỹ năng mềm giúp ích sau này như kỹ năng lập trình Matlab,
Latex,...
Như vậy chúng ta đã thấy được rõ hơn những ứng dụng và tính thiết thực của
những cơng thức tốn học đặc biệt trong bộ mơn giải tích 2.

Đề bài tập lớn mơn Giải tích 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022

Trang 19/20


Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh

VII

Tài liệu tham khảo

[1] WIKIPEDIA Bách khoa toàn thư mở - Mặt trụ. [Trực tuyến].
Available: [Truy cập
4/2022]
[2] Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng. [Trực tuyến].
Available:
/>%BB%81_%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng_th%E1%BA%B3ng_v%C3%A0_m%E1%BA%B7t
_ph%E1%BA%B3ng#: :text=M%E1%BA%B7t%20ph%E1%BA%B3ng%20l%C3%A0%20m%E1
%BB%99t%20%C4%91%E1%BB%91i,g%C3%B3c%20c%E1%BB%A7a%20h%C3%ACnh%20bi
%E1%BB%83u%20di%E1%BB%85n.[Truy cập 22/4/2022]
[3] Nguyễn Đình Huy (Chủ biên), Lê Xuân Đại, Ngô Thu Lương, Nguyễn Bá Thi,
Trần Ngọc Diễm, Đậu Thế Phiệt, Giáo trình Giải Tích 2, pp. 75-77
[4] Nguyễn Đình Huy (Chủ biên), Lê Xuân Đại, Ngô Thu Lương, Nguyễn Bá Thi,
Trần Ngọc Diễm, Đậu Thế Phiệt, Giáo trình Giải Tích 2, pp. 112-113
[5] Tích phân đường và tích phân mặt. [Trực tuyến].
Available: [Truy cập 4/2022]
[6] WIKIPEDIA Bách khoa tồn thư mở - tích phân mặt. [Trực tuyến] Available:
[Truy cập
4/2022]

Đề bài tập lớn mơn Giải tích 2 (MT1005) - Niên khóa 2021-2022

Trang 20/20