SANG KIÊN KINH NGHIEM 8 2021

MỤC LỤC

DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT …………………………………………2
I. ĐẶT VẤN ĐỀ………………………………………………………………3
1. Sự cần thiết của đề tài ……………………………………………………...3
2. Mục tiêu nghiên cứu ………………………………………………………4
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ ……………………………………………………5
1. Thực trạng của vấn đề cần giải quyết ……………………………………… 5
2. Nội dung nghiên cứu và giải pháp thay thế …………………….…………...6
3. Đánh giá đề tài ……………………………………………………………..18
4. Tổ chức thu thập minh chứng ……………………………………………...19
III. KẾT LUẬN, KHUYẾN NGHỊ …………………………………………...24
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………… 25
PHỤ LỤC …………………………………………………………………… 26

1


DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT
GD
BGH
HS
GV
KTĐG
PPDH
THCS
TP
ĐDDH
VD

Giáo dục

Ban giám hiệu
Học sinh
Giáo viên
Kiểm tra đánh giá
Phương pháp dạy học
Trung học cơ sở
Thành phố
Đồ dùng dạy học
Ví dụ

2


PHẦN I- ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Sự cần thiết của đề tài:
Như chúng ta đã biết, mơn Tốn có vị trí quan trọng trong nhà trường phổ
thông, là môn học hỗ trợ cho các mơn học khác. Học Tốn sẽ giúp học sinh phát triển
các năng lực và phẩm chất trí tuệ. Việc tìm kiếm, chứng minh một định lý, tìm lời
giải cho bài tốn có tác dụng rèn luyện cho học sinh sự tập trung trong suy nghĩ, lôgic
trong suy luận, ... Từ đó, giúp các em phát triển tư duy, tính độc lập, sáng tạo, phát
triển năng lực tự giải quyết vấn đề, tập tính cẩn thận, chính xác và khả năng diễn đạt
ngơn ngữ một cách lơgic.
Chương trình Toán ở cấp Trung học cơ sở gồm hai phân mơn: Đại số và Hình
học. Qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn, tơi nhận thấy đa số học sinh thích học Đại
số hơn là Hình học. Đối với nhiều em, Hình học thật sự là phân mơn rất khó, bởi đây
là mơn học địi hỏi trí tưởng tượng cao, khả năng tư duy lôgic chặt chẽ và cần sự sáng
tạo trong q trình học tập. Học sinh gặp khó khăn trong việc học phân mơn Hình
học, từ việc nắm lý thuyết, các định nghĩa, các định lí, tiên đề đến việc hồn thiện các
bước chứng minh Hình học. Trong chương trình Hình học Trung học cơ sở, học sinh
bắt đầu làm quen với cách trình bày một bài tốn chứng minh từ lớp 7. Nhưng lên lớp

8, nhiều em vẫn cịn lúng túng khi vẽ hình, lập luận, phân tích tìm lời giải và trình
bày một bài tốn chứng minh. Nhiều em thường có tâm trạng hoang mang, khơng xác
định được phương hướng, không biết bắt đầu từ đâu và phải làm như thế nào để tìm
ra lời giải cho một bài tốn chứng minh Hình học. Học sinh sợ học Hình học, bi quan,
thiếu tự tin, mất hứng thú học tập,… dẫn đến kết quả chưa cao. Do đó, là một giáo
viên nhiều năm được phân công giảng dạy Tốn 8, tơi ln cố gắng tìm biện pháp
giúp các em học tốt mơn Hình học để nâng cao kết quả học tập. Và đó là lí do tơi
chọn đề tài:“Các bước giúp học sinh lớp 8 trường ……… tìm lời giải cho bài tốn
chứng minh hình học”
2. Mục tiêu nghiên cứu:
2.1 Mục đích nghiên cứu:
- Giúp học sinh khơng cảm thấy lúng túng, thốt khỏi tâm lí ỷ lại, trông chờ vào sự
hướng dẫn của giáo viên hay sách tham khảo một cách thụ động mà trở nên tự tin,
chủ động, biết cần phải thực hiện các bước như thế nào để chứng minh được một bài
tốn hình học.
- Rèn luyện cho học sinh khả năng phân biệt được một số dạng chứng minh hình học
thường gặp. Đối với học sinh khá, giỏi có thể chứng minh bài tốn bằng nhiều cách
khác nhau, dạng toán vẽ thêm đường phụ.
- Nâng cao chất lượng dạy và học mơn Tốn nói chung và phân mơn Hình học nói
riêng.
2.2 Đối tượng nghiên cứu:
3


Tôi lựa chọn lớp 8/5:
- Học sinh hai lớp này có độ đồng đều về lứa tuổi, tâm sinh lí phát triển bình thường,
sức khoẻ bình thường, hồn cảnh gia đình khá ổn định.
- Về ý thức học tập, tất cả các em ở hai lớp này đều tích cực, chủ động.
- Về thành tích học tập của năm học trước, hai lớp tương đương nhau về điểm số của
môn Toán.

2.3 Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp thực tiễn
- Phương pháp điều tra
- Phương pháp thực nghiệm
- Phương pháp thuyết minh
- Phương pháp tổng hợp đánh giá
- Phương pháp quan sát
2.4. Phạm vi nghiên cứu:
- Nội dung:Các bước giúp học sinh lớp 8 trường THCS ……. tìm lời giải cho bài tốn
chứng minh hình học.
- Thời gian: Bắt đầu tháng 09/2020 và thời gian kết thúc là tháng 05/2021
- Đối tượng: HS lớp 8/5 trường THCS ……..

4


PHẦN II- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Thực trạng của vấn đề cần giải quyết:
1.1. Thuận lợi:
- Về phía nhà trường:
+Ban giám hiệu nhà trường đặc biệt quan tâm đến công tác giảng dạy của giáo
viên, luôn tạo mọi điều kiện để giáo viên học tập, rèn luyện nâng cao tay nghề.
Thường xuyên tổ chức các buổi sinh hoạt chuyên môn tổ, trường nhằm bồi dưỡng
chuyên môn, nghiệp vụ, năng lực sư phạm cho giáo viên, tìm ra phương pháp dạy học
phù hợp với đặc trưng với bộ môn.
+ Các bộ phận trong nhà trường luôn quan tâm đến công tác giảng dạy, có tinh
thần hợp tác giúp đỡ giáo viên trong việc giảng dạy và giáo dục học sinh.
- Về phía giáo viên:
+ Ln được sự quan tâm, giúp đỡ của nhà trường, tổ chun mơn trong q
trình cơng tác.

+ Bản thân là giáo viênnhiều năm trực tiếp giảng dạy Toán lớp 8, bồi dưỡng
học sinh giỏi, phụ đạo học sinh yếu kémnên có nhiều kinh nghiệm, có điều kiện thuận
lợi nghiên cứu, thực hiện ý tưởng.
+ Ln có ý thức trao dồi kiến thức, kĩ năng chuyên môn nghiệp vụ, đổi mới
phương pháp trong quá trình giảng dạy.
- Về phía học sinh: Đa số học sinh chăm ngoan, tích cực trong học tập, được sự
quan tâm của gia đình.
1.2. Khó khăn:
- Về phân mơn: Phân mơn Hình học có nhiều khái niệm trừu tượng, bài tập chủ
yếu là dạng chứng minh địi hỏi phải suy diễn chặt chẽ, lơgic. Nếu phân mơn Đại số
các dạng bài tập thường có cách làm rõ ràng thì phân mơn Hình học có lý thuyết trừu
tượng, các hướng giải cụ thể ít nên học sinh khó định hướng cách làm.
- Về giáo viên: Trong quá trình dạy học, một số giáo viên chưa hướng dẫn học
sinh phương pháp học tập đúng dắn, chưa phát huy tính tích cực, độc lập nhận thức
của học sinh. Hình thức tổ chức các hoạt động dạy và học trong giờ học chưa phong
phú nên học sinh tiếp thu bài học một cách thụ động, khơng kích thích sự hứng thú
học tập của học sinh.
- Về học sinh:
5


+ Một số học sinh có hồn cảnh gia đình khó khăn,ba mẹ đi làm xa ở với ơng
bà hay các em mồ cơi cha mẹ…nên có ít điều kiện học tập, còn dành nhiều thời gian
để phụ giúp gia đình trong việc mưu sinh. Phụ huynh chưa quan tâm nhắc nhở các em
học tập…Do đó, việc chuẩn bị bài, học bài ở nhà còn hạn chế, ảnh hưởng đến việc
học ở lớp.
+ Mỗi lớp bình quân 40 học sinh thì trong đó có khoảng 20 em khơng biết cách
chứng minh Hình học nên các em cịn lười học, ý thức học kém, khi giải một bài toán
lười suy nghĩ, hay dựa vào giáo viên, bạn bè hay xem lời giải trong sách tham khảo
một cách thụ động. Đa số các em chưa quen với lập luận toán học, câu từ chưa rõ

ràng, các em làm tốn quen việc nhìn và khẳng định.
+ Một số học sinh khá, giỏi nhưng vẫn khơng hứng thú với phân mơn Hình
học. Một vài em thuộc và hiểu lý thuyết nhưng vẫn lúng túng, mất nhiều thời gian khi
tìm lời giải cho bài tốn chứng minh. Bởi các em còn thiếu các kỹ năng như phân tích
đề bài, xác định hướng đi, chọn lọc những kiến thức liên quan cần vận dụng.
+ Trình độ tiếp thu giữa các học sinh không đồng đều dẫn đến hoạt động dạy
và học còn hạn chế.
2. Nội dung nghiên cứu và giải pháp thay thế:
2.1. Nội dung nghiên cứu
- Các định nghĩa, các định lí, các hệ quả, các tính chất, dấu hiệu nhận biết trong
chương trình Hình học 8.
- Các dạng chứng minh trong chương trình hình học 7: chứng minh bằng nhau
(hai cạnh bằng nhau, hai góc bằng nhau, hai tam giác bằng nhau), chứng minh vng
góc, chứng minh song song, …
2.2. Cơng tác tổ chức:
- Trong tiết học lý thuyết: sau khi học các định nghĩa, các định lí, các tính chất,
dấu hiệu nhận biết giáo viên cần cho học sinh làm các bài tập nhận biết,thông hiểu,
vận dụng thấp, làm những bài tập đơn giản giúp học sinh ghi nhớ, khắc sâu các kiến
thức vừa học.
- Trong các tiết luyện tập: giáo viên cần chọn dạng bài từ dễ đến khó phù hợp
với từng đối tượng học sinh, đảm bảo theo chuẩn kiến thức, kỹ năng. Mỗi bài tập đưa
ra hướng dẫn học sinh giải theo nhiều cách (nếu có thể).
- Thường xuyên kiểm tra, động viên, nhắc nhở các em hoàn thành bài học và
làm bài tập về nhà đầy đủ trước khi đến lớp. Khuyến khích các em thơng qua các
điểm cộng, lời khen.
2.3. Phương pháp thực hiện:

6

Chứng minh Hình học là dựa vào những điều đã biết (gồm giả thiết của bài
toán, các định nghĩa, các tiên đề, các định lí đã học, …) và bằng các suy luận đúng
đắn theo các phương pháp tư duy lơgic để chứng tỏ kết luận của bài tốn là đúng.
Để giúp học sinh tìm lời giải cho bài tốn chứng minh hình học, ta cần hướng
dẫn học sinh thực hiện theo các bước sau:
Bước 1:Tìm hiểu nội dung bài toán.
Đọc kĩ đề bài, phải hiểu rõ nghĩa của tất cả các từ trong bài nhằm hoàn toàn
hiểu ý bài tốn đó, xác định được:
- Đề bài cho những điều kiện gì?
- Đề bài yêu cầu chứng minh gì?
- Dạng tốn nào?
- Kiến thức cơ bản cần có là gì?
Từ đó tóm tắt đề bài, phân biệt giả thiết và kết luận của bài tốn.
Việc phân tích để hiểu rõ đề bài là vơ cùng quan trọng vì có như thế học sinh
mới xác định được các kiến thức có liên quan và dạng tốn cần vận dụng.
Bước 2:Vẽ hình.
Hình vẽ đóng vai trị quan trọng trong q trình chứng minh hình học, giúp các
em nhận biết trực quan, cụ thể bài tốn, phân tích đề bài nhanh chóng, thuận lợi. Vì
thế cần rèn học sinh vẽ hình:
- Học sinh phải biết dựa vào những điều đã cho để vẽ hình. Phải đọc kỹ đề, đọc
đến đâu vẽ hình đến đó.
- Hình vẽ phải chính xác, rõ ràng giúp ta dễ phát hiện đúng các quan hệ hình
học trong bài tốn chứng minh. Tránh vẽ đại khái làm mất tính trực quan gây khó
khăn trong việc chứng minh hình học; tránh vẽ hình rơi vào những trường hợp đặc
biệt để tránh ngộ nhận những tính chất mà bài tốn khơng có. Chẳng hạn: Cho hình
thang thì khơng nên vẽ hình thang cân hay hình thang vng; cho tam giác vng thì
khơng nên vẽ tam giác vng cân; cho M là điểm nằm giữa đoạn thẳng AB thì khơng
nên lấy M tại trung điểm của AB.
- Hướng dẫn học sinh kỹ năng sử dụng thành thạo các dụng cụ vẽ hình như
thước đo góc, êke, compa, …

- Cần vẽ hình thống, rộng, đường nét không quá sát nhau.Rèn cho học sinh có
thói quen kí hiệu vào hình vẽ các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau, các góc
vng, … để cho tiện khi tìm hướng chứng minh.
Bước 3:Ghi giả thiết, kết luận.
Dựa vào đề bài và các kí hiệu trong hình vẽ để viết giả thiết, kết luận bằng kí
hiệu hình học, biết thay những cụm từ tốn học có trong bài bằng các kí hiệu tốn học
7


làm cho bài toán trở nên đơn giản và dễ hiểu, có như thế mới nhanh chóng tìm ra lời
giải của bài tốn.
Bước 4: Phân tích bài tốn sau đó xây dựng chương trình giải.
Trong q trình tìm tịi lời giải của bài tốn chứng minh hình học ta thường dùng
phương pháp “phân tích đi lên”, vẽ hình phụ với một số bài toán vận dụng cao, đối
với các bài tốn tìm điểm cố định hay quỹ tích ta phối hợp sử dụng các phần mềm
Toán học như : Sketchpad, Geogebra…để hướng dẫn học sinh tìm lời giải nhanh và
chính xác hơn.
- Có thể hiểu phương pháp “phân tích đi lên” như sau: Xét bài toán “Cho A, chứng
minh B” ta phân tích như sau:
+ Bài tốn u cầu chứng minh gì? (kết luận B)
+ Để chứng minh kết luận B ta cần chứng minh điều gì? (chứng minh C)
+ Để chứng minh C ta cần tìm cách chứng minh D.
…
+ Cuối cùng ta cần chứng minh H.
+ Nếu từ A (giả thiết) ta chứng minh được H thì ta đã tìm được cách giải bài
tốn bằng cách nối từ giả thiết đến kết luận.
Sử dụng phương pháp “phân tích đi lên” theo quy trình:
“(kết luận) B C D … H A (giả thiết)”.
- Muốn sử dụng được phương pháp “phân tích đi lên” có hiệu quả giáo viên
cần:

+ Trong tiết lý thuyết cần dạy cho học sinh những kiến thức cơ bản và trọng
tâm, giúp các em nắm vững các kiến thức đó và bước đầu vận dụng để giải các bài
tốn đơn giản.
+ Thường xun ơn cũ dạy mới, tăng cường kiểm tra vở bài tập của học sinh.
Kết hợp động viên các em thông qua các bài tập đơn giản, câu hỏi dễ và các điểm tốt
khen ngợi các em.
+ Cần chuẩn bị hệ thống câu hỏi hợp lí, logic để từng bước giúp học sinh xây
dựng sơ đồ phân tích đi lên từ kết luận đến giả thiết. Cũng tùy vào đối tượng học sinh
mà đặt câu hỏi phù hợp, gợi mở.
+ Cần thường xuyên áp dụng phương pháp này để học sinh hiểu sâu và có kỹ
năng xây dựng nó thành thạo hơn trong việc vận dụng vào giải tốn chứng minh hình
học.
- Để có thể nhanh chóng xây dựng được chương trình giải cho bài tốn chứng
minh hình học, giáo viên cần thường xun nhắc nhở các em:
8


+ Trong q trình tìm cách chứng minh bài tốn cần chú ý sử dụng hết mọi dữ
kiện của bài tốn. Nếu cịn dữ kiện nào đó chưa sử dụng đến, hãy tìm cách sử dụng
nó.
+ Với mỗi bài tốn chứng minh hình học có nhiều phương án để đi đến kết
luận, song không phải phương án nào cũng khả thi.Phân tích kết luận để định hướng
chứng minh giúp ta chọn được những phương án có nhiều khả năng đi đến đích nhất.
+ Khi đi theo một hướng chứng minh nào đó mà gặp bế tắc, chúng ta hãy nghĩ
đến hướng chứng minh khác và tạm thời quên đi một số bước tư duy của hướng
chứng minh ban đầu mà phải tìm một con đường khác.
+ Nếu bài tốn có nhiều bài tốn nhỏ (nhiều câu) thì phải chú ý đến kết quả của
câu trên khi tìm cách chứng minh câu dưới, vì thơng thường thì kết quả câu trên là
gợi ý, là đường dẫn cho những câu sau.
+ Sơ đồ cần cụ thể, chi tiết thì khi trình bày lời giải mới dễ dàng và chặt chẽ.

+ Thường xuyên khuyến khích học sinh vận dụng phương pháp “phân tích đi
lên” trong quá trình chứng minh hình học.
Bước 5: Cách trình bày một bài tốn chứng minh.
Khi trình bày lời giải, ta sẽ sử dụng phương pháp “tổng hợp” có quy trình
ngược lại với phương pháp “phân tích đi lên”. Có thể hiểu phương pháp “tổng hợp”
như sau:
(Giả thiết)

(Kết quả)

Trình bày một bài toán chứng minh cần rõ ràng, đầy đủ từng bước. Mỗi một
câu, một mệnh đề, một hệ thức được nêu trong bài phải có lý do, có căn cứ chính xác.
Sử dụng các cụm từ: ta có, xét, mà, nên, suy ra, vậy, … đúng vị trí.
Trong bước xây dựng chương trình và trình bày lời giải, đầu tiên giáo viên sẽ
hướng dẫn xây dựng chương trình giải, học sinh theo dõi, hiểu. Sau vài bài tập cụ thể,
các em sẽ từng bước xây dựng theo câu hỏi gợi mở của giáo viên và tự trình bày lời
giải. Tùy vào đối tượng học sinh mà giáo viên đưa ra các mức độ cần đạt khác nhau.
Bước 6: Kiểm tra lời giải và nghiên cứu sâu lời giải.
Tập cho học sinh thói quen kiểm tra lời giải phát hiện thiếu xót, nhầm lẫn để
sửa chữa.
Khuyến khích học sinh tìm tịi các cách chứng minh khác nhau cho một bài
toán hoặc khai thác bài toán để tăng khả năng suy luận, tư duy logic, tăng khả năng
hứng thú với mơn học.


Thơng qua các ví dụ cụ thể:

Trong học kì I, nội dung kiến thức chương 1: “Tứ giác” rất quan trọng. Trong
chương này, giáo viên cần giúp học sinh nắm được định nghĩa, tính chất và dấu hiệu
9

nhận biết các loại tứ giác. Để tránh nhầm lẫn giữa các hình với nhau, trong quá trình
dạy giáo viên cần hướng dẫn học sinh:
+ Vẽ hình chính xác, biết nhận dạng các đặc điểm của từng loại tứ giác. Dựa
vào hình vẽ nêu được định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết của các hình.
+ Đối với mỗi tứ giác, học sinh phải chú ý đến ba yếu tố: cạnh, góc và đường
chéo để từ đó nêu đủ các tính chất cũng như các dấu hiệu nhận biết của các hình.
+ Từ việc nhận dạng được hình vẽ là hình gì, học sinh có thể dựa vào hình vẽ
để ghi nhớ định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết của hình đó mà khơng cần ghi
nhớ một cách máy móc. Khi cần nêu định nghĩa, tính chất cũng như dấu hiệu nhận
biết của một hình nào đó học sinh chỉ cần vẽ hình là có thể nêu đầy đủ các kiến thức
của hình đó. Như vậy các em sẽ có khả năng ghi nhớ bằng hình vẽ, sẽ nhớ lâu, khơng
nhầm lẫn tính chất cũng như các dấu hiệu nhận biết của từng loại tứ giác.
Học sinh nắm vững lý thuyết thì giáo viên hướng dẫn các em tìm lời giải cho
bài tốn chứng minh hình học sẽ thuận lợi hơn.
Sau đây là một số ví dụ minh họa “Các bước giúp học sinh tìm lời giải cho bài
tốn chứng minh hình học lớp 8”:
Ví dụ 1:Bài 17 sgk trang 75-Tiết 4: LUYỆN TẬP HÌNH THANG CÂN.
Đề bài:Cho hình thang ABCD (AB//CD) có
ABCD là hình thang cân.

. Chứng minh rằng

Bước 1: Giúp học sinh tìm hiểu nội dung bài tốn.
- Nhắc lại các kiến thức có liên quan: định nghĩa, tính chất của hình thang.
- Xác định kiến thức trọng tâm: dấu hiệu nhận biết hình thang cân.
Bước 2: Học sinh vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận.
- Vẽ hình chính xác hình thang ABCD có
bằng nhau.

, kí hiệu các góc

GT

ABCD là hình thang (AB//CD)

KL

AC cắt BD tại O
ABCD là hình thang cân.

Bước 3: Hướng dẫn học sinh xây dựng sơ đồ “phân tích đi lên”.
ABCD là hình thang cân
ADCD là
hình thang

AC = BD

10


OC = OD

OA = OB

Tam giác
OCD cân tại O

Tam giác OAB cân tại O

(AB//CD, so le trong)
Bước 4: Trình bày các bước chứng minh:
- Ta có:

(gt)

- Lại có:

ODC cân tại O

(AB//CD, so le trong)

OD = OC (1)

(AB//CD, so le trong)
(AB//CD, so le trong)

- Mà:

(gt)

- Suy ra:

OAB cân tại O

OA = OB (2)

- Từ (1) và (2) suy ra AC = BD.
- Hình thang ABCD có AC = BD

ABCD là hình thang cân (đpcm).

Ví dụ 2:Bài 49 sgk trang 93-Tiết 13: LUYỆN TẬP HÌNH BÌNH HÀNH.
Đề bài:Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD, AB.
Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng:
a) AI//CK.
b) DM = MN = NB.

Bước 1: Giúp học sinh tìm hiểu nội dung bài tốn.
- Nhắc lại các kiến thức có liên quan: định nghĩa, tính chất của hình bình hành.
- Xác định kiến thức trọng tâm: tính chất, dấu hiệu nhận biết hình bình hành.
Bước 2: Học sinh vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận.
- Vẽ hình chính xác hình bình hành ABCD,trung điểm I, K của cạnh CD, AB,
kí hiệu các đoạn thẳng bằng nhau.
GT

ABCD là hình bình hành

KL

a) AI//CK.
b) DM = MN = NB.

11


Bước 3: Hướng dẫn học sinh xây dựng sơ đồ “phân tích đi lên”.
Câu a:
AI//CK

AKCI là hình bình hành
AK//IC

AK = IC

A //DC
Câu b: Hướng dẫn học sinh cần chú ý đến kí hiệu bằng nhau, đoạn thẳng song song,
từ dó gợi ý học sinh sử dụng đường trung bình của tam giác.
DM = MN = NB
DM = MN

MN = NB

- Ở học kì II, trong chương 3: “Tam giác đồng dạng” giáo viên cần có biện
pháp giúp học sinh học sinh nắm các kiến thức và bước đầu biết vận dụng các kiến
thức:
+ Định lí Ta-lét, định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét.
+ Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác (c.c.c; c.g.c; g.g).
+ Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông.
- Trong chương này có nhiều kiến thức mới, lạ lẫm với học sinh, các em sẽ gặp
khó khăn trong việc sử dụng các tỉ số về cạnh, việc rút ra các tỉ số cần thiết, việc chọn
ra các cặp tam giác đồng dạng cần thiết phục vụ cho hướng giải bài toán. Để giúp học
sinh làm tốt các bài tập trong chương này, giáo viên cần giúp học sinh nắm được các
dạng toán thường gặp:
+ Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng, tính tỉ số.
+ Dạng 2: Chứng minh hệ thức.
+ Dạng 3: Chứng minh song song.
+ Dạng 4: Chứng minh đồng dạng.
+ Dạng 5: Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau.
+ Dạng 6: Toán ứng dụng thực tế.

+ Dạng 7 : Vẽ hình phụ
Ví dụ 3: Bài 39 sgk trang 79-Tiết 47: LUYỆN TẬP TRƯỜNG HỢP ĐỒNG
DẠNG THỨ BA.
12


Đề bài:Cho hình thangABCD (AB//CD). Gọi Olà giao điểm của hai đường chéo AC
và BD.
a) Chứng minh rằng: OA.OD = OB.OC
b) Đường thẳng qua O vng góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K. Chứng minh

rằng :

.

Bước 1: Giúp học sinh tìm hiểu nội dung bài tốn.
Bước 2: Học sinh vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận.
A

H

B

GT
KL

O

D

ABCD là hình thang (AB//CD)

C

K

Bước 3: Hướng dẫn học sinh xây dựng sơ đồ “phân tích đi lên”.
Câu a:

Câu b:

AB//CD
Bước 4: Trình bày các bước chứng minh:
a) Do AB//CD nên

AH//KC

(theo định lí hai tam giác đồng dạng)

(các cạnh tương ứng)
b) Do AH//KC nên

(theo định lí hai tam giác đồng dạng)

(các cạnh tương ứng) (1)
Ta có:

(cmt)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:
Ví dụ 4:Bài 48 sbt trang 95-Tiết 48: CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG
CỦA TAM GIÁC VUÔNG.
13


Đề bài: Cho tam giác ABC vng tai A, có đường cao AH. Chứng minh rằng:
Bước 1: Giúp học sinh tìm hiểu nội dung bài tốn.
Bước 2: Học sinh vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận.
- Vẽ hình chính xác tam giác ABC vuông tại A.
A

B

GT
KL

vuông tại A, đường cao AH.

C

H

Bước 3: Hướng dẫn học sinh xây dựng sơ đồ “phân tích đi lên”.
Cách 1:

(cùng phụ với góc ABH)

Cách 2:

Bước 4: Trình bày các bước chứng minh:
Cách 1:
Xét

và

ta có:

(cùng phụ với góc ABH)
Suy ra:

(g.g)
14


(cặp cạnh tương ứng)
Vậy
Ngồi kết quả

ta cịn có thể chứng minh được các hệ thức sau:

Sau mỗi bài toán, giáo viên cần khái qt hóa thành từng dạng tốn chứng
minh và hướng dẫn học sinh khai thác bài toán nếu có thể.
Với bài tốn trong ví dụ 4 có thể khai thác thành các bài toán sau:
+) Bài toán 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
a) Chứng minh:
b) Vẽ tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D. Gọi I là giao điểm của AH và BD.

Chứng minh:

.

c) Chứng minh: Tam giác ADI cân.
d) Chứng minh:

+) Bài tốn 2: Cho tam giác ABC vng tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần
lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh rằng:
a)
b)
c)
* Vẽ đường phụ và vai trò của đường phụ trong toán chứng minh:
Khi giải một bài toán chứng minh hình học , trừ một số bài dễ cịn lại phần lớn các
bài toán đều cần phải vẽ thêm đường phụ mới chứng minh được. Vậy vẽ đường phụ
như thế nào và vẽ để nhằm mục đích gì ? Đó là điều mà người học cần phải biết được
đối với mỗi bài tốn cụ thể . Khơng thể có một phương pháp chung nào cho việc vẽ
đường phụ trong bài tốn chứng minh hình học. Ngay đối với một bài tốn cũng có
thể có những cách vẽ đường phụ khác nhau tuỳ thuộc vào cách giải bài tốn. Dưới
đây tơi chỉ xin nêu ra một số cách vẽ đường phụ thơng qua một bài tốn cụ thể để
giúp phần nào cho các bạn học sinh làm quen.
- Vẽ đường phụ để tạo mối liên hệ giữa các điều kiện đã cho hoặc giữa các yếu tố
trong kết luận của bài tốn với nhau
Ví dụ 5 : Cho hình thang ABCD, (BC//AD) có góc A nhỏ hơn góc C. Chứng minh
rằng đường chéo AC
15


B

C

D

E

A

Hướng giải: Bình thường 2 đường chéo AC và BD khơng có mối liên hệ nào giúp ta
so sánh. Nếu đưa hai đoạn thẳng ấy về chung một tam giác ta có thể vận dụng mối
liên hệ giữa các cạnh và góc trong một tam giác để so sánh.
Muốn vậy ta có nhiều cách vẽ đường phụ.
Cũng có thể ở giữa A và D ta chọn một điểm E sao cho BE=AC (hoặc sao cho
CE=AB, tuỳ cách vẽ của bạn). Điều này hồn tồn có thể làm được bằng phương
pháp dựng hình và như vậy ta đã làm xuất hiện ∆BDE có BE=AC.
- Vẽ thêm đường phụ để tạo ra yếu tố trung gian có tính chất bắc cầu giữa các yếu tố
cần chứng minh hoặc cần so sánh với nhau
Ví dụ 6 : Cho hình hình hành ABCD, trên AB và BC lấy 2 điểm E,F sao cho AE =
CF (E thuộc AB, F thuộc BC) Kẻ DH AF và DK CE.
Chứng minh rằng DH=DK.
F

B
E

A

H

C

K

D

Hướng giải: Ta thừa nhận ngay việc chứng minh cho DH=DK thực chất là chứng
minh cho ∆ AFD và ∆CED có diện tích bằng nhau vì 2 tam giác này đã có hai cạnh
đáy AF và CE bằng nhau. Nếu hai tam giác có hai cạnh đáy bằng nhau và có đường
cao thuộc hai cạnh đáy đó cũng bằng nhau thì diện tích bằng nhau. Vì vậy nếu ta vẽ
đường chéo AC và lấy diện tích ∆ ACD làm trung gian để so sánh diện tích ∆ CED
và diện tích ∆ AFD.
Ta thấy ngay :
(cùng đáy AD, cùng chiều cao hạ từ F và C xuống AD)
(cùng đáy CD, cùng chiều cao hạ từ A, E xuống CD)
Suy ra
hay
Mà AF=CE Suy ra DH=DK
* Những điểm cần lưu ý khi vẽ đường phụ :
- Vẽ đường phụ phải có mục đích , khơng vẽ tuỳ tiện . Phải nắm thật vững đề bài ,
định hướng chứng minh từ đó mà tìm xem cần vẽ đường phụ nào phục vụ cho mục
đích chứng minh của mình.
- Vẽ đường phụ phải chính xác và tuân theo đúng các phép dựng hình cơ bản .
- Với một bài tốn nhưng vẽ đường phụ khác nhau thì cách chứng minh cũng khác
nhau .
16


Thơng qua một số ví dụ đã nêu , bạn đọc được hiểu phần nào vai trò của việc vẽ
đường phụ trong chứng minh hình học . Có nắm vững được kiến thức cơ bản một
cách chắc chắn , biết vận dụng linh hoạt mới biết khai thác dữ kiện của bài ra mà tìm

cách vẽ đường phụ thích hợp để giải toán . Như vậy vẽ đường phụ cũng là một kỹ
năng trong giải tốn hình học .
* Sử dụng phần mềm GeoGebra trong bài tốn quỹ tích
Ví dụ 7: Bài 68 (SGK Toán 8 tập 1_trang 102):
“Cho điểm A nằm ngồi đường thẳng d và có khoảng cách đến d bằng 2cm. Lấy
điểm B bất kì thuộc đường thẳng d. Gọi C là điểm đối xứng với điểm A qua điểm B.
Khi điểm B di chuyển trên đường thẳng d thì điểm C di chuyển trên đường nào?”
+ Để hướng dẫn hs giải bài tốn này tơi đã dùng phần mềm GeoGebra để vẽ hình và
dẫn dắt học sinh dự đốn quỹ tích. Các bước vẽ như sau:
Bước 1: Vẽ đường thẳng d, điểm A
-

Dùng công cụ
nháy vào hai điểm trên vùng làm việc ta được đường thẳng, ẩn
2 điểm trên đường thẳng.

Chọn cơng cụ
lấy một điểm ngồi đường thẳng vừa tạo và đổi tên thành điểm
A.
Bước 2: Vẽ AH d.
- Chọn công cụ
nháy chuột chọn điểm A và nháy chuột vào đừơng thẳng d ta
được đường thẳng qua A vng góc với d
-

-

Chọn cơng cụ

nháy vào hai đường thẳng ta được giao điểm, đổi tên thành điểm

H. Ẩn đường thẳng vng góc vừa vẽ, chọn cơng cụ
nối A và H ta được AH
d.
Bước 3: Lấy điểm B thuộc d, C đối xứng với A qua B, kẻ CK d
-

Chọn cơng cụ

nháy chọn điểm bất kì trên đường thẳng d và đổi tên là B.

Dùng công cụ đối xứng qua điểm
chọn điểm A, chọn điểm B ta được 1 điểm
đối xứng với A qua B là điểm C. Kẻ CK d(tương tự như thao tác vẽ AH d )
Ta được hình vẽ

-

+ Hướng dẫn học sinh tìm hiểu bài toán:
17


-

Yếu tố cố định, không đổi là đường thẳng d, đoạn AH.

-

Yếu tố di chuyển là điểm B, đoạn BC
+ Để dự đốn quỹ tích

Hướng dẫn học sinh xác định đối tượng cố định: Ở bài toán này là A, đối tượng
không đổi là đường thẳng d, đối tượng di chuyển là B, điểm C phụ thuộc vào sự di
chuyển của điểm B.
- Chọn điểm C, nháy chuột phải vào điểm C chọn
- Dùng công cụ
nháy chuột chọn điểm B, kéo điểm B di chuyển trên đường
thẳng d ta thấy vết của điểm B là một đường thẳng // d cách d một khoảng bằng CK.
Như vậy dựa vào hình ảnh trực quan học sinh rất dễ dự đoán và tìm ra được quỹ tích
của điểm C là một đường thẳng song song với d.

Qua hướng dẫn của giáo viên hs có thể giải bài tốn ở trên như sau:
Kẻ AH

d và CK

d.

Vì C là điểm đối xứng với A qua B (gt) ⇒ AB = CB (tính chất hai điểm đối xứng qua
1 điểm)
Xét hai tam giác vuông AHB và CKB có:
AB = CB (cmt)
Góc

( đối đỉnh)

nên ΔAHB=ΔCKB (cạnh huyền - góc nhọn)
⇒ CK = AH = 2cm (2 cạnh tương ứng)
Điểm C cách đường thẳng d cố định một khoảng cách không đổi 2cm nên quỹ tich
điểm C là đường thẳng m song song với d và cách d một khoảng bằng 2cm.
3. Đánh giá đề tài:

a. Mức độ phù hợp với học sinh và thực tiễn của nhà trường:
Đây là những biện pháp rất phù hợp với học sinh và thực tiễn của trường THCS Võ
Văn Ký.
18


b. Mức độ đáp ứng yêu cầu đổi mới PPDH và KTĐG:
Đề tài này được áp dụng trong việc giảng dạy phân mơn Hình học ở trường
Trung học cơ sở.
- Đa số các em bước đầu u thích phân mơn Hình học, đã biết vận dụng lý
thuyết, biết tìm lời giải và trình bày một bài chứng minh Hình học.
- Khi làm bài tập các em đã nhanh chóng định hướng được cách giải, đã chịu
khó tập trung suy nghĩ, tìm tịi, sáng tạo, khơng ỷ lại, trơng chờ vào gợi ý của giáo
viên.
- Các em đã hứng thú hơn khi học Hình học, chủ động tích cực hơn và chất
lượng học tập ngày càng cao hơn.
- Thái độ và tinh thần học tập tích cực, thoải mái, tự tin, tạo khơng khí lớp học
nhẹ nhàng.
c. Kết quả cụ thể:
Năm học 2020- 2021, tôi đã vận dụng các biện pháp trên để dạy học sinh lớp 8/5. Tôi
nhận thấy kết quả rất khả quan. Học sinh say mê học tập hơn. Vì thế chất lượng bộ
mơn được nâng lên đáng kể. Tỉ lệ học sinh yếu kém giảm mạnh, học sinh khá giỏi
tăng lên trơng thấy.
Bảng phân tích số liệu:
+ Kết quả trước khi áp dụng đề tài
Nă
m
học

Lớp

Sĩ
số

ĐIỂM
8-10
SL

2020
2021

8/5

41
HS

12

6,5-<8
%
29,
3

SL
6

%
14,
6

5-<6,5
SL
10

%
24,
4

3-<5
SL
8

%
19,
5

0-<3
SL
5

Tb trở lên

%

SL

%

12,
2

28

68,3

+ Kết quả sau khi áp dụng đề tài:
Nă
m
học

Lớp

Sĩ
số

ĐIỂM
8-10
SL

2020
2021

8/5

41
HS

12

6,5-<8

%
29,
3

SL
9

%
22

5-<6,5
SL
12

%
29,
3

3-<5
SL
5

%
19,
5

0-<3
SL
3

Tb trở lên

%

SL

%

7,3

33

80,5

Sau khi vận dụng thành công sáng kiến này, tôi đã trao đổi cùng với các giáo viên
bộ môn trong tổ Toán. Các giáo viên trong tổ cũng nhận thấy vấn đề tôi nêu ra là sát
thực tế và cũng là những vấn đề mà học sinh bậc THCS thường mắc phải. Qua các
19


tiết dự giờ, thao giảng các giáo viên trong tổ cũng đồng ý với cách giải quyết vấn đề
của tôi và áp dụng trực tiếp giảng dạy trên lớp.
Với kết quả đã đạt được, tôi sẽ tiếp tục vận dụng sáng kiến này cho những năm học
tiếp theo và hy vọng sẽ đạt được những kết quả khả quan hơn.
4. Tổ chức thu thập minh chứng:
Trong thời gian năm học 2020- 2021 tôi đã:
- Áp dụng sáng kiến này trong cả các tiết dạy, các bài kiểm tra.
- Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp, BGH nhà trường.
- Chấm bài kiểm tra
- Phát phiếu điều tra.

Đánh giá sau khi khảo sát:
Trước khi GV áp dụng đề tài, có đến gần 60% HS thiếu các kỹ năng như phân tích đề
bài, xác định hướng đi, chọn lọc những kiến thức liên quan cần vận dụng vì vậy các
em rất sợ khi học Tốn Hình.
Sau khi được GV nêu các bước giúp tìm lời giải bài tốn chứng minh hình học các
em đã tiến bộ rất nhiều,giúp học sinh mạnh dạn, tự tin hơn trong học tập,phân tích
tìm lời giải bài tốn,giải nhiều cách khác nhaucũng như thoải mái, tích cực trong học
tập, sơi nổi phát biểu ý kiến. Khơng khí lớp học có thay đổi lớn, học sinh sơi nổi, tiết
học đạt hiệu quả cao. Học sinh nhớ bài tốt, chủ động vận dụng kiến thức đã học trong
giao tiếp đạt hiệu quả. Tỉ lệ học sinh yếu kém giảm mạnh, học sinh khá giỏi tăng lên
trông thấy.

Phần III
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
20


1. KẾT LUẬN
Việc hướng dẫn học sinh phương pháp tìm lời giải cho một bài tốn chứng
minh Hình học 8 đã được cá nhân tôi ấp ủ trong suốt quá trình dạy học tại trường
THCS Võ Văn Ký. Cơng việc này đã được thực hiện qua các năm. Tập thể tổ chun
mơn đã động viên nhóm giáo viên giảng dạy Toán 8 mạnh dạn thực hiện việc rèn cho
học sinh cách tìm lời giải cho một bài tốn chứng minh Hình học trong mỗi bài học
từ năm 2020 đến nay. Nếu chúng ta thực hiện tốt sẽ giúp học sinh rèn kĩ năng phân
tích, tổng hợp, tư duy lơgic và kĩ năng trình bày bài giải và qua đó rèn luyện trí thơng
minh sáng tạo, phát triển các năng lực và hình thành nhiều đức tính tốt như: tính cẩn
thận, tính kỷ luật, tính năng động.
Vận dụng đề tài này vào công tác giảng dạy giúp các em hứng thú hơn với bộ
mơn hình học, say mê khám phá, ln mong muốn tự tìm tịi kiến thức, phát huy tư
duy sáng tạo, chủ động tích cực trong mọi hoạt động.

2. KHUYẾN NGHỊ
Để vận dụng tốt đề tài trên đòi hỏi mỗi giáo viên phải:
- Thường xuyên tự học, tự bồi dưỡng, tự rèn luyện để không ngừng trao dồi
kiến thức, kỹ năng dạy học hình học. Cần có sự chuẩn bị chu đáo, tìm tịi, sáng tạo về
phương pháp, nội dung bài học, đưa công nghệ thông tin vào dạy học, đa dạng các
phương pháp, hình thức tổ chức dạy học để lơi cuốn học sinh vào q trình học tập.
- Cần thực hiện thường xuyên và đồng bộ các biện pháp đã đề ra, không nên bỏ
qua. Khi thực hiện, giáo viên nên linh hoạt phù hợp với đối tượng học sinh, tránh áp
đặt.
- Thái độ gần gũi, quan tâm, động viên là điều không thể thiếu trong việc nâng
dần chất lượng học tập của học sinh. Vì vậy, mỗi giáo viên cần đối xử chân thành với
học sinh, phải biết lắng nghe để thấu hiểu những khó khăn, vướng mắc của các em
trong học tập và cuộc sống, từ đó có biện pháp giúp đỡ kịp thời. Phải ln gương
mẫu từ hành động đến lời nói, có tinh thần trách nhiệm.
Những biện pháp trên, tôi đã đề ra và thực hiện giúp học sinh lớp 8 cách tìm lời
giải cho bài tốn chứng minh Hình học. Chắc chắn còn nhiều điều cần bổ sung, bản
thân sẽ cố gắng tìm tịi, học hỏi và mong được sự đóng góp của quý thầy, cô giáo và
các bạn đồng nghiệp để cùng góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn tại
cơ sở.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Nha Trang, ngày 24 tháng 9 năm 2021
Tác giả

21


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006), Chương trình Giáo dục phổ thơng - Những vấn đề

chung, NXB Giáo dục.

2. Sách giáo khoa mơn Tốn 8 tập 1, NXB Giáo dục
3. Sách giáo viên mơn Tốn 8 tập, NXB Giáo dục.
4. Sách bài tập mơn Tốn 8 tập 1, NXB Giáo dục.
5. Sách bồi dưỡng và phát triển Toán 8, Phan Văn Đức.
6. Tài liệu tập huấn: Dạy học và kiểm tra đánh giá kết quả học tập theo định hướng phát
triển năng lực học sinh mơn Tốn học (THCS).

22


PHỤ LỤC

BÀI KIỂM TRA TRƯỚC TÁC ĐỘNG
I.TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm)
Em hãy chọn một chữ cái đứng trước câu trả lời đúng nhất rồi ghi vào giấy làm bài.
Câu 1.Tứ giác ABCD có
, khi đó ta có số đo góc B là:
A. .
B. .
C.
D.
.
Câu 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm BC, biết BC = 10 cm. Độ dài
đoạn thẳng AM là:
A. 10cm
B. 20cm
C. 5cm
D. 7cm
Câu 3.Cho M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác ABC; biết
BC=12cm.

Khi đó MN có độ dài là:
A. MN = 3cm
B. MN = 6cm
C. MN = 9 cm
D. MN = 12 cm
Câu 4. Trong các hình sau, hình nào khơng có tâm đối xứng?
A.Hình vng
B.Hình thang cân C.Hình bình hành
Câu 5. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

D.Hình thoi

A. Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành.
B. Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành.
C. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.
D. Tứ giác có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau là hình bình hành.
Câu 6.Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Hình vng là hình thang vng có hai cạnh kề bằng nhau.
B. Hình thoi là tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và vng góc với nhau.
C. Hình chữ nhật là hình bình hành có 2 đường chéo vng góc với nhau.
D. Hình vng là hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau.
II. TỰ LUẬN (7,0 điểm)
Bài 1. (3,0 điểm)Cho hình thang ABCD (AB // CD) biết AB = 6cm, CD = 8cm. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của AD và BC.
a) Tính độ dài đoạn thẳng MN.
b) Đường thẳng AC cắt đường thẳng MN tại điểm I. Chứng minh AI = IC.
Bài 2. (3,0 điểm)Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, AC, BC.
a) Chứng minh: BMNP là hình bình hành.
23

b) Vẽ AH vng góc với BC (H BC).Gọi I là điểm đối xứng của N qua BC. Chứng
minh: HICN là hình thoi.
Bài 3.(1,0 điểm)Cho biển báo giao thơng sau (hình trịn có nền màu đỏ):

a) Biển báo giao thơng ở trên là biển gì? Có ý nghĩa gì ?
b) Hình biển báo giao thơng ở trên có tâm đối xứng, trục đối xứng khơng? Nếu có,
hãy cho biết có bao nhiêu tâm đối xứng, có bao nhiêu trục đối xứng?
----- Hết -----

24


BÀI KIỂM TRA SAU TÁC ĐỘNG
I TRẮC NGHIỆM: ( 3 điểm)
Khoanh tròn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng
Câu 1: Cho đoạn thẳng AB = 20cm, CD = 30cm. Tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD là:
A.
B.
Câu 2: Cho AD là tia phân giác

C.
( hình vẽ) thì:

D.
A

B

A.

Câu 3: Cho ABC
dạng là:

B.

S

D

C.

C

D.

DEF theo tỉ số đồng dạng là

A.
B.
Câu 4: Độ dài x trong hình vẽ là: (DE // BC)
A. 5
B. 6
C.7
D.8

S

thì DEF

C.

ABC theo tỉ số đồng
D.

A
4
D
2
B

x
E
3
C

Câu 5: Nếu hai tam giác ABC và DEF có
và
thì :
S
S
A. ABC
DEF
B. ABC
DFE
S
S
C. CAB
DEF
D. CBA
DFE

Câu 6: Chọn khẳng định sai ?
A.Tỉ số chu vi của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng
B. Hai tam đều luôn đồng dạng với nhau
C. Nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số hai đường trung
tuyến tương ứng
D.Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng.
II. TỰ LUẬN (7 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 18 cm, AC = 24 cm. Vẽ đường cao AH.
a) Chứng minh HBA SABC
b) Tính BC, AH, BH.
c) Vẽ đường phân giác AD của tam giác ABC (D BC). Tính BD, CD.
d) Trên AH lấy điểm K sao cho AK = 5,4cm. Từ K kẽ đường thẳng song song BC cắt
AB và AC lần lượt tại M và N. Tính diện tích tứ giác BMNC.

25